Surjection, iniksyon at bijection

Ang panuntunang tumutukoy sa pagmamapa f: X (o ang function /) ay maaaring kumbensyonal na kinakatawan ng mga arrow (Larawan 2.1). Kung mayroong hindi bababa sa isang elemento sa hanay ng Y na wala sa mga arrow na tumuturo, kung gayon ito ay nagpapahiwatig na ang hanay ng mga halaga ng function na f ay hindi pinupuno ang buong hanay ng Y, i.e. f(X) C Y.

Kung ang hanay ng mga halaga / nag-tutugma sa Y, i.e. f(X) = Y, kung gayon ang naturang function ay tinatawag na surjective) o, sa madaling salita, surjection, at ang function / ay sinasabing imapa ang set X papunta sa set Y (sa kaibahan sa pangkalahatang kaso ng pagmamapa ng set X sa ang set Y ayon sa Depinisyon 2.1). Kaya, ang / : X ay surjection kung Vy 6 Y 3x € X: /(x) = y. Sa kasong ito, sa figure, hindi bababa sa isang arrow ang humahantong sa bawat elemento ng set Y (Larawan 2.2). Sa kasong ito, maraming arrow ang maaaring humantong sa ilang elemento mula sa Y. Kung hindi hihigit sa isang arrow ang humahantong sa anumang elemento y € Y, kung gayon / ay tinatawag na injective function, o injection. Ang function na ito ay hindi kinakailangang surjective, i.e. ang mga arrow ay hindi humahantong sa lahat ng elemento ng set Y (Larawan 2.3).

• Kaya, ang function na /: X -Y Y ay isang iniksyon kung alinman sa dalawang magkaibang elemento mula sa X ang may mga larawan nito kapag nagmamapa / dalawang magkaibang elemento mula sa Y, o Vy £ f(X) C Y 3xeX: f(x) = y. Surjection, iniksyon at bijection. Baliktarin ang pagmamapa. Ang komposisyon ng mga pagmamapa ay isang produkto ng mga set. Ipakita ang iskedyul. Ang pagmamapa /: X->Y ay tinatawag na bijective, o bi-jection, kung ang bawat elemento ng y 6 Y ay ang imahe ng ilan at ang tanging elemento mula sa X, i.e. Vy € f(X) = Y E!x € X: f(x) = y.

Sa katunayan, ang function / sa kasong ito ay nagtatatag ng one-to-one na pagsusulatan sa pagitan ng mga set X at Y, at samakatuwid ito ay madalas na tinatawag na one-to-one na function. Malinaw, ang isang function / ay bijective kung at kung ito ay parehong injective at surjective. Sa kasong ito, ang mga arrow (Larawan 2.4) ay kumonekta sa mga pares ng bawat elemento mula sa X sa bawat elemento mula sa Y. Bukod dito, walang dalawang elemento mula sa X ay maaaring konektado sa pamamagitan ng isang arrow sa parehong elemento mula sa Y, dahil / ay injective, at walang dalawang elemento mula sa Y ang hindi maaaring ikonekta ng mga arrow sa parehong elemento mula sa X dahil sa pangangailangan sa pagiging natatangi ng imahe sa Definition 2.1 ng pagmamapa. Ang bawat elemento ng X ay nakikilahok sa isang pairwise na koneksyon, dahil ang X ay ang domain ng function na /. Sa wakas, ang bawat elemento mula sa Y ay nakikilahok din sa isa sa mga pares, dahil / ay surjective. Ang mga tungkulin ng X at Y sa kasong ito ay tila ganap na magkapareho, at kung ibabalik natin ang lahat ng mga arrow (Larawan 2.5), makakakuha tayo ng ibang pagmamapa o ibang function d), na injective at surjective din. Ang mga pagmamapa (function) na nagbibigay-daan sa naturang pagbabaligtad ay gaganap ng mahalagang papel sa mga sumusunod.

Sa isang partikular na kaso, ang mga set X at Y ay maaaring magkasabay (X = Y). Pagkatapos ay imamapa ng bijective function ang set X sa sarili nito. Ang bijection ng isang set papunta sa sarili nito ay tinatawag ding pagbabago. 2.3. Baliktad na pagmamapa Hayaan /: X -? Ang Y ay isang tiyak na bijection at hayaang y € Y. Tukuyin natin sa pamamagitan ng /_1(y) ang tanging elementong x € X na ang /(r) = y. Kaya tinukoy namin ang ilang pagmamapa 9: Y Xу na muli ay isang bijection. Ito ay tinatawag na inverse mapping, o inverse bijection sa /. Kadalasan ito ay tinatawag ding kabaligtaran na pag-andar at ipinapahiwatig ng /"*. Sa Fig. 2.5, ang function na d ay tiyak na kabaligtaran ng /, ibig sabihin, d = f"1.

Mga halimbawa ng solusyon sa mga problema

Ang mga pagmamapa (function) / at ay magkabaligtaran. Malinaw na kung ang isang function ay hindi isang bijection, kung gayon ang kabaligtaran na pag-andar nito ay hindi umiiral. Sa katunayan, kung ang / ay hindi injective, kung gayon ang ilang elemento y € Y ay maaaring tumutugma sa ilang elemento x mula sa set X, na sumasalungat sa kahulugan ng isang function. Kung ang / ay hindi surjective, may mga elemento sa Y kung saan walang preimages sa X, i.e. para sa mga elementong ito ang inverse function ay hindi tinukoy. Halimbawa 2.1. A. Hayaan ang X = Y = R - isang set ng mga tunay na numero. Ang function /, na tinukoy ng formula y = Para sa - 2, i,y € R, ay isang bijection. Ang inverse function ay x = (y + 2)/3. b. Ang totoong function na f(x) = x2 ng isang real variable x ay hindi surjective, dahil ang mga negatibong numero mula sa Y = R ay hindi mga larawan ng mga elemento mula sa X = K bilang /: Γ -> Y. Halimbawa 2.2. Hayaan ang A" = R, at Y = R+ ang hanay ng mga positibong tunay na numero. Ang function na f(x) = ax, a > 0, af 1, ay isang bijection. Ang inverse function ay Z"1 (Y) = 1°8a Y

• Surjection, iniksyon at bijection. Baliktarin ang pagmamapa. Ang komposisyon ng mga pagmamapa ay isang produkto ng mga set. Ipakita ang iskedyul. 2.4. Komposisyon ng mga pagmamapa Kung f:X-*Y at g:Y-*Zy kung gayon ang pagmamapa (p:X -+Z, tinukoy para sa bawat a: 6 A" ng formula =, ay tinatawag na komposisyon (superposisyon) ng mga pagmamapa (functions) / at d> o isang kumplikadong function, at itinalagang rho/ (Fig. 2.6).
• Kaya, ang isang kumplikadong function bago ang f ay nagpapatupad ng panuntunan: i Apply / first, at pagkatapos ay di, i.e. sa komposisyon ng mga operasyon "bago / dapat kang magsimula sa operasyon / matatagpuan sa kanan. Tandaan na ang komposisyon Fig. 2.6 mappings are associative, i.e. if /: X -+Y, d: Y Z and h: Z-*H> then (hog)of = = ho(gof)i na mas madaling isulat sa anyong ho to /. Suriin natin ito tulad ng sumusunod: Sa anumang wK "oaiecmee X mayroong tinukoy na pagmamapa na 1x -X X, na tinatawag na magkapareho, madalas din na tinutukoy ng idx at ibinigay ng formula na Ix(x) = x Vx € A". Ang -action nito ay iyon iniiwan nito ang lahat sa kanilang mga lugar.

Kaya, kung ang bijection ay kabaligtaran sa bijection /: X - + Y, kung gayon /"1o/ = /x, at /o/-1 = /y, kung saan at /y ay magkaparehong mga mapa ng set X at Y, Sa kabaligtaran, kung ang mga pagmamapa f: X ->Y at p: Y A" ay tulad na ang gof = Ix at fog = /y, kung gayon ang function / ay isang bijection, at ang y ay ang inverse bijection nito. Malinaw, kung ang / ay isang bijection ng A" sa Y, at ang $ ay isang bijection ng Y sa Z, kung gayon ang gof ay isang bijection ng X sa Z, at magiging inverse bijection kaugnay nito. 2.5. Produkto ng mga set. Mapping graph Alalahanin na ang dalawang mutually perpendicular coordinate axes na may sukat na pareho para sa parehong axes ay tumutukoy sa isang rectangular Cartesian coordinate system sa eroplano (Fig. 2.7). Ang punto O ng intersection ng mga coordinate axes ay tinatawag na pinagmulan* ng mga coordinate.

Ang bawat point M ay maaaring iugnay sa isang pares (i, y) ng mga tunay na numero kung saan ang x ay ang coordinate ng point Mx sa coordinate axis Ox, at y ang coordinate ng point Mu sa coordinate axis Oy. Ang mga puntos na Mx at Mu ay ang mga base ng mga patayo na ibinaba mula sa puntong M sa mga palakol ng Ox at Oy, ayon sa pagkakabanggit. Ang mga numerong x at y ay tinatawag na mga coordinate ng point M (sa napiling coordinate system), at x ay tinatawag na abscissa ng point M, at ang y ay ang ordinate ng puntong ito. Malinaw na ang bawat pares (a, b) ng mga tunay na numero a, 6 6R ay tumutugma sa isang punto M sa eroplano, na mayroong mga bilang na ito bilang mga coordinate nito. At sa kabaligtaran, ang bawat punto M ng eroplano ay tumutugma sa isang pares (a, 6) ng mga tunay na numero a at 6. Sa pangkalahatang kaso, ang mga pares (a, b) at (6, a) ay tumutukoy sa magkakaibang mga punto, i.e. Mahalaga kung alin sa dalawang numerong a at b ang mauna sa pagtatalaga ng pares. Kaya, pinag-uusapan natin ang tungkol sa isang nakaayos na pares. Sa bagay na ito, ang mga pares (a, 6) at (6, a) ay itinuturing na pantay sa isa't isa, at tinutukoy nila ang parehong punto sa eroplano, kung a = 6 lamang. Surjection, injection at bijection. Baliktarin ang pagmamapa.

Ang komposisyon ng mga pagmamapa ay isang produkto ng mga set. Ipakita ang iskedyul. Ang hanay ng lahat ng mga pares ng totoong numero, pati na rin ang hanay ng mga puntos sa eroplano, ay tinutukoy ng R2. Ang pagtatalaga na ito ay nauugnay sa mahalagang konsepto sa set theory ng isang direktang (o dek-artov) na produkto ng mga set (kadalasan ay nagsasalita lamang sila ng isang produkto ng mga set). Kahulugan 2.2. Ang produkto ng mga set A at B ay ang set Ax B ng posibleng ordered pairs (x, y), kung saan ang unang elemento ay kinuha mula sa A at ang pangalawa mula sa B, upang ang pagkakapantay-pantay ng dalawang pares (x, y) at (&", y") ay tinutukoy ang mga kundisyon x = x" at y = y7. Ang mga pares (i, y) at (y, x) ay itinuturing na magkaiba kung xy. Ito ay lalong mahalaga na tandaan kapag ang set A at B coincide. Samakatuwid, sa pangkalahatang kaso A x B f B x A, ibig sabihin, ang produkto ng arbitrary set ay hindi commutative, ngunit ito ay distributive na may kinalaman sa unyon, intersection at pagkakaiba ng set: kung saan nagsasaad ng isa sa tatlong pinangalanan mga operasyon. Ang produkto ng mga hanay ay malaki ang pagkakaiba sa ipinahiwatig na mga operasyon sa dalawang hanay. Ang resulta ng pagsasagawa ng mga operasyong ito ay isang hanay na ang mga elemento (kung ito ay walang laman) ay kabilang sa isa o pareho ng mga orihinal na hanay. Ang mga elemento ng produkto ng ang mga set ay nabibilang sa bagong set at kumakatawan sa mga bagay ng ibang uri kumpara sa mga elemento ng orihinal na set. Katulad ng Definition 2.2

Maaari nating ipakilala ang konsepto ng isang produkto ng higit sa dalawang set. Ang mga hanay (A x B) x C at A*x (B x C) ay kinilala at simpleng tinukoy na A x B x C, kaya. Gumagana Ah Au Ah Ah Ah Ah, atbp. tinutukoy, bilang panuntunan, ng A2, A3, atbp. Malinaw, ang eroplanong R2 ay maaaring ituring bilang produkto R x R ng dalawang kopya ng hanay ng mga tunay na numero (kaya ang pagtatalaga ng hanay ng mga punto ng eroplano bilang produkto ng dalawang hanay ng mga punto sa linya ng numero). Ang hanay ng mga puntos sa geometric (tatlong-dimensional) na espasyo ay tumutugma sa produktong R x R x R ng tatlong kopya ng hanay ng mga puntos sa linya ng numero, na may denotasyong R3.

• Ang produkto ng n set ng mga tunay na numero ay tinutukoy ng Rn. Kinakatawan ng set na ito ang lahat ng posibleng koleksyon (xj, X2, xn) ng n tunay na numero X2) xn £ R, at anumang punto x* mula sa Rn ay isang koleksyon (xj, x, x*) ng mga tunay na numero xn £ K*
• Ang produkto ng n arbitrary set ay isang set ng mga nakaayos na koleksyon ng n (pangkalahatang heterogenous) na mga elemento. Para sa mga ganitong set, ginagamit ang mga pangalang tuple o n-ka (binibigkas na “enka”). Halimbawa 2.3. Hayaan ang A = (1, 2) at B = (1, 2). Pagkatapos ay makikilala ang set A x B sa apat na punto ng eroplano R2, ang mga coordinate na kung saan ay ipinahiwatig kapag naglilista ng mga elemento ng set na ito. Kung C = ( 1,2) at D = (3,4), pagkatapos Halimbawa 2.4 Let Then Ang geometric na interpretasyon ng mga set E Ang x F at F x E ay ipinakita sa Fig. 2.8 # Para sa pagmamapa /: X, maaari tayong lumikha ng isang set ng mga nakaayos na pares (r, y), na isang subset ng direktang produkto X x Y.
• Ang nasabing set ay tinatawag na graph ng mapping f (o ang graph ng function na i*" - Halimbawa 2.5. Sa kaso ng XCR at Y = K, ang bawat order na pares ay tumutukoy sa mga coordinate ng isang punto sa plane R2. Kung Ang X ay isang interval ng number line R, kung gayon ang graph ng function ay maaaring kumatawan sa ilang linya (Fig. 2.9) Halimbawa 2.6 Malinaw na sa XCR2 at Y = R ang graph ng function ay isang tiyak na hanay ng mga puntos sa R3 , na maaaring kumatawan sa isang tiyak na ibabaw (Larawan 2.10).

Kung X C R, at Y = R2, kung gayon ang graph ng function ay isang set din ng mga puntos sa R3, na maaaring kumatawan sa isang tiyak na linya na intersected ng plane x = const sa isang punto M lang na may tatlong coordinate x) yi, y2 ( Larawan 2.11). # Ang lahat ng nabanggit na halimbawa ng mga function graph ay ang pinakamahalagang bagay ng mathematical analysis, at sa hinaharap ay tatalakayin ang mga ito nang detalyado.

Isaalang-alang natin ang isa pang mahalagang espesyal na kaso ng pangkalahatang konsepto ng pagsusulatan - pagmamapa ng mga hanay. Kung sumusunod R sa pagitan ng mga hanay X At Y larawan ng elemento AX maaaring walang laman, o maaaring naglalaman ng ilang elemento.

Relasyon sa pagitan ng mga elemento ng set X At Y tinawag display X VY , kung ang bawat elemento X mula sa marami X isang elemento lamang ng set ang tumutugma Y. Ang elementong ito ay tinatawag larawan ng elementoX gamit ang display na ito: f(x). Sa isang graph ng naturang pagmamapa mula sa bawat punto ng set X Isang arrow lang ang lalabas (Fig. 29).

Isaalang-alang ang sumusunod na halimbawa . Hayaan X- maraming mga mag-aaral sa madla, at Y- maraming upuan sa parehong auditorium. Itugma ang "mag-aaral" X nakaupo sa isang upuan sa» set display X VY. Larawan ng mag-aaral X ay isang upuan.

Hayaan X = Y = N- isang hanay ng mga natural na numero. Tumutugma sa "decimal notation ng isang numero" X binubuo sa digits" ay tumutukoy sa display N V N. Sa display na ito, ang numero 39 ay tumutugma sa numero 2, at ang numero 45981 ay tumutugma sa numero 5 (39 ay isang dalawang-digit na numero, 45981 ay isang limang-digit na numero).

Hayaan X- maraming quadrilaterals, Y- maraming bilog. Katugmang "quadrangle" X nakasulat sa isang bilog sa» ay hindi isang display X V Y, dahil may mga quadrilateral na hindi maaaring isulat sa isang bilog. Ngunit sa kasong ito sinasabi nila na ang resulta ay isang pagmamapa mula sa set X sa karamihan Y.

Kung ipapakita X V Y na ang bawat elemento y mula sa marami
Y tumutugma sa isa o higit pang elemento X mula sa marami X, pagkatapos ay tinatawag ang gayong pagmamapa pagpapakita ng set X para sa maramiY.

Isang grupo ng X ay tinatawag na domain ng kahulugan ng pagmamapa f: XY, at marami Y- ang rehiyon ng pagdating ng pagmamapa na ito. Bahagi ng lugar ng pagdating na binubuo ng lahat ng mga larawan y mula sa marami Y, tinatawag na mapping value set f.

Kung y=f(x), tapos x ang tawag prototype ng elemento y kapag ipinakita f. Ang set ng lahat ng preimages ng isang elemento sa tinatawag nila itong isang kumpletong prototype: f(y).

Ang mga display ay sa mga sumusunod na uri: injective, surjective at bijective.

Kung ang kumpletong prototype ng bawat elemento yY naglalaman ng hindi hihigit sa isang elemento (maaaring walang laman), pagkatapos ay tinatawag ang mga naturang pagmamapa injektif.

Nagpapakita XY ganyan f(X)=Y, ay tinatawag na mappings X para sa buong karamihan Y o surjective(mula sa bawat punto ng set X isang arrow ang lalabas, at pagkatapos magpalit ng direksyon sa bawat punto ng set X nagtatapos) (Larawan 31).

Kung ang isang pagmamapa ay injective at surjective, kung gayon ito ay tinatawag na one-to-one o bijective.

Itakda ang display X ay tinatawag na set bijective, kung ang bawat elemento XX tumutugma sa isang elemento yY, at bawat elemento yY tumutugma lamang sa isang elemento XX(Larawan 32) .

Ang mga bijective mapping ay bumubuo ng mga pantay na hanay : X~Y.

Halimbawa . Hayaan- X maraming coats sa wardrobe, Y- maraming kawit doon. Itugma natin ang bawat amerikana sa kawit kung saan ito nakasabit. Ang sulat na ito ay isang pagmamapa X saY. Ito ay injective kung walang hook na may higit sa isang coat na nakasabit dito o ang ilang hook ay libre. Ang pagmamapa na ito ay surjective kung ang lahat ng mga kawit ay okupado o ang ilan ay may ilang coat na nakasabit sa kanila. Ito ay magiging bijective kung mayroon lamang isang amerikana na nakasabit sa bawat kawit.

Ang isang mahalagang papel sa matematika ay nilalaro sa pamamagitan ng pagtatatag ng mga koneksyon sa pagitan ng dalawang set at nauugnay sa pagsasaalang-alang ng mga pares ng mga bagay na nabuo mula sa mga elemento ng unang set at ang mga kaukulang elemento ng pangalawang set. Ang pagmamapa ng mga set ay partikular na kahalagahan.

Hayaan ang mga arbitrary na hanay. Pagpapakita set X upang itakda Y bawat tuntunin ay tinatawag f, ayon sa kung saan ang bawat elemento ng set ay nauugnay sa isang ganap na tiyak (solong) elemento ng set.

Ang katotohanan na f mayroong isang pagmamapa, maikling nakasulat sa form: .

Ginagamit din ang pagtatalaga. Kadalasan, ang mga display ay tinutukoy ng mga titik f, q, F.

Kaya, upang itakda ang pagpapakita ng set X sa isang set, ang bawat elemento ay dapat na nauugnay sa isa at isang elemento lamang.

Kung ang elemento X mula sa X katugmang elemento mula sa Y, tapos tumawag sila mga elemento ng paraan , A X – prototype ng elemento kapag ipinakita, na nakasulat bilang .

Mula sa kahulugan ng isang pagmamapa ay sumusunod na ang bawat elemento mula sa X ang imahe ay natatangi, ngunit para sa isang elemento ay maaaring maraming mga prototype, o maaaring wala man lang. Ang set ng lahat ng preimages ng isang elemento ay tinatawag na its isang kumpletong prototype at tinutukoy ng . Kaya, .

Ang larawan ng isang subset ng A at ang kabaligtaran na imahe ng isang subset ng SA kapag ipinakita:

Halimbawa, hayaan at maging isang pagmamapa A V A, tumutugma sa bawat elemento A mula sa A natitira sa dibisyon A sa pamamagitan ng numero 4. Pagkatapos ay mayroon kaming:

Depende sa mga katangian, larawan at prototype, ang mga pagmamapa ay nakikilala: surjective, injective at bijective.

Ang pagmamapa ay tinatawag surjective , kung ang mga iyon. bawat elemento mula ay nagpapakita ng hindi bababa sa isang elemento mula sa X, o para sa alinmang .

Ang pagmamapa ay tinatawag injektif , kung magkaibang elemento ng set X ay nakamapa sa iba't ibang elemento ng set i.e. , o maaaring walang laman o isang solong set para sa alinmang . Ang mga injective mapping ay tinatawag din pamumuhunan .

Ang pagmamapa ay tinatawag bijective , o isa sa isa isang pagmamapa sa kung ito ay surjective at injective, i.e. kung mayroong isang singleton set para sa anumang . Sa kasong ito, maaari naming tukuyin ang mga pagmamapa sa pamamagitan ng paglalagay ng anumang: . Ang tawag dito reverse k at tinutukoy bilang .

Ilarawan natin ang mga uri ng pagmamapa para sa kalinawan.

Surjective Ijective Bijective

Larawan 12

Itakda ang display A tinawag sa sarili pagbabago ng set A. Bijective set transformation A tinawag itakda ang pagpapalit A.

Ang isang halimbawa ng pagpapalit ng isang hanay ng mga integer ay ang pagmamapa na tinukoy ng pagkakapantay-pantay.

Tandaan din na ang pagmamapa ng set A V SA tinatawag din function , tinukoy sa set A na may mga halaga sa set SA. Sa kasong ito, ang elemento ay tinatawag ibig sabihin mga function punto A. Ang karamihan mismo A tinawag rehiyon mga kahulugan function, at ang set ay ang hanay ng mga halaga ng function.

Ang isang function ay madalas na itinuturing bilang isang variable na kumukuha ng mga halaga mula sa SA at kaya depende sa variable X, pagkuha ng mga halaga mula sa A, na sa bawat halaga A variable na laki X tumutugma sa isang napaka-tiyak na halaga ng . Kasabay nito, nagsusulat sila at sa halip na "function" ay sinasabi nilang "function".

Isaalang-alang natin ang iba't ibang mga pagmamapa at tukuyin ang kanilang mga uri.

1) Hayaan X– isang hanay ng mga bilog sa isang eroplano. Sa pamamagitan ng pag-uugnay ng bawat bilog sa gitna nito, nakukuha natin ang pagmamapa X sa . Ang pagmamapa na ito ay hindi injective, dahil ang parehong punto ay maaaring maging sentro ng isang walang katapusang bilang ng mga bilog. Ngunit ito ay surjective, dahil ang anumang punto ay ang sentro ng ilang bilog. Samakatuwid, ang kabaligtaran na pagsusulatan ay tinukoy sa lahat ng dako, surjective, ngunit hindi gumagana.

2) Ang sulat ay isang numerical function na tinukoy sa buong hanay ng mga tunay na numero. Ang hanay ng mga halaga ng pagpapaandar na ito ay isang hanay ng mga di-negatibong numero. Dahil ang , ang function ay hindi surjective. Hindi ito injective, dahil . Samakatuwid, wala itong kabaligtaran na pag-andar.

3) Ang pagma-map ay surjective at injective: para sa alinman ay may isa at isang bilang lamang na . Ang numerong ito ay .

4) Ang pagmamapa ( - ang hanay ng mga di-negatibong numero) ng isang set sa sarili nito ay tinukoy sa lahat ng dako, injective, ngunit hindi surjective. Sa katunayan, para sa fraction , ito ay nasiyahan.

Samakatuwid, ang hanay ng mga halaga ng pagpapaandar na ito ay ang agwat. Ang inverse function ay tinukoy sa pagitan na ito at kumukuha ng mga hindi negatibong halaga.

5) Ang pagmamapa na tinukoy ng panuntunan ay isang injective mapping. Hindi ito bijective dahil . Gayunpaman, kung tutukuyin natin ang pagmamapa sa parehong paraan, makakakuha tayo ng bijective mapping. . ; mula sa surjectivity lamang surjectivity ang sumusunod, at mula sa injectivity ay sumusunod lamang sa injectivity.

3. Kung at itinakda ang mga pagbabago A, kung gayon ang kanilang komposisyon ay isang pagbabagong-anyo din ng set A.

Panimula sa set theory at combinatorics

Praktikal na gawain Blg. 8. Mappings. Mga uri ng display

Mga tanong para sa trabaho

1. Ano ang "set-to-set mapping"?
2. Ano ang isang "imahe", ano ang isang "prototype" sa pagmamapa na ito?
3. Ano ang puno f - larawan, kung ano ang kumpleto f - prototype, kapag ipinakita f?
4. Pangalanan ang mga uri ng pagmamapa, ibigay ang kanilang mga kahulugan at magbigay ng mga halimbawa.
5. Aling dalawang set ang sinasabing katumbas? Magbigay ng halimbawa.
6. Aling set ang tinatawag na countable? Magbigay ng halimbawa.

Mga halimbawa ng mga solusyon sa gawain

Halimbawa 1. Hayaan ang A = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} N at B =(0; 1) Z Itugma natin ang bawat numero x A ang natitira kapag hinati sa 2.

Ito ba ay tumutugma sa isang pagmamapa? Anong uri ang display na ito? Aling elemento ang larawan ng elemento 6, 7? Hanapin natin ang kumpletong kabaligtaran na imahe ng elemento 1.

Solusyon. Katawanin natin ang ibinigay na sulat gamit ang isang graph:

Nakikita natin na:

1) bawat elemento ng set A , ay ang panimulang punto;

2) para sa bawat punto ng pinagmulan, mayroon lamang isang punto ng pagdating. (Ito ay nangangahulugan na ang ipinahiwatig na sulat ay isang pagmamapa ng set A upang itakda ang B);

3) Ang bawat elemento ng set SA ay ang punto ng pagdating. (Kaya ito ay isang pagmamapa "sa").

Dahil marami SA mayroong isang elemento (halimbawa, 0) kung saan walang elemento ang prototype A , kung gayon ang pagmamapa na ito ay hindi isa-sa-isa.

Ang imahe ng numero 6 ay ang numero 0 SA , ang larawan ng numero 7 ay ang numero 1 SA . Buong prototype ng numero 1 SA mayroong isang hanay ng mga numero (1; 3; 5; 7; 9) A .

Halimbawa 2. Hayaan ang X hanay ng mga tatsulok ng eroplano, Y = R. Pumili tayo ng isang yunit ng pagsukat para sa mga haba at magtalaga ng isang numero sa bawat tatsulok - ang perimeter ng tatsulok na ito. Magiging pagmamapa ba ang laban na ito? Anong uri ang ibinigay na display? Ano ang kumpletong prototype ng numero sa R?

Solusyon. Ang bawat tatsulok sa isang eroplano ay may natatanging tinukoy na perimeter. Samakatuwid, ang bawat tatsulok mula sa set X tumutugma sa isang numero mula sa R , ibig sabihin, ang sulat na ito ay isang pagmamapa X hanggang R . Sa kasong ito, ang dalawang magkaibang tatsulok ay maaaring magkaroon ng parehong perimeter. Sa madaling salita, ang pagmamapa ay hindi one-to-one. Bilang karagdagan, walang tatsulok na ang perimeter ay katumbas ng isang negatibong numero, i.e. ang pagmamapa ay hindi isang "to" na pagmamapa. Hayaan sa R. Pagkatapos:

1. sa > 0, ang kumpletong imahe ay ang hanay ng lahat ng mga tatsulok sa eroplano na ang perimeter ay katumbas ng numero sa , ang set na ito ay walang katapusan.
2. sa ≤ 0, ang kumpletong larawan ay isang walang laman na hanay.

Halimbawa 3. X = (0; 1; 2; 3; 4) N, Y = Z. Pagma-map sa f ng set X sa set Y ibinigay tulad ng sumusunod:

Tukuyin natin ang uri ng pagmamapa na ito at buuin ang graph nito.

Solusyon. Para sa bawat isa x X hanapin natin ang larawan y Y. Isinulat namin ang kaukulang mga resulta sa talahanayan:

y=f(x)	–2

Maramihang mga halaga ng pagpapakita f ay isang set

A = (–2; 1; 4; 7; 10) Y at B ≠ Y . Bawat elemento y B sa X mayroon lamang isang prototype. Samakatuwid, mayroon kaming isa-sa-isang pagmamapa ng set X upang itakda ang Y.

Mga pares ng halaga (x; y ) mula sa talahanayan ay bumubuo ng isang graph ng pagmamapa na ito f: X→Y . Sa isang rectangular coordinate system, ang graph na ito ay mukhang:

Halimbawa 4. Ibinigay ang dalawang hanay ng mga salita: X = (pula; asul; berde; dilaw) at Y = (tali; ilaw; scarf; sheet). Katumbas ba ang mga set na ito?

Solusyon. Ang mga set na ito ay katumbas, dahil para sa kanila posible na magtatag ng one-to-one mapping "to".

Halimbawa:

Halimbawa 5. Mga ibinigay na set: A = ( x | x = 2 n , n N ) at

B = ( x | x = , n N ). Katumbas ba ang mga set na ito?

Solusyon. Ang mga set na ito ay katumbas, dahil posibleng pumili ng one-to-one na pagmamapa ng set A sa set B.

Halimbawa: f: A B

x = 2 n y = .

Mga ehersisyo

1. Sa pagitan ng hanay ng mga pangalan X = (Andrey; Boris; Mikhail; Alexey; Konstantin; Vasily; Valentina; Clara; Semyon; Maria; Sophia; Oleg; Trofim4 Yuri; Yakov) at isang set Y (mga titik ng alpabetong Ruso) isang sulat ay naitatag kung saan ang bawat pangalan ay nauugnay sa unang titik nito. Ipapakita ba ang tugmang ito X hanggang Y ? Kung oo, anong uri? Hanapin ang larawan ng set X . Maghanap ng mga kumpletong prototype ng mga titik A, B, K, L. Bumuo ng isang graph ng ipinahiwatig na sulat.

2. Bawat punto M ng segment AB itugma natin ang projection nito M sa linyang ito L . Magiging pagmamapa ba ang laban na ito? Alin? Ilarawan ang domain ng kahulugan, ang hanay ng mga halaga ng pagmamapa na ito.

3. Itakda ang X binubuo ng lahat ng mga parisukat sa eroplano, at ang set Y mula sa lahat ng bilog sa parehong eroplano. Iugnay natin ang bawat parisukat sa isang bilog na nakasulat dito. Ito ba ay pagmamapa ng pagmamapa X hanggang Y?

4. Posible bang itakda ang display tulad ng sumusunod: itakda At mula sa mga segment, sa Y - mula sa mga tatsulok; nauugnay ba ang bawat segment sa isang tatsulok kung saan ang segment na ito ang midline?

5. Totoo bang ang pagsunod f: Z Z

X y = –5 x + 2

may mapping ba "to"?

6. Hayaan ang X – hanay ng mga tunay na numero. Bawat numero x X Pagtugmain natin ang parisukat nito. Matatawag bang reversible mapping ang sulat na ito?

7. Ipakita na ang mga sumusunod na hanay ay mabibilang:

a) ang hanay ng mga kakaibang natural na numero;

b) ang hanay ng mga di-negatibong integer;

c) ang hanay ng mga parisukat ng mga natural na numero;

d) ang set ng mga natural na numero na multiple ng 5;

e) ang hanay ng mga cube ng mga natural na numero.

8. Dalawang set ang ibinigay: A = (Paris; Moscow; Warsaw; Krakow; London; Saransk; Vladimir; Marseille) at B = (France; Russia; England; Poland; Sweden; Austria). Itakda natin ang pagsusulatan sa pagitan nila: “lungsod x A matatagpuan sa bansa" Bumuo tayo ng mga graph ng sulat na ito. Magiging pagmamapa ba ang laban na ito? Anong uri?

9. Ang mga set A ba ay katumbas ng mga larawan ng mga pamayanan sa mapa at set B mga populated na lugar ng lugar na ipinapakita sa mapa?

Indibidwal na gawain

1. Pumili ng isang display mula sa tinukoy na mga tugma. Ipahiwatig ang kanilang uri, bumuo ng isang graph.

2. Gumuhit ng mga graph ng mga sumusunod na relasyon sa isang rectangular Cartesian coordinate system Z . Para sa bawat kaugnayan, alamin kung ito ay isang pagmamapa Z hanggang Z, pagmamapa ng Z hanggang Z , isa-sa-isang pagmamapa, overlay:

1) x + y = 3; 7) sa< х + 2;

2) x – y ≤ 5; 8) y ≤ x + 2;

3) x + y = 4, x > 0; 9) y = 4;

4) x = y, – 4 ≤ x ≤ 6; 10) xy = 24, –6 ≤ x ≤ 6.

5) = y, – 4 ≤ x ≤ 6;

6) x > y ;

Mga gawain sa pagpipigil sa sarili

Pagsamahin ang mga sumusunod na pares ng mga set na may "=" sign kung sila ay pantay at isang "~" sign kung sila ay katumbas:

1) A - ang hanay ng mga gilid ng isang tatsulok,

SA - hanay ng mga anggulo ng isang tatsulok;

2) A - maraming mga titik sa salitang "tainga",

B = (o; k; s; l);

3) A – maraming singsing sa tuod ng puno,

SA – maraming taon na nabuhay sa tabi ng puno;

4) maraming kontinente sa Earth at maraming estado

Pagpapakita - isa sa mga pangunahing konsepto ng matematika. Ang pagmamapa ay anumang tuntunin o batas ng pagsusulatan sa pagitan ng mga hanay. Hayaan at maging di-makatwirang mga hanay na hindi walang laman. Sinasabi nila na ang pagmamapa ng isang set sa isang set ay ibinibigay (notation: o) kung ang bawat elemento ng set (ay itinalaga ng isang sulat sa isang solong, natatanging tinukoy na elemento ng set (.

Ang elemento ay tinatawag paraan elemento kapag ipinakita, at ang elemento ay tinatawag prototype elemento sa display na ito. Ang larawan ng isang hanay ng mga elemento kapag ipinakita ay ang hanay ng lahat ng elemento ng uri na kabilang sa hanay ng mga halaga. Ang hanay ng lahat ng mga elemento (), ang mga imahe na bumubuo sa hanay ng mga halaga ay tinatawag prototype hanay ng mga elemento (). Tinatawag ang set domain ng kahulugan display.

Ang pagmamapa ay tinatawag surjective m , kapag ang bawat elemento ng set (ay may kahit isang kabaligtaran na larawan ng set (, ibig sabihin, o.

Ang pagmamapa ay tinatawag injektif, kapag ang bawat elemento ng set (ay ang imahe ng isang elemento lamang ng set (, ibig sabihin, magkaiba ang mga larawan ng alinmang dalawang magkaibang elemento ng set, ibig sabihin, sumusunod ito.

Ang pagmamapa ay tinatawag bijective o isa sa isa, kapag ito ay parehong injective at surjective, i.e. Ang bawat elemento ng set ay ang imahe ng isa at isang elemento lamang ng set.

Pagkakapantay-pantay dalawang pagmamapa at paraan sa pamamagitan ng kahulugan na ang kanilang mga kaukulang lugar ay nag-tutugma (at), at.

Trabaho dalawang pagmamapa at maaaring tukuyin bilang isang pagmamapa na nag-uugnay sa bawat elemento ng set sa isang elemento ng set.

Ang pagmamapa mula sa isang set hanggang sa isang set ay tinatawag na function sa isang set na may mga value sa set. Kung ang mga set ay nag-tutugma, kung gayon ang bijective mapping ng set papunta sa sarili nito ay tinatawag pagbabagong-anyo maraming tao. Ang pinakasimpleng set na pagbabago ay magkapareho- ay tinukoy bilang mga sumusunod: . Tinatawag din ang isang pagmamapa ng pagkakakilanlan na kumukuha ng bawat elemento sa sarili nito walang asawa pagbabagong-anyo. Kung ang mga pagbabago ay ibinigay, kung gayon ang pagbabagong nagreresulta mula sa sunud-sunod na pagsasagawa ng una ay ang pagbabago at pagkatapos ay ang pagbabago ay tinatawag trabaho mga pagbabagong-anyo At: .

Para sa mga pagbabagong-anyo ng parehong hanay, ang mga sumusunod na batas ay nalalapat:

Ang commutative na batas para sa pagsasagawa ng mga pagbabago ay hindi nasiyahan sa pangkalahatang kaso, i.e. .

Kung sa pagitan ng dalawang set ay maaari nating itakda bijective pagmamapa (upang magtatag ng isa-sa-isang pagsusulatan sa pagitan ng kanilang mga elemento), pagkatapos ay tinatawag ang mga naturang set katumbas o parehong makapangyarihan. Ang mga finite set ay katumbas lamang kung ang bilang ng kanilang mga elemento ay pareho.

Ang mga infinite set ay maaari ding ikumpara sa isa't isa.

Ang dalawang set ay may parehong cardinality o tinatawag na katumbas (notation) kung ang isang one-to-one na pagsusulatan ay maaaring maitatag sa pagitan ng kanilang mga elemento, i.e. kung posible na tukuyin ang ilang tuntunin ayon sa kung saan ang bawat elemento ng isa sa mga set ay nauugnay sa isa at isang elemento lamang ng kabilang set.

Kung imposible ang gayong pagmamapa, kung gayon ang mga hanay ay may iba't ibang mga kardinal; lumalabas na sa huling kaso, kahit paano natin subukang dalhin ang mga elemento ng parehong set sa sulat, palaging may mga karagdagang elemento na natitira at, bukod dito, palaging mula sa parehong hanay, kung saan ang isang mas mataas na halaga ng cardinal number ay nakatalaga o sinasabi nila na ang set na ito ay may higit na kapangyarihan. Ang isang infinite set at ilang subset nito ay maaaring katumbas. Ang isang set na katumbas ng set ng mga natural na numero ay tinatawag na countable set. Upang mabilang ang isang set, kinakailangan at sapat na ang bawat elemento ng set ay maiugnay sa ordinal na numero nito. Mula sa anumang walang katapusang hanay, posibleng pumili ng mabibilang na subset. Ang bawat subset ng isang mabibilang na hanay ay mabibilang o may hangganan. Ang countable set ay ang pinaka-primitively organized infinite set. Ang produkto ng Cartesian ng dalawang mabibilang na hanay ay mabibilang. Ang unyon ng isang may hangganan o walang katapusang bilang ng mga may hangganan o mabibilang na hanay ay isang may hangganan o mabibilang na hanay.