Dahil para sa anumang hanay ng mga variable na halaga mula sa domain ng kahulugan ng predicate ito ay nagiging isang pahayag, ang parehong mga lohikal na operasyon ay tinukoy sa hanay ng mga predicates tulad ng para sa mga pahayag. Kasabay nito, ang nilalaman ng mga panaguri ay nakuha. Ang mga panaguri ay isinasaalang-alang lamang sa mga tuntunin ng kanilang kahulugan. Sa madaling salita, ang mga katumbas na panaguri ay hindi nagkakaiba.

Kahulugan 1: Sa pamamagitan ng pagtanggi - lokal na panaguri
, tinukoy sa set
, tinatawag na bago - lokal na panaguri na tinukoy sa parehong set. Ipinahiwatig ng:
. May nakasulat na: “hindi totoo yan
" panaguri
sinusuri sa true lamang para sa mga argumento kung saan ang halaga ng panaguri
mayroong "kasinungalingan" at kabaliktaran. Sa madaling salita, ang panaguri
nasiyahan sa pamamagitan ng mga at tanging mga argumento na hindi nakakatugon sa ibinigay na panaguri
.

Dobleng panaguri
sinusuri sa true para sa mga iyon at sa mga variable na halaga lamang
mula sa domain ng kahulugan ng panaguri, kung saan ang panaguri
kinukuha ang halagang "false", ibig sabihin.

Depinisyon 2: Sa pamamagitan ng conjunction - lokal na panaguri
, tinukoy sa set
, At
- lokal na panaguri
, tinukoy sa set
, tinatawag na bago
- lokal na panaguri na tinukoy sa isang set
, tinutukoy ng May nakasulat na: "
At
" Ang panaguri na ito ay nagsusuri sa true lamang para sa mga halaga ng argumento kung saan ang mga panaguri
At
sabay-sabay na kunin ang halagang "totoo".

Kung, halimbawa,
- isang dalawang-lugar na panaguri na tinukoy sa isang set
, A
- isang unary predicate na tinukoy sa isang set , pagkatapos ay ang pang-ugnay ng mga panaguri na ito
may tatlong-lugar na panaguri na tinukoy sa set
. Ang bagong predicate na ito ay nagsusuri sa true para sa mga triple ng mga elemento
,
,
,
, para sa
At
.

Ang disjunction, implication at equivalence ng mga panaguri ay pareho ang kahulugan. Ang mga halaga ng mga predicate para sa mga ibinigay na halaga ng mga libreng variable ay tinutukoy alinsunod sa mga tiyak na lohikal na operasyon. Mga operasyon
maaari ding ilapat sa mga panaguri na may mga karaniwang baryabol. Sa kasong ito, ang bilang ng mga variable ng resultang compound predicate ay magiging katumbas ng bilang ng iba't ibang variable sa mga miyembro nito. Sa partikular, kung ang mga operasyon
ilapat sa dalawa - mga lokal na predicate depende sa parehong mga variable, pagkatapos ay bilang isang resulta ng paglalapat ng mga lohikal na operasyon na nakukuha namin - isang lokal na panaguri depende sa parehong mga variable.

Hayaan
At
- dalawa - mga lokal na panaguri depende sa parehong mga variable. Pagkatapos:

a) ang truth set ng isang conjunction ay katumbas ng intersection ng truth set ng mga miyembro nito;

b) ang truth set ng isang disjunction ay katumbas ng unyon ng truth set ng mga miyembro nito.

Hindi mahirap ipakita na ang pagsasama ng dalawang panaguri ay magkaparehong totoo kung at kung ang parehong ibinigay na panaguri ay magkaparehong totoo. Ang disjunction ng dalawang panaguri ay kasiya-siya kung at kung hindi bababa sa isa sa mga ito ay kasiya-siya. Ang disjunction ng dalawang panaguri ay magkaparehong mali kung at kung ang parehong ibinigay na panaguri ay magkaparehong mali. Implikasyon ng dalawa - mga lokal na panaguri depende sa parehong mga argumento, ay magkaparehong totoo kung at kung ang konklusyon nito ay bunga ng premises. Pagtutumbas ng dalawa - ang mga lokal na panaguri depende sa parehong mga variable ay magkaparehong totoo kung at kung ang parehong mga panaguri ay katumbas.

Ang anumang equation (hindi pagkakapantay-pantay) na naglalaman ng mga variable ay isang panaguri na tinukoy sa parehong hanay kung saan ibinigay ang equation (hindi pagkakapantay-pantay). Ang hanay ng mga solusyon sa isang equation (hindi pagkakapantay-pantay) ay hindi hihigit sa hanay ng katotohanan ng panaguri. Nangangahulugan ito na kapag pinapalitan ang mga ugat ng isang equation (o mga solusyon sa isang hindi pagkakapantay-pantay) sa halip na mga hindi alam, ang mga totoong pahayag ay makukuha. Kung, sa halip na mga variable, ang mga numero na hindi mga solusyon ay pinapalitan sa equation (hindi pagkakapantay-pantay), kung gayon ang mga maling pahayag ay makukuha. Anumang sistema ng mga equation (hindi pagkakapantay-pantay) ay maaaring ituring bilang isang conjunction ng mga panaguri. Ang paglutas ng isang sistema ay nangangahulugan ng paghahanap ng domain ng katotohanan ng pag-uugnay ng mga panaguri. Ang isang hanay ng mga equation (hindi pagkakapantay-pantay) ay hindi hihigit sa isang disjunction ng mga panaguri. Ang katumbas ng mga equation (hindi pagkakapantay-pantay) ay nangangahulugang ang katumbas ng mga katumbas na panaguri.

Kung
, pagkatapos ay sinasabi nila na ang argumento
natutugunan ang panaguri na ito. Halimbawa, ang bilang 3 ay nakakatugon sa panaguri
, at ang numero 1 ay hindi nagbibigay-kasiyahan sa kanya.

Sa lohika ng matematika, bilang karagdagan sa mga lohikal na operasyon sa mga predicates, mayroong mga operasyon quantification , na nagpapayaman sa nilalaman ng predicate logic kumpara sa propositional logic. Sa kasong ito, tulad ng sa kaso ng pinakasimpleng operasyon, ang mga predicate ay isinasaalang-alang lamang mula sa punto ng view ng kanilang mga kahulugan, i.e. ang mga katumbas na panaguri ay hindi nagkakaiba. Ang mga pangunahing pagpapatakbo ng quantifier ay: ang pangkalahatang quantifier at ang existence quantifier, na dalawahan sa isa't isa.

Kahulugan 3: Hayaan
- isang unary predicate na tinukoy sa isang non-empty set

sa isang pahayag:
(nagbabasa: "para sa sinuman gumanap
"), tinawag pangkalahatang quantifier (o isang pangkalahatang pahayag). Pahayag
totoo kung at kung ang ibinigay na panaguri
identically true (i.e., ang domain ng katotohanan ng panaguri
sumasabay sa set
).

Simbolo ay tinatawag na pangkalahatang quantifier na may kinalaman sa isang variable , ganito ang nakasulat: “para sa lahat " o "para sa lahat " Sinasabi nila na ang kasabihan
ay ang resulta ng paglalapat ng pangkalahatang quantifier sa isang panaguri
. Simbolo ay mula sa salitang Ingles na "All" (isinalin: "all").

Halimbawa, para sa mga panaguri "
"At"
", na tinukoy sa hanay ng mga tunay na numero, ang kaukulang unibersal na mga pahayag ay magkakaroon ng anyo:
– “bawat tunay na numero ay katumbas ng sarili nito” (totoo) at
– “bawat tunay na numero ay mas malaki sa 2” (false).

Teorama 1: Kung
- isang isang lugar na panaguri na tinukoy sa isang may hangganan na set na binubuo ng
mga elemento ,,…,, kung gayon ang katumbas na unibersal na pahayag ay katumbas ng pang-ugnay
mga kasabihan:

Patunay. Sa katunayan, ayon sa kahulugan ng pangkalahatang quantifier, ang pahayag

identically true, i.e. kapag totoo ang lahat
mga pahayag na nakuha mula sa isang ibinigay na panaguri sa pamamagitan ng pagpapalit ng baryabol mga argumento ,,…,ayon sa pagkakabanggit. Ang huling pangungusap ay posible kung at kung ang pagsasama ng mga ito
mga pahayag. Yung. ang mga tuntunin ng katumbas ay parehong totoo o mali, at samakatuwid ang pagkakapareho ay napatunayan.

Ang teorama ay nagpapakita na para sa mga panaguri na tinukoy sa isang may hangganang set, ang operasyon ng paglalapat ng isang pangkalahatang quantifier ay maaaring ipahayag sa pamamagitan ng isang conjunction. Para sa mga predicate na tinukoy sa isang walang katapusang set, hindi ito magagawa; sa kasong ito, ang operasyon ng paglalapat ng pangkalahatang quantifier ay ganap na bago.

Kahulugan 4: Hayaan
- isang unary predicate na tinukoy sa isang set
. Operasyon na nagbabago ng isang panaguri
sa isang pahayag
(nagbabasa: "meron , nagbibigay-kasiyahan sa panaguri
"), tinawag quantifier ng pagkakaroon (o isang umiiral na pahayag). Pahayag
magiging totoo kung at kung ang panaguri lamang
maipapatupad. Magiging mali ang pahayag na ito kung ang panaguri
kaparehong mali.

Simbolo ay tinatawag na isang existential quantifier na may kinalaman sa isang variable . Mababasa ito: “meron ganyan
", o "magkakaroon ng ganyan , Ano
" Simbolo nanggaling sa salitang Ingles na "Exist" (exists).

Teorama 2: Kung
– isang isang lugar na panaguri na tinukoy sa isang may hangganan na hanay ng
mga elemento ,,…,, kung gayon ang katumbas na existential statement ay katumbas ng disjunction
mga kasabihan:

Patunay: Kahulugan: pahayag
magiging mali kung at kung ang lahat ay mali
mga pahayag na nakukuha mula sa isang naibigay na panaguri sa pamamagitan ng pagpapalit ng isang variable mga argumento ,,…,ayon sa pagkakabanggit. Ang huling pangungusap ay posible kung at kung ang disjunction ng mga ito
mga pahayag. Yung. ang mga tuntunin ng isang katumbas ay parehong totoo at mali, samakatuwid ang katumbas ay totoo.

Ang teorem na ito ay nagsasaad na para sa mga panaguri na tinukoy sa mga hanay na may hangganan, ang operasyon ng paglalapat ng isang existential quantifier ay maaaring ipahayag sa mga tuntunin ng disjunction. Para sa mga panaguri na tinukoy sa mga infinite set, hindi ito magagawa. Ang operasyon ng paglalapat ng existential quantifier ay ganap na bago.

Dapat tandaan na para sa anumang panaguri
, tinukoy sa set
mga ekspresyon
At
Ito ay mga pahayag, hindi mga panaguri. Pagkakaroon ng variable dito ay puro panlabas, na may kaugnayan sa paraan ng notasyon. Samakatuwid ang variable , kasama sa mga expression
At
, tinawag nauugnay na variable, taliwas sa baryabol na kasama sa panaguri
, kung saan tinatawag ang variable libre. Kung ilalapat natin ang operasyon ng "nakabitin" na mga quantifier sa isang predicate na may dalawang lugar
sa pamamagitan ng ilang baryabol, pagkatapos bilang resulta ang panaguri ng dalawang lugar ay magiging isang panaguri na may isang lugar na may isang malayang baryabol. Ang katulad na pangangatwiran ay maaaring isagawa para sa pangalawang baryabol. Ang variable kung saan inilapat ang quantifier ay tinatawag pag-uugnayan variable. Kung ilalapat natin ang pagpapatakbo ng quantifier sa - isang lokal na panaguri na may paggalang sa ilang variable, pagkatapos ito ay magiging
- lokal na panaguri.

Kung sa anumang panaguri ay magkakaugnay ang lahat ng mga variable, kung gayon ang panaguri na ito ay isang pahayag. Halimbawa, isaalang-alang ang panaguri
, tinukoy sa ilang set ng numero. Gumawa tayo ng pahayag
. Ito ay isang maling pahayag na nagsasaad na mayroong ganoong numero , na mas malaki kaysa sa anumang numero (- iisang numero para sa lahat ). Sa pamamagitan ng pagpapalit ng mga quantifier, nakakakuha kami ng bagong pahayag:
. Ang pahayag na ito ay nagsasaad na para sa anumang numero maaari kang pumili ng isang numero tulad nito , na pinanghahawakan ng hindi pagkakapantay-pantay
(para sa bawat isa may numero ). Ang pahayag na ito ay totoo. Makikita na kapag muling inayos ang mga quantifier, nagbabago ang kahulugan ng pahayag. kaya, Ang muling pagsasaayos na hindi katulad ng mga quantifier ay isang hindi katanggap-tanggap na operasyon. Ang mga quantifier ng parehong pangalan ay maaaring palitan. Bukod dito, ang mga quantifier ng parehong pangalan ay maaaring pagsamahin sa isa, halimbawa: . Hindi rin katanggap-tanggap na gumamit ng ilang quantifier para sa parehong variable, halimbawa:
.

Depinisyon 5: Sa pamamagitan ng isang pangkalahatang pahayag , katumbas - lokal na panaguri
, tinukoy sa set

pare-parehong aplikasyon mga quantifier ng pangkalahatan sa mga variable
sa anumang pagkakasunud-sunod.

Ang pahayag na ito ay itinalaga at binasa nang maikli gaya ng sumusunod: “para sa lahat
gumanap
».

Depinisyon 6: Sa pamamagitan ng isang umiiral na pahayag, kaugnay - lokal na panaguri
, tinukoy sa set
, ay isang pahayag na nakuha mula sa
pare-parehong aplikasyon mga quantifier ng pagkakaroon sa mga variable
sa anumang pagkakasunud-sunod.

Ang nagreresultang existential na pahayag ay ipinahiwatig at binabasa tulad ng sumusunod: “may ganoong set
, na isinasagawa
».

Halimbawa, para sa dalawang-lugar na panaguri "
» ang kaukulang mga pahayag ay may anyo:
– “para sa alinmang dalawang tunay na numero: ang una ay mas malaki kaysa sa pangalawa” (false), at
– “may dalawang tunay na numero, kung saan ang una ay mas malaki kaysa sa pangalawa” (totoo).

Teorama 3: (Kondisyon para sa magkatulad na katotohanan ng isang quantified predicate).

‑lokal na panaguri nagmula sa - lokal na panaguri
, tinukoy sa set
, sa pamamagitan ng paglalapat ng pangkalahatang quantifier na may kinalaman sa anumang variable, ay magkaparehong totoo kung at kung ang ibinigay na panaguri
- magkaparehong totoo.

Patunay: Sa katunayan, ibigay ito
- lokal na panaguri
, tinukoy sa set
. Sa pamamagitan ng kahulugan, ang panaguri na ito ay magiging magkaparehong totoo kung at kung ang halaga nito para sa mga di-makatwirang halaga ng mga argumento ay "totoo". Nangangahulugan ito na ang pangkalahatang pahayag ay totoo

, tinukoy sa set
. Ang huling pangungusap ay posible kung at kung ang panaguri lamang
- magkaparehong totoo, ngunit dahil mga argumento
ay pinili nang arbitraryo, kung gayon ito ay katumbas ng magkaparehong katotohanan ng ibinigay - lokal na panaguri
. Ang teorama ay napatunayan.

Teorama 4: (Kondisyon para sa magkaparehong kamalian ng isang quantified predicate).

-lokal na panaguri nagmula sa - lokal na panaguri
, tinukoy sa set
, sa pamamagitan ng paglalapat ng existential quantifier na may kinalaman sa ilang variable, ay identically false kung at kung ang ibinigay na predicate ay identically false.

Patunay: Hayaan na natin
- lokal na panaguri
, tinukoy sa set
. Magiging kaparehong mali ito kung at kung ang halaga nito para sa mga argumentong arbitraryong kinuha
may "kasinungalingan". Ibig sabihin, mali ang existential statement
, naaayon sa unary predicate
, tinukoy sa set
. Ang huli ay posible kung at kung ang panaguri lamang
ay identically false, at dahil mga argumento
ay pinili nang random, pagkatapos ito - lokal na panaguri
ay identically false. Q.E.D.

Sa ngayon ay pinag-iiba na natin ang mga panaguri sa mga proposisyon. Gayunpaman, mas madaling magbilang ng mga pahayag 0 - lokal na panaguri. Kung gayon ang alinmang dalawang totoo at alinmang dalawang maling pahayag ay dapat ituring na katumbas ng bawat isa.

Ang konsepto ng isang panaguri

Kahulugan 1

panaguri- isang pahayag na naglalaman ng mga variable na kumukuha ng halaga na $1$ o $0$ (totoo o mali) depende sa mga halaga ng mga variable.

Halimbawa 1

Halimbawa, ang expression na $x=x^5$ ay isang panaguri dahil ito ay totoo para sa $x=0$ o $x=1$ at false para sa lahat ng iba pang halaga ng $x$.

Kahulugan 2

Ang isang set kung saan ang isang panaguri ay tumatanggap lamang ng mga tunay na halaga ay tinatawag set ng katotohanan ng panaguri$I_p$.

Ang panaguri ay tinatawag magkaparehong totoo, kung sa anumang hanay ng mga argumento ito ay sinusuri sa totoo:

$P (x_1, \dots, x_n)=1$

Ang panaguri ay tinatawag magkaparehong mali, kung sa anumang hanay ng mga argumento ito ay sinusuri sa false:

$P (x_1, \dots, x_0)=0$

Ang panaguri ay tinatawag magagawa, kung ito ay nagsusuri sa true sa kahit isang hanay ng mga argumento.

kasi Ang mga predicate ay maaaring tumagal lamang ng dalawang halaga (true/false o $0/1$), at ang lahat ng mga operasyon ng logical algebra ay maaaring ilapat sa kanila: negation, conjunction, disjunction, atbp.

Mga halimbawa ng panaguri

Hayaang ang panaguri na $R(x, y)$: $“x = y”$ ay tumutukoy sa pagkakapantay-pantay na ugnayan, kung saan ang $x$ at $y$ ay nabibilang sa hanay ng mga integer. Sa kasong ito, ang panaguri R ay magiging totoo para sa lahat ng katumbas na $x$ at $y$.

Ang isa pang halimbawa ng panaguri ay WORKS($x, y, z$) para sa ugnayang “$x$ gumagana sa lungsod y para sa kumpanyang $z$.”

Ang isa pang halimbawa ng panaguri ay LIKE($x, y$) para sa "x likes y" para sa $x$ at $y$, na nabibilang sa $M$ - ang set ng lahat ng tao.

Kaya, ang panaguri ay lahat ng bagay na pinagtitibay o tinatanggihan tungkol sa paksa ng paghatol.

Mga operasyon sa mga panaguri

Isaalang-alang natin ang aplikasyon ng mga lohikal na operasyon ng algebra sa mga panaguri.

Mga lohikal na operasyon:

Kahulugan 3

Pagsasama ng dalawang panaguri Ang $A(x)$ at $B(x)$ ay isang panaguri na kumukuha ng isang tunay na halaga para sa mga iyon at sa mga halaga lamang na $x$ mula sa $T$ kung saan ang bawat isa sa mga panaguri ay may tunay na halaga at isang maling halaga sa lahat ng oras. sa lahat ng iba pang mga kaso. Ang truth set na $T$ ng isang panaguri ay ang intersection ng truth set ng mga panaguri na $A(x)$ at $B(x)$. Halimbawa: panaguri $A(x)$: “$x$ ay isang even na numero”, panaguri $B(x)$: “$x$ ay nahahati sa $5$.” Kaya, ang panaguri ay magiging "$x$ ay isang even na numero at nahahati sa $5$" o "$x$ ay nahahati ng $10$".

Kahulugan 4

Paghiwalay ng dalawang panaguri Ang $A(x)$ at $B(x)$ ay isang panaguri na nagsusuri sa false para sa mga iyon at tanging sa mga halagang iyon ng $x$ mula sa $T$ kung saan ang bawat isa sa mga predicate ay nagsusuri sa false at nagsusuri sa true sa lahat ng iba pang kaso. Ang truth set ng isang panaguri ay ang pagsasama ng mga domain ng katotohanan ng mga panaguri na $A(x)$ at $B(x)$.

Kahulugan 5

Negasyon ng isang panaguri Ang $A(x)$ ay isang panaguri na nagsusuri sa true para sa lahat ng mga halaga ng $x$ sa $T$ kung saan ang $A(x)$ ay nagsusuri sa false at vice versa. Ang truth set ng panaguri na $A(x)$ ay ang complement ng $T"$ sa set na $T$ sa set na $x$.

Kahulugan 6

Predicate implication Ang $A(x)$ at $B(x)$ ay isang panaguri na mali para sa mga iyon at sa mga halaga lamang na $x$ mula sa $T$ kung saan ang $A(x)$ ay totoo at $B( x )$ ay mali, at nagsusuri sa totoo sa lahat ng iba pang mga kaso. May nakasulat na: "Kung $A(x)$, pagkatapos ay $B(x)$."

Halimbawa 2

Hayaan ang $A(x)$: "Ang natural na bilang na $x$ ay nahahati sa $3$";

$B(x)$: "Ang natural na bilang na $x$ ay nahahati sa $4$."

Gumawa tayo ng isang panaguri: "Kung ang isang natural na numerong $x$ ay nahahati sa $3$, kung gayon ito ay mahahati din ng $4$."

Ang truth set ng isang panaguri ay ang unyon ng truth set ng panaguri $B(x)$ at ang complement sa truth set ng predicate na $A(x)$.

Bilang karagdagan sa mga lohikal na operasyon, ang mga pagpapatakbo ng quantum ay maaaring isagawa sa mga predicates: ang paggamit ng unibersal na quantifier, ang existance quantifier, atbp.

Mga Quantifier

Kahulugan 7

Mga Quantifier-- mga lohikal na operator, ang paglalapat nito sa mga panaguri ay nagiging mali o totoong mga pahayag.

Kahulugan 8

Quantifier-- mga lohikal na operasyon na naglilimita sa domain ng katotohanan ng isang panaguri at lumikha ng isang pahayag.

Ang pinakakaraniwang ginagamit na quantifier ay:

unibersal na quantifier (na tinutukoy ng simbolo na $\forall x$) - ang expression na "para sa lahat ng $x$" ("para sa anumang $x$");

existance quantifier (tinutukoy ng simbolong $\exists x$) - ang expression na "may umiiral na $x$ na ganyan...";

uniqueness at existance quantifier (na tinutukoy ng $\exists !x$) - ang expression na "may eksaktong isang $x$ na ganyan...".

Sa mathematical logic mayroong isang konsepto pagtatali o quantification, na tumutukoy sa pagtatalaga ng isang quantifier sa isang formula.

Mga halimbawa ng paggamit ng mga quantifier

Hayaan ang predicate na "$x$ is a multiple of $7$".

Gamit ang universal quantifier, maaari nating isulat ang mga sumusunod na maling pahayag:

anumang natural na numero ay mahahati ng $7$;

bawat natural na numero ay nahahati sa $7$;

lahat ng natural na numero ay nahahati sa $7;

na magiging ganito:

Larawan 1.

Upang magsulat ng mga totoong pahayag na ginagamit namin quantifier ng pagkakaroon:

may mga natural na numero na nahahati sa $7;

mayroong natural na numero na nahahati sa $7$;

hindi bababa sa isang natural na numero ang mahahati ng $7.

Magiging ganito ang entry:

Figure 2.

Hayaang maibigay ang panaguri sa hanay na $x$ ng mga prime number: "Ang isang prime number ay kakaiba." Ang paglalagay ng salitang "anuman" sa harap ng panaguri, makakakuha tayo ng maling pahayag: "Anumang prime number ay kakaiba" (halimbawa, $2$ ay isang prime even number).

Inilalagay namin ang salitang "umiiral" sa harap ng panaguri at kumuha ng totoong pahayag: "May prime number na kakaiba" (halimbawa, $x=3$).

Kaya, ang panaguri ay maaaring gawing pahayag sa pamamagitan ng paglalagay ng quantifier sa harap ng panaguri.

Mga operasyon sa mga quantifier

Upang bumuo ng negation ng mga pahayag na naglalaman ng mga quantifier, ginagamit namin tuntunin ng negasyon ng mga quantifier:

Larawan 3.

Isaalang-alang natin ang mga pangungusap at pumili ng mga panaguri sa kanila, na nagpapahiwatig ng domain ng katotohanan ng bawat isa sa kanila.

1 . Pagpapatakbo ng negasyon.

Pagtanggi panaguri P(x), ibinigay sa set X, ay isang panaguri na tinukoy sa parehong hanay at totoo para sa mga iyon at tanging mga halagang iyon XX, sa ilalim ng panaguri P(x) ay tumatagal ng kahulugan ng isang kasinungalingan.

2 . Operasyon ng pang-ugnay.

Pang-ugnay panaguri P(x) At Q(x), tinukoy sa set X, ay tinatawag na panaguri P(x)Q(x), na ibinigay sa parehong hanay at nagiging isang tunay na pahayag para sa mga iyon at tanging mga halagang iyon XX, kung saan ang parehong panaguri ay tumatagal sa mga halaga ng katotohanan.

Kung italaga natin TR P(x), TQ- set ng katotohanan ng panaguri Q(x), at ang truth set ng kanilang conjunction TPÙQ, pagkatapos, tila, TPÙQ = TP Ç T.Q.

Patunayan natin ang pagkakapantay-pantay na ito.

1. Hayaan A X at ito ay kilala na AÎ TPÙQ . Sa pamamagitan ng kahulugan ng isang set ng katotohanan, nangangahulugan ito na ang panaguri P(x)Q(x) nagiging totoong pahayag kapag x = a, ibig sabihin. pahayag R(a)Q(a) ay totoo. Dahil ang pahayag na ito ay isang pang-ugnay, kung gayon sa pamamagitan ng kahulugan ng isang pang-ugnay ay nakuha natin na ang bawat isa sa mga pahayag R(a) At Q(a) totoo din. Ibig sabihin nito ay ATR At ATQ. Kaya, ipinakita namin iyon TPÙQ Ì TRÇ TQ.

2. Patunayan natin ang kabaligtaran na pahayag. Hayaan A- isang arbitrary na elemento ng set X at ito ay kilala na AÎ TP Ç TQ. Sa pamamagitan ng kahulugan ng intersection ng mga hanay, nangangahulugan ito na ATR At ATQ, kung saan natin nakukuha iyon R(a) At Q(a)- tunay na mga pahayag, samakatuwid ang pagsasama ng mga pahayag R(a)Q(a) ay magiging totoo din. Nangangahulugan ito na ang elemento A nabibilang sa truth set ng panaguri P(x)Q(x), ibig sabihin. AÎ TPÙQ .

Mula sa 1 at 2, sa bisa ng kahulugan ng pantay na hanay, sumusunod na ang pagkakapantay-pantay TPÙQ =TRÇ TQ, na kung ano ang kailangang patunayan.

Ito ay maaaring biswal na ilarawan bilang mga sumusunod.

3. Operasyon ng disjunction.

Disjunction panaguri P(x) At Q(x) ay tinatawag na panaguri P(x)Q(x X at nagiging isang tunay na pahayag para sa mga iyon at tanging mga halagang iyon XX, na kung saan kahit isa sa mga panaguri ay kumukuha ng halaga ng katotohanan P(x) o Q(x).

Katulad nito, ito ay pinatunayan na TPÚQ = TP È T.Q.

4 .Operasyon ng implikasyon.

Sa implikasyon panaguri P(x) At Q(x), tinukoy sa set X, ay tinatawag na panaguri P(x)Q(x), tinukoy sa parehong hanay X at nagiging maling pahayag para sa mga iyon at tanging mga halagang iyon XX, kung saan kinukuha ng P(x) ang halaga ng katotohanan, at Q(x)- ang kahulugan ng kasinungalingan.

5 .Pagpapapantay na operasyon.

Pagkakapantay-pantay panaguri P(x) At Q(x), tinukoy sa set X, ay tinatawag na panaguri P(x)Q(x), tinukoy sa parehong hanay X at pagtanggap sa halaga ng katotohanan para sa mga iyon at tanging mga halagang iyon XX, kung saan ang mga halaga ng bawat isa sa mga panaguri ay alinman sa totoo o mali. Ang katotohanang itinakda sa kasong ito ay ganito:

TPÛQ = .

Halimbawa. Sa set M=(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20} ibinibigay ang mga panaguri: Oh)- "numero X hindi mahahati ng 5 », B(x) - « X- ang numero ay pantay", C(x) - « X- ang numero ay prime", D(x)- "numero X maramihan 3 " Hanapin ang hanay ng katotohanan ng mga sumusunod na panaguri:

a) Oh)B(x); b) A(x); c) C(x)A(x); d) B(x)D(x) at ilarawan ang mga ito gamit ang Euler-Venn diagram.

Solusyon: a) Hanapin ang hanay ng katotohanan ng mga panaguri.

A(x): T = (1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 14, 16, 17, 18, 19);

B(x): T = (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20).

Truth set ng isang conjunction Oh)B(x) may mga katotohanan T At T .

Impormal, ang isang panaguri ay maaaring tukuyin bilang isang tiyak na pahayag, ang kahulugan nito ay nakasalalay sa mga halaga ng mga variable na layunin mula sa hanay. M, kung saan tinukoy ang panaguri.

a) P(x): “x ay isang prime number”;

(Dito at sa kabuuan ng mga sumusunod, upang tukuyin ang isang panaguri, gagamit kami ng isang maikling anyo ng notasyon, na inilalarawan nang detalyado tulad ng sumusunod: " x ay isang prime number.")

b) D(x,y) : “x ay ganap na nahahati ng y”;

c) R(x,y): “x > y”.

Anumang mga set ng numero ay maaaring ituring bilang isang set ng paksa para sa mga halimbawang ito, sa partikular, sa mga halimbawa a), b) - M= Í , at sa c) - M= Ñ .

Mas mahigpit panaguri maaaring tukuyin bilang isang pagmamapa n ika kapangyarihan ng set M, tinatawag na lokalidad o arity ng isang panaguri sa isang set na may dalawang elemento B = {1, 0}

Kapag pinapalitan sa isang panaguri sa halip na mga variable ng paksa na itinakda ng halaga nakakakuha tayo ng lohikal na pahayag (so , a ). Kaya, ang isang panaguri ay isang variable na pahayag (o isang sistema ng mga pahayag), ang katotohanan nito ay natutukoy sa pamamagitan ng pagpapalit ng iba't ibang mga halaga ng mga variable ng paksa.

Dahil ang mga panaguri ay kumukuha ng mga halaga mula sa hanay B , pagkatapos ay tinukoy ang mga lohikal na operasyon ~ para sa kanila. Sa karagdagan, ang mga operasyon ng asserting universality at asserting existence ay ipinakilala para sa predicates.

Ang pagpapatakbo ng paninindigan ng pagiging pandaigdigan ay inilalagay sa sulat ang nagpapahayag na anyo P(x) pahayag (basahin bilang, P(x) totoo para sa lahat x mula sa marami M, kung saan tinukoy ang panaguri). Ang isang pahayag ay totoo kung at tanging kung ang pahayag P(a) totoo para sa anumang elemento.

Ang paggigiit ng operasyon ng pag-iral ay inilalagay sa sulat ang nagpapahayag na anyo P(x) pahayag (basahin bilang, mayroong ganoon x mula sa marami M, kung saan ang pahayag P(x) totoo). Ang isang pahayag ay totoo kung at tanging kung ang pahayag P(a) totoo para sa hindi bababa sa isang elemento.

Ang mga palatandaan " at $ ay tinatawag na mga quantifier ng universality at existance (quantifier isinalin mula sa Latin - determination of quantity). Transition mula sa expressive form P(x) sa mga pahayag o tinatawag na pag-attach ng isang quantifier o nagbubuklod ng isang variable x(minsan sa pamamagitan ng quantification ng variable x). Ang variable na may quantifier ay tinatawag na bound, ang unbound variable ay tinatawag na free. Iba ang kahulugan ng mga bound at free variable sa mga predicate expression. Ang isang libreng variable ay isang ordinaryong variable na maaaring tumagal sa iba't ibang mga halaga mula sa M, at ang expression P(x)– isang variable na pahayag depende sa kahulugan x. Mga expression at hindi nakadepende sa isang variable x at sa fixed P At M ay may napakatiyak na kahulugan. Ang mga variable na mahalagang nauugnay ay hindi lamang matatagpuan sa mathematical logic. Halimbawa, sa mga expression o variable x konektado, sa fixed f ang unang expression ay katumbas ng isang tiyak na numero, at ang pangalawa ay isang function ng a At b.

Kaya, ang mga pahayag ay hindi nagsasalita tungkol sa mga katangian ng mga indibidwal na elemento ng set M, ngunit tungkol sa mga katangian ng set mismo M. Ang katotohanan o kamalian ng mga pahayag na ito ay hindi nakasalalay sa kung paano itinalaga ang variable ng paksa na kasama sa mga ito, at maaari itong palitan ng anumang iba pang variable ng paksa, halimbawa. y, at kumuha ng mga pahayag at , na may parehong kahulugan at parehong halaga ng katotohanan tulad ng orihinal na mga pahayag.

Sa pangkalahatan, para sa n-ary predicate, kung , ang mga operasyon ng paggigiit ng pagiging pangkalahatan o pag-iral ay maaaring maisagawa k beses (ang pagkakasunud-sunod ng pagpili ng mga variable kung saan itinalaga ang quantifier ay maaaring anuman, hindi kasama ang kanilang pag-uulit) at makuha ang expression

kung saan nagsasaad ng quantifier ng universality o pagkakaroon. Ang mga variable sa statement form (1) ay nakatali at libre.

Kaugnayan ng pagkakasunud-sunod. Nag-order ng mga set

Kahulugan. Saloobin R sa isang set X ay tinatawag na ugnayan ng kaayusan kung ito ay palipat at walang simetriko o antisymmetric.

Kahulugan. Saloobin R sa isang set X ay tinatawag na mahigpit na ugnayan ng kaayusan kung ito ay palipat at walang simetriko.

Mga halimbawa mga relasyon ng isang mahigpit na pagkakasunud-sunod: "higit pa" sa hanay ng mga natural na numero, "mas mataas" sa hanay ng mga tao, atbp.

Kahulugan. Saloobin R sa isang set X ay tinatawag na hindi mahigpit na ugnayan ng pagkakasunud-sunod kung ito ay palipat at antisymmetric.

Mga halimbawa mga relasyon ng isang hindi mahigpit na pagkakasunud-sunod: "wala na" sa hanay ng mga tunay na numero, "maging isang divisor" sa hanay ng mga natural na numero, atbp.

Kahulugan. Isang grupo ng X ay tinatawag na ordered kung ang isang ugnayan ng order ay tinukoy dito.

Halimbawa. Sa set X= (1; 2; 3; 4; 5) dalawang relasyon ang ibinigay: “ X £ sa"At" X- divider sa».

Ang parehong mga relasyon na ito ay may mga katangian ng reflexivity, antisymmetry at transitivity (bumuo ng mga graph at suriin ang mga katangian sa iyong sarili), i.e. ay mga relasyon ng hindi mahigpit na kaayusan. Ngunit ang unang relasyon ay may pag-aari ng pagkakaugnay, habang ang pangalawa ay wala.

Kahulugan. Kaugnayan ng pagkakasunud-sunod R sa isang set X ay tinatawag na linear order relation kung ito ay may katangian ng pagkakakonekta.

Sa elementarya, maraming order relations ang pinag-aaralan. Nasa unang baitang ay may mga relasyon na "mas kaunti", "higit pa" sa hanay ng mga natural na numero, "mas maikli", "mas mahaba" sa hanay ng mga segment, atbp.

Kontrolin ang mga tanong

1. Tukuyin ang isang binary relation sa isang set X.

2. Paano sumulat ng pahayag na ang mga elemento X At sa ay nasa isang relasyon R?

3. Maglista ng mga paraan upang tukuyin ang mga relasyon.

4. Bumuo ng mga katangian na maaaring magkaroon ng mga relasyon. Paano ipinapakita ang mga katangiang ito sa graph?

5. Anong mga katangian ang dapat taglayin ng isang ugnayan upang ito ay maging ugnayang katumbas?

6. Paano nauugnay ang ugnayan ng equivalence sa paghahati ng isang set sa mga klase?

7. Anong mga katangian ang dapat taglayin ng isang ugnayan upang ito ay maging ugnayan ng kaayusan?

Kabanata 5. Predicates at Theorems

Sa matematika ay madalas na may mga pangungusap na naglalaman ng isa o higit pang mga variable, halimbawa: " X+ 2 = 7", "ang lungsod ay matatagpuan sa Volga". Ang mga pangungusap na ito ay hindi mga pahayag, dahil imposibleng sabihin tungkol sa kanila kung sila ay totoo o mali. Gayunpaman, kapag pinapalitan ang mga tiyak na halaga para sa isang variable X nagiging totoo o maling mga pahayag ang mga ito. Kaya, sa unang halimbawa na may X= 5 nakakakuha tayo ng totoong pahayag, at kailan X= 3 – maling pahayag.

Kahulugan. Ang isang pangungusap na may mga variable, na kung saan, na binigyan ng mga tiyak na halaga ng mga variable, ay nagiging isang pahayag, ay tinatawag na isang propositional form o predicate.

Batay sa bilang ng mga variable na kasama sa panaguri, ang mga ito ay nakikilala bilang iisa, doble, atbp. panaguri at nagsasaad A(X), SA(x;y)…

Halimbawa: A(X): « X ay nahahati sa 2" – isang one-place predicate, SA(X; sa): "tuwid X patayo sa isang tuwid na linya sa" ay isang dalawang-lugar na panaguri.

Dapat tandaan na ang panaguri ay maaaring maglaman ng mga variable na hindi malinaw: "ang bilang ay nahahati sa 2", "ang mag-aaral ay nakatanggap ng isang mahusay na marka sa pagsusulit sa matematika."

Ang pagtukoy ng isang panaguri, bilang panuntunan, ay nagsasangkot din ng pagtukoy ng isang hanay kung saan napili ang mga halaga ng mga variable na kasama sa predicate.

Kahulugan. Ang set (domain) ng kahulugan ng isang panaguri ay ang set X, na binubuo ng lahat ng mga halaga ng mga variable, kapag pinalitan sa isang panaguri, ang huli ay nagiging isang pahayag.

Kaya, ang panaguri " X> 2" ay maaaring isaalang-alang sa hanay ng mga natural na numero o tunay na mga numero.

Bawat panaguri A(X), X Î X tumutukoy sa isang set TÌ X, na binubuo ng mga elemento na, kapag ipinalit sa panaguri A(X) sa halip na X ito pala ay isang tunay na pahayag.

Kahulugan. Ang hanay na binubuo ng lahat ng mga halagang iyon, ang pagpapalit nito sa panaguri ay gumagawa ng isang tunay na pahayag, ay tinatawag na hanay ng katotohanan ng panaguri (tinutukoy T).

Halimbawa. Isaalang-alang ang panaguri A(X): « X < 5», заданный на множестве натуральных чисел. T = {1; 2; 3; 4}.

Ang mga panaguri, tulad ng mga pahayag, ay maaaring elementarya o tambalan. Ang mga tambalang panaguri ay nabuo mula sa elementarya gamit ang mga lohikal na pang-ugnay.

Hayaan T A A(X), T V– domain ng katotohanan ng panaguri SA(X).

Kahulugan. Pang-ugnay ng panaguri A(X) At SA(X) ay tinatawag na panaguri A(X) Ù SA(X X Î X, kung saan ang parehong panaguri ay totoo.

Ipakita natin yan T A Ù SA = T AÇ T V.

Patunay. 1) Hayaan A Î T A Ù SA Þ A(A) Ù SA(A) ay isang tunay na pahayag. Sa pamamagitan ng kahulugan ng conjunction mayroon tayong: A(A) - totoo, SA(A) – totoo Þ A Î T AÙ A Î T VÞ A Î T AÇ T VÞ T A Ù SA Ì T AÇ T V.

2) Hayaan bÎ T AÇ T VÞ b Î T AÙ b Î T VÞ A(b) - totoo, SA(b) – totoo Þ ayon sa kahulugan ng pang-ugnay A(b) Ù SA(b) – totoong pahayag Þ b Î T A Ù SA Þ T AÇ T VÌ T A Ù SA .

kasi T A Ù SA Ì T AÇ T V At T AÇ T VÌ T A Ù SA, pagkatapos ay sa pamamagitan ng pag-aari ng pagkakapantay-pantay ng mga hanay T A Ù SA = T AÇ T V, na kung ano ang kailangang patunayan.

Tandaan na ang resultang panuntunan ay wasto din para sa mga panaguri na naglalaman ng higit sa isang variable.

Halimbawa. Tingnan natin ang mga panaguri A(X): « X < 10», SA(X): « X A(X) Ù SA(X): « X < 10 и делится на 3».

T A= {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}, T V= (3; 6; 9; 12; 15; …), pagkatapos T A Ù SA = {3; 6; 9}.

Kahulugan. Predicate disjunction A(X) At SA(X) ay tinatawag na panaguri A(X) Ú SA(X), na totoo para sa mga iyon at sa mga halagang iyon lamang X Î X, kung saan ang kahit isa sa mga panaguri ay totoo.

Maaari mong patunayan (sa iyong sarili) iyon T A Ú SA = T AÈ T V.

Halimbawa. Tingnan natin ang mga panaguri A(X): « X nahahati sa 2", SA(X): « X ay nahahati sa 3", na ibinigay sa hanay ng mga natural na numero. Hanapin natin ang domain ng katotohanan ng panaguri A(X) Ú SA(X): « X mahahati sa 2 o 3."

T A= {2; 4; 6; 8; 10;…}, T V= {3; 6; 9; 12; 15; …}, T A Ú SA = {2; 3; 4; 6; 8; 9; …}.

Kahulugan. Negasyon ng panaguri A(X) tinatawag na panaguri . Ito ay totoo para sa mga iyon at lamang sa mga halagang iyon X Î X, kung saan ang panaguri A(X) ay mali at vice versa.

Tandaan na = .

Kahulugan. Sa pamamagitan ng implikasyon ng mga panaguri A(X) At SA(X) ay tinatawag na panaguri A(X) Þ SA(X) (basahin: “Kung A(X), Iyon SA(X)"). Ito ay nagiging isang maling pahayag para sa mga halagang iyon X Î X, kung saan ang panaguri A(X) ay totoo, at ang panaguri SA(X) ay hindi totoo.

Mula sa kahulugan mayroon tayo na ang panaguri A(X) Þ SA(X) ay mali sa set T AÇ , at samakatuwid ay totoo sa pandagdag sa set na ito. Gamit ang mga batas ng pagpapatakbo sa mga set, mayroon kaming: .

Kontrolin ang mga tanong

1. Ano ang tinatawag na anyo o panaguri na nagpapahayag?

2. Anong mga panaguri ang nakikilala sa bilang ng mga baryabol na kasama sa mga ito? Magbigay ng halimbawa.

3. Anong set ang tinatawag na domain ng depinisyon ng panaguri?

4. Anong set ang tinatawag na truth set ng isang panaguri?

5. Ano ang tinatawag na pang-ugnay ng panaguri? Patunayan ang pagkakapantay-pantay na nag-uugnay sa domain ng katotohanan ng isang pag-ugnay ng mga panaguri sa mga domain ng katotohanan ng mga panaguri na ito.

6. Magbigay ng mga kahulugan ng disjunction, negasyon, at implikasyon ng mga panaguri. Isulat ang mga pagkakapantay-pantay na nag-uugnay sa mga domain ng katotohanan ng isang pagsasama ng mga panaguri sa mga domain ng katotohanan ng mga panaguri na ito.