Tambalang salitang "paralelogram"? At sa likod nito ay may isang napakasimpleng pigura.
Well, iyon ay, kumuha kami ng dalawang parallel na linya:
Tinawid ng dalawa pa:
At sa loob ay may paralelogram!
Anong mga katangian mayroon ang paralelogram?
Mga katangian ng paralelogram.
Ibig sabihin, ano ang maaari mong gamitin kung ang problema ay bibigyan ng paralelogram?
Ang sumusunod na teorama ay sumasagot sa tanong na ito:
Iguhit natin ang lahat nang detalyado.
Ano ang ibig sabihin nito unang punto ng teorama? At ang katotohanan ay kung MAYROON ka ng paralelogram, tiyak na gagawin mo
Ang pangalawang punto ay nangangahulugan na kung mayroong isang paralelogram, kung gayon, muli, tiyak:
Well, at sa wakas, ang pangatlong punto ay nangangahulugan na kung MAY paralelogram ka, siguraduhing:
Nakikita mo ba kung gaano karaming pagpipilian ang mayroon? Ano ang gagamitin sa problema? Subukang tumuon sa tanong ng gawain, o subukan lamang ang lahat nang paisa-isa - magagawa ng ilang "susi".
Ngayon tanungin natin ang ating sarili ng isa pang tanong: paano natin makikilala ang isang paralelogram "sa pamamagitan ng paningin"? Ano ang dapat mangyari sa isang quadrilateral upang magkaroon tayo ng karapatang bigyan ito ng "pamagat" ng isang paralelogram?
Sinasagot ng ilang mga palatandaan ng paralelogram ang tanong na ito.
Mga palatandaan ng paralelogram.
Pansin! Magsimula.
Paralelogram.
Pakitandaan: kung nakakita ka ng hindi bababa sa isang sign sa iyong problema, tiyak na mayroon kang paralelogram, at magagamit mo ang lahat ng mga katangian ng isang paralelogram.
2. Parihaba
Sa tingin ko, hindi na ito magiging balita sa iyo
Unang tanong: parallelogram ba ang isang parihaba?
Siyempre ito ay! Pagkatapos ng lahat, mayroon siyang - tandaan, ang aming sign 3?
At mula dito, siyempre, sumusunod na sa isang rektanggulo, tulad ng sa anumang parallelogram, ang mga diagonal ay nahahati sa kalahati ng punto ng intersection.
Ngunit ang parihaba ay mayroon ding isang natatanging katangian.
Parihaba na ari-arian
Bakit kakaiba ang ari-arian na ito? Dahil walang ibang paralelogram na may pantay na diagonal. Buuin natin ito nang mas malinaw.
Pakitandaan: upang maging isang parihaba, ang isang quadrilateral ay dapat munang maging isang paralelogram, at pagkatapos ay ipakita ang pagkakapantay-pantay ng mga diagonal.
3. Brilyante
At muli ang tanong: ang isang rhombus ay isang paralelogram o hindi?
Sa bawat karapatan - isang paralelogram, dahil mayroon itong at (tandaan ang aming tampok 2).
At muli, dahil ang isang rhombus ay isang paralelogram, kung gayon dapat itong magkaroon ng lahat ng mga katangian ng isang paralelogram. Nangangahulugan ito na sa isang rhombus, ang magkasalungat na mga anggulo ay pantay-pantay, magkatapat na mga gilid ay parallel, at ang mga diagonal ay naghahati-hati sa punto ng intersection.
Mga katangian ng isang rhombus
Tingnan ang larawan:
Tulad ng sa kaso ng isang rektanggulo, ang mga katangiang ito ay natatangi, iyon ay, para sa bawat isa sa mga katangiang ito maaari nating tapusin na ito ay hindi lamang isang paralelogram, ngunit isang rhombus.
Mga palatandaan ng isang brilyante
At muli, bigyang-pansin: dapat mayroong hindi lamang isang quadrilateral na ang mga diagonal ay patayo, ngunit isang paralelogram. Tiyaking:
Hindi, siyempre, kahit na ang mga diagonal nito ay patayo, at ang dayagonal ay ang panggitnang guhit ng mga anggulo at. Ngunit... ang mga diagonal ay hindi nahahati sa kalahati ng punto ng intersection, samakatuwid - HINDI isang paralelogram, at samakatuwid ay HINDI isang rhombus.
Iyon ay, ang isang parisukat ay isang parihaba at isang rhombus sa parehong oras. Tignan natin kung ano ang mangyayari.
Malinaw ba kung bakit? - Ang rhombus ay ang bisector ng anggulo A, na katumbas ng. Nangangahulugan ito na nahahati ito (at gayundin) sa dalawang anggulo.
Well, medyo malinaw: ang mga diagonal ng isang parihaba ay pantay; Ang mga diagonal ng isang rhombus ay patayo, at sa pangkalahatan, ang isang paralelogram ng mga diagonal ay nahahati sa kalahati sa pamamagitan ng punto ng intersection.
AVERAGE LEVEL
Mga katangian ng quadrilaterals. Paralelogram
Mga katangian ng paralelogram
Pansin! mga salita" katangian ng isang paralelogram"ibig sabihin kung sa iyong gawain meron paralelogram, pagkatapos ay magagamit ang lahat ng sumusunod.
Theorem sa mga katangian ng isang paralelogram.
Sa anumang paralelogram:
Unawain natin kung bakit totoo ang lahat ng ito, sa madaling salita PATUNAYAN NAMIN teorama.
Kaya bakit 1) totoo?
Kung ito ay isang paralelogram, kung gayon:
- nakahiga cris-cross
- nagsisinungaling na parang mga krus.
Ang ibig sabihin nito ay (ayon sa criterion II: at - pangkalahatan.)
Well, ito na, ito na! - napatunayan.
Pero pala! Napatunayan din namin 2)!
Bakit? Ngunit (tingnan ang larawan), iyon ay, tiyak dahil.
3 na lang ang natitira).
Upang gawin ito, kailangan mo pa ring gumuhit ng pangalawang dayagonal.
At ngayon nakita natin iyon - ayon sa katangian ng II (anggulo at gilid na "sa pagitan" nila).
Properties na napatunayan! Lumipat tayo sa mga palatandaan.
Mga palatandaan ng paralelogram
Alalahanin na ang parallelogram sign ay sumasagot sa tanong na "paano mo malalaman na ang isang pigura ay isang paralelogram.
Sa mga icon ay ganito:
Bakit? Masarap maunawaan kung bakit - sapat na iyon. Pero tingnan mo:
Well, nalaman namin kung bakit totoo ang sign 1.
Aba, mas madali pa! Gumuhit ulit tayo ng dayagonal.
Ibig sabihin:
AT Madali lang din. Pero...iba!
Ibig sabihin, . Wow! Ngunit din - panloob na isang panig na may isang secant!
Samakatuwid ang katotohanan na nangangahulugan na.
At kung titingnan mo mula sa kabilang panig, kung gayon - panloob na isang panig na may isang secant! At samakatuwid.
Nakikita mo ba kung gaano ito kahusay?!
At muli simple:
Eksaktong pareho, at.
Bigyang-pansin: kung nahanap mo kahit na isang tanda ng isang paralelogram sa iyong problema, pagkatapos ay mayroon ka eksakto paralelogram at maaari mong gamitin lahat katangian ng isang paralelogram.
Para sa kumpletong kalinawan, tingnan ang diagram:
Mga katangian ng quadrilaterals. Parihaba.
Mga katangian ng parihaba:
Ang punto 1) ay medyo halata - pagkatapos ng lahat, ang tanda 3 () ay natupad lamang
At punto 2) - napaka importante. Kaya, patunayan natin iyan
Nangangahulugan ito sa dalawang panig (at - pangkalahatan).
Well, dahil ang mga tatsulok ay pantay, kung gayon ang kanilang mga hypotenuse ay pantay din.
Napatunayan na!
At isipin, ang pagkakapantay-pantay ng mga diagonal ay ang natatanging pag-aari ng isang parihaba sa lahat ng parallelograms. Ibig sabihin, ang pahayag na ito ay totoo^
Intindihin natin kung bakit?
Nangangahulugan ito (ibig sabihin ang mga anggulo ng isang paralelogram). Ngunit tandaan natin muli na ito ay isang paralelogram, at samakatuwid.
Ibig sabihin, . Well, siyempre, ito ay sumusunod na ang bawat isa sa kanila! Pagkatapos ng lahat, kailangan nilang magbigay ng kabuuan!
Kaya pinatunayan nila na kung paralelogram biglang (!) ang mga diagonal ay naging pantay, pagkatapos ito eksaktong parihaba.
Ngunit! Bigyang-pansin! Ito ay tungkol sa paralelograms! Hindi lang kung sino ang quadrilateral na may pantay na diagonal ay isang parihaba, at lamang paralelogram!
Mga katangian ng quadrilaterals. Rhombus
At muli ang tanong: ang isang rhombus ay isang paralelogram o hindi?
Sa buong kanan - isang paralelogram, dahil mayroon itong (Tandaan ang aming tampok 2).
At muli, dahil ang isang rhombus ay isang paralelogram, dapat itong magkaroon ng lahat ng mga katangian ng isang paralelogram. Nangangahulugan ito na sa isang rhombus, ang magkasalungat na mga anggulo ay pantay-pantay, ang magkabilang panig ay magkatulad, at ang mga diagonal ay naghahati-hati sa punto ng intersection.
Ngunit mayroon ding mga espesyal na katangian. Buuin natin ito.
Mga katangian ng isang rhombus
Bakit? Buweno, dahil ang isang rhombus ay isang paralelogram, kung gayon ang mga diagonal nito ay nahahati sa kalahati.
Bakit? Oo, kaya naman!
Sa madaling salita, ang mga diagonal ay naging mga bisector ng mga sulok ng rhombus.
Tulad ng kaso ng isang parihaba, ang mga katangiang ito ay katangi-tangi, ang bawat isa sa kanila ay tanda rin ng rhombus.
Mga palatandaan ng isang brilyante.
Bakit ito? At tingnan mo,
Ibig sabihin pareho Ang mga tatsulok na ito ay isosceles.
Upang maging isang rhombus, ang isang quadrilateral ay dapat munang "maging" isang paralelogram, at pagkatapos ay ipakita ang tampok na 1 o tampok 2.
Mga katangian ng quadrilaterals. Square
Iyon ay, ang isang parisukat ay isang parihaba at isang rhombus sa parehong oras. Tignan natin kung ano ang mangyayari.
Malinaw ba kung bakit? Ang isang parisukat - isang rhombus - ay ang bisector ng isang anggulo na katumbas ng. Nangangahulugan ito na nahahati ito (at gayundin) sa dalawang anggulo.
Well, medyo malinaw: ang mga diagonal ng isang parihaba ay pantay; Ang mga diagonal ng isang rhombus ay patayo, at sa pangkalahatan, ang isang paralelogram ng mga diagonal ay nahahati sa kalahati sa pamamagitan ng punto ng intersection.
Bakit? Well, ilapat na lang natin ang Pythagorean theorem sa...
BUOD AT BATAYANG FORMULA
Mga katangian ng paralelogram:
- Ang magkasalungat na panig ay pantay: , .
- Magkatapat ang mga anggulo: , .
- Ang mga anggulo sa isang panig ay nagdaragdag ng hanggang: , .
- Ang mga diagonal ay nahahati sa kalahati sa pamamagitan ng punto ng intersection: .
Mga katangian ng parihaba:
- Ang mga dayagonal ng parihaba ay pantay-pantay: .
- Ang isang parihaba ay isang paralelogram (para sa isang parihaba ang lahat ng mga katangian ng isang paralelogram ay natutupad).
Mga katangian ng isang rhombus:
- Ang mga diagonal ng isang rhombus ay patayo: .
- Ang mga dayagonal ng isang rhombus ay ang mga bisector ng mga anggulo nito: ; ; ; .
- Ang isang rhombus ay isang paralelogram (para sa isang rhombus lahat ng mga katangian ng isang paralelogram ay natutupad).
Mga katangian ng isang parisukat:
Ang isang parisukat ay isang rhombus at isang parihaba sa parehong oras, samakatuwid, para sa isang parisukat ang lahat ng mga katangian ng isang parihaba at isang rhombus ay natutupad. At:
Well, tapos na ang topic. Kung binabasa mo ang mga linyang ito, ibig sabihin ay napaka-cool mo.
Dahil 5% lamang ng mga tao ang nakakabisa ng isang bagay sa kanilang sarili. At kung magbabasa ka hanggang sa huli, ikaw ay nasa 5% na ito!
Ngayon ang pinakamahalagang bagay.
Naunawaan mo ang teorya sa paksang ito. At, inuulit ko, ito... super lang! Mas mahusay ka na kaysa sa karamihan ng iyong mga kapantay.
Ang problema ay maaaring hindi ito sapat...
Para saan?
Para sa matagumpay na pagpasa sa Unified State Exam, para sa pagpasok sa kolehiyo sa isang badyet at, PINAKA MAHALAGA, habang buhay.
Hindi kita kukumbinsihin sa anumang bagay, isa lang ang sasabihin ko...
Ang mga taong nakatanggap ng magandang edukasyon ay kumikita ng higit pa kaysa sa mga hindi nakatanggap nito. Ito ay mga istatistika.
Ngunit hindi ito ang pangunahing bagay.
Ang pangunahing bagay ay MAS MASAYA sila (may mga ganyang pag-aaral). Marahil dahil marami pang pagkakataon ang nagbubukas sa kanila at ang buhay ay nagiging mas maliwanag? hindi ko alam...
Pero isipin mo ang sarili mo...
Ano ang kailangan para makasiguradong maging mas mahusay kaysa sa iba sa Unified State Exam at sa huli ay... mas masaya?
AGAIN ANG IYONG KAMAY SA PAGLUTAS NG MGA PROBLEMA SA PAKSANG ITO.
Hindi ka hihilingin ng teorya sa panahon ng pagsusulit.
Kakailanganin mong lutasin ang mga problema laban sa oras.
At, kung hindi mo pa nalutas ang mga ito (MARAMING!), tiyak na makakagawa ka ng isang hangal na pagkakamali sa isang lugar o hindi magkakaroon ng oras.
Parang sa sports - kailangan mong ulitin ng maraming beses para siguradong manalo.
Hanapin ang koleksyon kahit saan mo gusto, kinakailangang may mga solusyon, detalyadong pagsusuri at magpasya, magpasya, magpasya!
Maaari mong gamitin ang aming mga gawain (opsyonal) at, siyempre, inirerekomenda namin ang mga ito.
Upang maging mas mahusay sa paggamit ng aming mga gawain, kailangan mong tumulong na palawigin ang buhay ng YouClever textbook na kasalukuyan mong binabasa.
Paano? Mayroong dalawang mga pagpipilian:
- I-unlock ang lahat ng mga nakatagong gawain sa artikulong ito -
- I-unlock ang access sa lahat ng mga nakatagong gawain sa lahat ng 99 na artikulo ng aklat-aralin - Bumili ng isang aklat-aralin - 899 RUR
Oo, mayroon kaming 99 na ganoong mga artikulo sa aming aklat-aralin at ang access sa lahat ng mga gawain at lahat ng mga nakatagong teksto sa mga ito ay mabubuksan kaagad.
Ang access sa lahat ng mga nakatagong gawain ay ibinibigay para sa BUONG buhay ng site.
Sa konklusyon...
Kung hindi mo gusto ang aming mga gawain, maghanap ng iba. Huwag lang tumigil sa teorya.
Ang "Naiintindihan" at "Maaari kong malutas" ay ganap na magkaibang mga kasanayan. Kailangan mo pareho.
Maghanap ng mga problema at lutasin ang mga ito!
Mga tanda ng pa-ral-le-lo-gram-ma
1. Kahulugan at pangunahing katangian ng isang paralelogram
Magsimula tayo sa pamamagitan ng paggunita sa kahulugan ng para-ral-le-lo-gram.
Kahulugan. Paralelogram- what-you-rekh-gon-nick, na mayroong bawat dalawang pro-ti-false na panig na magkatulad (tingnan ang Fig. 1).
kanin. 1. Pa-ral-le-lo-gram
Tandaan natin pangunahing katangian ng pa-ral-le-lo-gram-ma:
Upang magamit ang lahat ng mga katangiang ito, kailangan mong tiyakin na ang fi-gu-ra, tungkol sa isang taong -roy na pinag-uusapan, - par-ral-le-lo-gram. Upang gawin ito, kinakailangang malaman ang mga naturang katotohanan bilang mga palatandaan ng pa-ral-le-lo-gram-ma. Tinitingnan namin ang unang dalawa sa kanila ngayong taon.
2. Ang unang tanda ng paralelogram
Teorama. Ang unang tanda ng pa-ral-le-lo-gram-ma. Kung sa isang apat na karbon ang dalawang magkasalungat na panig ay pantay at magkatulad, kung gayon ang palayaw na ito ng apat na karbon - paralelogram. 
.
kanin. 2. Ang unang tanda ng pa-ral-le-lo-gram-ma
Patunay. Ilagay natin ang dia-go-nal sa four-reh-coal-ni-ka (tingnan ang Fig. 2), hinati niya ito sa dalawang tri-coal-ni-ka. Isulat natin ang nalalaman natin tungkol sa mga tatsulok na ito:
ayon sa unang tanda ng pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok.
Mula sa pagkakapantay-pantay ng ipinahiwatig na mga tatsulok ay sumusunod na, sa pamamagitan ng pag-sign ng parallelism ng mga tuwid na linya kapag tumatawid sa ch-nii kanilang s-ku-shchi. Meron tayo niyan:
Do-ka-za-but.
3. Pangalawang tanda ng paralelogram
Teorama. Ang pangalawang tanda ay pa-ral-le-lo-gram-ma. Kung sa isang apat na sulok ang bawat dalawang pro-ti-false na panig ay pantay, ang apat na sulok na ito ay paralelogram. 
.
kanin. 3. Ang pangalawang tanda ng pa-ral-le-lo-gram-ma
Patunay. Inilalagay namin ang dia-go-nal sa apat na sulok (tingnan ang Fig. 3), hinati niya ito sa dalawang tatsulok. Isulat natin ang nalalaman natin tungkol sa mga tatsulok na ito, batay sa anyo ng teorya:
ayon sa ikatlong tanda ng pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok.
Mula sa pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok ay sumusunod na, sa pamamagitan ng pag-sign ng parallelism, tuwid na mga linya kapag intersecting ang mga ito s-ku-shchey. Kain tayo:
par-ral-le-lo-gram ayon sa kahulugan. Q.E.D.
Do-ka-za-but.
4. Isang halimbawa ng paggamit ng unang tampok na paralelogram
Tingnan natin ang halimbawa ng paggamit ng mga palatandaan ng pa-ral-le-lo-gram.
Halimbawa 1. Sa umbok ay walang mga uling Hanapin ang: a) ang mga sulok ng mga uling; b) hundred-ro-well.
Solusyon. Ilustrasyon Fig. 4.
pa-ral-le-lo-gram ayon sa unang tanda ng pa-ral-le-lo-gram-ma.
A. 
sa pamamagitan ng pag-aari ng par-ral-le-lo-gram tungkol sa pro-ti-false na mga anggulo, sa pamamagitan ng pag-aari ng par-ral-le-lo-gram tungkol sa kabuuan ng mga anggulo, kapag nakahiga sa isang tabi.
B. 
sa pamamagitan ng likas na pagkakapantay-pantay ng mga pro-false na panig.
re-tiy sign pa-ral-le-lo-gram-ma
5. Balik-aral: Kahulugan at Katangian ng Parallelogram
Tandaan natin yan paralelogram- ito ay isang four-square-corner, na may pro-ti-false na panig sa mga pares. Iyon ay, kung - par-ral-le-lo-gram, kung gayon 
(tingnan ang Fig. 1).
Ang parallel-le-lo-gram ay may ilang mga katangian: ang mga pro-ti-false na anggulo ay pantay (), pro-ti-false na mga anggulo -tayo ay pantay ( 
). Bilang karagdagan, ang dia-go-na-li pa-ral-le-lo-gram sa punto ng re-se-che-niya ay nahahati ayon sa kabuuan ng mga anggulo, at-le- pagpindot patungo sa anumang panig pa. -ral-le-lo-gram-ma, katumbas, atbp.
Ngunit upang samantalahin ang lahat ng mga pag-aari na ito, ito ay kinakailangan upang maging ganap na sigurado na ang ri-va-e-my th-you-rekh-coal-nick - pa-ral-le-lo-gram. Para sa layuning ito, mayroong mga palatandaan ng par-ral-le-lo-gram: iyon ay, ang mga katotohanang mula sa kung saan ang isa ay maaaring gumuhit ng isang pinahahalagahan na konklusyon, na kung ano ang-you-rekh-coal-nick ay isang par-ral- le-lo-gram-mom. Sa nakaraang aralin, nakita na natin ang dalawang palatandaan. Ngayon ay tumitingin kami sa pangatlong pagkakataon.
6. Ang ikatlong tanda ng paralelogram at ang patunay nito
Kung sa isang four-coal ay may dia-go-on sa punto ng re-se-che-niya na ginagawa nila-by-lams, kung gayon ang ibinigay na apat-you Roh-coal-nick ay isang pa-ral-le -lo-gram-nanay.
Ibinigay:
What-you-re-coal-nick; ; .
Patunayan:
Paralelogram.
Patunay:
Upang mapatunayan ang katotohanang ito, kinakailangan upang ipakita ang paralelismo ng mga partido sa par-le-lo-gram. At ang parallelism ng mga tuwid na linya ay kadalasang nakakamit sa pamamagitan ng pagkakapantay-pantay ng mga panloob na cross-lying na mga anggulo sa mga tamang anggulong ito. Kaya, narito ang susunod na paraan upang makuha ang ikatlong tanda ng par-ral -le-lo-gram-ma: sa pamamagitan ng pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok 
.
Tingnan natin kung paano magkapantay ang mga tatsulok na ito. Sa katunayan, mula sa kondisyong ito ay sumusunod: . Bilang karagdagan, dahil ang mga anggulo ay patayo, sila ay pantay. Yan ay:
(unang tanda ng pagkakapantay-pantaytri-coal-ni-cov- kasama ang dalawang gilid at ang sulok sa pagitan nila).
Mula sa pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok: (dahil ang mga panloob na crosswise na anggulo sa mga tuwid na linya at separator ay pantay). Bilang karagdagan, mula sa pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok ay sumusunod na . Nangangahulugan ito na nauunawaan natin na sa apat na karbon ay dalawang daan ang magkapantay at magkatulad. Ayon sa unang tanda, pa-ral-le-lo-gram-ma: - pa-ral-le-lo-gram.
Do-ka-za-but.
7. Halimbawa ng suliranin sa ikatlong tanda ng paralelogram at paglalahat
Tingnan natin ang halimbawa ng paggamit ng ikatlong tanda ng pa-ral-le-lo-gram.
Halimbawa 1
Ibinigay:
- paralelogram; . - se-re-di-na, - se-re-di-na, - se-re-di-na, - se-re-di-na (tingnan ang Fig. 2).
Patunayan:- pa-ral-le-lo-gram.
Patunay:
Ibig sabihin, sa four-coal-no-dia-go-on-kung sa punto ng re-se-che-niya ginagawa nila-by-lam. Sa ikatlong tanda ng pa-ral-le-lo-gram, ito ay sumusunod mula dito na - pa-ral-le-lo-gram.
Do-ka-za-but.
Kung susuriin mo ang ikatlong tanda ng pa-ral-le-lo-gram, mapapansin mo na ang sign na ito ay kasama-vet- ay may ari-arian ng par-ral-le-lo-gram. Ibig sabihin, ang katotohanan na ang dia-go-na-li de-la-xia ay hindi lamang pag-aari ng par-le-lo-gram, at ang katangi-tanging kha-rak-te-ri-sti-che- ari-arian, kung saan maaari itong makilala mula sa set what-you-rekh-coal-ni-cov.
PINAGMULAN
http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/chyotyrehugolniki/priznaki-parallelogramma
http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/chyotyrehugolniki/tretiy-priznak-parallelogramma
http://www.uchportfolio.ru/users_content/675f9820626f5bc0afb47b57890b466e/images/46TThxQ8j4Y.jpg
http://cs10002.vk.me/u31195134/116260458/x_56d40dd3.jpg
http://wwww.tepka.ru/geometriya/16.1.gif
Kasama sa video course na "Kumuha ng A" ang lahat ng mga paksang kinakailangan upang matagumpay na makapasa sa Unified State Exam sa matematika na may 60-65 puntos. Ganap ang lahat ng mga gawain 1-13 ng Profile Unified State Exam sa matematika. Angkop din para sa pagpasa sa Basic Unified State Examination sa matematika. Kung gusto mong makapasa sa Unified State Exam na may 90-100 points, kailangan mong lutasin ang part 1 sa loob ng 30 minuto at walang pagkakamali!
Kurso sa paghahanda para sa Unified State Exam para sa mga baitang 10-11, gayundin para sa mga guro. Lahat ng kailangan mo para malutas ang Part 1 ng Unified State Exam sa matematika (ang unang 12 problema) at Problema 13 (trigonometry). At ito ay higit sa 70 puntos sa Unified State Exam, at hindi magagawa ng isang 100-point na mag-aaral o ng isang mag-aaral sa humanities kung wala sila.
Lahat ng kinakailangang teorya. Mabilis na solusyon, mga pitfalls at mga lihim ng Pinag-isang State Exam. Ang lahat ng kasalukuyang gawain ng bahagi 1 mula sa FIPI Task Bank ay nasuri. Ang kurso ay ganap na sumusunod sa mga kinakailangan ng Unified State Exam 2018.
Ang kurso ay naglalaman ng 5 malalaking paksa, 2.5 oras bawat isa. Ang bawat paksa ay ibinigay mula sa simula, simple at malinaw.
Daan-daang mga gawain ng Pinag-isang State Exam. Mga problema sa salita at teorya ng posibilidad. Simple at madaling matandaan ang mga algorithm para sa paglutas ng mga problema. Geometry. Teorya, sangguniang materyal, pagsusuri ng lahat ng uri ng mga gawain sa Pinag-isang Estado ng Pagsusuri. Stereometry. Mga nakakalito na solusyon, kapaki-pakinabang na cheat sheet, pagbuo ng spatial na imahinasyon. Trigonometry mula sa simula hanggang sa problema 13. Pag-unawa sa halip na pag-cramming. Malinaw na pagpapaliwanag ng mga kumplikadong konsepto. Algebra. Mga ugat, kapangyarihan at logarithms, function at derivative. Isang batayan para sa paglutas ng mga kumplikadong problema ng Bahagi 2 ng Pinag-isang Pagsusulit ng Estado.
Patunay
Una sa lahat, iguhit natin ang dayagonal na AC. Kumuha kami ng dalawang tatsulok: ABC at ADC.
Dahil ang ABCD ay isang paralelogram, ang sumusunod ay totoo:
AD || BC \Rightarrow \angle 1 = \angle 2 parang nakahiga crosswise.
AB || CD\Rightarrow\angle3 =\angle 4 parang nakahiga crosswise.
Samakatuwid, ang \triangle ABC = \triangle ADC (ayon sa pangalawang criterion: at AC ay karaniwan).
At, samakatuwid, \triangle ABC = \triangle ADC, pagkatapos AB = CD at AD = BC.
Napatunayan!
2. Magkapareho ang magkasalungat na anggulo.
Patunay
Ayon sa patunay katangian 1 Alam natin yan \angle 1 = \angle 2, \angle 3 = \angle 4. Kaya ang kabuuan ng magkasalungat na mga anggulo ay: \angle 1 + \angle 3 = \angle 2 + \angle 4. Isinasaalang-alang na ang \triangle ABC = \triangle ADC ay nakukuha namin \angle A = \angle C , \angle B = \angle D .
Napatunayan!
3. Ang mga diagonal ay nahahati sa kalahati ng intersection point.
Patunay
Gumuhit tayo ng isa pang dayagonal.
Sa pamamagitan ng ari-arian 1 alam natin na magkapareho ang magkabilang panig: AB = CD. Muli, tandaan ang crosswise lying pantay na mga anggulo.
Kaya, malinaw na ang \triangle AOB = \triangle COD ayon sa pangalawang criterion para sa pagkakapantay-pantay ng mga triangles (dalawang anggulo at gilid sa pagitan ng mga ito). Iyon ay, BO = OD (sa tapat ng mga sulok \angle 2 at \angle 1) at AO = OC (sa tapat ng mga sulok \angle 3 at \angle 4, ayon sa pagkakabanggit).
Napatunayan!
Mga palatandaan ng paralelogram
Kung isang tampok lamang ang naroroon sa iyong problema, kung gayon ang figure ay isang paralelogram at maaari mong gamitin ang lahat ng mga katangian ng figure na ito.
Para sa mas mahusay na pagsasaulo, tandaan na ang paralelogram sign ay sasagot sa sumusunod na tanong - "paano malalaman?". Iyon ay, kung paano malalaman na ang isang ibinigay na pigura ay isang paralelogram.
1. Ang paralelogram ay isang may apat na gilid na ang dalawang panig ay magkapantay at magkatulad.
AB = CD ; AB || Ang CD \Rightarrow ABCD ay isang paralelogram.
Patunay
Tingnan natin nang maigi. Bakit AD || BC?
\triangle ABC = \triangle ADC ni ari-arian 1: AB = CD, AC - karaniwan at \angle 1 = \angle 2 na naka-crosswise na may parallel AB at CD at secant AC.
Ngunit kung \triangle ABC = \triangle ADC , kung gayon \angle 3 = \angle 4 (kabaligtaran ng AB at CD, ayon sa pagkakabanggit). At samakatuwid AD || BC (\angle 3 at \angle 4 - ang mga nakahiga crosswise ay pantay din).
Ang unang tanda ay tama.
2. Ang paralelogram ay isang may apat na gilid na ang magkabilang panig ay pantay.
AB = CD, AD = BC \Rightarrow ABCD ay isang paralelogram.
Patunay
Isaalang-alang natin ang tanda na ito. Iguhit natin muli ang dayagonal na AC.
Sa pamamagitan ng ari-arian 1\tatsulok ABC = \tatsulok ACD .
Ito ay sumusunod na: \angle 1 = \angle 2 \Rightarrow AD || B.C. At \angle 3 = \angle 4 \Rightarrow AB || CD, ibig sabihin, ang ABCD ay isang paralelogram.
Ang pangalawang tanda ay tama.
3. Ang paralelogram ay isang quadrilateral na ang magkabilang anggulo ay pantay.
\angle A = \angle C , \angle B = \angle D \Rightarrow ABCD- paralelogram.
Patunay
2 \alpha + 2 \beta = 360^(\circ)(dahil ang ABCD ay isang quadrilateral, at \angle A = \angle C , \angle B = \angle D ayon sa kondisyon).
Lumalabas na \alpha + \beta = 180^(\circ) . Ngunit ang \alpha at \beta ay panloob na isang panig sa secant AB.
At ang katotohanan na \alpha + \beta = 180^(\circ) ay nangangahulugan din na AD || B.C.
Bukod dito, ang \alpha at \beta ay panloob na isang panig sa secant AD . At ibig sabihin ay AB || CD.
Ang ikatlong tanda ay tama.
4. Ang paralelogram ay isang quadrilateral na ang mga dayagonal ay nahahati sa kalahati ng punto ng intersection.
AO = OC ; BO = OD\Rightarrow paralelogram.
Patunay
BO = OD; AO = OC , \angle 1 = \angle 2 bilang patayo \Rightarrow \triangle AOB = \triangle COD, \Rightarrow \angle 3 = \angle 4, at \Rightarrow AB || CD.
Katulad din BO = OD; AO = OC, \angle 5 = \angle 6 \Rightarrow \triangle AOD = \triangle BOC \Rightarrow \angle 7 = \angle 8, at \Rightarrow AD || B.C.
Tama ang ikaapat na tanda.
Institusyong pang-edukasyon sa badyet ng munisipyo
Sekondaryang paaralan ng Savinskaya
Pananaliksik
Parallelogram at ang mga bagong katangian nito
Nakumpleto ni: 8B grade student
MBOU Savinskaya Secondary School
Kuznetsova Svetlana, 14 taong gulang
Pinuno: guro sa matematika
Tulchevskaya N.A.
p
Rehiyon ng Ivanovo, Russia
2016
ako. Panimula ________________________________________________________pahina 3
II. Mula sa kasaysayan ng paralelogram ________________________________________pahina 4
III Mga karagdagang katangian ng paralelogram ______________________________pahina 4
IV. Katibayan ng mga ari-arian ________________________________________ pahina 5
V. Paglutas ng mga problema gamit ang mga karagdagang katangian __________pahina 8
VI. Paglalapat ng mga katangian ng paralelogram sa buhay ___________________ pahina 11
VII. Konklusyon _________________________________________________pahina 12
VIII. Panitikan _________________________________________________pahina 13
Panimula
"Sa gitna ng pantay na pag-iisip
sa pagkakapantay-pantay ng iba pang mga kondisyon
siya na nakakaalam ng geometry ay higit na mataas"
(Blaise Pascal).
Habang pinag-aaralan ang paksang "Parallelogram" sa mga aralin sa geometry, tiningnan namin ang dalawang katangian ng isang parallelogram at tatlong tampok, ngunit noong sinimulan namin ang paglutas ng mga problema, lumabas na hindi ito sapat.
Mayroon akong tanong: ang paralelogram ba ay may iba pang mga katangian, at paano sila makakatulong sa paglutas ng mga problema?
At nagpasya akong pag-aralan ang mga karagdagang katangian ng isang paralelogram at ipakita kung paano ito mailalapat upang malutas ang mga problema.
Paksa ng pag-aaral : paralelogram
Layunin ng pag-aaral
: katangian ng isang paralelogram
Layunin ng gawain:
pagbabalangkas at patunay ng mga karagdagang katangian ng isang paralelogram na hindi pinag-aralan sa paaralan;
aplikasyon ng mga katangiang ito upang malutas ang mga problema.
Mga gawain:
Pag-aralan ang kasaysayan ng paglitaw ng paralelogram at ang kasaysayan ng pag-unlad ng mga katangian nito;
Maghanap ng karagdagang literatura sa isyung pinag-aaralan;
Pag-aralan ang mga karagdagang katangian ng paralelogram at patunayan ang mga ito;
Ipakita ang aplikasyon ng mga katangiang ito upang malutas ang mga problema;
Isaalang-alang ang aplikasyon ng mga katangian ng paralelogram sa buhay.
Mga pamamaraan ng pananaliksik:
Paggawa gamit ang pang-edukasyon at tanyag na literatura sa agham, mga mapagkukunan sa Internet;
Pag-aaral ng teoretikal na materyal;
Pagkilala ng isang hanay ng mga problema na maaaring malutas gamit ang mga karagdagang katangian ng isang paralelogram;
Pagmamasid, paghahambing, pagsusuri, pagkakatulad.
Tagal ng pag-aaral : 3 buwan: Enero-Marso 2016
Mula sa kasaysayan ng paralelogram
Sa isang geometry textbook nabasa namin ang sumusunod na kahulugan ng isang paralelogram: Ang parallelogram ay isang may apat na gilid na ang magkabilang panig ay magkapareho sa mga pares.
Ang salitang "parallelogram" ay isinalin bilang "parallel lines" (mula sa mga salitang Griyego na Parallelos - parallel at gramme - line), ang terminong ito ay ipinakilala ni Euclid. Sa kanyang aklat na Elements, pinatunayan ni Euclid ang mga sumusunod na katangian ng parallelogram: magkatapat ang magkabilang panig at anggulo ng parallelogram, at hinahati ito ng dayagonal. Hindi binanggit ni Euclid ang punto ng intersection ng isang paralelogram. Sa pagtatapos lamang ng Middle Ages ay nabuo ang isang kumpletong teorya ng parallelograms At noong ika-17 siglo lamang lumitaw ang mga theorems tungkol sa parallelograms sa mga aklat-aralin, na napatunayan gamit ang theorem ni Euclid sa mga katangian ng isang parallelogram.
III Mga karagdagang katangian ng paralelogram
Sa geometry textbook, 2 katangian lamang ng isang paralelogram ang ibinibigay:
Magkatapat ang magkasalungat na mga anggulo at panig
Ang mga diagonal ng isang paralelogram ay nagsalubong at hinahati ng intersection point.
Sa iba't ibang mga mapagkukunan sa geometry maaari mong mahanap ang mga sumusunod na karagdagang katangian:
Ang kabuuan ng mga katabing anggulo ng isang paralelogram ay 180 0
Ang bisector ng anggulo ng isang paralelogram ay pinuputol ang isang isosceles triangle mula dito;
Ang mga bisector ng magkasalungat na mga anggulo ng isang parallelogram ay namamalagi sa magkatulad na linya;
Ang mga bisector ng mga katabing anggulo ng isang paralelogram ay nagsalubong sa tamang mga anggulo;
Kapag ang mga bisector ng lahat ng mga anggulo ng isang paralelogram ay nagsalubong, sila ay bumubuo ng isang parihaba;
Ang mga distansya mula sa magkasalungat na sulok ng isang paralelogram hanggang sa parehong dayagonal ay pantay.
Kung ikinonekta mo ang magkasalungat na vertices sa isang parallelogram na may mga midpoint ng magkasalungat na gilid, makakakuha ka ng isa pang parallelogram.
Ang kabuuan ng mga parisukat ng mga diagonal ng isang paralelogram ay katumbas ng dalawang beses ang kabuuan ng mga parisukat ng mga katabing gilid nito.
Kung gumuhit ka ng mga altitude mula sa dalawang magkasalungat na anggulo sa isang paralelogram, makakakuha ka ng isang parihaba.
IV Katibayan ng mga katangian ng isang paralelogram
Ang kabuuan ng mga katabing anggulo ng isang paralelogram ay 180 0
Ibinigay:
ABCD – paralelogram
Patunayan:
A+ B= 
Patunay:
A at B – panloob na isang panig na anggulo na may parallel na tuwid na linya BC 
AD at secant AB, ibig sabihin A+ B=
2
Ibinigay: A B C D - paralelogram,
AK bisector 
A.
Patunayan: 
AVK – isosceles
Patunay:
1) 1=3 (crosswise na nakahiga sa BC AD at secant AK ),
2) 2=3 dahil ang AK ay isang bisector,
ibig sabihin 1= 2.
3) ABC - isosceles dahil pantay ang 2 anggulo ng isang tatsulok
3
Ibinigay: Ang ABCD ay isang paralelogram,
AK – bisector A,
CP - bisector C.
Patunayan: AK ║ SR
Patunay:
1) 1=2 dahil ang AK ay isang bisector
2) 4=5 dahil CP – bisector
3) 3=1 (crosswise lying angles at
BC ║ AD at AK-secant),
4) A =C (sa pamamagitan ng pag-aari ng isang paralelogram), na nangangahulugang 2=3=4=5.
4) Mula sa mga talata 3 at 4 sumusunod na 1 = 4, at ang mga anggulong ito ay tumutugma sa mga tuwid na linya AK at CP at secant BC,
nangangahulugan ito ng AK ║ CP (batay sa parallelism ng mga linya)
. Ang mga bisector ng magkasalungat na anggulo ng isang parallelogram ay nakahiga sa mga parallel na linya
Ang mga bisector ng mga katabing anggulo ng isang paralelogram ay nagsalubong sa tamang mga anggulo
Ibinigay: ABCD - paralelogram,
AK-bisector A,
DP bisector D
Patunayan: DP 
AK.
Patunay:
1) 1=2, dahil AK - bisector
Hayaan ang 1=2=x, pagkatapos ay A=2x,
2) 3=4, dahil D Р – bisector
Hayaan ang 3=4=y, pagkatapos ay D=2y
3) A + D =180 0, dahil ang kabuuan ng mga katabing anggulo ng isang paralelogram ay 180
2) Isaalang-alang Isang OD
1+3=90 0 , pagkatapos <5=90 0 (сумма углов треугольников равна 180 0)
5. Ang mga bisector ng lahat ng anggulo ng isang paralelogram kapag nagsa-intersect ay bumubuo ng isang parihaba
Ibinigay: ABCD - paralelogram, AK-bisector A,
DP-bisector D,
CM bisector C,
BF - bisector B .
Patunayan: KRNS - parihaba
Patunay:
Batay sa nakaraang property 8=7=6=5=90 0 ,
ibig sabihin ang KRNS ay isang parihaba.
Ang mga distansya mula sa magkasalungat na sulok ng isang paralelogram hanggang sa parehong dayagonal ay pantay.
Ibinigay: ABCD-paralelogram, AC-diagonal.
VC AC, D.P. A.C.
Patunayan: BC=DP
Patunay: 1) DCP = KAB, bilang panloob na mga krus na nakahiga sa AB ║ CD at secant AC.
2) AKB= CDP (sa gilid at dalawang magkatabing anggulo AB=CD CD P=AB K).
At sa pantay na tatsulok ang mga kaukulang panig ay pantay, na nangangahulugang DP=BK.
Kung ikinonekta mo ang magkasalungat na vertice sa isang paralelogram na may mga midpoint ng magkabilang panig, makakakuha ka ng isa pang parallelogram.
Ibinigay: ABCD paralelogram.
Patunayan: Ang VKDR ay isang paralelogram.
Patunay:
1) BP=KD (AD=BC, mga puntos na K at P
hatiin ang mga panig na ito sa kalahati)
2) BP ║ KD (lie on AD BC)
Kung ang magkasalungat na gilid ng isang quadrilateral ay pantay at parallel, kung gayon ang quadrilateral ay isang parallelogram.
Kung gumuhit ka ng mga altitude mula sa dalawang magkasalungat na anggulo sa isang paralelogram, makakakuha ka ng isang parihaba.
Ang kabuuan ng mga parisukat ng mga diagonal ng isang paralelogram ay katumbas ng dalawang beses ang kabuuan ng mga parisukat ng mga katabing gilid nito.
Ibinigay: Ang ABCD ay isang paralelogram. Ang BD at AC ay mga dayagonal.
Patunayan: AC 2 +ВD 2 =2(AB 2 + AD 2 )
Patunay: 1)TANONG:
A.C.
²=
+
2)B RD : BD 2 = B R 2 + RD 2 (ayon sa Pythagorean theorem)
3) A.C. ²+ BD ²=SK²+A K²+B Р²+РD ²
4) SC = BP = N(taas )
5) AC 2 +BD 2 = H 2 + A SA 2 + H 2 +PD 2
6)
Hayaan
D
K=A
P=x, Pagkatapos C
SAD
:
H
2
=
CD
2
- X 2
ayon sa Pythagorean theorem )
7) AC²+BD ² = CD 2 - x²+ AK 1 ²+ CD 2 -X 2 +PD 2 ,
AC²+BD ²=2СD 2 -2x 2 + A SA 2 +PD 2
8) A SA=AD+ X, RD=AD- X,
AC²+BD ² =2CD 2 -2x 2 +(AD +x) 2 +(AD -X) 2 ,
AC²+
SAD²=2
SAD²-2
X² +AD
2
+2AD
X+
X 2
+AD
2
-2AD
X+
X 2
,
AC²+
SAD²=2CD
2
+2AD
2
=2(CD
2
+AD
2
).
V . Paglutas ng mga problema gamit ang mga katangiang ito
Ang punto ng intersection ng mga bisector ng dalawang anggulo ng isang paralelogram na katabi ng isang panig ay kabilang sa kabaligtaran. Ang pinakamaikling bahagi ng paralelogram ay 5 . Hanapin ang malaking bahagi nito.
Ibinigay: Ang ABCD ay isang paralelogram,
AK – bisector A,
D K – bisector D , AB=5
Hanapin: Araw
desisyon Solusyon
kasi AK - bisector At pagkatapos ay isosceles ang ABC.
kasi D K – bisector D, pagkatapos DCK - isosceles
DC =C K= 5
Pagkatapos, BC=VC+SC=5+5 = 10
Sagot: 10
2. Hanapin ang perimeter ng parallelogram kung ang bisector ng isa sa mga anggulo nito ay naghahati sa gilid ng parallelogram sa mga segment na 7 cm at 14 cm.
1 kaso
Ibinigay: A,
VK=14 cm, KS=7 cm
Hanapin: P paralelogram
Solusyon
VS=VK+KS=14+7=21 (cm)
kasi AK – bisector At pagkatapos ay isosceles ang ABC.
AB=BK= 14 cm
Pagkatapos P=2 (14+21) =70 (cm)
Ibinigay: Ang ABCD ay isang paralelogram,
D K – bisector D
VK=14 cm, KS=7 cm
Hanapin: P paralelogram
Solusyon
VS=VK+KS=14+7=21 (cm)
kasi D K – bisector D, pagkatapos DCK - isosceles
DC =C K= 7
Pagkatapos, P= 2 (21+7) = 56 (cm)
Sagot: 70cm o 56cm
3. Ang mga gilid ng isang paralelogram ay 10 cm at 3 cm Ang mga bisector ng dalawang anggulo na katabi ng mas malaking bahagi ay naghahati sa magkabilang panig sa tatlong bahagi. Hanapin ang mga segment na ito.
1 kaso: bumalandra ang mga bisector sa labas ng paralelogram
Ibinigay: ABCD – paralelogram, AK – bisector A,
D K – bisector D , AB=3 cm, BC=10 cm
Hanapin: VM, MN, NC
Solusyon
kasi AM - bisector At pagkatapos ay isosceles ang AVM.
kasi DN – bisector D, pagkatapos DCN - isosceles
DC=CN=3
Pagkatapos, MN = 10 – (BM +NC) = 10 – (3+3)=4 cm
Kaso 2: nagsalubong ang mga bisector sa loob ng paralelogram
kasi AN - bisector At, ang ABN ay isosceles.
AB=BN = 3 D
At ang sliding grille ay dapat ilipat sa kinakailangang distansya sa pintuan
Mekanismo ng paralelogram- isang mekanismo ng apat na bar, ang mga link na bumubuo ng isang paralelogram. Ginagamit ito upang ipatupad ang paggalaw ng pagsasalin sa pamamagitan ng mga mekanismo ng bisagra.
Paralelogram na may nakapirming link- Ang isang link ay hindi gumagalaw, ang kabaligtaran ay gumagawa ng isang tumba-tumba, nananatiling parallel sa hindi gumagalaw. Ang dalawang parallelogram na konektado sa isa't isa ay nagbibigay sa dulo ng link ng dalawang antas ng kalayaan, na iniiwan itong parallel sa nakatigil na link.
Mga halimbawa: mga wiper ng windshield ng bus, forklift, tripod, hanger, suspension ng kotse.
Paralelogram na may nakapirming joint- ang pag-aari ng isang paralelogram upang mapanatili ang isang pare-parehong ratio ng mga distansya sa pagitan ng tatlong puntos ay ginagamit. Halimbawa: pagguhit ng pantograph - isang aparato para sa pag-scale ng mga guhit.
Rhombus- lahat ng mga link ay magkapareho ang haba, ang diskarte (contraction) ng isang pares ng magkasalungat na bisagra ay humahantong sa paglipat ng hiwalay ng iba pang dalawang bisagra. Ang lahat ng mga link ay gumagana sa compression.
Mga halimbawa - sasakyang hugis diyamante na jack, tram pantograph.
Gunting o X-shaped na mekanismo, kilala din sa Nuremberg gunting- bersyon ng rhombus - dalawang link na konektado sa gitna ng isang bisagra. Ang mga bentahe ng mekanismo ay compactness at pagiging simple, ang kawalan ay ang pagkakaroon ng dalawang sliding pairs. Dalawa (o higit pa) tulad ng mga mekanismo na konektado sa serye ay bumubuo ng (mga) brilyante sa gitna. Ginagamit sa mga elevator at laruan ng mga bata.
VII Konklusyon
Sino ang nag-aaral ng matematika mula pagkabata?
nagkakaroon siya ng atensyon, sinasanay ang kanyang utak,
sariling kalooban, naglilinang ng tiyaga
at tiyaga sa pagkamit ng mga layunin
A. Markushevich
Sa panahon ng trabaho, napatunayan ko ang mga karagdagang katangian ng paralelogram.
Kumbinsido ako na sa pamamagitan ng paggamit ng mga katangiang ito, mas mabilis mong malulutas ang mga problema.
Ipinakita ko kung paano inilalapat ang mga katangiang ito gamit ang mga halimbawa ng paglutas ng mga partikular na problema.
Marami akong natutunan tungkol sa paralelogram, na wala sa aming geometry textbook
Ako ay kumbinsido na ang kaalaman sa geometry ay napakahalaga sa buhay sa pamamagitan ng mga halimbawa ng aplikasyon ng mga katangian ng isang paralelogram.
Nakumpleto na ang layunin ng aking gawaing pananaliksik.
Ang kahalagahan ng kaalaman sa matematika ay pinatunayan ng katotohanan na ang isang premyo ay itinatag para sa taong nag-publish ng isang libro tungkol sa isang tao na nabuhay sa kanyang buong buhay nang walang tulong ng matematika. Wala pang isang tao ang nakatanggap ng award na ito.
VIII Panitikan
Pogorelov A.V. Geometry 7-9: aklat-aralin para sa pangkalahatang edukasyon. mga institusyon - M.: Edukasyon, 2014
L.S.Atanasyan at iba pa. Idagdag. Mga kabanata para sa aklat-aralin sa ika-8 baitang: aklat-aralin. manwal para sa mga mag-aaral ng mga paaralan at mga advanced na klase. nag-aral ng matematika. – M.: Vita-press, 2003
Mga mapagkukunan sa Internet
Mga materyales sa Wikipedia
