Mga Fraction

Pansin!
May mga karagdagang
materyales sa Espesyal na Seksyon 555.
Para sa mga taong "hindi masyadong..."
At para sa mga “napaka…”)

Ang mga fraction ay hindi gaanong istorbo sa high school. Pansamantala. Hanggang sa makatagpo ka ng mga kapangyarihan na may mga rational exponents at logarithms. At doon... Pinindot mo at pinindot ang calculator, at ito ay nagpapakita ng buong pagpapakita ng ilang numero. Kailangan mong mag-isip gamit ang iyong ulo tulad ng sa ikatlong baitang.

Sa wakas, alamin natin ang mga fraction! Well, gaano ka malilito sa kanila!? Bukod dito, lahat ng ito ay simple at lohikal. Kaya, ano ang mga uri ng fraction?

Mga uri ng fraction. Mga pagbabago.

May tatlong uri ng fraction.

1. Mga karaniwang fraction , Halimbawa:

Minsan sa halip na pahalang na linya ay naglalagay sila ng slash: 1/2, 3/4, 19/5, well, at iba pa. Dito natin madalas gamitin ang spelling na ito. Ang pinakamataas na numero ay tinatawag numerator, mas mababa - denominador. Kung palagi mong nalilito ang mga pangalang ito (nangyayari ito...), sabihin sa iyong sarili ang parirala: " Zzzzz Tandaan! Zzzzz denominator - tingnan mo zzzzz uh!" Tingnan mo, lahat ay maaalala zzzz.)

Ang gitling, pahalang man o hilig, ay nangangahulugang dibisyon ang nangungunang numero (numerator) hanggang sa ibaba (denominator). Iyon lang! Sa halip na isang gitling, medyo posible na maglagay ng isang tanda ng dibisyon - dalawang tuldok.

Kapag ang kumpletong paghahati ay posible, ito ay dapat gawin. Kaya, sa halip na ang fraction na "32/8" ay mas kaaya-aya na isulat ang numerong "4". Yung. Ang 32 ay hinati lamang ng 8.

32/8 = 32: 8 = 4

Hindi ko man lang pinag-uusapan ang fraction na "4/1". Na "4" lang din. At kung hindi ito ganap na mahahati, iniiwan namin ito bilang isang fraction. Minsan kailangan mong gawin ang kabaligtaran na operasyon. I-convert ang isang buong numero sa isang fraction. Ngunit higit pa sa na mamaya.

2. Mga desimal , Halimbawa:

Sa form na ito kakailanganin mong isulat ang mga sagot sa mga gawain "B".

3. Pinaghalong numero , Halimbawa:

Ang mga mixed number ay halos hindi ginagamit sa high school. Upang gumana sa kanila, dapat silang i-convert sa mga ordinaryong fraction. Ngunit tiyak na kailangan mong magawa ito! Kung hindi, makakatagpo ka ng ganoong numero sa isang problema at mag-freeze... Out of nowhere. Ngunit tatandaan namin ang pamamaraang ito! Medyo mababa.

Pinaka maraming nalalaman mga karaniwang fraction. Magsimula tayo sa kanila. Sa pamamagitan ng paraan, kung ang isang fraction ay naglalaman ng lahat ng uri ng logarithms, sines at iba pang mga titik, hindi ito nagbabago ng anuman. In the sense na lahat Ang mga aksyon na may mga fractional na expression ay hindi naiiba sa mga aksyon na may mga ordinaryong fraction!

Ang pangunahing katangian ng isang fraction.

Kaya, tayo na! Upang magsimula, sorpresahin kita. Ang buong iba't ibang mga pagbabago sa fraction ay ibinibigay ng isang solong pag-aari! Yan ang tawag dun pangunahing katangian ng isang fraction. Tandaan: Kung ang numerator at denominator ng isang fraction ay pinarami (hinati) sa parehong numero, ang fraction ay hindi nagbabago. Yung:

Malinaw na maaari kang magpatuloy sa pagsusulat hanggang sa maging bughaw ka sa mukha. Huwag hayaang malito ka ng mga sine at logarithms, haharapin pa namin ang mga ito. Ang pangunahing bagay ay upang maunawaan na ang lahat ng iba't ibang mga expression ay ang parehong fraction . 2/3.

Kailangan ba natin ito, lahat ng pagbabagong ito? At kung paano! Ngayon ay makikita mo para sa iyong sarili. Upang magsimula, gamitin natin ang pangunahing katangian ng isang fraction para sa pagbabawas ng mga fraction. Ito ay tila isang bagay sa elementarya. Hatiin ang numerator at denominator sa parehong numero at iyon na! Imposibleng magkamali! Ngunit... ang tao ay isang malikhaing nilalang. Maaari kang magkamali kahit saan! Lalo na kung kailangan mong bawasan hindi isang fraction tulad ng 5/10, ngunit isang fractional expression na may lahat ng uri ng mga titik.

Kung paano tama at mabilis na bawasan ang mga fraction nang hindi gumagawa ng karagdagang trabaho ay mababasa sa espesyal na Seksyon 555.

Ang isang normal na estudyante ay hindi nag-abala sa paghahati ng numerator at denominator sa parehong numero (o expression)! Tinatawid lang niya ang lahat na pareho sa itaas at sa ibaba! Ito ay kung saan ang isang tipikal na pagkakamali, isang pagkakamali, kung gugustuhin mo, ay nagtatago.

Halimbawa, kailangan mong gawing simple ang expression:

Walang dapat isipin dito, ekis ang letrang "a" sa itaas at ang "2" sa ibaba! Nakukuha namin:

Lahat ay tama. Pero talagang hati kayo lahat numerator at lahat ang denominator ay "a". Kung nakasanayan mong tumawid lang, sa pagmamadali ay maaari mong i-cross out ang "a" sa expression

at kunin muli

Na kung saan ay tiyak na hindi totoo. Dahil dito lahat ang numerator sa "a" ay na hindi ibinahagi! Ang fraction na ito ay hindi maaaring bawasan. Oo nga pala, ang ganitong pagbabawas ay, um... isang seryosong hamon para sa guro. Hindi ito pinatawad! naaalala mo ba Kapag binabawasan, kailangan mong hatiin lahat numerator at lahat denominador!

Ang pagbabawas ng mga fraction ay ginagawang mas madali ang buhay. Makakakuha ka ng fraction sa isang lugar, halimbawa 375/1000. Paano ko siya magpapatuloy sa trabaho ngayon? Nang walang calculator? Paramihin, sabihin, idagdag, parisukat!? At kung hindi ka masyadong tamad, at maingat na bawasan ito ng lima, at ng isa pang lima, at kahit... habang pinaikli ito, sa madaling salita. Kunin natin ang 3/8! Mas maganda, tama?

Ang pangunahing katangian ng isang fraction ay nagbibigay-daan sa iyo upang i-convert ang mga ordinaryong fraction sa mga decimal at vice versa walang calculator! Mahalaga ito para sa Unified State Exam, tama ba?

Paano i-convert ang mga fraction mula sa isang uri patungo sa isa pa.

Sa mga decimal fraction ang lahat ay simple. Tulad ng narinig, gayon din ang nakasulat! Sabihin nating 0.25. Ito ay zero point twenty five hundredths. Kaya sumulat kami: 25/100. Binabawasan namin (hinahati namin ang numerator at denominator sa 25), nakukuha namin ang karaniwang fraction: 1/4. Lahat. Nangyayari ito, at walang nabawasan. Tulad ng 0.3. Ito ay tatlong ikasampu, i.e. 3/10.

Paano kung ang mga integer ay hindi zero? ayos lang. Isinulat namin ang buong bahagi nang walang anumang kuwit sa numerator, at sa denominator - kung ano ang narinig. Halimbawa: 3.17. Ito ay tatlong punto labing pitong daan. Sinusulat namin ang 317 sa numerator at 100 sa denominator. Nakukuha namin ang 317/100. Walang nababawasan, that means everything. Ito ang sagot. Elementary Watson! Mula sa lahat ng nasabi, isang kapaki-pakinabang na konklusyon: anumang decimal fraction ay maaaring ma-convert sa isang common fraction .

Ngunit ang ilang mga tao ay hindi maaaring gawin ang reverse conversion mula sa ordinaryong hanggang decimal nang walang calculator. At ito ay kinakailangan! Paano mo isusulat ang sagot sa Unified State Exam!? Basahing mabuti at master ang prosesong ito.

Ano ang katangian ng isang decimal fraction? Ang denominator niya ay Laging nagkakahalaga ng 10, o 100, o 1000, o 10000 at iba pa. Kung ang iyong karaniwang fraction ay may denominator na tulad nito, walang problema. Halimbawa, 4/10 = 0.4. O 7/100 = 0.07. O 12/10 = 1.2. Paano kung ang sagot sa gawain sa seksyong "B" ay naging 1/2? Ano ang isusulat natin bilang tugon? Kinakailangan ang mga desimal...

Tandaan natin pangunahing katangian ng isang fraction ! Pinahihintulutan ka ng matematika na i-multiply ang numerator at denominator sa parehong numero. Kahit ano, by the way! Maliban sa zero, siyempre. Kaya't gamitin natin ang ari-arian na ito sa ating kalamangan! Ano ang maaaring i-multiply ng denominator, i.e. 2 upang ito ay maging 10, o 100, o 1000 (mas maliit ay mas mahusay, siyempre ...)? Sa 5, malinaw naman. Huwag mag-atubiling paramihin ang denominator (ito ay tayo kinakailangan) sa pamamagitan ng 5. Ngunit pagkatapos ay ang numerator ay dapat ding i-multiply sa 5. Ito ay na matematika hinihingi! Nakukuha namin ang 1/2 = 1x5/2x5 = 5/10 = 0.5. Iyon lang.

Gayunpaman, ang lahat ng uri ng mga denominador ay nakikita. Makikita mo, halimbawa, ang fraction na 3/16. Subukan at alamin kung ano ang i-multiply ng 16 para maging 100, o 1000... Hindi ba ito gumagana? Pagkatapos ay maaari mong hatiin ang 3 sa 16. Sa kawalan ng calculator, kakailanganin mong hatiin sa isang sulok, sa isang piraso ng papel, tulad ng itinuro nila sa elementarya. Nakukuha namin ang 0.1875.

At mayroon ding napakasamang denominator. Halimbawa, walang paraan upang gawing magandang decimal ang fraction na 1/3. Parehong sa calculator at sa isang piraso ng papel, nakakakuha tayo ng 0.3333333... Nangangahulugan ito na ang 1/3 ay isang eksaktong decimal fraction hindi nagsasalin. Katulad ng 1/7, 5/6 at iba pa. Marami sa kanila, hindi maisasalin. Dinadala tayo nito sa isa pang kapaki-pakinabang na konklusyon. Hindi lahat ng fraction ay maaaring i-convert sa isang decimal !

Sa pamamagitan ng paraan, ito ay kapaki-pakinabang na impormasyon para sa self-testing. Sa seksyong "B" kailangan mong isulat ang isang decimal fraction sa iyong sagot. At nakakuha ka, halimbawa, 4/3. Ang fraction na ito ay hindi nagko-convert sa isang decimal. Nangangahulugan ito na nagkamali ka sa isang lugar sa daan! Bumalik at suriin ang solusyon.

Kaya, naisip namin ang mga ordinaryong at decimal na fraction. Ang natitira na lang ay ang pagharap sa magkahalong numero. Upang gumana sa kanila, dapat silang i-convert sa mga ordinaryong fraction. Paano ito gagawin? Maaari mong mahuli ang isang ika-anim na baitang at tanungin siya. Ngunit ang isang ikaanim na baitang ay hindi palaging nasa kamay... Kakailanganin mong gawin ito sa iyong sarili. Ito ay hindi mahirap. Kailangan mong i-multiply ang denominator ng fractional na bahagi sa buong bahagi at idagdag ang numerator ng fractional na bahagi. Ito ang magiging numerator ng karaniwang fraction. Paano ang denominator? Ang denominator ay mananatiling pareho. Mukhang kumplikado, ngunit sa katotohanan ang lahat ay simple. Tingnan natin ang isang halimbawa.

Ipagpalagay na natakot ka nang makita ang numero sa problema:

Kalmado, walang gulat, sa tingin namin. Ang buong bahagi ay 1. Yunit. Ang fractional na bahagi ay 3/7. Samakatuwid, ang denominator ng fractional na bahagi ay 7. Ang denominator na ito ang magiging denominator ng ordinaryong fraction. Binibilang namin ang numerator. I-multiply namin ang 7 sa pamamagitan ng 1 (ang bahagi ng integer) at idagdag ang 3 (ang numerator ng bahaging fractional). Makakakuha tayo ng 10. Ito ang magiging numerator ng isang karaniwang fraction. Iyon lang. Mukhang mas simple ito sa mathematical notation:

Malinaw ba? Pagkatapos ay i-secure ang iyong tagumpay! I-convert sa mga ordinaryong fraction. Dapat kang makakuha ng 10/7, 7/2, 23/10 at 21/4.

Ang reverse operation - ang pag-convert ng hindi tamang fraction sa isang mixed number - ay bihirang kailanganin sa high school. Well, kung gayon... At kung wala ka sa high school, maaari mong tingnan ang espesyal na Seksyon 555. Oo nga pala, malalaman mo rin ang tungkol sa mga improper fraction doon.

Well, halos iyon lang. Naalala mo ang mga uri ng fraction at naunawaan mo Paano ilipat ang mga ito mula sa isang uri patungo sa isa pa. Ang tanong ay nananatili: Para saan gawin mo? Saan at kailan ilalapat ang malalim na kaalamang ito?

Sinagot ko. Ang anumang halimbawa mismo ay nagmumungkahi ng mga kinakailangang aksyon. Kung sa halimbawa ang mga ordinaryong praksyon, mga desimal, at maging ang mga pinaghalong numero ay pinagsama-sama, iko-convert natin ang lahat sa mga ordinaryong praksyon. Maaari itong palaging gawin. Well, kung ito ay may nakasulat na tulad ng 0.8 + 0.3, pagkatapos ay binibilang namin ito sa ganoong paraan, nang walang anumang pagsasalin. Bakit kailangan natin ng karagdagang trabaho? Pinipili namin ang solusyon na maginhawa tayo !

Kung ang gawain ay pawang mga decimal fraction, ngunit um... ilang uri ng masasama, pumunta sa mga ordinaryo at subukan ito! Tingnan mo, magiging maayos ang lahat. Halimbawa, kakailanganin mong i-square ang numerong 0.125. Hindi ganoon kadali kung hindi ka pa nasanay sa paggamit ng calculator! Hindi lang kailangan mong magparami ng mga numero sa isang column, kailangan mo ring isipin kung saan ilalagay ang kuwit! Tiyak na hindi ito gagana sa iyong ulo! Paano kung lumipat tayo sa isang ordinaryong fraction?

0.125 = 125/1000. Binabawasan namin ito ng 5 (ito ay para sa mga nagsisimula). Nakakuha kami ng 25/200. Once again by 5. Nakakuha kami ng 5/40. Naku, lumiliit pa! Bumalik sa 5! Nakakuha kami ng 1/8. Madali nating i-square ito (sa ating isip!) at makakuha ng 1/64. Lahat!

Ibuod natin ang araling ito.

1. May tatlong uri ng fraction. Karaniwan, decimal at halo-halong mga numero.

2. Mga desimal at pinaghalong numero Laging maaaring i-convert sa mga ordinaryong fraction. Baliktarin ang paglipat hindi laging magagamit.

3. Ang pagpili ng uri ng mga fraction na gagana sa isang gawain ay depende sa gawain mismo. Kung mayroong iba't ibang uri ng mga fraction sa isang gawain, ang pinaka-maaasahang bagay ay ang lumipat sa mga ordinaryong fraction.

Ngayon ay maaari kang magsanay. Una, i-convert ang mga decimal fraction na ito sa mga ordinaryong fraction:

3,8; 0,75; 0,15; 1,4; 0,725; 0,012

Dapat kang makakuha ng mga sagot tulad nito (sa gulo!):

Tapusin na natin dito. Sa araling ito na-refresh namin ang aming memorya sa mga pangunahing punto tungkol sa mga fraction. Nangyayari, gayunpaman, na walang espesyal na ire-refresh...) Kung ang isang tao ay lubusang nakakalimutan, o hindi pa nakakabisado nito... Pagkatapos ay maaari kang pumunta sa isang espesyal na Seksyon 555. Ang lahat ng mga pangunahing kaalaman ay sakop nang detalyado doon. Marami bigla intindihin ang lahat nagsisimula na. At nalulutas nila ang mga fraction sa mabilisang).

Kung gusto mo ang site na ito...

Siyanga pala, mayroon akong ilang mas kawili-wiling mga site para sa iyo.)

Maaari kang magsanay sa paglutas ng mga halimbawa at alamin ang iyong antas. Pagsubok na may agarang pag-verify. Matuto tayo - nang may interes!)

Maaari kang maging pamilyar sa mga function at derivatives.

Karaniwang fraction

quarters

1. Kaayusan. a At b mayroong isang panuntunan na nagpapahintulot sa isa na makilala ang isa at isa lamang sa tatlong relasyon sa pagitan nila: "< », « >" o "=". Ang tuntuning ito ay tinatawag tuntunin sa pag-order at binabalangkas tulad ng sumusunod: dalawang di-negatibong mga numero at nauugnay sa parehong kaugnayan ng dalawang integer at ; dalawang hindi positibong numero a At b ay nauugnay sa parehong kaugnayan ng dalawang di-negatibong numero at ; kung biglaan a hindi negatibo, ngunit b- negatibo, kung gayon a > b. style="max-width: 98%; height: auto; width: auto;" src="/pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" border="0">

   

   Pagdaragdag ng mga Fraction

2. Pagpapatakbo ng karagdagan. Para sa anumang mga rational na numero a At b may tinatawag na tuntunin sa pagbubuod c. Bukod dito, ang numero mismo c tinawag halaga numero a At b at ay tinutukoy ng , at ang proseso ng paghahanap ng naturang numero ay tinatawag pagbubuod. Ang panuntunan sa pagbubuod ay may sumusunod na anyo: .
3. Pagpaparami ng operasyon. Para sa anumang mga rational na numero a At b may tinatawag na tuntunin sa pagpaparami, na nagtatalaga sa kanila ng ilang rational na numero c. Bukod dito, ang numero mismo c tinawag trabaho numero a At b at ay tinutukoy ng , at ang proseso ng paghahanap ng naturang numero ay tinatawag din pagpaparami. Ganito ang hitsura ng panuntunan sa pagpaparami: .
4. Transitivity ng ugnayan ng pagkakasunud-sunod. Para sa anumang triple ng mga rational na numero a , b At c Kung a mas mababa b At b mas mababa c, Iyon a mas mababa c, at kung a katumbas b At b katumbas c, Iyon a katumbas c. 6435">Commutativity ng karagdagan. Ang pagpapalit ng mga lugar ng mga makatwirang termino ay hindi nagbabago sa kabuuan.
5. Pagkakaugnay ng karagdagan. Ang pagkakasunud-sunod kung saan idinagdag ang tatlong rational na numero ay hindi nakakaapekto sa resulta.
6. Pagkakaroon ng zero. Mayroong rational number 0 na nagpapanatili sa bawat iba pang rational number kapag idinagdag.
7. Ang pagkakaroon ng magkasalungat na numero. Ang anumang rational number ay may kabaligtaran na rational number, na kapag idinagdag ay nagbibigay ng 0.
8. Commutativity ng multiplikasyon. Ang pagpapalit ng mga lugar ng mga makatwirang kadahilanan ay hindi nagbabago sa produkto.
9. Pagkakaugnay ng multiplikasyon. Ang pagkakasunud-sunod kung saan ang tatlong rational na numero ay pinarami ay hindi nakakaapekto sa resulta.
10. Availability ng unit. Mayroong rational number 1 na nagpapanatili sa bawat iba pang rational number kapag pinarami.
11. Pagkakaroon ng mga katumbas na numero. Ang anumang rational na numero ay may kabaligtaran na rational na numero, na kapag i-multiply sa nagbibigay ng 1.
12. Distributivity ng multiplikasyon na may kaugnayan sa karagdagan. Ang pagpaparami ng operasyon ay pinag-ugnay sa pagpapatakbo ng karagdagan sa pamamagitan ng batas sa pamamahagi:
13. Koneksyon ng kaugnayan ng pagkakasunud-sunod sa pagpapatakbo ng karagdagan. Ang parehong rational number ay maaaring idagdag sa kaliwa at kanang bahagi ng isang rational inequality. max-width: 98%; taas: auto; lapad: auto;" src="/pictures/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0">
14. Axiom ng Archimedes. Anuman ang makatwirang numero a, maaari kang kumuha ng napakaraming unit na lumampas ang kanilang kabuuan a. style="max-width: 98%; height: auto; width: auto;" src="/pictures/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png" border="0">

Mga karagdagang katangian

Ang lahat ng iba pang mga katangian na likas sa mga rational na numero ay hindi nakikilala bilang mga pangunahing, dahil, sa pangkalahatan, hindi na sila nakabatay nang direkta sa mga katangian ng mga integer, ngunit maaaring mapatunayan batay sa ibinigay na mga pangunahing katangian o direkta sa pamamagitan ng kahulugan ng ilang bagay sa matematika. . Mayroong maraming mga karagdagang pag-aari. Makatuwirang ilista lamang ang ilan sa mga ito dito.

Style="max-width: 98%; height: auto; width: auto;" src="/pictures/wiki/files/48/0caf9ffdbc8d6264bc14397db34e8d72.png" border="0">

Pagbibilang ng isang set

Pagbilang ng mga rational na numero

Upang matantya ang bilang ng mga rational na numero, kailangan mong hanapin ang cardinality ng kanilang set. Madaling patunayan na ang hanay ng mga rational na numero ay mabibilang. Upang gawin ito, ito ay sapat na upang magbigay ng isang algorithm na enumerates rational na mga numero, ibig sabihin, nagtatatag ng isang bijection sa pagitan ng mga hanay ng mga rational at natural na mga numero.

Ang pinakasimpleng mga algorithm na ito ay ganito ang hitsura. Ang isang walang katapusang talahanayan ng mga ordinaryong fraction ay pinagsama-sama, sa bawat isa i-ika-linya sa bawat isa j ang ika-kolumna kung saan matatagpuan ang fraction. Para sa katiyakan, ipinapalagay na ang mga row at column ng talahanayang ito ay binibilang simula sa isa. Ang mga cell ng talahanayan ay tinutukoy ng , kung saan i- ang bilang ng row ng talahanayan kung saan matatagpuan ang cell, at j- numero ng hanay.

Ang resultang talahanayan ay binabagtas gamit ang isang "ahas" ayon sa sumusunod na pormal na algorithm.

Hinahanap ang mga panuntunang ito mula sa itaas hanggang sa ibaba at ang susunod na posisyon ay pinili batay sa unang laban.

Sa proseso ng naturang traversal, ang bawat bagong rational na numero ay nauugnay sa isa pang natural na numero. Iyon ay, ang fraction 1/1 ay itinalaga sa numero 1, ang fraction 2/1 sa numero 2, atbp. Dapat tandaan na ang mga hindi mababawasan na fraction lamang ang binibilang. Ang isang pormal na tanda ng irreducibility ay ang pinakamalaking karaniwang divisor ng numerator at denominator ng fraction ay katumbas ng isa.

Kasunod ng algorithm na ito, maaari nating ibilang ang lahat ng positibong rational na numero. Nangangahulugan ito na ang hanay ng mga positibong rational na numero ay mabibilang. Madaling magtatag ng bijection sa pagitan ng mga hanay ng positibo at negatibong mga rational na numero sa pamamagitan lamang ng pagtatalaga sa bawat rational na numero na kabaligtaran nito. yun. ang hanay ng mga negatibong rational na numero ay mabibilang din. Ang kanilang unyon ay mabibilang din sa pamamagitan ng pag-aari ng mga mabibilang na hanay. Ang hanay ng mga rational na numero ay mabibilang din bilang unyon ng isang mabibilang na hanay na may isang may hangganan.

Ang pahayag tungkol sa countability ng hanay ng mga rational na numero ay maaaring magdulot ng ilang pagkalito, dahil sa unang tingin ay tila ito ay mas malawak kaysa sa hanay ng mga natural na numero. Sa katunayan, hindi ito ganoon at may sapat na natural na mga numero upang mabilang ang lahat ng mga makatwiran.

Kakulangan ng mga rational na numero

Ang hypotenuse ng naturang tatsulok ay hindi maipahayag ng anumang rational na numero

Mga rational na numero ng form 1 / n sa kabuuan n arbitraryong maliliit na dami ay maaaring masukat. Ang katotohanang ito ay lumilikha ng mapanlinlang na impresyon na ang mga makatwirang numero ay maaaring gamitin upang sukatin ang anumang mga geometriko na distansya. Madaling ipakita na hindi ito totoo.

Mula sa Pythagorean theorem alam natin na ang hypotenuse ng isang right triangle ay ipinahayag bilang square root ng kabuuan ng mga parisukat ng mga binti nito. yun. ang haba ng hypotenuse ng isosceles right triangle na may unit leg ay katumbas ng , ibig sabihin, ang numero na ang parisukat ay 2.

Kung ipagpalagay natin na ang isang numero ay maaaring katawanin ng ilang rational na numero, kung gayon mayroong ganoong integer m at tulad ng isang natural na numero n, iyon , at ang fraction ay hindi mababawasan, ibig sabihin, mga numero m At n- kapwa simple.

Kung , kung gayon , ibig sabihin. m 2 = 2n 2. Samakatuwid, ang bilang m Ang 2 ay kahit na, ngunit ang produkto ng dalawang kakaibang numero ay kakaiba, na nangangahulugang ang numero mismo m pati na rin. Kaya mayroong isang natural na numero k, na ang bilang m maaaring katawanin sa anyo m = 2k. Numerong parisukat m Sa puntong ito m 2 = 4k 2, ngunit sa kabilang banda m 2 = 2n 2 ay nangangahulugang 4 k 2 = 2n 2, o n 2 = 2k 2. Gaya ng ipinakita kanina para sa numero m, nangangahulugan ito na ang numero n- kahit bilang m. Ngunit kung gayon ang mga ito ay hindi relatibong kalakasan, dahil pareho ang dalawang bahagi. Ang resultang kontradiksyon ay nagpapatunay na ito ay hindi isang makatwirang numero.

Kapag pinag-aaralan ang reyna ng lahat ng agham - matematika, sa isang punto ang lahat ay nakakatagpo ng mga fraction. Bagaman ang konseptong ito (tulad ng mga uri ng mga fraction sa kanilang sarili o mga pagpapatakbo ng matematika sa kanila) ay hindi lahat kumplikado, kailangan mong maingat na tratuhin ito, dahil sa totoong buhay sa labas ng paaralan ito ay magiging lubhang kapaki-pakinabang. Kaya, i-refresh natin ang ating kaalaman tungkol sa mga fraction: kung ano ang mga ito, para saan ang mga ito, kung anong mga uri ang mga ito at kung paano magsagawa ng iba't ibang mga operasyon sa aritmetika sa kanila.

Her Majesty fraction: ano ito

Sa matematika, ang mga fraction ay mga numero, na ang bawat isa ay binubuo ng isa o higit pang bahagi ng isang yunit. Ang ganitong mga fraction ay tinatawag ding ordinaryo o simple. Bilang isang patakaran, ang mga ito ay nakasulat sa anyo ng dalawang numero na pinaghihiwalay ng isang pahalang o slash na linya, ito ay tinatawag na "fractional" na linya. Halimbawa: ½, ¾.
Ang itaas, o una, ng mga numerong ito ay ang numerator (ipinapakita kung gaano karaming bahagi ang kinuha mula sa numero), at ang mas mababa, o pangalawa, ay ang denominator (nagpapakita kung gaano karaming bahagi ang nahahati sa yunit).
Ang fraction bar ay aktwal na gumagana bilang isang tanda ng dibisyon. Halimbawa, 7:9=7/9
Ayon sa kaugalian, ang mga karaniwang fraction ay mas mababa sa isa. Habang ang mga decimal ay maaaring mas malaki kaysa dito.

Para saan ang mga fraction? Oo, para sa lahat, dahil sa totoong mundo, hindi lahat ng numero ay integer. Halimbawa, dalawang mag-aaral sa cafeteria ang bumili ng isang masarap na chocolate bar nang magkasama. Nang magsasalo na sana sila ng dessert, nakilala nila ang isang kaibigan at nagpasyang i-treat din siya. Gayunpaman, ngayon ito ay kinakailangan upang tama na hatiin ang tsokolate bar, isinasaalang-alang na ito ay binubuo ng 12 mga parisukat.
Sa una, nais ng mga batang babae na hatiin ang lahat nang pantay, at pagkatapos ay makakakuha ang bawat isa ng apat na piraso. Ngunit, pagkatapos ng pag-iisip, nagpasya silang tratuhin ang kanilang kaibigan, hindi 1/3, ngunit 1/4 ng tsokolate. At dahil ang mga mag-aaral na babae ay hindi nag-aral nang mabuti ng mga praksiyon, hindi nila isinaalang-alang na sa ganoong sitwasyon ay magkakaroon sila ng 9 na piraso, na napakahirap hatiin sa dalawa. Ang medyo simpleng halimbawang ito ay nagpapakita kung gaano kahalaga na mahanap nang tama ang isang bahagi ng isang numero. Pero sa buhay marami pang ganitong kaso.

Mga uri ng fraction: ordinaryo at decimal

Ang lahat ng mathematical fraction ay nahahati sa dalawang malalaking kategorya: ordinaryo at decimal. Ang mga tampok ng una sa kanila ay inilarawan sa nakaraang talata, kaya ngayon ito ay nagkakahalaga ng pagbibigay pansin sa pangalawa.
Ang desimal ay isang positional notation ng isang fraction ng isang numero, na nakasulat sa sulat na pinaghihiwalay ng kuwit, na walang gitling o slash. Halimbawa: 0.75, 0.5.
Sa katunayan, ang isang decimal fraction ay kapareho ng isang ordinaryong fraction, gayunpaman, ang denominator nito ay palaging isa na sinusundan ng mga zero - kaya ang pangalan nito.
Ang numero na nauuna sa kuwit ay isang bahaging integer, at lahat ng kasunod nito ay isang fraction. Anumang simpleng fraction ay maaaring i-convert sa isang decimal. Kaya, ang mga decimal fraction na ipinahiwatig sa nakaraang halimbawa ay maaaring isulat gaya ng dati: ¾ at ½.
Kapansin-pansin na ang mga decimal at ordinaryong fraction ay maaaring maging positibo o negatibo. Kung ang mga ito ay pinangungunahan ng isang “-” sign, ang fraction na ito ay negatibo, kung ang “+” ay isang positive fraction.

Mga subtype ng ordinaryong fraction

May mga ganitong uri ng simpleng fraction.

Tama. Ang kanilang numerator na halaga ay palaging mas mababa kaysa sa denominator. Halimbawa: 7/8. Ito ay wastong fraction dahil ang numerator 7 ay mas mababa sa denominator 8. Hindi wasto. Sa ganitong mga fraction, alinman sa numerator at denominator ay pantay sa bawat isa (8/8), o ang halaga ng mas mababang numero ay mas mababa kaysa sa itaas (9/8). Magkakahalo. Ito ang pangalan ng isang wastong fraction na nakasulat kasama ng isang buong bilang: 8 ½. Ito ay nauunawaan bilang kabuuan ng numerong ito at isang fraction. Sa pamamagitan ng paraan, medyo madaling gumawa ng isang hindi tamang fraction na lumitaw sa lugar nito. Para magawa ito, kailangang isulat ang 8 bilang 16/2+1/2=17/2. Composite. Gaya ng ipinahihiwatig ng pangalan, binubuo ang mga ito ng ilang fractional na linya: ½ / ¾. Reducible / irreducible. Maaaring kabilang dito ang parehong wasto at hindi wastong mga fraction. Ang lahat ay nakasalalay sa kung ang numerator at denominator ay maaaring hatiin sa parehong numero. Halimbawa, ang 6/9 ay isang reducible fraction, dahil ang parehong bahagi nito ay maaaring hatiin ng 3 at ang resulta ay 2/3. Ngunit ang 7/9 ay hindi mababawasan, dahil ang 7 at 9 ay mga pangunahing numero na walang karaniwang divisor at hindi maaaring bawasan.

Mga subtype ng decimal fraction

Hindi tulad ng isang simpleng fraction, ang isang decimal fraction ay nahahati lamang sa 2 uri.

Finite - natanggap ang pangalang ito dahil sa katotohanan na pagkatapos ng decimal point ay mayroon itong limitadong (finite) na bilang ng mga digit: 19.25. Ang infinite fraction ay isang numerong may walang katapusang bilang ng mga digit pagkatapos ng decimal point. Halimbawa, kapag hinahati ang 10 sa 3, ang resulta ay isang walang katapusang fraction 3.333...

Pagdaragdag ng mga Fraction

Ang pagsasagawa ng iba't ibang mga manipulasyon sa aritmetika na may mga fraction ay medyo mas mahirap kaysa sa mga ordinaryong numero. Gayunpaman, kung naiintindihan mo ang mga pangunahing patakaran, ang paglutas ng anumang halimbawa sa kanila ay hindi magiging mahirap.
Kaya, upang magdagdag ng mga fraction nang magkasama, una sa lahat, kailangan mong tiyakin na ang parehong mga termino ay may parehong denominator. Upang gawin ito, kailangan mong hanapin ang pinakamaliit na bilang na maaaring hatiin nang walang nalalabi sa mga denominador ng mga summand.
Halimbawa: 2/3+3/4. Ang hindi bababa sa karaniwang maramihang para sa kanila ay magiging 12, samakatuwid, kinakailangan na ang numerong ito ay nasa bawat denominator. Upang gawin ito, pinarami namin ang numerator at denominator ng unang bahagi ng 4, lumalabas na 8/12, ginagawa namin ang parehong sa pangalawang termino, ngunit i-multiply lamang ng 3 - 9/12. Ngayon ay madali mong malulutas ang halimbawa: 8/12+9/12= 17/12. Ang resultang fraction ay isang maling halaga dahil ang numerator ay mas malaki kaysa sa denominator. Maaari at dapat itong baguhin sa tamang halo sa pamamagitan ng paghahati sa 17:12 = 1 at 5/12.
Kapag idinagdag ang mga halo-halong fraction, ang mga operasyon ay isinasagawa muna gamit ang mga buong numero, at pagkatapos ay may mga fraction.
Kung ang halimbawa ay naglalaman ng isang decimal fraction at isang regular na fraction, ito ay kinakailangan upang gawin ang parehong simple, pagkatapos ay dalhin ang mga ito sa parehong denominator at idagdag ang mga ito. Halimbawa 3.1+1/2. Ang numero 3.1 ay maaaring isulat bilang isang halo-halong fraction ng 3 at 1/10 o bilang isang hindi wastong fraction - 31/10. Ang karaniwang denominator para sa mga termino ay magiging 10, kaya kailangan mong i-multiply ang numerator at denominator ng 1/2 ng 5 nang halili, makakakuha ka ng 5/10. Pagkatapos ay madali mong makalkula ang lahat: 31/10+5/10=35/10. Ang resulta na nakuha ay isang hindi wastong nababawas na bahagi, dinadala namin ito sa normal na anyo, binabawasan ito ng 5: 7/2 = 3 at 1/2, o decimal - 3.5.
Kapag nagdaragdag ng 2 decimal fraction, mahalaga na mayroong parehong bilang ng mga digit pagkatapos ng decimal point. Kung hindi ito ang kaso, kailangan mo lamang idagdag ang kinakailangang bilang ng mga zero, dahil sa isang decimal fraction ito ay maaaring gawin nang walang sakit. Halimbawa, 3.5+3.005. Upang malutas ang problemang ito, kailangan mong magdagdag ng 2 zero sa unang numero at pagkatapos ay magdagdag ng isa-isa: 3.500+3.005=3.505.

Pagbabawas ng mga Fraction

Kapag binabawasan ang mga fraction, dapat mong gawin ang parehong tulad ng kapag nagdadagdag: bawasan sa isang karaniwang denominator, ibawas ang isang numerator mula sa isa pa, at, kung kinakailangan, i-convert ang resulta sa isang halo-halong fraction.
Halimbawa: 16/20-5/10. Ang common denominator ay magiging 20. Kailangan mong dalhin ang pangalawang fraction sa denominator na ito sa pamamagitan ng pagpaparami ng parehong bahagi nito sa 2, makakakuha ka ng 10/20. Ngayon ay maaari mong lutasin ang halimbawa: 16/20-10/20= 6/20. Gayunpaman, ang resulta na ito ay nalalapat sa mga nababawas na fraction, kaya sulit na hatiin ang magkabilang panig ng 2 at ang resulta ay 3/10.

Pagpaparami ng mga fraction

Ang paghahati at pagpaparami ng mga fraction ay mas simpleng operasyon kaysa sa pagdaragdag at pagbabawas. Ang katotohanan ay kapag ginagawa ang mga gawaing ito, hindi na kailangang maghanap ng isang karaniwang denominator.
Upang magparami ng mga fraction, kailangan mo lamang na i-multiply ang parehong mga numerator nang paisa-isa, at pagkatapos ay ang parehong mga denominador. Bawasan ang magreresultang resulta kung ang fraction ay mababawasang dami.

Halimbawa: 4/9x5/8. Pagkatapos ng alternatibong multiplikasyon, ang resulta ay 4x5/9x8=20/72. Ang fraction na ito ay maaaring bawasan ng 4, kaya ang huling sagot sa halimbawa ay 5/18.

Paano hatiin ang mga fraction

Ang paghahati ng mga fraction ay isa ring simpleng operasyon; sa katunayan, bumababa pa rin ito sa pagpaparami ng mga ito. Upang hatiin ang isang fraction sa isa pa, kailangan mong baligtarin ang pangalawa at i-multiply sa una.

Halimbawa, ang paghahati sa mga fraction na 5/19 at 5/7. Upang malutas ang halimbawa, kailangan mong palitan ang denominator at numerator ng pangalawang bahagi at i-multiply: 5/19x7/5=35/95. Ang resulta ay maaaring mabawasan ng 5 - lumalabas na 7/19.
Kung kailangan mong hatiin ang isang fraction sa isang pangunahing numero, ang pamamaraan ay bahagyang naiiba. Sa una, dapat mong isulat ang numerong ito bilang isang hindi wastong bahagi, at pagkatapos ay hatiin ayon sa parehong pamamaraan. Halimbawa, ang 2/13:5 ay dapat isulat bilang 2/13: 5/1. Ngayon ay kailangan mong i-on ang 5/1 at i-multiply ang mga resultang fraction: 2/13x1/5= 2/65.
Minsan kailangan mong hatiin ang mga mixed fraction. Kailangan mong tratuhin ang mga ito tulad ng gagawin mo sa mga buong numero: gawin ang mga ito sa hindi wastong mga fraction, baligtarin ang divisor at i-multiply ang lahat. Halimbawa, 8 ½: 3. I-convert ang lahat sa hindi wastong mga fraction: 17/2: 3/1. Sinusundan ito ng 3/1 flip at multiplication: 17/2x1/3= 17/6. Ngayon ay kailangan mong i-convert ang hindi tamang fraction sa tamang isa - 2 buo at 5/6.
Kaya, nang malaman kung ano ang mga praksyon at kung paano mo magagawa ang iba't ibang mga operasyon sa aritmetika sa kanila, kailangan mong subukang huwag kalimutan ang tungkol dito. Pagkatapos ng lahat, ang mga tao ay palaging mas hilig na hatiin ang isang bagay sa mga bahagi kaysa magdagdag, kaya kailangan mong magawa ito nang tama.

Nasa elementarya na, ang mga mag-aaral ay nalantad sa mga fraction. At pagkatapos ay lumilitaw sila sa bawat paksa. Hindi mo makakalimutan ang mga aksyon sa mga numerong ito. Samakatuwid, kailangan mong malaman ang lahat ng impormasyon tungkol sa mga ordinaryong at decimal na fraction. Ang mga konsepto na ito ay hindi kumplikado, ang pangunahing bagay ay upang maunawaan ang lahat sa pagkakasunud-sunod.

Bakit kailangan ang mga fraction?

Ang mundo sa paligid natin ay binubuo ng buong mga bagay. Samakatuwid, hindi na kailangan ng pagbabahagi. Ngunit ang pang-araw-araw na buhay ay patuloy na nagtutulak sa mga tao na magtrabaho sa mga bahagi ng mga bagay at bagay.

Halimbawa, ang tsokolate ay binubuo ng ilang piraso. Isaalang-alang ang isang sitwasyon kung saan ang kanyang tile ay nabuo sa pamamagitan ng labindalawang parihaba. Kung hahatiin mo ito sa dalawa, makakakuha ka ng 6 na bahagi. Madali itong mahahati sa tatlo. Ngunit hindi posible na bigyan ang limang tao ng isang buong bilang ng mga hiwa ng tsokolate.

Sa pamamagitan ng paraan, ang mga hiwa na ito ay mga fraction na. At ang kanilang karagdagang dibisyon ay humahantong sa paglitaw ng mas kumplikadong mga numero.

Ano ang "fraction"?

Ito ay isang numero na binubuo ng mga bahagi ng isang yunit. Sa panlabas, mukhang dalawang numero na pinaghihiwalay ng pahalang o slash. Ang tampok na ito ay tinatawag na fractional. Ang numerong nakasulat sa itaas (kaliwa) ay tinatawag na numerator. Ang nasa ibaba (kanan) ay ang denominator.

Sa esensya, ang slash ay lumalabas na isang tanda ng dibisyon. Iyon ay, ang numerator ay maaaring tawaging dibidendo, at ang denominator ay maaaring tawaging divisor.

Anong mga fraction ang mayroon?

Sa matematika mayroon lamang dalawang uri: ordinaryo at decimal na mga praksyon. Nakikilala ng mga mag-aaral ang mga una sa elementarya, na tinatawag lamang silang "mga fraction." Ang huli ay matutunan sa ika-5 baitang. Iyon ay kapag lumitaw ang mga pangalan na ito.

Ang mga karaniwang praksyon ay ang lahat ng isinulat bilang dalawang numero na pinaghihiwalay ng isang linya. Halimbawa, 4/7. Ang decimal ay isang numero kung saan ang fractional na bahagi ay mayroong positional notation at pinaghihiwalay mula sa buong numero ng kuwit. Halimbawa, 4.7. Kailangang malinaw na maunawaan ng mga mag-aaral na ang dalawang halimbawang ibinigay ay ganap na magkaibang mga numero.

Ang bawat simpleng fraction ay maaaring isulat bilang isang decimal. Ang pahayag na ito ay halos palaging totoo sa kabaligtaran. May mga panuntunan na nagbibigay-daan sa iyong magsulat ng decimal fraction bilang common fraction.

Anong mga subtype ang mayroon ang mga uri ng fraction na ito?

Mas mainam na magsimula sa magkakasunod na pagkakasunud-sunod, habang pinag-aaralan ang mga ito. Nauuna ang mga karaniwang fraction. Kabilang sa mga ito, 5 subspecies ang maaaring makilala.

Tama. Ang numerator nito ay palaging mas mababa kaysa sa denominator nito.

mali. Ang numerator nito ay mas malaki kaysa o katumbas ng denominator nito.

Nababawasan/hindi mababawasan. Maaari itong maging tama o mali. Ang isa pang mahalagang bagay ay kung ang numerator at denominator ay may mga karaniwang salik. Kung mayroon, kung gayon kinakailangan na hatiin ang parehong bahagi ng fraction sa kanila, iyon ay, bawasan ito.

Magkakahalo. Ang isang integer ay itinalaga sa karaniwan nitong regular (irregular) fractional na bahagi. Bukod dito, ito ay palaging nasa kaliwa.

Composite. Ito ay nabuo mula sa dalawang fraction na hinati sa bawat isa. Iyon ay, naglalaman ito ng tatlong fractional na linya nang sabay-sabay.

Ang mga desimal na praksiyon ay may dalawang subtype lamang:

may hangganan, iyon ay, isa na ang fractional na bahagi ay limitado (may katapusan);

walang hanggan - isang numero na ang mga digit pagkatapos ng decimal point ay hindi nagtatapos (maaari silang isulat nang walang katapusan).

Paano i-convert ang isang decimal fraction sa isang karaniwang fraction?

Kung ito ay isang may hangganang numero, kung gayon ang isang asosasyon ay inilalapat batay sa panuntunan - tulad ng naririnig ko, kaya ako nagsusulat. Iyon ay, kailangan mong basahin ito ng tama at isulat ito, ngunit walang kuwit, ngunit may isang fractional bar.

Bilang isang pahiwatig tungkol sa kinakailangang denominator, kailangan mong tandaan na ito ay palaging isa at ilang mga zero. Kailangan mong isulat ang marami sa huli dahil mayroong mga digit sa fractional na bahagi ng numerong pinag-uusapan.

Paano i-convert ang mga decimal fraction sa mga ordinaryong fraction kung ang kanilang integer na bahagi ay nawawala, iyon ay, katumbas ng zero? Halimbawa, 0.9 o 0.05. Matapos ilapat ang tinukoy na panuntunan, lumalabas na kailangan mong magsulat ng mga zero integer. Ngunit hindi ito ipinahiwatig. Ang natitira na lang ay isulat ang mga fractional na bahagi. Ang unang numero ay magkakaroon ng denominator ng 10, ang pangalawa ay magkakaroon ng denominator ng 100. Ibig sabihin, ang mga ibinigay na halimbawa ay magkakaroon ng mga sumusunod na numero bilang mga sagot: 9/10, 5/100. Bukod dito, lumalabas na ang huli ay maaaring mabawasan ng 5. Samakatuwid, ang resulta para dito ay kailangang isulat bilang 1/20.

Paano mo mako-convert ang isang decimal fraction sa isang ordinaryong fraction kung ang integer na bahagi nito ay iba sa zero? Halimbawa, 5.23 o 13.00108. Sa parehong mga halimbawa, ang buong bahagi ay binabasa at ang halaga nito ay nakasulat. Sa unang kaso ito ay 5, sa pangalawa ito ay 13. Pagkatapos ay kailangan mong lumipat sa fractional na bahagi. Ang parehong operasyon ay dapat na isagawa sa kanila. Ang unang numero ay lilitaw 23/100, ang pangalawa - 108/100000. Ang pangalawang halaga ay kailangang bawasan muli. Ang sagot ay nagbibigay ng mga sumusunod na pinaghalong fraction: 5 23/100 at 13 27/25000.

Paano i-convert ang isang walang katapusang decimal fraction sa isang ordinaryong fraction?

Kung ito ay hindi pana-panahon, kung gayon ang naturang operasyon ay hindi posible. Ang katotohanang ito ay dahil sa ang katunayan na ang bawat decimal fraction ay palaging kino-convert sa alinman sa isang may hangganan o isang periodic fraction.

Ang tanging bagay na maaari mong gawin sa naturang fraction ay bilugan ito. Ngunit ang decimal ay magiging humigit-kumulang katumbas ng walang katapusan na iyon. Maaari na itong gawing ordinaryo. Ngunit ang baligtad na proseso: ang pag-convert sa decimal ay hindi kailanman magbibigay ng paunang halaga. Ibig sabihin, ang mga infinite non-periodic fraction ay hindi na-convert sa mga ordinaryong fraction. Ito ay kailangang tandaan.

Paano magsulat ng isang walang katapusang periodic fraction bilang isang ordinaryong fraction?

Sa mga numerong ito, palaging may isa o higit pang mga digit pagkatapos ng decimal point na inuulit. Tinatawag silang period. Halimbawa, 0.3(3). Narito ang "3" ay nasa panahon. Ang mga ito ay inuri bilang makatwiran dahil maaari silang ma-convert sa mga ordinaryong fraction.

Alam ng mga nakatagpo ng periodic fraction na maaari silang maging dalisay o halo-halong. Sa unang kaso, ang tuldok ay nagsisimula kaagad mula sa kuwit. Sa pangalawa, ang fractional na bahagi ay nagsisimula sa ilang mga numero, at pagkatapos ay magsisimula ang pag-uulit.

Ang panuntunan kung saan kailangan mong magsulat ng isang walang katapusang decimal bilang isang karaniwang fraction ay mag-iiba para sa dalawang uri ng mga numerong ipinahiwatig. Napakadaling magsulat ng mga purong periodic fraction bilang ordinaryong fraction. Tulad ng mga may hangganan, kailangan nilang ma-convert: isulat ang tuldok sa numerator, at ang denominator ay ang numero 9, na mauulit nang maraming beses sa bilang ng mga digit na nilalaman ng tuldok.

Halimbawa, 0,(5). Ang numero ay walang integer na bahagi, kaya kailangan mong agad na magsimula sa fractional na bahagi. Isulat ang 5 bilang numerator at 9 bilang denominator. Ibig sabihin, ang sagot ay ang fraction na 5/9.

Ang panuntunan kung paano sumulat ng ordinaryong decimal periodic fraction na pinaghalo.

Tingnan mo ang tagal ng panahon. Ganyan karaming 9 ang magkakaroon ng denominator.

Isulat ang denominator: unang siyam, pagkatapos ay mga zero.

Upang matukoy ang numerator, kailangan mong isulat ang pagkakaiba ng dalawang numero. Ang lahat ng mga numero pagkatapos ng decimal point ay mababawasan, kasama ang tuldok. Deductible - ito ay walang period.

Halimbawa, 0.5(8) - isulat ang periodic decimal fraction bilang common fraction. Ang fractional na bahagi bago ang tuldok ay naglalaman ng isang digit. Kaya magkakaroon ng isang zero. Isa lang din ang numero sa period - 8. Ibig sabihin, isa lang siyam. Ibig sabihin, kailangan mong isulat ang 90 sa denominator.

Upang matukoy ang numerator, kailangan mong ibawas ang 5 mula sa 58. Ito ay naging 53. Halimbawa, kailangan mong isulat ang sagot bilang 53/90.

Paano nako-convert ang mga fraction sa mga decimal?

Ang pinakasimpleng opsyon ay isang numero na ang denominator ay ang numero 10, 100, atbp. Pagkatapos ang denominator ay itatapon lamang, at isang kuwit ang inilalagay sa pagitan ng mga bahagi ng fractional at integer.

May mga sitwasyon kung saan ang denominator ay madaling nagiging 10, 100, atbp. Halimbawa, ang mga numero 5, 20, 25. Ito ay sapat na upang i-multiply ang mga ito sa 2, 5 at 4, ayon sa pagkakabanggit. Kailangan mo lamang i-multiply hindi lamang ang denominator, kundi pati na rin ang numerator sa parehong numero.

Para sa lahat ng iba pang mga kaso, ang isang simpleng panuntunan ay kapaki-pakinabang: hatiin ang numerator sa denominator. Sa kasong ito, maaari kang makakuha ng dalawang posibleng sagot: isang finite o isang periodic decimal fraction.

Mga operasyon na may mga ordinaryong fraction

Pagdagdag at pagbawas

Mas maaga silang nakikilala ng mga estudyante kaysa sa iba. Bukod dito, sa una ang mga fraction ay may parehong denominator, at pagkatapos ay mayroon silang iba't ibang mga. Ang mga pangkalahatang tuntunin ay maaaring bawasan sa planong ito.

Hanapin ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng mga denominator.

Sumulat ng mga karagdagang salik para sa lahat ng ordinaryong fraction.

I-multiply ang mga numerator at denominator sa mga salik na tinukoy para sa kanila.

Idagdag (bawas) ang mga numerator ng mga fraction at iwanan ang karaniwang denominator na hindi nagbabago.

Kung ang numerator ng minuend ay mas mababa kaysa sa subtrahend, kailangan nating malaman kung mayroon tayong mixed number o tamang fraction.

Sa unang kaso, kailangan mong humiram ng isa mula sa buong bahagi. Idagdag ang denominator sa numerator ng fraction. At pagkatapos ay gawin ang pagbabawas.

Sa pangalawa, kinakailangang ilapat ang panuntunan ng pagbabawas ng isang mas malaking numero mula sa isang mas maliit na numero. Iyon ay, mula sa module ng subtrahend, ibawas ang module ng minuend, at bilang tugon ay maglagay ng "-" sign.

Tingnang mabuti ang resulta ng karagdagan (pagbabawas). Kung nakakuha ka ng hindi tamang bahagi, kailangan mong piliin ang buong bahagi. Ibig sabihin, hatiin ang numerator sa denominator.

Pagpaparami at paghahati

Upang maisagawa ang mga ito, ang mga fraction ay hindi kailangang bawasan sa isang karaniwang denominator. Ginagawa nitong mas madaling magsagawa ng mga aksyon. Ngunit hinihiling pa rin nila na sundin mo ang mga patakaran.

Kapag nagpaparami ng mga fraction, kailangan mong tingnan ang mga numero sa mga numerator at denominator. Kung ang anumang numerator at denominator ay may isang karaniwang kadahilanan, kung gayon maaari silang bawasan.

I-multiply ang mga numerator.

I-multiply ang mga denominator.

Kung ang resulta ay isang reducible fraction, dapat itong gawing simple muli.

Kapag hinahati, kailangan mo munang palitan ang dibisyon ng multiplikasyon, at ang divisor (pangalawang fraction) ng reciprocal fraction (palitan ang numerator at denominator).

Pagkatapos ay magpatuloy tulad ng pagpaparami (simula sa punto 1).

Sa mga gawain kung saan kailangan mong i-multiply (hatiin) sa isang buong numero, ang huli ay dapat na isulat bilang isang hindi wastong bahagi. Iyon ay, na may denominator na 1. Pagkatapos ay kumilos tulad ng inilarawan sa itaas.



Mga operasyon na may mga decimal

Pagdagdag at pagbawas

Siyempre, maaari mong palaging i-convert ang isang decimal sa isang fraction. At kumilos ayon sa planong inilarawan na. Ngunit kung minsan ay mas maginhawang kumilos nang walang pagsasaling ito. Kung gayon ang mga patakaran para sa kanilang karagdagan at pagbabawas ay magiging eksaktong pareho.

I-equalize ang bilang ng mga digit sa fractional na bahagi ng numero, iyon ay, pagkatapos ng decimal point. Idagdag ang nawawalang bilang ng mga zero dito.

Isulat ang mga fraction upang ang kuwit ay nasa ibaba ng kuwit.

Magdagdag (magbawas) tulad ng mga natural na numero.

Alisin ang kuwit.

Pagpaparami at paghahati

Mahalaga na hindi mo kailangang magdagdag ng mga zero dito. Dapat iwanan ang mga fraction gaya ng ibinigay sa halimbawa. At pagkatapos ay pumunta ayon sa plano.

Upang dumami, kailangan mong isulat ang mga fraction sa ibaba ng isa, hindi papansinin ang mga kuwit.

Multiply tulad ng natural na mga numero.

Maglagay ng kuwit sa sagot, na binibilang mula sa kanang dulo ng sagot ng kasing dami ng mga numero sa mga fractional na bahagi ng parehong mga salik.

Upang hatiin, kailangan mo munang baguhin ang divisor: gawin itong natural na numero. Iyon ay, i-multiply ito sa 10, 100, atbp., depende sa kung gaano karaming mga numero ang nasa fractional na bahagi ng divisor.

I-multiply ang dibidendo sa parehong numero.

Hatiin ang isang decimal fraction sa isang natural na numero.

Maglagay ng kuwit sa iyong sagot sa sandaling matapos ang paghahati ng buong bahagi.



Paano kung ang isang halimbawa ay naglalaman ng parehong uri ng mga fraction?

Oo, sa matematika ay madalas na may mga halimbawa kung saan kailangan mong magsagawa ng mga operasyon sa ordinaryong at decimal na mga fraction. Sa ganitong mga gawain mayroong dalawang posibleng solusyon. Kailangan mong talagang timbangin ang mga numero at piliin ang pinakamainam.

Unang paraan: kumakatawan sa mga ordinaryong decimal

Ito ay angkop kung ang paghahati o pagsasalin ay nagreresulta sa mga finite fraction. Kung hindi bababa sa isang numero ang nagbibigay ng isang pana-panahong bahagi, kung gayon ang pamamaraan na ito ay ipinagbabawal. Samakatuwid, kahit na hindi mo gustong magtrabaho sa mga ordinaryong fraction, kailangan mong bilangin ang mga ito.

Pangalawang paraan: isulat ang mga decimal fraction bilang karaniwan

Ang diskarteng ito ay lumalabas na maginhawa kung ang bahagi pagkatapos ng decimal point ay naglalaman ng 1-2 digit. Kung marami pa sa kanila, maaari kang magkaroon ng napakalaking common fraction at gagawing mas mabilis at mas madaling kalkulahin ng decimal na notasyon ang gawain. Samakatuwid, palaging kailangan mong maingat na suriin ang gawain at piliin ang pinakasimpleng paraan ng solusyon.

Ang isang decimal fraction ay naiiba sa isang ordinaryong fraction dahil ang denominator nito ay isang place value.

Halimbawa:

Ang mga desimal na praksiyon ay pinaghihiwalay mula sa mga ordinaryong praksiyon sa isang hiwalay na anyo, na humantong sa kanilang sariling mga panuntunan para sa paghahambing, pagdaragdag, pagbabawas, pagpaparami at paghahati sa mga praksiyon na ito. Sa prinsipyo, maaari kang magtrabaho sa mga decimal fraction gamit ang mga panuntunan ng ordinaryong fraction. Ang mga sariling panuntunan para sa pag-convert ng mga decimal fraction ay nagpapasimple sa mga kalkulasyon, at ang mga panuntunan para sa pag-convert ng mga ordinaryong fraction sa mga decimal, at vice versa, ay nagsisilbing link sa pagitan ng mga ganitong uri ng fraction.

Ang pagsusulat at pagbabasa ng mga decimal fraction ay nagbibigay-daan sa iyo na isulat ang mga ito, ihambing ang mga ito, at magsagawa ng mga operasyon sa mga ito ayon sa mga patakaran na halos kapareho sa mga panuntunan para sa mga operasyon na may natural na mga numero.

Ang sistema ng mga decimal fraction at mga operasyon sa mga ito ay unang binalangkas noong ika-15 siglo. Samarkand mathematician at astronomer na si Dzhemshid ibn-Masudal-Kashi sa aklat na "The Key to the Art of Counting".

Ang buong bahagi ng decimal fraction ay pinaghihiwalay mula sa fractional na bahagi ng kuwit; sa ilang bansa (US) naglalagay sila ng tuldok. Kung ang isang decimal fraction ay walang integer na bahagi, ang numero 0 ay inilalagay bago ang decimal point.

Maaari kang magdagdag ng anumang bilang ng mga zero sa fractional na bahagi ng isang decimal sa kanan; hindi nito binabago ang halaga ng fraction. Ang fractional na bahagi ng isang decimal ay binabasa sa huling makabuluhang digit.

Halimbawa:
0.3 - tatlong ikasampu
0.75 - pitumpu't limang daan
0.000005 - limang milyon.

Ang pagbabasa ng buong bahagi ng isang decimal ay kapareho ng pagbabasa ng mga natural na numero.

Halimbawa:
27.5 - dalawampu't pito...;
1.57 - isa...

Pagkatapos ng buong bahagi ng decimal fraction ang salitang "buo" ay binibigkas.

Halimbawa:
10.7 - sampung punto pito

0.67 - zero point animnapu't pitong daan.

Ang mga desimal na lugar ay ang mga digit ng fractional na bahagi. Ang fractional na bahagi ay hindi binabasa ng mga digit (hindi tulad ng mga natural na numero), ngunit sa kabuuan, samakatuwid ang fractional na bahagi ng isang decimal fraction ay tinutukoy ng huling makabuluhang digit sa kanan. Ang place system ng fractional na bahagi ng decimal ay medyo naiiba kaysa sa natural na mga numero.

• 1st digit pagkatapos ng abala - tenths digit
• 2nd decimal place - hundredths place
• 3rd decimal place - thousandths place
• Ika-4 na decimal na lugar - sampung-libong lugar
• Ika-5 decimal place - hundred thousandths place
• Ika-6 na decimal place - ika-milyong lugar
• Ang ika-7 decimal na lugar ay ang sampung-milyong lugar
• Ang ika-8 decimal na lugar ay ang daang milyong lugar

Ang unang tatlong digit ay kadalasang ginagamit sa mga kalkulasyon. Ang malaking digit na kapasidad ng fractional na bahagi ng mga decimal ay ginagamit lamang sa mga partikular na sangay ng kaalaman kung saan ang mga infinitesimal na dami ay kinakalkula.

Pag-convert ng decimal sa isang mixed fraction ay binubuo ng mga sumusunod: ang numero bago ang decimal point ay isinusulat bilang isang integer na bahagi ng mixed fraction; ang numero pagkatapos ng decimal point ay ang numerator ng fractional na bahagi nito, at sa denominator ng fractional na bahagi ay sumulat ng unit na may kasing daming mga zero gaya ng may mga digit pagkatapos ng decimal point.