Logarithmic equation. Mula sa simple hanggang sa kumplikado.

Pansin!
May mga karagdagang
materyal sa Espesyal na Seksyon 555.
Para sa mga malakas na "hindi masyadong..."
At para sa mga "sobrang...")

Ano ang isang logarithmic equation?

Ito ay isang equation na may logarithms. Nagulat nga ako diba?) Then I’ll clarify. Ito ay isang equation kung saan ang mga hindi alam (x) at mga expression sa kanila ay loob ng logarithms. At doon lang! Ito ay mahalaga.

Narito ang ilang mga halimbawa logarithmic equation:

log 3 x = log 3 9

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

log x + 1 (x 2 + 3x-7) = 2

lg 2 (x+1)+10 = 11lg(x+1)

Well, nakuha mo ang ideya ... )

Tandaan! Ang pinaka-magkakaibang expression na may x's ay matatagpuan sa loob lamang ng logarithms. Kung, biglang, ang isang x ay matatagpuan sa equation sa isang lugar sa labas, Halimbawa:

log 2 x = 3+x,

ito ay magiging isang mixed type equation. Ang ganitong mga equation ay walang malinaw na mga panuntunan para sa paglutas. Hindi natin sila isasaalang-alang sa ngayon. Sa pamamagitan ng paraan, may mga equation kung saan sa loob ng logarithms mga numero lamang. Halimbawa:

Ano ang masasabi ko? Maswerte ka kung makatagpo ka nito! Ang logarithm na may mga numero ay ilang numero. At ayun na nga. Sapat na malaman ang mga katangian ng logarithms upang malutas ang naturang equation. Kaalaman sa mga espesyal na panuntunan, mga diskarte na partikular na inangkop para sa paglutas logarithmic equation, hindi kinakailangan dito.

Kaya, ano ang logarithmic equation- naisip ito.

Paano malutas ang mga logarithmic equation?

Solusyon logarithmic equation- isang bagay, sa pangkalahatan, ay hindi masyadong simple. Kaya ang seksyon na mayroon kami ay para sa apat ... Ang isang disenteng supply ng kaalaman sa lahat ng uri ng mga kaugnay na paksa ay kinakailangan. Bilang karagdagan, mayroong isang espesyal na tampok sa mga equation na ito. At ang tampok na ito ay napakahalaga na maaari itong ligtas na matawag na pangunahing problema sa paglutas ng mga logarithmic equation. Tatalakayin natin ang problemang ito nang detalyado sa susunod na aralin.

Ngayon, huwag kang mag-alala. Tatayo tayo sa tamang daan mula simple hanggang kumplikado. Sa mga tiyak na halimbawa. Ang pangunahing bagay ay upang bungkalin ang mga simpleng bagay at huwag maging tamad na sundin ang mga link, inilalagay ko ang mga ito para sa isang dahilan... At magtatagumpay ka. Kailangan.

Magsimula tayo sa pinaka elementarya, pinakasimpleng equation. Upang malutas ang mga ito, ito ay kanais-nais na magkaroon ng isang ideya tungkol sa logarithm, ngunit wala na. Wala lang idea logarithm gumawa ng desisyon logarithmic equation - kahit papaano kahit na nakakahiya ... Napaka-bold, sasabihin ko).

Ang pinakasimpleng logarithmic equation.

Ito ang mga equation ng form:

1. log 3 x = log 3 9

2. log 7 (2x-3) = log 7 x

3. log 7 (50x-1) = 2

Proseso ng Solusyon anumang logarithmic equation ay binubuo sa paglipat mula sa isang equation na may logarithms sa isang equation na wala ang mga ito. Sa pinakasimpleng mga equation, ang paglipat na ito ay isinasagawa sa isang hakbang. Kaya naman simple lang.)

At ang gayong mga logarithmic equation ay malulutas nang nakakagulat nang simple. Tingnan mo ang iyong sarili.

Lutasin natin ang unang halimbawa:

log 3 x = log 3 9

Upang malutas ang halimbawang ito, hindi mo kailangang malaman ang halos anumang bagay, oo ... Purong intuwisyon!) Ano ang gagawin natin lalo na hindi gusto ang halimbawang ito? Something... Ayoko ng logarithms! Tama. Dito natin sila aalisin. Tinitingnan natin nang mabuti ang halimbawa, at isang likas na pagnanais ang lumitaw sa atin ... Talagang hindi mapaglabanan! Kunin at itapon ang mga logarithms sa pangkalahatan. At ang nakalulugod ay pwede gawin! Pinapayagan ng matematika. Ang logarithms ay nawawala ang sagot ay:

Ang galing diba? Ito ay maaaring (at dapat) palaging gawin. Ang pag-aalis ng mga logarithm sa ganitong paraan ay isa sa mga pangunahing paraan upang malutas ang mga logarithmic equation at hindi pagkakapantay-pantay. Sa matematika, ang operasyong ito ay tinatawag potentiation. Mayroong, siyempre, ang kanilang sariling mga patakaran para sa naturang pagpuksa, ngunit sila ay kakaunti. Tandaan:

Maaari mong alisin ang logarithms nang walang anumang takot kung mayroon silang:

a) ang parehong mga numerical na base

c) ang kaliwa-kanang logarithms ay malinis (walang anumang coefficient) at nasa napakagandang paghihiwalay.

Hayaan akong ipaliwanag ang huling punto. Sa equation, sabihin natin

log 3 x = 2log 3 (3x-1)

hindi maalis ang logarithms. Hindi pinapayagan ng deuce sa kanan. Coefficient, alam mo ... Sa halimbawa

log 3 x + log 3 (x + 1) = log 3 (3 + x)

ang equation ay hindi rin maaaring potentiated. Walang nag-iisang logarithm sa kaliwang bahagi. Dalawa sila.

Sa madaling salita, maaari mong alisin ang logarithms kung ganito ang hitsura ng equation at ito lamang:

log a (.....) = log a (.....)

Sa panaklong, kung saan maaaring ang ellipsis anumang uri ng pagpapahayag. Simple, sobrang kumplikado, anuman. Kahit ano. Ang mahalaga ay pagkatapos na alisin ang logarithms, naiwan tayo isang mas simpleng equation. Ipinapalagay, siyempre, na alam mo na kung paano lutasin ang linear, quadratic, fractional, exponential at iba pang mga equation nang walang logarithms.)

Ngayon ay madali mong malulutas ang pangalawang halimbawa:

log 7 (2x-3) = log 7 x

Actually, nasa isip. Namin potentiate, nakukuha namin:

Well, napakahirap ba?) Gaya ng nakikita mo, logarithmic bahagi ng solusyon sa equation ay lamang sa pag-aalis ng logarithms... At pagkatapos ay darating ang solusyon ng natitirang equation na wala na sila. Negosyo ng basura.

Malutas namin ang ikatlong halimbawa:

log 7 (50x-1) = 2

Nakita namin na ang logarithm ay nasa kaliwa:

Naaalala namin na ang logarithm na ito ay ilang numero kung saan dapat itaas ang base (i.e. pito) upang makakuha ng sublogarithmic expression, i.e. (50x-1).

Ngunit ang bilang na iyon ay dalawa! Ayon sa equation. Yan ay:

Iyon, sa esensya, ay lahat. Logarithm nawala nananatili ang hindi nakakapinsalang equation:

Nalutas namin ang logarithmic equation na ito batay lamang sa kahulugan ng logarithm. Mas madaling alisin ang logarithms?) Sumasang-ayon ako. Sa pamamagitan ng paraan, kung gumawa ka ng logarithm sa dalawa, maaari mong lutasin ang halimbawang ito sa pamamagitan ng pagpuksa. Maaari kang kumuha ng logarithm mula sa anumang numero. At sa paraang kailangan natin ito. Isang napaka-kapaki-pakinabang na pamamaraan sa paglutas ng mga logarithmic equation at (lalo na!) hindi pagkakapantay-pantay.

Alam mo ba kung paano gumawa ng logarithm mula sa isang numero !? ayos lang. Inilalarawan ng Seksyon 555 ang pamamaraang ito nang detalyado. Maaari mong master at ilapat ito sa kabuuan nito! Lubos nitong binabawasan ang bilang ng mga error.

Ang ikaapat na equation ay nalutas sa eksaktong parehong paraan (sa pamamagitan ng kahulugan):

Hanggang dito na lang.

Ibuod natin ang araling ito. Isinaalang-alang namin ang solusyon ng pinakasimpleng logarithmic equation gamit ang mga halimbawa. Napakahalaga nito. At hindi lamang dahil ang mga naturang equation ay nasa control-exams. Ang katotohanan ay kahit na ang pinakamasama at nalilitong mga equation ay kinakailangang bawasan sa pinakasimpleng mga equation!

Sa totoo lang, ang pinakasimpleng mga equation ay ang huling bahagi ng solusyon anuman mga equation. At ang pagtatapos na bahaging ito ay dapat na maunawaan ng balintuna! At higit pa. Siguraduhing basahin ang pahinang ito hanggang sa dulo. May surpresa...

Magdesisyon tayo sa ating sarili. Pinupuno namin ang kamay, kumbaga ...)

Hanapin ang ugat (o ang kabuuan ng mga ugat, kung marami) ng mga equation:

ln(7x+2) = ln(5x+20)

log 2 (x 2 +32) = log 2 (12x)

log 16 (0.5x-1.5) = 0.25

log 0.2 (3x-1) = -3

ln (e 2 + 2x-3) \u003d 2

log 2 (14x) = log 2 7 + 2

Mga sagot (sa gulo, siyempre): 42; 12; 9; 25; 7; 1.5; 2; 16.

Ano ang hindi gumagana? Nangyayari ito. Huwag magdalamhati! Sa seksyon 555, ang solusyon sa lahat ng mga halimbawang ito ay inilarawan nang malinaw at detalyado. Siguradong malalaman mo doon. Bukod dito, matututunan mo ang mga kapaki-pakinabang na praktikal na pamamaraan.

Naging maayos ang lahat!? Lahat ng mga halimbawa ng "isa ang natitira"?) Binabati kita!

Oras na para ibunyag sa iyo ang mapait na katotohanan. Ang matagumpay na solusyon ng mga halimbawang ito ay hindi ginagarantiyahan ang tagumpay sa paglutas ng lahat ng iba pang logarithmic equation. Kahit na mga simpleng tulad nito. Naku.

Ang punto ay ang solusyon ng anumang logarithmic equation (kahit na ang pinaka elementarya!) ay binubuo ng dalawang pantay na bahagi. Solusyon ng equation, at magtrabaho kasama ang ODZ. Isang bahagi - ang solusyon ng equation mismo - pinagkadalubhasaan namin. Hindi naman ganoon kahirap tama ba

Para sa araling ito, espesyal na pinili ko ang mga ganitong halimbawa kung saan ang ODZ ay hindi nakakaapekto sa sagot sa anumang paraan. Pero hindi naman lahat kasingbait ko diba?...)

Samakatuwid, ito ay kinakailangan upang makabisado ang iba pang bahagi pati na rin. ODZ. Ito ang pangunahing problema sa paglutas ng mga logarithmic equation. At hindi dahil ito ay mahirap - ang bahaging ito ay mas madali kaysa sa una. Pero dahil nakakalimutan na lang nila ang ODZ. O hindi nila alam. O pareho). At bumagsak sila...

Sa susunod na aralin, haharapin natin ang problemang ito. Pagkatapos ay posible na magdesisyon nang may kumpiyansa anuman simpleng logarithmic equation at lumapit sa medyo solidong gawain.

Kung gusto mo ang site na ito...

Siyanga pala, mayroon akong ilang mas kawili-wiling mga site para sa iyo.)

Maaari kang magsanay sa paglutas ng mga halimbawa at alamin ang iyong antas. Pagsubok na may agarang pag-verify. Pag-aaral - nang may interes!)

maaari kang maging pamilyar sa mga function at derivatives.

Maraming mga mag-aaral ang natigil sa mga equation ng ganitong uri. Kasabay nito, ang mga gawain mismo ay hindi nangangahulugang kumplikado - sapat lamang na magsagawa ng karampatang pagpapalit ng variable, kung saan dapat mong matutunan kung paano ihiwalay ang mga matatag na expression.

Bilang karagdagan sa araling ito, makakahanap ka ng isang medyo malaking independiyenteng gawain, na binubuo ng dalawang pagpipilian para sa 6 na gawain bawat isa.

Pamamaraan ng pagpapangkat

Ngayon ay susuriin natin ang dalawang logarithmic equation, ang isa ay hindi malulutas "sa kabuuan" at nangangailangan ng mga espesyal na pagbabago, at ang pangalawa ... gayunpaman, hindi ko sasabihin ang lahat nang sabay-sabay. Panoorin ang video, mag-download ng independiyenteng gawain - at matutunan kung paano lutasin ang mga kumplikadong problema.

Kaya, pagpapangkat at pagtanggal ng mga karaniwang salik sa bracket. Bilang karagdagan, sasabihin ko sa iyo kung ano ang mga pitfalls na dinadala ng domain ng kahulugan ng logarithms, at kung gaano ang maliliit na komento sa domain ng mga kahulugan ay maaaring makabuluhang baguhin ang parehong mga ugat at ang buong solusyon.

Magsimula tayo sa pagpapangkat. Kailangan nating lutasin ang sumusunod na logarithmic equation:

log 2 x log 2 (x − 3) + 1 = log 2 (x 2 − 3x )

Una sa lahat, tandaan namin na ang x 2 − 3x ay maaaring i-factorize:

log 2 x (x − 3)

Pagkatapos ay naaalala natin ang kahanga-hangang formula:

log a fg = log a f + log a g

Kaagad isang maliit na tala: ang formula na ito ay gumagana nang maayos kapag ang a, f at g ay mga ordinaryong numero. Ngunit kapag may mga function sa halip na ang mga ito, ang mga expression na ito ay titigil na maging pantay sa mga karapatan. Isipin ang hypothetical na sitwasyong ito:

f< 0; g < 0

Sa kasong ito, ang produkto fg ay magiging positibo, samakatuwid, ang log a ( fg ) ay iiral, ngunit ang log a f at log a g ay hindi iiral nang hiwalay, at hindi namin magagawa ang gayong pagbabago.

Ang pagwawalang-bahala sa katotohanang ito ay hahantong sa pagpapaliit ng domain ng kahulugan at, bilang resulta, sa pagkawala ng mga ugat. Samakatuwid, bago isagawa ang naturang pagbabago, kailangang tiyakin nang maaga na ang mga function na f at g ay positibo.

Sa aming kaso, ang lahat ay simple. Dahil mayroong isang function log 2 x sa orihinal na equation, pagkatapos ay x > 0 (pagkatapos ng lahat, ang variable na x ay nasa argumento). Mayroon ding log 2 (x − 3), kaya x − 3 > 0.

Samakatuwid, sa log ng function na 2 x (x − 3) ang bawat salik ay magiging mas malaki sa zero. Samakatuwid, maaari naming ligtas na mabulok ang produkto sa kabuuan:

log 2 x log 2 (x − 3) + 1 = log 2 x + log 2 (x − 3)

log 2 x log 2 (x − 3) + 1 − log 2 x − log 2 (x − 3) = 0

Sa unang sulyap, maaaring mukhang hindi ito naging mas madali. Sa kabaligtaran: ang bilang ng mga termino ay tumaas lamang! Upang maunawaan kung paano magpatuloy, ipinakilala namin ang mga bagong variable:

log 2 x = a

log 2 (x − 3) = b

a b + 1 − a − b = 0

At ngayon pinapangkat namin ang ikatlong termino sa una:

(a b - a) + (1 - b) = 0

a (1 b - 1) + (1 - b ) = 0

Tandaan na pareho ang una at pangalawang bracket ay naglalaman ng b − 1 (sa pangalawang kaso, kakailanganin mong alisin ang "minus" sa bracket). I-factorize natin ang ating construction:

a (1 b − 1) − (b − 1) = 0

(b − 1)(a 1 − 1) = 0

At ngayon naaalala namin ang aming kahanga-hangang panuntunan: ang produkto ay katumbas ng zero kapag hindi bababa sa isa sa mga kadahilanan ay katumbas ng zero:

b − 1 = 0 ⇒ b = 1;

a − 1 = 0 ⇒ a = 1.

Tandaan natin kung ano ang b at a. Nakakuha kami ng dalawang simpleng logarithmic equation kung saan ang natitira na lang ay alisin ang mga palatandaan ng log at itumbas ang mga argumento:

log 2 x = 1 ⇒ log 2 x = log 2 2 ⇒ x 1 =2;

log 2 (x − 3) = 1 ⇒ log 2 (x − 3) = log 2 2 ⇒ x 2 = 5

Mayroon kaming dalawang ugat, ngunit hindi ito isang solusyon sa orihinal na logarithmic equation, ngunit mga kandidato lamang para sa sagot. Ngayon tingnan natin ang domain. Para sa unang argumento:

x > 0

Ang parehong mga ugat ay nakakatugon sa unang kinakailangan. Lumipat tayo sa pangalawang argumento:

x − 3 > 0 ⇒ x > 3

Ngunit narito na ang x = 2 ay hindi nasiyahan sa amin, ngunit ang x = 5 ay angkop sa amin. Samakatuwid, ang tanging sagot ay x = 5.

Dumaan kami sa pangalawang logarithmic equation. Sa unang sulyap, ito ay mas simple. Gayunpaman, sa proseso ng paglutas nito, isasaalang-alang namin ang mga banayad na punto na nauugnay sa domain ng kahulugan, ang kamangmangan na kung saan ay makabuluhang kumplikado sa buhay ng mga baguhan na mag-aaral.

log 0.7 (x 2 - 6x + 2) = log 0.7 (7 - 2x)

Nasa harap natin ang canonical form ng logarithmic equation. Hindi mo kailangang mag-convert ng anuman - kahit na ang mga base ay pareho. Samakatuwid, tinutumbasan lang natin ang mga argumento:

x 2 - 6x + 2 = 7 - 2x

x 2 - 6x + 2 - 7 + 2x = 0

x 2 - 4x - 5 = 0

Sa harap natin ay ang ibinigay na quadratic equation, madali itong malutas gamit ang mga formula ng Vieta:

(x − 5) (x + 1) = 0;

x − 5 = 0 ⇒ x = 5;

x + 1 = 0 ⇒ x = −1.

Ngunit ang mga ugat na ito ay hindi pa tiyak na mga sagot. Ito ay kinakailangan upang mahanap ang domain ng kahulugan, dahil mayroong dalawang logarithms sa orihinal na equation, i.e. mahigpit na kinakailangang isaalang-alang ang domain ng kahulugan.

Kaya, isulat natin ang domain ng kahulugan. Sa isang banda, ang argumento ng unang logarithm ay dapat na mas malaki kaysa sa zero:

x 2 − 6x + 2 > 0

Sa kabilang banda, ang pangalawang argumento ay dapat ding mas malaki kaysa sa zero:

7 − 2x > 0

Ang mga kinakailangang ito ay dapat matugunan sa parehong oras. At dito nagsisimula ang pinaka-kawili-wili. Siyempre, maaari nating lutasin ang bawat isa sa mga hindi pagkakapantay-pantay na ito, pagkatapos ay i-intersect ang mga ito at hanapin ang domain ng buong equation. Ngunit bakit napakahirap ng buhay para sa iyong sarili?

Pansinin natin ang isang subtlety. Ang pag-alis ng mga palatandaan ng log, tinutumbasan namin ang mga argumento. Ito ay nagpapahiwatig na ang mga kinakailangan x 2 − 6x + 2 > 0 at 7 − 2x > 0 ay katumbas. Bilang kinahinatnan, maaaring i-cross out ang alinman sa dalawang hindi pagkakapantay-pantay. I-cross out natin ang pinakamahirap, at iwanan ang karaniwang linear inequality para sa ating sarili:

-2x > -7

x< 3,5

Dahil hinati namin ang magkabilang panig sa isang negatibong numero, ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay ay nagbago.

Kaya, natagpuan namin ang ODZ na walang anumang mga parisukat na hindi pagkakapantay-pantay, mga diskriminasyon at mga intersection. Ngayon ay nananatili lamang upang piliin ang mga ugat na namamalagi sa pagitan na ito. Malinaw, ang x = −1 lang ang babagay sa atin, dahil x = 5 > 3.5.

Maaari mong isulat ang sagot: x = 1 ang tanging solusyon sa orihinal na logarithmic equation.

Ang mga konklusyon mula sa logarithmic equation na ito ay ang mga sumusunod:

1. Huwag matakot na i-factor ang logarithms, at pagkatapos ay i-factor ang kabuuan ng logarithms. Gayunpaman, tandaan na sa pamamagitan ng paghiwa-hiwalay ng produkto sa kabuuan ng dalawang logarithms, sa gayon ay paliitin mo ang domain ng kahulugan. Samakatuwid, bago isagawa ang naturang conversion, tiyaking suriin kung ano ang mga kinakailangan sa saklaw. Kadalasan, walang mga problema na lumitaw, ngunit hindi nasaktan na muling i-play itong ligtas.
2. Kapag inaalis ang canonical form, subukang i-optimize ang mga kalkulasyon. Sa partikular, kung kami ay kinakailangan na f > 0 at g > 0, ngunit sa equation mismo f = g , pagkatapos ay matapang naming i-cross out ang isa sa mga hindi pagkakapantay-pantay, na iniiwan lamang ang pinakasimpleng isa para sa ating sarili. Sa kasong ito, ang domain ng kahulugan at mga sagot ay hindi magdurusa sa anumang paraan, ngunit ang halaga ng mga kalkulasyon ay makabuluhang mababawasan.

Sa katunayan, iyon lang ang gusto kong sabihin tungkol sa pagpapangkat. :)

Mga karaniwang pagkakamali sa paglutas

Ngayon ay susuriin natin ang dalawang tipikal na logarithmic equation na natitisod ng maraming estudyante. Sa halimbawa ng mga equation na ito, makikita natin kung anong mga pagkakamali ang kadalasang ginagawa sa proseso ng paglutas at pagbabago ng orihinal na mga expression.

Fractional-rational equation na may logarithms

Dapat pansinin kaagad na ito ay isang medyo mapanlinlang na uri ng equation, kung saan ang isang fraction na may logarithm sa isang lugar sa denominator ay hindi palaging naroroon kaagad. Gayunpaman, sa proseso ng mga pagbabagong-anyo, ang naturang fraction ay kinakailangang lumabas.

Sa parehong oras, mag-ingat: sa proseso ng mga pagbabagong-anyo, ang paunang domain ng kahulugan ng logarithms ay maaaring magbago nang malaki!

Bumaling tayo sa mas mahigpit na logarithmic equation na naglalaman ng mga fraction at variable na base. Upang makagawa ng higit pa sa isang maikling aralin, hindi ako magsasabi ng isang teorya sa elementarya. Dumiretso tayo sa mga gawain:

4 log 25 (x − 1) − log 3 27 + 2 log x − 1 5 = 1

Sa pagtingin sa equation na ito, may magtatanong: "Ano ang kinalaman ng fractional rational equation dito? Nasaan ang fraction sa equation na ito? Huwag tayong magmadali at suriing mabuti ang bawat termino.

Unang termino: 4 log 25 (x − 1). Ang base ng logarithm ay isang numero, ngunit ang argumento ay isang function ng x . Wala pa tayong magagawa tungkol dito. Move on.

Ang susunod na termino ay log 3 27. Alalahanin na 27 = 3 3 . Samakatuwid, maaari nating muling isulat ang buong logarithm tulad ng sumusunod:

log 3 27 = 3 3 = 3

Kaya ang pangalawang termino ay tatlo lamang. Ang ikatlong termino: 2 log x − 1 5. Hindi lahat ay simple dito: ang base ay isang function, ang argumento ay isang ordinaryong numero. Iminumungkahi kong i-flip ang buong logarithm ayon sa sumusunod na formula:

log a b = 1/log b a

Ang ganitong pagbabago ay maisasagawa lamang kung b ≠ 1. Kung hindi, ang logarithm na makukuha sa denominator ng pangalawang fraction ay hindi iiral. Sa aming kaso, b = 5, kaya lahat ay maayos:

2 log x − 1 5 = 2/log 5 (x − 1)

Isulat muli natin ang orihinal na equation na isinasaalang-alang ang nakuha na mga pagbabagong-anyo:

4 log 25 (x − 1) − 3 + 2/ log 5 (x − 1) = 1

Mayroon tayong log 5 (x − 1) sa denominator ng fraction, at log 25 (x − 1) sa unang termino. Ngunit 25 \u003d 5 2, kaya kinuha namin ang parisukat mula sa base ng logarithm ayon sa panuntunan:

Sa madaling salita, ang exponent sa base ng logarithm ay nagiging fraction sa harap. At ang expression ay muling isusulat tulad nito:

4 1/2 log 5 (x − 1) − 3 + 2/ log 5 (x − 1) − 1 = 0

Nagtapos kami sa isang mahabang equation na may isang bungkos ng magkaparehong logarithms. Magpakilala tayo ng bagong variable:

log 5 (x − 1) = t;

2t − 4 + 2/t = 0;

Ngunit isa na itong fractional-rational equation, na nalulutas sa pamamagitan ng algebra ng grade 8-9. Una, hatiin natin ito sa dalawa:

t − 2 + 1/t = 0;

(t 2 − 2t + 1)/t = 0

Ang eksaktong parisukat ay nasa mga bracket. I-roll up natin ito:

(t − 1) 2 /t = 0

Ang isang fraction ay zero kapag ang numerator nito ay zero at ang denominator nito ay hindi zero. Huwag kalimutan ang katotohanang ito:

(t − 1) 2 = 0

t=1

t ≠ 0

Tandaan natin kung ano ang t:

log 5 (x − 1) = 1

log 5 (x − 1) = log 5 5

Tinatanggal namin ang mga palatandaan ng log, tinutumbasan ang kanilang mga argumento, at nakukuha namin:

x − 1 = 5 ⇒ x = 6

Lahat. Nalutas ang problema. Ngunit bumalik tayo sa orihinal na equation at tandaan na mayroong dalawang logarithms na may x variable nang sabay-sabay. Samakatuwid, kailangan mong isulat ang domain ng kahulugan. Dahil ang x − 1 ay nasa logarithm argument, ang expression na ito ay dapat na mas malaki sa zero:

x − 1 > 0

Sa kabilang banda, ang parehong x − 1 ay naroroon din sa base, kaya dapat itong naiiba sa isa:

x − 1 ≠ 1

Kaya't nagtatapos kami:

x > 1; x ≠ 2

Ang mga kinakailangang ito ay dapat matugunan sa parehong oras. Ang halagang x = 6 ay nakakatugon sa parehong mga kinakailangan, kaya ang x = 6 ay ang panghuling solusyon sa logarithmic equation.

Lumipat tayo sa pangalawang gawain:

Muli, huwag tayong magmadali at tingnan ang bawat termino:

log 4 (x + 1) - mayroong apat sa base. Ang karaniwang numero, at hindi mo ito mahawakan. Ngunit noong huling pagkakataon ay natitisod kami sa isang eksaktong parisukat sa base, na kailangang alisin sa ilalim ng tanda ng logarithm. Gawin natin ang parehong ngayon:

log 4 (x + 1) = 1/2 log 2 (x + 1)

Ang lansihin ay mayroon na tayong logarithm na may variable x , kahit na nasa base - ito ang kabaligtaran ng logarithm na kakahanap lang natin:

8 log x + 1 2 = 8 (1/log 2 (x + 1)) = 8/log 2 (x + 1)

Ang susunod na termino ay log 2 8. Ito ay pare-pareho, dahil pareho ang argumento at ang base ay mga ordinaryong numero. Hanapin natin ang halaga:

log 2 8 = log 2 2 3 = 3

Magagawa natin ang parehong sa huling logarithm:

Ngayon ay muling isulat natin ang orihinal na equation:

1/2 log 2 (x + 1) + 8/log 2 (x + 1) − 3 − 1 = 0;

log 2 (x + 1)/2 + 8/log 2 (x + 1) − 4 = 0

Dalhin natin ang lahat sa isang karaniwang denominator:

Bago sa amin ay muli ang isang fractional-rational equation. Magpakilala tayo ng bagong variable:

t = log 2 (x + 1)

Isulat muli natin ang equation na isinasaalang-alang ang bagong variable:

Mag-ingat: sa hakbang na ito, pinalitan ko ang mga tuntunin. Ang numerator ng fraction ay ang parisukat ng pagkakaiba:

Tulad ng huling pagkakataon, ang isang fraction ay zero kapag ang numerator nito ay zero at ang denominator nito ay hindi zero:

(t − 4) 2 = 0 ⇒ t = 4;

t ≠ 0

Nakakuha kami ng isang ugat na nakakatugon sa lahat ng mga kinakailangan, kaya bumalik kami sa x variable:

log 2 (x + 1) = 4;

log 2 (x + 1) = log 2 2 4;

x + 1 = 16;

x=15

Iyon lang, nalutas na namin ang equation. Ngunit dahil mayroong ilang logarithms sa orihinal na equation, kinakailangan na isulat ang domain ng kahulugan.

Kaya, ang expression na x + 1 ay nasa argumento ng logarithm. Samakatuwid, x + 1 > 0. Sa kabilang banda, ang x + 1 ay naroroon din sa base, i.e. x + 1 ≠ 1. Kabuuan:

0 ≠ x > −1

Natutugunan ba ng natagpuang ugat ang mga kinakailangang ito? Walang alinlangan. Samakatuwid, ang x = 15 ay ang solusyon sa orihinal na logarithmic equation.

Sa wakas, nais kong sabihin ang sumusunod: kung titingnan mo ang equation at nauunawaan na kailangan mong lutasin ang isang bagay na kumplikado at hindi pamantayan, subukang i-highlight ang mga matatag na istruktura, na sa kalaunan ay ilalarawan ng isa pang variable. Kung ang ilang termino ay hindi naglalaman ng variable na x, kadalasan ay maaaring kalkulahin lamang ang mga ito.

Iyon lang ang gusto kong pag-usapan ngayon. Umaasa ako na ang araling ito ay makakatulong sa iyo sa paglutas ng mga kumplikadong logarithmic equation. Manood ng iba pang mga video tutorial, i-download at lutasin ang independiyenteng gawain, at makita ka sa susunod na video!

Sa araling ito, uulitin natin ang mga pangunahing teoretikal na katotohanan tungkol sa logarithms at isasaalang-alang ang solusyon ng pinakasimpleng logarithmic equation.

Alalahanin ang sentral na kahulugan - ang kahulugan ng logarithm. Ito ay konektado sa solusyon ng exponential equation. Ang equation na ito ay may isang ugat, ito ay tinatawag na logarithm ng b sa base a:

Kahulugan:

Ang logarithm ng numero b hanggang sa base a ay ang exponent kung saan dapat itaas ang base a upang makuha ang numero b.

Alalahanin pangunahing logarithmic na pagkakakilanlan.

Ang expression (expression 1) ay ang ugat ng equation (expression 2). Pinapalitan namin ang halaga ng x mula sa expression 1 sa halip na x sa expression 2 at nakuha namin ang pangunahing logarithmic identity:

Kaya nakikita natin na ang bawat halaga ay itinalaga ng isang halaga. Tinutukoy namin ang b para sa x (), c para sa y, at sa gayon nakuha namin ang logarithmic function:

Halimbawa:

Alalahanin ang mga pangunahing katangian ng logarithmic function.

Muli nating bigyang pansin, dito, dahil sa ilalim ng logarithm ay maaaring mayroong isang mahigpit na positibong pagpapahayag, bilang batayan ng logarithm.

kanin. 1. Graph ng logarithmic function para sa iba't ibang base

Ang graph ng function sa ay ipinapakita sa itim. kanin. 1. Kung ang argument ay tumaas mula sa zero hanggang sa infinity, ang function ay tataas mula minus hanggang plus infinity.

Ang graph ng function sa ay ipinapakita sa pula. kanin. isa.

Mga katangian ng function na ito:

Domain: ;

Saklaw ng mga halaga: ;

Ang function ay monotone sa buong domain ng kahulugan nito. Kapag monotonically (mahigpit) tumaas, ang mas malaking halaga ng argument ay tumutugma sa mas malaking halaga ng function. Kapag ang monotonically (mahigpit) ay bumababa, ang mas malaking halaga ng argument ay tumutugma sa mas maliit na halaga ng function.

Ang mga katangian ng logarithmic function ay ang susi sa paglutas ng iba't ibang logarithmic equation.

Isaalang-alang ang pinakasimpleng logarithmic equation; lahat ng iba pang logarithmic equation, bilang panuntunan, ay binabawasan sa form na ito.

Dahil ang mga base ng logarithms at ang logarithms mismo ay pantay, ang mga function sa ilalim ng logarithm ay pantay din, ngunit hindi natin dapat mawala ang domain ng kahulugan. Isang positibong numero lamang ang maaaring tumayo sa ilalim ng logarithm, mayroon tayong:

Nalaman namin na ang mga function na f at g ay pantay, kaya sapat na upang pumili ng anumang hindi pagkakapantay-pantay upang sumunod sa ODZ.

Kaya, nakakuha kami ng isang halo-halong sistema kung saan mayroong isang equation at isang hindi pagkakapantay-pantay:

Ang hindi pagkakapantay-pantay, bilang panuntunan, ay hindi kinakailangan upang malutas, ito ay sapat na upang malutas ang equation at palitan ang mga natagpuang ugat sa hindi pagkakapantay-pantay, kaya nagsasagawa ng isang tseke.

Bumuo tayo ng isang paraan para sa paglutas ng pinakasimpleng logarithmic equation:

I-equalize ang mga base ng logarithms;

Equate sublogarithmic function;

Magpatakbo ng tseke.

Isaalang-alang natin ang mga partikular na halimbawa.

Halimbawa 1 - lutasin ang equation:

Ang mga base ng logarithms sa una ay pantay;

Halimbawa 2 - lutasin ang equation:

Ang equation na ito ay naiiba sa nauna dahil ang mga base ng logarithms ay mas mababa sa isa, ngunit hindi ito nakakaapekto sa solusyon sa anumang paraan:

Hanapin natin ang ugat at palitan ito sa hindi pagkakapantay-pantay:

Nakakuha kami ng hindi tamang hindi pagkakapantay-pantay, na nangangahulugan na ang ugat na natagpuan ay hindi nakakatugon sa ODZ.

Halimbawa 3 - lutasin ang equation:

Ang mga base ng logarithms sa una ay pantay;

Hanapin natin ang ugat at palitan ito sa hindi pagkakapantay-pantay:

Malinaw, ang unang ugat lamang ang nakakatugon sa ODZ.

Logarithmic equation tinatawag ang isang equation kung saan ang hindi kilalang (x) at mga expression na kasama nito ay nasa ilalim ng sign ng isang logarithmic function. Ang paglutas ng mga logarithmic equation ay ipinapalagay na pamilyar ka na sa at .
Paano malutas ang mga logarithmic equation?

Ang pinakasimpleng equation ay log a x = b, kung saan ang a at b ay ilang mga numero, ang x ay isang hindi kilala.
Paglutas ng logarithmic equation ang x = a b ay ibinigay: a > 0, a 1.

Dapat pansinin na kung ang x ay nasa isang lugar sa labas ng logarithm, halimbawa log 2 x \u003d x-2, kung gayon ang naturang equation ay tinatawag na halo-halong at isang espesyal na diskarte ay kinakailangan upang malutas ito.

Ang perpektong kaso ay kapag nakatagpo ka ng isang equation kung saan ang mga numero lamang ang nasa ilalim ng tanda ng logarithm, halimbawa x + 2 \u003d log 2 2. Dito sapat na malaman ang mga katangian ng logarithms upang malutas ito. Ngunit ang ganitong uri ng swerte ay hindi madalas mangyari, kaya maghanda para sa mas mahirap na bagay.

Ngunit una, pagkatapos ng lahat, magsimula tayo sa mga simpleng equation. Upang malutas ang mga ito, ito ay kanais-nais na magkaroon ng pinaka-pangkalahatang ideya ng logarithm.

Paglutas ng mga simpleng logarithmic equation

Kabilang dito ang mga equation tulad ng log 2 x \u003d log 2 16. Makikita sa mata na sa pamamagitan ng pag-alis ng sign ng logarithm ay makakakuha tayo ng x \u003d 16.

Upang malutas ang isang mas kumplikadong logarithmic equation, ito ay karaniwang humahantong sa solusyon ng isang ordinaryong algebraic equation o sa solusyon ng pinakasimpleng logarithmic equation log a x = b. Sa pinakasimpleng mga equation, nangyayari ito sa isang kilusan, kaya naman tinawag silang pinakasimple.

Ang pamamaraan sa itaas ng pagbaba ng logarithms ay isa sa mga pangunahing paraan upang malutas ang mga logarithmic equation at hindi pagkakapantay-pantay. Sa matematika, ang operasyong ito ay tinatawag na potentiation. Mayroong ilang mga patakaran o paghihigpit para sa ganitong uri ng mga operasyon:

• Ang logarithms ay may parehong mga numerical na base
• Ang logarithms sa parehong bahagi ng equation ay libre, i.e. nang walang anumang coefficient at iba pang iba't ibang uri ng pagpapahayag.

Sabihin natin sa equation log 2 x \u003d 2log 2 (1- x), hindi naaangkop ang potentiation - hindi pinapayagan ng coefficient 2 sa kanan. Sa sumusunod na halimbawa, log 2 x + log 2 (1 - x) = log 2 (1 + x) isa sa mga paghihigpit ay hindi rin nasiyahan - mayroong dalawang logarithms sa kaliwa. Iyon ay magiging isa - isang ganap na naiibang bagay!

Sa pangkalahatan, maaari mo lamang alisin ang logarithms kung ang equation ay may anyo:

log a(...) = log a(...)

Ganap na anumang mga expression ay maaaring nasa mga bracket, ito ay ganap na hindi nakakaapekto sa pagpapatakbo ng potentiation. At pagkatapos ng pag-aalis ng mga logarithms, ang isang mas simpleng equation ay mananatili - linear, quadratic, exponential, atbp., na kung saan, umaasa ako, alam mo kung paano lutasin.

Kumuha tayo ng isa pang halimbawa:

log 3 (2x-5) = log 3 x

Ang paglalapat ng potentiation, nakukuha namin:

log 3 (2x-1) = 2

Batay sa kahulugan ng logarithm, ibig sabihin, na ang logarithm ay ang numero kung saan ang base ay dapat na itaas upang makakuha ng isang expression na nasa ilalim ng tanda ng logarithm, i.e. (4x-1), nakukuha natin:

Muli, nakakuha kami ng magandang sagot. Dito ginawa namin nang walang pag-aalis ng logarithms, ngunit ang potentiation ay nalalapat din dito, dahil ang logarithm ay maaaring gawin mula sa anumang numero, at eksakto ang isa na kailangan namin. Ang pamamaraang ito ay lubhang nakakatulong sa paglutas ng mga logarithmic equation at lalo na sa mga hindi pagkakapantay-pantay.

Lutasin natin ang logarithmic equation log 3 (2x-1) = 2 gamit ang potentiation:

Katawanin natin ang numero 2 bilang isang logarithm, halimbawa, tulad ng log 3 9, dahil 3 2 =9.

Pagkatapos log 3 (2x-1) = log 3 9 at muli makuha namin ang parehong equation 2x-1 = 9. Sana lahat ay malinaw.

Kaya tiningnan namin kung paano lutasin ang pinakasimpleng logarithmic equation, na talagang napakahalaga, dahil solusyon ng logarithmic equation, kahit na ang pinaka-kahila-hilakbot at baluktot na mga, sa huli ay palaging bumababa sa paglutas ng pinakasimpleng mga equation.

Sa lahat ng ginawa natin sa itaas, nakalimutan natin ang isang napakahalagang punto, na gaganap ng isang mapagpasyang papel sa hinaharap. Ang katotohanan ay ang solusyon ng anumang logarithmic equation, kahit na ang pinaka elementarya, ay binubuo ng dalawang katumbas na bahagi. Ang una ay ang solusyon ng equation mismo, ang pangalawa ay gumagana sa lugar ng mga ​admissible values ​​(ODV). Iyan pa lang ang unang bahagi na aming pinagkadalubhasaan. Sa mga halimbawa sa itaas, ang ODD ay hindi nakakaapekto sa sagot sa anumang paraan, kaya hindi namin ito isinasaalang-alang.

Kumuha tayo ng isa pang halimbawa:

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

Sa panlabas, ang equation na ito ay hindi naiiba sa elementarya, na matagumpay na nalutas. Ngunit hindi ganoon. Hindi, siyempre malulutas natin ito, ngunit malamang na mali ito, dahil mayroong isang maliit na pananambang sa loob nito, kung saan ang parehong mga mag-aaral ng C at mga honors na estudyante ay agad na nahuhulog. Tingnan natin ito nang maigi.

Ipagpalagay na kailangan mong hanapin ang ugat ng equation o ang kabuuan ng mga ugat, kung mayroong ilan:

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

Inilapat namin ang potentiation, dito ito ay pinahihintulutan. Bilang resulta, nakukuha namin ang karaniwang quadratic equation.

Natagpuan namin ang mga ugat ng equation:

May dalawang ugat.

Sagot: 3 at -1

Sa unang tingin, tama ang lahat. Ngunit suriin natin ang resulta at palitan ito sa orihinal na equation.

Magsimula tayo sa x 1 = 3:

log 3 6 = log 3 6

Ang tseke ay matagumpay, ngayon ang queue x 2 = -1:

log 3 (-2) = log 3 (-2)

Oo, tumigil ka! Sa panlabas, lahat ay perpekto. Isang sandali - walang logarithms mula sa mga negatibong numero! At nangangahulugan ito na ang ugat x \u003d -1 ay hindi angkop para sa paglutas ng aming equation. At samakatuwid ang tamang sagot ay magiging 3, hindi 2, tulad ng isinulat namin.

Dito ginampanan ng ODZ ang nakamamatay na papel nito, na nakalimutan natin.

Hayaan akong ipaalala sa iyo na sa ilalim ng lugar ng mga tinatanggap na halaga, ang mga naturang halaga ng x ay tinatanggap na pinapayagan o may katuturan para sa orihinal na halimbawa.

Kung walang ODZ, anumang solusyon, kahit na isang ganap na tama, ng anumang equation ay nagiging lottery - 50/50.

Paano tayo mahuhuli habang nilulutas ang isang tila elementarya na halimbawa? At narito ito sa sandali ng potentiation. Ang logarithms ay nawala, at kasama nila ang lahat ng mga limitasyon.

Ano ang gagawin sa ganitong kaso? Tumangging alisin ang logarithms? At ganap na iwanan ang solusyon ng equation na ito?

Hindi, kami lang, tulad ng mga tunay na bayani mula sa isang sikat na kanta, ay maglilibot!

Bago magpatuloy sa solusyon ng anumang logarithmic equation, isusulat natin ang ODZ. Ngunit pagkatapos nito, maaari mong gawin ang anumang nais ng iyong puso sa aming equation. Nang matanggap ang sagot, itinatapon na lang namin ang mga ugat na hindi kasama sa aming ODZ, at isulat ang huling bersyon.

Ngayon, magpasya tayo kung paano isulat ang ODZ. Upang gawin ito, maingat naming sinusuri ang orihinal na equation at naghahanap ng mga kahina-hinalang lugar dito, tulad ng paghahati sa x, ang ugat ng pantay na antas, atbp. Hanggang sa malutas natin ang equation, hindi natin alam kung ano ang katumbas ng x, ngunit alam nating tiyak na ang naturang x, na, kapag pinapalitan, ay magbibigay ng dibisyon ng 0 o ang pagkuha ng square root ng negatibong numero, ay halatang hindi angkop para sa sagot. Samakatuwid, ang mga naturang x ay hindi katanggap-tanggap, habang ang iba ay bubuo ng ODZ.

Gamitin natin muli ang parehong equation:

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

Tulad ng makikita mo, walang dibisyon sa pamamagitan ng 0, wala ring mga square root, ngunit may mga expression na may x sa katawan ng logarithm. Agad naming naaalala na ang expression sa loob ng logarithm ay dapat palaging > 0. Ang kundisyong ito ay nakasulat sa anyo ng ODZ:

Yung. wala pa kaming nalutas na anuman, ngunit naisulat na namin ang isang mandatoryong kondisyon para sa buong sublogarithmic expression. Ang curly brace ay nangangahulugan na ang mga kundisyong ito ay dapat matugunan sa parehong oras.

Ang ODZ ay isinulat, ngunit ito rin ay kinakailangan upang malutas ang nagresultang sistema ng hindi pagkakapantay-pantay, na aming gagawin. Nakukuha namin ang sagot x > v3. Ngayon alam na natin kung aling x ang hindi babagay sa atin. At pagkatapos ay sinimulan namin ang paglutas ng logarithmic equation mismo, na ginawa namin sa itaas.

Ang pagkakaroon ng natanggap na mga sagot x 1 \u003d 3 at x 2 \u003d -1, madaling makita na ang x1 \u003d 3 lamang ang angkop para sa amin, at isinulat namin ito bilang pangwakas na sagot.

Para sa hinaharap, napakahalagang tandaan ang mga sumusunod: nalulutas namin ang anumang logarithmic equation sa 2 yugto. Ang una - malulutas namin ang equation mismo, ang pangalawa - malulutas namin ang kondisyon ng ODZ. Ang parehong mga yugto ay isinasagawa nang nakapag-iisa sa isa't isa at inihahambing lamang kapag isinusulat ang sagot, i.e. itinatapon namin ang lahat ng hindi kailangan at isulat ang tamang sagot.

Upang pagsamahin ang materyal, masidhi naming inirerekumenda na panoorin ang video:

Sa video, iba pang mga halimbawa ng paglutas ng log. mga equation at paggawa ng paraan ng mga pagitan sa pagsasanay.

Dito sa paksa, paano lutasin ang mga logarithmic equation hanggang sa lahat. Kung ang isang bagay ayon sa desisyon ng log. Ang mga equation ay nanatiling hindi malinaw o hindi maintindihan, isulat ang iyong mga tanong sa mga komento.

Tandaan: Ang Academy of Social Education (KSUE) ay handang tumanggap ng mga bagong mag-aaral.

Mga halimbawa:

\(\log_(2)(⁡x) = 32\)
\(\log_3⁡x=\log_3⁡9\)
\(\log_3⁡((x^2-3))=\log_3⁡((2x))\)
\(\log_(x+1)((x^2+3x-7))=2\)
\(\lg^2⁡((x+1))+10=11 \lg⁡((x+1))\)

Paano lutasin ang mga logarithmic equation:

Kapag nilulutas ang isang logarithmic equation, kailangan mong sikaping i-convert ito sa form na \(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\), at pagkatapos ay gawin ang transition sa \(f( x)=g(x) \).

\(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\) \(⇒\) \(f(x)=g(x)\).

Halimbawa:\(\log_2⁡(x-2)=3\)

Solusyon: \(\log_2⁡(x-2)=\log_2⁡8\) \(x-2=8\) \(x=10\) Pagsusuri:\(10>2\) - angkop para sa ODZ Sagot:\(x=10\)

ODZ: \(x-2>0\) \(x>2\)

Sobrang importante! Magagawa lamang ang paglipat na ito kung:

Sumulat ka para sa orihinal na equation, at sa dulo suriin kung ang mga nahanap ay kasama sa DPV. Kung hindi ito nagawa, maaaring lumitaw ang mga karagdagang ugat, na nangangahulugang maling desisyon.

Ang numero (o expression) ay pareho sa kaliwa at kanan;

Ang logarithms sa kaliwa at kanan ay "pure", ibig sabihin, hindi dapat magkaroon ng anumang, multiplications, divisions, atbp. - nag-iisang logarithms lamang sa magkabilang panig ng equals sign.

Halimbawa:

Tandaan na ang mga equation 3 at 4 ay madaling malulutas sa pamamagitan ng paglalapat ng mga gustong katangian ng logarithms.

Halimbawa . Lutasin ang equation \(2\log_8⁡x=\log_8⁡2.5+\log_8⁡10\)

Solusyon :

		Isulat natin ang ODZ: \(x>0\).
\(2\log_8⁡x=\log_8⁡2,5+\log_8⁡10\) ODZ: \(x>0\)		Sa kaliwa sa harap ng logarithm ay ang coefficient, sa kanan ay ang kabuuan ng logarithms. Nakakaabala ito sa amin. Ilipat natin ang dalawa sa exponent \(x\) ng property: \(n \log_b(⁡a)=\log_b⁡(a^n)\). Kinakatawan namin ang kabuuan ng mga logarithm bilang isang logarithm ng property: \(\log_a⁡b+\log_a⁡c=\log_a(⁡bc)\)
\(\log_8⁡(x^2)=\log_8⁡25\)		Dinala namin ang equation sa form na \(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\) at isinulat ang ODZ, na nangangahulugan na maaari naming gawin ang paglipat sa form \(f (x)=g(x)\ ).
		Nangyari . Nilulutas namin ito at nakuha ang mga ugat.
\(x_1=5\) \(x_2=-5\)		Sinusuri namin kung magkasya ang mga ugat sa ilalim ng ODZ. Upang gawin ito, sa \(x>0\) sa halip na \(x\) pinapalitan namin ang \(5\) at \(-5\). Ang operasyong ito ay maaaring isagawa nang pasalita.
\(5>0\), \(-5>0\)		Ang unang hindi pagkakapantay-pantay ay totoo, ang pangalawa ay hindi. Kaya \(5\) ang ugat ng equation, ngunit ang \(-5\) ay hindi. Isulat namin ang sagot.

Sagot : \(5\)

Halimbawa : Lutasin ang equation \(\log^2_2⁡(x)-3 \log_2(⁡x)+2=0\)

Solusyon :

		Isulat natin ang ODZ: \(x>0\).
\(\log^2_2⁡(x)-3 \log_2(⁡x)+2=0\) ODZ: \(x>0\)		Isang tipikal na equation na nalutas sa . Palitan ang \(\log_2⁡x\) ng \(t\).
\(t=\log_2⁡x\)
		Natanggap ang karaniwan. Hinahanap ang mga ugat nito.
\(t_1=2\) \(t_2=1\)		Paggawa ng reverse substitution
\(\log_2(⁡x)=2\) \(\log_2(⁡x)=1\)		Binabago namin ang mga tamang bahagi, na kumakatawan sa mga ito bilang mga logarithms: \(2=2 \cdot 1=2 \log_2⁡2=\log_2⁡4\) at \(1=\log_2⁡2\)
\(\log_2(⁡x)=\log_2⁡4\) \(\log_2(⁡x)=\log_2⁡2 \)		Ngayon ang aming mga equation ay \(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\) at maaari kaming tumalon sa \(f(x)=g(x)\).
\(x_1=4\) \(x_2=2\)		Sinusuri namin ang sulat ng mga ugat ng ODZ. Upang gawin ito, sa halip na \(x\) pinapalitan namin ang \(4\) at \(2\) sa hindi pagkakapantay-pantay na \(x>0\).
\(4>0\) \(2>0\)		Ang parehong hindi pagkakapantay-pantay ay totoo. Kaya ang parehong \(4\) at \(2\) ay ang mga ugat ng equation.

Sagot : \(4\); \(2\).