Random variable Ang isang variable ay tinatawag na isang variable na, bilang resulta ng bawat pagsubok, ay tumatagal sa isang dating hindi alam na halaga, depende sa mga random na dahilan. Ang mga random na variable ay tinutukoy ng malaking Latin na letra: $X,\ Y,\ Z,\ \dots $ Ayon sa kanilang uri, ang mga random na variable ay maaaring discrete At tuloy-tuloy.

Discrete random variable- ito ay isang random na variable na ang mga halaga ay maaaring hindi hihigit sa mabibilang, iyon ay, alinman sa may hangganan o mabibilang. Sa pamamagitan ng countability, ibig sabihin namin na ang mga halaga ng isang random na variable ay maaaring bilangin.

Halimbawa 1 . Narito ang mga halimbawa ng mga discrete random variable:

a) ang bilang ng mga hit sa target na may $n$ shot, dito ang mga posibleng value ay $0,\ 1,\ \dots ,\ n$.

b) ang bilang ng mga emblem na nalaglag kapag naghagis ng barya, dito ang mga posibleng halaga ay $0,\ 1,\ \dots ,\ n$.

c) ang bilang ng mga barkong dumarating sakay (isang mabibilang na hanay ng mga halaga).

d) ang bilang ng mga tawag na dumarating sa PBX (countable set of values).

1. Batas ng probability distribution ng isang discrete random variable.

Ang isang discrete random variable na $X$ ay maaaring kumuha ng mga value na $x_1,\dots ,\ x_n$ na may probabilities na $p\left(x_1\right),\ \dots ,\ p\left(x_n\right)$. Ang pagsusulatan sa pagitan ng mga halagang ito at ang kanilang mga probabilidad ay tinatawag batas ng pamamahagi ng isang discrete random variable. Bilang isang tuntunin, ang sulat na ito ay tinukoy gamit ang isang talahanayan, ang unang linya kung saan ay nagpapahiwatig ng mga halaga $x_1,\dots ,\ x_n$, at ang pangalawang linya ay naglalaman ng mga probabilities na $p_1,\dots ,\ p_n$ na katumbas ng ang mga halagang ito.

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i & x_1 & x_2 & \dots & x_n \\
\hline
p_i & p_1 & p_2 & \dots & p_n \\
\hline
\end(array)$

Halimbawa 2 . Hayaang ang random variable na $X$ ang bilang ng mga puntos na pinagsama kapag naghahagis ng die. Ang ganitong random na variable na $X$ ay maaaring tumagal ng mga sumusunod na halaga: $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$. Ang mga probabilidad ng lahat ng mga halagang ito ay katumbas ng $1/6$. Pagkatapos ang batas ng probability distribution ng random variable $X$:

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline

\hline
\end(array)$

Magkomento. Dahil sa batas ng pamamahagi ng isang discrete random variable $X$ ang mga kaganapan na $1,\ 2,\ \dots ,\ 6$ ay bumubuo ng isang kumpletong pangkat ng mga kaganapan, kung gayon ang kabuuan ng mga probabilidad ay dapat na katumbas ng isa, iyon ay, $ \sum(p_i)=1$.

2. Mathematical expectation ng isang discrete random variable.

Pag-asa ng isang random na variable nagtatakda ng "gitnang" kahulugan nito. Para sa isang discrete random variable, ang mathematical expectation ay kinakalkula bilang kabuuan ng mga produkto ng mga value na $x_1,\dots ,\ x_n$ at ang probabilities $p_1,\dots ,\ p_n$ na naaayon sa mga value na ito, iyon ay : $M\left(X\right)=\sum ^n_(i=1)(p_ix_i)$. Sa panitikan sa wikang Ingles, isa pang notasyong $E\left(X\right)$ ang ginagamit.

Mga katangian ng inaasahan sa matematika$M\kaliwa(X\kanan)$:

1. Ang $M\left(X\right)$ ay nasa pagitan ng pinakamaliit at pinakamalaking value ng random variable na $X$.
2. Ang pag-asa sa matematika ng isang pare-pareho ay katumbas ng pare-pareho mismo, i.e. $M\left(C\right)=C$.
3. Ang pare-parehong kadahilanan ay maaaring alisin sa tanda ng inaasahan sa matematika: $M\left(CX\right)=CM\left(X\right)$.
4. Ang inaasahan sa matematika ng kabuuan ng mga random na variable ay katumbas ng kabuuan ng kanilang mga inaasahan sa matematika: $M\left(X+Y\right)=M\left(X\right)+M\left(Y\right)$.
5. Ang mathematical expectation ng produkto ng independent random variables ay katumbas ng product ng kanilang mathematical expectations: $M\left(XY\right)=M\left(X\right)M\left(Y\right)$.

Halimbawa 3 . Hanapin natin ang mathematical na inaasahan ng random variable na $X$ mula sa halimbawang $2$.

$$M\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix_i)=1\cdot ((1)\over (6))+2\cdot ((1)\over (6) )+3\cdot ((1)\over (6))+4\cdot ((1)\over (6))+5\cdot ((1)\over (6))+6\cdot ((1 )\over (6))=3.5.$$

Mapapansin natin na ang $M\left(X\right)$ ay nasa pagitan ng pinakamaliit ($1$) at pinakamalaking ($6$) na halaga ng random variable na $X$.

Halimbawa 4 . Alam na ang mathematical expectation ng random variable na $X$ ay katumbas ng $M\left(X\right)=2$. Hanapin ang mathematical na inaasahan ng random variable na $3X+5$.

Gamit ang mga katangian sa itaas, nakukuha namin ang $M\left(3X+5\right)=M\left(3X\right)+M\left(5\right)=3M\left(X\right)+5=3\ cdot 2 +5=$11.

Halimbawa 5 . Nabatid na ang mathematical expectation ng random variable na $X$ ay katumbas ng $M\left(X\right)=4$. Hanapin ang mathematical na inaasahan ng random variable na $2X-9$.

Gamit ang mga katangian sa itaas, makakakuha tayo ng $M\left(2X-9\right)=M\left(2X\right)-M\left(9\right)=2M\left(X\right)-9=2\ cdot 4 -9=-1$.

3. Pagpapakalat ng isang discrete random variable.

Ang mga posibleng halaga ng mga random na variable na may pantay na mga inaasahan sa matematika ay maaaring magkalat nang iba sa kanilang mga average na halaga. Halimbawa, sa dalawang grupo ng mag-aaral ang average na marka para sa pagsusulit sa probability theory ay naging 4, ngunit sa isang grupo lahat ay naging mahusay na mag-aaral, at sa kabilang grupo ay mayroon lamang mga mag-aaral na C at mahusay na mga mag-aaral. Samakatuwid, mayroong pangangailangan para sa isang numerical na katangian ng isang random na variable na magpapakita ng pagkalat ng mga halaga ng random variable sa paligid ng kanyang inaasahan sa matematika. Ang katangiang ito ay pagpapakalat.

Pagkakaiba ng isang discrete random variable Ang $X$ ay katumbas ng:

$$D\kaliwa(X\kanan)=\sum^n_(i=1)(p_i(\kaliwa(x_i-M\kaliwa(X\kanan)\kanan))^2).\ $$

Sa panitikang Ingles ang notasyong $V\left(X\right),\ Var\left(X\right)$ ay ginagamit. Kadalasan ang variance $D\left(X\right)$ ay kinakalkula gamit ang formula na $D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix^2_i)-(\left(M\ kaliwa(X \kanan)\kanan))^2$.

Mga katangian ng pagpapakalat$D\left(X\right)$:

1. Ang pagkakaiba ay palaging mas malaki kaysa sa o katumbas ng zero, i.e. $D\left(X\right)\ge 0$.
2. Ang pagkakaiba-iba ng pare-pareho ay zero, i.e. $D\left(C\right)=0$.
3. Ang pare-parehong kadahilanan ay maaaring alisin sa tanda ng pagpapakalat sa kondisyon na ito ay parisukat, i.e. $D\left(CX\right)=C^2D\left(X\right)$.
4. Ang pagkakaiba ng kabuuan ng mga independiyenteng random na variable ay katumbas ng kabuuan ng kanilang mga pagkakaiba, i.e. $D\left(X+Y\right)=D\left(X\right)+D\left(Y\right)$.
5. Ang pagkakaiba ng pagkakaiba sa pagitan ng mga independiyenteng random na variable ay katumbas ng kabuuan ng kanilang mga pagkakaiba, i.e. $D\left(X-Y\right)=D\left(X\right)+D\left(Y\right)$.

Halimbawa 6 . Kalkulahin natin ang pagkakaiba ng random variable na $X$ mula sa halimbawang $2$.

$$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2)=((1)\over (6))\cdot (\left(1-3.5\right))^2+((1)\over (6))\cdot (\left(2-3.5\right))^2+ \dots +( (1)\over (6))\cdot (\left(6-3.5\right))^2=((35)\over (12))\approx 2.92.$$

Halimbawa 7 . Alam na ang pagkakaiba ng random variable na $X$ ay katumbas ng $D\left(X\right)=2$. Hanapin ang pagkakaiba ng random variable na $4X+1$.

Gamit ang mga katangian sa itaas, makikita natin ang $D\left(4X+1\right)=D\left(4X\right)+D\left(1\right)=4^2D\left(X\right)+0= 16D\ kaliwa(X\kanan)=16\cdot 2=32$.

Halimbawa 8 . Alam na ang pagkakaiba ng random variable na $X$ ay katumbas ng $D\left(X\right)=3$. Hanapin ang pagkakaiba ng random variable na $3-2X$.

Gamit ang mga katangian sa itaas, makikita natin ang $D\left(3-2X\right)=D\left(3\right)+D\left(2X\right)=0+2^2D\left(X\right)= 4D\ left(X\right)=4\cdot 3=12$.

4. Distribution function ng isang discrete random variable.

Ang paraan ng kumakatawan sa isang discrete random variable sa anyo ng isang serye ng pamamahagi ay hindi lamang isa, at higit sa lahat, ito ay hindi pangkalahatan, dahil ang isang tuluy-tuloy na random na variable ay hindi maaaring tukuyin gamit ang isang serye ng pamamahagi. May isa pang paraan upang kumatawan sa isang random na variable - ang distribution function.

Pag-andar ng pamamahagi Ang random variable na $X$ ay tinatawag na function na $F\left(x\right)$, na tumutukoy sa posibilidad na ang random variable na $X$ ay kukuha ng value na mas mababa sa ilang fixed value na $x$, iyon ay, $F\ kaliwa(x\kanan )=P\kaliwa(X< x\right)$

Mga katangian ng function ng pamamahagi:

1. $0\le F\kaliwa(x\kanan)\le 1$.
2. Ang posibilidad na ang random variable na $X$ ay kukuha ng mga halaga mula sa pagitan ng $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ ay katumbas ng pagkakaiba sa pagitan ng mga value ng distribution function sa mga dulo nito pagitan: $P\left(\alpha< X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$
3. $F\left(x\right)$ - hindi bumababa.
4. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) F\left(x\right)=0\ ),\ (\mathop(lim)_(x\to +\infty ) F\left(x \kanan)=1\ )$.

Halimbawa 9 . Hanapin natin ang distribution function na $F\left(x\right)$ para sa distribution law ng discrete random variable na $X$ mula sa halimbawang $2$.

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\hline
\end(array)$

Kung $x\le 1$, kung gayon, malinaw naman, $F\left(x\right)=0$ (kabilang ang para sa $x=1$ $F\left(1\right)=P\left(X< 1\right)=0$).

Kung $1< x\le 2$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)=1/6$.

Kung $2< x\le 3$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)=1/6+1/6=1/3$.

Kung $3< x\le 4$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)=1/6+1/6+1/6=1/2$.

Kung $4< x\le 5$, то $F\left(X\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)=1/6+1/6+1/6+1/6=2/3$.

Kung $5< x\le 6$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=5/6$.

Kung $x > 6$, pagkatapos ay $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right) +P\kaliwa(X=4\kanan)+P\kaliwa(X=5\kanan)+P\kaliwa(X=6\kanan)=1/6+1/6+1/6+1/6+ 1/6+1/6=1$.

Kaya $F(x)=\left\(\begin(matrix)
0,\ at\ x\le 1,\\
1/6,sa\ 1< x\le 2,\\
1/3,\ sa\ 2< x\le 3,\\
1/2,sa\ 3< x\le 4,\\
2/3,\ sa\ 4< x\le 5,\\
5/6,\ sa\ 4< x\le 5,\\
1,\ para sa\ x > 6.
\end(matrix)\right.$

Sa mga aplikasyon ng probability theory, ang mga quantitative na katangian ng eksperimento ay ang pangunahing kahalagahan. Ang isang dami na maaaring matukoy sa dami at kung saan, bilang isang resulta ng isang eksperimento, ay maaaring tumagal sa iba't ibang mga halaga depende sa kaso ay tinatawag random variable.

Mga halimbawa ng mga random na variable:

1. Ang dami ng beses na lumilitaw ang pantay na bilang ng mga puntos sa sampung paghagis ng isang die.

2. Ang bilang ng mga hit sa target ng isang tagabaril na nagpaputok ng sunud-sunod na mga putok.

3. Ang bilang ng mga fragment ng sumasabog na shell.

Sa bawat isa sa mga halimbawang ibinigay, ang random na variable ay maaari lamang kumuha ng mga nakahiwalay na halaga, iyon ay, mga halaga na maaaring bilangin gamit ang isang natural na serye ng mga numero.

Ang gayong random na variable, ang mga posibleng halaga kung saan ay mga indibidwal na nakahiwalay na mga numero, na kinukuha ng variable na ito na may ilang mga probabilidad, ay tinatawag discrete.

Ang bilang ng mga posibleng halaga ng isang discrete random variable ay maaaring may hangganan o walang hanggan (mabilang).

Batas ng pamamahagi Ang isang discrete random variable ay isang listahan ng mga posibleng halaga nito at ang kanilang mga katumbas na probabilities. Ang batas sa pamamahagi ng isang discrete random variable ay maaaring tukuyin sa anyo ng isang talahanayan (probability distribution series), analytically at graphically (probability distribution polygon).

Kapag nagsasagawa ng isang eksperimento, nagiging kinakailangan upang suriin ang halagang pinag-aaralan "sa karaniwan." Ang papel ng average na halaga ng isang random na variable ay nilalaro ng isang numerical na katangian na tinatawag inaasahan sa matematika, na tinutukoy ng formula

saan x 1 , x 2 ,.. , x n– mga random na variable na halaga X, A p 1 ,p 2 , ... , p n– ang mga posibilidad ng mga halagang ito (tandaan na p 1 + p 2 +…+ p n = 1).

Halimbawa. Ang pagbaril ay isinasagawa sa target (Larawan 11).

Ang isang hit sa I ay nagbibigay ng tatlong puntos, sa II - dalawang puntos, sa III - isang punto. Ang bilang ng mga puntos na nakuha sa isang shot ng isang tagabaril ay may batas sa pamamahagi ng form

Upang ihambing ang kasanayan ng mga shooters, sapat na upang ihambing ang mga average na halaga ng mga puntos na nakapuntos, i.e. mga inaasahan sa matematika M(X) At M(Y):

M(X) = 1 0,4 + 2  0,2 + 3  0,4 = 2,0,

M(Y) = 1 0,2 + 2  0,5 + 3  0,3 = 2,1.

Ang pangalawang tagabaril ay nagbibigay sa average ng isang bahagyang mas mataas na bilang ng mga puntos, i.e. ito ay magbibigay ng mas magandang resulta kapag pinaputok ng paulit-ulit.

Tandaan natin ang mga katangian ng inaasahan sa matematika:

1. Ang mathematical na inaasahan ng isang pare-parehong halaga ay katumbas ng pare-pareho mismo:

M(C) =C.

2. Ang pag-asa sa matematika ng kabuuan ng mga random na variable ay katumbas ng kabuuan ng mga inaasahan sa matematika ng mga termino:

M =(X 1 + X 2 +…+ X n)= M(X 1)+ M(X 2)+…+ M(X n).

3. Ang mathematical expectation ng produkto ng mutually independent random variables ay katumbas ng produkto ng mathematical expectations ng mga salik.

M(X 1 X 2 … X n) = M(X 1)M(X 2)… M(X n).

4. Ang mathematical negation ng binomial distribution ay katumbas ng produkto ng bilang ng mga pagsubok at ang posibilidad ng isang kaganapan na naganap sa isang pagsubok (gawain 4.6).

M(X) = pr.

Upang masuri kung paano lumihis ang isang random na variable "sa karaniwan" mula sa inaasahan nitong matematika, i.e. Upang makilala ang pagkalat ng mga halaga ng isang random na variable sa teorya ng posibilidad, ang konsepto ng pagpapakalat ay ginagamit.

Pagkakaiba random variable X ay tinatawag na mathematical expectation ng squared deviation:

D(X) = M[(X - M(X)) 2 ].

Ang dispersion ay isang numerical na katangian ng dispersion ng isang random variable. Mula sa kahulugan, malinaw na mas maliit ang pagpapakalat ng isang random na variable, mas malapit ang mga posibleng halaga nito sa paligid ng inaasahan sa matematika, iyon ay, mas mahusay ang mga halaga ng random na variable ay nailalarawan sa pamamagitan ng pag-asa sa matematika nito. .

Mula sa kahulugan ay sumusunod na ang pagkakaiba ay maaaring kalkulahin gamit ang formula

.

Ito ay maginhawa upang kalkulahin ang pagkakaiba-iba gamit ang isa pang formula:

D(X) = M(X 2) - (M(X)) 2 .

Ang dispersion ay may mga sumusunod na katangian:

1. Ang pagkakaiba ng pare-pareho ay zero:

D(C) = 0.

2. Ang pare-parehong kadahilanan ay maaaring alisin sa dispersion sign sa pamamagitan ng pag-square nito:

D(CX) = C 2 D(X).

3. Ang pagkakaiba ng kabuuan ng mga independiyenteng random na variable ay katumbas ng kabuuan ng pagkakaiba ng mga termino:

D(X 1 + X 2 + X 3 +…+ X n)= D(X 1)+ D(X 2)+…+ D(X n)

4. Ang pagkakaiba ng binomial distribution ay katumbas ng produkto ng bilang ng mga pagsubok at ang posibilidad ng paglitaw at hindi paglitaw ng isang kaganapan sa isang pagsubok:

D(X) = npq.

Sa probability theory, kadalasang ginagamit ang isang numerical na katangian na katumbas ng square root ng variance ng isang random variable. Ang numerical na katangiang ito ay tinatawag na mean square deviation at tinutukoy ng simbolo

.

Inilalarawan nito ang tinatayang sukat ng paglihis ng isang random na variable mula sa average na halaga nito at may parehong dimensyon ng random variable.

4.1. Ang tagabaril ay nagpaputok ng tatlong putok sa target. Ang posibilidad na matamaan ang target sa bawat shot ay 0.3.

Bumuo ng serye ng pamamahagi para sa bilang ng mga hit.

Solusyon. Ang bilang ng mga hit ay isang discrete random variable X. Ang bawat halaga x n random variable X tumutugma sa isang tiyak na posibilidad P n .

Ang batas ng pamamahagi ng isang discrete random variable sa kasong ito ay maaaring tukuyin malapit sa pamamahagi.

Sa problemang ito X tumatagal ng mga halaga 0, 1, 2, 3. Ayon sa formula ni Bernoulli

,

Hanapin natin ang mga probabilidad ng mga posibleng halaga ng random variable:

R 3 (0) = (0,7) 3 = 0,343,

R 3 (1) =0,3(0,7) 2 = 0,441,

R 3 (2) =(0,3) 2 0,7 = 0,189,

R 3 (3) = (0,3) 3 = 0,027.

Sa pamamagitan ng pag-aayos ng mga halaga ng random variable X sa pagtaas ng pagkakasunud-sunod, nakukuha namin ang serye ng pamamahagi:

X n

Tandaan na ang halaga

nangangahulugan ng posibilidad na ang random variable X ay kukuha ng hindi bababa sa isang halaga mula sa mga posibleng, at ang kaganapang ito ay maaasahan, samakatuwid

.

4.2 .May apat na bola sa urn na may mga numero mula 1 hanggang 4. Dalawang bola ang inilabas. Random na halaga X– ang kabuuan ng mga numero ng bola. Bumuo ng isang serye ng pamamahagi ng isang random na variable X.

Solusyon. Mga random na variable na halaga X ay 3, 4, 5, 6, 7. Hanapin natin ang mga katumbas na probabilidad. Random na variable na halaga 3 X maaaring tanggapin sa tanging kaso kapag ang isa sa mga napiling bola ay may numero 1, at ang isa pa ay 2. Ang bilang ng mga posibleng resulta ng pagsubok ay katumbas ng bilang ng mga kumbinasyon ng apat (ang bilang ng posibleng mga pares ng mga bola) ng dalawa.

Gamit ang classical probability formula na nakukuha natin

Gayundin,

R(X= 4) =R(X= 6) =R(X= 7) = 1/6.

Ang kabuuan 5 ay maaaring lumitaw sa dalawang kaso: 1 + 4 at 2 + 3, kaya

.

X ay may anyo:

Hanapin ang function ng pamamahagi F(x) random variable X at i-plot ito. Kalkulahin para sa X ang mathematical na inaasahan at pagkakaiba nito.

Solusyon. Ang batas ng pamamahagi ng isang random na variable ay maaaring tukuyin ng function ng pamamahagi

F(x) = P(X x).

Pag-andar ng pamamahagi F(x) ay isang hindi bumababa, kaliwa-patuloy na function na tinukoy sa buong linya ng numero, habang

F (- )= 0,F (+ )= 1.

Para sa isang discrete random variable, ang function na ito ay ipinahayag ng formula

.

Samakatuwid sa kasong ito

Grap ng pagpapaandar ng pamamahagi F(x) ay isang stepped line (Fig. 12)

	F(x)

Inaasahang halagaM(X) ay ang weighted arithmetic average ng mga value X 1 , X 2 ,……X n random variable X may kaliskis ρ 1, ρ 2, …… , ρ n at tinatawag na mean value ng random variable X. Ayon sa formula

M(X)= x 1 ρ 1 + x 2 ρ 2 +……+ x n ρ n

M(X) = 3·0.14+5·0.2+7·0.49+11·0.17 = 6.72.

Pagpapakalat nailalarawan ang antas ng pagpapakalat ng mga halaga ng isang random na variable mula sa average na halaga nito at tinutukoy D(X):

D(X)=M[(HM(X)) 2 ]= M(X 2) –[M(X)] 2 .

Para sa isang discrete random variable, ang variance ay may anyo

o maaari itong kalkulahin gamit ang formula

Ang pagpapalit ng numerical data ng problema sa formula, nakukuha namin:

M(X 2) = 3 2 ∙ 0,14+5 2 ∙ 0,2+7 2 ∙ 0,49+11 2 ∙ 0,17 = 50,84

D(X) = 50,84-6,72 2 = 5,6816.

4.4. Dalawang dice ay pinagsama ng dalawang beses sa parehong oras. Isulat ang binomial na batas ng distribusyon ng isang discrete random variable X- ang bilang ng mga paglitaw ng pantay na kabuuang bilang ng mga puntos sa dalawang dice.

Solusyon. Ipakilala natin ang isang random na kaganapan

A= (dalawang dice na may isang paghagis ay nagresulta sa kabuuang bilang ng mga puntos).

Gamit ang klasikal na kahulugan ng probabilidad na nakikita natin

R(A)= ,

saan n - ang bilang ng mga posibleng resulta ng pagsubok ay matatagpuan ayon sa panuntunan

pagpaparami:

n = 6∙6 =36,

m - bilang ng mga taong pabor sa kaganapan A kinalabasan - pantay

m= 3∙6=18.

Kaya, ang posibilidad ng tagumpay sa isang pagsubok ay

ρ = P(A)= 1/2.

Ang problema ay nalutas gamit ang isang Bernoulli test scheme. Ang isang hamon dito ay ang pag-roll ng dalawang dice nang isang beses. Bilang ng mga naturang pagsubok n = 2. Random na variable X kumukuha ng mga halaga 0, 1, 2 na may mga probabilidad

R 2 (0) =,R 2 (1) =∙,R 2 (2) =

Ang kinakailangang binomial distribution ng isang random variable X ay maaaring katawanin bilang isang serye ng pamamahagi:

X n
ρ n

4.5 . Sa isang batch ng anim na bahagi mayroong apat na karaniwang bahagi. Tatlong bahagi ang napili nang random. Bumuo ng probability distribution ng isang discrete random variable X– ang bilang ng mga karaniwang bahagi sa mga napili at hanapin ang inaasahan sa matematika nito.

Solusyon. Mga random na variable na halaga X ay ang mga numerong 0,1,2,3. Malinaw na iyon R(X=0)=0, dahil dalawa lang ang hindi karaniwang bahagi.

R(X=1) =
=1/5,

R(X= 2) =
= 3/5,

R(X=3) =
= 1/5.

Batas sa pamamahagi ng isang random na variable X Ipakita natin ito sa anyo ng isang serye ng pamamahagi:

X n
ρ n

Inaasahang halaga

M(X)=1 ∙ 1/5+2 ∙ 3/5+3 ∙ 1/5=2.

4.6 . Patunayan na ang mathematical na inaasahan ng isang discrete random variable X- bilang ng mga paglitaw ng kaganapan A V n mga independiyenteng pagsubok, sa bawat isa kung saan ang posibilidad ng isang pangyayari ay katumbas ng ρ – katumbas ng produkto ng bilang ng mga pagsubok sa pamamagitan ng posibilidad ng paglitaw ng isang kaganapan sa isang pagsubok, iyon ay, upang patunayan na ang mathematical na inaasahan ng binomial distribution

M(X) =n . ρ ,

at pagpapakalat

D(X) =n.p. .

Solusyon. Random na halaga X maaaring kumuha ng mga halaga 0, 1, 2..., n. Probability R(X= k) ay matatagpuan gamit ang formula ni Bernoulli:

R(X=k)= R n(k)= ρ Upang (1-ρ ) n- Upang

Serye ng pamamahagi ng isang random na variable X ay may anyo:

X n
ρ n	q n	ρq n- 1	ρq n- 2		ρ n

saan q= 1- ρ .

Para sa pag-asa sa matematika mayroon kaming expression:

M(X)=ρq n - 1 +2 ρ 2 q n - 2 +…+.n ρ n

Sa kaso ng isang pagsubok, iyon ay, may n= 1 para sa random variable X 1 – bilang ng mga paglitaw ng kaganapan A- ang serye ng pamamahagi ay may anyo:

X n
ρ n

M(X 1)= 0∙q + 1 ∙ p = p

D(X 1) = p – p 2 = p(1- p) = pq.

Kung X k – bilang ng mga paglitaw ng kaganapan A sa anong pagsubok, kung gayon R(X Upang)= ρ At

X=X 1 +X 2 +...+X n .

Mula dito nakukuha natin

M(X)=M(X 1 )+M(X 2)+ … +M(X n)= nρ,

D(X)=D(X 1)+D(X 2)+ ... +D(X n)=npq.

4.7. Sinusuri ng departamento ng kontrol ng kalidad ang mga produkto para sa pagiging pamantayan. Ang posibilidad na ang produkto ay pamantayan ay 0.9. Ang bawat batch ay naglalaman ng 5 produkto. Hanapin ang mathematical na inaasahan ng isang discrete random variable X- ang bilang ng mga batch, na ang bawat isa ay maglalaman ng 4 na karaniwang produkto - kung 50 batch ang sasailalim sa inspeksyon.

Solusyon. Ang posibilidad na magkakaroon ng 4 na karaniwang produkto sa bawat random na napiling batch ay pare-pareho; tukuyin natin ito sa pamamagitan ng ρ .Pagkatapos ang mathematical na inaasahan ng random variable X katumbas M(X)= 50∙ρ.

Hanapin natin ang posibilidad ρ ayon sa formula ni Bernoulli:

ρ=P 5 (4)== 0,94∙0,1=0,32.

M(X)= 50∙0,32=16.

4.8 . Tatlong dice ang itinapon. Hanapin ang mathematical na inaasahan ng kabuuan ng mga nalaglag na puntos.

Solusyon. Maaari mong mahanap ang pamamahagi ng isang random na variable X- ang kabuuan ng mga bumabang puntos at pagkatapos ay ang mathematical na inaasahan nito. Gayunpaman, ang landas na ito ay masyadong masalimuot. Mas madaling gumamit ng ibang pamamaraan, na kumakatawan sa isang random na variable X, ang mathematical na inaasahan na kung saan ay kailangang kalkulahin, sa anyo ng isang kabuuan ng ilang mas simpleng random na mga variable, ang matematikal na inaasahan na kung saan ay mas madaling kalkulahin. Kung ang random variable X i ay ang bilang ng mga puntos na pinagsama i- mga buto ( i= 1, 2, 3), pagkatapos ay ang kabuuan ng mga puntos X ipahahayag sa anyo

X = X 1 + X 2 + X 3 .

Upang kalkulahin ang inaasahan sa matematika ng orihinal na random na variable, ang natitira lamang ay ang paggamit ng pag-aari ng inaasahan sa matematika.

M(X 1 + X 2 + X 3 )= M(X 1 )+ M(X 2)+ M(X 3 ).

Obvious naman yun

R(X i = K)= 1/6, SA= 1, 2, 3, 4, 5, 6, i= 1, 2, 3.

Samakatuwid, ang matematikal na inaasahan ng random variable X i parang

M(X i) = 1/6∙1 + 1/6∙2 +1/6∙3 + 1/6∙4 + 1/6∙5 + 1/6∙6 = 7/2,

M(X) = 3∙7/2 = 10,5.

4.9. Tukuyin ang mathematical na inaasahan ng bilang ng mga device na nabigo sa panahon ng pagsubok kung:

a) ang posibilidad ng pagkabigo para sa lahat ng mga aparato ay pareho R, at ang bilang ng mga device na nasa ilalim ng pagsubok ay katumbas ng n;

b) posibilidad ng pagkabigo para sa i – ng device ay katumbas ng p i , i= 1, 2, … , n.

Solusyon. Hayaan ang random variable X ay ang bilang ng mga nabigong device, kung gayon

X = X 1 + X 2 + … + X n ,

X i =

Malinaw na iyon

R(X i = 1)= R i , R(X i = 0)= 1– R i ,i= 1, 2, … ,n.

M(X i)= 1∙R i + 0∙(1-R i)=P i ,

M(X)=M(X 1)+M(X 2)+ … +M(X n)=P 1 +P 2 + … + P n .

Kung sakaling "a" ang posibilidad ng pagkabigo ng aparato ay pareho, iyon ay

R i =p,i= 1, 2, … ,n.

M(X)= n.p..

Ang sagot na ito ay maaaring makuha kaagad kung mapapansin natin na ang random variable X ay may binomial distribution na may mga parameter ( n, p).

4.10. Dalawang dice ang sabay na inihagis ng dalawang beses. Isulat ang binomial na batas ng distribusyon ng isang discrete random variable X - ang bilang ng mga rolyo ng pantay na bilang ng mga puntos sa dalawang dice.

Solusyon. Hayaan

A=(pag-roll ng even number sa unang die),

B =(pag-roll ng even number sa pangalawang dice).

Ang pagkuha ng even number sa parehong dice sa isang throw ay ipinahayag ng produkto AB. Pagkatapos

R (AB) = R(A)∙R(SA) =
.

Ang resulta ng ikalawang paghagis ng dalawang dice ay hindi nakadepende sa una, kaya ang formula ni Bernoulli ay nalalapat kapag

n = 2,p = 1/4, q = 1– p = 3/4.

Random na halaga X maaaring kumuha ng mga halaga 0, 1, 2 , ang posibilidad kung saan ay matatagpuan gamit ang formula ni Bernoulli:

R(X= 0)= P 2 (0) = q 2 = 9/16,

R(X= 1)= P 2 (1)= C ,R∙q = 6/16,

R(X= 2)= P 2 (2)= C , R 2 = 1/16.

Serye ng pamamahagi ng isang random na variable X:

4.11. Ang aparato ay binubuo ng isang malaking bilang ng mga independiyenteng operating elemento na may parehong napakaliit na posibilidad ng pagkabigo ng bawat elemento sa paglipas ng panahon t. Hanapin ang average na bilang ng mga pagtanggi sa paglipas ng panahon t mga elemento, kung ang posibilidad na hindi bababa sa isang elemento ang mabibigo sa panahong ito ay 0.98.

Solusyon. Bilang ng mga taong tumanggi sa paglipas ng panahon t elemento – random variable X, na ibinahagi ayon sa batas ng Poisson, dahil ang bilang ng mga elemento ay malaki, ang mga elemento ay gumagana nang nakapag-iisa at ang posibilidad ng pagkabigo ng bawat elemento ay maliit. Average na bilang ng mga paglitaw ng isang kaganapan sa n katumbas ng mga pagsubok

M(X) = n.p..

Dahil ang posibilidad ng pagkabigo SA mga elemento mula sa n ipinahayag ng pormula

R n (SA)
,

saan  = n.p., pagkatapos ay ang posibilidad na walang isang elemento ang mabibigo sa panahon t makarating kami sa K = 0:

R n (0)= e -  .

Samakatuwid, ang posibilidad ng kabaligtaran na kaganapan ay nasa oras t hindi bababa sa isang elemento ang nabigo – katumbas ng 1 - e -  . Ayon sa mga kondisyon ng problema, ang posibilidad na ito ay 0.98. Mula sa Eq.

1 - e -  = 0,98,

e -  = 1 – 0,98 = 0,02,

mula rito  = -ln 0,02  4.

Kaya, sa oras t pagpapatakbo ng device, sa karaniwan ay 4 na elemento ang mabibigo.

4.12 . Ang mga dice ay pinagsama hanggang sa isang "dalawa" ay lumabas. Hanapin ang average na bilang ng mga throws.

Solusyon. Ipakilala natin ang isang random na variable X– ang bilang ng mga pagsubok na dapat isagawa hanggang sa mangyari ang kaganapang interesado sa amin. Ang posibilidad na X= 1 ay katumbas ng posibilidad na sa isang paghagis ng dice ay lilitaw ang "dalawa", i.e.

R(X= 1) = 1/6.

Kaganapan X= 2 ay nangangahulugan na sa unang pagsubok ang "dalawa" ay hindi lumabas, ngunit sa pangalawa ito ay dumating. Probability ng pangyayari X= 2 ay matatagpuan sa pamamagitan ng panuntunan ng pagpaparami ng mga probabilidad ng mga independiyenteng kaganapan:

R(X= 2) = (5/6)∙(1/6)

Gayundin,

R(X= 3) = (5/6) 2 ∙1/6, R(X= 4) = (5/6) 2 ∙1/6

atbp. Kumuha kami ng isang serye ng mga pamamahagi ng posibilidad:

					(5/6) Upang ∙1/6

Ang average na bilang ng mga throws (mga pagsubok) ay ang mathematical na inaasahan

M(X) = 1∙1/6 + 2∙5/6∙1/6 + 3∙(5/6) 2 ∙1/6 + … + SA (5/6) SA -1 ∙1/6 + … =

1/6∙(1+2∙5/6 +3∙(5/6) 2 + … + SA (5/6) SA -1 + …)

Hanapin natin ang kabuuan ng serye:

SAg SA -1 = (g SA) g 
.

Kaya naman,

M(X) = (1/6) (1/ (1 – 5/6) 2 = 6.

Kaya, kailangan mong gumawa ng average na 6 na paghagis ng dice hanggang sa lumabas ang "dalawa".

4.13. Isinasagawa ang mga independiyenteng pagsusulit na may parehong posibilidad ng paglitaw ng kaganapan A sa bawat pagsubok. Hanapin ang posibilidad ng isang kaganapan na naganap A, kung ang pagkakaiba ng bilang ng mga paglitaw ng isang kaganapan sa tatlong independiyenteng pagsubok ay 0.63 .

Solusyon. Ang bilang ng mga paglitaw ng isang kaganapan sa tatlong pagsubok ay isang random na variable X, ibinahagi ayon sa binomial na batas. Ang pagkakaiba-iba ng bilang ng mga paglitaw ng isang kaganapan sa mga independiyenteng pagsubok (na may parehong posibilidad ng paglitaw ng kaganapan sa bawat pagsubok) ay katumbas ng produkto ng bilang ng mga pagsubok sa pamamagitan ng mga probabilidad ng paglitaw at hindi paglitaw ng kaganapan. (problema 4.6)

D(X) = npq.

Sa pamamagitan ng kondisyon n = 3, D(X) = 0.63, kaya mo R hanapin mula sa equation

0,63 = 3∙R(1-R),

na may dalawang solusyon R 1 = 0.7 at R 2 = 0,3.

discrete tinatawag na isang random na variable na maaaring tumagal sa hiwalay, nakahiwalay na mga halaga na may ilang mga probabilidad.

HALIMBAWA 1. Ang dami ng beses na lumilitaw ang coat of arms sa tatlong coin tosses. Mga posibleng halaga: 0, 1, 2, 3, ang kanilang mga probabilidad ay pantay ayon sa pagkakabanggit:

P(0) = ; Р(1) = ; Р(2) = ; Р(3) = .

HALIMBAWA 2. Ang bilang ng mga nabigong elemento sa isang device na binubuo ng limang elemento. Mga posibleng value: 0, 1, 2, 3, 4, 5; ang kanilang mga probabilidad ay nakasalalay sa pagiging maaasahan ng bawat elemento.

Discrete random variable X maaaring ibigay ng isang serye ng pamamahagi o isang function ng pamamahagi (ang integral na batas sa pamamahagi).

Malapit sa pamamahagi ay ang hanay ng lahat ng posibleng halaga Xi at ang kanilang mga katumbas na probabilidad Rako = P(X = xi), maaari itong tukuyin bilang isang talahanayan:

x i				x n
p i				р n

Kasabay nito, ang mga probabilidad Ri masiyahan ang kondisyon

Ri= 1 kasi

kung saan ang bilang ng mga posibleng halaga n maaaring may hangganan o walang katapusan.

Graphical na representasyon ng serye ng pamamahagi tinatawag na distribution polygon . Upang mabuo ito, posibleng mga halaga ng random variable ( Xi) ay naka-plot kasama ang x-axis, at ang mga probabilidad Ri- kasama ang ordinate axis; puntos Ai may mga coordinate ( Xako,рi) ay konektado sa pamamagitan ng mga putol na linya.

Pag-andar ng pamamahagi random variable X tinatawag na function F(X), na ang halaga sa punto X ay katumbas ng posibilidad na ang random variable X magiging mas mababa sa halagang ito X, yan ay

F(x) = P(X< х).

Function F(X) Para sa discrete random variable kinakalkula ng formula

F(X) = Ri , (1.10.1)

kung saan ang pagsusuma ay isinasagawa sa lahat ng mga halaga i, para sa Xi< х.

HALIMBAWA 3. Mula sa isang batch na naglalaman ng 100 produkto, kung saan mayroong 10 may depekto, limang produkto ang random na pinili upang suriin ang kalidad ng mga ito. Bumuo ng isang serye ng mga distribusyon ng isang random na numero X mga may sira na produkto na nasa sample.

Solusyon. Dahil sa sample ang bilang ng mga may sira na produkto ay maaaring maging anumang integer mula 0 hanggang 5 kasama, kung gayon ang mga posibleng halaga Xi random variable X ay pantay:

x 1 = 0, x 2 = 1, x 3 = 2, x 4 = 3, x 5 = 4, x 6 = 5.

Probability R(X = k) na eksaktong naglalaman ang sample k(k = 0, 1, 2, 3, 4, 5) mga produktong may sira, katumbas

P (X = k) = .

Bilang resulta ng mga kalkulasyon gamit ang formula na ito na may katumpakan na 0.001, nakuha namin ang:

R 1 = P(X = 0) @ 0,583;R 2 = P(X = 1) @ 0,340;R 3 = P(X = 2) @ 0,070;

R 4 = P(X = 3) @ 0,007;R 5 = P(X= 4) @ 0;R 6 = P(X = 5) @ 0.

Paggamit ng pagkakapantay-pantay upang suriin Rk=1, tinitiyak namin na ang mga kalkulasyon at pag-round ay ginawa nang tama (tingnan ang talahanayan).

x i
p i

HALIMBAWA 4. Ibinigay ang isang serye ng pamamahagi ng isang random na variable X :

x i
p i

Hanapin ang probability distribution function F(X) ng random variable na ito at buuin ito.

Solusyon. Kung X£10 pagkatapos F(X)= P(X<X) = 0;

kung 10<X£20 pagkatapos F(X)= P(X<X) = 0,2 ;

kung 20<X£30 pagkatapos F(X)= P(X<X) = 0,2 + 0,3 = 0,5 ;

kung 30<X£40 pagkatapos F(X)= P(X<X) = 0,2 + 0,3 + 0,35 = 0,85 ;

kung 40<X£50 pagkatapos F(X)= P(X<X) = 0,2 + 0,3 + 0,35 + 0,1=0,95 ;

Kung X> 50, pagkatapos F(X)= P(X<X) = 0,2 + 0,3 + 0,35 + 0,1 + 0,05 = 1.