Halos mahirap makahanap ng ganoong halaga Sa, Kung saan (b-a)f(c) ay eksaktong katumbas ng . Upang makakuha ng isang mas tumpak na halaga, ang lugar ng isang curvilinear trapezoid ay nahahati sa n parihaba na ang taas ay pantay y 0 , y 1 , y 2 , …,y n -1 at mga pundasyon.

Kung ibubuod natin ang mga lugar ng mga parihaba na sumasaklaw sa lugar ng isang curvilinear trapezoid na may kawalan, ang pag-andar ay hindi bumababa, pagkatapos ay sa halip na formula, ang formula ay ginagamit.

Kung sobra, kung gayon

Ang mga halaga ay matatagpuan mula sa pagkakapantay-pantay. Ang mga formula na ito ay tinatawag mga formula ng parihaba at magbigay ng tinatayang resulta. Sa pagtaas n nagiging mas tumpak ang resulta.

Halimbawa 1 . Kalkulahin mula sa formula ng mga parihaba

Hinahati namin ang pagitan ng pagsasama sa 5 bahagi. Tapos . Gamit ang isang calculator o isang talahanayan, nakita namin ang mga halaga ng integrand (na may katumpakan ng 4 na decimal na lugar):

Ayon sa formula ng mga parihaba (na may kawalan)

Sa kabilang banda, ayon sa formula ng Newton-Leibniz

Hanapin natin ang relatibong error sa pagkalkula gamit ang formula ng mga parihaba:

Pagkalkula ng mga integral sa pamamagitan ng mga formula ng trapezoid. Error sa pagtatantya:

Ang geometric na kahulugan ng sumusunod na pamamaraan para sa tinatayang pagkalkula ng mga integral ay ang paghahanap ng lugar ng humigit-kumulang pantay na laki ng "rectilinear" na trapezoid.

Hayaang kinakailangan upang kalkulahin ang lugar A 1 AmBB 1 curvilinear trapezoid, na ipinahayag ng formula .

Palitan natin ang arko AmB chord AB at sa halip na ang lugar ng isang curvilinear trapezoid A 1 AmBB 1 kalkulahin ang lugar ng trapezoid A 1 ABB 1: , saan AA 1 at BB 1 - ang base ng trapezoid, at Isang 1 V 1 ang taas nito.

Magpakilala f(a)=A 1 A,f(b)=B 1 B. taas ng trapezoid A 1 B 1 \u003d b-a, parisukat . Dahil dito, o

Ito ang tinatawag na maliit na trapezoid formula.

Yekaterinburg

Pagkalkula ng isang tiyak na integral

Panimula

Ang gawain ng numerical integration ng mga function ay upang kalkulahin ang tinatayang halaga ng isang tiyak na integral:

batay sa isang serye ng mga halaga ng integrand.( f(x) |x=x k = f(x k) = y k ).

Ang mga formula para sa numerical na pagkalkula ng isang integral ay tinatawag na quadrature formula, doble at higit pang maramihang - cubature.

Ang karaniwang pamamaraan para sa pagbuo ng mga quadrature formula ay ang palitan ang integrand f(x) sa isang segment na may interpolating o approximating function na g(x) ng medyo simpleng anyo, halimbawa, polynomial, na sinusundan ng analytical integration. Ito ay humahantong sa pagtatanghal

Sa pagpapabaya sa natitirang termino R[f], nakukuha namin ang tinatayang formula

Ipahiwatig sa pamamagitan ng y i = f(x i) ang halaga ng integrand sa iba't ibang mga punto

Bilang isang tinatayang function na g(x), isinasaalang-alang namin ang isang interpolation polynomial sa

Ang formula (1) ay nagbibigay

Sa formula (2), ang mga dami (

Ibuod.

2. Sa mga quadrature formula ng uri ng interpolation, ang natitirang terminong R n [f] ay maaaring katawanin bilang ang halaga ng isang partikular na differential operator sa function na f(x). Para sa

3. Para sa mga polynomial hanggang sa order n inclusive, ang quadrature formula (2) ay eksakto, i.e.

Isaalang-alang ang mga espesyal na kaso ng mga formula (2) at (3): ang paraan ng mga parihaba, trapezoid, parabola (paraan ni Simpson). Ang mga pangalan ng mga pamamaraang ito ay dahil sa geometric na interpretasyon ng kaukulang mga formula.

Paraan ng parihaba

Ang tiyak na integral ng function ng function na f(x):

Ang paraan na kinakatawan ng formula (4) ay tinatawag na left box method, at ang method na kinakatawan ng formula (5) ay tinatawag na right box method:

Upang makahanap ng isang tiyak na integral gamit ang paraan ng mga gitnang parihaba, ang lugar na nalilimitahan ng mga linya a at b ay nahahati sa n mga parihaba na may parehong mga base h, ang taas ng mga parihaba ay ang mga punto ng intersection ng function na f(x) na may ang mga midpoint ng mga parihaba (h/2). Ang integral ay numerong katumbas ng kabuuan ng mga lugar ng n parihaba (Figure 3).

n ay ang bilang ng mga partisyon ng segment .

Trapezoidal na pamamaraan

Upang makahanap ng isang tiyak na integral gamit ang trapezoid method, ang lugar ng isang curvilinear trapezoid ay nahahati din sa n rectangular trapezoids na may taas h at base y 1, y 2, y 3,..y n, kung saan n ang bilang ng hugis-parihaba na trapezoid. Ang integral ay magiging numerically katumbas ng kabuuan ng mga lugar ng rectangular trapezoids (Figure 4).

n ay ang bilang ng mga partisyon

Ang error ng trapezoid formula ay tinatantya ng numero

Ang error ng trapezoid formula na may paglago

Formula ng Simpson

Kung para sa bawat pares ng mga segment

Ngayon ay makikilala natin ang isa pang paraan ng pagsasama ng numero, ang paraan ng trapezoidal. Sa tulong nito, kakalkulahin namin ang mga tiyak na integral na may partikular na antas ng katumpakan. Sa artikulo, ilalarawan namin ang kakanyahan ng paraan ng trapezoid, pag-aralan kung paano nakuha ang formula, ihambing ang paraan ng trapezoid sa paraan ng rektanggulo, at isulat ang pagtatantya ng ganap na error ng pamamaraan. Ipapakita namin ang bawat isa sa mga seksyon na may mga halimbawa para sa isang mas malalim na pag-unawa sa materyal.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Ipagpalagay na kailangan nating humigit-kumulang kalkulahin ang tiyak na integral ∫ a b f (x) d x , na ang integrand y = f (x) ay tuloy-tuloy sa segment [ a ; b] . Upang gawin ito, hinahati namin ang segment [ a ; b ] sa ilang pantay na pagitan ng haba h na may mga puntos na a = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Обозначим количество полученных интервалов как n .

Hanapin natin ang hakbang ng partition: h = b - a n . Tinutukoy namin ang mga node mula sa pagkakapantay-pantay x i = a + i h , i = 0 , 1 , . . . , n .

Sa elementarya na pagitan, isaalang-alang ang integrand x i - 1 ; x i , i = 1 , 2 , . . , n .

Sa walang katapusang pagtaas sa n, binabawasan namin ang lahat ng kaso sa apat na pinakasimpleng opsyon:

Pumili ng mga segment x i - 1 ; x i , i = 1 , 2 , . . . , n . Palitan natin ang function na y = f (x) sa bawat isa sa mga graph ng isang tuwid na segment ng linya na dumadaan sa mga puntos na may mga coordinate x i - 1 ; f x i - 1 at x i ; f x i . Minarkahan namin ang mga ito sa mga figure sa asul.

Kunin natin ang expression na f (x i - 1) + f (x i) 2 h bilang tinatayang halaga ng integral ∫ x i - 1 x kung (x) d x . Yung. kunin ang ∫ x i - 1 x i f (x) d x ≈ f (x i - 1) + f (x i) 2 h .

Tingnan natin kung bakit tinatawag na trapezoidal method ang numerical integration method na ating pinag-aaralan. Upang gawin ito, kailangan nating malaman kung ano ang ibig sabihin ng nakasulat na humigit-kumulang pagkakapantay-pantay mula sa punto ng view ng geometry.

Upang kalkulahin ang lugar ng isang trapezoid, i-multiply ang kalahating kabuuan ng mga base nito sa taas. Sa unang kaso, ang lugar ng isang curvilinear trapezoid ay humigit-kumulang katumbas ng isang trapezoid na may mga base f (x i - 1) , f (x i) taas h . Sa ikaapat na kaso na aming isinasaalang-alang, ang ibinigay na integral ∫ x i - 1 x f (x) d x ay humigit-kumulang katumbas ng lugar ng isang trapezoid na may mga base - f (x i - 1) , - f (x i) at taas h, na dapat kunin na may sign na "-". Upang makalkula ang tinatayang halaga ng tiyak na integral ∫ x i - 1 x i f (x) d x sa pangalawa at pangatlo ng mga isinasaalang-alang na mga kaso, kailangan nating hanapin ang pagkakaiba sa pagitan ng mga lugar ng pula at asul na mga rehiyon, na minarkahan namin ng pagpisa sa figure sa ibaba.

I-summarize natin. Ang kakanyahan ng pamamaraang trapezoidal ay ang mga sumusunod: maaari nating katawanin ang tiyak na integral ∫ a b f (x) d x bilang kabuuan ng mga integral ng anyong ∫ x i - 1 x i f (x) d x sa bawat elementary segment at sa kasunod na tinatayang pagbabago ∫ x i - 1 x i f (x) d x ≈ f (x i - 1) + f (x i) 2 h.

Trapezoidal formula

Alalahanin ang ikalimang katangian ng tiyak na integral: ∫ a b f (x) d x = ∑ i = 1 n ∫ x i - 1 x i f (x) d x . Upang makuha ang formula ng trapezoidal method, sa halip na mga integral ∫ x i - 1 x i f (x) d x, palitan ang kanilang tinatayang mga halaga: ∫ x i - 1 x i f (x) d x = ∑ i = 1 n ∫ x i - 1 x i f (x) d x ≈ ∑ i = 1 n f (x i - 1) + f (x i) 2 h = = h 2 (f (x 0) + f (x 1) + f (x 1) + f (x 2) + f (x 2) + f (x 3) + . . . + f (x n)) = = h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n) ⇒ ∫ x i - 1 x i f (x) d x ≈ h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n)

Kahulugan 1

Trapezoidal formula:∫ x i - 1 x i f (x) d x ≈ h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n)

Ang pagtatantya ng ganap na pagkakamali ng pamamaraan ng trapezoidal

Tantyahin natin ang ganap na pagkakamali ng pamamaraang trapezoidal tulad ng sumusunod:

Kahulugan 2

δ n ≤ m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) n h 3 12 = m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) b - a 3 12 n 2

Ang isang graphic na paglalarawan ng trapezoidal na pamamaraan ay ipinapakita sa figure:

Mga halimbawa ng pagkalkula

Suriin natin ang mga halimbawa ng paggamit ng paraan ng trapezoid para sa tinatayang pagkalkula ng mga tiyak na integral. Bibigyan namin ng espesyal na pansin ang dalawang uri ng mga gawain:

• pagkalkula ng isang tiyak na integral sa pamamagitan ng paraan ng trapezoid para sa isang naibigay na bilang ng mga partisyon ng segment n;
• paghahanap ng tinatayang halaga ng isang tiyak na integral na may tinukoy na katumpakan.

Para sa isang naibigay na n, ang lahat ng mga intermediate na kalkulasyon ay dapat isagawa nang may sapat na mataas na antas ng katumpakan. Ang katumpakan ng mga kalkulasyon ay dapat na mas mataas, mas malaki n .

Kung mayroon tayong ibinigay na katumpakan ng pagkalkula ng isang tiyak na integral, kung gayon ang lahat ng mga intermediate na kalkulasyon ay dapat na isagawa ng dalawa o higit pang mga order ng magnitude nang mas tumpak. Halimbawa, kung ang katumpakan ay nakatakda sa 0 . 01 , nagsasagawa kami ng mga intermediate na kalkulasyon na may katumpakan na 0 . 0001 o 0 . 00001 . Para sa malaking n, ang mga intermediate na kalkulasyon ay dapat isagawa nang may mas mataas na katumpakan.

Kunin natin ang panuntunan sa itaas bilang isang halimbawa. Upang gawin ito, inihambing namin ang mga halaga ng isang tiyak na integral na kinakalkula ng formula ng Newton-Leibniz at nakuha ng pamamaraang trapezoid.

Kaya, ∫ 0 5 7 d x x 2 + 1 = 7 a r c t g (x) 0 5 = 7 a r c t g 5 ≈ 9 , 613805 .

Halimbawa 1

Gamit ang paraan ng trapezoidal, kinakalkula namin ang tiyak na integral ∫ 0 5 7 x 2 + 1 d x para sa n katumbas ng 10 .

Solusyon

Ang formula para sa trapezoidal method ay ∫ x i - 1 x i f (x) d x ≈ h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n)

Upang mailapat ang formula, kailangan nating kalkulahin ang hakbang h gamit ang formula h = b - a n , tukuyin ang mga node x i = a + i h , i = 0 , 1 , . . . , n , kalkulahin ang mga halaga ng integrand f (x) = 7 x 2 + 1 .

Ang hakbang ng partition ay kinakalkula tulad ng sumusunod: h = b - a n = 5 - 0 10 = 0 . 5 . Upang kalkulahin ang integrand sa mga node x i = a + i · h , i = 0 , 1 , . . . , n kukuha tayo ng apat na decimal na lugar:

i \u003d 0: x 0 \u003d 0 + 0 0. 5 = 0 ⇒ f (x 0) = f (0) = 7 0 2 + 1 = 7 i = 1: x 1 = 0 + 1 0 . 5 = 0 . 5 ⇒ f (x 1) = f (0 . 5) = 7 0 . 5 2 + 1 = 5 . 6 . . . i = 10: x 10 = 0 + 10 0 . 5 = 5 ⇒ f(x 10) = f(5) = 7 5 2 + 1 ≈ 0 , 2692

Ipasok natin ang mga resulta ng mga kalkulasyon sa talahanayan:

Palitan ang mga nakuhang halaga sa formula ng trapezoidal method: ∫ 0 5 7 d x x 2 + 1 ≈ h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n) = = 0 , 5 2 7 + 2 5 , 6 + 3 , 5 + 2 , 1538 + 1 , 4 + 0 , 9655 + 0 , 7 + 0 , 5283 + 0 , 4117 + 0 , 3294 + 92 , 92

Ihambing natin ang ating mga resulta sa mga resultang kinakalkula ng formula ng Newton-Leibniz. Ang mga natanggap na halaga ay nag-tutugma hanggang sa daan-daang.

Sagot:∫ 0 5 7 d x x 2 + 1 = 9 , 6117

Halimbawa 2

Gamit ang paraan ng trapezoid, kinakalkula namin ang halaga ng tiyak na integral ∫ 1 2 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 d x na may katumpakan na 0 , 01 .

Solusyon

Ayon sa kondisyon ng problema a = 1 ; b = 2 , f (x) = 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 ; δn ≤ 0 , 01 .

Hanapin ang n , na katumbas ng bilang ng mga split point ng integration segment, gamit ang hindi pagkakapantay-pantay para sa pagtantya ng absolute error δ n ≤ m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) (b - a) 3 12 n 2 . Gagawin natin ito sa sumusunod na paraan: mahahanap natin ang mga halaga n kung saan ang hindi pagkakapantay-pantay m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) (b - a) 3 12 n 2 ≤ 0 , 01 . Dahil sa n, ang formula ng trapezoid ay magbibigay sa amin ng tinatayang halaga ng isang tiyak na integral na may ibinigay na katumpakan.

Una, hanapin natin ang pinakamalaking halaga ng modulus ng pangalawang derivative ng function sa pagitan [1; 2].

f "(x) = 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60" = 1 3 x 3 + 1 3 ⇒ f "" (x) = 1 3 x 3 + 1 3 " = x 2

Ang pangalawang derivative function ay isang quadratic parabola f "" (x) = x 2 . Alam natin mula sa mga katangian nito na ito ay positibo at tumataas sa segment [1; 2]. Kaugnay nito, m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) = f "" (2) = 2 2 = 4 .

Sa ibinigay na halimbawa, ang proseso ng paghahanap ng m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) naging medyo simple. Sa mga kumplikadong kaso, para sa mga kalkulasyon, maaari kang sumangguni sa pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng function. Pagkatapos isaalang-alang ang halimbawang ito, nagpapakita kami ng alternatibong paraan para sa paghahanap ng m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) .

Ipalit natin ang nakuhang halaga sa hindi pagkakapantay-pantay m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) (b - a) 3 12 n 2 ≤ 0 , 01

4 (2 - 1) 3 12 n 2 ≤ 0 . 01 ⇒ n 2 ≥ 100 3 ⇒ n ≥ 5 . 7735

Ang bilang ng mga elementarya na pagitan kung saan nahahati ang segment ng integration n ay isang natural na numero. Para sa pag-uugali ng pagkalkula, kunin natin ang n katumbas ng anim. Ang ganitong halaga ng n ay magpapahintulot sa amin na makamit ang tinukoy na katumpakan ng paraan ng trapezoid na may isang minimum na mga kalkulasyon.

Kalkulahin natin ang hakbang: h = b - a n = 2 - 1 6 = 1 6 .

Maghanap ng mga node x i = a + i h , i = 1 , 0 , . . . , n , tinutukoy namin ang mga halaga ng integrand sa mga node na ito:

i = 0: x 0 = 1 + 0 1 6 = 1 ⇒ f (x 0) = f (1) = 1 12 1 4 + 1 3 1 - 1 60 = 0 , 4 i = 1: x 1 \u003d 1 + 1 1 6 \u003d 7 6 ⇒ f (x 1) \u003d f 7 6 \u003d 1 12 7 6 4 + 1 3 7 6 - 1 60 ≈ 0, 5266. . . i \u003d 6: x 10 \u003d 1 + 6 1 6 \u003d 2 ⇒ f (x 6) \u003d f (2) \u003d 1 12 2 4 + 1 3 2 - 1 60 ≈ 1, 9833

Isinulat namin ang mga resulta ng pagkalkula sa anyo ng isang talahanayan:

Pinapalitan namin ang mga resulta na nakuha sa trapezoid formula:

∫ 1 2 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 d x ≈ h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n) = = 1 12 0 , 4 + 2 0, 5266 + 0, 6911 + 0, 9052 + 1, 1819 + 1, 5359 + 1, 9833 ≈ 1, 0054

Upang ihambing, kinakalkula namin ang orihinal na integral gamit ang formula ng Newton-Leibniz:

∫ 1 2 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 d x = x 5 60 + x 2 6 - x 60 1 2 = 1

Tulad ng nakikita mo, nakamit namin ang nakuhang katumpakan ng mga kalkulasyon.

Sagot: ∫ 1 2 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 d x ≈ 1, 0054

Para sa mga kumplikadong integrand, ang paghahanap ng numero n mula sa hindi pagkakapantay-pantay para sa pagtantya ng ganap na error ay hindi laging madali. Sa kasong ito, ang sumusunod na pamamaraan ay magiging angkop.

Tukuyin natin ang tinatayang halaga ng tiyak na integral, na nakuha ng trapezoid method para sa n node, bilang I n . Pumili tayo ng arbitrary na numero n . Gamit ang formula ng paraan ng trapezoid, kinakalkula namin ang paunang integral para sa isang solong (n = 10) at doble (n = 20) na bilang ng mga node at hanapin ang ganap na halaga ng pagkakaiba sa pagitan ng dalawang nakuha na tinatayang mga halaga I 20 - ako 10 .

Kung ang ganap na halaga ng pagkakaiba sa pagitan ng dalawang nakuhang tinatayang halaga ay mas mababa sa kinakailangang katumpakan I 20 - I 10< δ n , то мы прекращаем вычисления и выбираем значение I 20 , которое можно округлить до требуемого порядка точности.

Kung ang ganap na halaga ng pagkakaiba sa pagitan ng dalawang nakuha na tinatayang mga halaga ay mas malaki kaysa sa kinakailangang katumpakan, kung gayon kinakailangan na ulitin ang mga hakbang na may dalawang beses ang bilang ng mga node (n = 40).

Ang pamamaraang ito ay nangangailangan ng maraming kalkulasyon, kaya matalino na gumamit ng teknolohiya ng computer upang makatipid ng oras.

Lutasin natin ang problema gamit ang algorithm sa itaas. Upang makatipid ng oras, tinanggal namin ang mga intermediate na kalkulasyon gamit ang paraan ng trapezoid.

Halimbawa 3

Kinakailangang kalkulahin ang tiyak na integral ∫ 0 2 x e x d x gamit ang trapezoid method na may katumpakan na 0 , 001 .

Solusyon

Kunin natin ang n katumbas ng 10 at 20 . Ayon sa formula ng trapezoid, nakukuha namin ang I 10 \u003d 8, 4595380, I 20 \u003d 8, 4066906.

I 20 - I 10 = 8, 4066906 - 8, 4595380 = 0, 0528474 > 0, 001, na nangangailangan ng karagdagang mga kalkulasyon.

Kunin natin ang n katumbas ng 40: I 40 = 8, 3934656.

I 40 - I 20 = 8, 3934656 - 8, 4066906 = 0, 013225 > 0, 001, na nangangailangan din ng mga karagdagang kalkulasyon.

Kunin natin ang n katumbas ng 80: I 80 = 8 , 3901585 .

I 80 - I 40 = 8.3901585 - 8.3934656 = 0.0033071 > 0.001, na nangangailangan ng isa pang pagdodoble ng bilang ng mga node.

Kunin natin ang n katumbas ng 160: I 160 = 8, 3893317.

I 160 - I 80 = 8, 3893317 - 8, 3901585 = 0, 0008268< 0 , 001

Makakakuha ka ng tinatayang halaga ng orihinal na integral sa pamamagitan ng pag-round sa I 160 = 8 , 3893317 hanggang thousandths: ∫ 0 2 x e x d x ≈ 8 , 389 .

Para sa paghahambing, kinakalkula namin ang orihinal na tiyak na integral gamit ang Newton-Leibniz formula: ∫ 0 2 x e x d x = e x · (x - 1) 0 2 = e 2 + 1 ≈ 8 , 3890561 . Ang kinakailangang katumpakan ay nakamit.

Sagot: ∫ 0 2 x e x d x ≈ 8, 389

Mga pagkakamali

Ang mga intermediate na kalkulasyon upang matukoy ang halaga ng isang tiyak na integral ay isinasagawa, sa karamihan, humigit-kumulang. Nangangahulugan ito na habang tumataas ang n, ang error sa computational ay nagsisimulang maipon.

Ihambing natin ang mga pagtatantya ng ganap na mga pagkakamali ng pamamaraang trapezoidal at ang paraan ng ibig sabihin ng mga parihaba:

δ n ≤ m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) n h 3 12 = m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) b - a 3 12 n 2 δ n ≤ m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) n h 3 24 = m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) b - a 3 24 n 2 .

Ang paraan ng mga parihaba para sa isang naibigay na n na may parehong dami ng computational work ay nagbibigay sa kalahati ng error. Ginagawa nitong mas kanais-nais ang pamamaraan sa mga kaso kung saan ang mga halaga ng function ay kilala sa gitnang mga segment ng elementarya na mga segment.

Sa mga kasong iyon kapag ang mga integrable function ay tinukoy hindi analytically, ngunit bilang isang hanay ng mga halaga sa mga node, maaari naming gamitin ang trapezoidal method.

Kung ihahambing natin ang katumpakan ng paraan ng trapezoidal at ang paraan ng kanan at kaliwang mga parihaba, kung gayon ang unang paraan ay lumalampas sa pangalawa sa katumpakan ng resulta.

Kung may napansin kang pagkakamali sa text, mangyaring i-highlight ito at pindutin ang Ctrl+Enter

Trapezoidal na pamamaraan ay isa sa mga pamamaraan ng pagsasama ng numero. Pinapayagan ka nitong kalkulahin ang mga tiyak na integral na may paunang natukoy na antas ng katumpakan.

Una, inilalarawan namin ang kakanyahan ng paraan ng trapezoid at nakukuha ang formula ng trapezoid. Susunod, sumulat kami ng isang pagtatantya ng ganap na error ng pamamaraan at pag-aralan nang detalyado ang solusyon ng mga tipikal na halimbawa. Sa konklusyon, ihambing natin ang paraan ng mga trapezoid sa paraan ng mga parihaba.

Pag-navigate sa pahina.

Ang kakanyahan ng paraan ng trapezoid.

Itakda natin sa ating sarili ang sumusunod na gawain: kailangan nating humigit-kumulang kalkulahin ang tiyak na integral , kung saan ang integrand y=f(x) ay tuloy-tuloy sa interval .

Hatiin natin ang segment sa n pantay na pagitan ng haba h na may mga puntos . Sa kasong ito, ang hakbang ng partition ay matatagpuan habang ang mga node ay tinutukoy mula sa pagkakapantay-pantay .

Isaalang-alang ang integrand sa elementarya pagitan .

Apat na mga kaso ang posible (ang figure ay nagpapakita ng pinakasimpleng ng mga ito, kung saan ang lahat ay nababawasan habang ang n ay tumataas nang walang hanggan):

Sa bawat segment palitan natin ang function na y=f(x) ng isang line segment na dumadaan sa mga puntos na may mga coordinate at . Inilalarawan namin ang mga ito sa figure na may mga asul na linya:

Bilang isang tinatayang halaga ng integral, kinukuha namin ang expression , ibig sabihin, kunin natin .

Alamin natin kung ano ang ibig sabihin ng nakasulat na humigit-kumulang pagkakapantay-pantay sa isang geometric na kahulugan. Gagawin nitong posible na maunawaan kung bakit ang itinuturing na paraan ng pagsasama ng numero ay tinatawag na pamamaraang trapezoidal.

Alam namin na ang lugar ng isang trapezoid ay matatagpuan bilang produkto ng kalahati ng kabuuan ng mga base na beses ang taas. Samakatuwid, sa unang kaso, ang lugar ng isang curvilinear trapezoid ay humigit-kumulang katumbas ng lugar ng isang trapezoid na may mga base. at taas h, sa huling kaso, ang tiyak na integral ay humigit-kumulang katumbas ng lugar ng trapezoid na may mga base at taas h kinuha na may minus sign. Sa pangalawa at pangatlong kaso, ang tinatayang halaga ng tiyak na integral ay katumbas ng pagkakaiba sa pagitan ng mga lugar ng pula at asul na rehiyon na ipinapakita sa figure sa ibaba.

Kaya, kami ay dumating sa ang kakanyahan ng paraan ng trapezoid, na binubuo sa kumakatawan sa isang tiyak na integral bilang kabuuan ng mga integral ng anyo sa bawat elementary interval at sa kasunod na tinatayang kapalit .

Trapezoidal formula.

Sa bisa ng ikalimang pag-aari ng tiyak na integral .

Kung papalitan natin ang kanilang tinatayang mga halaga sa halip na mga integral, makakakuha tayo ng:

Ang pagtatantya ng ganap na pagkakamali ng pamamaraan ng trapezoidal.

Ganap na pagkakamali ng paraan ng trapezoidal na-rate bilang
.

Graphic na paglalarawan ng trapezoidal na pamamaraan.

Dalhin natin graphic na paglalarawan ng trapezoidal na pamamaraan:

Mga halimbawa ng tinatayang pagkalkula ng mga tiyak na integral sa pamamagitan ng pamamaraang trapezoidal.

Gumamit tayo ng mga halimbawa upang pag-aralan ang aplikasyon ng paraan ng trapezoid sa tinatayang pagkalkula ng ilang mga integral.

Sa pangkalahatan, mayroong dalawang uri ng mga gawain:

• o kalkulahin ang tiyak na integral sa pamamagitan ng trapezoid method para sa isang naibigay na bilang ng mga partisyon ng segment n,
• o maghanap ng tinatayang halaga ng isang tiyak na integral na may kinakailangang katumpakan.

Dapat tandaan na para sa isang naibigay na n, ang mga intermediate na kalkulasyon ay dapat isagawa nang may sapat na antas ng katumpakan, at kung mas malaki ang n, mas mataas ang katumpakan ng mga kalkulasyon.

Kung kinakailangan upang kalkulahin ang isang tiyak na integral na may isang naibigay na katumpakan, halimbawa, hanggang sa 0.01 , pagkatapos ay inirerekomenda namin na ang mga intermediate na kalkulasyon ay isasagawa nang mas tumpak na dalawa o tatlong mga order ng magnitude, iyon ay, hanggang sa 0.0001 - 0.00001 . Kung ang tinukoy na katumpakan ay nakamit sa malaking n, kung gayon ang mga intermediate na kalkulasyon ay dapat isagawa nang may mas mataas na katumpakan.

Halimbawa, kumuha tayo ng isang tiyak na integral, ang halaga kung saan maaari nating kalkulahin gamit ang formula ng Newton-Leibniz, upang maihambing natin ang resulta na ito sa isang tinatayang halaga na nakuha gamit ang paraan ng trapezoid.

Kaya, .

Halimbawa.

Kalkulahin ang tiyak na integral gamit ang trapezoidal method para sa n = 10 .

Solusyon.

Ang formula para sa paraan ng trapezoid ay . Iyon ay, upang mailapat ito, sapat na para sa amin na kalkulahin ang hakbang h gamit ang formula , matukoy ang mga node at kalkulahin ang kaukulang mga halaga ng integrand .

Kalkulahin natin ang hakbang ng pagkahati: .

Tinukoy namin ang mga node at kinakalkula ang mga halaga ng integrat sa kanila (kukuha kami ng apat na decimal na lugar):

Para sa kaginhawahan, ang mga resulta ng pagkalkula ay ipinakita sa anyo ng isang talahanayan:

Pinapalitan namin ang mga ito sa pormula ng paraan ng trapezoid:

Ang nakuhang halaga ay nag-tutugma hanggang sa isandaang sa halagang kinakalkula ng Newton-Leibniz formula.

Halimbawa.

Kalkulahin ang Definite Integral trapezoidal na pamamaraan na may katumpakan na 0.01 .

Solusyon.

Ano ang makukuha natin sa kondisyon: a = 1; b=2; .

Sa kasong ito, una sa lahat, nakita namin ang bilang ng mga split point ng segment ng pagsasama, iyon ay, n. Magagawa natin ito sa pamamagitan ng paggamit ng hindi pagkakapantay-pantay upang matantya ang ganap na error . Kaya, kung makikita natin ang n kung saan ang hindi pagkakapantay-pantay ay hahawakan , pagkatapos ay ang trapezoid formula para sa ibinigay na n ay magbibigay sa amin ng tinatayang halaga ng isang tiyak na integral na may kinakailangang katumpakan.

Hanapin muna natin ang pinakamalaking halaga ng modulus ng pangalawang derivative ng function sa pagitan.

Ang pangalawang derivative ng function ay isang quadratic parabola, alam natin mula sa mga katangian nito na ito ay positibo at tumataas sa segment, samakatuwid . Tulad ng nakikita mo, sa aming halimbawa, ang proseso ng paghahanap ay medyo simple. Para sa mas kumplikadong mga kaso, sumangguni sa seksyon. Kung napakahirap hanapin, pagkatapos ng halimbawang ito ay magbibigay kami ng alternatibong paraan ng pagkilos.

Bumalik tayo sa ating hindi pagkakapantay-pantay at palitan ang nagresultang halaga dito:

kasi Ang n ay isang natural na numero (n ang bilang ng mga elementarya na pagitan kung saan nahahati ang segment ng pagsasama), pagkatapos ay maaari nating kunin ang n = 6, 7, 8, ... Kunin natin n = 6 . Ito ay magbibigay-daan sa amin upang makamit ang kinakailangang katumpakan ng trapezoidal na paraan na may isang minimum na mga kalkulasyon (bagaman para sa aming kaso na may n = 10 ito ay mas maginhawa upang magsagawa ng mga manu-manong kalkulasyon).

Kaya, n natagpuan, ngayon magpatuloy tulad ng sa nakaraang halimbawa.

Kalkulahin ang hakbang: .

Hanapin ang mga grid node at ang mga halaga ng integrat sa kanila:

Ilagay natin ang mga resulta ng mga kalkulasyon sa talahanayan:

Pinapalitan namin ang mga resulta na nakuha sa trapezoid formula:

Kinakalkula namin ang orihinal na integral gamit ang Newton-Leibniz formula upang ihambing ang mga halaga:

Samakatuwid, ang kinakailangang katumpakan ay nakakamit.

Dapat pansinin na ang paghahanap ng numero n mula sa hindi pagkakapantay-pantay para sa pagtantya ng ganap na pagkakamali ay hindi isang napakasimpleng pamamaraan, lalo na para sa mga kumplikadong integrand. Samakatuwid, makatuwirang gamitin ang sumusunod na pamamaraan.

Ang tinatayang halaga ng tiyak na integral na nakuha ng pamamaraang trapezoid para sa n node ay tutukuyin ng .

Pumili ng di-makatwirang numero n , halimbawa n = 10 . Gamit ang formula ng paraan ng trapezoid, kinakalkula namin ang paunang integral para sa n = 10 at para sa dalawang beses ang bilang ng mga node, iyon ay, para sa n = 20. Nahanap namin ang ganap na halaga ng pagkakaiba sa pagitan ng dalawang nakuhang tinatayang halaga. Kung ito ay mas mababa sa kinakailangang katumpakan , pagkatapos ay ihihinto namin ang mga kalkulasyon at kunin ang halaga bilang isang tinatayang halaga ng isang tiyak na integral, na dati nang na-round up sa kinakailangang pagkakasunud-sunod ng katumpakan. Kung hindi, doble namin ang bilang ng mga node (kumuha kami ng n = 40 ) at ulitin ang mga hakbang.

Mga gawain sa pagtuturo at pang-edukasyon:

• layunin ng didactic. Upang ipakilala sa mga mag-aaral ang mga paraan ng tinatayang pagkalkula ng isang tiyak na integral.
• layuning pang-edukasyon. Ang paksa ng araling ito ay may malaking praktikal at pang-edukasyon na halaga. Ang pinakasimpleng diskarte sa ideya ng pagsasama ng numero ay batay sa kahulugan ng isang tiyak na integral bilang limitasyon ng mga integral sums. Halimbawa, kung kukuha tayo ng sapat na maliit na partition ng segment [ a; b] at bumuo ng integral sum para dito, kung gayon ang halaga nito ay maaaring tinatayang kunin bilang halaga ng katumbas na integral. Kasabay nito, mahalaga na mabilis at tama na magsagawa ng mga kalkulasyon gamit ang teknolohiya ng computer.

Pangunahing kaalaman at kasanayan. Magkaroon ng pag-unawa sa mga tinatayang pamamaraan para sa pagkalkula ng isang tiyak na integral gamit ang mga formula ng mga parihaba at trapezoid.

Pagtitiyak ng aralin

• Handout. Mga task card para sa malayang gawain.
• TSO. Multiprojector, PC, laptop.
• kagamitan sa TCO. Mga Presentasyon: "Geometric na kahulugan ng derivative", "Paraan ng mga parihaba", "Paraan ng mga trapezoid". (Ang pagtatanghal ay maaaring hiramin sa may-akda).
• Mga tool sa pag-compute: PC, microcalculators.
• Mga Alituntunin

Uri ng klase. Pinagsamang praktikal.

Pagganyak ng aktibidad ng nagbibigay-malay ng mga mag-aaral. Kadalasan, kailangang kalkulahin ng isang tao ang mga tiyak na integral kung saan imposibleng makahanap ng isang antiderivative. Sa kasong ito, ang mga tinatayang pamamaraan para sa pagkalkula ng mga tiyak na integral ay ginagamit. Minsan ang tinatayang paraan ay ginagamit din para sa "pagkuha" ng mga integral, kung ang pagkalkula ng formula ng Newton-Leibniz ay hindi makatwiran. Ang ideya ng isang tinatayang pagkalkula ng integral ay ang curve ay pinalitan ng isang bagong curve na sapat na "malapit" dito. Depende sa pagpili ng isang bagong curve, maaaring gamitin ang isa o isa pang tinatayang formula ng pagsasama.

Pagkakasunod-sunod ng aralin.

1. Parihaba na formula.
2. Trapezoidal formula.
3. Solusyon ng mga pagsasanay.

Lesson plan

1. Pag-uulit ng pangunahing kaalaman ng mga mag-aaral.

Ulitin sa mga mag-aaral: ang mga pangunahing pormula ng pagsasama, ang kakanyahan ng mga pinag-aralan na pamamaraan ng pagsasama, ang geometriko na kahulugan ng isang tiyak na integral.

1. Gumagawa ng praktikal na gawain.

Ang solusyon ng maraming mga teknikal na problema ay nabawasan sa pagkalkula ng ilang mga integral, ang eksaktong pagpapahayag ng kung saan ay mahirap, nangangailangan ng mahabang kalkulasyon at hindi palaging nabibigyang katwiran sa pagsasanay. Dito, ang kanilang tinatayang halaga ay sapat na.

Hayaan, halimbawa, ito ay kinakailangan upang kalkulahin ang lugar na nalilimitahan ng isang linya na ang equation ay hindi alam. Sa kasong ito, maaari mong palitan ang linyang ito ng isang mas simple, ang equation na kung saan ay kilala. Ang lugar ng curvilinear trapezoid kaya nakuha ay kinuha bilang isang tinatayang halaga ng nais na integral.

Ang pinakasimpleng tinatayang paraan ay ang paraan ng mga parihaba. Sa geometriko, ang ideya sa likod ng paraan upang makalkula ang tiyak na integral gamit ang formula ng mga parihaba ay ang lugar ng isang curvilinear trapezoid. A B C D ay pinalitan ng kabuuan ng mga lugar ng mga parihaba, ang isang gilid nito ay , at ang isa ay .

Kung ibubuod natin ang mga lugar ng mga parihaba na nagpapakita ng lugar ng isang curvilinear trapezoid na may kawalan [Figure 1], pagkatapos ay makuha natin ang formula:

[Larawan 1]

pagkatapos ay makuha namin ang formula:

Kung sa kasaganaan

[Larawan2],

pagkatapos

Mga halaga y 0 , y 1 ,..., y n natagpuan mula sa pagkakapantay-pantay , k = 0, 1..., n.Ang mga formula na ito ay tinatawag na mga formula ng parihaba at magbigay ng tinatayang resulta. Sa pagtaas n nagiging mas tumpak ang resulta.

Kaya, upang mahanap ang tinatayang halaga ng integral, kailangan mo:

Upang mahanap ang error sa pagkalkula, kailangan mong gamitin ang mga formula:

Halimbawa 1 Kalkulahin sa pamamagitan ng formula ng mga parihaba. Hanapin ang ganap at kamag-anak na mga error ng mga kalkulasyon.

Hatiin natin ang segment [ a, b] sa ilang (halimbawa, 6) pantay na bahagi. Pagkatapos a = 0, b = 3 ,

x k = a + k x
X 0 = 2 + 0 = 2
X 1 = 2 + 1 = 2,5
X 2 = 2 + 2 =3
X 3 = 2 + 3 = 3
X 4 = 2 + 4 = 4
X 5 = 2 + 5 = 4,5

f(x 0) = 2 2 = 4
f (x 1) = 2 ,5 2 = 6,25
f (x 2) = 3 2 = 9
f (x 3) = 3,5 2 = 12,25
f (x 4) = 4 2 = 16
f (x 5) = 4,5 2 = 20,25.

Ayon sa formula (1):

Upang makalkula ang kamag-anak na error ng mga kalkulasyon, kinakailangan upang mahanap ang eksaktong halaga ng integral:

Ang mga kalkulasyon ay tumagal ng mahabang panahon at nakakuha kami ng medyo magaspang na rounding. Upang kalkulahin ang integral na ito na may mas maliit na approximation, maaari mong gamitin ang mga teknikal na kakayahan ng computer.

Upang makahanap ng isang tiyak na integral sa pamamagitan ng paraan ng mga parihaba, kinakailangan na ipasok ang mga halaga ng integrand f(x) sa isang Excel worksheet sa hanay X na may ibinigay na hakbang X= 0,1.

1. Pag-compile ng talahanayan ng data (X at f(x)). X f(x). Pangangatwiran, at sa cell B1 - ang salita Function2 2,1 ). Pagkatapos, sa pagpili ng bloke ng mga cell A2:A3, nakukuha namin ang lahat ng mga halaga ng argumento sa pamamagitan ng awtomatikong pagkumpleto (umabot kami lampas sa kanang sulok sa ibaba ng bloke hanggang sa cell A32, sa halaga x=5).
2. Susunod, ipinakilala namin ang mga halaga ng integrand. Sa cell B2, kailangan mong isulat ang equation nito. Upang gawin ito, ilagay ang cursor ng talahanayan sa cell B2 at ipasok ang formula mula sa keyboard =A2^2(para sa layout ng English na keyboard). Pindutin ang key Pumasok. Sa cell B2 ay lilitaw 4 . Ngayon ay kailangan mong kopyahin ang function mula sa cell B2. Autocomplete kopyahin ang formula na ito sa hanay na B2:B32.
   Bilang resulta, ang isang talahanayan ng data ay dapat makuha para sa paghahanap ng integral.
3. Ngayon sa cell B33 isang tinatayang halaga ng integral ay matatagpuan. Upang gawin ito, sa cell B33, ipasok ang formula = 0,1*, pagkatapos ay tawagan ang Function Wizard (sa pamamagitan ng pagpindot sa Insert Function na button sa toolbar (f(x)). Sa lalabas na dialog box ng Function Wizard-Step 1 ng 2, sa kaliwa, sa Kategorya field, piliin ang Math. Sa kanan sa field ng Function - ang Sum function. Pinindot namin ang pindutan OK. Ang Sum dialog box ay lilitaw. Ipasok ang hanay ng pagbubuod B2:B31 sa working field gamit ang mouse. Pinindot namin ang pindutan OK. Sa cell B33, lumilitaw ang isang tinatayang halaga ng nais na integral na may isang kawalan ( 37,955 ) .

Paghahambing ng nakuhang tinatayang halaga sa tunay na halaga ng integral ( 39 ), makikita na ang error sa approximation ng paraan ng mga parihaba sa kasong ito ay katumbas ng

= |39 - 37 , 955| = 1 ,045

Halimbawa 2 Gamit ang paraan ng mga parihaba, kalkulahin gamit ang isang naibigay na hakbang X = 0,05.

Paghahambing ng nakuhang tinatayang halaga sa tunay na halaga ng integral , makikita na ang error sa approximation ng paraan ng mga parihaba sa kasong ito ay katumbas ng

Ang pamamaraang trapezoid ay karaniwang nagbibigay ng isang mas tumpak na halaga ng integral kaysa sa paraan ng rektanggulo. Ang curvilinear trapezoid ay pinalitan ng kabuuan ng ilang mga trapezoid at ang tinatayang halaga ng tiyak na integral ay matatagpuan bilang kabuuan ng mga lugar ng mga trapezoid.

[Larawan3]

Halimbawa 3 Trapezoidal na paghahanap ng hakbang-hakbang X = 0,1.

1. Magbukas ng blangkong worksheet.
2. Pag-compile ng talahanayan ng data (X at f(x)). Hayaang ang unang column ang mga value X, at ang pangalawang kaukulang mga tagapagpahiwatig f(x). Upang gawin ito, sa cell A1, ipasok ang salita Pangangatwiran, at sa cell B1 - ang salita Function. Sa cell A2, ang unang halaga ng argument ay ipinasok - ang kaliwang hangganan ng hanay ( 0 ). Sa cell A3, ipinasok ang pangalawang halaga ng argumento - ang kaliwang hangganan ng hanay kasama ang hakbang sa pagtatayo ( 0,1 ). Pagkatapos, sa pagpili ng bloke ng mga cell A2:A3, nakukuha namin ang lahat ng mga halaga ng argumento sa pamamagitan ng awtomatikong pagkumpleto (umabot kami sa kabila ng kanang sulok sa ibaba ng bloke hanggang sa cell A33, sa halaga x=3.1).
3. Susunod, ipinakilala namin ang mga halaga ng integrand. Sa cell B2, dapat mong isulat ang equation nito (sa halimbawa ng isang sine). Upang gawin ito, ang cursor ng talahanayan ay dapat ilagay sa cell B2. Dapat mayroong isang halaga ng sine na tumutugma sa halaga ng argumento sa cell A2. Upang makuha ang halaga ng sine, gagamit kami ng isang espesyal na function: i-click ang pindutan ng Insert function sa toolbar f(x). Sa lalabas na dialog box ng Function Wizard-Step 1 ng 2, sa kaliwa, sa Kategorya field, piliin ang Math. Sa kanan sa field ng Function - isang function KASALANAN. Pinindot namin ang pindutan OK. May lalabas na dialog box KASALANAN. Pag-hover ng mouse pointer sa gray na field ng window, nang pinindot ang kaliwang button, ilipat ang field sa kanan upang buksan ang column ng data ( PERO). Tukuyin ang halaga ng argument ng sine sa pamamagitan ng pag-click sa cell A2. Pinindot namin ang pindutan OK. 0 ay lilitaw sa cell B2. Ngayon ay kailangan mong kopyahin ang function mula sa cell B2. Autocomplete kopyahin ang formula na ito sa hanay na B2:B33. Bilang resulta, ang isang talahanayan ng data ay dapat makuha para sa paghahanap ng integral.
4. Ngayon sa cell B34 isang tinatayang halaga ng integral ay matatagpuan gamit ang trapezoid method. Upang gawin ito, sa cell B34, ipasok ang formula \u003d 0.1 * ((B2 + B33) / 2+, pagkatapos ay tawagan ang Function Wizard (sa pamamagitan ng pagpindot sa Insert Function na button sa toolbar (f(x)). Sa lalabas na dialog box ng Function Wizard-Step 1 ng 2, sa kaliwa, sa Kategorya field, piliin ang Math. Sa kanan sa field ng Function - ang Sum function. Pinindot namin ang pindutan OK. Ang Sum dialog box ay lilitaw. Ipasok ang hanay ng pagbubuod B3:B32 sa working field gamit ang mouse. Pinindot namin ang pindutan OK muli OK. Sa cell B34, lumilitaw ang tinatayang halaga ng hinahangad na integral na may disadvantage ( 1,997 ) .

Ang paghahambing ng nakuha na tinatayang halaga sa totoong halaga ng integral, makikita ng isa na ang error sa pagtatantya ng pamamaraan ng mga parihaba sa kasong ito ay lubos na katanggap-tanggap para sa pagsasanay.

1. Solusyon ng mga pagsasanay.