\[(\Malaki(\text(Mga pangunahing katotohanan tungkol sa lugar)))\]

Maaari nating sabihin na ang lugar ng isang polygon ay isang halaga na nagpapahiwatig ng bahagi ng eroplano na sinasakop ng isang polygon. Ang area unit ay kinukuha bilang area ng isang parisukat na may gilid na \(1\) cm, \(1\) mm, atbp. (iisang parisukat). Pagkatapos ay susukatin ang lugar sa cm\(^2\) , mm\(^2\) ayon sa pagkakabanggit.

Sa madaling salita, masasabi natin na ang area ng isang figure ay isang value na ang numerical value ay nagpapakita kung gaano karaming beses na magkasya ang isang unit square sa isang partikular na figure.

Mga Katangian ng Lugar

1. Ang lugar ng anumang polygon ay isang positibong halaga.

2. Ang mga pantay na polygon ay may pantay na lugar.

3. Kung ang isang polygon ay binubuo ng ilang polygons, ang lawak nito ay katumbas ng kabuuan ng mga lugar ng mga polygon na ito.

4. Ang lugar ng isang parisukat na may gilid na \(a\) ay \(a^2\) .

\[(\Large(\text(Lugar ng rectangle at parallelogram)))\]

Theorem: lugar ng isang parihaba

Ang lugar ng isang parihaba na may mga gilid \(a\) at \(b\) ay \(S=ab\) .

Patunay

Buuin natin ang rectangle \(ABCD\) sa isang parisukat na may gilid \(a+b\) , tulad ng ipinapakita sa figure:

Ang parisukat na ito ay binubuo ng isang parihaba \(ABCD\) , isa pang parihaba na katumbas nito, at dalawang parisukat na may mga gilid \(a\) at \(b\) . Sa ganitong paraan,

\(\begin(multline*) S_(a+b)=2S_(\text(pr-k))+S_a+S_b \Leftrightarrow (a+b)^2=2S_(\text(pr-k))+ a^2+b^2 \Leftrightarrow\\ a^2+2ab+b^2=2S_(\text(pr-k))+a^2+b^2 \Rightarrow S_(\text(pr-k) )=ab \end(multline*)\)

Kahulugan

Ang taas ng parallelogram ay ang patayong iginuhit mula sa vertex ng parallelogram hanggang sa gilid (o extension ng gilid) na hindi naglalaman ng vertex na iyon.
Halimbawa, ang taas \(BK\) ay bumabagsak sa gilid \(AD\) , at ang taas \(BH\) ay bumabagsak sa extension ng gilid \(CD\) :

Theorem: lugar ng isang paralelogram

Ang lugar ng isang paralelogram ay katumbas ng produkto ng taas at ang gilid kung saan iginuhit ang taas na ito.

Patunay

Gumuhit ng mga patayo \(AB"\) at \(DC"\) tulad ng ipinapakita sa figure. Tandaan na ang mga perpendicular na ito ay katumbas ng taas ng parallelogram \(ABCD\) .

Pagkatapos ay ang \(AB"C"D\) ay isang parihaba, kaya \(S_(AB"C"D)=AB"\cdot AD\) .

Tandaan na ang mga tamang tatsulok \(ABB"\) at \(DCC"\) ay pantay. Sa ganitong paraan,

\(S_(ABCD)=S_(ABC"D)+S_(DCC")=S_(ABC"D)+S_(ABB")=S_(AB"C"D)=AB"\cdot AD.\)

\[(\Malaki(\text(Lugar ng tatsulok)))\]

Kahulugan

Tatawagin natin ang gilid kung saan iginuhit ang altitude sa tatsulok na base ng tatsulok.

Teorama

Ang lugar ng isang tatsulok ay kalahati ng produkto ng base nito at ang taas na iginuhit sa base na iyon.

Patunay

Hayaan ang \(S\) ang lugar ng tatsulok \(ABC\) . Kunin natin ang gilid na \(AB\) bilang base ng tatsulok at iguhit ang taas \(CH\) . Patunayan natin yan \ Kinukumpleto namin ang tatsulok \(ABC\) sa parallelogram \(ABDC\) tulad ng ipinapakita sa figure:

Ang mga tatsulok \(ABC\) at \(DCB\) ay pantay sa tatlong panig (\(BC\) ang kanilang karaniwang panig, \(AB = CD\) at \(AC = BD\) bilang magkasalungat na panig ng parallelogram \ (ABDC\ ) ), kaya pantay ang kanilang mga lugar. Samakatuwid, ang lugar \(S\) ng tatsulok \(ABC\) ay katumbas ng kalahati ng lugar ng parallelogram \(ABDC\) , i.e. \(S = \dfrac(1)(2)AB\cdotCH\).

Teorama

Kung ang dalawang tatsulok \(\tatsulok ABC\) at \(\tatsulok A_1B_1C_1\) ay may pantay na taas, kung gayon ang kanilang mga lugar ay nauugnay bilang mga base kung saan iginuhit ang mga taas na ito.

Bunga

Hinahati ito ng median ng isang tatsulok sa dalawang tatsulok na magkaparehong lugar.

Teorama

Kung ang dalawang triangles \(\triangle ABC\) at \(\triangle A_2B_2C_2\) ay may parehong anggulo, kung gayon ang kanilang mga lugar ay magkakaugnay bilang mga produkto ng mga panig na bumubuo sa anggulong ito.

Patunay

Hayaan ang \(\angle A=\angle A_2\) . Pagsamahin natin ang mga sulok na ito tulad ng ipinapakita sa figure (ang punto \(A\) ay nakahanay sa puntong \(A_2\) ):

Gumuhit ng mga taas \(BH\) at \(C_2K\) .

Ang mga tatsulok \(AB_2C_2\) at \(ABC_2\) ay may parehong taas \(C_2K\) , samakatuwid: \[\dfrac(S_(AB_2C_2))(S_(ABC_2))=\dfrac(AB_2)(AB)\]

Ang mga tatsulok \(ABC_2\) at \(ABC\) ay may parehong taas \(BH\) , samakatuwid: \[\dfrac(S_(ABC_2))(S_(ABC))=\dfrac(AC_2)(AC)\]

Ang pagpaparami ng huling dalawang pagkakapantay-pantay, nakukuha natin: \[\dfrac(S_(AB_2C_2))(S_(ABC))=\dfrac(AB_2\cdot AC_2)(AB\cdot AC) \qquad \text( o ) \qquad \dfrac(S_(A_2B_2C_2))(S_ (ABC))=\dfrac(A_2B_2\cdot A_2C_2)(AB\cdot AC)\]

Pythagorean theorem

Sa isang tamang tatsulok, ang parisukat ng haba ng hypotenuse ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng mga haba ng mga binti:

Ang kabaligtaran ay totoo rin: kung sa isang tatsulok ang parisukat ng haba ng isang panig ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng mga haba ng iba pang dalawang panig, kung gayon ang gayong tatsulok ay tamang-anggulo.

Teorama

Ang lugar ng isang kanang tatsulok ay kalahati ng produkto ng mga binti.

Theorem: Ang formula ni Heron

Hayaang ang \(p\) ay ang semiperimeter ng isang tatsulok, \(a\) , \(b\) , \(c\) ang mga haba ng mga gilid nito, kung gayon ang lugar nito ay katumbas ng \

\[(\Malaki(\text(Lugar ng isang rhombus at isang trapezoid)))\]

Magkomento

kasi Ang rhombus ay isang paralelogram, kung gayon ang parehong formula ay totoo para dito, i.e. Ang lugar ng isang rhombus ay katumbas ng produkto ng taas at ang gilid kung saan iginuhit ang taas na ito.

Teorama

Ang lugar ng convex quadrilateral na ang mga diagonal ay patayo ay kalahati ng produkto ng mga diagonal.

Patunay

Isaalang-alang ang quadrilateral \(ABCD\) . Tukuyin ang \(AO=a, CO=b, BO=x, DO=y\):

Tandaan na ang quadrilateral na ito ay binubuo ng apat na kanang tatsulok, samakatuwid, ang lugar nito ay katumbas ng kabuuan ng mga lugar ng mga tatsulok na ito:

\(\begin(multline*) S_(ABCD)=\frac12ax+\frac12xb+\frac12by+\frac12ay=\frac12(ax+xb+by+ay)=\\ \frac12((a+b)x+(a+b) y)=\frac12(a+b)(x+y)\end(multline*)\)

Corollary: lugar ng isang rhombus

Ang lugar ng isang rhombus ay kalahati ng produkto ng mga diagonal nito: \

Kahulugan

Ang taas ng isang trapezoid ay isang patayo na iginuhit mula sa tuktok ng isang base hanggang sa kabilang base.

Theorem: lugar ng isang trapezoid

Ang lugar ng isang trapezoid ay kalahati ng kabuuan ng mga base na beses ang taas.

Patunay

Isaalang-alang ang isang trapezoid \(ABCD\) na may mga base \(BC\) at \(AD\) . Gumuhit ng \(CD"\parallel AB\) tulad ng ipinapakita sa figure:

Pagkatapos ang \(ABCD"\) ay isang paralelogram.

Gumuhit din kami ng \(BH"\perp AD, CH\perp AD\) (\(BH"=CH\) ay ang mga taas ng trapezoid).

Pagkatapos \(S_(ABCD")=BH"\cdot AD"=BH"\cdot BC, \quad S_(CDD")=\dfrac12CH\cdot D"D\)

kasi ang isang trapezoid ay binubuo ng isang parallelogram \(ABCD"\) at isang tatsulok \(CDD"\) , kung gayon ang lugar nito ay katumbas ng kabuuan ng mga lugar ng parallelogram at ang tatsulok, iyon ay:

\ \[=\dfrac12 CH\kaliwa(BC+AD"+D"D\kanan)=\dfrac12 CH\kaliwa(BC+AD\kanan)\]

Lahat ng nag-aral ng matematika at geometry sa paaralan ay nakakaalam ng mga agham na ito kahit sa mababaw. Ngunit sa paglipas ng panahon, kung hindi ito isabuhay, ang kaalaman ay nakakalimutan. Marami pa nga ang naniniwala na sinayang lang nila ang kanilang oras sa pag-aaral ng mga geometric na kalkulasyon. Gayunpaman, mali sila. Ang mga teknikal na manggagawa ay nagsasagawa ng pang-araw-araw na gawaing nauugnay sa mga geometric na kalkulasyon. Tulad ng para sa pagkalkula ng lugar ng isang polygon, nahanap din ng kaalamang ito ang aplikasyon nito sa buhay. Kakailanganin sila ng hindi bababa sa upang makalkula ang lugar ng lupain. Kaya't alamin natin kung paano hanapin ang lugar ng isang polygon.

Kahulugan ng polygon

Una, tukuyin natin kung ano ang polygon. Ito ay isang flat geometric figure, na nabuo bilang isang resulta ng intersection ng tatlo o higit pang mga linya. Isa pang simpleng kahulugan: ang polygon ay isang closed polyline. Naturally, sa intersection ng mga linya, ang mga intersection point ay nabuo, ang kanilang bilang ay katumbas ng bilang ng mga linya na bumubuo ng isang polygon. Ang mga punto ng intersection ay tinatawag na vertices, at ang mga segment na nabuo mula sa mga tuwid na linya ay tinatawag na mga gilid ng polygon. Ang mga katabing segment ng isang polygon ay wala sa parehong tuwid na linya. Ang mga segment ng linya na hindi katabi ay ang mga hindi dumadaan sa mga karaniwang punto.

Ang kabuuan ng mga lugar ng mga tatsulok

Paano mahahanap ang lugar ng isang polygon? Ang lugar ng isang polygon ay ang panloob na bahagi ng eroplano, na nabuo sa intersection ng mga segment o gilid ng polygon. Dahil ang polygon ay isang kumbinasyon ng mga hugis tulad ng isang tatsulok, rhombus, parisukat, trapezoid, sadyang walang unibersal na formula para sa pagkalkula ng lugar nito. Sa pagsasagawa, ang pinaka-unibersal na paraan ay ang paghahati ng isang polygon sa mas simpleng mga numero, ang lugar na kung saan ay hindi mahirap hanapin. Sa pamamagitan ng pagdaragdag ng mga kabuuan ng mga lugar ng mga simpleng figure na ito, nakukuha namin ang lugar ng polygon.

Sa pamamagitan ng lugar ng bilog

Sa karamihan ng mga kaso, ang polygon ay may regular na hugis at bumubuo ng figure na may pantay na gilid at anggulo sa pagitan ng mga ito. Ang pagkalkula ng lugar sa kasong ito ay napakasimple gamit ang inscribed o circumscribed na bilog. Kung ang lugar ng bilog ay kilala, pagkatapos ay dapat itong i-multiply sa perimeter ng polygon, at pagkatapos ay ang nagresultang produkto na hinati ng 2. Bilang resulta, ang formula para sa pagkalkula ng lugar ng naturang polygon ay nakuha. : S = ½∙P∙r., kung saan ang P ay ang lugar ng bilog, at ang r ay ang perimeter ng polygon .

Ang paraan ng paghahati ng isang polygon sa "maginhawa" na mga hugis ay ang pinakasikat sa geometry, pinapayagan ka nitong mabilis at tama na mahanap ang lugar ng isang polygon. Ang ika-4 na baitang ng mataas na paaralan ay karaniwang natututo ng mga ganitong pamamaraan.

Sa artikulong ito, pag-uusapan natin kung paano ipahayag ang lugar ng isang polygon kung saan ang isang bilog ay maaaring nakasulat sa mga tuntunin ng radius ng bilog na ito. Kaagad na dapat tandaan na hindi lahat ng polygon ay maaaring isulat sa isang bilog. Gayunpaman, kung posible ito, kung gayon ang formula kung saan kinakalkula ang lugar ng naturang polygon ay nagiging napaka-simple. Basahin ang artikulong ito hanggang sa dulo o panoorin ang nakalakip na video tutorial at matututunan mo kung paano ipahayag ang lugar ng isang polygon sa mga tuntunin ng radius ng naka-inscribe na bilog nito.

Ang formula para sa lugar ng isang polygon sa mga tuntunin ng radius ng inscribed na bilog

Gumuhit tayo ng polygon A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 , hindi kinakailangang tama, ngunit isa kung saan maaaring ma-inscribe ang isang bilog. Hayaan mong ipaalala ko sa iyo na ang isang naka-inscribe na bilog ay isang bilog na dumadampi sa lahat ng panig ng polygon. Sa figure, ito ay isang berdeng bilog na nakasentro sa isang punto O:

Kumuha kami ng 5-gon dito bilang isang halimbawa. Ngunit sa katunayan ito ay walang mahalagang kahalagahan, dahil ang karagdagang patunay ay wasto para sa parehong 6-gon at 8-gon, at sa pangkalahatan para sa anumang "gon" nang arbitraryo.

Kung ikinonekta mo ang gitna ng inscribed na bilog sa lahat ng vertices ng polygon, hahatiin ito sa kasing daming triangles gaya ng mga vertices sa ibinigay na polygon. Sa aming kaso: 5 tatsulok. Kung ikinonekta natin ang tuldok O sa lahat ng mga punto ng tangency ng inscribed na bilog na may mga gilid ng polygon, makakakuha ka ng 5 mga segment (sa figure sa ibaba, ito ang mga segment Oh 1 , Oh 2 , Oh 3 , Oh 4 at Oh 5), na katumbas ng radius ng bilog at patayo sa mga gilid ng polygon kung saan sila iginuhit. Ang huli ay totoo, dahil ang radius na iginuhit sa punto ng contact ay patayo sa tangent:

Paano mahahanap ang lugar ng aming circumscribed polygon? Simple lang ang sagot. Kinakailangan na magdagdag ng mga lugar ng lahat ng mga tatsulok na nakuha bilang resulta ng paghahati:

Isaalang-alang kung ano ang lugar ng isang tatsulok. Sa larawan sa ibaba, ito ay naka-highlight sa dilaw:

Ito ay katumbas ng kalahati ng produkto ng base A 1 A 2 hanggang sa taas Oh 1 iginuhit sa base na ito. Ngunit, tulad ng nalaman na natin, ang taas na ito ay katumbas ng radius ng inscribed na bilog. Iyon ay, ang formula para sa lugar ng isang tatsulok ay tumatagal ng anyo: , saan r ay ang radius ng inscribed na bilog. Katulad nito, ang mga lugar ng lahat ng natitirang mga tatsulok ay matatagpuan. Bilang resulta, ang nais na lugar ng polygon ay katumbas ng:

Ito ay makikita na sa lahat ng mga tuntunin ng kabuuan na ito ay may isang karaniwang kadahilanan , na maaaring alisin sa mga bracket. Ang resulta ay ang sumusunod na expression:

Iyon ay, sa mga bracket mayroon lamang ang kabuuan ng lahat ng panig ng polygon, iyon ay, ang perimeter nito P. Kadalasan, sa formula na ito, ang expression ay pinapalitan lamang ng p at tawagin ang titik na ito na "kalahating perimeter". Bilang resulta, ang panghuling formula ay nagiging:

Iyon ay, ang lugar ng isang polygon kung saan ang isang bilog ng kilalang radius ay nakasulat ay katumbas ng produkto ng radius na ito at ang semiperimeter ng polygon. Ito ang resulta na aming hinangad.

Sa wakas, nabanggit niya na ang isang bilog ay maaaring palaging nakasulat sa isang tatsulok, na isang espesyal na kaso ng isang polygon. Samakatuwid, para sa isang tatsulok, ang formula na ito ay maaaring palaging ilapat. Para sa iba pang mga polygon na may higit sa 3 panig, kailangan mo munang tiyakin na maaaring may nakasulat na bilog sa mga ito. Kung gayon, maaari mong ligtas na gamitin ang simpleng formula na ito at hanapin ang lugar ng polygon na ito mula dito.

Inihanda ni Sergey Valerievich

Distance at Length Units Converter Area Units Converter Sumali © 2011-2017 Mikhail Dovzhik Ipinagbabawal ang pagkopya ng mga materyales. Sa online na calculator, maaari mong gamitin ang mga halaga sa parehong mga yunit ng pagsukat! Kung nagkakaproblema ka sa pag-convert ng mga unit ng pagsukat, gamitin ang Distance and Length Unit Converter at ang Area Unit Converter. Mga karagdagang feature ng quadrilateral area calculator

• Maaari kang lumipat sa pagitan ng mga field ng input sa pamamagitan ng pagpindot sa kanan at kaliwang key sa keyboard.

Teorya. Lugar ng isang quadrilateral Ang quadrilateral ay isang geometric na figure na binubuo ng apat na puntos (vertices), walang tatlo sa mga ito ay nasa parehong tuwid na linya, at apat na segment (mga gilid) na nagkokonekta sa mga puntong ito nang magkapares. Ang quadrilateral ay tinatawag na convex kung ang segment na nagdudugtong sa alinmang dalawang punto ng quadrilateral na ito ay nasa loob nito.

Paano mahahanap ang lugar ng isang polygon?

Ang formula para sa pagtukoy ng lugar ay tinutukoy sa pamamagitan ng pagkuha sa bawat gilid ng polygon AB, at pagkalkula ng lugar ng tatsulok na ABO na may isang vertex sa pinanggalingan O, sa pamamagitan ng mga coordinate ng vertices. Kapag naglalakad sa paligid ng isang polygon, ang mga tatsulok ay nabuo, kabilang ang loob ng polygon at matatagpuan sa labas nito. Ang pagkakaiba sa pagitan ng kabuuan ng mga lugar na ito ay ang lugar ng polygon mismo.

Samakatuwid, ang formula ay tinatawag na formula ng surveyor, dahil ang "cartographer" ay nasa pinanggalingan; kung lalakarin nito ang lugar na pakaliwa, ang lugar ay idinaragdag kung ito ay nasa kaliwa at ibawas kung ito ay nasa kanan sa mga tuntunin ng pinagmulan. Ang formula ng lugar ay may bisa para sa anumang hindi intersecting (simple) na polygon, na maaaring matambok o malukong. Nilalaman

• 1 Kahulugan
• 2 Mga halimbawa
• 3 Mas kumplikadong halimbawa
• 4 Pagpapaliwanag ng pangalan
• 5 Tingnan

Lugar ng polygon

Pansin

Maaaring ito ay:

• tatsulok;
• may apat na gilid;
• lima- o heksagono at iba pa.

Ang nasabing figure ay tiyak na mailalarawan sa pamamagitan ng dalawang posisyon:

1. Ang mga katabing panig ay hindi kabilang sa parehong linya.
2. Ang mga hindi katabi ay walang mga karaniwang punto, iyon ay, hindi sila nagsalubong.

Upang maunawaan kung aling mga vertex ang katabi, kailangan mong makita kung kabilang sila sa parehong panig. Kung oo, kapitbahay. Kung hindi man, maaari silang ikonekta ng isang segment, na dapat tawaging dayagonal. Maaari lamang silang iguhit sa mga polygon na mayroong higit sa tatlong vertices.

Anong mga uri ng mga ito ang umiiral? Ang polygon na may higit sa apat na sulok ay maaaring matambok o malukong. Ang pagkakaiba ng huli ay ang ilan sa mga vertices nito ay maaaring nasa iba't ibang panig ng isang tuwid na linya na iginuhit sa isang arbitrary na bahagi ng polygon.

Paano mahahanap ang lugar ng isang regular at hindi regular na hexagon?

• Alam ang haba ng gilid, i-multiply ito ng 6 at kunin ang perimeter ng hexagon: 10 cm x 6 \u003d 60 cm
• Palitan ang mga resulta sa aming formula:
Lugar \u003d 1/2 * perimeter * apothema Lugar \u003d ½ * 60cm * 5√3 Lutasin: Ngayon ay nananatiling pasimplehin ang sagot upang mapupuksa ang mga square root, at ipahiwatig ang resulta sa square centimeters: ½ * 60 cm * 5 √3 cm \u003d 30 * 5√3 cm =150 √3 cm =259.8 cm² Video kung paano hanapin ang lugar ng isang regular na hexagon Mayroong ilang mga pagpipilian para sa pagtukoy ng lugar ng isang hindi regular na hexagon:

• paraan ng trapezoid.
• Isang paraan para sa pagkalkula ng lugar ng mga hindi regular na polygon gamit ang coordinate axis.
• Isang paraan para sa paghahati ng hexagon sa iba pang mga hugis.

Depende sa paunang data na iyong malalaman, ang naaangkop na paraan ay pinili.

Mahalaga

Ang ilang mga hindi regular na hexagon ay binubuo ng dalawang paralelogram. Upang matukoy ang lugar ng isang paralelogram, i-multiply ang haba nito sa lapad nito at pagkatapos ay idagdag ang dalawang kilalang lugar. Video kung paano hanapin ang lugar ng isang polygon Ang isang equilateral hexagon ay may anim na pantay na gilid at isang regular na hexagon.

Ang lugar ng isang equilateral hexagon ay katumbas ng 6 na lugar ng mga triangles kung saan nahahati ang isang regular na hexagonal figure. Ang lahat ng mga tatsulok sa isang regular na heksagono ay pantay, kaya upang mahanap ang lugar ng naturang heksagono, sapat na upang malaman ang lugar ng hindi bababa sa isang tatsulok. Upang mahanap ang lugar ng isang equilateral hexagon, siyempre, ang formula para sa lugar ng isang regular na hexagon, na inilarawan sa itaas, ay ginagamit.

404 hindi natagpuan

Ang dekorasyon ng isang bahay, damit, pagguhit ng mga larawan ay nag-ambag sa proseso ng pagbuo at akumulasyon ng impormasyon sa larangan ng geometry, na nakuha ng mga tao noong mga panahong iyon sa empirically, paunti-unti at ipinasa mula sa henerasyon hanggang sa henerasyon. Ngayon, ang kaalaman sa geometry ay kinakailangan para sa isang pamutol, isang tagabuo, isang arkitekto, at bawat ordinaryong tao sa pang-araw-araw na buhay. Samakatuwid, kailangan mong matutunan kung paano kalkulahin ang lugar ng iba't ibang mga figure, at tandaan na ang bawat isa sa mga formula ay maaaring maging kapaki-pakinabang mamaya sa pagsasanay, kabilang ang formula para sa isang regular na hexagon.
Ang isang hexagon ay tulad ng isang polygonal figure, ang kabuuang bilang ng mga anggulo na kung saan ay anim. Ang regular na heksagono ay isang heksagonal na pigura na may pantay na panig. Ang mga anggulo ng isang regular na hexagon ay pantay din sa isa't isa.
Sa pang-araw-araw na buhay, madalas nating mahahanap ang mga bagay na may hugis ng isang regular na hexagon.

Hindi regular na polygon area calculator sa magkatabi

Kakailanganin mong

• - roulette;
• — electronic rangefinder;
• - isang sheet ng papel at isang lapis;
• - calculator.

Pagtuturo 1 Kung kailangan mo ang kabuuang lugar ng isang apartment o isang hiwalay na silid, basahin lamang ang teknikal na pasaporte para sa apartment o bahay, ipinapakita nito ang footage ng bawat kuwarto at ang kabuuang footage ng apartment. 2 Upang sukatin ang lugar ng isang parihaba o parisukat na silid, kumuha ng tape measure o isang electronic rangefinder at sukatin ang haba ng mga dingding. Kapag nagsusukat ng mga distansya gamit ang isang rangefinder, tiyaking panatilihing patayo ang direksyon ng beam, kung hindi ay maaaring masira ang mga resulta ng pagsukat. 3 Pagkatapos ay i-multiply ang resultang haba (sa metro) ng silid sa lapad (sa metro). Ang resultang halaga ay ang lawak ng sahig, ito ay sinusukat sa metro kuwadrado.

Gauss area formula

Kung kailangan mong kalkulahin ang lugar ng sahig ng isang mas kumplikadong istraktura, tulad ng isang pentagonal na silid o isang silid na may isang bilog na arko, gumuhit ng isang sketch ng eskematiko sa isang piraso ng papel. Pagkatapos ay hatiin ang kumplikadong hugis sa ilang simple, tulad ng isang parisukat at isang tatsulok, o isang parihaba at kalahating bilog. Sukatin gamit ang tape measure o rangefinder ang laki ng lahat ng panig ng mga resultang figure (para sa isang bilog kailangan mong malaman ang diameter) at ilagay ang mga resulta sa iyong drawing.

5 Ngayon kalkulahin ang lugar ng bawat hugis nang hiwalay. Ang lugar ng mga parihaba at parisukat ay kinakalkula sa pamamagitan ng pagpaparami ng mga panig. Upang makalkula ang lugar ng isang bilog, hatiin ang diameter sa kalahati at parisukat (multiply ito sa sarili), pagkatapos ay i-multiply ang resulta sa 3.14.
Kung gusto mo lamang ng kalahati ng bilog, hatiin ang nagresultang lugar sa kalahati. Upang kalkulahin ang lugar ng isang tatsulok, hanapin ang P sa pamamagitan ng paghati sa kabuuan ng lahat ng panig sa pamamagitan ng 2.

Formula para sa pagkalkula ng lugar ng isang hindi regular na polygon

Kung ang mga puntos ay sunud-sunod na binibilang sa isang counterclockwise na direksyon, kung gayon ang mga determinant sa formula sa itaas ay positibo at ang modulus sa loob nito ay maaaring tanggalin; kung sila ay binibilang sa isang clockwise na direksyon, ang mga determinant ay magiging negatibo. Ito ay dahil ang formula ay maaaring tingnan bilang isang espesyal na kaso ng Green's theorem. Upang mailapat ang formula, kailangan mong malaman ang mga coordinate ng polygon vertices sa Cartesian plane.

Halimbawa, kumuha tayo ng isang tatsulok na may mga coordinate ((2, 1), (4, 5), (7, 8)). Kunin ang unang x-coordinate ng unang vertex at i-multiply ito sa y-coordinate ng pangalawang vertex, at pagkatapos ay i-multiply ang x-coordinate ng pangalawang vertex sa y-coordinate ng pangatlo. Ulitin namin ang pamamaraang ito para sa lahat ng mga vertex. Ang resulta ay maaaring matukoy sa pamamagitan ng sumusunod na formula: A tri.

Ang formula para sa pagkalkula ng lugar ng isang hindi regular na quadrilateral

A) _(\text(tri.))=(1 \over 2)|x_(1)y_(2)+x_(2)y_(3)+x_(3)y_(1)-x_(2) y_(1)-x_(3)y_(2)-x_(1)y_(3)|) kung saan ang xi at yi ay tumutukoy sa kaukulang coordinate. Ang formula na ito ay maaaring makuha sa pamamagitan ng pagbubukas ng mga bracket sa pangkalahatang pormula para sa kaso n = 3. Gamit ang formula na ito, makikita mo na ang lugar ng isang tatsulok ay katumbas ng kalahati ng kabuuan ng 10 + 32 + 7 - 4 - 35 - 16, na nagbibigay ng 3. Ang bilang ng mga variable sa formula ay depende sa bilang ng mga gilid ng polygon. Halimbawa, ang formula para sa lugar ng isang pentagon ay gagamit ng mga variable hanggang sa x5 at y5: Isang pent. = 1 2 | x 1 y 2 + x 2 y 3 + x 3 y 4 + x 4 y 5 + x 5 y 1 − x 2 y 1 − x 3 y 2 − x 4 y 3 − x 5 y 4 − x 1 y 5 | (\displaystyle \mathbf (A) _(\text(pent.))=(1 \over 2)|x_(1)y_(2)+x_(2)y_(3)+x_(3)y_(4) )+x_(4)y_(5)+x_(5)y_(1)-x_(2)y_(1)-x_(3)y_(2)-x_(4)y_(3)-x_(5) )y_(4)-x_(1)y_(5)|) A para sa isang quad - mga variable hanggang x4 at y4: Isang quad.

1.1 Pagkalkula ng mga lugar noong unang panahon

1.2 Iba't ibang mga diskarte sa pag-aaral ng mga konsepto ng "lugar", "polygon", "lugar ng isang polygon"

1.2.1 Ang konsepto ng lugar. Mga Katangian ng Lugar

1.2.2 Ang konsepto ng isang polygon

1.2.3 Ang konsepto ng lugar ng isang polygon. Deskriptibong kahulugan

1.3 Iba't ibang mga formula para sa mga lugar ng polygons

1.4 Pinagmulan ng mga polygon area formula

1.4.1 Lugar ng isang tatsulok. Formula ni Heron

1.4.2 Lugar ng isang parihaba

1.4.3 Lugar ng isang trapezoid

1.4.4 Lugar ng isang quadrilateral

1.4.5 Pangkalahatang formula

1.4.6 Lugar ng isang n-gon

1.4.7 Kinakalkula ang lugar ng isang polygon mula sa mga coordinate ng mga vertices nito

1.4.8 Pumili ng Formula

1.5 Ang Pythagorean theorem sa kabuuan ng mga lugar ng mga parisukat na binuo sa mga binti ng isang right triangle

1.6 Pagkakatumbas ng mga tatsulok. Bogliai-Gervin theorem

1.7 Ratio ng mga lugar ng magkatulad na tatsulok

1.8 Mga figure na may pinakamalaking lugar

1.8.1 Trapezoid o parihaba

1.8.2 Isang kahanga-hangang katangian ng isang parisukat

1.8.3 Mga plot na may iba't ibang hugis

1.8.4 Triangle na may pinakamalaking lugar

Kabanata 2. Mga tampok na pamamaraan ng pag-aaral ng mga lugar ng polygons sa mga klase sa matematika

2.1 Pagpaplanong pampakay at mga tampok ng pagtuturo sa mga klase na may malalim na pag-aaral ng matematika

2.2 Pamamaraan ng aralin

2.3 Mga resulta ng eksperimentong gawain

Konklusyon

Panitikan

Panimula

Ang paksang "Lugar ng mga polygons" ay isang mahalagang bahagi ng kurso sa matematika ng paaralan, na medyo natural. Sa katunayan, ayon sa kasaysayan, ang mismong paglitaw ng geometry ay nauugnay sa pangangailangan na ihambing ang mga plot ng lupa ng isang anyo o iba pa. Kasabay nito, dapat tandaan na ang mga pagkakataong pang-edukasyon para sa pagbubunyag ng paksang ito sa sekondaryang paaralan ay malayo sa ganap na paggamit.

Ang pangunahing gawain ng pagtuturo ng matematika sa paaralan ay upang matiyak ang isang malakas at mulat na karunungan sa sistema ng kaalaman at kasanayan sa matematika na kinakailangan para sa bawat miyembro ng modernong lipunan sa pang-araw-araw na buhay at trabaho, sapat na upang pag-aralan ang mga kaugnay na disiplina at magpatuloy sa edukasyon.

Kasama ang solusyon ng pangunahing gawain, ang isang malalim na pag-aaral ng matematika ay nagbibigay para sa pagbuo ng isang matatag na interes sa paksa sa mga mag-aaral, ang pagkilala at pag-unlad ng kanilang mga kakayahan sa matematika, isang oryentasyon patungo sa mga propesyon na makabuluhang nauugnay sa matematika, at paghahanda para sa pag-aaral sa isang unibersidad.

Kasama sa gawaing kwalipikasyon ang nilalaman ng kursong matematika ng isang paaralang pangkalahatang edukasyon at ilang karagdagang tanong na direktang katabi ng kursong ito at pinalalim ito sa mga pangunahing linya ng ideolohiya.

Ang pagsasama ng mga karagdagang tanong ay nagsisilbi sa dalawang magkakaugnay na layunin. Sa isang banda, ito ay ang paglikha, kasabay ng mga pangunahing seksyon ng kurso, ng isang batayan upang matugunan ang mga interes at paunlarin ang mga kakayahan ng mga mag-aaral na may pagkahilig sa matematika, sa kabilang banda, ang katuparan ng mga makabuluhang puwang sa ang pangunahing kurso, na nagbibigay sa nilalaman ng malalim na pag-aaral ng kinakailangang integridad.

Ang gawaing kwalipikado ay binubuo ng isang panimula, dalawang kabanata, isang konklusyon at binanggit na literatura. Tinatalakay ng unang kabanata ang mga teoretikal na pundasyon ng pag-aaral ng mga lugar ng polygons, at ang pangalawang kabanata ay direktang tumatalakay sa mga tampok na pamamaraan ng pag-aaral ng mga lugar.

Kabanata 1

1.1Pagkalkula ng mga lugar noong unang panahon

Ang mga simulain ng kaalamang geometriko na may kaugnayan sa pagsukat ng mga lugar ay nawala sa lalim ng millennia.

Bumalik sa 4 - 5 libong taon na ang nakalilipas, natukoy ng mga Babylonians ang lugar ng isang parihaba at isang trapezoid sa mga square unit. Ang parisukat ay matagal nang nagsisilbing pamantayan para sa pagsukat ng mga lugar dahil sa marami sa mga kapansin-pansing katangian nito: magkapantay na panig, magkapantay at tamang mga anggulo, mahusay na proporsyon at pangkalahatang pagiging perpekto ng anyo. Ang mga parisukat ay madaling itayo, o maaari mong punan ang isang eroplano nang walang mga puwang.

Sa sinaunang Tsina, ang sukat ng lawak ay isang parihaba. Nang matukoy ng mga mason ang lugar ng isang hugis-parihaba na dingding ng bahay, pinarami nila ang taas at lapad ng dingding. Ito ang tinatanggap na kahulugan sa geometry: ang lugar ng isang rektanggulo ay katumbas ng produkto ng mga katabing gilid nito. Ang magkabilang panig na ito ay dapat na ipahayag sa parehong mga linear na yunit. Ang kanilang produkto ay ang lugar ng rektanggulo, na ipinahayag sa kaukulang mga square unit. Sabihin, kung ang taas at lapad ng dingding ay sinusukat sa mga decimeter, kung gayon ang produkto ng parehong mga sukat ay ipapahayag sa square decimeters. At kung ang lugar ng bawat nakaharap na Plot ay isang parisukat na decimeter, ang resultang produkto ay magsasaad ng bilang ng mga tile na kailangan para sa pagharap. Ito ay sumusunod mula sa pahayag na pinagbabatayan ng pagsukat ng mga lugar: ang lugar ng isang figure na binubuo ng mga hindi intersecting figure ay katumbas ng kabuuan ng kanilang mga lugar.

Ang mga sinaunang Egyptian 4,000 taon na ang nakalilipas ay gumamit ng halos kaparehong mga pamamaraan tulad ng ginagawa natin upang sukatin ang lugar ng isang parihaba, tatsulok, at trapezoid: ang base ng tatsulok ay nahahati sa kalahati, at pinarami ng taas; para sa isang trapezoid, ang kabuuan ng magkatulad na panig ay nahahati sa kalahati at pinarami ng taas, at iba pa. Upang kalkulahin ang lugar

quadrilateral na may mga gilid (Larawan 1.1), ang formula (1.1) ay inilapat

mga. ang kalahating kabuuan ng magkabilang panig ay pinarami.

Ang formula na ito ay malinaw na hindi tama para sa anumang may apat na gilid; ito ay sumusunod mula dito, sa partikular, na ang mga lugar ng lahat ng mga rhombus ay pareho. Samantala, kitang-kita na ang mga lugar ng naturang rhombus ay nakadepende sa laki ng mga anggulo sa vertices. Ang formula na ito ay may bisa lamang para sa isang parihaba. Sa tulong nito, maaari mong humigit-kumulang na kalkulahin ang lugar ng mga quadrilateral, kung saan ang mga anggulo ay malapit sa kanan.

Upang matukoy ang lugar

isang isosceles triangle (Fig. 1.2), kung saan, ginamit ng mga Egyptian ang tinatayang formula:
(1.2) Fig. 1.2 Ang error na ginawa sa kasong ito ay mas maliit, mas maliit ang pagkakaiba sa pagitan ng gilid at taas ng tatsulok, sa madaling salita, mas malapit ang tuktok (at) sa base ng taas mula sa. Iyon ang dahilan kung bakit ang tinatayang formula (1.2) ay naaangkop lamang para sa mga tatsulok na may medyo maliit na anggulo ng vertex.

Ngunit alam na ng mga sinaunang Griyego kung paano mahanap nang tama ang mga lugar ng polygons. Sa kanyang Mga Elemento, hindi ginagamit ni Euclid ang salitang "lugar", dahil sa mismong salitang "figure" ay nauunawaan niya ang isang bahagi ng isang eroplano na napapalibutan ng isa o isa pang saradong linya. Hindi ipinapahayag ng Euclid ang resulta ng pagsukat ng lugar bilang isang numero, ngunit inihahambing ang mga lugar ng iba't ibang mga figure sa bawat isa.

Tulad ng ibang mga siyentipiko noong unang panahon, ang Euclid ay tumatalakay sa pagbabago ng ilang mga figure sa iba, ang mga ito ay pantay sa laki. Ang lugar ng isang compound figure ay hindi magbabago kung ang mga bahagi nito ay nakaayos nang iba, ngunit walang pagtawid. Samakatuwid, halimbawa, posible, batay sa mga formula para sa lugar ng isang rektanggulo, upang mahanap ang mga formula para sa mga lugar ng iba pang mga figure. Kaya, ang tatsulok ay nahahati sa mga naturang bahagi, kung saan maaari kang gumawa ng isang rektanggulo ng pantay na lugar dito. Mula sa konstruksiyon na ito ay sumusunod na ang lugar ng isang tatsulok ay katumbas ng kalahati ng produkto ng base at taas nito. Sa pamamagitan ng pag-redrawing, nalaman nila na ang lugar ng parallelogram ay katumbas ng produkto ng base at taas, ang lugar ng trapezoid ay produkto ng kalahati ng kabuuan ng mga base at taas.

Kapag ang mga mason ay kailangang mag-tile ng isang pader ng kumplikadong pagsasaayos, maaari nilang matukoy ang lugar ng dingding sa pamamagitan ng pagbibilang ng bilang ng mga tile na napunta sa pag-tile. Ang ilang mga tile, siyempre, ay kailangang i-chip upang ang mga gilid ng cladding ay nag-tutugma sa gilid ng dingding. Ang bilang ng lahat ng mga tile na pumasok sa trabaho ay sinusuri ang lugar ng dingding na may labis, ang bilang ng mga hindi naputol na tile - na may isang kawalan. Habang bumababa ang laki ng mga cell, bumababa ang dami ng basura, at ang lugar ng dingding, na tinutukoy ng bilang ng mga tile, ay kinakalkula nang higit pa at mas tumpak.

Ang isa sa mga huling Greek mathematician - mga ensiklopedya, na ang mga gawa ay pangunahing inilapat sa kalikasan, ay si Heron ng Alexandria, na nabuhay noong ika-1 siglo. n. e. Bilang isang natatanging inhinyero, tinawag din siyang "Heron the Mechanic". Sa kanyang gawaing Dioptrics, inilalarawan ni Heron ang iba't ibang mga makina at praktikal na mga instrumento sa pagsukat.

Ang isa sa mga libro ni Heron ay pinangalanan niyang "Geometrics" at isang uri ng koleksyon ng mga formula at kaukulang mga problema. Naglalaman ito ng mga halimbawa para sa pagkalkula ng mga lugar ng mga parisukat, parihaba at tatsulok. Sumulat si Heron tungkol sa paghahanap ng lugar ng isang tatsulok sa mga gilid nito: "Hayaan, halimbawa, ang isang gilid ng isang tatsulok ay may haba na 13 sinukat na mga lubid, ang pangalawa ay 14 at ang pangatlo ay 15. Upang mahanap ang lugar, gawin ang sumusunod . Magdagdag ng 13, 14 at 15; makakakuha ka ng 42. Kalahati nito ay 21. Ibawas ang tatlong panig na ito nang paisa-isa; unang ibawas ang 13 - ito ay mananatiling 8, pagkatapos ay 14 - ito ay mananatiling 7, at sa wakas 15 - ito ay mananatiling 6. Ngayon i-multiply sila: 21 beses 8 ay magbibigay ng 168, kunin ito ng 7 beses - makakakuha ka ng 1176, at ito 6 pa beses - makakakuha ka ng 7056. Mula dito ang square root ay magiging 84. Ito ay kung gaano karaming mga panukat na kurdon ang magiging sa lugar ng tatsulok.