Oo, oo: ang pag-unlad ng aritmetika ay hindi isang laruan para sa iyo :)

Buweno, mga kaibigan, kung binabasa mo ang tekstong ito, kung gayon ang ebidensya ng panloob na takip ay nagsasabi sa akin na hindi mo pa rin alam kung ano ang pag-unlad ng aritmetika, ngunit talagang (hindi, tulad nito: SOOOOO!) gusto mong malaman. Samakatuwid, hindi kita pahihirapan ng mahabang pagpapakilala at agad na bumaba sa negosyo.

Upang magsimula, isang pares ng mga halimbawa. Isaalang-alang ang ilang hanay ng mga numero:

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

Ano ang pagkakatulad ng lahat ng set na ito? Sa unang tingin, wala. Pero sa totoo lang may something. Namely: bawat susunod na elemento ay naiiba mula sa nauna sa pamamagitan ng parehong numero.

Maghusga para sa iyong sarili. Ang unang set ay magkakasunod na numero lamang, bawat isa ay higit pa kaysa sa nauna. Sa pangalawang kaso, ang pagkakaiba sa pagitan ng mga katabing numero ay katumbas na ng lima, ngunit ang pagkakaibang ito ay pare-pareho pa rin. Sa ikatlong kaso, may mga ugat sa pangkalahatan. Gayunpaman, $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$, habang $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, ibig sabihin. kung saan ang bawat susunod na elemento ay tumataas lamang ng $\sqrt(2)$ (at huwag matakot na ang numerong ito ay hindi makatwiran).

Kaya: ang lahat ng gayong mga pagkakasunud-sunod ay tinatawag lamang na mga pag-unlad ng aritmetika. Bigyan natin ng mahigpit na kahulugan:

Kahulugan. Ang isang pagkakasunud-sunod ng mga numero kung saan ang bawat susunod ay naiiba mula sa nauna sa pamamagitan ng eksaktong parehong halaga ay tinatawag na aritmetika na pag-unlad. Ang mismong halaga kung saan naiiba ang mga numero ay tinatawag na pagkakaiba sa pag-unlad at kadalasang tinutukoy ng titik $d$.

Notation: $\left(((a)_(n)) \right)$ ang mismong progression, $d$ ang difference nito.

At ilan lamang sa mahahalagang komento. Una, ang pag-unlad ay isinasaalang-alang lamang maayos pagkakasunud-sunod ng mga numero: pinapayagan silang basahin nang mahigpit sa pagkakasunud-sunod kung saan nakasulat ang mga ito - at wala nang iba pa. Hindi ka maaaring muling ayusin o magpalit ng mga numero.

Pangalawa, ang pagkakasunud-sunod mismo ay maaaring may hangganan o walang katapusan. Halimbawa, ang set (1; 2; 3) ay malinaw na isang may hangganang pag-unlad ng arithmetic. Ngunit kung sumulat ka ng isang bagay tulad ng (1; 2; 3; 4; ...) - ito ay isa nang walang katapusang pag-unlad. Ang ellipsis pagkatapos ng apat, kumbaga, ay nagpapahiwatig na marami pang mga numero ang nagpapatuloy. Walang hanggan marami, halimbawa. :)

Gusto ko ring tandaan na ang mga pag-unlad ay dumarami at bumababa. Nakita na natin ang mga dumarami - ang parehong set (1; 2; 3; 4; ...). Narito ang mga halimbawa ng bumababang pag-unlad:

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

Okay, okay: ang huling halimbawa ay maaaring mukhang masyadong kumplikado. Ngunit ang natitira, sa palagay ko, naiintindihan mo. Samakatuwid, ipinakilala namin ang mga bagong kahulugan:

Kahulugan. Ang pag-unlad ng aritmetika ay tinatawag na:

1. pagtaas kung ang bawat susunod na elemento ay mas malaki kaysa sa nauna;
2. bumababa, kung, sa kabaligtaran, ang bawat kasunod na elemento ay mas mababa kaysa sa nauna.

Bilang karagdagan, mayroong mga tinatawag na "nakatigil" na mga pagkakasunud-sunod - binubuo sila ng parehong umuulit na numero. Halimbawa, (3; 3; 3; ...).

Isang tanong na lang ang natitira: paano makilala ang isang pagtaas ng pag-unlad mula sa isang bumababa? Sa kabutihang palad, ang lahat dito ay nakasalalay lamang sa tanda ng numerong $d$, i.e. mga pagkakaiba sa pag-unlad:

1. Kung $d \gt 0$, kung gayon ang pag-unlad ay tumataas;
2. Kung $d \lt 0$, kung gayon ang pag-unlad ay malinaw na bumababa;
3. Sa wakas, mayroong kaso $d=0$ — sa kasong ito ang buong pag-unlad ay nabawasan sa isang nakatigil na pagkakasunud-sunod ng magkaparehong mga numero: (1; 1; 1; 1; ...), atbp.

Subukan nating kalkulahin ang pagkakaiba $d$ para sa tatlong bumababa na pag-unlad sa itaas. Upang gawin ito, sapat na kumuha ng anumang dalawang katabing elemento (halimbawa, ang una at pangalawa) at ibawas ang numero sa kaliwa mula sa numero sa kanan. Magiging ganito ang hitsura:

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

Tulad ng nakikita mo, sa lahat ng tatlong mga kaso ang pagkakaiba ay talagang naging negatibo. At ngayon na higit pa o mas mababa na natin ang mga kahulugan, oras na para malaman kung paano inilarawan ang mga pag-unlad at kung anong mga katangian ang mayroon sila.

Mga miyembro ng progression at ang paulit-ulit na formula

Dahil ang mga elemento ng aming mga sequence ay hindi maaaring palitan, maaari silang bilangin:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3 )),... \right\)\]

Ang mga indibidwal na elemento ng set na ito ay tinatawag na mga miyembro ng progression. Ang mga ito ay ipinahiwatig sa ganitong paraan sa tulong ng isang numero: ang unang miyembro, ang pangalawang miyembro, at iba pa.

Bilang karagdagan, tulad ng alam na natin, ang mga kalapit na miyembro ng pag-unlad ay nauugnay sa pamamagitan ng pormula:

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Rightarrow ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

Sa madaling salita, upang mahanap ang $n$th term ng progression, kailangan mong malaman ang $n-1$th term at ang pagkakaiba $d$. Ang ganitong pormula ay tinatawag na paulit-ulit, dahil sa tulong nito maaari kang makahanap ng anumang numero, alam lamang ang nauna (at sa katunayan, ang lahat ng mga nauna). Ito ay napaka-inconvenient, kaya mayroong isang mas nakakalito na formula na binabawasan ang anumang pagkalkula sa unang termino at ang pagkakaiba:

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\kaliwa(n-1 \kanan)d\]

Marahil ay nakita mo na ang formula na ito dati. Gusto nilang ibigay ito sa lahat ng uri ng mga reference na libro at reshebnik. At sa anumang matinong aklat-aralin sa matematika, isa ito sa una.

Gayunpaman, iminumungkahi kong magsanay ka ng kaunti.

Gawain bilang 1. Isulat ang unang tatlong termino ng arithmetic progression $\left(((a)_(n)) \right)$ kung $((a)_(1))=8,d=-5$.

Solusyon. Kaya, alam natin ang unang termino na $((a)_(1))=8$ at ang pagkakaiba sa pag-unlad $d=-5$. Gamitin natin ang formula na ibinigay at palitan ang $n=1$, $n=2$ at $n=3$:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\kaliwa(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\kaliwa(2-1 \kanan)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\kaliwa(3-1 \right)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \end(align)\]

Sagot: (8; 3; -2)

Iyon lang! Tandaan na ang aming pag-unlad ay bumababa.

Siyempre, hindi maaaring palitan ang $n=1$ - alam na natin ang unang termino. Gayunpaman, sa pamamagitan ng pagpapalit sa yunit, tiniyak namin na kahit sa unang termino ay gumagana ang aming formula. Sa ibang mga kaso, ang lahat ay bumaba sa banal na aritmetika.

Gawain bilang 2. Isulat ang unang tatlong termino ng isang pag-unlad ng aritmetika kung ang ikapitong termino nito ay −40 at ang ikalabimpitong termino nito ay −50.

Solusyon. Isinulat namin ang kondisyon ng problema sa karaniwang mga termino:

\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(align) \tama.\]

Inilagay ko ang sign ng system dahil ang mga kinakailangan na ito ay dapat matugunan nang sabay-sabay. At ngayon tandaan natin na kung ibawas natin ang unang equation mula sa pangalawang equation (may karapatan tayong gawin ito, dahil mayroon tayong sistema), makukuha natin ito:

\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\ & 10d=-10; \\&d=-1. \\ \end(align)\]

Kaya lang, nakita namin ang pagkakaiba ng pag-unlad! Ito ay nananatiling palitan ang nahanap na numero sa alinman sa mga equation ng system. Halimbawa, sa una:

\[\begin(matrix) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \end(matrix)\]

Ngayon, alam ang unang termino at ang pagkakaiba, nananatili itong hanapin ang pangalawa at pangatlong termino:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \end(align)\]

handa na! Nalutas ang problema.

Sagot: (-34; -35; -36)

Bigyang-pansin ang isang kakaibang pag-aari ng progression na aming natuklasan: kung kukunin namin ang $n$th at $m$th na mga termino at ibawas ang mga ito sa isa't isa, pagkatapos ay makukuha namin ang pagkakaiba ng progression na na-multiply sa bilang na $n-m$:

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \kaliwa(n-m \kanan)\]

Isang simple ngunit napaka-kapaki-pakinabang na ari-arian na dapat mong tiyak na malaman - sa tulong nito, maaari mong makabuluhang mapabilis ang solusyon ng maraming mga problema sa pag-unlad. Narito ang isang pangunahing halimbawa nito:

Gawain bilang 3. Ang ikalimang termino ng pag-unlad ng arithmetic ay 8.4, at ang ikasampung termino nito ay 14.4. Hanapin ang ikalabinlimang termino ng pag-unlad na ito.

Solusyon. Dahil $((a)_(5))=8.4$, $((a)_(10))=14.4$, at kailangan naming hanapin ang $((a)_(15))$, tandaan namin ang sumusunod:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ at ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \end(align)\]

Ngunit sa pamamagitan ng kundisyon $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$, kaya $5d=6$, kung saan mayroon tayong:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14.4=20.4. \\ \end(align)\]

Sagot: 20.4

Iyon lang! Hindi namin kailangan na bumuo ng anumang mga sistema ng mga equation at kalkulahin ang unang termino at ang pagkakaiba - ang lahat ay napagpasyahan sa loob lamang ng ilang linya.

Ngayon isaalang-alang natin ang isa pang uri ng problema - ang paghahanap ng mga negatibo at positibong miyembro ng pag-unlad. Ito ay hindi lihim na kung ang pag-unlad ay tumaas, habang ang unang termino nito ay negatibo, sa kalaunan ay lilitaw ang mga positibong termino dito. At kabaligtaran: ang mga tuntunin ng isang bumababa na pag-unlad ay malaon o huli ay magiging negatibo.

Kasabay nito, malayo sa laging posible na mahanap ang sandaling ito "sa noo", sunud-sunod na pag-uuri sa mga elemento. Kadalasan, ang mga problema ay idinisenyo sa paraang nang hindi nalalaman ang mga formula, ang mga kalkulasyon ay kukuha ng ilang mga sheet - matutulog lang kami hanggang sa matagpuan namin ang sagot. Samakatuwid, susubukan naming lutasin ang mga problemang ito sa mas mabilis na paraan.

Gawain bilang 4. Ilang mga negatibong termino sa isang pag-unlad ng arithmetic -38.5; -35.8; …?

Solusyon. Kaya, $((a)_(1))=-38.5$, $((a)_(2))=-35.8$, kung saan agad naming makikita ang pagkakaiba:

Tandaan na ang pagkakaiba ay positibo, kaya ang pag-unlad ay tumataas. Ang unang termino ay negatibo, kaya nga sa isang punto ay madadapa tayo sa mga positibong numero. Ang tanging tanong ay kung kailan ito mangyayari.

Subukan nating alamin: gaano katagal (i.e., hanggang sa kung anong natural na bilang na $n$) ang negatibiti ng mga termino ay napanatili:

\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\Rightarrow ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38.5+\left(n-1 \right)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \kanan. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Rightarrow ((n)_(\max ))=15. \\ \end(align)\]

Ang huling linya ay nangangailangan ng paglilinaw. Kaya alam natin na $n \lt 15\frac(7)(27)$. Sa kabilang banda, ang mga integer value lang ng numero ang babagay sa amin (bukod dito: $n\in \mathbb(N)$), kaya ang pinakamalaking pinapayagang numero ay tiyak na $n=15$, at sa anumang kaso 16.

Gawain bilang 5. Sa arithmetic progression $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Hanapin ang bilang ng unang positibong termino ng pag-unlad na ito.

Ito ay magiging eksaktong parehong problema tulad ng nauna, ngunit hindi namin alam ang $((a)_(1))$. Ngunit ang mga kalapit na termino ay kilala: $((a)_(5))$ at $((a)_(6))$, kaya madali nating mahanap ang pagkakaiba sa pag-unlad:

Bilang karagdagan, subukan nating ipahayag ang ikalimang termino sa mga tuntunin ng una at ang pagkakaiba gamit ang karaniwang formula:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ at ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \end(align)\]

Ngayon ay nagpapatuloy kami sa pamamagitan ng pagkakatulad sa nakaraang problema. Nalaman namin kung saang punto sa aming sequence ang mga positibong numero ay lilitaw:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Rightarrow ((n)_(\min ))=56. \\ \end(align)\]

Ang pinakamababang integer na solusyon ng hindi pagkakapantay-pantay na ito ay ang bilang na 56.

Pakitandaan na sa huling gawain ang lahat ay nabawasan sa mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay, kaya ang opsyon na $n=55$ ay hindi angkop sa amin.

Ngayon na natutunan natin kung paano lutasin ang mga simpleng problema, lumipat tayo sa mas kumplikado. Ngunit una, alamin natin ang isa pang napaka-kapaki-pakinabang na katangian ng mga pag-unlad ng aritmetika, na magliligtas sa atin ng maraming oras at hindi pantay na mga cell sa hinaharap. :)

Arithmetic mean at equal indents

Isaalang-alang ang ilang sunud-sunod na termino ng tumataas na pag-unlad ng arithmetic $\left(((a)_(n)) \right)$. Subukan nating markahan ang mga ito sa isang linya ng numero:

Mga miyembro ng pag-unlad ng aritmetika sa linya ng numero

Partikular kong binanggit ang mga arbitraryong miyembro $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$, at hindi anumang $((a)_(1)) , \ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$ atbp. Dahil ang panuntunan, na sasabihin ko ngayon sa iyo, ay gumagana nang pareho para sa anumang "mga segment".

At ang panuntunan ay napaka-simple. Tandaan natin ang recursive formula at isulat ito para sa lahat ng minarkahang miyembro:

\[\begin(align) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \end(align)\]

Gayunpaman, ang mga pagkakapantay-pantay na ito ay maaaring muling isulat sa ibang paraan:

\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \end(align)\]

Well, ano? Ngunit ang katotohanan na ang mga terminong $((a)_(n-1))$ at $((a)_(n+1))$ ay nasa parehong distansya mula sa $((a)_(n)) $ . At ang distansyang ito ay katumbas ng $d$. Ang parehong ay masasabi tungkol sa mga terminong $((a)_(n-2))$ at $((a)_(n+2))$ - inalis din ang mga ito sa $((a)_(n) )$ sa parehong distansya na katumbas ng $2d$. Maaari kang magpatuloy nang walang katiyakan, ngunit ang larawan ay naglalarawan ng kahulugan

Ang mga miyembro ng progreso ay nakahiga sa parehong distansya mula sa gitna

Ano ang ibig sabihin nito para sa atin? Nangangahulugan ito na mahahanap mo ang $((a)_(n))$ kung kilala ang mga kalapit na numero:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

Nahinuha namin ang isang kahanga-hangang pahayag: ang bawat miyembro ng isang pag-unlad ng arithmetic ay katumbas ng arithmetic mean ng mga kalapit na miyembro! Bukod dito, maaari tayong lumihis mula sa ating $((a)_(n))$ sa kaliwa at pakanan hindi sa pamamagitan ng isang hakbang, ngunit sa pamamagitan ng $k$ na mga hakbang — at magiging tama pa rin ang formula:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

Yung. madali tayong makakahanap ng ilang $((a)_(150))$ kung alam natin ang $((a)_(100))$ at $((a)_(200))$, dahil $(( a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. Sa unang sulyap, maaaring mukhang ang katotohanang ito ay hindi nagbibigay sa amin ng anumang kapaki-pakinabang. Gayunpaman, sa pagsasagawa, maraming mga gawain ang espesyal na "pinatalas" para sa paggamit ng arithmetic mean. Tingnan mo:

Gawain bilang 6. Hanapin ang lahat ng value ng $x$ na ang mga numerong $-6((x)^(2))$, $x+1$ at $14+4((x)^(2))$ ay magkakasunod na miyembro ng isang pag-unlad ng aritmetika (sa tinukoy na pagkakasunud-sunod).

Solusyon. Dahil ang mga numerong ito ay miyembro ng isang progression, ang arithmetic mean na kondisyon ay nasiyahan para sa kanila: ang gitnang elemento na $x+1$ ay maaaring ipahayag sa mga tuntunin ng mga kalapit na elemento:

\[\begin(align) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ at ((x)^(2))+x-6=0. \\ \end(align)\]

Ang resulta ay isang klasikong quadratic equation. Ang mga ugat nito: $x=2$ at $x=-3$ ang mga sagot.

Sagot: -3; 2.

Gawain bilang 7. Hanapin ang mga halaga ng $$ upang ang mga numerong $-1;4-3;(()^(2))+1$ ay bumubuo ng isang arithmetic progression (sa ganoong pagkakasunud-sunod).

Solusyon. Muli, ipinapahayag namin ang gitnang termino sa mga tuntunin ng arithmetic mean ng mga kalapit na termino:

\[\begin(align) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2\kanan.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ at ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \end(align)\]

Isa pang quadratic equation. At muli dalawang ugat: $x=6$ at $x=1$.

Sagot: 1; 6.

Kung sa proseso ng paglutas ng isang problema nakakakuha ka ng ilang mga brutal na numero, o hindi ka lubos na sigurado sa tama ng mga sagot na natagpuan, kung gayon mayroong isang kahanga-hangang trick na nagbibigay-daan sa iyo upang suriin: nalutas ba namin nang tama ang problema?

Sabihin nating sa suliranin 6 ay nakakuha tayo ng mga sagot -3 at 2. Paano natin masusuri kung tama ang mga sagot na ito? Isaksak lang natin ang mga ito sa orihinal na kundisyon at tingnan kung ano ang mangyayari. Hayaan mong ipaalala ko sa iyo na mayroon kaming tatlong numero ($-6(()^(2))$, $+1$ at $14+4(()^(2))$), na dapat bumuo ng arithmetic progression. Palitan ang $x=-3$:

\[\begin(align) & x=-3\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ &x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \end(align)\]

Nakuha namin ang mga numero -54; −2; Ang 50 na naiiba ng 52 ay walang alinlangan na isang pag-unlad ng aritmetika. Ang parehong bagay ay nangyayari para sa $x=2$:

\[\begin(align) & x=2\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ &x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \end(align)\]

Muli isang pag-unlad, ngunit may pagkakaiba na 27. Kaya, ang problema ay nalutas nang tama. Ang mga nais ay maaaring suriin ang pangalawang gawain sa kanilang sarili, ngunit sasabihin ko kaagad: lahat ay tama din doon.

Sa pangkalahatan, habang nilulutas ang mga huling problema, natitisod kami sa isa pang kawili-wiling katotohanan na kailangan ding tandaan:

Kung ang tatlong numero ay tulad na ang pangalawa ay ang average ng una at huli, ang mga numerong ito ay bumubuo ng isang pag-unlad ng aritmetika.

Sa hinaharap, ang pag-unawa sa pahayag na ito ay magbibigay-daan sa amin na literal na "buuin" ang mga kinakailangang pag-unlad batay sa kondisyon ng problema. Ngunit bago tayo makisali sa ganitong "konstruksyon", dapat nating bigyang pansin ang isa pang katotohanan, na direktang sumusunod sa kung ano ang napag-isipan na.

Pagpapangkat at kabuuan ng mga elemento

Balik tayo ulit sa number line. Napansin namin doon ang ilang mga miyembro ng pag-unlad, kung saan, marahil. nagkakahalaga ng maraming iba pang mga miyembro:

6 na elemento na minarkahan sa linya ng numero

Subukan nating ipahayag ang "kaliwang buntot" sa mga tuntunin ng $((a)_(n))$ at $d$, at ang "kanang buntot" sa mga tuntunin ng $((a)_(k))$ at $ d$. Ito ay napaka-simple:

\[\begin(align) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \end(align)\]

Ngayon tandaan na ang mga sumusunod na kabuuan ay pantay-pantay:

\[\begin(align) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= S. \end(align)\]

Sa madaling salita, kung isasaalang-alang natin bilang simula ang dalawang elemento ng pag-unlad, na sa kabuuan ay katumbas ng ilang bilang na $S$, at pagkatapos ay magsisimula tayong humakbang mula sa mga elementong ito sa magkasalungat na direksyon (patungo sa isa't isa o kabaligtaran upang lumayo), pagkatapos magkakapantay din ang kabuuan ng mga elementong ating madadapa$S$. Ito ay maaaring pinakamahusay na kinakatawan sa graphic na paraan:

Ang parehong mga indent ay nagbibigay ng pantay na mga kabuuan

Ang pag-unawa sa katotohanang ito ay magbibigay-daan sa amin na lutasin ang mga problema sa panimula na mas mataas na antas ng pagiging kumplikado kaysa sa mga isinasaalang-alang namin sa itaas. Halimbawa, ang mga ito:

Gawain bilang 8. Tukuyin ang pagkakaiba ng isang pag-unlad ng aritmetika kung saan ang unang termino ay 66, at ang produkto ng ikalawa at ikalabindalawang termino ay ang pinakamaliit na posible.

Solusyon. Isulat natin ang lahat ng ating nalalaman:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min . \end(align)\]

Kaya, hindi natin alam ang pagkakaiba ng progression $d$. Sa totoo lang, ang buong solusyon ay bubuuin sa paligid ng pagkakaiba, dahil ang produkto na $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ ay maaaring muling isulat tulad ng sumusunod:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \right)\cdot \left(66+11d \right)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right). \end(align)\]

Para sa mga nasa tangke: Inalis ko ang karaniwang kadahilanan 11 sa pangalawang bracket. Kaya, ang gustong produkto ay isang quadratic function na may paggalang sa variable na $d$. Samakatuwid, isaalang-alang ang function na $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ - ang graph nito ay magiging isang parabola na may mga sanga sa itaas, dahil kung bubuksan natin ang mga bracket, makakakuha tayo ng:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]

Tulad ng nakikita mo, ang koepisyent na may pinakamataas na termino ay 11 - ito ay isang positibong numero, kaya talagang nakikipag-usap tayo sa isang parabola na may mga sanga sa itaas:

graph ng isang quadratic function - parabola

Pakitandaan: kinukuha ng parabola na ito ang pinakamababang halaga nito sa vertex nito na may abscissa $((d)_(0))$. Siyempre, maaari nating kalkulahin ang abscissa na ito ayon sa karaniwang pamamaraan (mayroong formula $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$), ngunit mas makatwiran ang tandaan na ang gustong vertex ay nasa axis symmetry ng parabola, kaya ang puntong $((d)_(0))$ ay katumbas ng layo mula sa mga ugat ng equation $f\left(d \right)=0$:

\[\begin(align) & f\left(d\right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \end(align)\]

Iyon ang dahilan kung bakit hindi ako nagmamadaling buksan ang mga bracket: sa orihinal na anyo, ang mga ugat ay napakadaling mahanap. Samakatuwid, ang abscissa ay katumbas ng arithmetic mean ng mga numero −66 at −6:

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

Ano ang nagbibigay sa amin ng natuklasang numero? Sa pamamagitan nito, ang kinakailangang produkto ay tumatagal ng pinakamaliit na halaga (nga pala, hindi namin nakalkula ang $((y)_(\min ))$ - hindi ito kinakailangan sa amin). Kasabay nito, ang bilang na ito ay ang pagkakaiba ng paunang pag-unlad, i.e. nakita namin ang sagot. :)

Sagot: -36

Gawain bilang 9. Magpasok ng tatlong numero sa pagitan ng mga numerong $-\frac(1)(2)$ at $-\frac(1)(6)$ upang kasama ang mga ibinigay na numero ay bumuo sila ng arithmetic progression.

Solusyon. Sa katunayan, kailangan nating gumawa ng pagkakasunod-sunod ng limang numero, na alam na ang una at huling numero. Tukuyin ang mga nawawalang numero ng mga variable na $x$, $y$ at $z$:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \right\ )\]

Tandaan na ang numerong $y$ ay ang "gitna" ng aming sequence - ito ay katumbas ng distansya mula sa mga numerong $x$ at $z$, at mula sa mga numerong $-\frac(1)(2)$ at $-\frac (1)( 6)$. At kung sa ngayon ay hindi natin makukuha ang $y$ mula sa mga numerong $x$ at $z$, iba ang sitwasyon sa mga dulo ng progression. Tandaan ang ibig sabihin ng aritmetika:

Ngayon, alam ang $y$, makikita natin ang natitirang mga numero. Tandaan na ang $x$ ay nasa pagitan ng $-\frac(1)(2)$ at $y=-\frac(1)(3)$ na kakahanap lang. kaya lang

Sa parehong pagtatalo, nakita namin ang natitirang numero:

handa na! Natagpuan namin ang lahat ng tatlong numero. Isulat natin ang mga ito sa sagot sa pagkakasunud-sunod kung saan dapat silang ipasok sa pagitan ng mga orihinal na numero.

Sagot: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

Gawain bilang 10. Sa pagitan ng mga numero 2 at 42, magpasok ng ilang mga numero na, kasama ang mga ibinigay na numero, ay bumubuo ng isang pag-unlad ng aritmetika, kung alam na ang kabuuan ng una, pangalawa, at huli ng mga ipinasok na numero ay 56.

Solusyon. Ang isang mas mahirap na gawain, na, gayunpaman, ay nalutas sa parehong paraan tulad ng mga nauna - sa pamamagitan ng arithmetic mean. Ang problema ay hindi namin alam kung gaano karaming mga numero ang ilalagay. Samakatuwid, para sa katiyakan, ipinapalagay namin na pagkatapos ng pagpasok ay magkakaroon ng eksaktong $n$ na mga numero, at ang una sa mga ito ay 2, at ang huli ay 42. Sa kasong ito, ang nais na pag-unlad ng aritmetika ay maaaring katawanin bilang:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \kanan\)\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

Tandaan, gayunpaman, na ang mga numerong $((a)_(2))$ at $((a)_(n-1))$ ay nakuha mula sa mga numero 2 at 42 na nakatayo sa mga gilid sa pamamagitan ng isang hakbang patungo sa isa't isa , ibig sabihin. sa gitna ng pagkakasunod-sunod. At ito ay nangangahulugan na

\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

Ngunit ang expression sa itaas ay maaaring muling isulat tulad nito:

\[\begin(align) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ at ((a)_(3))=56-44=12. \\ \end(align)\]

Alam ang $((a)_(3))$ at $((a)_(1))$, madali nating mahahanap ang pagkakaiba sa pag-unlad:

\[\begin(align) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\kaliwa(3-1 \kanan)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Rightarrow d=5. \\ \end(align)\]

Ito ay nananatiling lamang upang mahanap ang natitirang mga miyembro:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \end(align)\]

Kaya, nasa ika-9 na hakbang na tayo ay darating sa kaliwang dulo ng pagkakasunud-sunod - ang numero 42. Sa kabuuan, 7 numero lamang ang kailangang ipasok: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Sagot: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

I-text ang mga gawain na may mga progression

Sa konklusyon, nais kong isaalang-alang ang ilang medyo simpleng problema. Well, bilang simple: para sa karamihan ng mga mag-aaral na nag-aaral ng matematika sa paaralan at hindi pa nababasa kung ano ang nakasulat sa itaas, ang mga gawaing ito ay maaaring mukhang isang kilos. Gayunpaman, ito ay tiyak na mga gawain na makikita sa OGE at ang PAGGAMIT sa matematika, kaya inirerekumenda ko na pamilyar ka sa kanila.

Gawain bilang 11. Ang koponan ay gumawa ng 62 bahagi noong Enero, at sa bawat kasunod na buwan ay gumawa sila ng 14 na mas maraming bahagi kaysa sa nauna. Ilang bahagi ang ginawa ng brigada noong Nobyembre?

Solusyon. Malinaw, ang bilang ng mga bahagi, na pininturahan ng buwan, ay magiging isang pagtaas ng pag-unlad ng aritmetika. At:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\left(n-1 \right)\cdot 14. \\ \end(align)\]

Ang Nobyembre ay ang ika-11 buwan ng taon, kaya kailangan nating hanapin ang $((a)_(11))$:

\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

Samakatuwid, 202 bahagi ang gagawin sa Nobyembre.

Gawain bilang 12. Ang bookbinding workshop ay nagbubuklod ng 216 na aklat noong Enero, at bawat buwan ay nagbubuklod ito ng 4 pang aklat kaysa sa nakaraang buwan. Ilang mga libro ang bind ng workshop noong Disyembre?

Solusyon. Lahat pare-pareho:

$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\left(n-1 \right)\cdot 4. \\ \end(align)$

Ang Disyembre ay ang huling, ika-12 buwan ng taon, kaya hinahanap namin ang $((a)_(12))$:

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

Ito ang sagot - 260 na libro ang ibubulid sa Disyembre.

Buweno, kung nabasa mo na ito, nagmamadali akong batiin ka: matagumpay mong nakumpleto ang "young fighter course" sa mga pag-unlad ng aritmetika. Maaari tayong ligtas na magpatuloy sa susunod na aralin, kung saan pag-aaralan natin ang formula ng progression sum, pati na rin ang mahalaga at lubhang kapaki-pakinabang na mga kahihinatnan mula rito.

Uri ng aralin: pag-aaral ng bagong materyal.

Layunin ng Aralin:

• pagpapalawak at pagpapalalim ng mga ideya ng mga mag-aaral tungkol sa mga gawaing nalutas gamit ang arithmetic progression; organisasyon ng aktibidad sa paghahanap ng mga mag-aaral kapag kumukuha ng pormula para sa kabuuan ng unang n miyembro ng isang pag-unlad ng arithmetic;
• pag-unlad ng mga kasanayan upang malayang makakuha ng bagong kaalaman, gumamit ng nakuha na kaalaman upang makamit ang gawain;
• pag-unlad ng pagnanais at pangangailangan na gawing pangkalahatan ang mga katotohanang nakuha, ang pag-unlad ng kalayaan.

Mga gawain:

• gawing pangkalahatan at gawing sistematiko ang umiiral na kaalaman sa paksang "Arithmetic progression";
• kumuha ng mga formula para sa pagkalkula ng kabuuan ng unang n miyembro ng isang pag-unlad ng arithmetic;
• ituro kung paano ilapat ang mga nakuhang formula sa paglutas ng iba't ibang problema;
• makuha ang atensyon ng mga mag-aaral sa pamamaraan para sa paghahanap ng halaga ng isang numerical expression.

Kagamitan:

• card na may mga gawain para sa trabaho sa mga grupo at pares;
• papel ng pagsusuri;
• pagtatanghal"Aritmetikong pag-unlad".

I. Aktwalisasyon ng pangunahing kaalaman.

1. Malayang gawain nang magkapares.

1st option:

Tukuyin ang isang pag-unlad ng arithmetic. Sumulat ng isang recursive formula na tumutukoy sa isang pag-unlad ng arithmetic. Magbigay ng halimbawa ng pag-unlad ng arithmetic at ipahiwatig ang pagkakaiba nito.

2nd option:

Isulat ang formula para sa ika-n na termino ng isang pag-unlad ng arithmetic. Hanapin ang 100th term ng isang arithmetic progression ( isang n}: 2, 5, 8 …
Sa oras na ito, dalawang estudyante sa likod ng pisara ang naghahanda ng mga sagot sa parehong mga tanong.
Sinusuri ng mga mag-aaral ang gawain ng kapareha sa pamamagitan ng paghahambing nito sa pisara. (Ang mga leaflet na may mga sagot ay ibibigay).

2. sandali ng laro.

Ehersisyo 1.

Guro. Naglihi ako ng ilang pag-unlad ng arithmetic. Magtanong lamang sa akin ng dalawang katanungan upang pagkatapos ng mga sagot ay mabilis mong pangalanan ang ika-7 miyembro ng pag-unlad na ito. (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15…)

Mga tanong mula sa mga mag-aaral.

1. Ano ang ikaanim na termino ng pag-unlad at ano ang pagkakaiba?
2. Ano ang ikawalong termino ng pag-unlad at ano ang pagkakaiba?

Kung wala nang mga katanungan, maaari silang pasiglahin ng guro - isang "pagbabawal" sa d (pagkakaiba), iyon ay, hindi pinapayagan na magtanong kung ano ang pagkakaiba. Maaari kang magtanong: ano ang ika-6 na termino ng pag-unlad at ano ang ika-8 termino ng pag-unlad?

Gawain 2.

Mayroong 20 numero na nakasulat sa pisara: 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.

Nakatalikod ang guro sa pisara. Sinasabi ng mga estudyante ang numero ng numero, at agad na tinawag ng guro ang numero mismo. Ipaliwanag kung paano ko ito magagawa?

Naaalala ng guro ang pormula ng ika-1 termino isang n \u003d 3n - 2 at, pinapalitan ang ibinigay na mga halaga ng n, hinahanap ang kaukulang mga halaga a n .

II. Pahayag ng gawaing pang-edukasyon.

Iminumungkahi kong lutasin ang isang lumang problema noong ika-2 milenyo BC, na matatagpuan sa Egyptian papyri.

Isang gawain:“Sabihin sa inyo: hatiin ang 10 takal ng sebada sa pagitan ng 10 tao, ang pagkakaiba ng bawat tao at ng kanyang kapwa ay 1/8 ng sukat.”

• Paano nauugnay ang problemang ito sa paksa ng pag-unlad ng aritmetika? (Ang bawat susunod na tao ay makakakuha ng 1/8 ng sukat ng higit pa, kaya ang pagkakaiba ay d=1/8, 10 tao, kaya n=10.)
• Ano sa palagay mo ang ibig sabihin ng numero 10? (Ang kabuuan ng lahat ng miyembro ng progression.)
• Ano pa ang kailangan mong malaman para maging madali at simple ang paghahati ng barley ayon sa kondisyon ng problema? (Ang unang termino ng pag-unlad.)

Layunin ng aralin- pagkuha ng dependence ng kabuuan ng mga tuntunin ng pag-unlad sa kanilang numero, ang unang termino at ang pagkakaiba, at pagsuri kung ang problema ay nalutas nang tama sa sinaunang panahon.

Bago makuha ang formula, tingnan natin kung paano nalutas ng mga sinaunang Egyptian ang problema.

At nalutas nila ito tulad nito:

1) 10 sukat: 10 = 1 sukat - average na bahagi;
2) 1 sukat ∙ = 2 sukat - nadoble karaniwan ibahagi.
nadoble karaniwan ang bahagi ay ang kabuuan ng mga bahagi ng ika-5 at ika-6 na tao.
3) 2 sukat - 1/8 sukat = 1 7/8 sukat - dalawang beses ang bahagi ng ikalimang tao.
4) 1 7/8: 2 = 5/16 - ang bahagi ng ikalima; at iba pa, mahahanap mo ang bahagi ng bawat nauna at kasunod na tao.

Nakukuha namin ang pagkakasunud-sunod:

III. Ang solusyon sa gawain.

1. Magtrabaho sa mga pangkat

1st group: Hanapin ang kabuuan ng 20 magkakasunod na natural na numero: S 20 \u003d (20 + 1) ∙ 10 \u003d 210.

Sa pangkalahatan

II pangkat: Hanapin ang kabuuan ng mga natural na numero mula 1 hanggang 100 (Alamat ng Little Gauss).

S 100 \u003d (1 + 100) ∙ 50 \u003d 5050

Konklusyon:

III pangkat: Hanapin ang kabuuan ng mga natural na numero mula 1 hanggang 21.

Solusyon: 1+21=2+20=3+19=4+18…

Konklusyon:

IV pangkat: Hanapin ang kabuuan ng mga natural na numero mula 1 hanggang 101.

Konklusyon:

Ang pamamaraang ito ng paglutas ng mga itinuturing na problema ay tinatawag na "Gauss method".

2. Ang bawat pangkat ay naglalahad ng solusyon sa suliranin sa pisara.

3. Paglalahat ng mga iminungkahing solusyon para sa isang di-makatwirang pag-unlad ng arithmetic:

a 1 , a 2 , a 3 ,…, a n-2 , a n-1 , a n .
S n \u003d a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + ... + a n-3 + a n-2 + a n-1 + a n.

Nahanap namin ang kabuuan na ito sa pamamagitan ng pagtatalo nang katulad:

4. Nalutas na ba natin ang gawain?(Oo.)

IV. Pangunahing pag-unawa at paggamit ng mga nakuhang formula sa paglutas ng mga problema.

1. Sinusuri ang solusyon ng isang lumang problema sa pamamagitan ng formula.

2. Paglalapat ng pormula sa paglutas ng iba't ibang suliranin.

3. Mga pagsasanay para sa pagbuo ng kakayahang magamit ang formula sa paglutas ng mga problema.

A) Blg. 613

binigay :( at n) - pag-unlad ng aritmetika;

(a n): 1, 2, 3, ..., 1500

Hanapin: S 1500

Solusyon: , at 1 = 1, at 1500 = 1500,

B) Ibinigay: ( at n) - pag-unlad ng aritmetika;
(at n): 1, 2, 3, ...
S n = 210

Hanapin: n
Solusyon:

V. Malayang gawain na may mutual na pagpapatunay.

Nagtrabaho si Denis bilang isang courier. Sa unang buwan, ang kanyang suweldo ay 200 rubles, sa bawat kasunod na buwan ay tumaas ito ng 30 rubles. Magkano ang kinita niya sa isang taon?

binigay :( at n) - pag-unlad ng aritmetika;
a 1 = 200, d=30, n=12
Hanapin: S 12
Solusyon:

Sagot: Nakatanggap si Denis ng 4380 rubles para sa taon.

VI. Pagtuturo sa takdang-aralin.

1. p. 4.3 - alamin ang derivation ng formula.
2. №№ 585, 623 .
3. Bumuo ng isang problema na malulutas gamit ang formula para sa kabuuan ng unang n termino ng isang pag-unlad ng arithmetic.

VII. Pagbubuod ng aralin.

1. Iskor sheet

2. Ipagpatuloy ang mga pangungusap

• Ngayon sa klase natutunan ko...
• Mga Natutunang Formula...
• Sa tingin ko …

3. Mahahanap mo ba ang kabuuan ng mga numero mula 1 hanggang 500? Anong paraan ang iyong gagamitin upang malutas ang problemang ito?

Bibliograpiya.

1. Algebra, ika-9 na baitang. Textbook para sa mga institusyong pang-edukasyon. Ed. G.V. Dorofeeva. Moscow: Enlightenment, 2009.

Kapag nag-aaral ng algebra sa isang sekondaryang paaralan (grade 9), isa sa mga mahalagang paksa ay ang pag-aaral ng mga numerical sequence, na kinabibilangan ng mga progression - geometric at arithmetic. Sa artikulong ito, isasaalang-alang natin ang isang pag-unlad ng aritmetika at mga halimbawa na may mga solusyon.

Ano ang isang arithmetic progression?

Upang maunawaan ito, kinakailangang magbigay ng kahulugan ng pag-unlad na isinasaalang-alang, gayundin ang pagbibigay ng mga pangunahing pormula na higit pang gagamitin sa paglutas ng mga problema.

Ang arithmetic o algebraic progression ay isang set ng mga nakaayos na rational na numero, na ang bawat miyembro nito ay naiiba sa nauna sa pamamagitan ng ilang pare-parehong halaga. Ang halagang ito ay tinatawag na pagkakaiba. Iyon ay, alam mo ang sinumang miyembro ng isang nakaayos na serye ng mga numero at ang pagkakaiba, maaari mong ibalik ang buong pag-unlad ng arithmetic.

Kumuha tayo ng isang halimbawa. Ang susunod na sequence ng mga numero ay isang arithmetic progression: 4, 8, 12, 16, ..., dahil ang pagkakaiba sa kasong ito ay 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). Ngunit ang hanay ng mga numero 3, 5, 8, 12, 17 ay hindi na maiuugnay sa itinuturing na uri ng pag-unlad, dahil ang pagkakaiba para dito ay hindi isang pare-parehong halaga (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12).

Mahahalagang Formula

Ibinibigay na namin ngayon ang mga pangunahing formula na kakailanganin upang malutas ang mga problema gamit ang isang pag-unlad ng arithmetic. Hayaan ang isang n tukuyin ang ika-na miyembro ng sequence, kung saan ang n ay isang integer. Ang pagkakaiba ay tinutukoy ng letrang Latin na d. Kung gayon ang mga sumusunod na expression ay totoo:

1. Upang matukoy ang halaga ng nth term, ang formula ay angkop: a n \u003d (n-1) * d + a 1.
2. Upang matukoy ang kabuuan ng unang n termino: S n = (a n + a 1)*n/2.

Upang maunawaan ang anumang mga halimbawa ng isang pag-unlad ng aritmetika na may solusyon sa ika-9 na baitang, sapat na tandaan ang dalawang formula na ito, dahil ang anumang mga problema ng uri na pinag-uusapan ay binuo sa kanilang paggamit. Gayundin, huwag kalimutan na ang pagkakaiba sa pag-unlad ay tinutukoy ng formula: d = a n - a n-1 .

Halimbawa #1: Paghahanap ng Hindi Kilalang Miyembro

Nagbibigay kami ng isang simpleng halimbawa ng isang pag-unlad ng aritmetika at ang mga formula na dapat gamitin upang malutas.

Hayaang ibigay ang pagkakasunod-sunod na 10, 8, 6, 4, ..., kailangan na makahanap ng limang termino dito.

Ito ay sumusunod na mula sa mga kondisyon ng problema na ang unang 4 na termino ay kilala. Ang ikalima ay maaaring tukuyin sa dalawang paraan:

1. Kalkulahin muna natin ang pagkakaiba. Mayroon kaming: d = 8 - 10 = -2. Katulad nito, ang isa ay maaaring tumagal ng anumang dalawang iba pang termino na nakatayo sa tabi ng isa't isa. Halimbawa, d = 4 - 6 = -2. Dahil alam na d \u003d a n - a n-1, pagkatapos ay d \u003d a 5 - a 4, mula sa kung saan kami makakakuha ng: a 5 \u003d a 4 + d. Pinapalitan namin ang mga kilalang halaga: a 5 = 4 + (-2) = 2.
2. Ang pangalawang paraan ay nangangailangan din ng kaalaman sa pagkakaiba ng pag-usad na pinag-uusapan, kaya kailangan mo munang matukoy ito, tulad ng ipinapakita sa itaas (d = -2). Alam na ang unang termino a 1 = 10, ginagamit namin ang formula para sa n bilang ng sequence. Mayroon kaming: a n \u003d (n - 1) * d + a 1 \u003d (n - 1) * (-2) + 10 \u003d 12 - 2 * n. Ang pagpapalit ng n = 5 sa huling expression, makukuha natin ang: a 5 = 12-2 * 5 = 2.

Tulad ng nakikita mo, ang parehong mga solusyon ay humahantong sa parehong resulta. Tandaan na sa halimbawang ito ang pagkakaiba d ng pag-unlad ay negatibo. Ang ganitong mga pagkakasunud-sunod ay tinatawag na bumababa dahil ang bawat sunud-sunod na termino ay mas mababa kaysa sa nauna.

Halimbawa #2: pagkakaiba sa pag-unlad

Ngayon pasimplehin natin ng kaunti ang gawain, magbigay ng isang halimbawa kung paano

Ito ay kilala na sa ilang mga ang 1st term ay katumbas ng 6, at ang 7th term ay katumbas ng 18. Ito ay kinakailangan upang mahanap ang pagkakaiba at ibalik ang sequence na ito sa 7th term.

Gamitin natin ang formula upang matukoy ang hindi kilalang termino: a n = (n - 1) * d + a 1 . Pinapalitan namin ang kilalang data mula sa kundisyon dito, iyon ay, ang mga numero a 1 at 7, mayroon kami: 18 \u003d 6 + 6 * d. Mula sa expression na ito, madali mong makalkula ang pagkakaiba: d = (18 - 6) / 6 = 2. Kaya, ang unang bahagi ng problema ay nasagot.

Upang maibalik ang sequence sa ika-7 miyembro, dapat mong gamitin ang kahulugan ng isang algebraic progression, iyon ay, a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d, at iba pa. Bilang resulta, ibinabalik namin ang buong sequence: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16 at 7 = 18.

Halimbawa #3: paggawa ng progreso

Lalo pa nating gawing kumplikado ang kalagayan ng problema. Ngayon ay kailangan mong sagutin ang tanong kung paano makahanap ng isang pag-unlad ng aritmetika. Maaari nating ibigay ang sumusunod na halimbawa: dalawang numero ang ibinigay, halimbawa, 4 at 5. Kinakailangang gumawa ng algebraic progression upang ang tatlo pang termino ay magkasya sa pagitan ng mga ito.

Bago simulan ang paglutas ng problemang ito, kinakailangang maunawaan kung anong lugar ang sasakupin ng mga ibinigay na numero sa pag-unlad sa hinaharap. Dahil magkakaroon ng tatlong higit pang mga termino sa pagitan nila, pagkatapos ay isang 1 \u003d -4 at isang 5 \u003d 5. Kapag naitatag ito, nagpapatuloy kami sa isang gawain na katulad ng nauna. Muli, para sa nth term, ginagamit namin ang formula, nakukuha namin: isang 5 \u003d isang 1 + 4 * d. Mula sa: d \u003d (a 5 - a 1) / 4 \u003d (5 - (-4)) / 4 \u003d 2.25. Dito, ang pagkakaiba ay hindi isang integer na halaga, ngunit ito ay isang rational na numero, kaya ang mga formula para sa algebraic progression ay nananatiling pareho.

Ngayon, idagdag natin ang nakitang pagkakaiba sa isang 1 at ibalik ang mga nawawalang miyembro ng progression. Nakukuha namin ang: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2.25 = - 1.75, a 3 = -1.75 + 2.25 = 0.5, a 4 = 0.5 + 2.25 = 2.75, isang 5 \u003d 2.75 + 2.25 \u,0,0 na kasabay ng kalagayan ng problema.

Halimbawa #4: Ang unang miyembro ng progression

Patuloy kaming nagbibigay ng mga halimbawa ng pag-unlad ng aritmetika na may solusyon. Sa lahat ng nakaraang problema, ang unang bilang ng algebraic progression ay kilala. Ngayon isaalang-alang ang isang problema ng ibang uri: hayaan ang dalawang numero na ibigay, kung saan ang isang 15 = 50 at isang 43 = 37. Ito ay kinakailangan upang mahanap mula sa kung anong numero ang sequence na ito ay nagsisimula.

Ang mga formula na ginamit hanggang ngayon ay may kaalaman sa isang 1 at d. Walang nalalaman tungkol sa mga numerong ito sa kondisyon ng problema. Gayunpaman, isulat natin ang mga expression para sa bawat termino kung saan mayroon tayong impormasyon: a 15 = a 1 + 14 * d at a 43 = a 1 + 42 * d. Nakakuha kami ng dalawang equation kung saan mayroong 2 hindi kilalang dami (a 1 at d). Nangangahulugan ito na ang problema ay nabawasan sa paglutas ng isang sistema ng mga linear equation.

Ang tinukoy na sistema ay pinakamadaling lutasin kung nagpapahayag ka ng 1 sa bawat equation, at pagkatapos ay ihambing ang mga resultang expression. Unang equation: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; pangalawang equation: a 1 \u003d a 43 - 42 * d \u003d 37 - 42 * d. Ang equating mga expression na ito, makakakuha tayo ng: 50 - 14 * d \u003d 37 - 42 * d, kung saan ang pagkakaiba d \u003d (37 - 50) / (42 - 14) \u003d - 0.464 (3 decimal na lugar lamang ang ibinigay).

Alam ang d, maaari mong gamitin ang alinman sa 2 expression sa itaas para sa isang 1 . Halimbawa, una: isang 1 \u003d 50 - 14 * d \u003d 50 - 14 * (- 0.464) \u003d 56.496.

Kung may mga pagdududa tungkol sa resulta, maaari mong suriin ito, halimbawa, matukoy ang ika-43 na miyembro ng pag-unlad, na tinukoy sa kondisyon. Nakukuha namin ang: isang 43 \u003d isang 1 + 42 * d \u003d 56.496 + 42 * (- 0.464) \u003d 37.008. Ang isang maliit na error ay dahil sa ang katunayan na ang rounding sa thousandths ay ginamit sa mga kalkulasyon.

Halimbawa #5: Sum

Ngayon tingnan natin ang ilang mga halimbawa na may mga solusyon para sa kabuuan ng isang pag-unlad ng arithmetic.

Hayaang magbigay ng numerical progression ng sumusunod na form: 1, 2, 3, 4, ...,. Paano makalkula ang kabuuan ng 100 ng mga numerong ito?

Salamat sa pag-unlad ng teknolohiya ng computer, maaaring malutas ang problemang ito, iyon ay, sunud-sunod na idagdag ang lahat ng mga numero, na gagawin ng computer sa sandaling pinindot ng isang tao ang Enter key. Gayunpaman, ang problema ay malulutas sa isip kung bibigyan mo ng pansin na ang ipinakita na serye ng mga numero ay isang algebraic progression, at ang pagkakaiba nito ay 1. Ang paglalapat ng formula para sa kabuuan, makukuha natin: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

Nakakagulat na tandaan na ang problemang ito ay tinatawag na "Gaussian", dahil sa simula ng ika-18 siglo ang sikat na Aleman, na nasa edad na 10 taong gulang pa lamang, ay nagawang lutasin ito sa kanyang isip sa loob ng ilang segundo. Hindi alam ng batang lalaki ang formula para sa kabuuan ng isang algebraic progression, ngunit napansin niya na kung magdadagdag ka ng mga pares ng mga numero na matatagpuan sa mga gilid ng sequence, palagi kang makakakuha ng parehong resulta, iyon ay, 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., at dahil ang mga kabuuan na ito ay magiging eksaktong 50 (100 / 2), kung gayon upang makuha ang tamang sagot, sapat na upang i-multiply ang 50 sa 101.

Halimbawa #6: kabuuan ng mga termino mula n hanggang m

Ang isa pang tipikal na halimbawa ng kabuuan ng isang pag-unlad ng aritmetika ay ang mga sumusunod: binigyan ng isang serye ng mga numero: 3, 7, 11, 15, ..., kailangan mong hanapin kung ano ang magiging kabuuan ng mga termino nito mula 8 hanggang 14.

Ang problema ay nalutas sa dalawang paraan. Ang una sa mga ito ay nagsasangkot ng paghahanap ng mga hindi kilalang termino mula 8 hanggang 14, at pagkatapos ay pagbubuod ng mga ito nang sunud-sunod. Dahil kakaunti ang mga termino, ang pamamaraang ito ay hindi sapat na matrabaho. Gayunpaman, iminungkahi na lutasin ang problemang ito sa pamamagitan ng pangalawang paraan, na mas pangkalahatan.

Ang ideya ay upang makakuha ng formula para sa kabuuan ng isang algebraic progression sa pagitan ng mga terminong m at n, kung saan ang n > m ay mga integer. Para sa parehong mga kaso, sumulat kami ng dalawang expression para sa kabuuan:

1. S m \u003d m * (a m + a 1) / 2.
2. S n \u003d n * (a n + a 1) / 2.

Dahil n > m, halatang kasama sa 2 sum ang una. Ang huling konklusyon ay nangangahulugan na kung kukunin natin ang pagkakaiba sa pagitan ng mga kabuuan na ito, at idagdag ang terminong a m dito (sa kaso ng pagkuha ng pagkakaiba, ito ay ibabawas mula sa kabuuan S n), pagkatapos ay makukuha natin ang kinakailangang sagot sa problema. Mayroon kaming: S mn \u003d S n - S m + a m \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m \u003d a 1 * (n - m) / 2 + a n * n / 2 + a m * (1- m / 2). Kinakailangang palitan ang mga formula para sa a n at a m sa expression na ito. Pagkatapos ay makukuha natin ang: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.

Ang resultang formula ay medyo mahirap, gayunpaman, ang kabuuan ng S mn ay nakasalalay lamang sa n, m, a 1 at d. Sa aming kaso, a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Ang pagpapalit sa mga numerong ito, makakakuha tayo ng: S mn = 301.

Tulad ng makikita mula sa mga solusyon sa itaas, ang lahat ng mga problema ay batay sa kaalaman ng expression para sa ika-n na termino at ang formula para sa kabuuan ng hanay ng mga unang termino. Bago mo simulan ang paglutas ng alinman sa mga problemang ito, inirerekomenda na maingat mong basahin ang kondisyon, malinaw na maunawaan kung ano ang gusto mong hanapin, at pagkatapos ay magpatuloy sa solusyon.

Ang isa pang tip ay upang magsikap para sa pagiging simple, iyon ay, kung masasagot mo ang tanong nang hindi gumagamit ng kumplikadong mga kalkulasyon sa matematika, kailangan mong gawin iyon, dahil sa kasong ito ang posibilidad na magkamali ay mas mababa. Halimbawa, sa halimbawa ng isang pag-unlad ng aritmetika na may solusyon No. 6, maaaring huminto ang isa sa formula S mn \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, at hatiin ang pangkalahatang gawain sa magkakahiwalay na mga subtask (sa kasong ito, hanapin muna ang mga terminong a n at a m).

Kung may mga pagdududa tungkol sa resulta, inirerekumenda na suriin ito, tulad ng ginawa sa ilan sa mga halimbawang ibinigay. Paano makahanap ng pag-unlad ng aritmetika, nalaman. Kapag naisip mo na, hindi na mahirap.

Halimbawa, ang sequence \(2\); \(5\); \(walo\); \(labing-isa\); Ang \(14\)… ay isang pag-unlad ng aritmetika, dahil ang bawat susunod na elemento ay naiiba sa nauna nang tatlo (maaaring makuha mula sa nauna sa pamamagitan ng pagdaragdag ng tatlo):

Sa pag-unlad na ito, ang pagkakaiba \(d\) ay positibo (katumbas ng \(3\)), at samakatuwid ang bawat susunod na termino ay mas malaki kaysa sa nauna. Ang ganitong mga pag-unlad ay tinatawag dumarami.

Gayunpaman, ang \(d\) ay maaari ding negatibong numero. Halimbawa, sa arithmetic progression \(16\); \(sampu\); \(apat\); \(-2\); \(-8\)… ang pagkakaiba sa pag-unlad \(d\) ay katumbas ng minus anim.

At sa kasong ito, ang bawat susunod na elemento ay magiging mas mababa kaysa sa nauna. Ang mga pag-unlad na ito ay tinatawag bumababa.

Arithmetic progression notation

Ang pag-unlad ay tinutukoy ng isang maliit na letrang Latin.

Ang mga numero na bumubuo ng isang pag-unlad ay tinatawag na ito mga miyembro(o mga elemento).

Ang mga ito ay tinutukoy ng parehong titik bilang ang pag-unlad ng arithmetic, ngunit may isang numerical index na katumbas ng numero ng elemento sa pagkakasunud-sunod.

Halimbawa, ang arithmetic progression \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) ay binubuo ng mga elementong \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) at iba pa.

Sa madaling salita, para sa pag-unlad \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14…\right\)\)

Paglutas ng mga problema sa isang pag-unlad ng aritmetika

Sa prinsipyo, ang impormasyon sa itaas ay sapat na upang malutas ang halos anumang problema sa isang pag-unlad ng arithmetic (kabilang ang mga inaalok sa OGE).

Halimbawa (OGE). Ang pag-unlad ng arithmetic ay ibinibigay ng mga kundisyon \(b_1=7; d=4\). Hanapin ang \(b_5\).
Solusyon:

Sagot: \(b_5=23\)

Halimbawa (OGE). Ang unang tatlong termino ng isang pag-usad ng aritmetika ay ibinigay: \(62; 49; 36…\) Hanapin ang halaga ng unang negatibong termino ng pag-usad na ito..
Solusyon:

	Ibinigay sa amin ang mga unang elemento ng pagkakasunud-sunod at alam na ito ay isang pag-unlad ng aritmetika. Iyon ay, ang bawat elemento ay naiiba mula sa kalapit na isa sa pamamagitan ng parehong numero. Alamin kung alin sa pamamagitan ng pagbabawas ng nauna sa susunod na elemento: \(d=49-62=-13\).
	Ngayon ay maaari nating ibalik ang ating pag-unlad sa nais na (unang negatibo) na elemento.
	handa na. Maaari kang sumulat ng sagot.

Sagot: \(-3\)

Halimbawa (OGE). Ilang sunud-sunod na elemento ng isang arithmetic progression ang ibinibigay: \(...5; x; 10; 12.5...\) Hanapin ang halaga ng elemento na tinutukoy ng titik \(x\).
Solusyon:

	Upang mahanap ang \(x\), kailangan nating malaman kung gaano kalaki ang pagkakaiba ng susunod na elemento sa nauna, sa madaling salita, ang pagkakaiba sa pag-unlad. Hanapin natin ito mula sa dalawang kilalang kalapit na elemento: \(d=12.5-10=2.5\).
	At ngayon nakita namin ang aming hinahanap nang walang anumang mga problema: \(x=5+2.5=7.5\).
	handa na. Maaari kang sumulat ng sagot.

Sagot: \(7,5\).

Halimbawa (OGE). Ang arithmetic progression ay ibinibigay ng mga sumusunod na kondisyon: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Hanapin ang kabuuan ng unang anim na termino ng progression na ito.
Solusyon:

Kailangan nating hanapin ang kabuuan ng unang anim na termino ng pag-unlad. Ngunit hindi natin alam ang kanilang mga kahulugan, binibigyan lamang tayo ng unang elemento. Samakatuwid, una naming kinakalkula ang mga halaga, gamit ang ibinigay sa amin: \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) \(n=2\); \(a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1\) \(n=3\); \(a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4\) At nang makalkula ang anim na elemento na kailangan namin, nakita namin ang kanilang kabuuan.

\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) \(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)

Nahanap na ang hiniling na halaga.

Sagot: \(S_6=9\).

Halimbawa (OGE). Sa arithmetic progression \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Hanapin ang pagkakaiba ng pag-unlad na ito.
Solusyon:

Sagot: \(d=7\).

Mahahalagang Arithmetic Progression Formula

Tulad ng nakikita mo, maraming mga problema sa pag-unlad ng aritmetika ay maaaring malutas sa pamamagitan lamang ng pag-unawa sa pangunahing bagay - na ang isang pag-unlad ng aritmetika ay isang hanay ng mga numero, at ang bawat susunod na elemento sa kadena na ito ay nakuha sa pamamagitan ng pagdaragdag ng parehong numero sa nauna (ang pagkakaiba ng pag-unlad).

Gayunpaman, kung minsan may mga sitwasyon kung kailan napakahirap na malutas ang "sa noo". Halimbawa, isipin na sa pinakaunang halimbawa, kailangan nating hanapin hindi ang ikalimang elemento \(b_5\), ngunit ang tatlong daan at walumpu't anim na \(b_(386)\). Ano ito, namin \ (385 \) beses na magdagdag ng apat? O isipin na sa penultimate na halimbawa, kailangan mong hanapin ang kabuuan ng unang pitumpu't tatlong elemento. Nakakalito ang pagbibilang...

Samakatuwid, sa ganitong mga kaso, hindi nila nalulutas ang "sa noo", ngunit gumagamit ng mga espesyal na formula na nagmula para sa pag-unlad ng aritmetika. At ang mga pangunahing ay ang pormula para sa ika-n na termino ng pag-unlad at ang pormula para sa kabuuan ng \(n\) ng mga unang termino.

Formula para sa \(n\)th miyembro: \(a_n=a_1+(n-1)d\), kung saan ang \(a_1\) ay ang unang miyembro ng progression;
\(n\) – numero ng kinakailangang elemento;
Ang \(a_n\) ay isang miyembro ng progression na may numerong \(n\).

Ang formula na ito ay nagbibigay-daan sa amin upang mabilis na mahanap ang hindi bababa sa tatlong daan, kahit na ang ika-milyong elemento, alam lamang ang una at ang pagkakaiba ng pag-unlad.

Halimbawa. Ang pag-unlad ng arithmetic ay ibinibigay ng mga kondisyon: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). Hanapin ang \(b_(246)\).
Solusyon:

Sagot: \(b_(246)=1850\).

Ang formula para sa kabuuan ng unang n termino ay: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), kung saan

Ang \(a_n\) ay ang huling summed term;

Halimbawa (OGE). Ang pag-unlad ng arithmetic ay ibinibigay ng mga kondisyon \(a_n=3.4n-0.6\). Hanapin ang kabuuan ng unang \(25\) mga tuntunin ng pag-usad na ito.
Solusyon:

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\)		Upang kalkulahin ang kabuuan ng unang dalawampu't limang elemento, kailangan nating malaman ang halaga ng una at dalawampu't limang termino. Ang aming pag-unlad ay ibinibigay ng pormula ng ika-n na termino depende sa bilang nito (tingnan ang mga detalye). I-compute natin ang unang elemento sa pamamagitan ng pagpapalit ng \(n\) ng isa.
\(n=1;\) \(a_1=3.4 1-0.6=2.8\)		Ngayon, hanapin natin ang ikadalawampu't limang termino sa pamamagitan ng pagpapalit ng dalawampu't lima sa halip na \(n\).
\(n=25;\) \(a_(25)=3.4 25-0.6=84.4\)		Kaya, ngayon ay kinakalkula namin ang kinakailangang halaga nang walang anumang mga problema.
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) \(=\) \(\frac(2,8+84,4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)		Handa na ang sagot.

Sagot: \(S_(25)=1090\).

Para sa kabuuan ng \(n\) ng mga unang termino, maaari kang makakuha ng isa pang formula: kailangan mo lang na \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) sa halip na \(a_n\) palitan ang formula para dito \(a_n=a_1+(n-1)d\). Nakukuha namin ang:

Ang formula para sa kabuuan ng unang n termino ay: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), kung saan

\(S_n\) – ang kinakailangang kabuuan \(n\) ng mga unang elemento;
Ang \(a_1\) ay ang unang termino na susumahin;
\(d\) – pagkakaiba sa pag-unlad;
\(n\) - ang bilang ng mga elemento sa kabuuan.

Halimbawa. Hanapin ang kabuuan ng unang \(33\)-ex terms ng arithmetic progression: \(17\); \(15,5\); \(labing-apat\)…
Solusyon:

Sagot: \(S_(33)=-231\).

Mas kumplikadong mga problema sa pag-unlad ng aritmetika

Ngayon ay mayroon ka na ng lahat ng impormasyong kailangan mo upang malutas ang halos anumang problema sa pag-unlad ng arithmetic. Tapusin natin ang paksa sa pamamagitan ng pagsasaalang-alang ng mga problema kung saan kailangan mong hindi lamang maglapat ng mga formula, ngunit mag-isip din ng kaunti (sa matematika, maaari itong maging kapaki-pakinabang ☺)

Halimbawa (OGE). Hanapin ang kabuuan ng lahat ng negatibong termino ng progression: \(-19.3\); \(-19\); \(-18.7\)…
Solusyon:

\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)		Ang gawain ay halos kapareho sa nauna. Nagsisimula kami sa paglutas sa parehong paraan: una naming mahanap ang \(d\).
\(d=a_2-a_1=-19-(-19.3)=0.3\)		Ngayon ay papalitan namin ang \(d\) sa pormula para sa kabuuan ... at narito ang isang maliit na nuance ay nagpa-pop up - hindi namin alam \(n\). Sa madaling salita, hindi natin alam kung ilang termino ang kailangang idagdag. Paano malalaman? Tayo'y mag isip. Hihinto kami sa pagdaragdag ng mga elemento kapag nakarating na kami sa unang positibong elemento. Iyon ay, kailangan mong malaman ang bilang ng elementong ito. paano? Isulat natin ang formula para sa pagkalkula ng anumang elemento ng isang pag-unlad ng arithmetic: \(a_n=a_1+(n-1)d\) para sa aming kaso.
\(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(a_n=-19.3+(n-1) 0.3\)		Kailangan natin ang \(a_n\) na mas malaki sa zero. Alamin natin kung ano \(n\) ang mangyayari.
\(-19.3+(n-1) 0.3>0\)
\((n-1) 0.3>19.3\) \(|:0.3\)		Hinahati namin ang magkabilang panig ng hindi pagkakapantay-pantay sa \(0,3\).
\(n-1>\)\(\frac(19,3)(0,3)\)		Inilipat namin ang minus one, hindi nakakalimutang baguhin ang mga palatandaan
\(n>\)\(\frac(19,3)(0,3)\) \(+1\)		Nagko-compute...
\(n>65,333…\)		…at lumalabas na ang unang positibong elemento ay magkakaroon ng numerong \(66\). Alinsunod dito, ang huling negatibo ay mayroong \(n=65\). Kung sakali, tingnan natin ito.
\(n=65;\) \(a_(65)=-19.3+(65-1) 0.3=-0.1\) \(n=66;\) \(a_(66)=-19.3+(66-1) 0.3=0.2\)		Kaya, kailangan nating idagdag ang unang \(65\) na mga elemento.
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19,3)+(65-1)0,3)(2)\)\(\cdot 65\) \(S_(65)=\)\((-38.6+19.2)(2)\)\(\cdot 65=-630.5\)		Handa na ang sagot.

Sagot: \(S_(65)=-630.5\).

Halimbawa (OGE). Ang pag-unlad ng arithmetic ay ibinibigay ng mga kondisyon: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Hanapin ang kabuuan mula sa \(26\)th hanggang \(42\) kasama ang elemento.
Solusyon:

\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\)	Sa problemang ito, kailangan mo ring hanapin ang kabuuan ng mga elemento, ngunit hindi nagsisimula sa una, ngunit mula sa \(26\)th. Wala kaming formula para dito. Paano magdesisyon? Madali - upang makuha ang kabuuan mula sa \(26\)th hanggang \(42\)th, kailangan mo munang hanapin ang kabuuan mula sa \(1\)th hanggang \(42\)th, at pagkatapos ay ibawas mula dito ang kabuuan mula sa ang una sa \ (25 \) ika (tingnan ang larawan).
	Para sa aming pag-unlad \(a_1=-33\), at ang pagkakaiba \(d=4\) (pagkatapos ng lahat, nagdaragdag kami ng apat sa nakaraang elemento upang mahanap ang susunod). Sa pag-alam nito, makikita natin ang kabuuan ng unang \(42\)-uh elemento.
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) \(=\)\(\frac(-66+164)(2)\) \(\cdot 42=2058\)	Ngayon ang kabuuan ng unang \(25\)-th na mga elemento.
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) \(=\)\(\frac(-66+96)(2)\) \(\cdot 25=375\)	At sa wakas, kinakalkula namin ang sagot.
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\)

Sagot: \(S=1683\).

Para sa isang pag-unlad ng aritmetika, may ilan pang mga formula na hindi namin isinasaalang-alang sa artikulong ito dahil sa kanilang mababang praktikal na pagiging kapaki-pakinabang. Gayunpaman, madali mong mahahanap ang mga ito.

Ano ang kakanyahan ng formula?

Ang formula na ito ay nagbibigay-daan sa iyo upang mahanap anuman SA NUMERO NIYA" n" .

Siyempre, kailangan mong malaman ang unang termino a 1 at pagkakaiba sa pag-unlad d, mabuti, kung wala ang mga parameter na ito, hindi mo maisusulat ang isang partikular na pag-unlad.

Hindi sapat na kabisaduhin (o dayain) ang formula na ito. Kinakailangang i-assimilate ang kakanyahan nito at ilapat ang formula sa iba't ibang problema. Oo, at huwag kalimutan sa tamang oras, oo ...) Paano huwag kalimutan- Hindi ko alam. Pero paano maalala Kung kinakailangan, bibigyan kita ng pahiwatig. Para sa mga nakakabisado ng aralin hanggang sa wakas.)

Kaya, harapin natin ang formula ng n-th miyembro ng isang arithmetic progression.

Ano ang isang pormula sa pangkalahatan - iniisip natin.) Ano ang isang pag-unlad ng aritmetika, isang numero ng miyembro, isang pagkakaiba sa pag-unlad - ay malinaw na nakasaad sa nakaraang aralin. Tingnan mo kung hindi mo pa nababasa. Simple lang ang lahat doon. Ito ay nananatiling upang malaman kung ano ika-na miyembro.

Ang pag-unlad sa pangkalahatan ay maaaring isulat bilang isang serye ng mga numero:

a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , .....

a 1- nagsasaad ng unang termino ng isang pag-unlad ng aritmetika, a 3- ikatlong miyembro a 4- pang-apat, at iba pa. Kung kami ay interesado sa ikalimang termino, sabihin nating nakikipagtulungan kami isang 5, kung isandaan at dalawampu - mula sa isang 120.

Paano tukuyin sa pangkalahatan anuman miyembro ng isang arithmetic progression, s anuman numero? Napakasimple! Ganito:

isang n

Iyon na iyon n-th miyembro ng isang arithmetic progression. Sa ilalim ng letrang n lahat ng bilang ng mga miyembro ay nakatago nang sabay-sabay: 1, 2, 3, 4, at iba pa.

At ano ang ibinibigay sa atin ng gayong talaan? Isipin na lang, sa halip na isang numero, nagsulat sila ng isang liham ...

Ang notasyong ito ay nagbibigay sa amin ng isang mahusay na tool para sa pagtatrabaho sa mga pag-unlad ng aritmetika. Gamit ang notasyon isang n, mabilis nating mahahanap anuman miyembro anuman pag-unlad ng aritmetika. At isang grupo ng mga gawain upang malutas sa pagpapatuloy. Makikita mo pa.

Sa formula ng ika-n miyembro ng isang pag-unlad ng arithmetic:

a n = a 1 + (n-1)d

a 1- ang unang miyembro ng arithmetic progression;

n- numero ng miyembro.

Iniuugnay ng formula ang mga pangunahing parameter ng anumang pag-unlad: a n ; isang 1; d at n. Sa paligid ng mga parameter na ito, ang lahat ng mga puzzle ay umiikot sa pagpapatuloy.

Ang nth term formula ay maaari ding gamitin upang magsulat ng isang tiyak na pag-unlad. Halimbawa, sa problema masasabi na ang pag-unlad ay ibinibigay ng kondisyon:

a n = 5 + (n-1) 2.

Ang ganitong problema ay maaari pang malito ... Walang serye, walang pagkakaiba ... Ngunit, paghahambing ng kondisyon sa formula, madaling malaman na sa pag-unlad na ito isang 1 \u003d 5, at d \u003d 2.

At maaari itong maging mas galit!) Kung gagawin natin ang parehong kondisyon: a n = 5 + (n-1) 2, oo, buksan ang mga bracket at magbigay ng mga katulad nito? Kumuha kami ng bagong formula:

isang = 3 + 2n.

ito Tanging hindi pangkalahatan, ngunit para sa isang tiyak na pag-unlad. Dito nakasalalay ang patibong. Iniisip ng ilang tao na ang unang termino ay tatlo. Bagaman sa katotohanan ang unang miyembro ay isang limang ... Medyo mas mababa kami ay gagana sa tulad ng isang binagong formula.

Sa mga gawain para sa pag-unlad, mayroong isa pang notasyon - isang n+1. Ito ay, nahulaan mo, ang "n plus ang unang" termino ng pag-unlad. Ang kahulugan nito ay simple at hindi nakakapinsala.) Ito ay isang miyembro ng pag-unlad, ang bilang nito ay mas malaki kaysa sa bilang n ng isa. Halimbawa, kung sa ilang problema ay kinukuha natin isang n ikalimang termino, pagkatapos isang n+1 magiging ikaanim na miyembro. atbp.

Kadalasan ang pagtatalaga isang n+1 nangyayari sa recursive formula. Huwag matakot sa kakila-kilabot na salitang ito!) Ito ay isang paraan lamang ng pagpapahayag ng termino ng isang pag-unlad ng aritmetika sa pamamagitan ng nauna. Ipagpalagay na binigyan tayo ng isang pag-unlad ng aritmetika sa form na ito, gamit ang paulit-ulit na formula:

isang n+1 = isang n +3

a 2 = a 1 + 3 = 5+3 = 8

a 3 = a 2 + 3 = 8+3 = 11

Ang ikaapat - hanggang sa ikatlo, ang ikalima - hanggang sa ikaapat, at iba pa. At kung paano magbilang kaagad, sabihin ang ikadalawampung termino, isang 20? Ngunit hindi!) Habang ang ika-19 na termino ay hindi alam, ang ika-20 ay hindi mabibilang. Ito ang pangunahing pagkakaiba sa pagitan ng recursive formula at ang formula ng ika-n term. Gumagana lamang ang recursive sa pamamagitan ng dati term, at ang formula ng ika-n term - hanggang ang una at nagpapahintulot kaagad maghanap ng sinumang miyembro sa pamamagitan ng numero nito. Hindi binibilang ang buong serye ng mga numero sa pagkakasunud-sunod.

Sa isang arithmetic progression, ang isang recursive formula ay madaling gawing regular. Bilangin ang isang pares ng magkakasunod na termino, kalkulahin ang pagkakaiba d, hanapin, kung kinakailangan, ang unang termino a 1, isulat ang formula sa karaniwang anyo, at gawin ito. Sa GIA, madalas na matatagpuan ang mga ganitong gawain.

Application ng formula ng n-th na miyembro ng isang arithmetic progression.

Una, tingnan natin ang direktang aplikasyon ng formula. Sa pagtatapos ng nakaraang aralin ay nagkaroon ng problema:

Binigyan ng aritmetika na pag-unlad (a n). Maghanap ng 121 kung ang isang 1 =3 at d=1/6.

Ang problemang ito ay maaaring malutas nang walang anumang mga formula, batay lamang sa kahulugan ng pag-unlad ng aritmetika. Idagdag, oo idagdag ... Isang oras o dalawa.)

At ayon sa formula, ang solusyon ay tatagal ng mas mababa sa isang minuto. You can time it.) We decide.

Ang mga kondisyon ay nagbibigay ng lahat ng data para sa paggamit ng formula: isang 1 \u003d 3, d \u003d 1/6. Ito ay nananatiling upang makita kung ano n. Walang problema! Kailangan nating maghanap isang 121. Dito kami sumulat:

Mangyaring bigyang-pansin! Sa halip na isang index n lumitaw ang isang tiyak na numero: 121. Na medyo lohikal.) Interesado kami sa miyembro ng pag-unlad ng aritmetika bilang isang daan dalawampu't isa. Ito ang magiging atin n. Ito ang kahulugang ito n= 121 papalitan pa natin ang formula, sa mga bracket. Palitan ang lahat ng mga numero sa formula at kalkulahin:

isang 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23

Hanggang dito na lang. Kung gaano kabilis mahahanap ng isa ang limang daan at ikasampung miyembro, at ang libo at pangatlo, kahit sino. Inilagay namin sa halip n ang nais na numero sa index ng titik " a" at sa mga bracket, at isinasaalang-alang namin.

Hayaan akong ipaalala sa iyo ang kakanyahan: pinapayagan ka ng formula na ito na mahanap ka anuman termino ng isang pag-unlad ng aritmetika SA NUMERO NIYA" n" .

Mas matalinong lutasin natin ang problema. Sabihin nating mayroon tayong sumusunod na problema:

Hanapin ang unang termino ng arithmetic progression (a n) kung a 17 =-2; d=-0.5.

Kung mayroon kang anumang mga paghihirap, imumungkahi ko ang unang hakbang. Isulat ang formula para sa ika-n na termino ng isang pag-unlad ng arithmetic! Oo Oo. Magsulat ng kamay, sa iyong kuwaderno:

a n = a 1 + (n-1)d

At ngayon, tinitingnan ang mga titik ng formula, naiintindihan namin kung anong data ang mayroon kami at kung ano ang nawawala? Available d=-0.5, may ikalabing pitong miyembro ... Lahat? Kung sa tingin mo iyon lang, hindi mo malulutas ang problema, oo ...

May number din kami n! Sa kondisyon isang 17 =-2 nakatago dalawang pagpipilian. Ito ay parehong halaga ng ikalabing pitong miyembro (-2) at ang bilang nito (17). Yung. n=17. Ang "maliit na bagay" na ito ay madalas na dumaan sa ulo, at kung wala ito, (nang walang "maliit na bagay", hindi ang ulo!) Ang problema ay hindi malulutas. Bagaman ... at walang ulo din.)

Ngayon ay maaari lamang nating palitan ang ating data sa formula:

isang 17 \u003d isang 1 + (17-1) (-0.5)

oo, isang 17 alam namin na ito ay -2. Okay, ilagay natin ito sa:

-2 \u003d a 1 + (17-1) (-0.5)

Iyon, sa esensya, ay lahat. Ito ay nananatiling ipahayag ang unang termino ng pag-unlad ng aritmetika mula sa formula, at kalkulahin. Makukuha mo ang sagot: a 1 = 6.

Ang ganitong pamamaraan - pagsulat ng isang formula at simpleng pagpapalit ng kilalang data - ay nakakatulong nang malaki sa mga simpleng gawain. Buweno, dapat, siyempre, makapagpahayag ng isang variable mula sa isang formula, ngunit ano ang gagawin!? Kung wala ang kasanayang ito, ang matematika ay hindi maaaring pag-aralan sa lahat ...

Isa pang tanyag na problema:

Hanapin ang pagkakaiba ng arithmetic progression (a n) kung a 1 =2; a 15 =12.

Anong gagawin natin? Magugulat ka, sinusulat namin ang formula!)

a n = a 1 + (n-1)d

Isaalang-alang ang alam natin: a 1 =2; a 15 =12; at (espesyal na highlight!) n=15. Huwag mag-atubiling palitan sa formula:

12=2 + (15-1)d

Gawin natin ang aritmetika.)

12=2 + 14d

d=10/14 = 5/7

Ito ang tamang sagot.

Kaya, mga gawain isang n, isang 1 at d nagpasya. Ito ay nananatiling matutunan kung paano hanapin ang numero:

Ang bilang na 99 ay miyembro ng isang arithmetic progression (a n), kung saan a 1 =12; d=3. Hanapin ang numero ng miyembrong ito.

Pinapalitan namin ang mga kilalang dami sa formula ng ika-n na termino:

a n = 12 + (n-1) 3

Sa unang sulyap, mayroong dalawang hindi kilalang dami dito: a n at n. Pero isang n ay ilang miyembro ng progression na may numero n... At ang miyembrong ito ng pag-unlad ay kilala natin! It's 99. Hindi namin alam ang number niya. n, kaya kailangan ding mahanap ang numerong ito. Palitan ang termino ng pag-usad 99 sa formula:

99 = 12 + (n-1) 3

Nagpapahayag kami mula sa formula n, sa tingin namin. Nakukuha namin ang sagot: n=30.

At ngayon ay isang problema sa parehong paksa, ngunit mas malikhain):

Tukuyin kung ang bilang na 117 ay magiging miyembro ng isang arithmetic progression (a n):

-3,6; -2,4; -1,2 ...

Isulat natin muli ang formula. Ano, walang mga pagpipilian? Hm... Why do we need eyes?) Nakikita ba natin ang unang miyembro ng progression? Nakikita namin. Ito ay -3.6. Maaari mong ligtas na magsulat: isang 1 \u003d -3.6. Pagkakaiba d maaaring matukoy mula sa serye? Madali kung alam mo kung ano ang pagkakaiba ng isang pag-unlad ng arithmetic:

d = -2.4 - (-3.6) = 1.2

Oo, ginawa namin ang pinakasimpleng bagay. Ito ay nananatiling humarap sa isang hindi kilalang numero n at isang hindi maintindihan na numero 117. Sa nakaraang problema, hindi bababa sa ito ay kilala na ito ay ang termino ng pag-unlad na ibinigay. Ngunit dito hindi natin alam na ... How to be!? Well, how to be, how to be... I-on ang iyong mga creative na kakayahan!)

Kami kunwari na ang 117 ay, pagkatapos ng lahat, isang miyembro ng ating pag-unlad. Sa unknown number n. At, tulad ng sa nakaraang problema, subukan nating hanapin ang numerong ito. Yung. isinusulat namin ang formula (oo-oo!)) at palitan ang aming mga numero:

117 = -3.6 + (n-1) 1.2

Muli naming ipinapahayag mula sa pormulan, binibilang namin at nakukuha namin:

Oops! Ang dami pala fractional! Isang daan at isa't kalahati. At mga fractional na numero sa mga pag-unlad Hindi maaaring. Anong konklusyon ang gagawin natin? Oo! Numero 117 ay hindi miyembro ng ating pag-unlad. Ito ay nasa pagitan ng ika-101 at ika-102 na miyembro. Kung ang numero ay naging natural, i.e. positive integer, kung gayon ang numero ay magiging miyembro ng progression na may nakitang numero. At sa aming kaso, ang sagot sa problema ay: hindi.

Gawain batay sa isang tunay na bersyon ng GIA:

Ang pag-unlad ng arithmetic ay ibinibigay ng kondisyon:

isang n \u003d -4 + 6.8n

Hanapin ang una at ikasampung termino ng progression.

Dito nakatakda ang pag-unlad sa isang hindi pangkaraniwang paraan. Ilang uri ng formula ... Nangyayari ito.) Gayunpaman, ang formula na ito (tulad ng isinulat ko sa itaas) - din ang formula ng n-th miyembro ng isang arithmetic progression! Pinapayagan din niya hanapin ang sinumang miyembro ng progression ayon sa numero nito.

Hinahanap namin ang unang miyembro. Ang nag-iisip. na ang unang termino ay minus apat, ay fatally nagkakamali!) Dahil ang formula sa problema ay binago. Ang unang termino ng isang arithmetic progression dito nakatago. Wala, hahanapin natin ngayon.)

Tulad ng sa mga nakaraang gawain, pinapalitan natin n=1 sa formula na ito:

isang 1 \u003d -4 + 6.8 1 \u003d 2.8

Dito! Ang unang termino ay 2.8, hindi -4!

Katulad nito, hinahanap namin ang ikasampung termino:

isang 10 \u003d -4 + 6.8 10 \u003d 64

Hanggang dito na lang.

At ngayon, para sa mga nakabasa hanggang sa mga linyang ito, ang ipinangakong bonus.)

Ipagpalagay, sa isang mahirap na sitwasyon ng labanan ng GIA o ng Pinag-isang Estado na Pagsusulit, nakalimutan mo ang kapaki-pakinabang na pormula ng n-th na miyembro ng isang pag-unlad ng arithmetic. May pumapasok sa isip, ngunit sa paanuman ay hindi tiyak ... Kung n doon, o n+1, o n-1... Paano maging!?

Kalmado! Ang formula na ito ay madaling makuha. Hindi masyadong mahigpit, ngunit tiyak na sapat para sa kumpiyansa at tamang desisyon!) Para sa konklusyon, sapat na upang matandaan ang elementarya na kahulugan ng pag-unlad ng aritmetika at magkaroon ng ilang minuto ng oras. Kailangan mo lang gumuhit ng larawan. Para sa kaliwanagan.

Gumuhit kami ng isang numerical axis at markahan ang una dito. pangalawa, pangatlo, atbp. mga miyembro. At tandaan ang pagkakaiba d sa pagitan ng mga miyembro. Ganito:

Tinitingnan namin ang larawan at iniisip: ano ang katumbas ng pangalawang termino? Pangalawa isa d:

a 2 =a 1 + 1 d

Ano ang ikatlong termino? Pangatlo termino ay katumbas ng unang termino plus dalawa d.

a 3 =a 1 + 2 d

Nakuha mo ba? Hindi ako naglalagay ng ilang mga salita sa bold para sa wala. Okay, isang hakbang pa.)

Ano ang pang-apat na termino? Pang-apat termino ay katumbas ng unang termino plus tatlo d.

a 4 =a 1 + 3 d

Panahon na upang mapagtanto na ang bilang ng mga gaps, i.e. d, palagi mas mababa ng isa sa numero ng miyembrong hinahanap mo n. Ibig sabihin, hanggang sa bilang n, bilang ng mga puwang magiging n-1. Kaya, ang formula ay magiging (walang mga pagpipilian!):

a n = a 1 + (n-1)d

Sa pangkalahatan, ang mga visual na larawan ay lubhang nakakatulong sa paglutas ng maraming problema sa matematika. Huwag pabayaan ang mga larawan. Ngunit kung mahirap gumuhit ng isang larawan, kung gayon ... isang pormula lamang!) Bilang karagdagan, ang formula ng nth term ay nagbibigay-daan sa iyo upang ikonekta ang buong malakas na arsenal ng matematika sa solusyon - mga equation, hindi pagkakapantay-pantay, mga sistema, atbp. Hindi ka maaaring maglagay ng larawan sa isang equation...

Mga gawain para sa malayang desisyon.

Para sa warm-up:

1. Sa arithmetic progression (a n) a 2 =3; isang 5 \u003d 5.1. Maghanap ng 3.

Hint: ayon sa larawan, ang problema ay nalutas sa loob ng 20 segundo ... Ayon sa formula, ito ay nagiging mas mahirap. Ngunit para sa mastering ang formula, ito ay mas kapaki-pakinabang.) Sa Seksyon 555, ang problemang ito ay malulutas pareho ng larawan at ng formula. Pakiramdaman ang pagkakaiba!)

At hindi na ito isang warm-up.)

2. Sa arithmetic progression (a n) a 85 \u003d 19.1; a 236 =49, 3. Humanap ng 3 .

Ano, pag-aatubili na gumuhit ng larawan?) Pa! Mas maganda sa formula, oo...

3. Ang pag-unlad ng aritmetika ay ibinibigay ng kondisyon:isang 1 \u003d -5.5; isang n+1 = isang n +0.5. Hanapin ang isang daan at dalawampu't limang termino ng pag-unlad na ito.

Sa gawaing ito, ang pag-unlad ay ibinibigay sa paulit-ulit na paraan. Ngunit ang pagbibilang hanggang sa isandaan at dalawampu't limang termino... Hindi lahat ay makakagawa ng ganoong gawain.) Ngunit ang pormula ng ika-10 termino ay nasa kapangyarihan ng lahat!

4. Dahil sa pag-unlad ng arithmetic (a n):

-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....

Hanapin ang bilang ng pinakamaliit na positibong termino ng progression.

5. Ayon sa kondisyon ng gawain 4, hanapin ang kabuuan ng pinakamaliit na positibo at pinakamalaking negatibong miyembro ng pag-unlad.

6. Ang produkto ng ikalima at ikalabindalawang termino ng tumataas na pag-unlad ng aritmetika ay -2.5, at ang kabuuan ng ikatlo at ikalabing-isang termino ay zero. Maghanap ng 14 .

Hindi ang pinakamadaling gawain, oo ...) Dito ang paraan "sa mga daliri" ay hindi gagana. Kailangan mong magsulat ng mga formula at lutasin ang mga equation.

Mga sagot (magulo):

3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5

Nangyari? Maayos!)

Hindi ba gumagana ang lahat? Nangyayari ito. Sa pamamagitan ng paraan, sa huling gawain mayroong isang banayad na punto. Ang pagiging maasikaso kapag nagbabasa ng problema ay kinakailangan. At lohika.

Ang solusyon sa lahat ng mga problemang ito ay tinalakay nang detalyado sa Seksyon 555. At ang elemento ng pantasya para sa ikaapat, at ang banayad na sandali para sa ikaanim, at pangkalahatang mga diskarte para sa paglutas ng anumang mga problema para sa formula ng ika-10 termino - lahat ay pininturahan. Nirerekomenda ko.

Kung gusto mo ang site na ito...

Siyanga pala, mayroon akong ilang mas kawili-wiling mga site para sa iyo.)

Maaari kang magsanay sa paglutas ng mga halimbawa at alamin ang iyong antas. Pagsubok na may agarang pag-verify. Pag-aaral - nang may interes!)

maaari kang maging pamilyar sa mga function at derivatives.