MOSCOW ENERGY INSTITUTE

(Technical University)

FACULTY OF ELECTRONIC ENGINEERING

BUOD SA PAKSA

Upang INETIC EQUATION B OLTSMAN.

NAKUMPLETO:

Korkin S.V.

GURO

Sherkunov Yu.B.

Ang ikalawang kalahati ng trabaho ay puno ng medyo kumplikadong matematika.. may-akda ( [email protected], [email protected]) ay hindi itinuturing na perpekto ang term paper na ito, maaari lamang itong magsilbing panimulang punto para sa pagsulat ng isang mas perpekto (at naiintindihan) na gawain. Ang teksto ay hindi isang kopya ng aklat. Tingnan ang dulo para sa pagsuporta sa panitikan.

Ang exchange paper ay tinanggap na may markang EXL. (Ang huling bersyon ng trabaho ay medyo nawala. Iminumungkahi ko ang paggamit ng penultimate "bersyon").

Panimula……………………………………………………………………………… 3

Mga Simbolo………………………………………………………………. apat

§1 Pag-andar ng pamamahagi.

§2 Pagbangga ng mga particle.

§3 Pagtukoy sa uri ng integral ng banggaan

at ang mga equation ng Boltzmann.

§apat. Kinetic equation para sa isang mahinang inhomogeneous na gas.

Thermal conductivity ng gas.

Ilang mga kombensiyon:

n ay ang konsentrasyon ng mga particle;

d ay ang average na distansya sa pagitan ng mga particle;

V - ilang dami ng system;

P ay ang posibilidad ng ilang kaganapan;

f - function ng pamamahagi;

Panimula.

Ang mga seksyon ng physics - thermodynamics, statistical physics at physical kinetics ay nakikibahagi sa pag-aaral ng mga pisikal na proseso na nagaganap sa mga macroscopic system - mga katawan na binubuo ng isang malaking bilang ng mga microparticle. Depende sa uri ng system, ang mga naturang microparticle ay maaaring mga atom, molekula, ions, electron, photon, o iba pang mga particle. Sa ngayon, mayroong dalawang pangunahing pamamaraan para sa pag-aaral ng mga estado ng macroscopic system - thermodynamic, na nagpapakilala sa estado ng system sa pamamagitan ng macroscopic na madaling sinusukat na mga parameter (halimbawa, presyon, dami, temperatura, bilang ng mga moles o konsentrasyon ng isang sangkap) at , sa katunayan, ay hindi isinasaalang-alang ang atomic at molekular na istraktura ng isang sangkap, at isang istatistikal na paraan batay sa atomic-molecular na modelo ng system na isinasaalang-alang. Ang thermodynamic method ay hindi tatalakayin sa gawaing ito. Ayon sa mga kilalang batas ng pag-uugali ng mga particle ng system, ginagawang posible ng istatistikal na paraan upang maitatag ang mga batas ng pag-uugali ng buong macrosystem sa kabuuan. Upang pasimplehin ang problemang nalulutas, ang isang bilang ng mga pagpapalagay (pagpapalagay) tungkol sa pag-uugali ng mga microparticle ay ginawa sa istatistikal na diskarte, at, samakatuwid, ang mga resulta na nakuha ng istatistikal na pamamaraan ay wasto lamang sa loob ng mga limitasyon ng mga pagpapalagay na ginawa. Ang pamamaraang istatistika ay gumagamit ng isang probabilistikong diskarte sa paglutas ng mga problema; upang magamit ang pamamaraang ito, ang sistema ay dapat maglaman ng isang sapat na malaking bilang ng mga particle. Ang isa sa mga problema na nalutas sa pamamagitan ng istatistikal na pamamaraan ay ang derivation ng equation ng estado ng isang macroscopic system. Ang estado ng sistema ay maaaring hindi nagbabago sa paglipas ng panahon (equilibrium system) o maaaring magbago sa paglipas ng panahon (non-equilibrium system). Ang pag-aaral ng mga di-equilibrium na estado ng mga sistema at prosesong nagaganap sa mga naturang sistema ay paksa ng pisikal na kinetika.

Ang equation ng estado ng isang system na umuunlad sa oras ay isang kinetic equation, ang solusyon kung saan tinutukoy ang estado ng system sa anumang oras. Ang interes sa kinetic equation ay nauugnay sa posibilidad ng kanilang aplikasyon sa iba't ibang larangan ng pisika: sa kinetic theory ng gas, sa astrophysics, plasma physics, fluid mechanics. Sa papel na ito, isinasaalang-alang namin ang kinetic equation na hinango ng isa sa mga tagapagtatag ng statistical physics at physical kinetics, ang Austrian physicist na si Ludwig Boltzmann noong 1872 at nagtataglay ng kanyang pangalan.

§1 Pag-andar ng pamamahagi.

Upang makuha ang Boltzmann kinetic equation, isaalang-alang ang isang monatomic ideal gas, i.e. isang sapat na rarefied na gas na binubuo ng mga electroly neutral atoms o molecules. Ang tanging uri ng pakikipag-ugnayan sa pagitan ng mga particle ng isang perpektong gas ay ang mga banggaan sa pagitan ng mga molekula, na nangyayari, gayunpaman, napakadalang na ang bawat molekula ay gumagalaw nang libre halos sa lahat ng oras. Isinasaalang-alang ang mga partikulo ng gas bilang klasikal, maaari itong mapagtatalunan na mayroong dami bawat butil. Ang bilang ng mga particle bawat dami ng yunit ay ang konsentrasyon. Nangangahulugan ito na mayroong isang average na distansya sa pagitan ng mga particle (ito ay ipinapalagay na sapat na malaki kumpara sa radius ng pagkilos ng mga intermolecular na pwersa d). Kapag kinukuha ang Boltzmann equation, ginagawa namin ang mga sumusunod na pagpapalagay:

Ang mga particle ng gas ay hindi nakikilala (pareho);

Ang mga particle ay nagbabanggaan lamang sa mga pares (pabayaan ang banggaan ng tatlo o higit pang mga particle nang sabay-sabay);

Kaagad bago ang banggaan, ang mga particle ay gumagalaw sa isang tuwid na linya patungo sa isa't isa;

Ang banggaan ng mga molekula ay isang direktang sentral na nababanat na epekto;

Ang istatistikal na paglalarawan ng gas ay isinasagawa ng probability distribution function (o probability density), at ang distribution function ay hindi nagbabago sa mga distansya ng pagkakasunud-sunod ng particle collision region. Ang probability density ay tumutukoy sa posibilidad na ang ilang random variable x ay may halaga sa loob ng isang maliit na agwat ng dx tulad ng sumusunod. Ang posibilidad ng paghahanap ng x sa isang may hangganang pagitan ay tinutukoy ng pagsasama.

Ang pagpapaandar ng pamamahagi ng mga molekula ng gas ay ibinibigay sa kanilang yugto:-espasyo.

ay isang hanay ng mga pangkalahatang coordinate ng lahat ng mga molekula; - isang set ng pangkalahatang momenta ng mga molekula. Kanya-kanya

at. Tukuyin ng

dami ng elemento ng phase space ng molekula. Sa isang naibigay na elemento ng puwang ng phase, mayroong (sa karaniwan) ang bilang ng mga particle na katumbas ng (i.e., ang mga molekula ay isinasaalang-alang, ang mga halaga ng q at p na kung saan ay nasa napiling mga pagitan dq at dp). Ang pamamahagi ng function ng mga molekula ng gas ay tinukoy sa itaas sa phase space, gayunpaman, maaari itong ipahayag sa mga tuntunin ng iba pang mga variable kaysa sa pangkalahatang mga coordinate at momenta ng particle. Piliin natin ang mga argumento ng function na f.

Isinasaalang-alang ang di-equilibrium, dumadaloy sa oras, proseso ng pagbabago ng estado ng system, malinaw na dapat nating ipagpalagay na ang function ng pamamahagi ay nakasalalay sa oras. Ang gas na isinasaalang-alang ay isang hanay ng mga particle na napagkasunduan naming isaalang-alang ang klasikal.

Inilalarawan ng mga coordinate ang translational motion ng isang classical na particle

ang sentro ng grabidad ng particle at ang velocity vector o ang momentum vector (, kung saan ang m ay ang masa ng particle). Para sa isang monatomic gas, ang translational motion ay ang tanging uri ng particle motion; ang bilang ng mga antas ng kalayaan ay tatlo. Kung ang particle ay isang polyatomic molecule, kung gayon may mga karagdagang antas ng kalayaan na nauugnay sa pag-ikot ng molekula sa espasyo at ang vibration ng mga atomo sa molekula. Ang mga kondisyon para sa aplikasyon ng quantum mechanics ay maliit na masa at mataas na konsentrasyon ng mga particle, pati na rin ang mababang temperatura. Nang hindi isinasaalang-alang ang rehiyon ng mababang temperatura, isasaalang-alang namin ang pag-ikot ng paggalaw ng mga molekula ng gas bilang klasiko. Anumang classical rotational motion ay inilalarawan, una sa lahat, sa pamamagitan ng rotational moment ng mga pwersang kumikilos sa katawan. Sa ilalim ng pagkilos ng isang sandali, ang isang diatomic molecule ay nagsisimulang umikot sa isang eroplanong patayo sa moment vector. Bilang karagdagan, ang posisyon ng molekula ay nailalarawan sa pamamagitan ng anggulo ng pag-ikot ng axis ng molekula sa eroplano ng pag-ikot.

Isaalang-alang ang isang hydrogen molecule (o anumang iba pang diatomic molecule) sa T = 300 K. Ayon sa batas ng equipartition, ang bawat antas ng kalayaan (translational, rotational o vibrational) ay may, sa karaniwan, ng parehong kinetic energy na katumbas ng.

Hayaang ako ang sandali ng pagkawalang-kilos ng molekula, m ang masa, d ang average na distansya sa pagitan ng mga atomo sa molekula.

Sa isang segundo, ang molekula ay gumagawa (i.e. humigit-kumulang) kumpletong mga rebolusyon. Ang rate ng pagbabago sa anggulo ng pag-ikot ng axis ng isang diatomic molecule ay mataas, at lahat ng posibleng oryentasyon ng molekula sa plane of rotation ay pantay na posibilidad. Pagkatapos, kapag isinasaalang-alang ang mga tunay na pisikal na problema, ang pagpapaandar ng pamamahagi ay maaaring ituring na independyente sa oryentasyon ng molekula. Ang batas ng equipartition ay may bisa din para sa mga polyatomic molecule, na nangangahulugan na ang pagpapalagay na ginawa tungkol sa pagsasarili ng function ng pamamahagi mula sa oryentasyon ng mga molekula ng gas sa espasyo ay maaaring ituring na wasto para sa mga polyatomic na gas.

Ang oscillatory motion ng mga atom sa loob ng isang molekula ay halos palaging binibilang, at ang estado ng isang molekula bilang isang quantum system ay dapat matukoy ng mga parameter ng quantum. Sa ilalim ng normal na mga kondisyon (sa hindi masyadong mataas na temperatura), ang molekula ng gas ay nasa isang hindi nasasabik na estado na naaayon sa pangunahing (zero) na antas ng vibrational. Samakatuwid, ang mga quantum effect sa mga totoong gas sa ilalim ng normal na mga kondisyon ay maaaring mapabayaan. Dahil dito, ang distribution function ng isang klasikal na ideal na gas sa isang nonequilibrium na estado ay nakasalalay hindi lamang sa oras, kundi pati na rin sa mga coordinate ng particle.

Ipahiwatig natin sa pamamagitan ng simbolo Г ang hanay ng lahat ng mga variable kung saan nakasalalay ang function ng pamamahagi, maliban sa mga coordinate ng molekula at oras. Sa elemento ng dami ng phase, ibinubukod namin ang elementarya na volume ng tatlong-dimensional na espasyo, at tinutukoy ang natitirang bahagi nito sa pamamagitan ng simbolo na dГ. Ang mga dami dГ ay mga integral ng paggalaw na nananatiling pare-pareho para sa anumang molekula sa panahon ng malayang paggalaw nito sa pagitan ng dalawang magkasunod na banggaan. Ang libreng paggalaw ng isang molekula ay isinasagawa nang walang panlabas na impluwensya mula sa anumang panlabas na katawan o larangan. Bilang resulta ng pakikipag-ugnayan ng mga molekula sa isa't isa (sa kaganapan ng isang banggaan) o sa ilalim ng impluwensya ng isang larangan

maaaring magbago ang mga halagang ito. Ang mga coordinate ng isang molekula sa kabuuan ay nagbabago sa panahon ng malayang paggalaw nito.

Ang konsentrasyon o density ng spatial distribution ng mga gas particle ay maaaring ipahayag bilang isang integral, at ang average na bilang ng mga particle sa isang volume na elemento ay tinutukoy ng produkto. Ang elemento ng volume ay isang pisikal na maliit na volume, i.e. isang piraso ng espasyo na ang mga sukat ay maliit kumpara sa mga sukat na isinasaalang-alang sa problema. Kasabay nito, ang mga sukat ng isang maliit na dami ay malaki kumpara sa mga sukat ng mga molekula. Ang pahayag tungkol sa lokasyon ng isang molekula sa isang naibigay na elemento ng volume ay tumutukoy sa posisyon ng molekula, sa pinakamainam, hanggang sa mga distansya lamang na lumalampas sa mga sukat ng molekula mismo. Ang eksaktong pagpapasiya ng mga coordinate ng dalawang klasikal na mga particle ay ginagawang posible upang tumpak na matukoy ang kanilang mga trajectory bago at pagkatapos ng banggaan, kung mayroon man. Ang kawalan ng katiyakan ng eksaktong magkaparehong posisyon ng mga particle ay ginagawang posible na mag-aplay ng probabilistikong diskarte sa paglutas ng problema ng kanilang banggaan. Isinasaalang-alang ang isang klasikal na gas ay nagpapahiwatig na ang density

ay isang macroscopic na dami. Ang macroscopicity ay nagaganap lamang kapag ang elementary volume ay naglalaman ng sapat na malaking bilang ng mga particle (saka lamang ang pagbabago sa bilang ng mga particle sa elementary volume ay maliit sa panahon ng prosesong isinasaalang-alang); sa kasong ito, ang mga linear na sukat ng rehiyon na inookupahan ng gas ay dapat na mas malaki kaysa sa average na intermolecular na distansya.

§2 Pagbangga ng mga particle.

Isaalang-alang natin ang isang banggaan ng mga molekula, ang ilan sa mga ito ay may mga halaga ng Γ na nakahiga sa isang naibigay na pagitan, habang ang iba ay may mga halaga sa pagitan. Bilang resulta ng banggaan, nakukuha ng mga molekula ang mga halaga ng Γ sa mga pagitan, ayon sa pagkakabanggit, at. Sa ibaba, para sa kaiklian, pag-uusapan natin ang tungkol sa banggaan ng mga molekula at sa paglipat

Ang produkto ng bilang ng mga molekula sa bawat yunit ng dami ng beses ang posibilidad ng bawat molekula na bumangga sa tinukoy na paglipat ay magbibigay ng kabuuang bilang ng mga naturang banggaan bawat yunit ng dami bawat yunit ng oras. Ang posibilidad ng naturang kaganapan (ipahiwatig natin ito bilang isang tiyak na pag-andar) ay proporsyonal sa bilang ng mga molekula bawat dami ng yunit at sa mga pagitan ng mga halaga ng mga halaga ng bawat isa sa mga molekula pagkatapos ng banggaan. Kaya, ipagpalagay natin na, at ang bilang ng mga banggaan sa isang paglipat na nagaganap sa isang dami ng yunit sa bawat yunit ng oras ay nasa anyo.

(ang prime ay nagpapahiwatig ng mga huling estado, nang walang prime, ang mga inisyal). Ang posibilidad ng banggaan ay may mahalagang pag-aari, na sumusunod mula sa mga batas ng mekanika, tungkol sa pagbaliktad ng tanda ng oras. Kung ipahiwatig natin sa pamamagitan ng superscript T ang mga halaga ng lahat ng mga dami na nakuha sa pamamagitan ng pag-reverse ng time sign, kung gayon ang pagkakapantay-pantay ay magaganap.

Ang pagbaligtad ng oras ay pinapalitan ang "bago" at "pagkatapos" na mga estado, na nangangahulugang kinakailangan upang ipagpalit ang mga argumento ng function ng posibilidad. Sa partikular, ang ipinahiwatig na pagkakapantay-pantay ay wasto sa kaso ng equilibrium ng system, i.e. ito ay maaaring argued na sa ekwilibriyo ang bilang ng mga banggaan sa transition ay katumbas ng bilang ng mga banggaan sa transition (*). Tukuyin sa pamamagitan ng equilibrium distribution function at isulat

Ang produkto ng differentials ay isang elemento ng phase space na hindi nagbabago kapag binaligtad ang oras (maaaring alisin ang mga pagkakaiba sa magkabilang panig ng pagkakapantay-pantay). Ang potensyal na enerhiya ng mga molekula ay hindi rin nagbabago, at, dahil dito, ang equilibrium (Boltzmann) distribution function, na nakasalalay lamang sa enerhiya:

(2)

Ang V ay ang macroscopic velocity ng gas sa kabuuan. Sa bisa ng batas ng konserbasyon ng enerhiya sa banggaan ng dalawang molekula. Samakatuwid, maaari nating isulat ang (3)

Napansin din namin ang katotohanan na ang probability function mismo ay maaari, sa prinsipyo, ay matukoy lamang sa pamamagitan ng paglutas ng mekanikal na problema ng mga banggaan ng butil. Ang mga equation (1), (2) at (3) na nakasulat sa itaas ay magbibigay pagkatapos ng mga pagdadaglat sa (1)

Isinasaalang-alang ang pahayag (*)

Pagsasama ng huling pagkakapantay-pantay (para magamit sa mga sumusunod), nakuha namin ang kaugnayan:

§3 Derivation ng kinetic equation.

Isaalang-alang ang derivative ng function ng pamamahagi ng oras:

Kapag gumagalaw ang mga molekula ng gas sa kawalan ng panlabas na larangan, ang mga dami ng Г, bilang mga integral ng paggalaw, ay hindi nagbabago.

Ang expression para sa derivative ay kukuha ng anyo: (6)

Ngayon hayaan ang gas sa isang panlabas na potensyal na field na kumikilos sa mga coordinate ng sentro ng grabidad ng mga molekula (halimbawa, sa isang gravitational field). At hayaang F ang puwersang kumikilos mula sa field sa particle.

Ang kanang bahagi ng pagkakapantay-pantay (6) ay ilalarawan ng. ibig sabihin ng simbolo

ang rate ng pagbabago ng function ng pamamahagi dahil sa mga banggaan, at ang halaga

ay ang pagbabago sa bawat yunit ng oras dahil sa mga banggaan ng bilang ng mga molekula sa dami ng bahagi. Ang kabuuang pagbabago sa distribution function sa isang naibigay na punto sa phase space ay maaaring isulat bilang:

(8)

Ang dami ay tinatawag na integral ng banggaan, at ang equation ng form (8) ay tinatawag na kinetic equation. Ang kinetic equation (8) ay magkakaroon lamang ng tunay na kahulugan pagkatapos matukoy ang anyo ng integral ng banggaan.

§3 Pagtukoy sa uri ng integral ng banggaan at ang equation ng Boltzmann.

Sa panahon ng banggaan ng mga molekula, mayroong pagbabago sa mga dami kung saan nakasalalay ang pagpapaandar ng pamamahagi. Isinasaalang-alang ang katotohanan na ang oras ng pagmamasid sa estado ng system at ang mga coordinate ng mga particle ay nagbabago, hindi alintana kung ang isang banggaan ng mga particle ay naganap o hindi (na nakakaapekto lamang sa likas na katangian ng pagbabago sa mga coordinate), maaari itong maging Nagtalo na ang mga halaga ng Γ ng nagbabanggaan na mga molekula ay nagbabago. Isinasaalang-alang ang isang sapat na maliit na agwat, nalaman namin na ang mga molekula ay tinanggal mula sa agwat na ito sa panahon ng isang banggaan, i.e. may mga gawa ng "pag-alis". Hayaang tumutugma ang dalawang nagbabanggaan na molekula, tulad ng dati, sa mga halaga bago at pagkatapos ng banggaan (para sa kaiklian, pinag-uusapan natin ang isang paglipat).

Ang kabuuang bilang ng mga banggaan sa transition sa itaas kasama ang lahat ng posibleng halaga

Para sa isang naibigay, na nagaganap sa bawat yunit ng oras sa dami, ay tinutukoy ng integral

Kasabay nito, nangyayari ang mga banggaan ng ibang uri (tinatawag na "mga pagdating"), bilang isang resulta kung saan ang mga molekula na may mga magnitude sa labas ng ibinigay na pagitan bago ang banggaan ay nahulog sa pagitan na ito. Ang ganitong mga paglipat ay maaaring tukuyin bilang mga sumusunod: (kasama ang lahat ng posibleng mga halaga na ibinigay). Katulad ng unang uri ng paglipat, ang kabuuang bilang ng mga naturang banggaan sa bawat yunit ng oras sa dami ay:

Bilang resulta ng lahat ng banggaan, ang pagbabago sa bilang ng mga molekula sa bawat yunit ng oras sa isang elementarya ay tinutukoy ng pagkakaiba sa pagitan ng bilang ng mga kilos ng pag-alis at ang bilang ng mga kilos ng pagdating:

(9), saan

Ang integral ng banggaan ay maaaring tukuyin bilang:

(pagbabago sa bilang ng mga particle bawat yunit ng oras sa phase volume dVdG)

Mula sa mga relasyon (8) at (9) nakukuha natin ang anyo ng integral ng banggaan

Tandaan na sa ikalawang termino ng integrand, integration over has

nauugnay lamang sa pag-andar. Ang mga kadahilanan at hindi nakasalalay sa mga variable. Pagbabago sa bahaging ito ng integral gamit ang kaugnayan (4) , nakukuha natin ang panghuling anyo ng integral ng banggaan

at ang kinetic equation

Ang resultang integral - differential equation ay tinatawag na Boltzmann equation.

Isaalang-alang ang isang time-independent distribution sa equilibrium state ng system sa kawalan ng mga panlabas na impluwensya. Ang nasabing pamamahagi ay nakatigil (hindi nakasalalay sa oras) at homogenous (hindi nagbabago sa rehiyon ng espasyo na inookupahan ng system). Ang mga ipinataw na kundisyon ay nagpapawalang-bisa sa derivative ng distribution function na may kinalaman sa oras at tatlong coordinate; ang kaliwang bahagi ng kinetic equation ay naglalaho. Ang integrand ay naglalaho dahil sa pagkakapantay-pantay (3). Dahil dito, ang pamamahagi ng ekwilibriyo sa kawalan ng mga panlabas na patlang ay nakakatugon sa kinetic equation nang magkapareho. Kung ang gas ay nasa isang equilibrium na estado sa ilalim ng pagkilos ng isang panlabas na potensyal (halimbawa, gravitational) na patlang, kung gayon ang function ng pamamahagi sa kasong ito ay natutugunan din ang kinetic equation. Sa katunayan, ang pamamahagi ng balanse ay ipinahayag sa mga tuntunin ng integral ng paggalaw, ang kabuuang enerhiya ng molekula. Ang kaliwang bahagi ng kinetic equation ay ang kabuuang derivative, na katumbas ng zero bilang derivative ng isang function depende lamang sa mga integral ng paggalaw. Ang kanang bahagi ng equation, tulad ng ipinahiwatig na, ay zero. Kaya, ang distribution function ng isang gas sa equilibrium sa isang panlabas na potensyal na field ay nakakatugon din sa kinetic equation.

Dagdagan natin ang isa pang bagay sa mga pagpapalagay na binanggit sa "Introduction": ang mga banggaan ng mga molekula ay itinuturing na mga agarang kilos na nagaganap sa isang "punto" ng espasyo. Ang kinetic equation ay naglalarawan ng isang proseso na nagaganap sa pagitan ng oras na mas mahaba kaysa sa tagal ng mga banggaan. Kasabay nito, ang lugar ng system na isinasaalang-alang ay dapat na higit na lumampas sa lugar ng pagbangga ng butil, na may mga sukat sa pagkakasunud-sunod ng radius ng pagkilos ng mga puwersa ng molekular d. Ang oras ng banggaan, sa pagkakasunud-sunod ng magnitude, ay maaaring tukuyin bilang (- ang average na bilis ng mga molekula sa gas). Ang mga halaga na nakuha ay kumakatawan sa mas mababang limitasyon ng distansya at oras, na nagpapahintulot sa aplikasyon ng kinetic equation. Ang mga totoong pisikal na problema ay hindi nangangailangan ng ganoong detalyadong paglalarawan ng proseso; Ang laki ng system at oras ng pagmamasid ay higit sa kinakailangang minimum.

Para sa isang qualitative na pagsasaalang-alang ng kinetic phenomena na nagaganap sa isang gas, ang mga magaspang na pagtatantya ng collision integral ay ginagamit sa mga tuntunin ng dalawang parameter: ang ibig sabihin ng libreng landas at ang ibig sabihin ng libreng landas. Hayaang dumaan ang molekula sa isang haba ng yunit habang gumagalaw, habang bumabangga sa mga molekula na matatagpuan sa dami ng isang tuwid na silindro ng haba ng yunit at ang lugar ng base (- ang epektibong cross section ng molekula). Ang dami na ito ay naglalaman ng mga molekula.

- average na distansya sa pagitan ng mga molekula;

Ang halaga ay ang libreng oras ng pagtakbo. Para sa isang magaspang na pagtatantya ng integral ng banggaan, maaaring gamitin ng isa ang:

Ang pagkakaiba na nakasulat sa numerator ay isinasaalang-alang ang katotohanan na ang banggaan integral ay naglalaho para sa equilibrium distribution function, at ang minus sign ay nagpapahiwatig na ang mga banggaan ay ang mekanismo para sa pagtatatag ng statistical equilibrium, i.e. may posibilidad na bawasan ang deviation ng distribution function mula sa equilibrium one (sa madaling salita, anumang system na kinuha mula sa equilibrium state na tumutugma sa minimum na internal energy ng system at iniwan sa sarili nito ay may posibilidad na bumalik sa equilibrium state).

§3 Paglipat sa macroscopic equation. Hydrodynamic equation ng continuity.

Ang kinetic equation ng Boltzmann ay nagbibigay ng mikroskopikong paglalarawan ng ebolusyon ng estado ng isang gas. Ngunit sa pagsasagawa, madalas na hindi kinakailangan na ilarawan ang mga proseso sa ganoong detalye, samakatuwid, kapag isinasaalang-alang ang mga problema ng hydrodynamics, mga problema ng mga proseso na nagaganap sa hindi homogenous o highly rarefied gas, mga problema sa thermal conductivity at diffusion ng mga gas, at marami pang iba. , makatuwirang lumipat sa hindi gaanong detalyado (at samakatuwid ay mas simple) na mga macroscopic equation. Ang nasabing paglalarawan ay naaangkop sa isang gas kung ang mga macroscopic na katangian nito (temperatura, density, konsentrasyon ng particle, presyon, atbp.) ay sapat na mabagal na nagbabago sa anumang arbitraryong piniling direksyon sa gas. Ang mga distansya kung saan mayroong isang makabuluhang pagbabago sa mga macroscopic na parameter ay dapat na higit na lumampas sa ibig sabihin ng libreng landas ng mga molekula.

Bilang halimbawa, isaalang-alang ang isang paraan para sa pagkuha ng hydrodynamic equation.

Tinutukoy ng expression ang density ng pamamahagi ng mga molekula ng gas sa espasyo (ang konsentrasyon ng mga molekula ng gas). Ang produkto ng masa ng isang molekula (pinapalagay na ang gas ay binubuo ng magkaparehong mga particle) at ang density ng pamamahagi ng mga molekula ay nagbibigay ng mass density ng gas: . Tukuyin natin sa pamamagitan ng macroscopic velocity ng gas sa kabuuan, at sa pamamagitan ng microscopic velocity ng mga molecule. Ang macroscopic speed (bilis ng paggalaw ng sentro ng masa) ay maaaring tukuyin bilang ang average na halaga ng microscopic velocities ng mga molekula

Hindi binabago ng mga banggaan ang alinman sa bilang ng mga nagbabanggaan na particle o ang kanilang kabuuang enerhiya o momentum (ang banggaan ng mga molekula ay itinuturing na isang ganap na nababanat na epekto). Ang nagbabanggaan na bahagi ng pagbabago sa function ng pamamahagi ay hindi maaaring humantong sa isang pagbabago sa density, panloob na enerhiya, bilis, at anumang iba pang mga macroscopic na parameter ng gas sa bawat isa sa mga elemento ng volume nito. Sa katunayan, ang collisional na bahagi ng pagbabago sa kabuuang bilang ng mga molekula bawat yunit ng dami ng gas ay ibinibigay ng integral na katumbas ng zero:

Bine-verify namin ang bisa ng pagkakapantay-pantay na ito sa sumusunod na paraan:

Isinasagawa ang pagsasama sa bawat isa sa mga variable, na nangangahulugan na, nang hindi binabago ang integral, posibleng palitan ang pangalan ng mga variable, halimbawa, sa pangalawang integral:

Ang huling expression ay malinaw na katumbas ng zero at, samakatuwid, ang pagkakapantay-pantay (14) ay wasto.

Isinulat namin ang kinetic equation at, pagkatapos na i-multiply ang parehong mga bahagi nito sa masa ng particle m, isinasama namin ito nang may paggalang sa:

Mula dito agad naming nakuha ang hydrodynamic continuity equation:

Sa pamamagitan ng pagtukoy ng pagbabago sa density ng likido sa differential equation na ito at sa pag-aakalang ang likido ay hindi mapipigil, ang isa ay makakakuha ng isang vector field ng mga direksyon ng bilis sa anumang punto sa likido.

§apat. Mahinang hindi homogenous na gas. Thermal conductivity ng gas.

Ang lahat ng mga tunay na pisikal na proseso ay kinakailangang magpatuloy sa ilang mga pagkalugi ng enerhiya (i.e., nangyayari ang pagwawaldas ng enerhiya - ang paglipat ng enerhiya ng iniutos na paggalaw sa enerhiya ng magulong paggalaw, halimbawa, sa thermal motion ng mga molekula ng gas). Upang isaalang-alang ang mga dissipative na proseso (thermal conductivity o lagkit) sa isang mahina na hindi homogenous na gas, kinakailangan na gamitin ang sumusunod na pagtatantya: ang distribution function sa isang maliit na lugar ng gas ay dapat ituring na hindi lokal na equilibrium, tulad ng sa kaso ng isang homogenous na gas, ngunit naiiba mula sa equilibrium sa pamamagitan ng ilang sapat na maliit (dahil ang gas ay mahina inhomogeneous) na halaga. Ang function ng pamamahagi ay kukuha ng form, at ang pagwawasto mismo ay isusulat sa form. Ang function ay dapat matugunan ang ilang mga kundisyon. Kung ang ibinigay na densidad ng bilang ng mga particle, enerhiya at momentum ng gas

mga. ang equilibrium function ay tumutugma sa mga integral, kung gayon ang nonequilibrium function ay dapat humantong sa parehong mga halaga ng mga dami na ito (ang mga integral na may at dapat na magkasabay), na nangyayari lamang kapag

Ibahin natin ang collision integral sa kinetic equation (13): pagpapalit ng mga expression para sa distribution function at correction, pag-zero sa collision integral na naglalaman ng equilibrium distribution function, pagkansela ng mga term na hindi naglalaman ng maliit na pagwawasto. Ang mga tuntunin ng unang order ay magbibigay. Ang simbolo ay ipinakilala upang tukuyin ang linear integral operator

Isulat natin (nang walang derivation) ang kinetic equation para sa isang mahinang inhomogeneous na gas, na pinapanatili para sa pagsasaalang-alang ng problema ng thermal conductivity sa kaliwang bahagi ng equation ng isang termino lamang na may gradient ng temperatura.

*************************************************

§apat. Pagkalkula ng thermal conductivity ng isang monatomic gas

Upang makalkula ang thermal conductivity ng isang gas, kinakailangan upang malutas ang equation sa itaas na may gradient ng temperatura.

Hayaang maging isang vector function ng mga dami lamang. Pagkatapos ang solusyon ng equation () ay hahanapin sa form. Kapag pinapalitan ang solusyon na ito sa equation (), nakakakuha tayo ng multiplier. Ang equation () ay wasto para sa ganap na arbitrary na mga halaga ng gradient vector ng temperatura, kung gayon ang mga coefficient sa sa parehong bahagi ng pagkakapantay-pantay ay dapat na pantay. Bilang resulta, para makuha natin ang equation

Ang equation ay hindi naglalaman ng gradient ng temperatura at samakatuwid ay walang tahasang pagdepende sa mga coordinate. Ang function ay dapat na matugunan ang dating tinukoy na mga kondisyon (). Ang unang dalawang kundisyon ay malinaw na nasiyahan (ang equation () ay hindi naglalaman ng anumang mga parameter ng vector kung saan maaaring idirekta ang mga pare-parehong integral ng vector

AT). Ang ikatlong integral ay isang karagdagang kondisyon sa function na g. Kung ang kinetic equation ay nalutas at ang function

ay tinutukoy, pagkatapos ay posible na matukoy ang thermal conductivity coefficient sa pamamagitan ng pagkalkula ng enerhiya flux, mas tiyak, ang dissipative na bahagi nito, na hindi nauugnay sa convective energy transfer (tinukoy namin ang bahaging ito ng energy flux bilang ). Sa kawalan ng macroscopic motion sa isang gas, ang Q ay tumutugma sa kabuuang daloy ng enerhiya na Q, na maaaring ipahayag sa mga tuntunin ng integral.

Kung ang sistema ay nasa equilibrium, ang integral na ito ay katumbas ng zero dahil sa pagsasama sa lahat ng posibleng direksyon sa gas. Kapag nananatili ang pagpapalit sa ().

Sa mga bahagi

Dahil sa isotropy ng equilibrium gas medium, walang mga napiling direksyon dito, at ang tensor ay maaaring ipahayag lamang sa pamamagitan ng unit tensor, i.e. bumababa sa isang scalar

Kaya, ang daloy ng enerhiya ay ipinahayag bilang, kung saan ang halaga ay ang scalar coefficient ng thermal conductivity

Ang daloy ng Q ay dapat na nakadirekta sa direksyon na kabaligtaran sa gradient ng temperatura, at ang halaga, ayon sa pagkakabanggit, ay dapat na positibo, na awtomatikong ibinibigay ng kinetic equation (). Sa mga monatomic na gas, ang velocity v ay ang tanging vector kung saan nakasalalay ang function g (sa polyatomic gases, ang g ay nakasalalay hindi lamang sa velocity v, kundi pati na rin sa sandaling M). Para sa mga monatomic na gas, ang function na g ay may anyo:

.

§5. Isang halimbawa ng paglutas ng kinetic equation

Ang mga molekula ng gas ay nakikipag-ugnayan ayon sa medyo kumplikadong mga batas. Ito ay totoo lalo na para sa mga tunay na polyatomic gas. Ang mga pagpapalagay na ginawa tungkol sa likas na katangian ng pag-uugali ng mga molekula ng gas ay ginagawang posible na gawing simple ang pangangatwiran (o kahit na gawin itong posible sa prinsipyo), ngunit medyo nag-aalis sa amin mula sa katotohanan. Ang mga kumplikadong batas ng pakikipag-ugnayan ng mga molekula, na tumutukoy sa pag-andar sa integral ng banggaan, ay hindi kahit na nagpapahintulot sa amin na isulat ang Boltzmann equation para sa mga tiyak na gas sa isang eksaktong anyo. Kahit na sa pagpapasimple ng likas na pakikipag-ugnayan ng molekular, ang istraktura ng matematika ng kinetic equation ay nananatiling medyo kumplikado, at ang paghahanap ng solusyon nito sa isang analytical na anyo ay mahirap. Sa kinetic theory ng mga gas, espesyal, mas epektibo kaysa sa isang pagtatangka sa isang analytical na solusyon, ang mga pamamaraan para sa tinatayang solusyon ng Boltzmann equation ay ginagamit. Bilang halimbawa, isaalang-alang ang isang monatomic gas at ang problema ng heat conduction.

at ang equilibrium distribution function ay nasa anyo

Ang isang epektibong paraan para sa tinatayang solusyon ng equation () ay batay sa pagpapalawak ng mga nais na function sa mga tuntunin ng isang kumpletong sistema ng magkaparehong orthogonal function. Bilang tulad ng mga function, isinasaalang-alang namin ang Sonin polynomial na tinukoy ng mga formula:

Sa formula na ito, ang r ay arbitrary, at ang s ay isang positive integer o zero. Sa katapatan

Ang pag-aari ng orthogonality ng mga polynomial na ito para sa isang naibigay na index r at iba't ibang mga indeks s ay ang mga sumusunod

Hinahanap namin ang solusyon ng equation sa anyo ng sumusunod na pagpapalawak

Inaalis ang terminong may s=0 sa pagpapalawak, nakakakuha tayo ng expression na nakakatugon sa () (naglalaho ang integral dahil sa orthogonality ng mga polynomial na may iba't ibang s). Expression sa mga bracket sa kaliwang bahagi ()

meron. Ang equation () ay nasa anyo

Para sa huling expression, ang notasyon

Walang equation na may l=0, dahil dahil sa konserbasyon ng momentum

Ang thermal conductivity coefficient ay kinakalkula sa pamamagitan ng pagpapalit ng expression () sa integral (). Isinasaalang-alang ang kondisyon (), ang integral (c) ay maaaring katawanin bilang

Bilang resulta, nahanap namin

Ang pagiging epektibo ng numerical na paraan gamit ang pagpapalawak sa mga polynomial ng Sonon ay maaaring hatulan ng pagiging simple ng kanang bahagi () at ang panghuling expression (). Ang walang katapusang sistema ng mga linear algebraic equation na nakuha sa panahon ng solusyon ay nalulutas pagkatapos ng artipisyal na truncation.

Konklusyon.

Ang isinasaalang-alang na paraan para sa pagkuha ng Boltzmann kinetic equation ay medyo kasiya-siya mula sa pisikal na pananaw. Gayunpaman, ang kinetic equation ay maaari ding makuha mula sa mathematical apparatus na ginamit upang ilarawan ang paggalaw ng mga particle ng gas. Noong 1946, ang naturang konklusyon, na tinatawag na dynamic, ay ibinigay ni N. N. Bogolyubov. Ang paraan ng Bogolyubov ay nagbibigay-daan hindi lamang upang makuha ang Boltzmann equation, kundi pati na rin ang mga pagwawasto dito, i.e. mga tuntunin ng mga susunod na order sa maliit na parameter ng nilalaman ng gas. Halimbawa, ang derivation sa itaas ay isinasaalang-alang ang sabay-sabay na banggaan ng dalawang molekula lamang at ipinapalagay na ang mga banggaan ay nangyayari sa isang punto, i.e. ay lokal, at walang higit pa o hindi gaanong halatang recipe para sa pagsasaalang-alang ng mga banggaan ng mga grupo ng tatlo, apat, o higit pang mga particle. Samantala, malinaw na ang pagsasaalang-alang sa mga naturang banggaan ay pangunahing mahalaga kapag isinasaalang-alang ang mga siksik na gas. Sa koneksyon na ito, ito ay nararapat na kumuha ng isang mas mahigpit na diskarte sa derivation ng kinetic equation at sa mga posibleng generalizations nito. Ang paraan ng Bogolyubov ay nagpapahintulot sa amin na isaalang-alang

"non-locality" ng banggaan at banggaan ng higit sa dalawang particle sa tulong ng ilang partikular na termino ng pagwawasto na lumilitaw sa panahon ng derivation. Ang pagpapabaya sa mga pagwawasto ay binabawasan ang kinetic equation sa form na nakuha sa pinakasimpleng kaso.

Bibliograpiya.

1. E.M. Lifshits, L.P. Pitaevsky. Pisikal na kinetika. Science, M., 1979

2. Yu.B.Rumer, M.Sh.Ryvkin. Thermodynamics, statistical physics at kinetics.

BOLTZMANN KINETIC EQUATION- integro-differential. ur-tion, Krom satisfy non-equilibrium single-particle mga function ng pamamahagi mga sistema ng isang malaking bilang ng mga particle, halimbawa, ang pag-andar ng pamamahagi ng mga molekula ng gas sa mga tuntunin ng mga bilis at mga coordinate r, mga function ng pamamahagi ng mga electron sa isang metal, sa isang kristal, atbp. K. at. B. - pangunahing. ur-tion mikroskopiko. teorya ng nonequilibrium na mga proseso ( pisikal na kinetika), sa partikular kinetic theory ng mga gas. K. sa. B. sa makitid na kahulugan na tinatawag. hinango ni L. Boltzmann (L. Boltzmann) kinetic. ur-tion para sa mga maliliit na gas, ang mga molekula sa-rykh ay sumusunod sa klasikal. mekanika. K. sa. B. para sa mga quasiparticle sa mga kristal, halimbawa. para sa mga electron sa metal, na tinatawag. kinetic din. ur-niami o ur-niami transfer.

K. sa. B. ay isang equation para sa balanse ng bilang ng mga particle (mas tiyak, mga puntos na naglalarawan sa estado ng mga particle) sa isang elemento ng dami ng bahagi; dr==dxdydz) at nagpapahayag ng katotohanan na ang pagbabago sa pamamahagi ng particle ay gumagana sa paglipas ng panahon t nangyayari dahil sa paggalaw ng mga particle sa ilalim ng pagkilos ng panlabas. pwersa at tunggalian sa pagitan nila. Para sa isang gas na binubuo ng mga particle ng parehong uri, K. at. B. parang

kung saan ang pagbabago sa density ng bilang ng mga particle sa isang elemento ng dami ng phase bawat yunit ng oras, F== F(r,t)- ang puwersang kumikilos sa particle (maaaring depende rin sa bilis), - ang pagbabago sa distribution function dahil sa mga banggaan (clision integral). Ang pangalawa at pangatlong miyembro ng equation (1) ay nagpapakilala sa resp. mga pagbabago sa function ng pamamahagi bilang resulta ng paggalaw ng mga particle sa espasyo at ang pagkilos ng ext. pwersa. Ang pagbabago nito, dahil sa mga banggaan ng butil, ay nauugnay sa pag-alis ng mga particle mula sa elemento ng dami ng phase sa tinatawag na. direktang banggaan at muling pagdadagdag ng volume ng mga particle na nakaranas ng "reverse" collisions. Kung kalkulahin mo ang mga banggaan ayon sa mga batas ng klasiko. mechanics at ipagpalagay na walang ugnayan sa pagitan ng dynamic. mga estado ng nagbabanggaan na mga molekula, kung gayon

Ang bilis ng mga particle bago ang banggaan, - ang bilis ng parehong mga particle pagkatapos ng banggaan, - ang halaga ay tumutukoy. bilis ng nagbabanggaan na mga particle, - kaugalian. eff. particle scattering cross section sa isang solid anggulo sa lab. coordinate system, - ang anggulo sa pagitan ng kamag-anak. bilis at linya ng mga sentro. Halimbawa, para sa matibay na nababanat na mga sphere na may radius R, = , para sa mga particle na nakikipag-ugnayan ayon sa sentrong batas. pwersa, ( b- parameter ng epekto, - anggulo ng azimuth ng linya ng mga sentro).

K. sa. B. isinasaalang-alang lamang ang mga pares na banggaan sa pagitan ng mga molekula; ito ay may bisa kung iyan haba ng libreng landas ang mga molekula ay mas malaki kaysa sa mga linear na sukat ng rehiyon kung saan nangyayari ang banggaan (para sa isang gas ng nababanat na mga particle, ang rehiyong ito ay nasa pagkakasunud-sunod ng diameter ng particle). Samakatuwid, K. at. B. Naaangkop para sa hindi masyadong siksik na mga gas. Kung hindi, ito ay magiging hindi patas. ang pagpapalagay na walang ugnayan sa pagitan ng mga estado ng nagbabanggaan na mga particle (ang hypothesis ng molekular na kaguluhan). Kung ang sistema ay nasa istatistika ekwilibriyo, pagkatapos ay maglalaho ang integral ng banggaan (2) at ang solusyon ng K. u. B. ay Pamamahagi ng Maxwell.

Sa isang mas mahigpit na diskarte para sa pagbuo ng K. at. B. nanggaling sa Liouville equation para sa density ng pamamahagi ng lahat ng mga molekula ng gas sa puwang ng phase, kung saan nakuha ang isang sistema ng mga equation para sa mga function ng pamamahagi ng isa, dalawa, atbp. mga molekula ( mga equation ng Bogolyubov). Ang chain ng mga equation na ito ay nalulutas sa pamamagitan ng pagpapalawak sa mga kapangyarihan ng particle density gamit ang correlation weakening boundary condition, na pumapalit sa molecular chaos hypothesis.

pasya ni K. sa. B. sa decomp. mga pagpapalagay tungkol sa mga puwersa ng pakikipag-ugnayan sa pagitan ng mga particle - ang paksa ng kinetic. teorya ng mga gas, na nagbibigay-daan sa iyo upang makalkula kinetic coefficients at kumuha ng macroscopic. ur-tion para sa mga proseso ng paglilipat ( lagkit, pagsasabog, thermal conductivity).

Para sa mga quantum gas, ang mga halaga ng eff. Ang mga cross section ay kinakalkula batay sa hindi pagkakakilanlan ng magkaparehong mga particle at ang katotohanan na ang posibilidad ng banggaan ay nakasalalay hindi lamang sa produkto ng mga function ng pamamahagi ng mga nagbabanggaan na particle, kundi pati na rin sa mga function ng pamamahagi ng mga particle pagkatapos ng banggaan. Para sa mga fermion, bilang isang resulta nito, ang posibilidad ng banggaan ay bababa, at para sa mga boson ay tataas ito. Ang operator ng banggaan sa quantum case ay kumukuha ng form

kung saan tumutugma ang minus sign Fermi - Mga istatistika ng Dirac, at ang plus sign ay Bose - Einstein statistics, g- istatistika. timbang ng estado (g = l para sa mga particle na may zero spin, at g=2 para sa mga particle na may spin), ay ang momentum ng particle. Ang mga pag-andar ay na-normalize upang sila ay kumakatawan cf. ang bilang ng mga particle sa isang punto. Ang equilibrium function ng mga distribusyon ng Fermi at Bose ay nawawala sa operator ng banggaan (3).

Isang mahalagang espesyal na kaso ng K. at. B. ay kinetic. ur-tion para sa mga neutron, ang to-rye ay nakakalat at pinabagal ng nuclei ng medium. Sa kasong ito, ext. walang pwersa at sa equation (1) kailangang ilagay F=0. Ang bilang ng density ng mga neutron ay karaniwang mababa, upang ang mga banggaan sa pagitan ng mga ito ay maaaring mapabayaan at ang kanilang mga banggaan lamang sa nuclei ng daluyan ay maaaring isaalang-alang (tingnan ang Fig. pagsasabog ng neutron, pagmo-moderate ng neutron).

Ang mga proseso ng paglilipat na nauugnay sa paggalaw ng mga electron sa isang metal ay maaari ding maimbestigahan sa tulong ng K. at. B. Sa kawalan ng sala-sala, ang mga electron ay malayang nagpapalaganap sa metal at inilalarawan sa pamamagitan ng modulated sa panahon ng sala-sala at depende sa k; at masiglang mga numero. mga zone l. Ang thermal motion ng lattice atoms ay lumalabag sa periodicity at humahantong sa electron scattering (mga banggaan sa pagitan ng mga electron at phonon). Pag-andar ng pamamahagi ng elektron n(k, l, t) nagbibigay-kasiyahan sa K. at. B. uri (1), sa Krom F = (E at H - boltahe ng kuryente. at magn. mga patlang, e- electron), at ang integral ng banggaan ay may anyo

kung saan n=n( k ,l), - mga wave vector at bilang ng mga zone bago at pagkatapos ng banggaan, N= =N ( f, s)- function ng pamamahagi ng phonon, f at s- wave vector at polariseysyon ng phonon, - magmakaawa. at ang huling enerhiya ng isang electron sa paggulo ng isang phonon na may enerhiya - delta-f-tion, - mga elemento ng matrix ng paglipat ng elektron mula sa estado k, l sa isang estado , to-rye evaluate batay sa kahulugan. hypotheses tungkol sa mekanismo ng pakikipag-ugnayan ng mga electron sa sala-sala. Ang expression (4) ay nakuha sa ilalim ng pagpapalagay na ang ibig sabihin ng libreng landas ng mga electron ay mas malaki kaysa sa kawalan ng katiyakan para sa oras ng banggaan. Teorya ng electrical conductivity, thermoelectric. at galvano-magnet. Ang mga phenomena sa mga metal at semiconductor ay batay sa solusyon ng K. at. B.

Sa ilang mga kaso, ang mga condenser. mga sistema, kapag ang likas na katangian ng thermal motion ay kilala, posible na bumuo ng K. at. B. para sa elementarya paggulo (quasiparticles). Halimbawa, ang teorya ng mga proseso ng paglipat ng enerhiya sa crystal-lich. ang sala-sala ay batay sa isang equation ng ganitong uri. Kung sa expression para sa palayok. Kung ang enerhiya ng sala-sala ay limitado sa mga parisukat na termino na may kinalaman sa mga displacement ng mga atomo, kung gayon ang thermal motion ng mga atomo sa isang kristal ay inilalarawan sa pamamagitan ng malayang pagpapalaganap ng mga phonon - quanta ng mga normal na vibrations ng sala-sala. Ang accounting para sa mga tuntunin ng 3rd degree ay humahantong sa posibilidad ng mga banggaan sa pagitan ng mga phonon. Bilang resulta, ang phonon distribution function N (f, s) ay magbabago sa oras ayon sa kinetic. ur-niu

koepisyent may kubiko mga tuntunin sa pagpapalawak ng potensyal. ang enerhiya ng kristal ayon sa mga paglihis ng mga atomo mula sa posisyon ng balanse, ay ang density. Ang equation (5) ay naglalarawan ng triple collisions ng mga phonon na may pagkawasak ng dalawang phonon at ang paggawa ng isa (at ang kanilang mga kabaligtaran na proseso). Ito ang equation para sa balanse ng mga phonon na gumagalaw sa bilis ng grupo at nagbabanggaan sa isa't isa. Ang teorya ng non-conducting crystals ay batay sa solusyon ng equation (5) na may maliit na deviations mula sa istatistika. balanse.

K. sa. Naaangkop din ang B. sa mga proseso kung saan ang mga particle ay sumasailalim sa magkaparehong pagbabago, halimbawa, sa teorya ng mga shower na nabuo kapag tumama ang cosmic. mataas na enerhiya na mga particle sa atmospera. Sa kasong ito, ang kinetic ur-tions ay pinagsama-sama bilang isang sistema ng ur-tions ng balanse para sa pagsingil. mga particle at photon sa isang naibigay na pagitan ng enerhiya at momentum. Ang mga equation na ito ay nagpapahayag ng katotohanan na ang isang pagbabago sa function ng pamamahagi (maliban sa mga epekto ng scattering) ay nangyayari dahil sa pagbuo ng mga pares ng singil. mga particle sa pamamagitan ng mga photon at paglabas ng singil. mga particle ng mga photon sa anyo sa larangan ng nuclei.

Ang cascade theory ng shower ay batay sa solusyon ng mga equation na ito.

Lit. tingnan sa ilalim ng mga artikulong Kinetic teorya ng gas. Pisikal na kinetics. D. Ya. Zubarev.

Mula sa Wikipedia, ang malayang ensiklopedya

Boltzmann equation (kinetic Boltzmann equation) ay isang equation na pinangalanan Ludwig Boltzmann, na unang nag-isip nito, at naglalarawan distribusyon ng istatistika mga particle sa isang gas o likido. Ay isa sa pinakamahalagang equation pisikal na kinetika(mga rehiyon istatistikal na pisika, na naglalarawan ng mga sistemang malayo sa thermodynamic equilibrium, halimbawa, sa pagkakaroon ng mga gradient ng temperatura at electric field). Ang Boltzmann equation ay ginagamit upang pag-aralan ang paglipat ng init at singil ng kuryente sa mga likido at mga gas, at ang mga katangian ng transportasyon ay nagmula rito, tulad ng electrical conductivity , epekto ng bulwagan , lagkit at thermal conductivity. Naaangkop ang equation para sa mga rarefied system, kung saan maliit ang oras ng interaksyon sa pagitan ng mga particle ( hypothesis ng molekular na kaguluhan).

Salita

Ang Boltzmann equation ay naglalarawan ebolusyon sa oras ( t) mga function ng pamamahagi densidad f(x, p, t) sa isang partikulo puwang ng phase, saan x at p - coordinate at pulso ayon sa pagkakabanggit. Ang pamamahagi ay tinukoy sa gayon

$f(\backslash mathbf(x),\backslash mathbf(p),t)\backslash ,d^3x\backslash ,d^3p$

proporsyonal sa bilang ng mga particle sa puwang ng phase d³x d³p sa oras na t. Boltzmann equation

\frac(\partial f)(\partial t) + \frac(\partial f)(\partial \mathbf(x)) \cdot \frac(\mathbf(p))(m) + \frac(\partial f )(\partial \mathbf(p)) \cdot \mathbf(F) = \left. \frac(d f)(d t) \right|_(\mathrm(coll)). Dito F(x, t) ay ang larangan ng mga puwersang kumikilos sa mga particle sa isang likido o gas, at m ay ang masa ng mga particle. Ang termino sa kanang bahagi ng equation ay idinagdag sa account para sa mga banggaan sa pagitan ng mga particle at tinatawag integral ng banggaan. Kung ito ay zero, kung gayon ang mga particle ay hindi nagbanggaan. Ang kasong ito ay madalas na tinutukoy bilang ang one-particle case. Liouville equation. Kung ang larangan ng pwersa F(x, t) ay mapalitan ng naaangkop na field na pare-pareho sa sarili depende sa function ng pamamahagi $f$, pagkatapos makuha namin Vlasov equation, na naglalarawan sa dynamics ng mga naka-charge na particle ng plasma sa isang field na pare-pareho sa sarili. Ang klasikal na Boltzmann equation ay ginagamit sa pisika plasma pati na rin sa pisika semiconductor at mga metal (upang ilarawan ang kinetic phenomena, iyon ay, ang paglipat ng singil o init, sa e likido).

$\backslash hat(\backslash mathbf(L))\_\backslash mathrm(GR)=\backslash sum\_\backslash alpha\; p^\backslash alpha\backslash frac(\backslash partial)(\backslash partial\; x^\backslash alpha)-\backslash sum\_(\backslash alpha\backslash beta\backslash gamma)\backslash \; Gamma^(\backslash alpha)()\_(\backslash beta\backslash gamma)p^\backslash beta\; p^\backslash gamma\backslash frac(\backslash partial)(\backslash partial\; p^\backslash alpha),$

Integral ng banggaan

Ang mga banggaan sa pagitan ng mga particle ay humantong sa isang pagbabago sa kanilang mga bilis. Kung ang $W(\backslash mathbf(v),\backslash mathbf(v)^\backslash prime)d^3v^\backslash prime\; dt$ tumutukoy sa posibilidad ng pagkalat ng particle mula sa isang estado na may bilis $\backslash mathbf(v)$ sa isang estado ng bilis $\backslash mathbf(v)^\backslash prime$, kung gayon ang integral ng banggaan para sa mga klasikal na particle ay nakasulat bilang

$\backslash left.\backslash frac(\backslash partial\; f)(\backslash partial\; t)\backslash right|\_(coll)=\backslash int\_(\backslash mathbf(v)^\backslash prime)\; d^3v^\backslash prime$.

Sa kaso ng quantum nature ng mga istatistika ng particle, ang expression na ito ay kumplikado sa pamamagitan ng imposibilidad ng dalawang particle na nasa isang estado na may parehong mga quantum number, at samakatuwid ang imposibilidad ng pagkalat sa mga nasasakupang estado ay dapat isaalang-alang.

Relaxation time approximation

Ang mga Boltzmann equation ay isang kumplikadong partial differential integro-differential equation. Bilang karagdagan, ang integral ng banggaan ay nakasalalay sa tiyak na sistema, sa uri ng pakikipag-ugnayan sa pagitan ng mga particle, at iba pang mga kadahilanan. Ang paghahanap ng mga karaniwang katangian ng mga prosesong hindi balanse ay hindi isang madaling gawain. Gayunpaman, ito ay kilala na sa estado ng thermodynamic equilibrium ang collision integral ay katumbas ng zero. Sa katunayan, sa isang estado ng equilibrium sa isang homogenous na sistema sa kawalan ng mga panlabas na field, ang lahat ng mga derivatives sa kaliwang bahagi ng Boltzmann equation ay katumbas ng zero, kaya ang collision integral ay dapat ding katumbas ng zero. Para sa maliliit na paglihis mula sa ekwilibriyo, ang function ng pamamahagi ay maaaring katawanin bilang

$f\; =\; f\_0\; +\; f\_1$,

saan $f\_0(\backslash mathbf(v))$ ay ang equilibrium distribution function, nakadepende lamang sa particle velocities at kilala mula sa thermodynamics, at $f\_1$- bahagyang paglihis.

Sa kasong ito, maaaring palawakin ng isa ang integral ng banggaan sa isang serye ng Taylor na may paggalang sa function $f\_1$, at isulat ito sa form:

$-\; \backslash frac(f\_1)(\backslash tau)\; =\; -\; \backslash frac(f-f\_0)(\backslash tau)$,

Tingnan din

Sumulat ng pagsusuri sa artikulong "Kinetic Boltzmann Equation"

Mga Tala

Mga link

Panitikan

• Cercignani K. Teorya at aplikasyon ng Boltzmann equation. - M .: Mir, 1978. - 495 p.

Isang sipi na nagpapakilala sa Boltzmann Kinetic Equation

Ang paggalaw ng sangkatauhan, na nagmumula sa hindi mabilang na bilang ng pagiging arbitraryo ng tao, ay patuloy na nagaganap.
Ang pag-unawa sa mga batas ng kilusang ito ang layunin ng kasaysayan. Ngunit upang maunawaan ang mga batas ng patuloy na paggalaw ng kabuuan ng lahat ng arbitrariness ng mga tao, ang pag-iisip ng tao ay umamin ng di-makatwirang, hindi tuluy-tuloy na mga yunit. Ang unang paraan ng kasaysayan ay ang kumuha ng arbitraryong serye ng tuluy-tuloy na mga kaganapan at isaalang-alang ito nang hiwalay sa iba, habang wala at hindi maaaring maging simula ng anumang kaganapan, at palaging isang kaganapan ang patuloy na sumusunod mula sa isa pa. Ang pangalawang lansihin ay isaalang-alang ang pagkilos ng isang tao, ang hari, ang kumander, bilang kabuuan ng arbitrariness ng mga tao, habang ang kabuuan ng arbitrariness ng mga tao ay hindi kailanman ipinahayag sa aktibidad ng isang makasaysayang tao.
Ang makasaysayang agham sa kilusan nito ay patuloy na tumatanggap ng mas maliliit at mas maliliit na yunit para sa pagsasaalang-alang, at sa ganitong paraan ay nagsusumikap na lapitan ang katotohanan. Ngunit gaano man kaliit ang mga yunit na tinatanggap ng kasaysayan, nararamdaman namin na ang pagpapalagay ng isang yunit na hiwalay sa isa pa, ang pagpapalagay ng simula ng ilang kababalaghan, at ang pagpapalagay na ang pagiging arbitraryo ng lahat ng tao ay ipinahayag sa mga aksyon ng isang makasaysayang tao. , ay huwad sa kanilang sarili.
Anumang konklusyon ng kasaysayan, nang walang kaunting pagsisikap sa bahagi ng pagpuna, ay nahuhulog na parang alikabok, na walang naiwan, bunga lamang ng katotohanan na pinipili ng kritisismo ang isang mas malaki o mas maliit na discontinuous unit bilang object ng pagmamasid; kung saan ito ay palaging may karapatan, dahil ang makasaysayang yunit na kinuha ay palaging arbitrary.
Sa pamamagitan lamang ng pagpayag sa isang walang katapusang maliit na yunit para sa pagmamasid - ang pagkakaiba ng kasaysayan, iyon ay, ang magkakatulad na hilig ng mga tao, at pagkakaroon ng nakamit na sining ng pagsasama-sama (pagkuha ng mga kabuuan ng mga napakaliit na ito), maaari tayong umasa na maunawaan ang mga batas ng kasaysayan. .
Ang unang labinlimang taon ng ika-19 na siglo sa Europa ay kumakatawan sa isang pambihirang kilusan ng milyun-milyong tao. Iniiwan ng mga tao ang kanilang karaniwang hanapbuhay, nagmamadali mula sa isang panig ng Europa patungo sa kabilang panig, nagnakawan, nagpatayan sa isa't isa, nagtagumpay at nawalan ng pag-asa, at ang buong takbo ng buhay ay nagbabago sa loob ng ilang taon at kumakatawan sa isang pinalakas na kilusan, na sa una ay nagpapatuloy, pagkatapos nanghihina. Ano ang dahilan ng kilusang ito o ayon sa anong mga batas ito naganap? tanong ng isip ng tao.
Ang mga mananalaysay, na sumasagot sa tanong na ito, ay naglalarawan sa atin ng mga gawa at pananalita ng ilang dosenang tao sa isa sa mga gusali ng lungsod ng Paris, na tinatawag ang mga gawa at pananalita na ito ng salitang rebolusyon; pagkatapos ay nagbibigay sila ng isang detalyadong talambuhay ni Napoleon at ilang nakikiramay at pagalit na mga tao, pinag-uusapan ang impluwensya ng ilan sa mga taong ito sa iba, at sinasabi: ito ang dahilan kung bakit nabuo ang kilusang ito, at ito ang mga batas nito.
Ngunit ang isip ng tao ay hindi lamang tumangging maniwala sa paliwanag na ito, ngunit direktang nagsasabi na ang paraan ng pagpapaliwanag ay hindi tama, dahil sa paliwanag na ito ang pinakamahina na kababalaghan ay kinuha bilang sanhi ng pinakamalakas. Ang kabuuan ng arbitrariness ng tao ay gumawa ng parehong rebolusyon at Napoleon, at ang kabuuan lamang ng mga arbitrariness na ito ang nagtiis at nagwasak sa kanila.
“Ngunit tuwing may mga pananakop, may mga mananakop; sa tuwing may mga kudeta sa estado, may mga dakilang tao,” sabi ng kasaysayan. Sa katunayan, sa tuwing may mga mananakop, mayroon ding mga digmaan, ang pag-iisip ng tao ay tumutugon, ngunit hindi ito nagpapatunay na ang mga mananakop ay ang mga sanhi ng mga digmaan at posible na mahanap ang mga batas ng digmaan sa personal na aktibidad ng isang tao. Sa tuwing, sa pagtingin sa aking relo, nakikita ko na ang kamay ay lumalapit na sa sampu, naririnig ko na ang ebanghelisasyon ay nagsisimula sa kalapit na simbahan, ngunit mula sa katotohanan na sa tuwing ang kamay ay umabot sa alas-diyes kapag ang ebanghelisasyon ay nagsisimula, ako ay walang karapatang maghinuha na ang posisyon ng arrow ang dahilan ng paggalaw ng mga kampana.
Sa tuwing nakakakita ako ng paggalaw ng lokomotibo, nakakarinig ako ng tunog ng sipol, nakikita ko ang pagbukas ng balbula at gumagalaw ang mga gulong; ngunit mula rito ay wala akong karapatang maghinuha na ang pagsipol at ang paggalaw ng mga gulong ang dahilan ng paggalaw ng makina.
Sinasabi ng mga magsasaka na ang isang malamig na hangin ay umiihip sa huling bahagi ng tagsibol dahil ang oak bud ay nagbubukas, at sa katunayan, tuwing tagsibol isang malamig na hangin ang umiihip kapag ang oak ay nagbubukas. Ngunit kahit na hindi ko alam ang dahilan ng pag-ihip ng malamig na hangin sa panahon ng paglalahad ng oak, hindi ako sumasang-ayon sa mga magsasaka na ang sanhi ng malamig na hangin ay ang pagbuka ng usbong ng oak, dahil lamang sa lakas ng hangin. ay lampas sa impluwensya ng usbong. Nakikita ko lamang ang pagkakataon ng mga kundisyong iyon na umiiral sa bawat kababalaghan sa buhay, at nakikita ko iyon, gaano man kalaki at gaano man ka detalyado ang pagmamasid ko sa kamay ng orasan, ang balbula at mga gulong ng steam locomotive at ang usbong ng oak, hindi ko malalaman ang sanhi ng blagovest, ang paggalaw ng steam locomotive at ang spring wind. . Upang gawin ito, dapat kong ganap na baguhin ang aking punto ng pagmamasid at pag-aralan ang mga batas ng paggalaw ng singaw, kampana at hangin. Gayon din dapat ang gawin ng kasaysayan. At ang mga pagtatangka na gawin ito ay nagawa na.
Upang mapag-aralan ang mga batas ng kasaysayan, dapat nating ganap na baguhin ang object ng pagmamasid, iwanan ang mga hari, ministro at heneral na mag-isa, at pag-aralan ang homogenous, infinitesimal na elemento na gumagabay sa masa. Walang makapagsasabi kung gaano kalayo ang ibinigay sa isang tao upang makamit ang pag-unawa sa mga batas ng kasaysayan sa ganitong paraan; ngunit maliwanag na sa landas na ito ay nakasalalay lamang ang posibilidad ng pagkuha ng mga makasaysayang batas, at na sa landas na ito ang isip ng tao ay hindi pa naglalagay ng isang milyon ng pagsisikap na inilagay ng mga mananalaysay sa paglalarawan ng mga gawa ng iba't ibang mga hari, heneral at mga ministro at upang paglalahad ng kanilang mga pagsasaalang-alang sa okasyon ng mga gawaing ito. .

Ang mga puwersa ng labindalawang wika ng Europa ay pumasok sa Russia. Ang hukbo ng Russia at ang populasyon ay umatras, pag-iwas sa isang banggaan, sa Smolensk at mula sa Smolensk hanggang sa Borodino. Ang hukbong Pranses, na may patuloy na pagtaas ng lakas ng bilis, ay nagmamadali patungo sa Moscow, patungo sa layunin ng paggalaw nito. Ang lakas ng bilis nito, papalapit sa target, ay tumataas na parang pagtaas ng bilis ng pagbagsak ng katawan habang papalapit ito sa lupa. Sa likod ng isang libong milya ng isang gutom, pagalit na bansa; dose-dosenang milya sa unahan, na naghihiwalay sa layunin. Nararamdaman ito ng bawat kawal ng hukbong Napoleoniko, at ang pagsalakay ay sumusulong sa sarili nito, sa pamamagitan ng lakas ng bilis lamang.
Sa pag-atras ng hukbong Ruso, ang espiritu ng galit laban sa kaaway ay lalong sumisikat: umatras pabalik, ito ay tumutuon at lumalaki. May naganap na banggaan malapit sa Borodino. Wala sa alinmang hukbo ang nagkakawatak-watak, ngunit ang hukbong Ruso kaagad pagkatapos ng banggaan ay umatras tulad ng kinakailangang pag-ikot ng bola, na bumangga sa isa pang bolang sumugod dito nang mas tulin; at tulad ng kinakailangan (bagaman nawala ang lahat ng lakas nito sa banggaan), ang mabilis na nakakalat na bola ng pagsalakay ay gumulong sa mas maraming espasyo.

MOSCOW ENERGY INSTITUTE

(Technical University)

FACULTY OF ELECTRONIC ENGINEERING

BUOD SA PAKSA

KINETIC EQUATION NG BOLTZMANN.

NAKUMPLETO:

Korkin S.V.

GURO

Sherkunov Yu.B.

Ang ikalawang kalahati ng trabaho ay puno ng medyo kumplikadong matematika. may-akda ( [email protected], [email protected]) ay hindi itinuturing na perpekto ang term paper na ito, maaari lamang itong magsilbing panimulang punto para sa pagsulat ng isang mas perpekto (at naiintindihan) na gawain. Ang teksto ay hindi isang kopya ng aklat. Tingnan ang dulo para sa pagsuporta sa panitikan.

Ang exchange paper ay tinanggap na may markang EXL. (Ang huling bersyon ng trabaho ay medyo nawala. Iminumungkahi ko ang paggamit ng penultimate "bersyon").

Panimula……………………………………………………………………………… 3

Mga Simbolo………………………………………………………………. apat

§1 Pag-andar ng pamamahagi.

§2 Pagbangga ng mga particle.

§3 Pagtukoy sa uri ng integral ng banggaan

at ang mga equation ng Boltzmann.

§apat. Kinetic equation para sa isang mahinang inhomogeneous na gas.

Thermal conductivity ng gas.

Ilang mga kombensiyon:

n ay ang konsentrasyon ng mga particle;

d ay ang average na distansya sa pagitan ng mga particle;

V - ilang dami ng system;

P ay ang posibilidad ng ilang kaganapan;

f - function ng pamamahagi;

Panimula.

Ang mga seksyon ng physics - thermodynamics, statistical physics at physical kinetics ay nakikibahagi sa pag-aaral ng mga pisikal na proseso na nagaganap sa mga macroscopic system - mga katawan na binubuo ng isang malaking bilang ng mga microparticle. Depende sa uri ng system, ang mga naturang microparticle ay maaaring mga atom, molekula, ions, electron, photon, o iba pang mga particle. Sa ngayon, mayroong dalawang pangunahing pamamaraan para sa pag-aaral ng mga estado ng macroscopic system - thermodynamic, na nagpapakilala sa estado ng system sa pamamagitan ng macroscopic na madaling sinusukat na mga parameter (halimbawa, presyon, dami, temperatura, bilang ng mga moles o konsentrasyon ng isang sangkap) at , sa katunayan, ay hindi isinasaalang-alang ang atomic at molekular na istraktura ng isang sangkap, at isang istatistikal na paraan batay sa atomic-molecular na modelo ng system na isinasaalang-alang. Ang thermodynamic method ay hindi tatalakayin sa gawaing ito. Ayon sa mga kilalang batas ng pag-uugali ng mga particle ng system, ginagawang posible ng istatistikal na paraan upang maitatag ang mga batas ng pag-uugali ng buong macrosystem sa kabuuan. Upang pasimplehin ang problemang nalulutas, ang isang bilang ng mga pagpapalagay (pagpapalagay) tungkol sa pag-uugali ng mga microparticle ay ginawa sa istatistikal na diskarte, at, samakatuwid, ang mga resulta na nakuha ng istatistikal na pamamaraan ay wasto lamang sa loob ng mga limitasyon ng mga pagpapalagay na ginawa. Ang pamamaraang istatistika ay gumagamit ng isang probabilistikong diskarte sa paglutas ng mga problema; upang magamit ang pamamaraang ito, ang sistema ay dapat maglaman ng isang sapat na malaking bilang ng mga particle. Ang isa sa mga problema na nalutas sa pamamagitan ng istatistikal na pamamaraan ay ang derivation ng equation ng estado ng isang macroscopic system. Ang estado ng sistema ay maaaring hindi nagbabago sa paglipas ng panahon (equilibrium system) o maaaring magbago sa paglipas ng panahon (non-equilibrium system). Ang pag-aaral ng mga di-equilibrium na estado ng mga sistema at prosesong nagaganap sa mga naturang sistema ay paksa ng pisikal na kinetika.

Ang equation ng estado ng isang system na umuunlad sa oras ay isang kinetic equation, ang solusyon kung saan tinutukoy ang estado ng system sa anumang oras. Ang interes sa kinetic equation ay nauugnay sa posibilidad ng kanilang aplikasyon sa iba't ibang larangan ng pisika: sa kinetic theory ng gas, sa astrophysics, plasma physics, fluid mechanics. Sa papel na ito, isinasaalang-alang namin ang kinetic equation na hinango ng isa sa mga tagapagtatag ng statistical physics at physical kinetics, ang Austrian physicist na si Ludwig Boltzmann noong 1872 at nagtataglay ng kanyang pangalan.

§1 Pag-andar ng pamamahagi.

Upang makuha ang Boltzmann kinetic equation, isaalang-alang ang isang monatomic ideal gas, i.e. isang sapat na rarefied na gas na binubuo ng mga electroly neutral atoms o molecules. Ang tanging uri ng pakikipag-ugnayan sa pagitan ng mga particle ng isang perpektong gas ay ang mga banggaan sa pagitan ng mga molekula, na nangyayari, gayunpaman, napakadalang na ang bawat molekula ay gumagalaw nang libre halos sa lahat ng oras. Isinasaalang-alang ang mga partikulo ng gas bilang klasikal, maaari itong mapagtatalunan na mayroong dami bawat butil. Ang bilang ng mga particle bawat dami ng yunit ay ang konsentrasyon. Nangangahulugan ito na mayroong isang average na distansya sa pagitan ng mga particle (ito ay ipinapalagay na sapat na malaki kumpara sa radius ng pagkilos ng mga intermolecular na pwersa d). Kapag kinukuha ang Boltzmann equation, ginagawa namin ang mga sumusunod na pagpapalagay:

Ang mga particle ng gas ay hindi nakikilala (pareho);

Ang mga particle ay nagbabanggaan lamang sa mga pares (pabayaan ang banggaan ng tatlo o higit pang mga particle nang sabay-sabay);

Kaagad bago ang banggaan, ang mga particle ay gumagalaw sa isang tuwid na linya patungo sa isa't isa;

Ang banggaan ng mga molekula ay isang direktang sentral na nababanat na epekto;

Ang istatistikal na paglalarawan ng gas ay isinasagawa ng probability distribution function (o probability density), at ang distribution function ay hindi nagbabago sa mga distansya ng pagkakasunud-sunod ng particle collision region. Ang probability density ay tumutukoy sa posibilidad na ang ilang random variable x ay may halaga sa loob ng isang maliit na agwat ng dx tulad ng sumusunod. Ang posibilidad ng paghahanap ng x sa isang may hangganang pagitan ay tinutukoy ng pagsasama.

Ang pagpapaandar ng pamamahagi ng mga molekula ng gas ay ibinibigay sa kanilang yugto:-espasyo.

ay isang hanay ng mga pangkalahatang coordinate ng lahat ng mga molekula; - isang set ng pangkalahatang momenta ng mga molekula. Kanya-kanya

at. Tukuyin ng

dami ng elemento ng phase space ng molekula. Sa isang naibigay na elemento ng puwang ng phase, mayroong (sa karaniwan) ang bilang ng mga particle na katumbas ng (i.e., ang mga molekula ay isinasaalang-alang, ang mga halaga ng q at p na kung saan ay nasa napiling mga pagitan dq at dp). Ang pamamahagi ng function ng mga molekula ng gas ay tinukoy sa itaas sa phase space, gayunpaman, maaari itong ipahayag sa mga tuntunin ng iba pang mga variable kaysa sa pangkalahatang mga coordinate at momenta ng particle. Piliin natin ang mga argumento ng function na f.

Isinasaalang-alang ang di-equilibrium, dumadaloy sa oras, proseso ng pagbabago ng estado ng system, malinaw na dapat nating ipagpalagay na ang function ng pamamahagi ay nakasalalay sa oras. Ang gas na isinasaalang-alang ay isang hanay ng mga particle na napagkasunduan naming isaalang-alang ang klasikal.

Inilalarawan ng mga coordinate ang translational motion ng isang classical na particle

ang sentro ng grabidad ng particle at ang velocity vector o ang momentum vector (, kung saan ang m ay ang masa ng particle). Para sa isang monatomic gas, ang translational motion ay ang tanging uri ng particle motion; ang bilang ng mga antas ng kalayaan ay tatlo. Kung ang particle ay isang polyatomic molecule, kung gayon may mga karagdagang antas ng kalayaan na nauugnay sa pag-ikot ng molekula sa espasyo at ang vibration ng mga atomo sa molekula. Ang mga kondisyon para sa aplikasyon ng quantum mechanics ay maliit na masa at mataas na konsentrasyon ng mga particle, pati na rin ang mababang temperatura. Nang hindi isinasaalang-alang ang rehiyon ng mababang temperatura, isasaalang-alang namin ang pag-ikot ng paggalaw ng mga molekula ng gas bilang klasiko. Anumang classical rotational motion ay inilalarawan, una sa lahat, sa pamamagitan ng rotational moment ng mga pwersang kumikilos sa katawan. Sa ilalim ng pagkilos ng isang sandali, ang isang diatomic molecule ay nagsisimulang umikot sa isang eroplanong patayo sa moment vector. Bilang karagdagan, ang posisyon ng molekula ay nailalarawan sa pamamagitan ng anggulo ng pag-ikot ng axis ng molekula sa eroplano ng pag-ikot.

Isaalang-alang ang isang hydrogen molecule (o anumang iba pang diatomic molecule) sa T = 300 K. Ayon sa batas ng equipartition, ang bawat antas ng kalayaan (translational, rotational o vibrational) ay may, sa karaniwan, ng parehong kinetic energy na katumbas ng.

Hayaang ako ang sandali ng pagkawalang-kilos ng molekula, m ang masa, d ang average na distansya sa pagitan ng mga atomo sa molekula.

Average na kinetic energy ng pag-ikot ng isang molekula;

Sa isang segundo, ang molekula ay gumagawa (i.e. humigit-kumulang) kumpletong mga rebolusyon. Ang rate ng pagbabago sa anggulo ng pag-ikot ng axis ng isang diatomic molecule ay mataas, at lahat ng posibleng oryentasyon ng molekula sa plane of rotation ay pantay na posibilidad. Pagkatapos, kapag isinasaalang-alang ang mga tunay na pisikal na problema, ang pagpapaandar ng pamamahagi ay maaaring ituring na independyente sa oryentasyon ng molekula. Ang batas ng equipartition ay may bisa din para sa mga polyatomic molecule, na nangangahulugan na ang pagpapalagay na ginawa tungkol sa pagsasarili ng function ng pamamahagi mula sa oryentasyon ng mga molekula ng gas sa espasyo ay maaaring ituring na wasto para sa mga polyatomic na gas.

Ang oscillatory motion ng mga atom sa loob ng isang molekula ay halos palaging binibilang, at ang estado ng isang molekula bilang isang quantum system ay dapat matukoy ng mga parameter ng quantum. Sa ilalim ng normal na mga kondisyon (sa hindi masyadong mataas na temperatura), ang molekula ng gas ay nasa isang hindi nasasabik na estado na naaayon sa pangunahing (zero) na antas ng vibrational. Samakatuwid, ang mga quantum effect sa mga totoong gas sa ilalim ng normal na mga kondisyon ay maaaring mapabayaan. Dahil dito, ang distribution function ng isang klasikal na ideal na gas sa isang nonequilibrium na estado ay nakasalalay hindi lamang sa oras, kundi pati na rin sa mga coordinate ng particle.

Ipahiwatig natin sa pamamagitan ng simbolo Г ang hanay ng lahat ng mga variable kung saan nakasalalay ang function ng pamamahagi, maliban sa mga coordinate ng molekula at oras. Sa elemento ng dami ng phase, ibinubukod namin ang elementarya na volume ng tatlong-dimensional na espasyo, at tinutukoy ang natitirang bahagi nito sa pamamagitan ng simbolo na dГ. Ang mga dami dГ ay mga integral ng paggalaw na nananatiling pare-pareho para sa anumang molekula sa panahon ng malayang paggalaw nito sa pagitan ng dalawang magkasunod na banggaan. Ang libreng paggalaw ng isang molekula ay isinasagawa nang walang panlabas na impluwensya mula sa anumang panlabas na katawan o larangan. Bilang resulta ng pakikipag-ugnayan ng mga molekula sa isa't isa (sa kaganapan ng isang banggaan) o sa ilalim ng impluwensya ng isang larangan

maaaring magbago ang mga halagang ito. Ang mga coordinate ng isang molekula sa kabuuan ay nagbabago sa panahon ng malayang paggalaw nito.

Ang konsentrasyon o density ng spatial distribution ng mga gas particle ay maaaring ipahayag bilang isang integral, at ang average na bilang ng mga particle sa isang volume na elemento ay tinutukoy ng produkto. Ang elemento ng volume ay isang pisikal na maliit na volume, i.e. isang piraso ng espasyo na ang mga sukat ay maliit kumpara sa mga sukat na isinasaalang-alang sa problema. Kasabay nito, ang mga sukat ng isang maliit na dami ay malaki kumpara sa mga sukat ng mga molekula. Ang pahayag tungkol sa lokasyon ng isang molekula sa isang naibigay na elemento ng volume ay tumutukoy sa posisyon ng molekula, sa pinakamainam, hanggang sa mga distansya lamang na lumalampas sa mga sukat ng molekula mismo. Ang eksaktong pagpapasiya ng mga coordinate ng dalawang klasikal na mga particle ay ginagawang posible upang tumpak na matukoy ang kanilang mga trajectory bago at pagkatapos ng banggaan, kung mayroon man. Ang kawalan ng katiyakan ng eksaktong magkaparehong posisyon ng mga particle ay ginagawang posible na mag-aplay ng probabilistikong diskarte sa paglutas ng problema ng kanilang banggaan. Isinasaalang-alang ang isang klasikal na gas ay nagpapahiwatig na ang density

ay isang macroscopic na dami. Ang macroscopicity ay nagaganap lamang kapag ang elementary volume ay naglalaman ng sapat na malaking bilang ng mga particle (saka lamang ang pagbabago sa bilang ng mga particle sa elementary volume ay maliit sa panahon ng prosesong isinasaalang-alang); sa kasong ito, ang mga linear na sukat ng rehiyon na inookupahan ng gas ay dapat na mas malaki kaysa sa average na intermolecular na distansya.

§2 Pagbangga ng mga particle.

Isaalang-alang natin ang isang banggaan ng mga molekula, ang ilan sa mga ito ay may mga halaga ng Γ na nakahiga sa isang naibigay na pagitan, habang ang iba ay may mga halaga sa pagitan. Bilang resulta ng banggaan, nakukuha ng mga molekula ang mga halaga ng Γ sa mga pagitan, ayon sa pagkakabanggit, at. Sa ibaba, para sa kaiklian, pag-uusapan natin ang tungkol sa banggaan ng mga molekula at sa paglipat

Ang produkto ng bilang ng mga molekula sa bawat yunit ng dami ng beses ang posibilidad ng bawat molekula na bumangga sa tinukoy na paglipat ay magbibigay ng kabuuang bilang ng mga naturang banggaan bawat yunit ng dami bawat yunit ng oras. Ang posibilidad ng naturang kaganapan (ipahiwatig natin ito bilang isang tiyak na pag-andar) ay proporsyonal sa bilang ng mga molekula bawat dami ng yunit at sa mga pagitan ng mga halaga ng mga halaga ng bawat isa sa mga molekula pagkatapos ng banggaan. Kaya, ipagpalagay natin na, at ang bilang ng mga banggaan sa isang paglipat na nagaganap sa isang dami ng yunit sa bawat yunit ng oras ay nasa anyo.

(ang prime ay nagpapahiwatig ng mga huling estado, nang walang prime, ang mga inisyal). Ang posibilidad ng banggaan ay may mahalagang pag-aari, na sumusunod mula sa mga batas ng mekanika, tungkol sa pagbaliktad ng tanda ng oras. Kung ipahiwatig natin sa pamamagitan ng superscript T ang mga halaga ng lahat ng mga dami na nakuha sa pamamagitan ng pag-reverse ng time sign, kung gayon ang pagkakapantay-pantay ay magaganap.

Ang pagbaligtad ng oras ay pinapalitan ang "bago" at "pagkatapos" na mga estado, na nangangahulugang kinakailangan upang ipagpalit ang mga argumento ng function ng posibilidad. Sa partikular, ang ipinahiwatig na pagkakapantay-pantay ay wasto sa kaso ng equilibrium ng system, i.e. maaaring pagtalunan na sa ekwilibriyo ang bilang ng mga banggaan sa transisyon ay katumbas ng bilang ng mga banggaan sa transisyon (*). Tukuyin sa pamamagitan ng equilibrium distribution function at isulat

Ang produkto ng differentials ay isang elemento ng phase space na hindi nagbabago kapag binaligtad ang oras (maaaring alisin ang mga pagkakaiba sa magkabilang panig ng pagkakapantay-pantay). Ang potensyal na enerhiya ng mga molekula ay hindi rin nagbabago, at, dahil dito, ang equilibrium (Boltzmann) distribution function, na nakasalalay lamang sa enerhiya:

(2)

Ang V ay ang macroscopic velocity ng gas sa kabuuan. Sa bisa ng batas ng konserbasyon ng enerhiya sa banggaan ng dalawang molekula. Samakatuwid, maaari nating isulat ang (3)

Napansin din namin ang katotohanan na ang probability function mismo ay maaari, sa prinsipyo, ay matukoy lamang sa pamamagitan ng paglutas ng mekanikal na problema ng mga banggaan ng butil. Ang mga equation (1), (2) at (3) na nakasulat sa itaas ay magbibigay pagkatapos ng mga pagdadaglat sa (1)

Isinasaalang-alang ang pahayag (*)

Pagsasama ng huling pagkakapantay-pantay (para magamit sa mga sumusunod), nakuha namin ang kaugnayan:

§3 Derivation ng kinetic equation.

Isaalang-alang ang derivative ng function ng pamamahagi ng oras:

Kapag gumagalaw ang mga molekula ng gas sa kawalan ng panlabas na larangan, ang mga dami ng Г, bilang mga integral ng paggalaw, ay hindi nagbabago.

(ang huling termino sa expression ng derivative ay nakatakda sa zero, dahil)

(nabla operator)

Ang expression para sa derivative ay kukuha ng anyo: (6)

Ngayon hayaan ang gas sa isang panlabas na potensyal na field na kumikilos sa mga coordinate ng sentro ng grabidad ng mga molekula (halimbawa, sa isang gravitational field). At hayaang F ang puwersang kumikilos mula sa field sa particle.

Ang kanang bahagi ng pagkakapantay-pantay (6) ay ilalarawan ng. ibig sabihin ng simbolo

ang rate ng pagbabago ng function ng pamamahagi dahil sa mga banggaan, at ang halaga

ay ang pagbabago sa bawat yunit ng oras dahil sa mga banggaan ng bilang ng mga molekula sa dami ng bahagi. Ang kabuuang pagbabago sa distribution function sa isang naibigay na punto sa phase space ay maaaring isulat bilang:

(8)

Ang dami ay tinatawag na integral ng banggaan, at ang equation ng form (8) ay tinatawag na kinetic equation. Ang kinetic equation (8) ay magkakaroon lamang ng tunay na kahulugan pagkatapos matukoy ang anyo ng integral ng banggaan.

§3 Pagtukoy sa uri ng integral ng banggaan at ang equation ng Boltzmann.

Sa panahon ng banggaan ng mga molekula, mayroong pagbabago sa mga dami kung saan nakasalalay ang pagpapaandar ng pamamahagi. Isinasaalang-alang ang katotohanan na ang oras ng pagmamasid sa estado ng system at ang mga coordinate ng mga particle ay nagbabago, hindi alintana kung ang isang banggaan ng mga particle ay naganap o hindi (na nakakaapekto lamang sa likas na katangian ng pagbabago sa mga coordinate), maaari itong maging Nagtalo na ang mga halaga ng Γ ng nagbabanggaan na mga molekula ay nagbabago. Isinasaalang-alang ang isang sapat na maliit na agwat, nalaman namin na ang mga molekula ay tinanggal mula sa agwat na ito sa panahon ng isang banggaan, i.e. may mga gawa ng "pag-alis". Hayaang tumutugma ang dalawang nagbabanggaan na molekula, tulad ng dati, sa mga halaga bago at pagkatapos ng banggaan (para sa kaiklian, pinag-uusapan natin ang isang paglipat).

Ang kabuuang bilang ng mga banggaan sa transition sa itaas kasama ang lahat ng posibleng halaga

Para sa isang naibigay, na nagaganap sa bawat yunit ng oras sa dami, ay tinutukoy ng integral

Kasabay nito, nangyayari ang mga banggaan ng ibang uri (tinatawag na "mga pagdating"), bilang isang resulta kung saan ang mga molekula na may mga magnitude sa labas ng ibinigay na pagitan bago ang banggaan ay nahulog sa pagitan na ito. Ang ganitong mga paglipat ay maaaring tukuyin bilang mga sumusunod: (kasama ang lahat ng posibleng mga halaga na ibinigay). Katulad ng unang uri ng paglipat, ang kabuuang bilang ng mga naturang banggaan sa bawat yunit ng oras sa dami ay:

Bilang resulta ng lahat ng banggaan, ang pagbabago sa bilang ng mga molekula sa bawat yunit ng oras sa isang elementarya ay tinutukoy ng pagkakaiba sa pagitan ng bilang ng mga kilos ng pag-alis at ang bilang ng mga kilos ng pagdating:

(9), saan

Ang integral ng banggaan ay maaaring tukuyin bilang:

(pagbabago sa bilang ng mga particle bawat yunit ng oras sa phase volume dVdG)

Mula sa mga relasyon (8) at (9) nakukuha natin ang anyo ng integral ng banggaan

Tandaan na sa ikalawang termino ng integrand, integration over has

nauugnay lamang sa pag-andar. Ang mga kadahilanan at hindi nakasalalay sa mga variable. Pagbabago sa bahaging ito ng integral gamit ang kaugnayan (4) , nakukuha natin ang panghuling anyo ng integral ng banggaan

at ang kinetic equation

Ang resultang integral - differential equation ay tinatawag na Boltzmann equation.

Isaalang-alang ang isang time-independent distribution sa equilibrium state ng system sa kawalan ng mga panlabas na impluwensya. Ang nasabing pamamahagi ay nakatigil (hindi nakasalalay sa oras) at homogenous (hindi nagbabago sa rehiyon ng espasyo na inookupahan ng system). Ang mga ipinataw na kundisyon ay nagpapawalang-bisa sa derivative ng distribution function na may kinalaman sa oras at tatlong coordinate; ang kaliwang bahagi ng kinetic equation ay naglalaho. Ang integrand ay naglalaho dahil sa pagkakapantay-pantay (3). Dahil dito, ang pamamahagi ng ekwilibriyo sa kawalan ng mga panlabas na patlang ay nakakatugon sa kinetic equation nang magkapareho. Kung ang gas ay nasa isang equilibrium na estado sa ilalim ng pagkilos ng isang panlabas na potensyal (halimbawa, gravitational) na patlang, kung gayon ang function ng pamamahagi sa kasong ito ay natutugunan din ang kinetic equation. Sa katunayan, ang pamamahagi ng balanse ay ipinahayag sa mga tuntunin ng integral ng paggalaw, ang kabuuang enerhiya ng molekula. Ang kaliwang bahagi ng kinetic equation ay ang kabuuang derivative, na katumbas ng zero bilang derivative ng isang function depende lamang sa mga integral ng paggalaw. Ang kanang bahagi ng equation, tulad ng ipinahiwatig na, ay zero. Kaya, ang distribution function ng isang gas sa equilibrium sa isang panlabas na potensyal na field ay nakakatugon din sa kinetic equation.

Dagdagan natin ang isa pang bagay sa mga pagpapalagay na binanggit sa "Introduction": ang mga banggaan ng mga molekula ay itinuturing na mga agarang kilos na nagaganap sa isang "punto" ng espasyo. Ang kinetic equation ay naglalarawan ng isang proseso na nagaganap sa pagitan ng oras na mas mahaba kaysa sa tagal ng mga banggaan. Kasabay nito, ang lugar ng system na isinasaalang-alang ay dapat na higit na lumampas sa lugar ng pagbangga ng butil, na may mga sukat sa pagkakasunud-sunod ng radius ng pagkilos ng mga puwersa ng molekular d. Ang oras ng banggaan, sa pagkakasunud-sunod ng magnitude, ay maaaring tukuyin bilang (- ang average na bilis ng mga molekula sa gas). Ang mga halaga na nakuha ay kumakatawan sa mas mababang limitasyon ng distansya at oras, na nagpapahintulot sa aplikasyon ng kinetic equation. Ang mga totoong pisikal na problema ay hindi nangangailangan ng ganoong detalyadong paglalarawan ng proseso; Ang laki ng system at oras ng pagmamasid ay higit sa kinakailangang minimum.

Para sa isang qualitative na pagsasaalang-alang ng kinetic phenomena na nagaganap sa isang gas, ang mga magaspang na pagtatantya ng collision integral ay ginagamit sa mga tuntunin ng dalawang parameter: ang ibig sabihin ng libreng landas at ang ibig sabihin ng libreng landas. Hayaang dumaan ang molekula sa isang haba ng yunit habang gumagalaw, habang bumabangga sa mga molekula na matatagpuan sa dami ng isang tuwid na silindro ng haba ng yunit at ang lugar ng base (- ang epektibong cross section ng molekula). Ang dami na ito ay naglalaman ng mga molekula.

- average na distansya sa pagitan ng mga molekula;

Ang halaga ay ang libreng oras ng pagtakbo. Para sa isang magaspang na pagtatantya ng integral ng banggaan, maaaring gamitin ng isa ang:

Ang pagkakaiba na nakasulat sa numerator ay isinasaalang-alang ang katotohanan na ang banggaan integral ay naglalaho para sa equilibrium distribution function, at ang minus sign ay nagpapahiwatig na ang mga banggaan ay ang mekanismo para sa pagtatatag ng statistical equilibrium, i.e. may posibilidad na bawasan ang deviation ng distribution function mula sa equilibrium one (sa madaling salita, anumang system na kinuha mula sa equilibrium state na tumutugma sa minimum na internal energy ng system at iniwan sa sarili nito ay may posibilidad na bumalik sa equilibrium state).

§3 Paglipat sa macroscopic equation. Hydrodynamic equation ng continuity.

Ang kinetic equation ng Boltzmann ay nagbibigay ng mikroskopikong paglalarawan ng ebolusyon ng estado ng isang gas. Ngunit sa pagsasagawa, madalas na hindi kinakailangan na ilarawan ang mga proseso sa ganoong detalye, samakatuwid, kapag isinasaalang-alang ang mga problema ng hydrodynamics, mga problema ng mga proseso na nagaganap sa hindi homogenous o highly rarefied gas, mga problema sa thermal conductivity at diffusion ng mga gas, at marami pang iba. , makatuwirang lumipat sa hindi gaanong detalyado (at samakatuwid ay mas simple) na mga macroscopic equation. Ang nasabing paglalarawan ay naaangkop sa isang gas kung ang mga macroscopic na katangian nito (temperatura, density, konsentrasyon ng particle, presyon, atbp.) ay sapat na mabagal na nagbabago sa anumang arbitraryong piniling direksyon sa gas. Ang mga distansya kung saan mayroong isang makabuluhang pagbabago sa mga macroscopic na parameter ay dapat na higit na lumampas sa ibig sabihin ng libreng landas ng mga molekula.

Bilang halimbawa, isaalang-alang ang isang paraan para sa pagkuha ng hydrodynamic equation.

Tinutukoy ng expression ang density ng pamamahagi ng mga molekula ng gas sa espasyo (ang konsentrasyon ng mga molekula ng gas). Ang produkto ng masa ng isang molekula (pinapalagay na ang gas ay binubuo ng magkaparehong mga particle) at ang density ng pamamahagi ng mga molekula ay nagbibigay ng mass density ng gas: . Tukuyin natin sa pamamagitan ng macroscopic velocity ng gas sa kabuuan, at sa pamamagitan ng microscopic velocity ng mga molecule. Ang macroscopic speed (bilis ng paggalaw ng sentro ng masa) ay maaaring tukuyin bilang ang average na halaga ng microscopic velocities ng mga molekula

Hindi binabago ng mga banggaan ang alinman sa bilang ng mga nagbabanggaan na particle o ang kanilang kabuuang enerhiya o momentum (ang banggaan ng mga molekula ay itinuturing na isang ganap na nababanat na epekto). Ang nagbabanggaan na bahagi ng pagbabago sa function ng pamamahagi ay hindi maaaring humantong sa isang pagbabago sa density, panloob na enerhiya, bilis, at anumang iba pang mga macroscopic na parameter ng gas sa bawat isa sa mga elemento ng volume nito. Sa katunayan, ang collisional na bahagi ng pagbabago sa kabuuang bilang ng mga molekula bawat yunit ng dami ng gas ay ibinibigay ng integral na katumbas ng zero:

Bine-verify namin ang bisa ng pagkakapantay-pantay na ito sa sumusunod na paraan:

Isinasagawa ang pagsasama sa bawat isa sa mga variable, na nangangahulugan na, nang hindi binabago ang integral, posibleng palitan ang pangalan ng mga variable, halimbawa, sa pangalawang integral:

Ang huling expression ay malinaw na katumbas ng zero at, samakatuwid, ang pagkakapantay-pantay (14) ay wasto.

Isinulat namin ang kinetic equation at, pagkatapos na i-multiply ang parehong mga bahagi nito sa masa ng particle m, isinasama namin ito nang may paggalang sa:

Mula dito agad naming nakuha ang hydrodynamic continuity equation:

Sa pamamagitan ng pagtukoy ng pagbabago sa density ng likido sa differential equation na ito at sa pag-aakalang ang likido ay hindi mapipigil, ang isa ay makakakuha ng isang vector field ng mga direksyon ng bilis sa anumang punto sa likido.

§apat. Mahinang hindi homogenous na gas. Thermal conductivity ng gas.

Ang lahat ng mga tunay na pisikal na proseso ay kinakailangang magpatuloy sa ilang mga pagkalugi ng enerhiya (i.e., nangyayari ang pagwawaldas ng enerhiya - ang paglipat ng enerhiya ng iniutos na paggalaw sa enerhiya ng magulong paggalaw, halimbawa, sa thermal motion ng mga molekula ng gas). Upang isaalang-alang ang mga dissipative na proseso (thermal conductivity o lagkit) sa isang mahina na hindi homogenous na gas, kinakailangan na gamitin ang sumusunod na pagtatantya: ang distribution function sa isang maliit na lugar ng gas ay dapat ituring na hindi lokal na equilibrium, tulad ng sa kaso ng isang homogenous na gas, ngunit naiiba mula sa equilibrium sa pamamagitan ng ilang sapat na maliit (dahil ang gas ay mahina inhomogeneous) na halaga. Ang function ng pamamahagi ay kukuha ng form, at ang pagwawasto mismo ay isusulat sa form. Ang function ay dapat matugunan ang ilang mga kundisyon. Kung ang ibinigay na densidad ng bilang ng mga particle, enerhiya at momentum ng gas

mga. ang equilibrium function ay tumutugma sa mga integral, kung gayon ang nonequilibrium function ay dapat humantong sa parehong mga halaga ng mga dami na ito (ang mga integral na may at dapat na magkasabay), na nangyayari lamang kapag

Ibahin natin ang collision integral sa kinetic equation (13): pagpapalit ng mga expression para sa distribution function at correction, pag-zero sa collision integral na naglalaman ng equilibrium distribution function, pagkansela ng mga term na hindi naglalaman ng maliit na pagwawasto. Ang mga tuntunin ng unang order ay magbibigay. Ang simbolo ay ipinakilala upang tukuyin ang linear integral operator

Naglalaho ang integral na ito para sa mga function ng form

Isulat natin (nang walang derivation) ang kinetic equation para sa isang mahinang inhomogeneous na gas, na pinapanatili para sa pagsasaalang-alang ng problema ng thermal conductivity sa kaliwang bahagi ng equation ng isang termino lamang na may gradient ng temperatura.

*************************************************

§apat. Pagkalkula ng thermal conductivity ng isang monatomic gas

Upang makalkula ang thermal conductivity ng isang gas, kinakailangan upang malutas ang equation sa itaas na may gradient ng temperatura.

Hayaang maging isang vector function ng mga dami lamang. Pagkatapos ang solusyon ng equation () ay hahanapin sa form. Kapag pinapalitan ang solusyon na ito sa equation (), nakakakuha tayo ng multiplier. Ang equation () ay wasto para sa ganap na arbitrary na mga halaga ng gradient vector ng temperatura, kung gayon ang mga coefficient sa sa parehong bahagi ng pagkakapantay-pantay ay dapat na pantay. Bilang resulta, para makuha natin ang equation

Ang equation ay hindi naglalaman ng gradient ng temperatura at samakatuwid ay walang tahasang pagdepende sa mga coordinate. Ang function ay dapat na matugunan ang dating tinukoy na mga kondisyon (). Ang unang dalawang kundisyon ay malinaw na nasiyahan (ang equation () ay hindi naglalaman ng anumang mga parameter ng vector kung saan maaaring idirekta ang mga pare-parehong integral ng vector

AT). Ang ikatlong integral ay isang karagdagang kondisyon sa function na g. Kung ang kinetic equation ay nalutas at ang function

ay tinutukoy, pagkatapos ay posible na matukoy ang thermal conductivity coefficient sa pamamagitan ng pagkalkula ng enerhiya flux, mas tiyak, ang dissipative na bahagi nito, na hindi nauugnay sa convective energy transfer (tinukoy namin ang bahaging ito ng energy flux bilang ). Sa kawalan ng macroscopic motion sa isang gas, ang Q ay tumutugma sa kabuuang daloy ng enerhiya na Q, na maaaring ipahayag sa mga tuntunin ng integral.

Kung ang sistema ay nasa equilibrium, ang integral na ito ay katumbas ng zero dahil sa pagsasama sa lahat ng posibleng direksyon sa gas. Kapag nananatili ang pagpapalit sa ().

Sa mga bahagi

Dahil sa isotropy ng equilibrium gas medium, walang mga napiling direksyon dito, at ang tensor ay maaaring ipahayag lamang sa pamamagitan ng unit tensor, i.e. bumababa sa isang scalar

Kaya, ang daloy ng enerhiya ay ipinahayag bilang, kung saan ang halaga ay ang scalar coefficient ng thermal conductivity

Ang daloy ng Q ay dapat na nakadirekta sa direksyon na kabaligtaran sa gradient ng temperatura, at ang halaga, ayon sa pagkakabanggit, ay dapat na positibo, na awtomatikong ibinibigay ng kinetic equation (). Sa mga monatomic na gas, ang velocity v ay ang tanging vector kung saan nakasalalay ang function g (sa polyatomic gases, ang g ay nakasalalay hindi lamang sa velocity v, kundi pati na rin sa sandaling M). Para sa mga monatomic na gas, ang function na g ay may anyo:

.

§5. Isang halimbawa ng paglutas ng kinetic equation

Ang mga molekula ng gas ay nakikipag-ugnayan ayon sa medyo kumplikadong mga batas. Ito ay totoo lalo na para sa mga tunay na polyatomic gas. Ang mga pagpapalagay na ginawa tungkol sa likas na katangian ng pag-uugali ng mga molekula ng gas ay ginagawang posible na gawing simple ang pangangatwiran (o kahit na gawin itong posible sa prinsipyo), ngunit medyo nag-aalis sa amin mula sa katotohanan. Ang mga kumplikadong batas ng pakikipag-ugnayan ng mga molekula, na tumutukoy sa pag-andar sa integral ng banggaan, ay hindi kahit na nagpapahintulot sa amin na isulat ang Boltzmann equation para sa mga tiyak na gas sa isang eksaktong anyo. Kahit na sa pagpapasimple ng likas na pakikipag-ugnayan ng molekular, ang istraktura ng matematika ng kinetic equation ay nananatiling medyo kumplikado, at ang paghahanap ng solusyon nito sa isang analytical na anyo ay mahirap. Sa kinetic theory ng mga gas, espesyal, mas epektibo kaysa sa isang pagtatangka sa isang analytical na solusyon, ang mga pamamaraan para sa tinatayang solusyon ng Boltzmann equation ay ginagamit. Bilang halimbawa, isaalang-alang ang isang monatomic gas at ang problema ng heat conduction.

Para sa isang monatomic gas, ang kapasidad ng init. Ang paglalagay ng equation () ay ibibigay namin ang form

Ang linear integral operator na tumutugma sa collision integral () ay tinukoy ng formula

at ang equilibrium distribution function ay nasa anyo

Ang isang epektibong paraan para sa tinatayang solusyon ng equation () ay batay sa pagpapalawak ng mga nais na function sa mga tuntunin ng isang kumpletong sistema ng magkaparehong orthogonal function. Bilang tulad ng mga function, isinasaalang-alang namin ang Sonin polynomial na tinukoy ng mga formula:

Sa formula na ito, ang r ay arbitrary, at ang s ay isang positive integer o zero. Sa katapatan

Ang pag-aari ng orthogonality ng mga polynomial na ito para sa isang naibigay na index r at iba't ibang mga indeks s ay ang mga sumusunod

Hinahanap namin ang solusyon ng equation sa anyo ng sumusunod na pagpapalawak

Inaalis ang terminong may s=0 sa pagpapalawak, nakakakuha tayo ng expression na nakakatugon sa () (naglalaho ang integral dahil sa orthogonality ng mga polynomial na may iba't ibang s). Expression sa mga bracket sa kaliwang bahagi ()

meron. Ang equation () ay nasa anyo

I-multiply ito sa magkabilang panig at pagsamahin. Kumuha kami ng isang sistema ng mga algebraic equation na maaaring malutas sa isang computer:

Para sa huling expression, ang notasyon

Walang equation na may l=0, dahil dahil sa konserbasyon ng momentum

Ang thermal conductivity coefficient ay kinakalkula sa pamamagitan ng pagpapalit ng expression () sa integral (). Isinasaalang-alang ang kondisyon (), ang integral (c) ay maaaring katawanin bilang

Bilang resulta, nahanap namin

Ang pagiging epektibo ng numerical na paraan gamit ang pagpapalawak sa mga polynomial ng Sonon ay maaaring hatulan ng pagiging simple ng kanang bahagi () at ang panghuling expression (). Ang walang katapusang sistema ng mga linear algebraic equation na nakuha sa panahon ng solusyon ay nalulutas pagkatapos ng artipisyal na truncation.

Konklusyon.

Ang isinasaalang-alang na paraan para sa pagkuha ng Boltzmann kinetic equation ay medyo kasiya-siya mula sa pisikal na pananaw. Gayunpaman, ang kinetic equation ay maaari ding makuha mula sa mathematical apparatus na ginamit upang ilarawan ang paggalaw ng mga particle ng gas. Noong 1946, ang naturang konklusyon, na tinatawag na dynamic, ay ibinigay ni N. N. Bogolyubov. Ang paraan ng Bogolyubov ay nagbibigay-daan hindi lamang upang makuha ang Boltzmann equation, kundi pati na rin ang mga pagwawasto dito, i.e. mga tuntunin ng mga susunod na order sa maliit na parameter ng nilalaman ng gas. Halimbawa, ang derivation sa itaas ay isinasaalang-alang ang sabay-sabay na banggaan ng dalawang molekula lamang at ipinapalagay na ang mga banggaan ay nangyayari sa isang punto, i.e. ay lokal, at walang higit pa o hindi gaanong halatang recipe para sa pagsasaalang-alang ng mga banggaan ng mga grupo ng tatlo, apat, o higit pang mga particle. Samantala, malinaw na ang pagsasaalang-alang sa mga naturang banggaan ay pangunahing mahalaga kapag isinasaalang-alang ang mga siksik na gas. Sa koneksyon na ito, ito ay nararapat na kumuha ng isang mas mahigpit na diskarte sa derivation ng kinetic equation at sa mga posibleng generalizations nito. Ang paraan ng Bogolyubov ay nagpapahintulot sa amin na isaalang-alang

"non-locality" ng banggaan at banggaan ng higit sa dalawang particle sa tulong ng ilang partikular na termino ng pagwawasto na lumilitaw sa panahon ng derivation. Ang pagpapabaya sa mga pagwawasto ay binabawasan ang kinetic equation sa form na nakuha sa pinakasimpleng kaso.

Bibliograpiya.

1. E.M. Lifshits, L.P. Pitaevsky. Pisikal na kinetika. Science, M., 1979

2. Yu.B.Rumer, M.Sh.Ryvkin. Thermodynamics, statistical physics at kinetics.

Science, M., 1972

Strip a<< 1 «хорошим» кинетическим уравнением является уравнение Больцмана, которое несовместимо с требованием факторизации. Мы видели, что вывод уравнения Больцмана по Боголюбову предполагает только факторизацию функции F2 в «бесконечном прошлом». Рассмотрим случай β = U0/T <<; 1, что соответствует горячему газу со слабым взаимодействием между частицами, который, однако, ...

tabla; NA ang numero ni Avogadro; Ang  ay ang pinababang masa ng molekula ng electrolyte, g; сi – molar na konsentrasyon ng mga ion (сi= c0); Ang c0 ay ang paunang molar na konsentrasyon ng electrolyte. 3. Equation isomorphism Kapag isinasaalang-alang ang paggalaw sa isang larangan ng malapot na pwersa, maginhawang ipakilala ang paniwala ng mobility b. Ang kadaliang kumilos ay tinukoy bilang ang paglilimita ng bilis na nakuha ng isang katawan sa ilalim ng pagkilos ng isang puwersa na katumbas ng pagkakaisa, ibig sabihin ...

Ang intensity ng electric field at ang magnitude ng temperatura gradient kasama sa inhomogeneous term sa kaliwang bahagi. Sa bandang huli ng kabanatang ito, hahanapin natin ang mga solusyon sa kinetic equation para sa iba't ibang kaso sa pagkakasunud-sunod ng pagtaas ng pagiging kumplikado. § 7. Electrical Conductivity Hayaang isang electric field E lamang ang ipataw sa system, at ang isang pare-parehong temperatura ay mapanatili sa isang "walang katapusan" na medium. Isinasaalang-alang...

Silver Copper Iron Tin Liquid Mercury Water Acetone Benzene 0 0 0 -3 0 0 0 0 0 0 20 16 22.5 0.1765 0.1411 0.0237 0.0226 403 86.5 68.2 35.6 0.1903 ang conductivity ng . mga uri ng paglipat ng init (thermal motion energy ng microparticle) mula sa mas maiinit na bahagi ng katawan patungo sa ...