Ang pinakadakilang common divisor at ang least common multiple ay ang mga pangunahing konsepto ng arithmetic na nagbibigay-daan sa iyong madaling gumana sa mga ordinaryong fraction. LCM at kadalasang ginagamit upang mahanap ang karaniwang denominator ng ilang fraction.

Pangunahing konsepto

Ang divisor ng isang integer X ay isa pang integer Y kung saan ang X ay nahahati nang walang natitira. Halimbawa, ang divisor ng 4 ay 2, at ang 36 ay 4, 6, 9. Ang multiple ng integer X ay isang numerong Y na nahahati ng X na walang natitira. Halimbawa, ang 3 ay isang multiple ng 15, at ang 6 ay isang multiple ng 12.

Para sa anumang pares ng mga numero, mahahanap natin ang kanilang mga karaniwang divisors at multiple. Halimbawa, para sa 6 at 9, ang common multiple ay 18, at ang common divisor ay 3. Malinaw, ang mga pares ay maaaring magkaroon ng ilang divisor at multiple, kaya ang pinakamalaking divisor ng GCD at ang pinakamaliit na multiple ng LCM ay ginagamit sa mga kalkulasyon .

Ang pinakamaliit na divisor ay hindi makatwiran, dahil para sa anumang numero ito ay palaging isa. Ang pinakamalaking maramihan ay wala ring kahulugan, dahil ang pagkakasunud-sunod ng mga maramihan ay may posibilidad na walang katapusan.

Paghahanap ng GCD

Mayroong maraming mga paraan para sa paghahanap ng pinakadakilang karaniwang divisor, ang pinakasikat sa mga ito ay:

• sunud-sunod na enumeration ng mga divisors, pagpili ng mga karaniwan para sa isang pares at hanapin ang pinakamalaki sa kanila;
• agnas ng mga numero sa hindi mahahati na mga kadahilanan;
• Euclid's algorithm;
• binary algorithm.

Ngayon, sa mga institusyong pang-edukasyon, ang pinakasikat na paraan ng agnas sa mga pangunahing kadahilanan at ang Euclidean algorithm. Ang huli, sa turn, ay ginagamit sa paglutas ng mga equation ng Diophantine: ang paghahanap para sa GCD ay kinakailangan upang suriin ang equation para sa posibilidad na malutas ito sa mga integer.

Paghahanap ng NOC

Ang least common multiple ay eksaktong tinutukoy din sa pamamagitan ng enumeration o factorization sa hindi mahahati na mga salik. Bilang karagdagan, madaling mahanap ang LCM kung ang pinakamalaking divisor ay natukoy na. Para sa mga numerong X at Y, ang LCM at GCD ay nauugnay sa sumusunod na kaugnayan:

LCM(X,Y) = X × Y / GCM(X,Y).

Halimbawa, kung ang gcd(15,18) = 3, ang LCM(15,18) = 15 × 18 / 3 = 90. Ang pinaka-halatang paggamit ng LCM ay upang mahanap ang common denominator, na siyang pinakamaliit na common multiple ng binigay na mga fraction.

Mga numero ng koprime

Kung ang isang pares ng mga numero ay walang karaniwang divisors, kung gayon ang naturang pares ay tinatawag na coprime. Ang GCM para sa mga naturang pares ay palaging katumbas ng isa, at batay sa koneksyon ng mga divisors at multiple, ang GCM para sa coprime ay katumbas ng kanilang produkto. Halimbawa, ang mga numerong 25 at 28 ay coprime, dahil wala silang karaniwang divisors, at LCM(25, 28) = 700, na tumutugma sa kanilang produkto. Anumang dalawang hindi mahahati na numero ay palaging magiging coprime.

Karaniwang Divisor at Maramihang Calculator

Sa aming calculator maaari mong kalkulahin ang GCD at LCM para sa anumang bilang ng mga numerong mapagpipilian. Ang mga gawain para sa pagkalkula ng mga karaniwang divisors at multiple ay matatagpuan sa aritmetika ng mga baitang 5 at 6, gayunpaman, ang GCD at LCM ay ang mga pangunahing konsepto ng matematika at ginagamit sa teorya ng numero, planimetry at communicative algebra.

Mga halimbawa sa totoong buhay

Common denominator ng mga fraction

Ginagamit ang least common multiple kapag hinahanap ang common denominator ng ilang fraction. Ipagpalagay na sa isang problema sa aritmetika kinakailangan na magsama ng 5 fraction:

1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.

Upang magdagdag ng mga fraction, ang expression ay dapat na bawasan sa isang karaniwang denominator, na binabawasan ang problema sa paghahanap ng LCM. Upang gawin ito, pumili ng 5 numero sa calculator at ipasok ang mga halaga ng denominator sa naaangkop na mga cell. Kakalkulahin ng programa ang LCM (8, 9, 12, 15, 18) = 360. Ngayon ay kailangan mong kalkulahin ang mga karagdagang salik para sa bawat fraction, na tinukoy bilang ratio ng LCM sa denominator. Kaya ang mga dagdag na multiplier ay magiging ganito:

• 360/8 = 45
• 360/9 = 40
• 360/12 = 30
• 360/15 = 24
• 360/18 = 20.

Pagkatapos nito, i-multiply namin ang lahat ng mga fraction sa pamamagitan ng kaukulang karagdagang kadahilanan at makakuha ng:

45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.

Madali tayong magdagdag ng mga fraction at makuha ang resulta sa anyo ng 159/360. Binabawasan namin ang fraction ng 3 at makita ang huling sagot - 53/120.

Solusyon ng mga linear na Diophantine equation

Ang mga linear na Diophantine equation ay mga expression ng anyong ax + by = d. Kung ang ratio d / gcd(a, b) ay isang integer, kung gayon ang equation ay malulutas sa mga integer. Suriin natin ang ilang mga equation para sa posibilidad ng isang integer na solusyon. Una, suriin ang equation na 150x + 8y = 37. Gamit ang calculator, makikita natin ang gcd (150.8) = 2. Hatiin ang 37/2 = 18.5. Ang numero ay hindi isang integer, samakatuwid, ang equation ay walang mga integer na ugat.

Suriin natin ang equation na 1320x + 1760y = 10120. Gumamit ng calculator para mahanap ang gcd(1320, 1760) = 440. Hatiin ang 10120/440 = 23. Bilang resulta, nakakakuha tayo ng integer, samakatuwid, ang Diophantine cosolveble infficient in ay .

Konklusyon

Ang GCD at LCM ay may mahalagang papel sa teorya ng numero, at ang mga konsepto mismo ay malawakang ginagamit sa iba't ibang larangan ng matematika. Gamitin ang aming calculator upang kalkulahin ang pinakamalaking divisors at pinakamaliit na multiple ng anumang bilang ng mga numero.

Pangalawang numero: b=

Digit separator Walang space separator "´

Resulta:

Pinakamahusay na Common Divisor gcd( a,b)=6

Hindi bababa sa karaniwang multiple ng LCM( a,b)=468

Ang pinakamalaking natural na bilang kung saan ang mga numerong a at b ay nahahati nang walang natitira ay tinatawag pinakamalaking karaniwang divisor(gcd) ng mga numerong ito. Tinutukoy ang gcd(a,b), (a,b), gcd(a,b) o hcf(a,b).

Hindi bababa sa karaniwang maramihang(LCM) ng dalawang integer na a at b ay ang pinakamaliit na natural na bilang na nahahati sa a at b na walang natitira. Tinutukoy na LCM(a,b), o lcm(a,b).

Ang mga integer a at b ay tinatawag coprime kung wala silang karaniwang divisors maliban sa +1 at −1.

Pinakamahusay na Common Divisor

Hayaang magbigay ng dalawang positibong numero a 1 at a 2 1). Kinakailangang maghanap ng karaniwang divisor ng mga numerong ito, i.e. hanapin ang ganyang numero λ , na naghahati sa mga numero a 1 at a 2 sa parehong oras. Ilarawan natin ang algorithm.

1) Sa artikulong ito, ang salitang numero ay nangangahulugang isang integer.

Hayaan a 1 ≥ a 2 at hayaan

saan m 1 , a 3 ay ilang integer, a 3 <a 2 (natitira mula sa dibisyon a 1 sa a 2 ay dapat na mas mababa a 2).

Kunwari na lang λ naghahati a 1 at a 2, pagkatapos λ naghahati m 1 a 2 at λ naghahati a 1 −m 1 a 2 =a 3 (Assertion 2 ng artikulong "Divisibility of numbers. Sign of divisibility"). Ito ay sumusunod na ang bawat karaniwang divisor a 1 at a 2 ay isang karaniwang divisor a 2 at a 3 . Totoo rin ang kabaligtaran kung λ karaniwang divisor a 2 at a 3, pagkatapos m 1 a 2 at a 1 =m 1 a 2 +a 3 ay nahahati din sa λ . Kaya ang karaniwang divisor a 2 at a 3 ay isa ring karaniwang divisor a 1 at a 2. kasi a 3 <a 2 ≤a 1 , pagkatapos ay maaari naming sabihin na ang solusyon sa problema ng paghahanap ng isang karaniwang divisor ng mga numero a 1 at a 2 ay nabawasan sa isang mas simpleng problema ng paghahanap ng isang karaniwang divisor ng mga numero a 2 at a 3 .

Kung ang a 3 ≠0, pagkatapos ay maaari nating hatiin a 2 sa a 3 . Pagkatapos

,

saan m 1 at a 4 ay ilang integer, ( a 4 na natitira sa dibisyon a 2 sa a 3 (a 4 <a 3)). Sa pamamagitan ng katulad na pangangatwiran, dumating kami sa konklusyon na ang mga karaniwang divisors ng mga numero a 3 at a Ang 4 ay kapareho ng mga karaniwang divisors ng mga numero a 2 at a 3 , at gayundin sa mga karaniwang divisors a 1 at a 2. kasi a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , ... mga numero na patuloy na bumababa, at dahil may hangganan ang bilang ng mga integer sa pagitan a 2 at 0, pagkatapos ay sa ilang hakbang n, natitira sa dibisyon a n sa a n+1 ay magiging katumbas ng zero ( a n+2=0).

.

Bawat karaniwang divisor λ numero a 1 at a Ang 2 ay isa ring divisor ng mga numero a 2 at a 3 , a 3 at a 4 , .... a n at a n+1 . Totoo rin ang kabaligtaran, karaniwang mga divisors ng mga numero a n at a Ang n+1 ay mga divisors din ng mga numero a n−1 at a n , .... , a 2 at a 3 , a 1 at a 2. Ngunit ang karaniwang divisor a n at a n+1 ay isang numero a n+1 , dahil a n at a Ang n+1 ay nahahati ng a n+1 (tandaan iyon a n+2=0). Dahil dito a Ang n+1 ay isa ring divisor ng mga numero a 1 at a 2 .

Tandaan na ang numero a Ang n+1 ay ang pinakamalaking divisor ng numero a n at a n+1 , dahil ang pinakamalaking divisor a n+1 ay mismo a n+1 . Kung ang a Ang n + 1 ay maaaring katawanin bilang isang produkto ng mga integer, kung gayon ang mga numerong ito ay karaniwang mga divisors ng mga numero. a 1 at a 2. Numero a n+1 ay tinatawag pinakamalaking karaniwang divisor numero a 1 at a 2 .

Numero a 1 at a Ang 2 ay maaaring parehong positibo at negatibong mga numero. Kung ang isa sa mga numero ay katumbas ng zero, kung gayon ang pinakamalaking karaniwang divisor ng mga numerong ito ay magiging katumbas ng ganap na halaga ng isa pang numero. Ang pinakamalaking karaniwang divisor ng mga zero na numero ay hindi tinukoy.

Ang algorithm sa itaas ay tinatawag Ang algorithm ni Euclid upang mahanap ang pinakamalaking karaniwang divisor ng dalawang integer.

Isang halimbawa ng paghahanap ng pinakamalaking karaniwang divisor ng dalawang numero

Hanapin ang pinakamalaking karaniwang divisor ng dalawang numero 630 at 434.

• Hakbang 1. Hatiin ang numerong 630 sa 434. Ang natitira ay 196.
• Hakbang 2. Hatiin ang numerong 434 sa 196. Ang natitira ay 42.
• Hakbang 3. Hatiin ang numerong 196 sa 42. Ang natitira ay 28.
• Hakbang 4. Hatiin ang numero 42 sa 28. Ang natitira ay 14.
• Hakbang 5. Hatiin ang numerong 28 sa 14. Ang natitira ay 0.

Sa hakbang 5, ang natitira sa dibisyon ay 0. Samakatuwid, ang pinakamalaking karaniwang divisor ng mga numerong 630 at 434 ay 14. Tandaan na ang mga numero 2 at 7 ay mga divisors din ng mga numerong 630 at 434.

Mga numero ng koprime

Kahulugan 1. Hayaan ang pinakamalaking karaniwang divisor ng mga numero a 1 at a 2 ay katumbas ng isa. Pagkatapos ay tinawag ang mga numerong ito mga numero ng coprime na walang karaniwang divisor.

Teorama 1. Kung ang a 1 at a 2 medyo prime na numero, at λ ilang numero, pagkatapos ay anumang karaniwang divisor ng mga numero λa 1 at a Ang 2 ay isa ring karaniwang divisor ng mga numero λ at a 2 .

Patunay. Isaalang-alang ang algorithm ni Euclid para sa paghahanap ng pinakamalaking karaniwang divisor ng mga numero a 1 at a 2 (tingnan sa itaas).

.

Ito ay sumusunod mula sa mga kondisyon ng theorem na ang pinakamalaking karaniwang divisor ng mga numero a 1 at a 2 , at samakatuwid a n at a ang n+1 ay 1. I.e. a n+1=1.

I-multiply natin ang lahat ng pagkakapantay-pantay na ito λ , pagkatapos

.

Hayaan ang karaniwang divisor a 1 λ at a 2 ay δ . Pagkatapos δ pumapasok bilang isang kadahilanan sa a 1 λ , m 1 a 2 λ at sa a 1 λ -m 1 a 2 λ =a 3 λ (Tingnan ang "Divisibility of numbers", Statement 2). Dagdag pa δ pumapasok bilang isang kadahilanan sa a 2 λ at m 2 a 3 λ , at samakatuwid ay pumapasok bilang isang kadahilanan sa a 2 λ -m 2 a 3 λ =a 4 λ .

Sa pamamagitan ng pangangatwiran sa ganitong paraan, kami ay kumbinsido na δ pumapasok bilang isang kadahilanan sa a n−1 λ at m n−1 a n λ , at samakatuwid ay sa a n−1 λ −m n−1 a n λ =a n+1 λ . kasi a n+1 =1, pagkatapos δ pumapasok bilang isang kadahilanan sa λ . Kaya ang numero δ ay isang karaniwang divisor ng mga numero λ at a 2 .

Isaalang-alang ang mga espesyal na kaso ng Theorem 1.

Bunga 1. Hayaan a at c ang mga prime number ay medyo b. Tapos yung product nila ac ay isang prime number na may kinalaman sa b.

Talaga. Mula sa Theorem 1 ac at b ay may parehong mga karaniwang divisors bilang c at b. Ngunit ang mga numero c at b coprime, ibig sabihin. magkaroon ng iisang common divisor 1. Pagkatapos ac at b mayroon ding iisang karaniwang divisor 1. Samakatuwid ac at b kapwa simple.

Bunga 2. Hayaan a at b coprime numero at hayaan b naghahati ak. Pagkatapos b naghahati at k.

Talaga. Mula sa kondisyon ng paninindigan ak at b magkaroon ng isang karaniwang divisor b. Sa bisa ng Theorem 1, b dapat ay isang karaniwang divisor b at k. Dahil dito b naghahati k.

Corollary 1 ay maaaring pangkalahatan.

Bunga 3. 1. Hayaan ang mga numero a 1 , a 2 , a 3 , ..., a m ay prime na nauugnay sa bilang b. Pagkatapos a 1 a 2 , a 1 a 2 · a 3 , ..., a 1 a 2 a 3 ··· a m , ang produkto ng mga numerong ito ay prime kaugnay ng numero b.

2. Hayaan tayong magkaroon ng dalawang hanay ng mga numero

na ang bawat numero sa unang hilera ay prime sa bawat numero sa ikalawang hanay. Pagkatapos ang produkto

Kinakailangang hanapin ang mga naturang numero na nahahati sa bawat isa sa mga numerong ito.

Kung ang numero ay mahahati ng a 1 , tapos parang sa 1, saan s ilang numero. Kung ang q ay ang pinakamalaking karaniwang divisor ng mga numero a 1 at a 2, pagkatapos

saan s 1 ay ilang integer. Pagkatapos

ay hindi bababa sa karaniwang maramihang mga numero a 1 at a 2 .

a 1 at a 2 coprime, pagkatapos ay ang hindi bababa sa karaniwang maramihang ng mga numero a 1 at a 2:

Hanapin ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng mga numerong ito.

Ito ay sumusunod mula sa itaas na ang anumang maramihang ng mga numero a 1 , a 2 , a Ang 3 ay dapat na maramihang mga numero ε at a 3 at kabaliktaran. Hayaan ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng mga numero ε at a 3 ay ε isa. Dagdag pa, isang maramihang mga numero a 1 , a 2 , a 3 , a Ang 4 ay dapat na maramihang mga numero ε 1 at a apat. Hayaan ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng mga numero ε 1 at a 4 ay ε 2. Kaya, nalaman namin na ang lahat ng multiple ng mga numero a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m ay nag-tutugma sa mga multiple ng ilang partikular na numero ε n , na tinatawag na least common multiple ng mga binigay na numero.

Sa partikular na kaso kapag ang mga numero a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m coprime, pagkatapos ay ang hindi bababa sa karaniwang maramihang ng mga numero a 1 , a 2 tulad ng ipinapakita sa itaas ay may anyo (3). Dagdag pa, mula noong a 3 prime tungkol sa mga numero a 1 , a 2, pagkatapos a Ang 3 ay isang pangunahing kamag-anak na numero a isa · a 2 (Corollary 1). Kaya ang hindi bababa sa karaniwang maramihang ng mga numero a 1 ,a 2 ,a Ang 3 ay isang numero a isa · a 2 · a 3 . Ang pagtatalo sa katulad na paraan, dumating tayo sa mga sumusunod na pahayag.

Pahayag 1. Hindi bababa sa karaniwang multiple ng mga numero ng coprime a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m ay katumbas ng kanilang produkto a isa · a 2 · a 3 ··· a m .

Pahayag 2. Anumang numero na nahahati sa bawat isa sa mga numero ng coprime a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m ay nahahati din sa kanilang produkto a isa · a 2 · a 3 ··· a m .

Binibigyang-daan ka ng online na calculator na mabilis na mahanap ang pinakamalaking common divisor at least common multiple ng dalawa o anumang iba pang bilang ng mga numero.

Calculator para sa paghahanap ng GCD at NOC

Hanapin ang GCD at NOC

Nakita ang GCD at NOC: 5806

Paano gamitin ang calculator

• Maglagay ng mga numero sa input field
• Sa kaso ng pagpasok ng mga maling character, ang input field ay iha-highlight sa pula
• pindutin ang button na "Hanapin ang GCD at NOC"

Paano magpasok ng mga numero

• Ang mga numero ay ipinasok na pinaghihiwalay ng mga puwang, tuldok o kuwit
• Ang haba ng mga inilagay na numero ay hindi limitado, kaya hindi magiging mahirap ang paghahanap ng gcd at lcm ng mahahabang numero

Ano ang NOD at NOK?

Pinakamahusay na Common Divisor ng ilang mga numero ay ang pinakamalaking natural na integer kung saan ang lahat ng orihinal na mga numero ay nahahati nang walang natitira. Ang pinakadakilang karaniwang divisor ay dinaglat bilang GCD.
Hindi bababa sa karaniwang maramihang ang ilang mga numero ay ang pinakamaliit na bilang na nahahati sa bawat isa sa mga orihinal na numero nang walang natitira. Ang hindi bababa sa karaniwang maramihang ay dinaglat bilang NOC.

Paano suriin kung ang isang numero ay nahahati sa isa pang numero nang walang natitira?

Upang malaman kung ang isang numero ay nahahati sa isa pang walang natitira, maaari mong gamitin ang ilang mga katangian ng divisibility ng mga numero. Pagkatapos, sa pamamagitan ng pagsasama-sama ng mga ito, masusuri ng isa ang divisibility ng ilan sa kanila at ng kanilang mga kumbinasyon.

Ang ilang mga palatandaan ng divisibility ng mga numero

1. Tanda ng divisibility ng isang numero sa pamamagitan ng 2
Upang matukoy kung ang isang numero ay nahahati sa dalawa (kung ito ay kahit), sapat na upang tingnan ang huling digit ng numerong ito: kung ito ay katumbas ng 0, 2, 4, 6 o 8, kung gayon ang numero ay pantay, na nangangahulugan na ito ay nahahati sa 2.
Halimbawa: tukuyin kung ang numerong 34938 ay mahahati ng 2.
Solusyon: tingnan ang huling digit: 8 ay nangangahulugan na ang numero ay nahahati sa dalawa.

2. Tanda ng divisibility ng isang numero sa pamamagitan ng 3
Ang isang numero ay nahahati sa 3 kapag ang kabuuan ng mga digit nito ay nahahati sa 3. Kaya, upang matukoy kung ang isang numero ay nahahati sa 3, kailangan mong kalkulahin ang kabuuan ng mga digit at suriin kung ito ay mahahati ng 3. Kahit na ang kabuuan ng mga numero ay naging napakalaki, maaari mong ulitin ang parehong proseso muli.
Halimbawa: tukuyin kung ang numerong 34938 ay mahahati ng 3.
Solusyon: binibilang namin ang kabuuan ng mga digit: 3+4+9+3+8 = 27. Ang 27 ay nahahati sa 3, na nangangahulugan na ang numero ay nahahati sa tatlo.

3. Tanda ng divisibility ng isang numero sa pamamagitan ng 5
Ang isang numero ay nahahati sa 5 kapag ang huling digit nito ay zero o lima.
Halimbawa: tukuyin kung ang numerong 34938 ay mahahati ng 5.
Solusyon: tingnan ang huling digit: 8 ay nangangahulugan na ang numero ay HINDI nahahati sa lima.

4. Tanda ng divisibility ng isang numero sa pamamagitan ng 9
Ang sign na ito ay halos kapareho ng sign ng divisibility ng tatlo: ang isang numero ay nahahati ng 9 kapag ang kabuuan ng mga digit nito ay nahahati sa 9.
Halimbawa: tukuyin kung ang numerong 34938 ay mahahati ng 9.
Solusyon: kinakalkula namin ang kabuuan ng mga digit: 3+4+9+3+8 = 27. Ang 27 ay nahahati sa 9, na nangangahulugan na ang numero ay nahahati sa siyam.

Paano mahanap ang GCD at LCM ng dalawang numero

Paano mahanap ang GCD ng dalawang numero

Ang pinakasimpleng paraan upang kalkulahin ang pinakamalaking karaniwang divisor ng dalawang numero ay upang mahanap ang lahat ng posibleng divisors ng mga numerong iyon at piliin ang pinakamalaki sa kanila.

Isaalang-alang ang pamamaraang ito gamit ang halimbawa ng paghahanap ng GCD(28, 36):

1. Pinagsasama namin ang parehong numero: 28 = 1 2 2 7 , 36 = 1 2 2 3 3
2. Nakahanap kami ng mga karaniwang salik, iyon ay, ang parehong mga numero ay may: 1, 2 at 2.
3. Kinakalkula namin ang produkto ng mga salik na ito: 1 2 2 \u003d 4 - ito ang pinakadakilang karaniwang divisor ng mga numero 28 at 36.

Paano mahanap ang LCM ng dalawang numero

Mayroong dalawang pinakakaraniwang paraan upang mahanap ang pinakamaliit na multiple ng dalawang numero. Ang unang paraan ay maaari mong isulat ang mga unang multiple ng dalawang numero, at pagkatapos ay pumili sa kanila ng isang numero na magiging karaniwan sa parehong mga numero at sa parehong oras ang pinakamaliit. At ang pangalawa ay upang mahanap ang GCD ng mga numerong ito. Isaalang-alang na lang natin.

Upang kalkulahin ang LCM, kailangan mong kalkulahin ang produkto ng mga orihinal na numero at pagkatapos ay hatiin ito sa dating nakitang GCD. Hanapin natin ang LCM para sa parehong mga numero 28 at 36:

1. Hanapin ang produkto ng mga numero 28 at 36: 28 36 = 1008
2. Ang gcd(28, 36) ay kilala na bilang 4
3. LCM(28, 36) = 1008 / 4 = 252 .

Paghahanap ng GCD at LCM para sa Maramihang Numero

Ang pinakamalaking karaniwang divisor ay matatagpuan para sa ilang mga numero, at hindi lamang para sa dalawa. Para dito, ang mga numerong hahanapin para sa pinakamalaking karaniwang divisor ay nabubulok sa prime factor, pagkatapos ay ang produkto ng karaniwang prime factor ng mga numerong ito ay makikita. Gayundin, upang mahanap ang GCD ng ilang numero, maaari mong gamitin ang sumusunod na kaugnayan: gcd(a, b, c) = gcd(gcd(a, b), c).

Ang isang katulad na kaugnayan ay nalalapat din sa hindi bababa sa karaniwang maramihang mga numero: LCM(a, b, c) = LCM(LCM(a, b), c)

Halimbawa: hanapin ang GCD at LCM para sa mga numero 12, 32 at 36.

1. Una, i-factorize natin ang mga numero: 12 = 1 2 2 3 , 32 = 1 2 2 2 2 2 , 36 = 1 2 2 3 3 .
2. Maghanap tayo ng mga karaniwang salik: 1, 2 at 2 .
3. Ang kanilang produkto ay magbibigay ng gcd: 1 2 2 = 4
4. Ngayon, hanapin natin ang LCM: para dito ay unang hanapin natin ang LCM(12, 32): 12 32 / 4 = 96 .
5. Upang mahanap ang LCM ng lahat ng tatlong numero, kailangan mong hanapin ang GCD(96, 36): 96 = 1 2 2 2 2 2 3 , 36 = 1 2 2 3 3 , GCD = 1 2 . 2 3 = 12 .
6. LCM(12, 32, 36) = 96 36 / 12 = 288 .

Ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng dalawang numero ay direktang nauugnay sa pinakamalaking karaniwang divisor ng mga numerong iyon. Ito link sa pagitan ng GCD at NOC ay tinukoy ng sumusunod na teorama.

Teorama.

Ang hindi bababa sa karaniwang maramihang ng dalawang positibong integer a at b ay katumbas ng produkto ng mga numerong a at b na hinati ng pinakamalaking karaniwang divisor ng mga numerong a at b , iyon ay, LCM(a, b)=a b: GCM(a, b).

Patunay.

Hayaan Ang M ay ilang multiple ng mga numerong a at b. Ibig sabihin, ang M ay nahahati ng a, at sa pamamagitan ng kahulugan ng divisibility, mayroong ilang integer k na ang pagkakapantay-pantay na M=a·k ay totoo. Ngunit ang M ay nahahati din ng b, pagkatapos ang isang k ay nahahati ng b.

Tukuyin ang gcd(a, b) bilang d . Pagkatapos ay maaari nating isulat ang mga pagkakapantay-pantay na a=a 1 ·d at b=b 1 ·d, at ang a 1 =a:d at b 1 =b:d ay magiging coprime na mga numero. Samakatuwid, ang kundisyong nakuha sa nakaraang talata na ang a k ay nahahati ng b ay maaaring reformulated tulad ng sumusunod: a 1 d k ay nahahati ng b 1 d , at ito, dahil sa mga katangian ng divisibility, ay katumbas ng kondisyon na a 1 k ay nahahati sa b isa .

Kailangan din nating isulat ang dalawang mahalagang corollaries mula sa itinuturing na teorama.

Ang mga karaniwang multiple ng dalawang numero ay kapareho ng mga multiple ng kanilang hindi bababa sa karaniwang maramihang.

Totoo ito, dahil ang anumang karaniwang multiple ng M na numero a at b ay tinutukoy ng pagkakapantay-pantay na M=LCM(a, b) t para sa ilang integer value t .

Ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng coprime positive na mga numerong a at b ay katumbas ng kanilang produkto.

Ang katwiran para sa katotohanang ito ay medyo halata. Dahil ang a at b ay coprime, kung gayon gcd(a, b)=1 , samakatuwid, LCM(a, b)=a b: GCD(a, b)=a b:1=a b.

Hindi bababa sa karaniwang multiple ng tatlo o higit pang mga numero

Ang paghahanap ng hindi bababa sa karaniwang multiple ng tatlo o higit pang mga numero ay maaaring bawasan sa sunud-sunod na paghahanap ng LCM ng dalawang numero. Kung paano ito ginagawa ay ipinahiwatig sa sumusunod na teorama: a 1 , a 2 , …, a k coincide with common multiples of numbers m k-1 at a k , samakatuwid, coincided with multiples of m k . At dahil ang hindi bababa sa positibong multiple ng numerong m k ay ang numerong m k mismo, kung gayon ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng mga numerong a 1 , a 2 , …, a k ay m k .

Bibliograpiya.

• Vilenkin N.Ya. atbp. Matematika. Baitang 6: aklat-aralin para sa mga institusyong pang-edukasyon.
• Vinogradov I.M. Mga Batayan ng teorya ng numero.
• Mikhelovich Sh.Kh. Teorya ng numero.
• Kulikov L.Ya. at iba pa.Koleksyon ng mga suliranin sa algebra at teorya ng numero: Teksbuk para sa mga mag-aaral ng fiz.-mat. mga espesyalidad ng mga institusyong pedagogical.

Upang maunawaan kung paano kalkulahin ang LCM, dapat mo munang matukoy ang kahulugan ng terminong "maramihan".

Ang multiple ng A ay isang natural na numero na nahahati sa A nang walang natitira. Kaya, ang 15, 20, 25, at iba pa ay maaaring ituring na multiple ng 5.

Maaaring may limitadong bilang ng mga divisors ng isang partikular na numero, ngunit mayroong walang katapusang bilang ng mga multiple.

Ang karaniwang multiple ng mga natural na numero ay isang numero na nahahati ng mga ito nang walang natitira.

Paano mahanap ang hindi bababa sa karaniwang maramihang mga numero

Ang least common multiple (LCM) ng mga numero (dalawa, tatlo o higit pa) ay ang pinakamaliit na natural na numero na pantay na nahahati sa lahat ng numerong ito.

Upang mahanap ang NOC, maaari kang gumamit ng ilang mga pamamaraan.

Para sa maliliit na numero, maginhawang isulat ang lahat ng multiple ng mga numerong ito sa isang linya hanggang sa magkaroon ng karaniwan sa kanila. Ang mga multiple ay tinutukoy sa talaan na may malaking titik K.

Halimbawa, ang mga multiple ng 4 ay maaaring isulat ng ganito:

K(4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)

K(6) = (12, 18, 24, ...)

Kaya, makikita mo na ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng mga numero 4 at 6 ay ang numero 24. Ang entry na ito ay ginanap bilang mga sumusunod:

LCM(4, 6) = 24

Kung ang mga numero ay malaki, hanapin ang karaniwang multiple ng tatlo o higit pang mga numero, pagkatapos ay mas mahusay na gumamit ng ibang paraan upang makalkula ang LCM.

Upang makumpleto ang gawain, kinakailangan upang mabulok ang mga iminungkahing numero sa mga pangunahing kadahilanan.

Una kailangan mong isulat ang pagpapalawak ng pinakamalaking ng mga numero sa isang linya, at sa ibaba nito - ang natitira.

Sa pagpapalawak ng bawat numero, maaaring mayroong ibang bilang ng mga salik.

Halimbawa, i-factor natin ang mga numerong 50 at 20 sa prime factor.

Sa decomposition ng mas maliit na numero, dapat isa-underline ang mga salik na wala sa decomposition ng unang pinakamalaking numero, at pagkatapos ay idagdag ang mga ito dito. Sa ipinakita na halimbawa, isang deuce ang nawawala.

Ngayon ay maaari nating kalkulahin ang hindi bababa sa karaniwang maramihang ng 20 at 50.

LCM (20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100

Kaya, ang produkto ng prime factor ng mas malaking bilang at ang mga factor ng pangalawang numero, na hindi kasama sa decomposition ng mas malaking numero, ay ang pinakamaliit na common multiple.

Upang mahanap ang LCM ng tatlo o higit pang mga numero, lahat ng mga ito ay dapat na mabulok sa mga pangunahing kadahilanan, tulad ng sa nakaraang kaso.

Bilang halimbawa, mahahanap mo ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng mga numero 16, 24, 36.

36 = 2 * 2 * 3 * 3

24 = 2 * 2 * 2 * 3

16 = 2 * 2 * 2 * 2

Kaya, dalawang deuces lamang mula sa decomposition ng labing-anim ang hindi kasama sa factorization ng isang mas malaking bilang (isa ay nasa decomposition ng dalawampu't apat).

Kaya, kailangan nilang idagdag sa pagkabulok ng isang mas malaking bilang.

LCM (12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9

May mga espesyal na kaso ng pagtukoy ng hindi bababa sa karaniwang maramihang. Kaya, kung ang isa sa mga numero ay maaaring hatiin nang walang natitira sa isa pa, kung gayon ang mas malaki sa mga numerong ito ay ang hindi bababa sa karaniwang maramihang.

Halimbawa, ang mga NOC ng labindalawa at dalawampu't apat ay magiging dalawampu't apat.

Kung kinakailangan upang mahanap ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng mga numero ng coprime na walang parehong divisors, kung gayon ang kanilang LCM ay magiging katumbas ng kanilang produkto.

Halimbawa, LCM(10, 11) = 110.