Ang programa para sa paglutas ng mga linear, quadratic at fractional na hindi pagkakapantay-pantay ay hindi lamang nagbibigay ng sagot sa problema, nagbibigay ito ng isang detalyadong solusyon na may mga paliwanag, i.e. ipinapakita ang proseso ng paglutas upang masuri ang kaalaman sa matematika at / o algebra.
Bukod dito, kung sa proseso ng paglutas ng isa sa mga hindi pagkakapantay-pantay ay kinakailangan upang malutas, halimbawa, isang quadratic equation, kung gayon ang detalyadong solusyon nito ay ipinapakita din (ito ay kasama sa spoiler).
Ang programang ito ay maaaring maging kapaki-pakinabang para sa mga mag-aaral sa high school bilang paghahanda para sa mga pagsusulit, ang mga magulang upang makontrol ang solusyon ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng kanilang mga anak.
Ang program na ito ay maaaring maging kapaki-pakinabang para sa mga mag-aaral sa high school bilang paghahanda para sa mga pagsusulit at pagsusulit, kapag sinusuri ang kaalaman bago ang Pinag-isang State Exam, para sa mga magulang na kontrolin ang solusyon ng maraming problema sa matematika at algebra. O baka masyadong mahal para sa iyo na kumuha ng tutor o bumili ng mga bagong aklat-aralin? O gusto mo lang bang matapos ang iyong araling-bahay sa matematika o algebra sa lalong madaling panahon? Sa kasong ito, maaari mo ring gamitin ang aming mga programa na may detalyadong solusyon.
Sa ganitong paraan, maaari kang magsagawa ng iyong sariling pagsasanay at/o pagsasanay ng iyong mga nakababatang kapatid na lalaki o babae, habang tumataas ang antas ng edukasyon sa larangan ng mga gawaing dapat lutasin.
Mga panuntunan para sa pagpasok ng mga hindi pagkakapantay-pantay
Anumang Latin na titik ay maaaring kumilos bilang isang variable.
Halimbawa: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) atbp.
Maaaring ilagay ang mga numero bilang mga integer o fraction.
Bukod dito, ang mga fractional na numero ay maaaring ipasok hindi lamang sa anyo ng isang decimal, kundi pati na rin sa anyo ng isang ordinaryong fraction.
Mga panuntunan para sa pagpasok ng mga decimal fraction.
Sa mga decimal fraction, ang fractional na bahagi mula sa integer ay maaaring paghiwalayin ng alinman sa isang tuldok o kuwit.
Halimbawa, maaari kang maglagay ng mga decimal tulad nito: 2.5x - 3.5x^2
Mga panuntunan para sa pagpasok ng mga ordinaryong fraction.
Isang buong numero lamang ang maaaring kumilos bilang numerator, denominator at integer na bahagi ng isang fraction.
Ang denominator ay hindi maaaring negatibo.
Kapag nagpapasok ng isang numerical fraction, ang numerator ay pinaghihiwalay mula sa denominator sa pamamagitan ng isang tanda ng dibisyon: /
Ang integer na bahagi ay pinaghihiwalay mula sa fraction ng isang ampersand: &
Input: 3&1/3 - 5&6/5y +1/7y^2
Resulta: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) y + \frac(1)(7)y^2 \)
Maaaring gamitin ang mga panaklong kapag nagpapasok ng mga expression. Sa kasong ito, kapag nilulutas ang hindi pagkakapantay-pantay, ang mga expression ay unang pinasimple.
Halimbawa: 5(a+1)^2+2&3/5+a > 0.6(a-2)(a+3)
Piliin ang gustong inequality sign at ilagay ang mga polynomial sa mga field sa ibaba.
Lutasin ang sistema ng hindi pagkakapantay-pantay Napag-alaman na ang ilang mga script na kailangan upang malutas ang gawaing ito ay hindi na-load, at ang programa ay maaaring hindi gumana.
Maaaring pinagana mo ang AdBlock.
Sa kasong ito, huwag paganahin ito at i-refresh ang pahina.
Dapat paganahin ang JavaScript para lumabas ang solusyon.
Narito ang mga tagubilin kung paano paganahin ang JavaScript sa iyong browser.
kasi Maraming tao ang gustong malutas ang problema, ang iyong kahilingan ay nakapila.
Pagkatapos ng ilang segundo, lilitaw ang solusyon sa ibaba.
Maghintay, mangyaring sec...
kung ikaw napansin ang isang error sa solusyon, pagkatapos ay maaari mong isulat ang tungkol dito sa Form ng Feedback.
Huwag kalimutan ipahiwatig kung aling gawain magpasya ka kung ano pumasok sa mga patlang.
Ang aming mga laro, puzzle, emulator:
Medyo teorya.
Mga sistema ng hindi pagkakapantay-pantay na may isang hindi alam. Numeric span
Nakilala mo ang konsepto ng isang sistema sa ika-7 baitang at natutunan mo kung paano lutasin ang mga sistema ng mga linear na equation na may dalawang hindi alam. Susunod, ang mga sistema ng mga linear na hindi pagkakapantay-pantay na may isang hindi alam ay isasaalang-alang. Ang mga hanay ng solusyon ng mga sistema ng hindi pagkakapantay-pantay ay maaaring isulat gamit ang mga pagitan (mga agwat, kalahating pagitan, mga segment, sinag). Matututuhan mo rin ang tungkol sa notasyon ng mga numerical interval.
Kung sa mga hindi pagkakapantay-pantay \(4x > 2000 \) at \(5x \leq 4000 \) ang hindi kilalang numerong x ay pareho, kung gayon ang mga hindi pagkakapantay-pantay na ito ay isasaalang-alang nang magkasama at sila ay sinasabing bumubuo ng isang sistema ng hindi pagkakapantay-pantay: $$ \left\ (\begin( array)(l) 4x > 2000 \\ 5x \leq 4000 \end(array)\right.$$
Ipinapakita ng curly brace na kailangan mong hanapin ang mga naturang halaga ng x kung saan ang parehong hindi pagkakapantay-pantay ng system ay nagiging tunay na hindi pagkakapantay-pantay ng numero. Ang sistemang ito ay isang halimbawa ng isang sistema ng mga linear na hindi pagkakapantay-pantay na may isang hindi alam.
Ang solusyon ng isang sistema ng hindi pagkakapantay-pantay na may isang hindi alam ay ang halaga ng hindi alam kung saan ang lahat ng hindi pagkakapantay-pantay ng sistema ay nagiging tunay na hindi pagkakapantay-pantay ng numero. Upang malutas ang isang sistema ng hindi pagkakapantay-pantay ay nangangahulugan na hanapin ang lahat ng mga solusyon ng sistemang ito o itatag na wala.
Ang mga hindi pagkakapantay-pantay \(x \geq -2 \) at \(x \leq 3 \) ay maaaring isulat bilang dobleng hindi pagkakapantay-pantay: \(-2 \leq x \leq 3 \).
Ang mga solusyon ng mga sistema ng hindi pagkakapantay-pantay na may isang hindi alam ay magkakaibang mga hanay ng numero. Ang mga set na ito ay may mga pangalan. Kaya, sa totoong axis, ang hanay ng mga numero x na ang \(-2 \leq x \leq 3 \) ay kinakatawan ng isang segment na may mga dulo sa mga puntos -2 at 3.
| -2 | 3 |
Kung ang \(a ay isang segment at tinutukoy ng [a; b]
Kung \(isang pagitan at tinutukoy ng (a; b)
Mga hanay ng mga numero \(x \) na nagbibigay-kasiyahan sa mga hindi pagkakapantay-pantay \(a \leq x sa pamamagitan ng kalahating pagitan at tinutukoy ng [a; b) at (a; b] ayon sa pagkakabanggit
Ang mga segment, pagitan, kalahating pagitan at sinag ay tinatawag mga agwat ng numero.
Kaya, ang mga numerical na pagitan ay maaaring tukuyin sa anyo ng mga hindi pagkakapantay-pantay.
Ang isang solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay na may dalawang hindi alam ay isang pares ng mga numero (x; y) na ginagawang tunay na hindi pagkakapantay-pantay ang hindi pagkakapantay-pantay na ito. Upang malutas ang isang hindi pagkakapantay-pantay ay nangangahulugang hanapin ang hanay ng lahat ng mga solusyon nito. Kaya, ang mga solusyon ng hindi pagkakapantay-pantay x > y ay magiging, halimbawa, mga pares ng mga numero (5; 3), (-1; -1), dahil \(5 \geq 3 \) at \(-1 \geq - 1\)
Paglutas ng mga sistema ng hindi pagkakapantay-pantay
Natutunan mo na kung paano lutasin ang mga linear na hindi pagkakapantay-pantay sa isang hindi alam. Alamin kung ano ang isang sistema ng hindi pagkakapantay-pantay at isang solusyon sa sistema. Samakatuwid, ang proseso ng paglutas ng mga sistema ng hindi pagkakapantay-pantay sa isang hindi alam ay hindi magdudulot sa iyo ng anumang mga paghihirap.
Gayunpaman, naaalala namin: upang malutas ang isang sistema ng hindi pagkakapantay-pantay, kailangan mong lutasin ang bawat hindi pagkakapantay-pantay nang hiwalay, at pagkatapos ay hanapin ang intersection ng mga solusyong ito.
Halimbawa, ang orihinal na sistema ng hindi pagkakapantay-pantay ay binawasan sa anyo:
$$ \left\(\begin(array)(l) x \geq -2 \\ x \leq 3 \end(array)\right. $$
Upang malutas ang sistemang ito ng mga hindi pagkakapantay-pantay, markahan ang solusyon ng bawat hindi pagkakapantay-pantay sa totoong axis at hanapin ang kanilang intersection:
| -2 | 3 |
Ang intersection ay ang segment [-2; 3] - ito ang solusyon ng orihinal na sistema ng hindi pagkakapantay-pantay.
Patuloy kaming sumilip sa paksa ng "paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay na may isang variable". Pamilyar na tayo sa mga linear inequalities at quadratic inequalities. Ang mga ito ay mga espesyal na kaso. makatwirang hindi pagkakapantay-pantay na pag-aaralan natin ngayon. Magsimula tayo sa pamamagitan ng pag-alam kung anong uri ng hindi pagkakapantay-pantay ang tinatawag na rational. Susunod, haharapin natin ang kanilang subdivision sa integer rational at fractional rational inequalities. At pagkatapos nito ay pag-aaralan natin kung paano isinasagawa ang solusyon ng mga nakapangangatwiran na hindi pagkakapantay-pantay na may isang variable, isulat ang kaukulang mga algorithm at isaalang-alang ang mga solusyon ng mga tipikal na halimbawa na may mga detalyadong paliwanag.
Pag-navigate sa pahina.
Ano ang mga rational inequalities?
Sa paaralan, sa mga aralin sa algebra, sa sandaling lumitaw ang pag-uusap tungkol sa paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay, ang pagpupulong sa mga makatwirang hindi pagkakapantay-pantay ay nangyayari kaagad. Gayunpaman, sa una ay hindi sila tinatawag sa kanilang wastong pangalan, dahil sa yugtong ito ang mga uri ng hindi pagkakapantay-pantay ay hindi gaanong interes, at ang pangunahing layunin ay upang makakuha ng mga paunang kasanayan sa pagtatrabaho sa mga hindi pagkakapantay-pantay. Ang terminong "rational inequality" mismo ay ipinakilala sa bandang huli sa ika-9 na baitang, kapag nagsimula ang isang detalyadong pag-aaral ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng partikular na uri na ito.
Alamin natin kung ano ang mga rational inequalities. Narito ang kahulugan:
Sa tinig na kahulugan, walang sinabi tungkol sa bilang ng mga variable, na nangangahulugan na ang anumang bilang ng mga ito ay pinapayagan. Depende dito, ang mga makatwirang hindi pagkakapantay-pantay sa isa, dalawa, atbp. ay nakikilala. mga variable. Sa pamamagitan ng paraan, ang aklat-aralin ay nagbibigay ng isang katulad na kahulugan, ngunit para sa mga nakapangangatwiran na hindi pagkakapantay-pantay na may isang variable. Naiintindihan ito, dahil ang paaralan ay nakatuon sa paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay na may isang variable (sa ibaba, pag-uusapan lang din natin ang paglutas ng mga rational inequalities na may isang variable). Mga hindi pagkakapantay-pantay na may dalawang variable kaunti ang isinasaalang-alang, at ang mga hindi pagkakapantay-pantay na may tatlo o higit pang mga variable ay halos hindi binibigyang pansin.
Kaya, ang isang makatwirang hindi pagkakapantay-pantay ay maaaring makilala sa pamamagitan ng notasyon nito, para dito sapat na upang tingnan ang mga expression sa kaliwa at kanang bahagi nito at tiyakin na ang mga ito ay mga makatwirang expression. Ang mga pagsasaalang-alang na ito ay nagpapahintulot sa amin na magbigay ng mga halimbawa ng mga makatwirang hindi pagkakapantay-pantay. Halimbawa x>4 , x 3 +2 y≤5 (y−1) (x 2 +1), ay mga makatwirang hindi pagkakapantay-pantay. At hindi pagkakapantay-pantay 
ay hindi makatwiran, dahil ang kaliwang bahagi nito ay naglalaman ng variable sa ilalim ng tanda ng ugat, at, samakatuwid, ay hindi isang makatuwirang pagpapahayag. Ang hindi pagkakapantay-pantay ay hindi rin makatwiran, dahil ang parehong bahagi nito ay hindi makatuwirang mga pagpapahayag.
Para sa kaginhawahan ng karagdagang paglalarawan, ipinakilala namin ang subdivision ng mga rational inequalities sa integer at fractional.
Kahulugan.
Ang rational inequality ay tatawagin buo, kung ang parehong mga bahagi nito ay integer rational expression.
Kahulugan.
Fractionally rational inequality ay isang makatwirang hindi pagkakapantay-pantay, kahit isang bahagi nito ay isang fractional expression.
Kaya 0.5 x≤3 (2−5 y) , 
ay integer inequalities, at 1:x+3>0 at 
- fractionally rational.
Ngayon ay mayroon na tayong malinaw na pag-unawa sa kung ano ang mga rational inequalities, at maaari na nating ligtas na simulan ang pagharap sa mga prinsipyo ng paglutas ng integer at fractionally rational inequalities na may isang variable.
Paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng integer
Itakda natin sa ating sarili ang gawain: kailangan nating lutasin ang isang integer rational inequality na may isang variable x ng anyong r(x)
Inilipat namin ang expression mula sa kanang bahagi patungo sa kaliwa, na hahantong sa amin sa isang katumbas na hindi pagkakapantay-pantay ng form r(x) − s(x)<0 (≤, >, ≥) na may zero sa kanan. Malinaw, ang expression r(x)−s(x) , na nabuo sa kaliwang bahagi, ay isa ring integer, at alam na anumang . Ang pagkakaroon ng pagbabago sa expression na r(x)−s(x) sa identically equal polynomial h(x) (dito mapapansin natin na ang mga expression r(x)−s(x) at h(x) ay may parehong variable x ), pumasa tayo sa katumbas na hindi pagkakapantay-pantay h(x)<0 (≤, >, ≥).
Sa pinakasimpleng mga kaso, ang mga pagbabagong ginawa ay sapat na upang makuha ang ninanais na solusyon, dahil dadalhin tayo ng mga ito mula sa orihinal na integer na rational inequality patungo sa hindi pagkakapantay-pantay na maaari nating lutasin, halimbawa, sa isang linear o square one. Isaalang-alang ang mga halimbawa.
Halimbawa.
Maghanap ng solusyon sa buong rational inequality x·(x+3)+2·x≤(x+1) 2 +1 .
Solusyon.
Una, inililipat namin ang expression mula sa kanang bahagi sa kaliwa: x (x+3)+2 x−(x+1) 2 −1≤0. Matapos magawa ang lahat sa kaliwang bahagi, nakarating tayo sa linear inequality 3·x−2≤0 , na katumbas ng orihinal na integer inequality. Ang kanyang solusyon ay hindi mahirap:
3 x≤2 ,
x≤2/3 .
Sagot:
x≤2/3 .
Halimbawa.
Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay (x 2 +1) 2 −3 x 2 >(x 2 − x) (x 2 + x).
Solusyon.
Nagsisimula kami gaya ng dati sa pamamagitan ng paglipat ng expression mula sa kanang bahagi, at pagkatapos ay nagsasagawa kami ng mga pagbabago sa kaliwang bahagi gamit ang:
(x 2 +1) 2 −3 x 2 −(x 2 − x) (x 2 + x)>0,
x 4 +2 x 2 +1−3 x 2 −x 4 +x 2 >0,
1>0
.
Kaya, nagsasagawa ng mga katumbas na pagbabagong-anyo, dumating kami sa hindi pagkakapantay-pantay 1>0 , na totoo para sa anumang mga halaga ng variable x . At nangangahulugan ito na ang solusyon sa orihinal na hindi pagkakapantay-pantay ng integer ay anumang tunay na numero.
Sagot:
x - kahit ano.
Halimbawa.
Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay x+6+2 x 3 −2 x (x 2 +x−5)>0.
Solusyon.
Mayroong zero sa kanang bahagi, kaya walang kailangang ilipat mula dito. Ibahin natin ang buong expression sa kaliwang bahagi sa isang polynomial:
x+6+2 x 3 −2 x 3 −2 x 2 +10 x>0,
−2 x 2 +11 x+6>0 .
Nakakuha kami ng isang quadratic inequality, na katumbas ng orihinal na inequality. Malutas namin ito sa anumang paraan na alam namin. Malulutas namin ang quadratic inequality sa graphically.
Hanapin ang mga ugat ng square trinomial −2 x 2 +11 x+6 : 
Gumagawa kami ng isang guhit na eskematiko kung saan minarkahan namin ang mga nahanap na zero, at isinasaalang-alang na ang mga sanga ng parabola ay nakadirekta pababa, dahil ang nangungunang koepisyent ay negatibo: 
Dahil nilulutas namin ang hindi pagkakapantay-pantay sa > sign, interesado kami sa mga pagitan kung saan matatagpuan ang parabola sa itaas ng x-axis. Nagaganap ito sa pagitan (−0.5, 6) , at ito ang nais na solusyon.
Sagot:
(−0,5, 6) .
Sa mas kumplikadong mga kaso, sa kaliwang bahagi ng nagresultang hindi pagkakapantay-pantay h(x)<0 (≤, >, ≥) ay magiging isang polynomial ng ikatlo o mas mataas na antas. Upang malutas ang gayong mga hindi pagkakapantay-pantay, ang paraan ng pagitan ay angkop, sa unang hakbang kung saan kakailanganin mong hanapin ang lahat ng mga ugat ng polynomial h (x) , na kadalasang ginagawa sa pamamagitan ng.
Halimbawa.
Maghanap ng solusyon sa buong rational inequality (x 2 +2) (x+4)<14−9·x .
Solusyon.
Ilipat natin ang lahat sa kaliwang bahagi, pagkatapos doon at:
(x 2 +2) (x+4)−14+9 x<0
,
x 3 +4 x 2 +2 x+8−14+9 x<0
,
x 3 +4 x 2 +11 x−6<0
.
Ang mga ginawang manipulasyon ay humahantong sa atin sa isang hindi pagkakapantay-pantay na katumbas ng orihinal. Sa kaliwang bahagi nito ay isang third-degree polynomial. Maaari itong malutas gamit ang paraan ng pagitan. Upang gawin ito, una sa lahat, kailangan mong hanapin ang mga ugat ng polynomial, na nakasalalay sa x 3 +4 x 2 +11 x−6=0. Alamin natin kung ito ay may mga makatwirang ugat, na maaari lamang kabilang sa mga divisors ng libreng termino, iyon ay, sa mga bilang na ±1, ±2, ±3, ±6. Ang pagpapalit ng mga numerong ito sa halip na ang variable na x sa equation x 3 +4 x 2 +11 x−6=0 , nalaman namin na ang mga ugat ng equation ay ang mga numero 1 , 2 at 3 . Ito ay nagpapahintulot sa amin na kumatawan sa polynomial x 3 +4 x 2 +11 x−6 bilang isang produkto (x−1) (x−2) (x−3) , at ang hindi pagkakapantay-pantay x 3 +4 x 2 +11 x− 6<0 переписать как (x−1)·(x−2)·(x−3)<0 . Такой вид неравенства в дальнейшем позволит с меньшими усилиями определить знаки на промежутках.
At pagkatapos ay nananatili itong gawin ang mga karaniwang hakbang ng paraan ng agwat: markahan ang mga punto ng linya ng numero na may mga coordinate 1, 2 at 3, na hatiin ang linyang ito sa apat na agwat, matukoy at maglagay ng mga palatandaan, gumuhit ng pagpisa sa mga agwat na may minus sign. (dahil nilulutas natin ang isang hindi pagkakapantay-pantay na may isang palatandaan<) и записать ответ.
Kung saan mayroon tayong (−∞, 1)∪(2, 3) .
Sagot:
(−∞, 1)∪(2, 3) .
Dapat tandaan na kung minsan ay hindi praktikal mula sa hindi pagkakapantay-pantay r(x) − s(x)<0 (≤, >, ≥) pumasa sa hindi pagkakapantay-pantay h(x)<0 (≤, >, ≥), kung saan ang h(x) ay isang polynomial ng degree na higit sa dalawa. Nalalapat ito sa mga kaso kung saan mas mahirap i-factor ang polynomial h(x) kaysa i-represent ang expression na r(x) − s(x) bilang isang produkto ng linear binomials at square trinomals, halimbawa, sa pamamagitan ng bracketing sa common factor. Ipaliwanag natin ito sa isang halimbawa.
Halimbawa.
Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay (x 2 −2 x−1) (x 2 −19)≥2 x (x 2 −2 x−1).
Solusyon.
Ito ay isang buong hindi pagkakapantay-pantay. Kung ililipat natin ang expression mula sa kanang bahagi nito patungo sa kaliwang bahagi, pagkatapos ay buksan ang mga bracket at magdala ng mga katulad na termino, makukuha natin ang hindi pagkakapantay-pantay x 4 −4 x 3 −16 x 2 +40 x+19≥0. Ang paglutas nito ay napakahirap, dahil kabilang dito ang paghahanap ng mga ugat ng isang fourth-degree polynomial. Madaling suriin kung wala itong makatwirang mga ugat (maaaring ang mga ito ay mga numero 1, -1, 19 o -19), at may problemang hanapin ang iba pang mga ugat nito. Samakatuwid, ang landas na ito ay isang patay na dulo.
Maghanap tayo ng iba pang posibleng solusyon. Madaling makita na pagkatapos ilipat ang expression mula sa kanang bahagi ng orihinal na hindi pagkakapantay-pantay ng integer sa kaliwang bahagi, maaari nating kunin ang karaniwang kadahilanan x 2 −2 x −1 sa mga bracket:
(x 2 −2 x−1) (x 2 −19)−2 x (x 2 −2 x−1)≥0,
(x 2 −2 x−1) (x 2 −2 x−19)≥0.
Ang ginawang pagbabago ay katumbas, kaya't ang solusyon ng nagresultang hindi pagkakapantay-pantay ay magiging solusyon ng orihinal na hindi pagkakapantay-pantay.
At ngayon mahahanap natin ang mga zero ng expression na matatagpuan sa kaliwang bahagi ng nagresultang hindi pagkakapantay-pantay, para dito kailangan natin x 2 −2 x−1=0 at x 2 −2 x−19=0 . Ang kanilang mga ugat ay mga numero 
. Nagbibigay-daan ito sa amin na makapasa sa isang katumbas na hindi pagkakapantay-pantay , at malulutas namin ito sa pamamagitan ng paraan ng agwat: 
Ayon sa pagguhit, isinulat namin ang sagot.
Sagot:
Sa pagtatapos ng talatang ito, nais ko lamang idagdag na malayo sa laging posible na mahanap ang lahat ng mga ugat ng polynomial h (x) at, bilang resulta, palawakin ito sa isang produkto ng mga linear binomials at square trinomial. Sa mga kasong ito, walang paraan upang malutas ang hindi pagkakapantay-pantay h(x)<0 (≤, >, ≥), na nangangahulugan na walang paraan upang makahanap ng solusyon sa orihinal na buong rational equation.
Solusyon ng mga fractionally rational inequalities
Ngayon ay haharapin natin ang solusyon ng naturang problema: hayaang kailanganin na lutasin ang isang fractionally rational inequality na may isang variable x ng anyong r(x)
Algorithm para sa paglutas ng isang fractionally rational inequality na may isang variable r(x)
- Una, kailangan mong hanapin ang hanay ng mga katanggap-tanggap na halaga (ODV) ng variable x para sa orihinal na hindi pagkakapantay-pantay.
- Susunod, kailangan mong ilipat ang expression mula sa kanang bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay sa kaliwa, at ang expression na r(x) − s(x) na nabuo doon ay dapat ma-convert sa anyo ng isang fraction p(x)/q(x ), kung saan ang p(x) at q(x) ay mga integer na expression na mga produkto ng linear binomials, hindi nabubulok na square trinomals at ang kanilang mga kapangyarihan na may natural na exponent.
- Susunod, kailangan mong lutasin ang nagresultang hindi pagkakapantay-pantay sa pamamagitan ng paraan ng mga agwat.
- Sa wakas, mula sa solusyon na nakuha sa nakaraang hakbang, kinakailangang ibukod ang mga puntos na hindi kasama sa DPV ng x variable para sa orihinal na hindi pagkakapantay-pantay na natagpuan sa unang hakbang.
Kaya, ang nais na solusyon ng fractionally rational inequality ay makukuha.
Ang ikalawang hakbang ng algorithm ay nangangailangan ng ilang paliwanag. Ang paglilipat ng expression mula sa kanang bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay sa kaliwa ay nagbibigay ng hindi pagkakapantay-pantay r(x)−s(x)<0 (≤, >, ≥), na katumbas ng orihinal. Malinaw ang lahat dito. Ngunit ang mga tanong ay itinaas sa pamamagitan ng karagdagang pagbabago nito sa anyong p(x)/q(x)<0 (≤, >, ≥).
Ang unang tanong ay: "Palagi bang posible itong isakatuparan"? Theoretically, oo. Alam namin na kahit ano ay posible. Ang numerator at denominator ng isang rational fraction ay mga polynomial. At mula sa pangunahing theorem ng algebra at Bezout's theorem ito ay sumusunod na ang anumang polynomial ng degree n na may isang variable ay maaaring katawanin bilang isang produkto ng linear binomials. Ipinapaliwanag nito ang posibilidad na maisakatuparan ang pagbabagong ito.
Sa pagsasagawa, medyo mahirap i-factor ang mga polynomial, at kung ang kanilang degree ay mas mataas kaysa sa ikaapat, kung gayon hindi ito laging posible. Kung imposible ang factorization, walang paraan upang makahanap ng solusyon sa orihinal na hindi pagkakapantay-pantay, ngunit ang mga ganitong kaso ay karaniwang hindi nangyayari sa paaralan.
Pangalawang tanong: "Ang hindi pagkakapantay-pantay ba ay p(x)/q(x)<0
(≤, >, ≥) ay katumbas ng hindi pagkakapantay-pantay r(x)−s(x)<0
(≤, >, ≥), at samakatuwid din ang orihinal”? Maaari itong maging katumbas o hindi pantay. Katumbas ito kapag ang ODZ para sa expression na p(x)/q(x) ay pareho sa ODZ para sa expression na r(x)−s(x) . Sa kasong ito, ang huling hakbang ng algorithm ay magiging kalabisan. Ngunit ang DPV para sa expression na p(x)/q(x) ay maaaring mas malawak kaysa sa DPV para sa expression na r(x)−s(x) . Ang pagpapalawak ng ODZ ay maaaring mangyari kapag ang mga fraction ay nabawasan, tulad ng, halimbawa, kapag lumilipat mula sa 
sa . Gayundin, ang pagpapalawak ng ODZ ay maaaring mapadali sa pamamagitan ng pagbawas ng mga katulad na termino, tulad ng, halimbawa, sa paglipat mula sa 
sa . Para sa kasong ito, ang huling hakbang ng algorithm ay inilaan, na nag-aalis ng mga extraneous na solusyon na nagmumula sa pagpapalawak ng ODZ. Subaybayan natin ito kapag sinusuri natin sa ibaba ang mga solusyon ng mga halimbawa.
Patuloy naming sinusuri ang mga paraan upang malutas ang mga hindi pagkakapantay-pantay na may isang variable sa kanilang komposisyon. Napag-aralan na natin ang mga linear at quadratic inequalities, na mga espesyal na kaso ng rational inequalities. Sa artikulong ito, linawin namin kung anong uri ng mga hindi pagkakapantay-pantay ang makatwiran, sasabihin namin sa iyo kung anong mga uri ang nahahati sa kanila (integer at fractional). Pagkatapos nito, ipapakita namin kung paano lutasin ang mga ito nang tama, ibigay ang mga kinakailangang algorithm at pag-aralan ang mga partikular na problema.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Ang konsepto ng mga makatwirang pagkakapantay-pantay
Kapag ang paksa ng paglutas ng hindi pagkakapantay-pantay ay pinag-aralan sa paaralan, agad nilang kinukuha ang mga rational inequalities. Nakukuha at hinahasa nila ang mga kasanayan sa pagtatrabaho sa ganitong uri ng pagpapahayag. Bumuo tayo ng kahulugan ng konseptong ito:
Kahulugan 1
Ang rational inequality ay isang inequality na may mga variable na naglalaman ng mga rational expression sa parehong bahagi.
Tandaan na ang kahulugan ay hindi nakakaapekto sa bilang ng mga variable sa anumang paraan, na nangangahulugan na maaaring magkaroon ng arbitraryong marami sa kanila. Samakatuwid, ang mga makatwirang hindi pagkakapantay-pantay na may 1, 2, 3 o higit pang mga variable ay posible. Kadalasan, ang isang tao ay kailangang harapin ang mga expression na naglalaman lamang ng isang variable, mas madalas na dalawa, at ang mga hindi pagkakapantay-pantay na may malaking bilang ng mga variable ay karaniwang hindi isinasaalang-alang sa lahat sa loob ng balangkas ng isang kurso sa paaralan.
Kaya, matututuhan natin ang isang makatwirang hindi pagkakapantay-pantay sa pamamagitan ng pagtingin sa notasyon nito. Parehong sa kanan at sa kaliwang bahagi dapat itong magkaroon ng mga makatwirang ekspresyon. Narito ang ilang halimbawa:
x > 4 x 3 + 2 y ≤ 5 (y − 1) (x 2 + 1) 2 x x - 1 ≥ 1 + 1 1 + 3 x + 3 x 2
At narito ang isang hindi pagkakapantay-pantay ng form 5 + x + 1< x · y · z не относится к рациональным, поскольку слева у него есть переменная под знаком корня.
Ang lahat ng rational inequalities ay nahahati sa integer at fractional.
Kahulugan 2
Ang isang integer rational equality ay binubuo ng integer rational expression (sa parehong bahagi).
Kahulugan 3
Fractionally rational equality- ito ay isang pagkakapantay-pantay na naglalaman ng fractional expression sa isa o pareho ng mga bahagi nito.
Halimbawa, ang mga hindi pagkakapantay-pantay ng anyong 1 + x - 1 1 3 2 2 + 2 3 + 2 11 - 2 1 3 x - 1 > 4 - x 4 at 1 - 2 3 5 - y > 1 x 2 - y 2 ay fractional rational at 0 .5 x ≤ 3 (2 − 5 y) at 1: x + 3 > 0- buo.
Nasuri namin kung ano ang mga makatwirang hindi pagkakapantay-pantay at natukoy ang kanilang mga pangunahing uri. Maaari tayong magpatuloy sa isang pangkalahatang-ideya kung paano lutasin ang mga ito.
Ipagpalagay na kailangan nating maghanap ng mga solusyon sa isang integer na rational inequality r(x)< s (x) , na kinabibilangan lamang ng isang variable x . Kung saan r(x) at s(x) ay anumang integer rational na mga numero o expression, at ang inequality sign ay maaaring iba. Upang malutas ang gawaing ito, kailangan nating baguhin ito at makakuha ng katumbas na pagkakapantay-pantay.
Magsimula tayo sa pamamagitan ng paglipat ng expression mula sa kanang bahagi patungo sa kaliwa. Nakukuha namin ang sumusunod:
ng anyong r (x) − s (x)< 0 (≤ , > , ≥)
Alam natin yan r(x) − s(x) ay magiging isang integer na halaga, at anumang integer na expression ay maaaring ma-convert sa isang polynomial. Magtransform tayo r(x) − s(x) sa h(x) . Ang expression na ito ay magiging isang magkaparehong polynomial. Isinasaalang-alang na ang r (x) − s (x) at h (x) ay may parehong hanay ng mga posibleng halaga ng x, maaari nating ipasa ang mga hindi pagkakapantay-pantay h (x)< 0 (≤ , >, ≥), na magiging katumbas ng orihinal.
Kadalasan ang gayong simpleng pagbabago ay sapat na upang malutas ang hindi pagkakapantay-pantay, dahil ang resulta ay maaaring isang linear o quadratic na hindi pagkakapantay-pantay, ang halaga nito ay hindi mahirap kalkulahin. Tingnan natin ang mga isyung ito.
Halimbawa 1
Kundisyon: lutasin ang isang integer rational inequality x (x + 3) + 2 x ≤ (x + 1) 2 + 1.
Solusyon
Magsimula tayo sa pamamagitan ng paglilipat ng expression mula sa kanang bahagi patungo sa kaliwang bahagi na may kabaligtaran na tanda.
x (x + 3) + 2 x − (x + 1) 2 − 1 ≤ 0
Ngayon na nakumpleto na natin ang lahat ng mga operasyon na may mga polynomial sa kaliwa, maaari tayong magpatuloy sa linear inequality. 3 x − 2 ≤ 0, katumbas ng ibinigay sa kondisyon. Ang paglutas nito ay madali:
3 x ≤ 2 x ≤ 2 3
Sagot: x ≤ 2 3 .
Halimbawa 2
Kundisyon: humanap ng solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay (x 2 + 1) 2 - 3 x 2 > (x 2 - x) (x 2 + x).
Solusyon
Inilipat namin ang expression mula sa kaliwang bahagi patungo sa kanang bahagi at nagsasagawa ng mga karagdagang pagbabago gamit ang mga pinaikling formula ng multiplikasyon.
(x 2 + 1) 2 − 3 x 2 − (x 2 − x) (x 2 + x) > 0 x 4 + 2 x 2 + 1 − 3 x 2 − x 4 + x 2 > 0 1 > 0
Bilang resulta ng aming mga pagbabago, nakakuha kami ng hindi pagkakapantay-pantay na magiging totoo para sa anumang mga halaga ng x, samakatuwid, anumang tunay na numero ay maaaring maging solusyon sa orihinal na hindi pagkakapantay-pantay.
Sagot: anumang tunay na numero.
Halimbawa 3
Kundisyon: lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay x + 6 + 2 x 3 − 2 x (x 2 + x − 5) > 0.
Solusyon
Hindi kami maglilipat ng anuman mula sa kanang bahagi, dahil mayroong 0 . Magsimula tayo kaagad sa pamamagitan ng pag-convert sa kaliwang bahagi sa isang polynomial:
x + 6 + 2 x 3 − 2 x 3 − 2 x 2 + 10 x > 0 − 2 x 2 + 11 x + 6 > 0 .
Nakakuha kami ng quadratic inequality na katumbas ng orihinal, na madaling malutas sa pamamagitan ng ilang mga pamamaraan. Gamitin natin ang graphical na pamamaraan.
Magsimula tayo sa pamamagitan ng pagkalkula ng mga ugat ng square trinomial − 2 x 2 + 11 x + 6:
D \u003d 11 2 - 4 (- 2) 6 \u003d 169 x 1 \u003d - 11 + 169 2 - 2, x 2 \u003d - 11 - 169 2 - 2 x 1 \u003d - 0, 5, x u003d 6
Ngayon sa diagram ay minarkahan namin ang lahat ng kinakailangang mga zero. Dahil ang nangungunang coefficient ay mas mababa sa zero, ang mga sangay ng parabola sa graph ay titingin sa ibaba.
Kakailanganin namin ang isang parabola area na matatagpuan sa itaas ng abscissa axis, dahil mayroon kaming > sign sa hindi pagkakapantay-pantay. Ang nais na pagitan ay (− 0 , 5 , 6) , samakatuwid, ang hanay ng mga halaga na ito ang magiging solusyon na kailangan namin.
Sagot: (− 0 , 5 , 6) .
Mayroon ding mas kumplikadong mga kaso kapag ang isang polynomial ng pangatlo o mas mataas na antas ay nakuha sa kaliwa. Upang malutas ang gayong hindi pagkakapantay-pantay, inirerekumenda na gamitin ang paraan ng agwat. Una naming kalkulahin ang lahat ng mga ugat ng polynomial h(x), na kadalasang ginagawa sa pamamagitan ng pag-factor ng polynomial.
Halimbawa 4
Kundisyon: magcompute (x 2 + 2) (x + 4)< 14 − 9 · x .
Solusyon
Magsimula tayo, gaya ng dati, sa pamamagitan ng paglipat ng expression sa kaliwang bahagi, pagkatapos nito ay kinakailangan upang buksan ang mga bracket at bawasan ang mga katulad na termino.
(x 2 + 2) (x + 4) − 14 + 9 x< 0 x 3 + 4 · x 2 + 2 · x + 8 − 14 + 9 · x < 0 x 3 + 4 · x 2 + 11 · x − 6 < 0
Bilang resulta ng mga pagbabagong-anyo, nakakuha kami ng pagkakapantay-pantay na katumbas ng orihinal, sa kaliwa kung saan mayroong isang polynomial ng ikatlong antas. Inilapat namin ang paraan ng pagitan upang malutas ito.
Una, kinakalkula namin ang mga ugat ng polynomial, kung saan kailangan nating lutasin ang cubic equation x 3 + 4 x 2 + 11 x - 6 = 0. Mayroon ba itong makatwirang mga ugat? Maaari lamang silang maging kabilang sa mga divisors ng libreng termino, i.e. sa mga numero ± 1 , ± 2 , ± 3 , ± 6 . Pinapalitan namin ang mga ito sa orihinal na equation at nalaman na ang mga numero 1, 2 at 3 ang magiging mga ugat nito.
Kaya ang polynomial x 3 + 4 x 2 + 11 x − 6 maaaring ilarawan bilang isang produkto (x − 1) (x − 2) (x − 3), at hindi pagkakapantay-pantay x 3 + 4 x 2 + 11 x − 6< 0 maaaring iharap bilang (x − 1) (x − 2) (x − 3)< 0 . Sa ganitong uri ng hindi pagkakapantay-pantay, magiging mas madali para sa atin na matukoy ang mga palatandaan sa mga pagitan.
Susunod, ginagawa namin ang natitirang mga hakbang ng paraan ng agwat: gumuhit ng isang linya ng numero at mga puntos dito na may mga coordinate 1 , 2 , 3 . Hinahati nila ang tuwid na linya sa 4 na pagitan kung saan kinakailangan upang matukoy ang mga palatandaan. Inilalagay namin ang mga puwang ng isang minus, dahil ang orihinal na hindi pagkakapantay-pantay ay may palatandaan < .
Kailangan lang nating isulat ang handa na sagot: (− ∞ , 1) ∪ (2 , 3) .
Sagot: (− ∞ , 1) ∪ (2 , 3) .
Sa ilang mga kaso, gawin ang paglipat mula sa hindi pagkakapantay-pantay r (x) − s (x)< 0 (≤ , >, ≥) hanggang h (x)< 0 (≤ , >, ≥), saan h(x)– ang isang polynomial na mas mataas sa 2 ay hindi naaangkop. Ito ay umaabot sa mga kaso kung saan mas madaling katawanin ang r(x) − s(x) bilang isang produkto ng linear binomials at square trinomals kaysa sa pag-factor ng h(x) sa magkahiwalay na mga salik. Tingnan natin ang problemang ito.
Halimbawa 5
Kundisyon: humanap ng solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay (x 2 − 2 x − 1) (x 2 − 19) ≥ 2 x (x 2 − 2 x − 1).
Solusyon
Nalalapat ang hindi pagkakapantay-pantay na ito sa mga integer. Kung ililipat namin ang expression mula sa kanang bahagi patungo sa kaliwa, buksan ang mga bracket at isagawa ang pagbabawas ng mga termino, makukuha namin x 4 − 4 x 3 − 16 x 2 + 40 x + 19 ≥ 0 .
Ang paglutas ng gayong hindi pagkakapantay-pantay ay hindi madali, dahil kailangan mong hanapin ang mga ugat ng isang fourth-degree polynomial. Wala itong anumang makatwirang ugat (halimbawa, 1 , − 1 , 19 o − 19 hindi magkasya), at mahirap maghanap ng iba pang mga ugat. Kaya hindi natin magagamit ang pamamaraang ito.
Ngunit mayroon ding iba pang mga solusyon. Kung ililipat namin ang mga expression mula sa kanang bahagi ng orihinal na hindi pagkakapantay-pantay sa kaliwang bahagi, pagkatapos ay maaari naming gawin ang bracketing ng karaniwang kadahilanan x 2 − 2 x − 1:
(x 2 − 2 x − 1) (x 2 − 19) − 2 x (x 2 − 2 x − 1) ≥ 0 (x 2 − 2 x − 1) (x 2 − 2 · x) − 19 .
Nakakuha kami ng hindi pagkakapantay-pantay na katumbas ng orihinal, at ang solusyon nito ay magbibigay sa amin ng kinakailangang sagot. Hanapin ang mga zero ng expression sa kaliwang bahagi, kung saan malulutas namin ang mga quadratic equation x 2 − 2 x − 1 = 0 at x 2 − 2 x − 19 = 0. Ang kanilang mga ugat ay 1 ± 2 , 1 ± 2 5 . Bumaling tayo sa pagkakapantay-pantay x - 1 + 2 x - 1 - 2 x - 1 + 2 5 x - 1 - 2 5 ≥ 0 , na maaaring malutas sa pamamagitan ng paraan ng pagitan:
Ayon sa larawan, ang sagot ay - ∞ , 1 - 2 5 ∪ 1 - 2 5 , 1 + 2 ∪ 1 + 2 5 , + ∞ .
Sagot: - ∞ , 1 - 2 5 ∪ 1 - 2 5 , 1 + 2 ∪ 1 + 2 5 , + ∞ .
Idinagdag namin na kung minsan ay hindi posible na mahanap ang lahat ng mga ugat ng isang polynomial h(x), samakatuwid, hindi namin ito maaaring katawanin bilang isang produkto ng linear binomials at square trinomals. Pagkatapos ay lutasin ang isang hindi pagkakapantay-pantay ng anyong h (x)< 0 (≤ , >, ≥) hindi natin kaya, samakatuwid, imposible ring lutasin ang orihinal na rational inequality.
Ipagpalagay na kailangan nating lutasin ang mga fractionally rational inequalities ng form r (x)< s (x) (≤ , >, ≥), kung saan ang r (x) at s(x) ay mga makatwirang ekspresyon, ang x ay isang variable. Hindi bababa sa isa sa mga tinukoy na expression ay magiging fractional. Ang algorithm ng solusyon sa kasong ito ay ang mga sumusunod:
- Tinutukoy namin ang hanay ng mga katanggap-tanggap na halaga para sa variable x .
- Inilipat namin ang expression mula sa kanang bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay sa kaliwa, at ang nagresultang expression r(x) − s(x) kinakatawan bilang isang fraction. Samantala, saan p(x) at q(x) ay mga integer na expression na mga produkto ng linear binomials, hindi nabubulok na square trinomals, at mga kapangyarihan na may natural na exponent.
- Susunod, malulutas namin ang nagresultang hindi pagkakapantay-pantay sa pamamagitan ng paraan ng pagitan.
- Ang huling hakbang ay upang ibukod ang mga puntos na nakuha sa panahon ng solusyon mula sa hanay ng mga katanggap-tanggap na halaga para sa x variable na tinukoy namin sa simula.
Ito ang algorithm para sa paglutas ng isang fractionally rational inequality. Karamihan sa mga ito ay malinaw, ang maliliit na paliwanag ay kinakailangan lamang para sa talata 2. Inilipat namin ang expression mula sa kanang bahagi patungo sa kaliwa at nakuha ang r (x) − s (x)< 0 (≤ , >, ≥), at pagkatapos ay kung paano ito dalhin sa form na p (x) q (x)< 0 (≤ , > , ≥) ?
Una, tinutukoy namin kung ang isang ibinigay na pagbabago ay palaging maisasagawa. Sa teorya, palaging may ganitong posibilidad, dahil ang anumang makatwirang pagpapahayag ay maaaring ma-convert sa isang rational fraction. Narito mayroon kaming isang fraction na may mga polynomial sa numerator at denominator. Alalahanin ang pangunahing theorem ng algebra at Bezout's theorem at tukuyin na ang anumang polynomial ng nth degree na naglalaman ng isang variable ay maaaring gawing produkto ng linear binomials. Samakatuwid, sa teorya, maaari nating palaging baguhin ang expression sa ganitong paraan.
Sa pagsasagawa, ang pag-factor ng mga polynomial ay kadalasang isang mahirap na gawain, lalo na kung ang antas ay mas mataas sa 4. Kung hindi natin maisagawa ang pagpapalawak, hindi natin malulutas ang hindi pagkakapantay-pantay na ito, ngunit ang mga ganitong problema ay karaniwang hindi pinag-aaralan sa loob ng balangkas ng kurso sa paaralan.
Susunod, kailangan nating magpasya kung ang nagresultang hindi pagkakapantay-pantay p (x) q (x)< 0 (≤ , >, ≥) katumbas ng r (x) − s (x)< 0 (≤ , >, ≥) at sa orihinal. May posibilidad na ito ay maaaring maging hindi pantay.
Ang pagkakapantay-pantay ng hindi pagkakapantay-pantay ay masisiguro kapag ang hanay ng mga katanggap-tanggap na halaga p(x)q(x) tumutugma sa saklaw ng expression r(x) − s(x). Pagkatapos ang huling talata ng mga tagubilin para sa paglutas ng mga fractionally rational inequalities ay hindi kailangang sundin.
Ngunit ang saklaw para sa p(x)q(x) maaaring mas malawak kaysa sa r(x) − s(x), halimbawa, sa pamamagitan ng pagbabawas ng mga fraction. Ang isang halimbawa ay mula sa x x - 1 3 x - 1 2 x + 3 hanggang x x - 1 x + 3 . O maaaring mangyari ito kapag nagdaragdag ng mga katulad na termino, halimbawa, dito:
x + 5 x - 2 2 x - x + 5 x - 2 2 x + 1 x + 3 hanggang 1 x + 3
Para sa mga ganitong kaso, ang huling hakbang ng algorithm ay idinagdag. Sa pamamagitan ng pagpapatupad nito, aalisin mo ang mga extraneous na halaga ng variable na lumitaw dahil sa pagpapalawak ng hanay ng mga wastong halaga. Kumuha tayo ng ilang halimbawa para mas maging malinaw kung ano ang pinag-uusapan natin.
Halimbawa 6
Kundisyon: humanap ng mga solusyon sa rasyonal na pagkakapantay-pantay x x + 1 x - 3 + 4 x - 3 2 ≥ - 3 x x - 3 2 x + 1 .
Solusyon
Kumilos kami ayon sa algorithm na ipinahiwatig sa itaas. Una, tinutukoy namin ang hanay ng mga katanggap-tanggap na halaga. Sa kasong ito, ito ay tinutukoy ng sistema ng hindi pagkakapantay-pantay x + 1 x - 3 ≠ 0 x - 3 2 ≠ 0 x - 3 2 (x + 1) ≠ 0 , ang solusyon kung saan ay ang set (− ∞ , − 1) ∪ (− 1 , 3) ∪ (3 , + ∞) .
x x + 1 x - 3 + 4 (x - 3) 2 + 3 x (x - 3) 2 (x + 1) ≥ 0
Pagkatapos nito, kailangan nating baguhin ito upang ito ay maginhawa upang ilapat ang paraan ng agwat. Una sa lahat, binabawasan namin ang mga algebraic fraction sa pinakamaliit na common denominator (x − 3) 2 (x + 1):
x x + 1 x - 3 + 4 (x - 3) 2 + 3 x (x - 3) 2 (x + 1) = = x x - 3 + 4 x + 1 + 3 x x - 3 2 x + 1 = x 2 + 4 x + 4 (x - 3) 2 (x + 1)
I-collapse namin ang expression sa numerator sa pamamagitan ng paglalapat ng formula ng parisukat ng kabuuan:
x 2 + 4 x + 4 x - 3 2 x + 1 = x + 2 2 x - 3 2 x + 1
Ang saklaw ng mga wastong halaga ng resultang expression ay (− ∞ , − 1) ∪ (− 1 , 3) ∪ (3 , + ∞) . Nakikita natin na ito ay katulad ng isa na tinukoy para sa orihinal na pagkakapantay-pantay. Napagpasyahan namin na ang hindi pagkakapantay-pantay x + 2 2 x - 3 2 x + 1 ≥ 0 ay katumbas ng orihinal, na nangangahulugan na hindi namin kailangan ang huling hakbang ng algorithm.
Ginagamit namin ang paraan ng pagitan:
Nakikita natin ang solusyon ( − 2 ) ∪ (− 1 , 3) ∪ (3 , + ∞) , na magiging solusyon sa orihinal na rational inequality x x + 1 x - 3 + 4 x - 3 2 ≥ - 3 x (x - 3 ) 2 · (x + 1) .
Sagot: { − 2 } ∪ (− 1 , 3) ∪ (3 , + ∞) .
Halimbawa 7
Kundisyon: kalkulahin ang solusyon x + 3 x - 1-3 x x + 2 + 2 x - 1 > 1 x + 1 + 2 x + 2 x 2-1 .
Solusyon
Tinutukoy namin ang lugar ng mga tinatanggap na halaga. Sa kaso ng hindi pagkakapantay-pantay na ito, ito ay magiging katumbas ng lahat ng tunay na numero maliban sa − 2 , − 1 , 0 at 1 .
Inilipat namin ang mga expression mula sa kanang bahagi sa kaliwa:
x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 x 2 - 1 > 0
x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 = x + 3 - x - 3 x x + 2 = 0 x x + 2 = 0 x + 2 = 0
Dahil sa resulta, isinusulat namin:
x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 x 2 - 1 = = 0 + 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 x 2 - 1 = = 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 x 2 - 1 = = 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 (x + 1) x - 1 = = - x - 1 (x + 1) x - 1 = - x + 1 (x + 1) x - 1 = - 1 x - 1
Para sa expression - 1 x - 1, ang hanay ng mga wastong halaga ay ang hanay ng lahat ng tunay na numero maliban sa isa. Nakikita namin na ang hanay ng mga halaga ay lumawak: − 2 , − 1 at 0 . Kaya, kailangan nating gawin ang huling hakbang ng algorithm.
Dahil nakarating na tayo sa hindi pagkakapantay-pantay - 1 x - 1 > 0 , maaari nating isulat ang katumbas nito na 1 x - 1< 0 . С помощью метода интервалов вычислим решение и получим (− ∞ , 1) .
Ibinubukod namin ang mga puntos na hindi kasama sa hanay ng mga katanggap-tanggap na halaga ng orihinal na pagkakapantay-pantay. Kailangan nating ibukod mula sa (− ∞ , 1) ang mga numerong − 2 , − 1 at 0 . Kaya, ang solusyon ng rational inequality x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 > 1 x + 1 + 2 x + 2 x 2 - 1 ay magiging mga halaga (− ∞ , − 2 ) ∪ (− 2 , − 1) ∪ (− 1, 0) ∪ (0 , 1) .
Sagot: (− ∞ , − 2) ∪ (− 2 , − 1) ∪ (− 1 , 0) ∪ (0 , 1) .
Sa konklusyon, nagbibigay kami ng isa pang halimbawa ng isang problema kung saan ang huling sagot ay nakasalalay sa hanay ng mga tinatanggap na halaga.
Halimbawa 8
Kundisyon: hanapin ang solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay 5 + 3 x 2 x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 ≥ 0 .
Solusyon
Ang lugar ng mga tinatanggap na halaga ng hindi pagkakapantay-pantay na tinukoy sa kondisyon ay tinutukoy ng system x 2 ≠ 0 x 2 - x + 1 ≠ 0 x - 1 ≠ 0 x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 ≠ 0.
Ang sistemang ito ay walang solusyon dahil
x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 = = (x + 1) x 2 - x + 1 x 2 - x + 1 - (x - 1) x + 1 x - 1 = = x + 1 - (x + 1) = 0
Nangangahulugan ito na ang orihinal na pagkakapantay-pantay 5 + 3 x 2 x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 ≥ 0 ay walang solusyon, dahil walang ganoong mga halaga ng variable kung saan ito gagawin magkaroon ng kahulugan.
Sagot: walang solusyon.
Kung may napansin kang pagkakamali sa text, mangyaring i-highlight ito at pindutin ang Ctrl+Enter
Sa artikulong isasaalang-alang natin solusyon ng hindi pagkakapantay-pantay. Pag-usapan natin ng malinaw kung paano bumuo ng isang solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay na may malinaw na mga halimbawa!
Bago isaalang-alang ang solusyon ng mga hindi pagkakapantay-pantay na may mga halimbawa, harapin natin ang mga pangunahing konsepto.
Panimula sa hindi pagkakapantay-pantay
hindi pagkakapantay-pantay ay tinatawag na expression kung saan ang mga function ay konektado sa pamamagitan ng relation signs >, . Ang mga hindi pagkakapantay-pantay ay maaaring parehong numerical at alphabetic.
Ang mga hindi pagkakapantay-pantay na may dalawang palatandaan ng kaugnayan ay tinatawag na doble, na may tatlo - triple, atbp. Halimbawa:
a(x) > b(x),
a(x) a(x) b(x),
a(x) b(x).
a(x) Ang mga hindi pagkakapantay-pantay na naglalaman ng sign > o o hindi mahigpit.
Solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay ay anumang halaga ng variable kung saan totoo ang hindi pagkakapantay-pantay na ito.
"Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay" nangangahulugan na kailangan mong hanapin ang hanay ng lahat ng mga solusyon nito. Mayroong iba't-ibang mga pamamaraan para sa paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay. Para sa mga solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay gumamit ng linya ng numero na walang katapusan. Halimbawa, paglutas ng hindi pagkakapantay-pantay Ang x > 3 ay isang pagitan mula 3 hanggang +, at ang numero 3 ay hindi kasama sa pagitan na ito, kaya ang punto sa linya ay tinutukoy ng isang walang laman na bilog, dahil ang hindi pagkakapantay-pantay ay mahigpit. 
+
Ang magiging sagot ay: x (3; +).
Ang halagang x=3 ay hindi kasama sa hanay ng mga solusyon, kaya bilog ang panaklong. Ang infinity sign ay palaging nakapaloob sa isang panaklong. Ang tanda ay nangangahulugang "pag-aari".
Isaalang-alang kung paano lutasin ang mga hindi pagkakapantay-pantay gamit ang isa pang halimbawa na may tanda:
x2
-
+
Ang halagang x=2 ay kasama sa hanay ng mga solusyon, kaya ang square bracket at ang punto sa linya ay tinutukoy ng isang punong bilog.
Ang sagot ay: x)
