Mga pamamaraan para sa paglutas ng mga hindi makatwirang expression. Paglutas ng mga hindi makatwirang equation

Buod ng aralin

"Mga pamamaraan para sa paglutas ng mga hindi makatwirang equation"

Ika-11 baitang ng pisikal at mathematical na profile.

Zelenodolsky munisipal na distrito ng Republika ng Tatarstan

Valieva S.Z.

Paksa ng aralin: Mga pamamaraan para sa paglutas ng mga hindi makatwirang equation

Layunin ng aralin: 1. Pag-aralan ang iba't ibang paraan upang malutas ang mga hindi makatwirang equation.


  1. Bumuo ng kakayahang mag-generalize, pumili ng tama ng mga pamamaraan para sa paglutas ng mga hindi makatwirang equation.

  2. Bumuo ng kalayaan, turuan ang literacy sa pagsasalita

Uri ng aralin: seminar.
Plano ng aralin:


  1. Oras ng pag-aayos

  2. Pag-aaral ng bagong materyal

  3. Angkla

  4. Takdang aralin

  5. Buod ng aralin

Sa panahon ng mga klase
ako. Oras ng pag-aayos: ang mensahe ng paksa ng aralin, ang layunin ng aralin.

Sa nakaraang aralin, isinasaalang-alang namin ang paglutas ng mga hindi makatwirang equation na naglalaman ng mga square root sa pamamagitan ng pag-square sa mga ito. Sa kasong ito, nakakakuha kami ng isang equation ng kinahinatnan, na kung minsan ay humahantong sa paglitaw ng mga extraneous na ugat. At pagkatapos ay isang ipinag-uutos na bahagi ng paglutas ng equation ay ang pagsuri sa mga ugat. Isinaalang-alang din namin ang paglutas ng mga equation gamit ang kahulugan ng isang square root. Sa kasong ito, maaaring tanggalin ang tseke. Gayunpaman, kapag nilulutas ang mga equation, hindi palaging kinakailangan na agad na magpatuloy sa "bulag" na aplikasyon ng mga algorithm para sa paglutas ng equation. Sa mga gawain ng Pinag-isang Pagsusulit ng Estado, mayroong ilang mga equation, sa paglutas kung saan kinakailangan na pumili ng isang paraan ng solusyon na nagbibigay-daan sa iyo upang malutas ang mga equation nang mas madali, mas mabilis. Samakatuwid, kinakailangang malaman ang iba pang mga pamamaraan para sa paglutas ng mga hindi makatwiran na equation, na makikilala natin ngayon. Noong nakaraan, ang klase ay nahahati sa 8 malikhaing grupo, at sila ay binigyan ng mga partikular na halimbawa upang ipakita ang kakanyahan ng isang partikular na pamamaraan. Binibigyan namin sila ng isang salita.


II. Pag-aaral ng bagong materyal.

Mula sa bawat pangkat, 1 mag-aaral ang nagpapaliwanag sa mga bata kung paano lutasin ang mga hindi makatwirang equation. Nakikinig ang buong klase at nagtatala ng kanilang kwento.

1 paraan. Pagpapakilala ng bagong variable.

Lutasin ang equation: (2x + 3) 2 - 3

4x 2 + 12x + 9 - 3

4x 2 - 8x - 51 - 3

, t ≥0

x 2 - 2x - 6 \u003d t 2;

4t 2 – 3t – 27 = 0

x 2 - 2x - 15 \u003d 0

x 2 - 2x - 6 \u003d 9;

Sagot: -3; 5.

2 paraan. Pananaliksik sa ODZ.

lutasin ang equation

ODZ:


x \u003d 2. Sa pamamagitan ng pagsuri, tinitiyak namin na ang x \u003d 2 ang ugat ng equation.

3 paraan. Pagpaparami ng magkabilang panig ng equation sa conjugate factor.

+
(multiply ang magkabilang panig sa -
)

x + 3 - x - 8 \u003d 5 (-)


2=4, kaya x=1. Sa pamamagitan ng pagsuri ay kumbinsido kami na ang x \u003d 1 ang ugat ng equation na ito.


4 na paraan. Pagbawas ng isang equation sa isang sistema sa pamamagitan ng pagpapakilala ng isang variable.

lutasin ang equation

Hayaan = u,
=v.

Nakukuha namin ang sistema:

Lutasin natin sa paraan ng pagpapalit. Nakukuha namin ang u = 2, v = 2. Samakatuwid,

makuha natin ang x = 1.

Sagot: x = 1.

5 paraan. Pagpili ng isang buong parisukat.

lutasin ang equation

Buksan natin ang mga module. kasi -1≤cos0.5x≤1, pagkatapos ay -4≤cos0.5x-3≤-2, kaya . Gayundin,

Pagkatapos makuha namin ang equation

x = 4πn, nZ.

Sagot: 4πn, nZ.

6 na paraan. Paraan ng Pagtatasa

lutasin ang equation

ODZ: x 3 - 2x 2 - 4x + 8 ≥ 0, ayon sa kahulugan, ang kanang bahagi -x 3 + 2x 2 + 4x - 8 ≥ 0

nakukuha namin
mga. x 3 - 2x 2 - 4x + 8 = 0. Paglutas ng equation sa pamamagitan ng factoring, nakukuha natin ang x = 2, x = -2

Paraan 7: Paggamit ng mga katangian ng monotonicity ng mga function.

Lutasin ang equation. Ang mga pag-andar ay mahigpit na tumataas. Ang kabuuan ng pagtaas ng mga function ay tumataas at ang equation na ito ay may hindi hihigit sa isang ugat. Sa pamamagitan ng pagpili, makikita natin ang x = 1.

8 paraan. Paggamit ng mga vector.

Lutasin ang equation. ODZ: -1≤х≤3.

Hayaan ang vector
. Ang scalar product ng mga vectors ay ang kaliwang bahagi. Hanapin natin ang produkto ng kanilang mga haba. Ito ang kanang bahagi. nakuha
, ibig sabihin. Ang mga vectors a at b ay collinear. Mula rito
. I-square natin ang magkabilang panig. Paglutas ng equation, nakukuha namin ang x \u003d 1 at x \u003d
.


  1. Pagsasama-sama.(bawat mag-aaral ay binibigyan ng worksheet)
Front oral work

Maghanap ng ideya para sa paglutas ng mga equation (1-10)

1.
(ODZ - )

2.
x = 2

3. x 2 - 3x +
(kapalit)

4. (pagpili ng isang buong parisukat)

5.
(Pagbabawas ng equation sa isang system sa pamamagitan ng pagpapakilala ng variable.)

6.
(sa pamamagitan ng pagpaparami ng magkadugtong na expression)

7.
kasi
. Ang equation na ito ay walang mga ugat.

8. Dahil ang bawat termino ay hindi negatibo, itinutumbas namin ang mga ito sa zero at lutasin ang system.

9. 3

10. Hanapin ang ugat ng equation (o ang produkto ng mga ugat, kung marami) ng equation.

Nakasulat na independiyenteng gawain na may kasunod na pag-verify

lutasin ang mga equation na may bilang na 11,13,17,19


Lutasin ang mga Equation:

12. (x + 6) 2 -

14.


  • Paraan ng Pagtatasa

  • Gamit ang mga katangian ng monotonicity ng mga function.

  • Paggamit ng mga vector.

    1. Alin sa mga pamamaraang ito ang ginagamit upang malutas ang iba pang uri ng mga equation?

    2. Alin sa mga pamamaraang ito ang pinakanagustuhan mo at bakit?

    1. Takdang-Aralin: Lutasin ang natitirang mga equation.
    Bibliograpiya:

    1. Algebra at ang simula ng mathematical analysis: textbook. para sa 11 mga cell. Pangkalahatang edukasyon mga institusyon / S.M. Nikolsky, M.K. Potapov, N.N. Reshetnikov, A.V. Shevkin. M: Enlightenment, 2009

    1. Didactic na materyales sa algebra at mga prinsipyo ng pagsusuri para sa grade 11 /B.M. Ivlev, S.M. Sahakyan, S.I. Schwarzburd. – M.: Enlightenment, 2003.

    2. Mordkovich A. G. Algebra at ang simula ng pagsusuri. 10 - 11 cell: Task book para sa pangkalahatang edukasyon. mga institusyon. – M.: Mnemosyne, 2000.

    3. Ershova A.P., Goloborodko V.V. Independent at control work sa algebra at mga prinsipyo ng pagsusuri para sa grade 10-11. – M.: Ileksa, 2004

    4. KIM USE 2002 - 2010
    6. Algebraic simulator. A.G. Merzlyak, V.B. Polonsky, M.S. Yakir. Handbook para sa mga mag-aaral at mga entrante. Moscow.: "Ileksa" 2001.
    7. Mga equation at hindi pagkakapantay-pantay. Hindi karaniwang mga pamamaraan ng solusyon. Pang-edukasyon - manwal ng pamamaraan. 10 - 11 klase. S.N. Oleinik, M.K. Potapov, P.I. Pasichenko. Moscow. "Bustard". 2001

    Ang irrational equation ay anumang equation na naglalaman ng function sa ilalim ng root sign. Halimbawa:

    Ang mga equation na ito ay palaging nalulutas sa 3 hakbang:

    1. Paghiwalayin ang ugat. Sa madaling salita, kung may iba pang mga numero o function sa kaliwa ng pantay na tanda bilang karagdagan sa ugat, ang lahat ng ito ay dapat ilipat sa kanan sa pamamagitan ng pagbabago ng tanda. Kasabay nito, ang radikal lamang ang dapat manatili sa kaliwa - nang walang anumang mga coefficient.
    2. 2. Namin parisukat ang magkabilang panig ng equation. Kasabay nito, tandaan na ang saklaw ng ugat ay lahat ng hindi negatibong numero. Kaya ang function sa kanan hindi makatwirang equation dapat ding hindi negatibo: g (x) ≥ 0.
    3. Ang ikatlong hakbang ay lohikal na sumusunod mula sa pangalawa: kailangan mong magsagawa ng tseke. Ang katotohanan ay na sa ikalawang hakbang maaari tayong magkaroon ng karagdagang mga ugat. At upang maputol ang mga ito, kinakailangang palitan ang mga resultang numero ng kandidato sa orihinal na equation at suriin: ang tamang pagkakapantay-pantay ba ng numero ay talagang nakuha?

    Paglutas ng hindi makatwirang equation

    Ating harapin ang ating hindi makatwirang equation na ibinigay sa pinakasimula ng aralin. Narito ang ugat ay liblib na: sa kaliwa ng pantay na tanda ay walang iba kundi ang ugat. I-square natin ang magkabilang panig:

    2x 2 - 14x + 13 = (5 - x) 2
    2x2 - 14x + 13 = 25 - 10x + x2
    x 2 - 4x - 12 = 0

    Nilulutas namin ang nagresultang quadratic equation sa pamamagitan ng discriminant:

    D = b 2 − 4ac = (−4) 2 − 4 1 (−12) = 16 + 48 = 64
    x 1 = 6; x 2 \u003d -2

    Ito ay nananatiling lamang upang palitan ang mga numerong ito sa orihinal na equation, i.e. magsagawa ng tseke. Ngunit kahit dito maaari mong gawin ang tamang bagay upang pasimplehin ang pinal na desisyon.

    Paano gawing simple ang solusyon

    Isipin natin: bakit natin sinusuri sa dulo ng paglutas ng hindi makatwirang equation? Gusto naming tiyakin na kapag pinapalitan ang aming mga ugat, magkakaroon ng di-negatibong numero sa kanan ng equal sign. Pagkatapos ng lahat, alam na natin na tiyak na ito ay isang hindi negatibong numero sa kaliwa, dahil ang arithmetic square root (dahil kung saan ang ating equation ay tinatawag na irrational) ayon sa kahulugan ay hindi maaaring mas mababa sa zero.

    Samakatuwid, ang kailangan lang nating suriin ay ang function na g ( x ) = 5 − x , na nasa kanan ng equal sign, ay hindi negatibo:

    g(x) ≥ 0

    Pinapalitan namin ang aming mga ugat sa function na ito at makakuha ng:

    g (x 1) \u003d g (6) \u003d 5 - 6 \u003d -1< 0
    g (x 2) = g (−2) = 5 − (−2) = 5 + 2 = 7 > 0

    Mula sa mga halagang nakuha, sumusunod na ang ugat x 1 = 6 ay hindi angkop sa amin, dahil kapag pinapalitan sa kanang bahagi ng orihinal na equation, nakakakuha kami ng negatibong numero. Ngunit ang ugat x 2 \u003d −2 ay angkop para sa amin, dahil:

    1. Ang ugat na ito ay ang solusyon sa quadratic equation na nakuha sa pamamagitan ng pagtaas ng magkabilang panig hindi makatwirang equation sa isang parisukat.
    2. Ang kanang bahagi ng orihinal na hindi makatwirang equation, kapag ang ugat na x 2 = −2 ay pinalitan, ay nagiging positibong numero, i.e. ang hanay ng arithmetic root ay hindi nilalabag.

    Iyan ang buong algorithm! Tulad ng nakikita mo, ang paglutas ng mga equation na may mga radical ay hindi napakahirap. Ang pangunahing bagay ay huwag kalimutang suriin ang natanggap na mga ugat, kung hindi man ito ay malamang na makakuha ng mga karagdagang sagot.

    Mahalaga sa amin ang iyong privacy. Para sa kadahilanang ito, bumuo kami ng Patakaran sa Privacy na naglalarawan kung paano namin ginagamit at iniimbak ang iyong impormasyon. Mangyaring basahin ang aming patakaran sa privacy at ipaalam sa amin kung mayroon kang anumang mga katanungan.

    Pagkolekta at paggamit ng personal na impormasyon

    Ang personal na impormasyon ay tumutukoy sa data na maaaring magamit upang makilala o makipag-ugnayan sa isang partikular na tao.

    Maaaring hilingin sa iyo na ibigay ang iyong personal na impormasyon anumang oras kapag nakipag-ugnayan ka sa amin.

    Ang mga sumusunod ay ilang halimbawa ng mga uri ng personal na impormasyon na maaari naming kolektahin at kung paano namin magagamit ang naturang impormasyon.

    Anong personal na impormasyon ang aming kinokolekta:

    • Kapag nagsumite ka ng aplikasyon sa site, maaari kaming mangolekta ng iba't ibang impormasyon, kabilang ang iyong pangalan, numero ng telepono, email address, atbp.

    Paano namin ginagamit ang iyong personal na impormasyon:

    • Ang personal na impormasyong kinokolekta namin ay nagpapahintulot sa amin na makipag-ugnayan sa iyo at ipaalam sa iyo ang tungkol sa mga natatanging alok, promosyon at iba pang mga kaganapan at paparating na mga kaganapan.
    • Paminsan-minsan, maaari naming gamitin ang iyong personal na impormasyon upang magpadala sa iyo ng mahahalagang paunawa at komunikasyon.
    • Maaari rin kaming gumamit ng personal na impormasyon para sa mga panloob na layunin, tulad ng pagsasagawa ng mga pag-audit, pagsusuri ng data at iba't ibang pananaliksik upang mapabuti ang mga serbisyong ibinibigay namin at mabigyan ka ng mga rekomendasyon tungkol sa aming mga serbisyo.
    • Kung sasali ka sa isang premyo na draw, paligsahan o katulad na insentibo, maaari naming gamitin ang impormasyong ibibigay mo upang pangasiwaan ang mga naturang programa.

    Pagbubunyag sa mga ikatlong partido

    Hindi namin ibinubunyag ang impormasyong natanggap mula sa iyo sa mga ikatlong partido.

    Mga pagbubukod:

    • Kung kinakailangan - alinsunod sa batas, utos ng hudikatura, sa mga ligal na paglilitis, at / o batay sa mga pampublikong kahilingan o kahilingan mula sa mga katawan ng estado sa teritoryo ng Russian Federation - ibunyag ang iyong personal na impormasyon. Maaari rin kaming magbunyag ng impormasyon tungkol sa iyo kung matukoy namin na ang naturang pagbubunyag ay kinakailangan o naaangkop para sa seguridad, pagpapatupad ng batas, o iba pang layunin ng pampublikong interes.
    • Kung sakaling magkaroon ng muling pagsasaayos, pagsasanib o pagbebenta, maaari naming ilipat ang personal na impormasyong kinokolekta namin sa may-katuturang kahalili ng third party.

    Proteksyon ng personal na impormasyon

    Gumagawa kami ng mga pag-iingat - kabilang ang administratibo, teknikal at pisikal - upang protektahan ang iyong personal na impormasyon mula sa pagkawala, pagnanakaw, at maling paggamit, pati na rin mula sa hindi awtorisadong pag-access, pagsisiwalat, pagbabago at pagkasira.

    Pagpapanatili ng iyong privacy sa antas ng kumpanya

    Upang matiyak na ligtas ang iyong personal na impormasyon, ipinapaalam namin ang mga kasanayan sa privacy at seguridad sa aming mga empleyado at mahigpit na ipinapatupad ang mga kasanayan sa privacy.

    Institusyong pang-edukasyon sa munisipyo

    "Kudinskaya secondary school No. 2"

    Mga paraan upang malutas ang mga hindi makatwirang equation

    Nakumpleto ni: Egorova Olga,

    Superbisor:

    Guro

    matematika,

    mas mataas na kwalipikasyon

    Panimula....……………………………………………………………………………………… 3

    Seksyon 1. Mga pamamaraan para sa paglutas ng mga hindi makatwirang equation…………………………………6

    1.1 Paglutas ng mga hindi makatwirang equation ng bahagi C……………………………………………………21

    Seksyon 2. Mga indibidwal na gawain…………………………………………….....………...24

    Mga sagot………………………………………………………………………………………….25

    Bibliograpiya…….…………………………………………………………………….26

    Panimula

    Ang edukasyong matematika na natanggap sa isang paaralang pangkalahatang edukasyon ay isang mahalagang bahagi ng pangkalahatang edukasyon at pangkalahatang kultura ng isang modernong tao. Halos lahat ng bagay na pumapalibot sa isang modernong tao ay konektado lahat sa isang paraan o iba pa sa matematika. At ang pinakabagong mga pag-unlad sa pisika, inhinyero at teknolohiya ng impormasyon ay walang pag-aalinlangan na sa hinaharap ang kalagayan ng mga gawain ay mananatiling pareho. Samakatuwid, ang solusyon ng maraming praktikal na problema ay binabawasan sa paglutas ng iba't ibang uri ng mga equation na kailangang matutunan upang malutas. Ang isa sa mga uri na ito ay hindi makatwiran na mga equation.

    Mga hindi makatwirang equation

    Ang isang equation na naglalaman ng isang hindi alam (o isang rational algebraic expression mula sa isang hindi kilalang) sa ilalim ng radical sign ay tinatawag na hindi makatwirang equation. Sa elementarya na matematika, ang mga solusyon sa mga hindi makatwirang equation ay hinahanap sa hanay ng mga tunay na numero.

    Anumang irrational equation sa tulong ng elementary algebraic operations (multiplication, division, raising both parts of the equation to integer power) ay maaaring gawing rational algebraic equation. Dapat tandaan na ang resultang rational algebraic equation ay maaaring hindi katumbas ng orihinal na irrational equation, ibig sabihin, ito ay maaaring maglaman ng "dagdag" na mga ugat na hindi magiging mga ugat ng orihinal na irrational equation. Samakatuwid, sa pagkakaroon ng natagpuan ang mga ugat ng nakuhang rational algebraic equation, ito ay kinakailangan upang suriin kung ang lahat ng mga ugat ng rational equation ay magiging mga ugat ng irrational equation.

    Sa pangkalahatang kaso, mahirap ipahiwatig ang anumang unibersal na paraan para sa paglutas ng anumang hindi makatwirang equation, dahil ito ay kanais-nais na bilang resulta ng mga pagbabago sa orihinal na hindi makatwiran na equation, hindi lamang isang uri ng rational algebraic equation ang nakuha, kabilang sa mga ugat ng na magkakaroon ng mga ugat ng hindi makatwirang equation na ito, ngunit isang rational algebraic equation na nabuo mula sa mga polynomial na kasing liit ng antas hangga't maaari. Ang pagnanais na makuha ang rational algebraic equation na nabuo mula sa mga polynomial ng pinakamaliit na posibleng antas ay natural, dahil ang paghahanap ng lahat ng mga ugat ng isang rational algebraic equation ay maaaring maging isang mahirap na gawain, na maaari nating ganap na malutas sa isang limitadong bilang lamang. ng mga kaso.

    Mga uri ng hindi makatwirang equation

    Ang paglutas ng mga hindi makatwirang equation ng kahit na antas ay palaging nagdudulot ng mas maraming problema kaysa sa paglutas ng mga hindi makatwirang equation ng kakaibang antas. Kapag nilulutas ang mga hindi makatwirang equation ng kakaibang antas, ang ODZ ay hindi nagbabago. Samakatuwid, sa ibaba ay isasaalang-alang natin ang mga hindi makatwirang equation, ang antas ng kung saan ay kahit na. Mayroong dalawang uri ng irrational equation:

    2..

    Isaalang-alang natin ang una sa kanila.

    odz equation: f(x)≥ 0. Sa ODZ, ang kaliwang bahagi ng equation ay palaging hindi negatibo, kaya ang solusyon ay maaari lamang umiral kapag g(x)≥ 0. Sa kasong ito, ang magkabilang panig ng equation ay hindi negatibo, at exponentiation 2 n nagbibigay ng katumbas na equation. Nakukuha namin iyon

    Bigyang-pansin natin ang katotohanang habang Awtomatikong ginagawa ang ODZ, at hindi mo ito maisusulat, ngunit ang kundisyong(x) Dapat suriin ang ≥ 0.

    Tandaan: Ito ay isang napakahalagang kondisyon ng pagkakapareho. Una, pinalalaya nito ang mag-aaral mula sa pangangailangang mag-imbestiga, at pagkatapos makahanap ng mga solusyon, suriin ang kundisyon f(x) ≥ 0 - ang hindi negatibiti ng root expression. Pangalawa, nakatutok ito sa pagsuri sa kondisyong(x) ≥ 0 ay ang nonnegativity ng kanang bahagi. Pagkatapos ng lahat, pagkatapos ng pag-squaring, ang equation ay malulutas ibig sabihin, dalawang equation ang nalutas nang sabay-sabay (ngunit sa magkaibang pagitan ng numerical axis!):

    1. - saan g(x)≥ 0 at

    2. - kung saan ang g(x) ≤ 0.

    Samantala, marami, ayon sa ugali ng paaralan sa paghahanap ng ODZ, ang eksaktong kabaligtaran sa paglutas ng mga naturang equation:

    a) suriin, pagkatapos makahanap ng mga solusyon, ang kundisyon f(x) ≥ 0 (na awtomatikong nasiyahan), gumawa ng mga error sa aritmetika at makakuha ng hindi tamang resulta;

    b) huwag pansinin ang kondisyong(x) ≥ 0 - at muli ang sagot ay maaaring mali.

    Tandaan: Ang kundisyon ng equivalence ay partikular na kapaki-pakinabang kapag nilulutas ang mga trigonometric equation, kung saan ang paghahanap ng ODZ ay nauugnay sa paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng trigonometriko, na mas mahirap kaysa sa paglutas ng mga trigonometric equation. Sinusuri sa trigonometriko equation kahit na mga kondisyon g(x) Ang ≥ 0 ay hindi laging madaling gawin.

    Isaalang-alang ang pangalawang uri ng mga hindi makatwirang equation.

    . Hayaan ang equation . Ang kanyang ODZ:

    Sa ODZ, ang magkabilang panig ay hindi negatibo, at ang pag-squaring ay nagbibigay ng katumbas na equation f(x) =g(x). Samakatuwid, sa ODZ o

    Sa ganitong paraan ng solusyon, sapat na upang suriin ang di-negatibiti ng isa sa mga pag-andar - maaari kang pumili ng isang mas simple.

    Seksyon 1. Mga pamamaraan para sa paglutas ng mga hindi makatwirang equation

    1 paraan. Paglaya mula sa mga radikal sa pamamagitan ng sunud-sunod na pagtaas ng magkabilang panig ng equation sa kaukulang natural na kapangyarihan

    Ang pinakakaraniwang ginagamit na paraan para sa paglutas ng mga hindi makatwirang equation ay ang paraan ng pagpapalaya mula sa mga radical sa pamamagitan ng sunud-sunod na pagtaas ng parehong bahagi ng equation sa kaukulang natural na antas. Sa kasong ito, dapat tandaan na kapag ang parehong bahagi ng equation ay itinaas sa isang kakaibang kapangyarihan, ang resultang equation ay katumbas ng orihinal, at kapag ang parehong bahagi ng equation ay itinaas sa isang even na kapangyarihan, ang resultang ang equation, sa pangkalahatan, ay hindi katumbas ng orihinal na equation. Madali itong ma-verify sa pamamagitan ng pagtataas sa magkabilang panig ng equation sa kahit anong pantay na kapangyarihan. Ang operasyong ito ay nagreresulta sa equation , na ang hanay ng mga solusyon ay ang unyon ng mga hanay ng mga solusyon: https://pandia.ru/text/78/021/images/image013_50.gif" width="95" height="21 src=">. Gayunpaman, sa kabila ang disbentaha na ito , ito ay ang pamamaraan para sa pagtataas ng parehong bahagi ng equation sa ilang (kadalasan kahit na) kapangyarihan na ang pinakakaraniwang pamamaraan para sa pagbabawas ng isang hindi makatwirang equation sa isang rational equation.

    Lutasin ang equation:

    saan ay ilang polynomial. Sa pamamagitan ng kahulugan ng pagpapatakbo ng pagkuha ng ugat sa hanay ng mga tunay na numero, ang mga tinatanggap na halaga ng hindi kilalang https://pandia.ru/text/78/021/images/image017_32.gif" width=" 123 height=21" height="21">..gif " width="243" height="28 src=">.

    Dahil ang parehong mga bahagi ng 1st equation ay squared, maaaring lumabas na hindi lahat ng mga ugat ng 2nd equation ay magiging mga solusyon sa orihinal na equation, ito ay kinakailangan upang suriin ang mga ugat.

    Lutasin ang equation:

    https://pandia.ru/text/78/021/images/image021_21.gif" width="137" height="25">

    Pagtaas ng magkabilang panig ng equation sa isang kubo, nakukuha natin

    Dahil sa https://pandia.ru/text/78/021/images/image024_19.gif" width="195" height="27">(Ang huling equation ay maaaring may mga ugat na, sa pangkalahatan, ay hindi mga ugat ng equation ).

    Itinataas namin ang magkabilang panig ng equation na ito sa isang cube: . Isinulat muli namin ang equation sa anyong x3 - x2 = 0 ↔ x1 = 0, x2 = 1. Sa pamamagitan ng pagsuri, itinatatag namin na ang x1 = 0 ay isang extraneous na ugat ng equation (-2 ≠ 1), at ang x2 = 1 ay nakakatugon sa orihinal na equation.

    Sagot: x = 1.

    2 paraan. Pagpapalit ng isang katabing sistema ng mga kondisyon

    Kapag nilulutas ang mga hindi makatwirang equation na naglalaman ng mga radical na pantay-pantay, maaaring lumitaw ang mga extraneous na ugat sa mga sagot, na hindi laging madaling matukoy. Upang gawing mas madaling makilala at itapon ang mga extraneous na ugat, sa kurso ng paglutas ng mga hindi makatwirang equation ay agad itong pinalitan ng isang katabing sistema ng mga kondisyon. Ang mga karagdagang hindi pagkakapantay-pantay sa sistema ay talagang isinasaalang-alang ang ODZ ng equation na niresolba. Maaari mong mahanap ang ODZ nang hiwalay at isaalang-alang ito sa ibang pagkakataon, ngunit mas mainam na gumamit ng halo-halong mga sistema ng mga kondisyon: mas kaunting panganib na makalimutan ang isang bagay, hindi isinasaalang-alang ito sa proseso ng paglutas ng equation. Samakatuwid, sa ilang mga kaso ay mas makatwiran na gamitin ang paraan ng paglipat sa halo-halong mga sistema.

    Lutasin ang equation:

    Sagot: https://pandia.ru/text/78/021/images/image029_13.gif" width="109 height=27" height="27">

    Ang equation na ito ay katumbas ng system

    Sagot: ang equation ay walang mga solusyon.

    3 paraan. Gamit ang mga katangian ng nth root

    Kapag nilulutas ang mga hindi makatwirang equation, ginagamit ang mga katangian ng ugat ng ika-n degree. ugat ng aritmetika n- ika digri mula sa gitna a tumawag sa isang hindi negatibong numero, n- i na ang degree ay katumbas ng a. Kung ang n- kahit( 2n), pagkatapos ay isang ≥ 0, kung hindi, ang ugat ay hindi umiiral. Kung ang n- kakaiba( 2 n+1), kung gayon ang a ay anuman at = - ..gif" width="45" height="19"> Pagkatapos:

    2.

    3.

    4.

    5.

    Ang paglalapat ng alinman sa mga formula na ito, nang pormal (nang hindi isinasaalang-alang ang ipinahiwatig na mga paghihigpit), dapat itong isipin na ang ODZ ng kaliwa at kanang bahagi ng bawat isa sa kanila ay maaaring magkakaiba. Halimbawa, ang expression ay tinukoy sa f ≥ 0 at g ≥ 0, at ang expression ay tulad ng sa f ≥ 0 at g ≥ 0, pati na rin ang f ≤ 0 at g ≤ 0.

    Para sa bawat isa sa mga formula 1-5 (nang hindi isinasaalang-alang ang ipinahiwatig na mga paghihigpit), ang ODZ ng kanang bahagi nito ay maaaring mas malawak kaysa sa ODZ ng kaliwa. Kasunod nito na ang mga pagbabagong-anyo ng equation na may pormal na paggamit ng mga formula 1-5 "mula kaliwa pakanan" (tulad ng pagkakasulat) ay humantong sa isang equation na bunga ng orihinal. Sa kasong ito, maaaring lumitaw ang mga extraneous na ugat ng orihinal na equation, kaya ang pag-verify ay isang mandatoryong hakbang sa paglutas ng orihinal na equation.

    Ang mga pagbabagong-anyo ng mga equation na may pormal na paggamit ng mga formula 1-5 "mula kanan pakaliwa" ay hindi katanggap-tanggap, dahil posible na hatulan ang ODZ ng orihinal na equation, at, dahil dito, ang pagkawala ng mga ugat.

    https://pandia.ru/text/78/021/images/image041_8.gif" width="247" height="61 src=">,

    na bunga ng orihinal. Ang solusyon ng equation na ito ay binabawasan sa paglutas ng set ng mga equation .

    Mula sa unang equation ng set na ito makikita natin ang https://pandia.ru/text/78/021/images/image044_7.gif" width="89" height="27"> mula sa kung saan natin makikita . Kaya, ang mga ugat ng ang equation na ito ay maaari lamang maging mga numero ( -1) at (-2) Ang pagpapatunay ay nagpapakita na ang parehong natagpuang mga ugat ay nakakatugon sa equation na ito.

    Sagot: -1,-2.

    Lutasin ang equation: .

    Solusyon: batay sa mga pagkakakilanlan, palitan ang unang termino ng . Tandaan na bilang ang kabuuan ng dalawang di-negatibong numero sa kaliwang bahagi. "Alisin" ang module at, pagkatapos magdala ng mga katulad na termino, lutasin ang equation. Since , nakuha namin ang equation . Simula at , pagkatapos ay https://pandia.ru/text/78/021/images/image055_6.gif" width="89" height="27 src=">.gif" width="39" height="19 src= " >.gif" width="145" height="21 src=">

    Sagot: x = 4.25.

    4 na paraan. Pagpapakilala ng mga bagong variable

    Ang isa pang halimbawa ng paglutas ng mga hindi makatwirang equation ay ang paraan kung saan ang mga bagong variable ay ipinakilala, kung saan nakuha ang alinman sa isang mas simpleng irrational equation o isang rational equation.

    Ang solusyon ng hindi makatwiran na mga equation sa pamamagitan ng pagpapalit ng equation sa kahihinatnan nito (na may kasunod na pagsusuri ng mga ugat) ay maaaring isagawa tulad ng sumusunod:

    1. Hanapin ang ODZ ng orihinal na equation.

    2. Pumunta mula sa equation sa corollary nito.

    3. Hanapin ang mga ugat ng resultang equation.

    4. Suriin kung ang mga natagpuang ugat ay ang mga ugat ng orihinal na equation.

    Ang tseke ay ang mga sumusunod:

    A) ang pag-aari ng bawat natagpuang ugat ng ODZ sa orihinal na equation ay sinusuri. Ang mga ugat na iyon na hindi kabilang sa ODZ ay extraneous para sa orihinal na equation.

    B) para sa bawat ugat na kasama sa ODZ ng orihinal na equation, ito ay sinusuri kung ang kaliwa at kanang bahagi ng bawat isa sa mga equation na lumitaw sa proseso ng paglutas ng orihinal na equation at itinaas sa isang pantay na kapangyarihan ay may parehong mga palatandaan. Ang mga ugat na iyon kung saan ang mga bahagi ng anumang equation na itinaas sa isang pantay na kapangyarihan ay may iba't ibang mga palatandaan ay extraneous para sa orihinal na equation.

    C) tanging ang mga ugat na kabilang sa ODZ ng orihinal na equation at kung saan ang parehong bahagi ng bawat isa sa mga equation na lumitaw sa proseso ng paglutas ng orihinal na equation at itinaas sa isang pantay na kapangyarihan ay may parehong mga palatandaan na sinusuri sa pamamagitan ng direktang pagpapalit sa ang orihinal na equation.

    Ang ganitong paraan ng solusyon na may ipinahiwatig na paraan ng pag-verify ay nagbibigay-daan sa pag-iwas sa masalimuot na mga kalkulasyon sa kaso ng direktang pagpapalit ng bawat isa sa mga natagpuang ugat ng huling equation sa orihinal.

    Lutasin ang hindi makatwirang equation:

    .

    Ang hanay ng mga tinatanggap na halaga ng equation na ito:

    Setting , pagkatapos ng pagpapalit ay nakuha namin ang equation

    o ang katumbas nitong equation

    na maaaring tingnan bilang isang quadratic equation para sa . Ang paglutas ng equation na ito, nakukuha namin

    .

    Samakatuwid, ang hanay ng solusyon ng orihinal na hindi makatwirang equation ay ang unyon ng mga hanay ng solusyon ng sumusunod na dalawang equation:

    , .

    I-cube ang magkabilang panig ng bawat isa sa mga equation na ito, at makakakuha tayo ng dalawang rational algebraic equation:

    , .

    Ang paglutas ng mga equation na ito, nakita namin na ang hindi makatwirang equation na ito ay may iisang ugat na x = 2 (walang pag-verify na kinakailangan, dahil ang lahat ng mga pagbabago ay katumbas).

    Sagot: x = 2.

    Lutasin ang hindi makatwirang equation:

    Tukuyin ang 2x2 + 5x - 2 = t. Pagkatapos ang orihinal na equation ay kukuha ng anyo . Sa pamamagitan ng pag-squaring sa magkabilang bahagi ng resultang equation at pagdadala ng mga katulad na termino, nakukuha natin ang equation , na isang kinahinatnan ng nauna. Mula dito nahanap natin t=16.

    Pagbabalik sa hindi kilalang x, nakukuha natin ang equation na 2x2 + 5x - 2 = 16, na resulta ng orihinal. Sa pamamagitan ng pagsuri, tinitiyak namin na ang mga ugat nito x1 \u003d 2 at x2 \u003d - 9/2 ay ang mga ugat ng orihinal na equation.

    Sagot: x1 = 2, x2 = -9/2.

    5 paraan. Pagbabago ng Equation ng Pagkakakilanlan

    Kapag nilulutas ang mga hindi makatwirang equation, hindi dapat simulan ng isa ang paglutas ng isang equation sa pamamagitan ng pagtataas ng parehong bahagi ng mga equation sa isang natural na kapangyarihan, sinusubukang bawasan ang solusyon ng isang hindi makatwirang equation sa paglutas ng isang rational algebraic equation. Una, ito ay kinakailangan upang makita kung ito ay posible na gumawa ng ilang kaparehong pagbabago ng equation, na maaaring makabuluhang pasimplehin ang solusyon nito.

    Lutasin ang equation:

    Ang hanay ng mga wastong halaga para sa equation na ito: https://pandia.ru/text/78/021/images/image074_1.gif" width="292" height="45"> Hatiin ang equation na ito sa .

    .

    Nakukuha namin:

    Para sa a = 0, ang equation ay walang mga solusyon; para sa , ang equation ay maaaring isulat bilang

    para sa equation na ito ay walang mga solusyon, dahil para sa alinman X, na kabilang sa hanay ng mga tinatanggap na halaga ng equation, ang expression sa kaliwang bahagi ng equation ay positibo;

    kapag ang equation ay may solusyon

    Isinasaalang-alang na ang hanay ng mga tinatanggap na solusyon ng equation ay tinutukoy ng kundisyon , sa wakas ay nakuha namin ang:

    Kapag nilulutas ang hindi makatwirang equation na ito, https://pandia.ru/text/78/021/images/image084_2.gif" width="60" height="19"> ang solusyon sa equation ay . Para sa lahat ng iba pang value X ang equation ay walang mga solusyon.

    HALIMBAWA 10:

    Lutasin ang hindi makatwirang equation: https://pandia.ru/text/78/021/images/image086_2.gif" width="381" height="51">

    Ang solusyon ng quadratic equation ng system ay nagbibigay ng dalawang ugat: x1 \u003d 1 at x2 \u003d 4. Ang una sa nakuha na mga ugat ay hindi nakakatugon sa hindi pagkakapantay-pantay ng system, samakatuwid x \u003d 4.

    Mga Tala.

    1) Ang pagsasagawa ng magkakaparehong pagbabago ay nagbibigay-daan sa amin na magawa nang walang pag-verify.

    2) Ang hindi pagkakapantay-pantay x - 3 ≥0 ay tumutukoy sa magkatulad na pagbabago, at hindi sa domain ng equation.

    3) Mayroong bumababa na function sa kaliwang bahagi ng equation, at tumataas na function sa kanang bahagi ng equation na ito. Ang mga graph ng pagbaba at pagtaas ng mga function sa intersection ng kanilang mga domain ng kahulugan ay maaaring magkaroon ng hindi hihigit sa isang karaniwang punto. Malinaw, sa aming kaso, ang x = 4 ay ang abscissa ng intersection point ng mga graph.

    Sagot: x = 4.

    6 na paraan. Gamit ang domain ng kahulugan ng mga function kapag nilulutas ang mga equation

    Ang pamamaraang ito ay pinakaepektibo kapag nilulutas ang mga equation na kinabibilangan ng mga function https://pandia.ru/text/78/021/images/image088_2.gif" width="36" height="21 src="> at hanapin ang mga kahulugan ng lugar nito (f)..gif" width="53" height="21"> .gif" width="88" height="21 src=">, pagkatapos ay kailangan mong suriin kung totoo ang equation sa mga dulo ng interval, bukod pa rito, kung a< 0, а b >0, pagkatapos ay kinakailangan upang suriin ang mga agwat (a;0) at . Ang pinakamaliit na integer sa E(y) ay 3.

    Sagot: x = 3.

    8 paraan. Paglalapat ng derivative sa paglutas ng mga hindi makatwirang equation

    Kadalasan, kapag nilulutas ang mga equation gamit ang derivative method, ginagamit ang pamamaraan ng pagtatantya.

    HALIMBAWA 15:

    Lutasin ang equation: (1)

    Solusyon: Dahil https://pandia.ru/text/78/021/images/image122_1.gif" width="371" height="29">, o (2). Isaalang-alang ang function ..gif" width="400" height="23 src=">.gif" width="215" height="49"> at samakatuwid ay tumataas. Samakatuwid, ang equation ay katumbas ng isang equation na may ugat na ugat ng orihinal na equation.

    Sagot:

    HALIMBAWA 16:

    Lutasin ang hindi makatwirang equation:

    Ang domain ng kahulugan ng function ay isang segment. Hanapin natin ang pinakamalaki at pinakamaliit na value ng value ng function na ito sa interval . Upang gawin ito, nakita namin ang derivative ng function f(x): https://pandia.ru/text/78/021/images/image136_1.gif" width="37 height=19" height="19">. Hanapin natin ang mga value ng function f(x) sa mga dulo ng segment at sa punto : Kaya, Ngunit at, samakatuwid, ang pagkakapantay-pantay ay posible lamang sa ilalim ng kondisyon https://pandia.ru/text/78/021/images/image136_1.gif" width="37" height="19 src=" > Ipinapakita ng verification na ang numero 3 ang ugat ng equation na ito.

    Sagot: x = 3.

    9 na pamamaraan. Functional

    Sa mga pagsusulit, minsan ay nag-aalok sila upang malutas ang mga equation na maaaring isulat sa form , kung saan mayroong isang tiyak na function.

    Halimbawa, ilang equation: 1) 2) . Sa katunayan, sa unang kaso , sa pangalawang kaso . Samakatuwid, lutasin ang mga hindi makatwirang equation gamit ang sumusunod na pahayag: kung ang isang function ay mahigpit na tumataas sa set X at para sa alinmang , kung gayon ang mga equation, atbp., ay katumbas sa set X .

    Lutasin ang hindi makatwirang equation: https://pandia.ru/text/78/021/images/image145_1.gif" width="103" height="25"> mahigpit na tumataas sa set R, at https://pandia.ru/text/78/021/images/image153_1.gif" width="45" height="24 src=">..gif" width="104" height="24 src=" > na may kakaibang ugat Samakatuwid, ang katumbas na equation (1) ay mayroon ding kakaibang ugat

    Sagot: x = 3.

    HALIMBAWA 18:

    Lutasin ang hindi makatwirang equation: (1)

    Sa bisa ng kahulugan ng square root, nakuha namin na kung ang equation (1) ay may mga ugat, kung gayon sila ay kabilang sa set https://pandia.ru/text/78/021/images/image159_0.gif" width=" 163" taas="47" >.(2)

    Isaalang-alang ang function na https://pandia.ru/text/78/021/images/image147_1.gif" width="35" height="21"> mahigpit na tumataas sa set na ito para sa anumang ..gif" width="100" height ="41"> na may iisang ugat Samakatuwid, at katumbas nito sa set X ang equation (1) ay may iisang ugat

    Sagot: https://pandia.ru/text/78/021/images/image165_0.gif" width="145" height="27 src=">

    Solusyon: Ang equation na ito ay katumbas ng isang mixed system

    Ang mga equation kung saan ang isang variable ay nakapaloob sa ilalim ng tanda ng ugat ay tinatawag na hindi makatwiran.

    Ang mga pamamaraan para sa paglutas ng mga hindi makatwiran na equation, bilang panuntunan, ay batay sa posibilidad na palitan (sa tulong ng ilang mga pagbabagong-anyo) ang isang hindi makatwirang equation na may isang rational equation na katumbas ng orihinal na irrational equation o ang kinahinatnan nito. Kadalasan, ang magkabilang panig ng equation ay nakataas sa parehong kapangyarihan. Sa kasong ito, ang isang equation ay nakuha, na isang kinahinatnan ng orihinal.

    Kapag nilulutas ang mga hindi makatwirang equation, ang mga sumusunod ay dapat isaalang-alang:

    1) kung ang root index ay isang even number, kung gayon ang radikal na expression ay dapat na hindi negatibo; ang halaga ng ugat ay hindi rin negatibo (ang kahulugan ng isang ugat na may pantay na exponent);

    2) kung ang root index ay isang kakaibang numero, kung gayon ang radikal na expression ay maaaring maging anumang tunay na numero; sa kasong ito, ang tanda ng ugat ay kapareho ng tanda ng pagpapahayag ng ugat.

    Halimbawa 1 lutasin ang equation

    I-square natin ang magkabilang panig ng equation.
    x 2 - 3 \u003d 1;
    Inilipat namin ang -3 mula sa kaliwang bahagi ng equation sa kanang bahagi at ginagawa ang pagbawas ng mga katulad na termino.
    x 2 \u003d 4;
    Ang resultang hindi kumpletong quadratic equation ay may dalawang ugat -2 at 2.

    Suriin natin ang nakuha na mga ugat, para dito ay papalitan natin ang mga halaga ng variable x sa orihinal na equation.
    Pagsusulit.
    Kapag x 1 \u003d -2 - totoo:
    Kapag x 2 \u003d -2- totoo.
    Kasunod nito na ang orihinal na hindi makatwirang equation ay may dalawang ugat -2 at 2.

    Halimbawa 2 lutasin ang equation .

    Ang equation na ito ay maaaring malutas gamit ang parehong paraan tulad ng sa unang halimbawa, ngunit gagawin namin ito nang iba.

    Hanapin natin ang ODZ ng equation na ito. Mula sa kahulugan ng square root, sumusunod na sa equation na ito dalawang kundisyon ang dapat matugunan nang sabay-sabay:

    ODZ ng ibinigay na equation: x.

    Sagot: walang ugat.

    Halimbawa 3 lutasin ang equation =+ 2.

    Ang paghahanap ng ODZ sa equation na ito ay medyo mahirap na gawain. I-square natin ang magkabilang panig ng equation:
    x 3 + 4x - 1 - 8= x 3 - 1 + 4+ 4x;
    =0;
    x 1 =1; x2=0.
    Pagkatapos suriin, itinatag namin na ang x 2 \u003d 0 ay isang karagdagang ugat.
    Sagot: x 1 \u003d 1.

    Halimbawa 4 Lutasin ang equation x =.

    Sa halimbawang ito, ang ODZ ay madaling mahanap. ODZ ng equation na ito: x[-1;).

    I-square natin ang magkabilang panig ng equation na ito, bilang resulta makuha natin ang equation x 2 \u003d x + 1. Ang mga ugat ng equation na ito:

    Mahirap suriin ang mga natagpuang ugat. Ngunit, sa kabila ng katotohanan na ang parehong mga ugat ay nabibilang sa ODZ, imposibleng igiit na ang parehong mga ugat ay ang mga ugat ng orihinal na equation. Magreresulta ito sa isang error. AT kasong ito ang isang hindi makatwirang equation ay katumbas ng kumbinasyon ng dalawang hindi pagkakapantay-pantay at isang equation:

    x+10 at x0 at x 2 \u003d x + 1, kung saan sumusunod na ang negatibong ugat para sa hindi makatwirang equation ay extraneous at dapat na itapon.

    Halimbawa 5 . Lutasin ang equation += 7.

    I-square natin ang magkabilang panig ng equation at gawin ang pagbabawas ng magkatulad na termino, ilipat ang mga termino mula sa isang bahagi ng equation patungo sa isa pa at i-multiply ang parehong bahagi sa 0.5. Bilang resulta, nakukuha namin ang equation
    = 12, (*) na bunga ng orihinal. I-square natin muli ang magkabilang panig ng equation. Nakukuha natin ang equation (x + 5) (20 - x) = 144, na resulta ng orihinal. Ang resultang equation ay binabawasan sa anyong x 2 - 15x + 44 =0.

    Ang equation na ito (na bunga din ng orihinal) ay may mga ugat x 1 \u003d 4, x 2 \u003d 11. Ang parehong mga ugat, tulad ng ipinapakita ng pagsubok, ay nakakatugon sa orihinal na equation.

    Sinabi ni Rep. x 1 = 4, x 2 = 11.

    Magkomento. Kapag nag-squaring ng mga equation, ang mga mag-aaral ay madalas sa mga equation tulad ng (*) multiply root expression, iyon ay, sa halip na equation = 12, isinulat nila ang equation = 12. Hindi ito humahantong sa mga pagkakamali, dahil ang mga equation ay mga kahihinatnan ng mga equation. Gayunpaman, dapat itong isipin na sa pangkalahatang kaso, ang gayong pagpaparami ng mga radikal na expression ay nagbibigay ng hindi katumbas na mga equation.

    Sa mga halimbawang tinalakay sa itaas, posibleng ilipat muna ang isa sa mga radical sa kanang bahagi ng equation. Pagkatapos ay mananatili ang isang radikal sa kaliwang bahagi ng equation, at pagkatapos i-square ang magkabilang panig ng equation, isang rational function ang makukuha sa kaliwang bahagi ng equation. Ang pamamaraan na ito (solitude of the radical) ay kadalasang ginagamit sa paglutas ng mga hindi makatwirang equation.

    Halimbawa 6. Lutasin ang equation-= 3.

    Ang pagkakaroon ng isolated ang unang radical, nakuha namin ang equation
    =+ 3, na katumbas ng orihinal.

    Pag-squaring sa magkabilang panig ng equation na ito, makuha natin ang equation

    x 2 + 5x + 2 = x 2 - 3x + 3 + 6, na katumbas ng equation

    4x - 5 = 3(*). Ang equation na ito ay bunga ng orihinal na equation. Pag-squaring sa magkabilang panig ng equation, dumating tayo sa equation
    16x 2 - 40x + 25 \u003d 9 (x 2 - Zx + 3), o

    7x2 - 13x - 2 = 0.

    Ang equation na ito ay bunga ng equation (*) (at samakatuwid ay ang orihinal na equation) at may mga ugat. Ang unang ugat x 1 = 2 ay nakakatugon sa orihinal na equation, at ang pangalawang x 2 =- ay hindi.

    Sagot: x = 2.

    Tandaan na kung tayo kaagad, nang hindi ibinubukod ang isa sa mga radical, ay i-square ang parehong bahagi ng orihinal na equation, kailangan nating magsagawa ng medyo masalimuot na pagbabago.

    Kapag nilulutas ang mga hindi makatwirang equation, bilang karagdagan sa paghihiwalay ng mga radical, ginagamit din ang iba pang mga pamamaraan. Isaalang-alang ang isang halimbawa ng paggamit ng paraan ng pagpapalit ng hindi alam (ang paraan ng pagpapakilala ng isang auxiliary variable).

    MGA KAUGNAY NA ARTIKULO