Inililista namin ang mga integral ng elementary function, na kung minsan ay tinatawag na tabular:

Ang alinman sa mga formula sa itaas ay maaaring patunayan sa pamamagitan ng pagkuha ng derivative ng kanang bahagi (bilang resulta, ang integrand ay makukuha).

Mga pamamaraan ng pagsasama

Isaalang-alang natin ang ilang pangunahing paraan ng pagsasama. Kabilang dito ang:

1. Paraan ng agnas(direktang pagsasama).

Ang pamamaraang ito ay batay sa direktang aplikasyon ng mga integral na tabular, gayundin sa aplikasyon ng mga katangian 4 at 5 ng hindi tiyak na integral (i.e., pagkuha ng pare-parehong kadahilanan mula sa bracket at / o kumakatawan sa integrand bilang isang kabuuan ng mga function - pagpapalawak ng integrand sa mga termino).

Halimbawa 1 Halimbawa, upang mahanap ang (dx/x 4) maaari mong direktang gamitin ang table integral para sa x n dx. Sa katunayan, (dx/x 4) = x -4 dx=x -3 /(-3) +C= -1/3x 3 +C.

Tingnan natin ang ilan pang halimbawa.

Halimbawa 2 Upang mahanap, ginagamit namin ang parehong integral:

Halimbawa 3 Para mahanap kailangan mong kunin

Halimbawa 4 Upang mahanap, kinakatawan namin ang integrand sa form at gamitin ang table integral para sa exponential function:

Isaalang-alang ang paggamit ng bracketing ang pare-parehong kadahilanan.

Halimbawa 5Hanapin natin, halimbawa . Isinasaalang-alang na, nakukuha namin

Halimbawa 6 Hanapin natin. Dahil ang , ginagamit namin ang table integral Kunin

Maaari mo ring gamitin ang mga panaklong at mga integral ng talahanayan sa sumusunod na dalawang halimbawa:

Halimbawa 7

(ginagamit namin at );

Halimbawa 8

(ginagamit namin At ).

Tingnan natin ang mas kumplikadong mga halimbawa na gumagamit ng sum integral.

Halimbawa 9 Halimbawa, hanapin natin
. Upang ilapat ang paraan ng pagpapalawak sa numerator, ginagamit namin ang sum cube formula , at pagkatapos ay hatiin ang resultang polynomial term sa pamamagitan ng term ng denominator.

=((8x 3/2 + 12x+ 6x 1/2 + 1)/(x 3/2))dx=(8 + 12x -1/2 + 6/x+x -3/2)dx= 8 dx+ 12x -1/2 dx+ + 6dx/x+x -3/2 dx=

Dapat pansinin na sa dulo ng solusyon ang isang karaniwang pare-parehong C ay nakasulat (at hindi hiwalay kapag isinasama ang bawat termino). Sa hinaharap, iminumungkahi din na alisin ang mga constant mula sa pagsasama ng mga indibidwal na termino sa proseso ng paglutas hangga't ang expression ay naglalaman ng hindi bababa sa isang hindi tiyak na integral (magsusulat kami ng isang pare-pareho sa dulo ng solusyon).

Halimbawa 10 Hanapin natin . Upang malutas ang problemang ito, isinasali namin ang numerator (pagkatapos nito, maaari naming bawasan ang denominator).

Halimbawa 11. Hanapin natin. Maaaring gamitin dito ang mga pagkakakilanlan ng trigonometric.

Minsan, upang mabulok ang isang expression sa mga termino, kailangan mong gumamit ng mas kumplikadong mga diskarte.

Halimbawa 12. Hanapin natin . Sa integrand, pipiliin namin ang integer na bahagi ng fraction . Pagkatapos

Halimbawa 13 Hanapin natin

2. Paraan ng pagpapalit ng variable (paraan ng pagpapalit)

Ang pamamaraan ay batay sa sumusunod na formula: f(x)dx=f((t))`(t)dt, kung saan ang x =(t) ay isang function na naiba-iba sa itinuturing na interval.

Patunay. Hanapin natin ang mga derivatives na may paggalang sa variable t mula sa kaliwa at kanang bahagi ng formula.

Tandaan na sa kaliwang bahagi mayroong isang kumplikadong function na ang intermediate argument ay x = (t). Samakatuwid, upang pag-iba-ibahin ito nang may paggalang sa t, una nating pinagkaiba ang integral na may paggalang sa x, at pagkatapos ay kinukuha natin ang hinango ng intermediate argument na may paggalang sa t.

( f(x)dx)` t = ( f(x)dx)` x *x` t = f(x) `(t)

Derivative ng kanang bahagi:

(f((t))`(t)dt)` t =f((t))`(t) =f(x)`(t)

Dahil ang mga derivatives na ito ay pantay-pantay, sa pamamagitan ng isang corollary ng Lagrange's theorem, ang kaliwa at kanang bahagi ng formula na pinatutunayan ay naiiba ng ilang pare-pareho. Dahil ang mga di-tiyak na integral mismo ay tinukoy hanggang sa isang hindi tiyak na pare-parehong termino, ang pare-parehong ito ay maaaring tanggalin sa panghuling notasyon. Napatunayan.

Ang matagumpay na pagbabago ng variable ay nagpapahintulot sa amin na gawing simple ang orihinal na integral, at sa pinakasimpleng mga kaso, bawasan ito sa isang tabular. Sa aplikasyon ng pamamaraang ito, ang mga pamamaraan ng linear at non-linear na pagpapalit ay nakikilala.

a) Linear substitution method tingnan natin ang isang halimbawa.

Halimbawa 1
. Lett= 1 – 2x, pagkatapos

dx=d(½ - ½t) = - ½dt

Dapat tandaan na ang bagong variable ay hindi kailangang isulat nang tahasan. Sa ganitong mga kaso, ang isang tao ay nagsasalita tungkol sa pagbabago ng isang function sa ilalim ng pag-sign ng kaugalian, o ng pagpapakilala ng mga constants at mga variable sa ilalim ng pag-sign ng kaugalian, i.e. O implicit variable substitution.

Halimbawa 2 Halimbawa, hanapin natin ang cos(3x + 2)dx. Sa pamamagitan ng mga katangian ng differential dx = (1/3)d(3x) = (1/3)d(3x + 2), pagkataposcos(3x + 2)dx =(1/3)cos(3x + 2)d (3x + 2) = (1/3)cos(3x + 2)d(3x + 2) = (1/3)sin(3x + 2) +C.

Sa parehong itinuturing na mga halimbawa, ang linear substitution t=kx+b(k0) ay ginamit upang mahanap ang mga integral.

Sa pangkalahatang kaso, ang sumusunod na teorama ay humahawak.

Linear substitution theorem. Hayaang ang F(x) ay ilang antiderivative para sa function na f(x). Pagkataposf(kx+b)dx= (1/k)F(kx+b) +C, kung saan ang k at b ay ilang constants,k0.

Patunay.

Sa pamamagitan ng kahulugan ng integral f(kx+b)d(kx+b) =F(kx+b) +C. Hod(kx+b)= (kx+b)`dx=kdx. Inalis namin ang constant factor k para sa integral sign: kf(kx+b)dx=F(kx+b) +C. Ngayon ay maaari nating hatiin ang kaliwa at kanang bahagi ng pagkakapantay-pantay sa pamamagitan ng k at makuha ang assertion na patunayan hanggang sa notasyon ng isang pare-parehong termino.

Ang theorem na ito ay nagsasaad na kung ang expression (kx+b) ay pinapalitan sa kahulugan ng integral f(x)dx= F(x) + C, ito ay hahantong sa paglitaw ng karagdagang factor 1/k sa harap. ng antiderivative.

Gamit ang napatunayang teorama, malulutas namin ang mga sumusunod na halimbawa.

Halimbawa 3

Hanapin natin . Dito kx+b= 3 –x, ibig sabihin, k= -1,b= 3. Pagkatapos

Halimbawa 4

Hanapin natin. Dito kx+b= 4x+ 3, ibig sabihin, k= 4,b= 3. Pagkatapos

Halimbawa 5

Hanapin natin . Dito kx+b= -2x+ 7, ibig sabihin, k= -2,b= 7. Pagkatapos

.

Halimbawa 6 Hanapin natin
. Dito kx+b= 2x+ 0, ibig sabihin, k= 2,b= 0.

.

Ihambing natin ang nakuha na resulta sa halimbawa 8, na nalutas sa pamamagitan ng paraan ng agnas. Ang paglutas ng parehong problema sa pamamagitan ng isa pang pamamaraan, nakuha namin ang sagot
. Ihambing natin ang mga resulta: Kaya, ang mga expression na ito ay naiiba sa bawat isa sa pamamagitan ng isang pare-parehong termino , ibig sabihin. ang mga sagot na natanggap ay hindi sumasalungat sa bawat isa.

Halimbawa 7 Hanapin natin
. Pumili kami ng isang buong parisukat sa denominator.

Sa ilang mga kaso, ang pagbabago ng variable ay hindi binabawasan ang integral nang direkta sa isang tabular, ngunit maaari nitong gawing simple ang solusyon sa pamamagitan ng paggawang posible na ilapat ang paraan ng agnas sa susunod na hakbang.

Halimbawa 8 Halimbawa, hanapin natin . Palitan ang t=x+ 2, pagkatapos ay dt=d(x+ 2) =dx. Pagkatapos

,

kung saan ang C \u003d C 1 - 6 (kapag pinapalitan sa halip na t ang expression (x + 2), sa halip na ang unang dalawang termino, makakakuha tayo ng ½x 2 -2x - 6).

Halimbawa 9 Hanapin natin
. Hayaan ang t= 2x+ 1, pagkatapos ay dt= 2dx;dx= ½dt;x= (t– 1)/2.

Pinapalitan namin ang expression (2x + 1) sa halip na t, buksan ang mga bracket at magbigay ng mga katulad.

Tandaan na sa proseso ng mga pagbabagong-anyo ay dumaan kami sa isa pang pare-parehong termino, dahil maaaring tanggalin ang pangkat ng mga pare-parehong termino sa proseso ng mga pagbabago.

b) Paraan ng non-linear substitution tingnan natin ang isang halimbawa.

Halimbawa 1
. Hayaan ang t= -x 2 . Dagdag pa, maaaring ipahayag ng isa ang x sa mga tuntunin ng t, pagkatapos ay maghanap ng isang expression para sa dx at magpatupad ng pagbabago ng variable sa nais na integral. Ngunit sa kasong ito mas madaling gawin kung hindi man. Hanapin ang dt=d(-x 2) = -2xdx. Tandaan na ang expression na xdx ay isang salik ng integrand ng gustong integral. Ipinapahayag namin ito mula sa nagresultang pagkakapantay-pantay xdx= - ½dt. Pagkatapos

Mga pangunahing formula at pamamaraan ng pagsasama. Panuntunan sa pagsasama ng kabuuan o pagkakaiba. Pag-alis ng pare-pareho sa integral sign. Paraan ng pagpapalit ng variable. Ang formula para sa pagsasama ng mga bahagi. Isang halimbawa ng solusyon sa problema.

Ang apat na pangunahing paraan ng pagsasama ay nakalista sa ibaba.

1) Panuntunan sa pagsasama ng kabuuan o pagkakaiba.
.
Dito at sa ibaba, ang u, v, w ay mga function ng integration variable x .

2) Pag-alis ng pare-pareho sa integral sign.
Hayaan ang c ay isang pare-parehong independyente ng x. Pagkatapos ay maaari itong alisin sa integral sign.

3) Paraan ng pagpapalit ng variable.
Isaalang-alang ang hindi tiyak na integral.
Kung posible na pumili ng gayong function φ (x) mula sa x, kaya
,
pagkatapos, pagkatapos baguhin ang variable t = φ(x) , mayroon tayo
.

4) Ang formula para sa pagsasama ng mga bahagi.
,
kung saan ang u at v ay mga function ng integration variable.

Ang pangwakas na layunin ng pagkalkula ng mga hindi tiyak na integral ay, sa pamamagitan ng mga pagbabago, upang dalhin ang ibinigay na integral sa pinakasimpleng integral, na tinatawag na tabular integral. Ang mga integral ng talahanayan ay ipinahayag sa mga tuntunin ng elementarya na pag-andar gamit ang mga kilalang formula.
Tingnan ang Talaan ng mga integral >>>

Halimbawa

Kalkulahin ang hindi tiyak na integral

Solusyon

Tandaan na ang integrand ay ang kabuuan at pagkakaiba ng tatlong termino:
, At .
Inilapat namin ang pamamaraan 1 .

Dagdag pa, tandaan namin na ang mga integrand ng mga bagong integral ay pinarami ng mga constants 5, 4, At 2 , ayon sa pagkakabanggit. Inilapat namin ang pamamaraan 2 .

Sa talahanayan ng mga integral nakita natin ang formula
.
Setting n = 2 , nakita namin ang unang integral.

Isulat muli natin ang pangalawang integral sa anyo
.
Napapansin natin yan. Pagkatapos

Gamitin natin ang ikatlong paraan. Ginagawa namin ang pagbabago ng variable t = φ (x) = log x.
.
Sa talahanayan ng mga integral nakita natin ang formula

Dahil ang variable ng pagsasama ay maaaring ipahiwatig ng anumang titik, kung gayon

Isulat muli natin ang ikatlong integral sa anyo
.
Inilapat namin ang formula para sa pagsasama ng mga bahagi.
Hayaan .
Pagkatapos
;
;

;
;
.

Sa pahinang ito makikita mo ang:

1. Sa totoo lang, ang talahanayan ng mga antiderivatives - maaari itong i-download sa format na PDF at i-print;

2. Video kung paano gamitin ang talahanayang ito;

3. Isang grupo ng mga halimbawa ng pagkalkula ng antiderivative mula sa iba't ibang mga aklat-aralin at pagsusulit.

Sa mismong video, susuriin namin ang maraming mga gawain kung saan kinakailangan na kalkulahin ang mga antiderivative function, kadalasang medyo kumplikado, ngunit ang pinakamahalaga, hindi sila power-law. Ang lahat ng mga function na nakabuod sa talahanayan na iminungkahi sa itaas ay dapat na kilala sa puso, tulad ng mga derivatives. Kung wala ang mga ito, ang karagdagang pag-aaral ng mga integral at ang kanilang aplikasyon upang malutas ang mga praktikal na problema ay imposible.

Ngayon ay patuloy kaming humaharap sa mga primitive at lumipat sa isang bahagyang mas kumplikadong paksa. Kung ang huling pagkakataon ay isinasaalang-alang namin ang mga antiderivative mula lamang sa mga function ng kapangyarihan at bahagyang mas kumplikadong mga istraktura, ngayon ay susuriin namin ang trigonometry at marami pa.

Tulad ng sinabi ko sa huling aralin, ang mga antiderivative, hindi katulad ng mga derivatives, ay hindi kailanman malulutas na "blangko" gamit ang anumang karaniwang mga patakaran. Bukod dito, ang masamang balita ay, hindi katulad ng hinalaw, ang antiderivative ay maaaring hindi maisaalang-alang sa lahat. Kung sumulat tayo ng isang ganap na random na function at subukang hanapin ang derivative nito, magtatagumpay tayo na may napakataas na posibilidad, ngunit ang antiderivative ay halos hindi kailanman makalkula sa kasong ito. Ngunit mayroon ding magandang balita: mayroong isang medyo malaking klase ng mga pag-andar na tinatawag na elementarya na mga pag-andar, ang mga antiderivative na kung saan ay napakadaling kalkulahin. At lahat ng iba pang mas kumplikadong mga konstruksyon na ibinibigay sa iba't ibang kontrol, independyente at mga pagsusulit, sa katunayan, ay binubuo ng mga elementarya na pag-andar na ito sa pamamagitan ng pagdaragdag, pagbabawas at iba pang mga simpleng aksyon. Ang mga antiderivatives ng naturang mga pag-andar ay matagal nang kinakalkula at na-summarized sa mga espesyal na talahanayan. Ito ay may ganitong mga pag-andar at mga talahanayan na gagawin namin ngayon.

Ngunit magsisimula tayo, gaya ng dati, sa isang pag-uulit: tandaan kung ano ang isang antiderivative, kung bakit mayroong isang walang katapusang bilang ng mga ito, at kung paano matukoy ang kanilang pangkalahatang anyo. Upang gawin ito, kinuha ko ang dalawang simpleng gawain.

Paglutas ng mga madaling halimbawa

Halimbawa #1

Tandaan kaagad na ang $\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)$ at ang presensya ng $\text( )\!\!\pi\!\! Ang \ text( )$ ay agad na nagpapahiwatig sa amin na ang kinakailangang antiderivative ng function ay nauugnay sa trigonometry. At, sa katunayan, kung titingnan natin ang talahanayan, makikita natin na ang $\frac(1)(1+((x)^(2)))$ ay walang iba kundi $\text(arctg)x$. Kaya't magsulat tayo:

Upang mahanap, kailangan mong isulat ang sumusunod:

\[\frac(\pi )(6)=\text(arctg)\sqrt(3)+C\]

\[\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )) (3)+C\]

Halimbawa #2

Dito rin nag-uusap kami tungkol sa trigonometriko function. Kung titingnan natin ang talahanayan, kung gayon, sa katunayan, ito ay magiging ganito:

Kailangan nating hanapin sa buong hanay ng mga antiderivative ang isa na dumadaan sa tinukoy na punto:

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\arcsin \frac(1)(2)+C\]

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)+C\]

Sa wakas ay isulat natin ito:

Ganun kasimple. Ang tanging problema ay upang mabilang ang mga antiderivatives ng mga simpleng function, kailangan mong matutunan ang talahanayan ng mga antiderivatives. Gayunpaman, pagkatapos matutunan ang talahanayan ng mga derivatives para sa iyo, sa palagay ko hindi ito magiging problema.

Paglutas ng mga problemang naglalaman ng exponential function

Magsimula tayo sa pagsulat ng mga sumusunod na formula:

\[((e)^(x))\to ((e)^(x))\]

\[((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\ln a)\]

Tingnan natin kung paano gumagana ang lahat sa pagsasanay.

Halimbawa #1

Kung titingnan natin ang mga nilalaman ng mga bracket, mapapansin natin na sa talahanayan ng mga antiderivatives ay walang ganoong expression na ang $((e)^(x))$ ay nasa isang parisukat, kaya dapat na buksan ang parisukat na ito. Upang gawin ito, ginagamit namin ang mga formula ng pinaikling multiplikasyon:

Hanapin natin ang antiderivative para sa bawat isa sa mga termino:

\[((e)^(2x))=((\left(((e)^(2)) \right))^(x))\to \frac(((\left(((e))^ (2)) \kanan))^(x)))(\ln ((e)^(2)))=\frac(((e)^(2x)))(2)\]

\[((e)^(-2x))=((\left(((e)^(-2)) \right))^(x))\to \frac(((\left(((e) )^(-2)) \kanan))^(x)))(\ln ((e)^(-2)))=\frac(1)(-2((e)^(2x))) \]

At ngayon kinokolekta namin ang lahat ng mga termino sa isang expression at kumuha ng isang karaniwang antiderivative:

Halimbawa #2

Sa pagkakataong ito, mas malaki na ang exponent, kaya medyo magiging kumplikado ang pinaikling formula ng multiplikasyon. Palawakin natin ang mga bracket:

Ngayon subukan nating kunin ang antiderivative ng ating formula mula sa konstruksiyon na ito:

Tulad ng makikita mo, walang kumplikado at supernatural sa mga antiderivatives ng exponential function. Kinakalkula ang lahat sa pamamagitan ng mga talahanayan, gayunpaman, tiyak na mapapansin ng mga matulunging estudyante na ang antiderivative na $((e)^(2x))$ ay mas malapit sa $((e)^(x))$ lamang kaysa sa $((a )^(x ))$. Kaya, marahil mayroong ilang higit pang espesyal na panuntunan na nagpapahintulot, alam ang antiderivative na $((e)^(x))$, upang mahanap ang $((e)^(2x))$? Oo, may ganoong tuntunin. At, bukod dito, ito ay isang mahalagang bahagi ng pagtatrabaho sa talahanayan ng mga antiderivatives. Susuriin namin ngayon ito gamit ang parehong mga expression na ginamit namin bilang isang halimbawa.

Mga panuntunan para sa pagtatrabaho sa talahanayan ng mga antiderivatives

Isulat muli natin ang ating function:

Sa nakaraang kaso, ginamit namin ang sumusunod na formula upang malutas:

\[((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\operatorname(lna))\]

Ngunit ngayon ay gumawa tayo ng ibang bagay: tandaan kung anong batayan ang $((e)^(x))\to ((e)^(x))$. Gaya ng nasabi na, dahil ang derivative ng $((e)^(x))$ ay walang iba kundi $((e)^(x))$, kaya ang antiderivative nito ay magiging katumbas ng parehong $((e) ^( x))$. Ngunit ang problema ay mayroon tayong $((e)^(2x))$ at $((e)^(-2x))$. Ngayon subukan nating hanapin ang derivative na $((e)^(2x))$:

\[((\left(((e)^(2x)) \right))^(\prime ))=((e)^(2x))\cdot ((\left(2x \right))^( \prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]

Muli nating isulat muli ang ating pagtatayo:

\[((\left(((e)^(2x)) \right))^(\prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]

\[((e)^(2x))=((\left(\frac(((e)^(2x)))(2) \right))^(\prime ))\]

At nangangahulugan ito na kapag hinahanap ang antiderivative na $((e)^(2x))$, nakukuha natin ang sumusunod:

\[((e)^(2x))\to \frac(((e)^(2x)))(2)\]

Tulad ng nakikita mo, nakuha namin ang parehong resulta tulad ng dati, ngunit hindi namin ginamit ang formula upang mahanap ang $((a)^(x))$. Ngayon ito ay maaaring mukhang hangal: bakit kumplikado ang mga kalkulasyon kapag mayroong isang karaniwang formula? Gayunpaman, sa bahagyang mas kumplikadong mga expression, makikita mo na ang pamamaraan na ito ay napaka-epektibo, i.e. gamit ang mga derivatives upang mahanap ang mga antiderivatives.

Hayaan, bilang isang warm-up, hanapin ang antiderivative ng $((e)^(2x))$ sa katulad na paraan:

\[((\left(((e)^(-2x)) \right))^(\prime ))=((e)^(-2x))\cdot \left(-2 \right)\]

\[((e)^(-2x))=((\left(\frac(((e)^(-2x)))(-2) \right))^(\prime ))\]

Kapag kinakalkula, ang aming konstruksiyon ay isusulat tulad ng sumusunod:

\[((e)^(-2x))\to -\frac(((e)^(-2x)))(2)\]

\[((e)^(-2x))\to -\frac(1)(2\cdot ((e)^(2x)))\]

Nakuha namin ang eksaktong parehong resulta, ngunit pumunta sa ibang paraan. Ito ay sa ganitong paraan, na tila sa amin ngayon ay medyo mas kumplikado, sa hinaharap ay magiging mas mahusay para sa pagkalkula ng mas kumplikadong antiderivatives at paggamit ng mga talahanayan.

Tandaan! Ito ay isang napakahalagang punto: ang mga antiderivative, tulad ng mga derivative, ay mabibilang sa maraming iba't ibang paraan. Gayunpaman, kung ang lahat ng mga kalkulasyon at kalkulasyon ay pantay, ang sagot ay magiging pareho. Nakita na lang natin ito sa halimbawa ng $((e)^(-2x))$ - sa isang banda, nakalkula na natin itong antiderivative na "sa kabuuan", gamit ang kahulugan at pagkalkula nito sa tulong ng mga pagbabago, sa sa kabilang banda, naalala namin na ang $ ((e)^(-2x))$ ay maaaring katawanin bilang $((\left(((e)^(-2)) \right))^(x))$ at pagkatapos gamitin ang antiderivative para sa function na $( (a)^(x))$. Gayunpaman, pagkatapos ng lahat ng mga pagbabago, ang resulta ay pareho sa inaasahan.

At ngayong naiintindihan na natin ang lahat ng ito, oras na para magpatuloy sa isang bagay na mas matibay. Ngayon ay susuriin natin ang dalawang simpleng mga konstruksyon, gayunpaman, ang pamamaraan na ilalagay kapag nilutas ang mga ito ay isang mas malakas at kapaki-pakinabang na tool kaysa sa isang simpleng "pagtakbo" sa pagitan ng mga kalapit na antiderivatives mula sa talahanayan.

Paglutas ng problema: hanapin ang antiderivative ng isang function

Halimbawa #1

Ibigay ang halaga na nasa mga numerator, mabulok sa tatlong magkakahiwalay na fraction:

Ito ay medyo natural at nauunawaan na paglipat - karamihan sa mga mag-aaral ay walang problema dito. Muli nating isulat ang ating ekspresyon tulad ng sumusunod:

Ngayon tandaan natin ang formula na ito:

Sa aming kaso, makukuha namin ang sumusunod:

Upang maalis ang lahat ng tatlong-kuwento na fraction na ito, iminumungkahi kong gawin ang sumusunod:

Halimbawa #2

Hindi tulad ng nakaraang fraction, ang denominator ay hindi ang produkto, ngunit ang kabuuan. Sa kasong ito, hindi na natin mahahati ang ating fraction sa kabuuan ng ilang simpleng fraction, ngunit kailangan nating subukang tiyakin na ang numerator ay naglalaman ng humigit-kumulang kaparehong expression ng denominator. Sa kasong ito, medyo madaling gawin:

Ang gayong notasyon, na sa wika ng matematika ay tinatawag na "pagdaragdag ng zero", ay magbibigay-daan sa amin na muling hatiin ang bahagi sa dalawang piraso:

Ngayon, hanapin natin ang hinahanap natin:

Iyon lang ang mga kalkulasyon. Sa kabila ng maliwanag na mas kumplikado kaysa sa nakaraang problema, ang halaga ng mga kalkulasyon ay naging mas maliit.

Nuances ng solusyon

At ito ay kung saan ang pangunahing kahirapan ng pagtatrabaho sa tabular primitives ay namamalagi, ito ay lalong kapansin-pansin sa pangalawang gawain. Ang katotohanan ay upang pumili ng ilang mga elemento na madaling mabibilang sa pamamagitan ng talahanayan, kailangan nating malaman kung ano ang eksaktong hinahanap natin, at nasa paghahanap para sa mga elementong ito na binubuo ang buong pagkalkula ng mga antiderivatives.

Sa madaling salita, hindi sapat na kabisaduhin lamang ang talahanayan ng mga antiderivatives - kailangan mong makita ang isang bagay na wala pa, ngunit kung ano ang ibig sabihin ng may-akda at tagatala ng problemang ito. Iyon ang dahilan kung bakit maraming mga mathematician, guro at propesor ang patuloy na nagtatalo: "Ano ang pagkuha ng mga antiderivatives o pagsasama - ito ba ay isang tool lamang o ito ba ay tunay na sining?" Sa katunayan, sa aking personal na opinyon, ang pagsasama-sama ay hindi isang sining - walang kahanga-hanga dito, ito ay pagsasanay at pagsasanay lamang muli. At para magsanay, lutasin natin ang tatlo pang seryosong halimbawa.

Magsanay ng pagsasama sa pagsasanay

Gawain 1

Isulat natin ang mga sumusunod na formula:

\[((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

\[\frac(1)(x)\to \ln x\]

\[\frac(1)(1+((x)^(2)))\to \text(arctg)x\]

Isulat natin ang sumusunod:

Gawain #2

Isulat muli natin ito tulad ng sumusunod:

Ang kabuuang antiderivative ay magiging katumbas ng:

Gawain #3

Ang pagiging kumplikado ng gawaing ito ay nakasalalay sa katotohanan na, hindi katulad ng mga nakaraang pag-andar, walang variable na $x$ sa itaas, i.e. hindi malinaw sa amin kung ano ang idadagdag, ibawas upang makakuha ng kahit na isang bagay na katulad ng nasa ibaba. Gayunpaman, sa katunayan, ang expression na ito ay itinuturing na mas simple kaysa sa anumang expression mula sa nakaraang mga konstruksyon, dahil ang function na ito ay maaaring muling isulat tulad ng sumusunod:

Maaari mo na ngayong itanong: bakit pantay ang mga function na ito? Suriin natin:

Muli nating isulat:

Baguhin natin ng kaunti ang ating ekspresyon:

At kapag ipinaliwanag ko ang lahat ng ito sa aking mga mag-aaral, ang parehong problema ay halos palaging lumitaw: sa unang pag-andar ang lahat ay higit pa o hindi gaanong malinaw, sa pangalawa maaari mo ring malaman ito nang may swerte o pagsasanay, ngunit anong uri ng alternatibong kamalayan ang ginagawa kailangan mong magkaroon upang malutas ang ikatlong halimbawa? Sa totoo lang, huwag kang matakot. Ang pamamaraan na ginamit namin kapag kinakalkula ang huling antiderivative ay tinatawag na "pagbubulok ng isang function sa pinakasimpleng", at ito ay isang napakaseryosong pamamaraan, at isang hiwalay na aralin sa video ang ilalaan dito.

Pansamantala, iminumungkahi kong bumalik sa kung ano ang aming pinag-aralan, ibig sabihin, sa exponential function at medyo kumplikado ang mga gawain sa kanilang nilalaman.

Mas kumplikadong mga problema para sa paglutas ng mga antiderivative exponential function

Gawain 1

Pansinin ang sumusunod:

\[((2)^(x))\cdot ((5)^(x))=((\kaliwa(2\cdot 5 \right))^(x))=((10)^(x) )\]

Upang mahanap ang antiderivative ng expression na ito, gamitin lamang ang karaniwang formula na $((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\ln a)$.

Sa aming kaso, ang primitive ay magiging ganito:

Of course, against the background of the construction that we just solve, this one looks simpler.

Gawain #2

Muli, madaling makita na ang function na ito ay madaling hatiin sa dalawang magkahiwalay na termino - dalawang magkahiwalay na fraction. Muli nating isulat:

Ito ay nananatiling hanapin ang antiderivative ng bawat isa sa mga terminong ito ayon sa formula sa itaas:

Sa kabila ng maliwanag na mas kumplikado ng mga exponential function kumpara sa mga power function, ang kabuuang halaga ng mga kalkulasyon at kalkulasyon ay naging mas simple.

Siyempre, para sa mga mag-aaral na may kaalaman, ang kakaharap lang natin (lalo na sa background ng kung ano ang napag-usapan natin noon) ay maaaring mukhang elementarya. Gayunpaman, sa pagpili ng dalawang gawaing ito para sa video tutorial ngayon, hindi ko itinakda sa aking sarili ang layunin na sabihin sa iyo ang isa pang kumplikado at nakakalito na trick - ang gusto ko lang ipakita sa iyo ay hindi ka dapat matakot na gumamit ng mga karaniwang algebra trick upang mabago ang orihinal na mga function. .

Gamit ang "lihim" na pamamaraan

Sa konklusyon, nais kong pag-aralan ang isa pang kawili-wiling pamamaraan, na, sa isang banda, ay lumampas sa kung ano ang pangunahing nasuri natin ngayon, ngunit, sa kabilang banda, ito ay, una, hindi nangangahulugang kumplikado, i.e. kahit na ang mga baguhang mag-aaral ay maaaring makabisado ito, at, pangalawa, ito ay madalas na matatagpuan sa lahat ng uri ng kontrol at independiyenteng gawain, i.e. ang pag-alam na ito ay magiging lubhang kapaki-pakinabang bilang karagdagan sa pag-alam sa talahanayan ng mga antiderivatives.

Gawain 1

Malinaw, mayroon kaming isang bagay na halos kapareho sa isang power function. Paano tayo dapat magpatuloy sa kasong ito? Pag-isipan natin ito: ang $x-5$ ay naiiba sa $x$ na hindi gaanong - nagdagdag lang ng $-5$. Isulat natin ito ng ganito:

\[((x)^(4))\to \frac(((x)^(5)))(5)\]

\[((\left(\frac(((x)^(5)))(5) \right))^(\prime ))=\frac(5\cdot ((x)^(4))) (5)=((x)^(4))\]

Subukan nating hanapin ang derivative ng $((\left(x-5 \right))^(5))$:

\[((\left(((\left(x-5 \right)))^(5)) \right))^(\prime ))=5\cdot ((\left(x-5 \right)) ^(4))\cdot ((\left(x-5 \right))^(\prime ))=5\cdot ((\left(x-5 \right))^(4))\]

Ito ay nagpapahiwatig:

\[((\left(x-5 \right))^(4))=((\left(\frac(((\left(x-5 \right)))^(5)))(5) \ kanan))^(\prime ))\]

Walang ganoong halaga sa talahanayan, kaya nakuha na namin ang formula na ito sa aming sarili, gamit ang karaniwang antiderivative formula para sa isang power function. Isulat natin ang sagot tulad nito:

Gawain #2

Sa maraming mag-aaral na tumitingin sa unang solusyon, maaaring mukhang napakasimple ng lahat: sapat na upang palitan ang $x$ sa power function ng isang linear na expression, at lahat ay mahuhulog sa lugar. Sa kasamaang palad, ang lahat ay hindi gaanong simple, at ngayon ay makikita natin ito.

Sa pamamagitan ng pagkakatulad sa unang expression, isinusulat namin ang sumusunod:

\[((x)^(9))\to \frac(((x)^(10)))(10)\]

\[((\left(((\left(4-3x \right)))^(10)) \right))^(\prime ))=10\cdot ((\left(4-3x \right)) ^(9))\cdot ((\kaliwa(4-3x \kanan))^(\prime ))=\]

\[=10\cdot ((\left(4-3x \right))^(9))\cdot \left(-3 \right)=-30\cdot ((\left(4-3x \right)) ^(9))\]

Pagbabalik sa aming derivative, maaari naming isulat:

\[((\left(((\left(4-3x \right)))^(10)) \right))^(\prime ))=-30\cdot ((\left(4-3x \right) )^(9))\]

\[((\left(4-3x \right))^(9))=((\left(\frac(((\left(4-3x \right)))^(10)))(-30) \kanan))^(\prime ))\]

Mula dito ay agad itong sumusunod:

Nuances ng solusyon

Pakitandaan: kung sa huling pagkakataon ay walang nagbago, sa pangalawang kaso, $-30$ ang lumitaw sa halip na $-10$. Ano ang pagkakaiba sa pagitan ng $-10$ at $-30$? Malinaw, sa kadahilanang $-3$. Tanong: saan ito nanggaling? Kung titingnang mabuti, makikita mo na ito ay kinuha bilang resulta ng pagkalkula ng derivative ng isang kumplikadong function - ang coefficient na nakatayo sa $x$ ay lilitaw sa antiderivative sa ibaba. Ito ay isang napakahalagang panuntunan, na sa una ay hindi ko binalak na pag-aralan ang lahat sa video tutorial ngayon, ngunit kung wala ito, ang pagtatanghal ng mga tabular na antiderivative ay hindi kumpleto.

Kaya ulitin natin. Hayaan ang aming pangunahing function ng kapangyarihan:

\[((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

At ngayon sa halip na $x$ palitan natin ang expression na $kx+b$. Ano kaya ang mangyayari? Kailangan nating hanapin ang mga sumusunod:

\[((\left(kx+b \right))^(n))\to \frac(((\left(kx+b \right))^(n+1)))(\left(n+ 1 \kanan)\cdot k)\]

Sa anong batayan natin ito iginigiit? Napakasimple. Hanapin natin ang derivative ng construction na nakasulat sa itaas:

\[((\left(\frac(((\left(kx+b \right)))^(n+1)))(\left(n+1 \right)\cdot k) \right))^( \prime ))=\frac(1)(\left(n+1 \right)\cdot k)\cdot \left(n+1 \right)\cdot ((\left(kx+b \right))^ (n))\cdot k=((\kaliwa(kx+b \kanan))^(n))\]

Ito ang parehong expression na orihinal. Kaya, ang formula na ito ay tama rin, at maaari itong magamit upang madagdagan ang talahanayan ng mga antiderivatives, ngunit mas mahusay na tandaan lamang ang buong talahanayan.

Mga konklusyon mula sa "lihim: pagtanggap:

• Ang parehong mga pag-andar na isinasaalang-alang natin, sa katunayan, ay maaaring mabawasan sa mga antiderivative na ipinahiwatig sa talahanayan sa pamamagitan ng pagbubukas ng mga degree, ngunit kung higit pa o mas kaunti ay makakayanan natin ang ika-apat na antas, kung gayon hindi ko gagawin ang ikasiyam na antas. nagbakasakali na ihayag.
• Kung bubuksan natin ang mga degree, makakakuha tayo ng ganoong dami ng mga kalkulasyon na ang isang simpleng gawain ay magdadala sa atin ng hindi sapat na dami ng oras.
• Iyon ang dahilan kung bakit ang mga naturang gawain, sa loob kung saan may mga linear na expression, ay hindi kailangang malutas na "blangko". Sa sandaling matugunan mo ang isang antiderivative, na naiiba mula sa isa sa talahanayan lamang sa pagkakaroon ng expression na $kx+b$ sa loob, agad na tandaan ang formula na nakasulat sa itaas, palitan ito sa iyong tabular antiderivative, at lahat ay magiging marami. mas mabilis at mas madali.

Naturally, dahil sa pagiging kumplikado at kabigatan ng diskarteng ito, paulit-ulit kaming babalik sa pagsasaalang-alang nito sa hinaharap na mga video tutorial, ngunit para sa ngayon ay mayroon akong lahat. Sana ay talagang makatulong ang araling ito sa mga mag-aaral na gustong maunawaan ang mga antiderivatives at integration.

Ang pag-aaral na pagsamahin ay hindi mahirap. Upang gawin ito, kailangan mo lamang matuto ng isang tiyak, sa halip maliit, hanay ng mga patakaran at bumuo ng isang uri ng likas na talino. Siyempre, madaling matutunan ang mga patakaran at pormula, ngunit sa halip mahirap maunawaan kung saan at kailan ilalapat ito o ang panuntunang iyon ng pagsasama o pagkita ng kaibhan. Ito, sa katunayan, ay ang kakayahang magsama.

1. Antiderivative. Indefinite integral.

Ipinapalagay na sa oras ng pagbabasa ng artikulong ito, ang mambabasa ay mayroon nang ilang mga kasanayan sa pagkakaiba-iba (i.e., paghahanap ng mga derivatives).

Kahulugan 1.1: Ang isang function ay tinatawag na isang antiderivative kung ang pagkakapantay-pantay ay mayroong:

Mga komento:> Ang diin sa salitang "primordial" ay maaaring ilagay sa dalawang paraan: O kinakabahan o orihinal A nakakaalam.

Ari-arian 1: Kung ang isang function ay isang antiderivative ng isang function, kung gayon ang function ay isa ring antiderivative ng isang function.

Patunay: Patunayan natin ito mula sa kahulugan ng isang antiderivative. Hanapin natin ang derivative ng function:

Ang unang termino sa kahulugan 1.1 katumbas ng , at ang pangalawang termino ay ang derivative ng pare-pareho, na katumbas ng 0.

.

Ibuod. Isulat natin ang simula at dulo ng chain of equalities:

Kaya, ang derivative ng function ay pantay, at samakatuwid, sa pamamagitan ng kahulugan, ay ang antiderivative nito. Ang ari-arian ay napatunayan na.

Kahulugan 1.2: Ang hindi tiyak na integral ng isang function ay ang buong hanay ng mga antiderivatives ng function na ito. Ito ay tinutukoy ng ganito:

.

Isaalang-alang ang mga pangalan ng bawat bahagi ng talaan nang detalyado:

ay ang pangkalahatang notasyon para sa integral,

ay isang integrand (integrand) expression, isang integrable function.

ay ang differential, at ang expression pagkatapos ng titik , sa kasong ito, ay tatawaging variable ng pagsasama.

Mga komento: Ang mga pangunahing salita sa kahulugang ito ay "ang buong hanay". Yung. kung sa hinaharap ang "plus C" na ito ay hindi nakasulat sa sagot, kung gayon ang inspektor ay may lahat ng karapatan na huwag bigyan ng kredito ang gawaing ito, dahil ito ay kinakailangan upang mahanap ang buong hanay ng mga antiderivatives, at kung C ay wala, pagkatapos ay isa lamang ang matatagpuan.

Konklusyon: Upang masuri kung ang integral ay kinakalkula nang tama, kinakailangan upang mahanap ang derivative ng resulta. Dapat itong tumugma sa integrand.
Halimbawa:
Pagsasanay: Kalkulahin ang hindi tiyak na integral at suriin.

Solusyon:

Ang paraan ng pagkalkula ng integral na ito ay hindi mahalaga sa kasong ito. Ipagpalagay na ito ay isang paghahayag mula sa itaas. Ang aming gawain ay ipakita na ang paghahayag ay hindi tayo dinaya, at ito ay maaaring gawin sa tulong ng pagpapatunay.

Pagsusuri:

Kapag iniiba ang resulta, nakuha ang isang integrand, na nangangahulugan na ang integral ay kinakalkula nang tama.

2. Magsimula. Talaan ng mga integral.

Para sa pagsasama, hindi kailangang tandaan sa bawat oras na ang function na ang derivative ay katumbas ng ibinigay na integrand (ibig sabihin, gamitin ang kahulugan ng integral nang direkta). Ang bawat koleksyon ng mga problema o isang aklat-aralin sa pagsusuri sa matematika ay naglalaman ng isang listahan ng mga katangian ng mga integral at isang talahanayan ng mga pinakasimpleng integral.

Ilista natin ang mga katangian.

Ari-arian:
1.
Ang integral ng differential ay katumbas ng integration variable.
2. , kung saan ay isang pare-pareho.
Ang pare-parehong multiplier ay maaaring alisin sa integral sign.

3.
Ang integral ng kabuuan ay katumbas ng kabuuan ng mga integral (kung ang bilang ng mga termino ay may hangganan).
Integral na talahanayan:

1.	10.
2.	11.
3.	12.
4.	13.
5.	14.
6.	15.
7.	16.
8.	17.
9.	18.

Kadalasan, ang gawain ay bawasan ang inimbestigahang integral sa isang tabular gamit ang mga katangian at formula.

Halimbawa:

[Gamitin natin ang ikatlong katangian ng mga integral at isulat ito bilang kabuuan ng tatlong integral.]

[Gamitin natin ang pangalawang pag-aari at alisin ang mga constant sa integration sign.]

[ Sa unang integral, ginagamit namin ang table integral No. 1 (n=2), sa pangalawa - ang parehong formula, ngunit n=1, at para sa ikatlong integral, maaari mong gamitin ang parehong table integral, ngunit may n=0, o ang unang property. ]
.
Suriin natin sa pamamagitan ng pagkita ng kaibhan:

Ang orihinal na integrand ay nakuha, samakatuwid, ang pagsasama ay isinagawa nang walang mga pagkakamali (at kahit na ang pagdaragdag ng isang di-makatwirang pare-parehong C ay hindi nakalimutan).

Ang mga integral na tabular ay dapat na matutunan sa pamamagitan ng puso para sa isang simpleng dahilan - upang malaman kung ano ang dapat pagsikapan, i.e. malaman ang layunin ng pagbabago ng ibinigay na expression.

Narito ang ilan pang halimbawa:
1)
2)
3)

Mga gawain para sa independiyenteng solusyon:

Ehersisyo 1. Kalkulahin ang hindi tiyak na integral:

+ Ipakita/itago ang pahiwatig #1.

1) Gamitin ang ikatlong katangian at ipakita ang integral na ito bilang kabuuan ng tatlong integral.

+ Ipakita/itago ang pahiwatig #2.

+ Ipakita/itago ang pahiwatig #3.

3) Para sa unang dalawang termino, gamitin ang unang tabular integral, at para sa pangatlo - ang pangalawang tabular integral.

+ Ipakita/itago ang Solusyon at Sagot.

4) Solusyon:

Sagot:

Mga Pangunahing Integral na Dapat Malaman ng Bawat Mag-aaral

Ang mga nakalistang integral ay ang batayan, ang batayan ng mga pundasyon. Ang mga formula na ito, siyempre, ay dapat tandaan. Kapag kinakalkula ang mas kumplikadong mga integral, kailangan mong gamitin ang mga ito nang palagian.

Bigyang-pansin ang mga formula (5), (7), (9), (12), (13), (17) at (19). Huwag kalimutang magdagdag ng di-makatwirang pare-parehong C sa sagot kapag nagsasama!

Integral ng isang pare-pareho

∫ A d x = A x + C (1)

Pagsasama ng power function

Sa katunayan, maaaring ikulong ng isang tao ang sarili sa mga formula (5) at (7), ngunit ang natitirang bahagi ng mga integral mula sa pangkat na ito ay karaniwan na ito ay nagkakahalaga ng pagbibigay pansin sa kanila.

∫ x d x = x 2 2 + C (2)
∫ x 2 d x = x 3 3 + C (3)
∫ 1 x d x = 2 x + C (4)
∫ 1 x d x = log | x | +C(5)
∫ 1 x 2 d x = − 1 x + C (6)
∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ − 1) (7)

Mga integral ng exponential function at ng hyperbolic function

Siyempre, ang formula (8) (marahil ang pinaka-maginhawang tandaan) ay maaaring ituring na isang espesyal na kaso ng formula (9). Ang mga formula (10) at (11) para sa mga integral ng hyperbolic sine at hyperbolic cosine ay madaling nakuha mula sa formula (8), ngunit mas mabuting tandaan na lamang ang mga relasyong ito.

∫ e x d x = e x + C (8)
∫ a x d x = a x log a + C (a > 0, a ≠ 1) (9)
∫ s h x d x = c h x + C (10)
∫ c h x d x = s h x + C (11)

Mga pangunahing integral ng trigonometriko function

Isang pagkakamali na madalas gawin ng mga estudyante: nililito nila ang mga palatandaan sa mga formula (12) at (13). Ang pag-alala na ang derivative ng sine ay katumbas ng cosine, sa ilang kadahilanan maraming tao ang naniniwala na ang integral ng sinx function ay katumbas ng cosx. Hindi ito totoo! Ang integral ng sine ay "minus cosine", ngunit ang integral ng cosx ay "just sine":

∫ sin x d x = − cos x + C (12)
∫ cos x d x = sin x + C (13)
∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C (14)
∫ 1 sin 2 x d x = − c t g x + C (15)

Mga Integral na Binabawasan sa Inverse Trigonometric Function

Formula (16), na humahantong sa arc tangent, ay natural na isang espesyal na kaso ng formula (17) para sa a=1. Katulad nito, ang (18) ay isang espesyal na kaso ng (19).

∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = − a r c c t g x + C (16)
∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C (a ≠ 0) (17)
∫ 1 1 − x 2 d x = arcsin x + C = − arccos x + C (18)
∫ 1 a 2 − x 2 d x = arcsin x a + C = − arccos x a + C (a > 0) (19)

Mas kumplikadong mga integral

Ang mga formula na ito ay kanais-nais ding tandaan. Madalas din silang ginagamit, at ang kanilang output ay medyo nakakapagod.

∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln | x + x2 + a2 | +C(20)
∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln | x + x 2 − a 2 | +C(21)
∫ a 2 − x 2 d x = x 2 a 2 − x 2 + a 2 2 arcsin x a + C (a > 0) (22)
∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln | x + x2 + a2 | + C (a > 0) (23)
∫ x 2 − a 2 d x = x 2 x 2 − a 2 − a 2 2 ln | x + x 2 − a 2 | + C (a > 0) (24)

Pangkalahatang mga panuntunan sa pagsasama

1) Ang integral ng kabuuan ng dalawang function ay katumbas ng kabuuan ng mga katumbas na integral: ∫ (f (x) + g (x)) d x = ∫ f (x) d x + ∫ g (x) d x (25)

2) Ang integral ng pagkakaiba ng dalawang function ay katumbas ng pagkakaiba ng mga katumbas na integral: ∫ (f (x) − g (x)) d x = ∫ f (x) d x − ∫ g (x) d x (26)

3) Ang pare-pareho ay maaaring alisin sa integral sign: ∫ C f (x) d x = C ∫ f (x) d x (27)

Madaling makita na ang ari-arian (26) ay kumbinasyon lamang ng mga katangian (25) at (27).

4) Integral ng complex function kung linear ang panloob na function: ∫ f (A x + B) d x = 1 A F (A x + B) + C (A ≠ 0) (28)

Dito ang F(x) ay ang antiderivative para sa function na f(x). Tandaan na ang formula na ito ay gumagana lamang kapag ang panloob na function ay Ax + B.

Mahalaga: walang unibersal na formula para sa integral ng produkto ng dalawang function, pati na rin para sa integral ng isang fraction:

∫ f (x) g (x) d x = ? ∫ f (x) g (x) d x = ? (tatlumpu)

Hindi ito nangangahulugan, siyempre, na ang isang fraction o isang produkto ay hindi maaaring isama. Kaya lang sa tuwing makakakita ka ng integral na tulad ng (30), kailangan mong mag-imbento ng paraan para "ipaglaban" ito. Sa ilang mga kaso, ang pagsasama-sama ng mga bahagi ay makakatulong sa iyo, sa isang lugar na kakailanganin mong gumawa ng pagbabago ng variable, at kung minsan kahit na ang mga "paaralan" na mga formula ng algebra o trigonometry ay makakatulong.

Isang simpleng halimbawa para sa pagkalkula ng hindi tiyak na integral

Halimbawa 1. Hanapin ang integral: ∫ (3 x 2 + 2 sin x − 7 e x + 12) d x

Gumagamit kami ng mga formula (25) at (26) (ang integral ng kabuuan o pagkakaiba ng mga function ay katumbas ng kabuuan o pagkakaiba ng mga katumbas na integral. Nakukuha namin ang: ∫ 3 x 2 d x + ∫ 2 sin x d x − ∫ 7 e x d x + ∫ 12 d x

Alalahanin na ang pare-pareho ay maaaring alisin sa integral sign (pormula (27)). Ang expression ay na-convert sa form

3 ∫ x 2 d x + 2 ∫ sin x d x − 7 ∫ e ​​​​x d x + 12 ∫ 1 d x

Ngayon ay gamitin na lang natin ang talahanayan ng mga pangunahing integral. Kakailanganin nating maglapat ng mga formula (3), (12), (8) at (1). Isama natin ang power function, sine, exponent at constant 1. Huwag kalimutang magdagdag ng arbitrary constant C sa dulo:

3 x 3 3 - 2 cos x - 7 e x + 12 x + C

Pagkatapos ng mga pagbabagong elementarya, nakuha namin ang pangwakas na sagot:

X 3 − 2 cos x − 7 e x + 12 x + C

Subukan ang iyong sarili sa pagkita ng kaibahan: kunin ang derivative ng resultang function at tiyaking katumbas ito ng orihinal na integrand.

Talahanayan ng buod ng mga integral

∫ A d x = A x + C

∫ x d x = x 2 2 + C

∫ x 2 d x = x 3 3 + C

∫ 1 x d x = 2 x + C

∫ 1 x d x = log | x | +C

∫ 1 x 2 d x = − 1 x + C

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ − 1)

∫ e x d x = e x + C

∫ a x d x = a x ln a + C (a > 0, a ≠ 1)

∫ s h x d x = c h x + C

∫ c h x d x = s h x + C

∫ sin x d x = − cos x + C

∫ cos x d x = sin x + C

∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C

∫ 1 sin 2 x d x = − c t g x + C

∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = − a r c c t g x + C

∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C (a ≠ 0)

∫ 1 1 − x 2 d x = arcsin x + C = − arccos x + C

∫ 1 a 2 − x 2 d x = arcsin x a + C = − arccos x a + C (a > 0)

∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln | x + x2 + a2 | +C

∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln | x + x 2 − a 2 | +C

∫ a 2 − x 2 d x = x 2 a 2 − x 2 + a 2 2 arcsin x a + C (a > 0)

∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln | x + x2 + a2 | + C (a > 0)

∫ x 2 − a 2 d x = x 2 x 2 − a 2 − a 2 2 ln | x + x 2 − a 2 | + C (a > 0)

I-download ang talahanayan ng mga integral (bahagi II) mula sa link na ito

Kung nag-aaral ka sa isang unibersidad, kung mayroon kang anumang mga paghihirap sa mas mataas na matematika (mathematical analysis, linear algebra, probability theory, statistics), kung kailangan mo ng mga serbisyo ng isang kwalipikadong guro, pumunta sa pahina ng isang tutor sa mas mataas na matematika. Sama-sama nating lutasin ang iyong mga problema!

Baka interesado ka rin