Ang mga fractals ay kilala sa halos isang siglo, ay mahusay na pinag-aralan at may maraming mga aplikasyon sa buhay. Ang hindi pangkaraniwang bagay na ito ay batay sa isang napaka-simpleng ideya: isang walang katapusang bilang ng mga numero sa kagandahan at pagkakaiba-iba ay maaaring makuha mula sa medyo simpleng mga istraktura gamit lamang ang dalawang operasyon - pagkopya at pag-scale.

Ang konseptong ito ay walang mahigpit na kahulugan. Samakatuwid, ang salitang "fractal" ay hindi isang termino sa matematika. Ito ay karaniwang pangalan ng isang geometric na figure na nakakatugon sa isa o higit pa sa mga sumusunod na katangian:

• ay may isang kumplikadong istraktura sa anumang magnification;
• ay (humigit-kumulang) kapareho sa sarili;
• ay may fractional na Hausdorff (fractal) na dimensyon , na mas malaki kaysa sa topological;
• maaaring itayo sa pamamagitan ng mga recursive procedure.

Sa pagliko ng ika-19 at ika-20 siglo, ang pag-aaral ng mga fractals ay mas episodiko kaysa sistematiko, dahil ang mga naunang mathematician ay pangunahing nag-aral ng "magandang" mga bagay na maaaring pag-aralan gamit ang mga pangkalahatang pamamaraan at teorya. Noong 1872, ang German mathematician na si Karl Weierstrass ay gumawa ng isang halimbawa ng tuluy-tuloy na function na wala saanman naiba. Gayunpaman, ang pagbuo nito ay ganap na abstract at mahirap maunawaan. Samakatuwid, noong 1904, ang Swede na si Helge von Koch ay nakabuo ng isang tuluy-tuloy na kurba na walang tangent kahit saan, at ito ay medyo simple upang iguhit ito. Ito ay naka-out na ito ay may mga katangian ng isang fractal. Ang isang variation ng curve na ito ay tinatawag na Koch snowflake.

Ang mga ideya ng pagkakatulad sa sarili ng mga numero ay kinuha ng Pranses na si Paul Pierre Levy, ang hinaharap na tagapagturo ng Benoit Mandelbrot. Noong 1938, nai-publish ang kanyang artikulong "Eroplano at spatial na mga kurba at mga ibabaw na binubuo ng mga bahaging katulad ng kabuuan", kung saan inilarawan ang isa pang fractal - ang Lévy C-curve. Ang lahat ng nasa itaas na fractals ay maaaring may kondisyong maiugnay sa isang klase ng constructive (geometric) fractals.

Ang isa pang klase ay dynamic (algebraic) fractals, na kinabibilangan ng Mandelbrot set. Ang mga unang pag-aaral sa direksyong ito ay nagsimula sa simula ng ika-20 siglo at nauugnay sa mga pangalan ng mga Pranses na matematiko na sina Gaston Julia at Pierre Fatou. Noong 1918, halos dalawang daang pahina ng gawa ni Julia ang nai-publish, na nakatuon sa mga pag-ulit ng mga kumplikadong rational function, kung saan inilarawan ang mga set ni Julia - isang buong pamilya ng mga fractals na malapit na nauugnay sa set ng Mandelbrot. Ang gawaing ito ay ginawaran ng premyo ng French Academy, ngunit hindi ito naglalaman ng isang solong paglalarawan, kaya imposibleng pahalagahan ang kagandahan ng mga natuklasang bagay. Sa kabila ng katotohanan na ang gawaing ito ay naging tanyag kay Julia sa mga mathematician noong panahong iyon, mabilis itong nakalimutan.

Makalipas lamang ang kalahating siglo, sa pagdating ng mga kompyuter, nabaling ang atensyon sa gawain nina Julia at Fatou: sila ang nagpakita ng kayamanan at kagandahan ng mundo ng mga fractals. Pagkatapos ng lahat, hindi kailanman maaaring tingnan ni Fatou ang mga larawan na kilala na natin ngayon bilang mga larawan ng set ng Mandelbrot, dahil hindi maaaring gawin nang manu-mano ang kinakailangang bilang ng mga kalkulasyon. Ang unang taong gumamit ng computer para dito ay si Benoit Mandelbrot.

Noong 1982, ang aklat ni Mandelbrot na "The Fractal Geometry of Nature" ay nai-publish, kung saan ang may-akda ay nakolekta at na-systematize ang halos lahat ng impormasyon tungkol sa mga fractals na magagamit sa oras na iyon at ipinakita ito sa isang madali at naa-access na paraan. Ginawa ni Mandelbrot ang pangunahing diin sa kanyang pagtatanghal hindi sa napakabigat na mga pormula at mga konstruksyon sa matematika, ngunit sa geometric na intuwisyon ng mga mambabasa. Salamat sa mga ilustrasyon na nabuo sa computer at mga makasaysayang kwento, kung saan mahusay na natunaw ng may-akda ang pang-agham na bahagi ng monograph, ang libro ay naging isang bestseller, at ang mga fractals ay naging kilala sa pangkalahatang publiko. Ang kanilang tagumpay sa mga hindi mathematician ay higit sa lahat dahil sa ang katunayan na sa tulong ng napakasimpleng mga konstruksyon at mga formula na kahit isang mag-aaral sa high school ay maaaring maunawaan, ang mga imahe ng kamangha-manghang pagiging kumplikado at kagandahan ay nakuha. Kapag ang mga personal na computer ay naging sapat na malakas, kahit na ang isang buong trend sa sining ay lumitaw - fractal painting, at halos anumang may-ari ng computer ay maaaring gawin ito. Ngayon sa Internet madali mong mahahanap ang maraming mga site na nakatuon sa paksang ito.

teorya ng fractal

Ang mga kakaibang pang-akit ay laging may fractal na dimensyon. Samakatuwid, upang ilarawan ang mga magulong attractor, ginagamit ang apparatus ng fractal geometry, na naglalarawan sa "mga istruktura ng kaguluhan".

Ang terminong "fractal" ay kabilang kay Benoit Mandelbrot. Sa tatlo sa kanyang mga libro ("Fractal Objects: Form, Chance and Dimension", 1975; "Fractals: Form, Chance and Dimension", 1977; "Fractal Geometry of Nature", 1977), iminungkahi ni Mandelbrot ang isang non-Euclidean geometry ng hindi -makinis, magaspang, tulis-tulis, may hukay at butas, magaspang, atbp. mga bagay. Ito ay ang "maling" mga bagay na bumubuo sa karamihan ng mga bagay sa kalikasan. Inilarawan mismo ni B. Mandelbrot ang teorya na kanyang nilikha bilang isang morpolohiya ng walang anyo.

Ang "The Fractal Geometry of Nature" ni B. Mandelbrot ay nagbukas sa mga sumusunod na salita: "Bakit ang geometry ay madalas na tinatawag na "malamig" at "tuyo"? Ang isang dahilan ay ang kanyang kawalan ng kakayahan na ilarawan ang hugis ng ulap, bundok, baybayin, o puno. Ang mga ulap ay hindi mga sphere, ang mga bundok ay hindi mga kono, ang mga baybayin ay hindi mga bilog, ang balat ng puno ay hindi makinis, ang kidlat ay hindi naglalakbay sa isang tuwid na linya. Sa pangkalahatan, pinagtatalunan ko na maraming mga bagay sa Kalikasan ay napaka-irregular at pira-piraso na kumpara sa Euclid - isang termino na sa gawaing ito ay nangangahulugang lahat ng karaniwang geometry - Ang Kalikasan ay hindi lamang mas kumplikado, ngunit isang ganap na naiibang antas ng pagiging kumplikado. Ang bilang ng iba't ibang mga kaliskis ng haba ng mga likas na bagay para sa lahat ng praktikal na layunin ay walang hanggan" Danilov Yu.A. Ang ganda ng fractals. Web: http://sky.kuban.ru/socio_etno/iphrRAS/~mifs/work.htm.

Binawasan ng Euclid ang kalikasan sa dalisay at simetriko na mga bagay: isang punto, isang one-dimensional na linya, isang two-dimensional na eroplano, isang three-dimensional na katawan. Wala sa mga bagay na ito ang may mga butas at panlabas na iregularidad. Ang bawat isa ay may tamang makinis na hugis. Ang mga likas na bagay ng magaspang na anyo ay hindi mga uri ng purong Euclidean na istruktura. Karamihan sa mga natural na anyo at serye ng oras ay pinakamahusay na inilarawan ng mga fractals.

Nalikha ni Mandelbrot ang terminong fractal (mula sa salitang Latin na "fractus" - fractional, fragmented), batay sa Besikovich-Hausdorff theory ng fractal (fractional) na dimensyon, na iminungkahi noong 1919.

Ang dimensyong Besicovich-Hausdorff ay tumutugma sa Euclidean para sa mga regular na geometric na bagay (para sa mga kurba, ibabaw at katawan na pinag-aralan sa modernong aklat-aralin ng Euclidean geometry). Ang Besicovich-Hausdorff na dimensyon ng kakaibang Lorentz attractor ay mas malaki sa 2, ngunit mas mababa sa 3: ang Lorentz attractor ay hindi na isang makinis na ibabaw, ngunit hindi pa isang three-dimensional na katawan.

Madalas nating isipin na ang bawat patag na bagay ay dalawang-dimensional. Gayunpaman, sa pagsasalita sa matematika, hindi ito ang kaso. Ang Euclidean plane ay isang patag na ibabaw na walang mga bitak at basag. Katulad nito, ipinapalagay namin na ang isang bagay na may lalim ay tatlong-dimensional. Ngunit sa Euclidean geometry, ang isang three-dimensional na bagay ay isang solidong katawan na walang mga butas o bitak. Karamihan sa mga tunay na bagay ay hindi solid - mayroon silang mga gaps at cavity at simpleng matatagpuan sa three-dimensional na espasyo. Halimbawa, ang mga bundok at ulap ay may mga sukat sa pagitan ng dalawa at tatlo. Ang isa sa mga katangian ng mga fractal na bagay ay ang pag-iiwan ng mga ito sa kanilang sariling dimensyon kapag inilagay sa isang espasyo na may sukat na mas malaki kaysa sa kanilang fractal. Ang mga random na pamamahagi (white noise) ay walang ganitong katangian. Ang puting ingay ay pumupuno sa espasyo nito tulad ng isang gas na pumupuno sa isang volume. Kung ang isang tiyak na halaga ng gas ay inilagay sa isang lalagyan na may mas malaking volume, ang gas ay kumakalat lamang sa isang mas malaking espasyo, dahil walang nagbubuklod sa mga molekula ng gas. Sa kabilang banda, ang isang solid ay may mga molekula na nakakabit sa isa't isa. Katulad nito, sa isang fractal na serye ng oras, ang mga posisyon ng mga puntos ay tinutukoy ng mga ugnayan na hindi umiiral sa isang random na serye. Ang isang serye ng oras ay magiging random lamang kung ito ay resulta ng isang malaking bilang ng mga pantay na posibleng kaganapan. Sa mga tuntunin ng istatistika - mayroon itong malaking bilang ng mga antas ng kalayaan. Ang isang hindi random na serye ng oras ay magpapakita ng hindi random na katangian ng mga impluwensya. Ang mga pagtalon sa data ay tutugma sa mga pagtalon sa mga salik na nakakaimpluwensya, na nagpapakita ng kanilang likas na ugnayan. Sa madaling salita, magiging fractal ang serye ng oras. Ang fractal na dimensyon ay tinutukoy ng kung paano pinupuno ng isang bagay o serye ng oras ang espasyo. Ang isang fractal na bagay ay pumupuno sa espasyo nang hindi pantay, dahil ang mga bahagi nito ay umaasa o nakakaugnay. Upang tukuyin ang isang fractal na dimensyon, dapat nating tukuyin kung paano pinagsama-sama ang isang bagay sa Peters space nito. E. Kaguluhan at kaayusan sa mga pamilihang kapital. Isang bagong analytical na pananaw sa mga cycle, presyo at pagkasumpungin sa merkado. M.: Mir, 2000. P.80..

Sa Euclidean geometry, kapag mas malapit tayo tumingin sa isang bagay, mas nagiging simple ito. Ang 3D block ay nagiging isang 2D na eroplano, pagkatapos ay isang 1D na linya, hanggang sa ito ay maging isang punto. Sa fractal (natural) na mga bagay, habang dumarami ka, mas maraming detalye ang nabubunyag. Ang isang natatanging katangian ng mga fractal na bagay ay ang bawat isa sa mga detalye ay naglalaman ng isang karaniwang istraktura. Ang isa sa mga kahulugan ng isang fractal ay nagsasabi: ang isang fractal ay isang kaparehong istraktura. Ang self-similarity (scale invariance) ay isang phenomenon na binubuo sa katotohanan na ang maliliit na bahagi ng isang bagay ay qualitatively na kapareho ng buong object o katulad nito, sa madaling salita, ang property na ito ay mukhang halos pareho sa alinman, arbitrarily small scale. Sa fractal time series, ang maliliit na agwat ng oras ay magiging katulad ng istatistika sa malalaking agwat. Ang mga fractal form ay nagpapakita ng spatial na pagkakatulad sa sarili. Ang Fractal time series ay may istatistikal na pagkakatulad sa sarili sa oras.

Kaya, nakilala na natin ang dalawang kahulugan ng isang fractal (sa pamamagitan ng fractional na dimensyon at sa pamamagitan ng pag-aari ng scale invariance). Ang huling kahulugan ng isang fractal ay hindi pa nahahanap. Posible na hindi ito mangyayari, dahil ang fractal geometry ay ang geometry ng kalikasan.

Tulad ng alam mo, tinutukoy ng paraan ng pag-ulit ang posisyon ng isang punto sa isang tiyak na punto ng oras sa pamamagitan ng posisyon nito sa nakaraang punto ng oras, iyon ay, gumagana ang feedback. Sa anyo ng isang algorithm, ito ay maaaring ipakita tulad ng sumusunod: "mga paunang estado" + "pagbuo ng hakbang-hakbang na pamamaraan" = "nakabukas na fractal na istraktura". Ang mga Fractal set ay tinukoy sa tulong ng mga nonlinear na equation na naglalarawan ng mga dynamic na feedback system. Ang fractal ay ang limitasyon na hanay ng isang pagbuo ng panuntunan. Ang fractal ay isang istrukturang nagsasaayos sa sarili, at ang generative na panuntunan ay maaaring maisip bilang isang replicant, isang "paksa" ng self-organization.

Sa prinsipyo, ang fractal geometry ay isang ganap na independiyenteng agham, ngunit ang mga ideya nito ay higit na "na-asimilasyon" ng synergetics, at ang synergetics ay minsang naging inspirasyon kay Benoit Mandelbrot sa pag-aaral ng mga fractal na bagay. Samakatuwid, hindi kami gagawa ng mahigpit na mga hangganan sa pagitan ng synergetic na diskarte at teorya ng fractals.

Mayroong dalawang uri ng fractals: deterministic at random. Ang mga deterministikong fractal ay simetriko sa karamihan ng mga kaso. Ngunit tinatanggihan ng kalikasan ang simetrya, kaya inilalarawan ang mga likas na bagay gamit ang mga random na fractals. Ang mga random na fractals ay hindi palaging kasama ang mga bahagi na kamukha ng kabuuan. Ang mga bahagi at ang kabuuan ay maaaring maiugnay sa husay. Ang mga random na fractals ay isang kumbinasyon ng mga generative rules na pinili nang random sa iba't ibang scale.

Dahil ito ay naging malinaw sa mga nagdaang dekada (kaugnay ng pag-unlad ng teorya ng self-organization), ang pagkakatulad sa sarili ay nangyayari sa isang malawak na iba't ibang mga bagay at phenomena. Halimbawa, ang pagkakatulad sa sarili ay maaaring maobserbahan sa mga sanga ng mga puno at shrubs, sa dibisyon ng isang fertilized zygote, snowflakes, ice crystals, sa pagbuo ng mga sistemang pang-ekonomiya, sa istraktura ng mga sistema ng bundok, mga ulap.

Ang lahat ng mga nakalistang bagay at iba pang katulad sa kanila sa kanilang istraktura ay fractal. Ibig sabihin, mayroon silang mga katangian ng self-similarity, o scale invariance. At nangangahulugan ito na ang ilang mga fragment ng kanilang istraktura ay mahigpit na paulit-ulit sa ilang mga spatial na pagitan. Malinaw, ang mga bagay na ito ay maaaring maging anumang kalikasan, at ang kanilang hitsura at hugis ay nananatiling hindi nagbabago anuman ang sukat. Parehong sa kalikasan at sa lipunan, ang pag-uulit sa sarili ay nangyayari sa isang sapat na malaking sukat. Kaya, inuulit ng ulap ang magaspang na istraktura nito mula 10 4 m (10 km) hanggang 10 -4 m (0.1 mm). Ang pagsasanga ay paulit-ulit sa mga puno mula 10 -2 hanggang 10 2 m. Ang mga gumuguhong materyales na bumubuo ng mga bitak ay inuulit din ang kanilang pagkakatulad sa sarili sa ilang mga kaliskis. Ang snowflake na nahuhulog sa kamay ay natutunaw. Sa panahon ng pagkatunaw, ang paglipat mula sa isang yugto patungo sa isa pa, ang snowflake-drop ay isang fractal din.

Ang fractal ay isang bagay na walang katapusan na kumplikado, na nagbibigay-daan sa iyong makakita ng hindi bababa sa mga detalye nang malapitan kaysa sa malayo. Ang klasikong halimbawa nito ay ang Earth. Mula sa kalawakan, parang bola. Paglapit dito, makikita natin ang mga karagatan, kontinente, baybayin at bulubundukin. Mamaya, mas maliliit na detalye ang lalabas: isang piraso ng lupa sa ibabaw ng bundok, kasing kumplikado at hindi pantay ng bundok mismo. Pagkatapos ay lilitaw ang maliliit na particle ng lupa, na ang bawat isa ay mismong isang fractal na bagay.

Ang fractal ay isang non-linear na istraktura na nagpapanatili ng pagkakatulad sa sarili kapag pinalaki o pababa nang walang hanggan. Sa maliliit na haba lamang ang nonlinearity ay nagiging linearity. Ito ay lalong maliwanag sa matematikal na pamamaraan ng pagkita ng kaibhan.

Kaya, maaari nating sabihin na ang mga fractals bilang mga modelo ay ginagamit kapag ang tunay na bagay ay hindi maaaring katawanin sa anyo ng mga klasikal na modelo. At nangangahulugan ito na nakikipag-ugnayan tayo sa mga di-linear na relasyon at ang hindi deterministikong katangian ng data. Ang nonlinearity sa ideological na kahulugan ay nangangahulugan ng multivariance ng mga landas ng pag-unlad, ang pagkakaroon ng isang pagpipilian mula sa mga alternatibong landas at isang tiyak na bilis ng ebolusyon, pati na rin ang hindi maibabalik na mga proseso ng ebolusyon. Sa mathematical sense, ang non-linearity ay isang partikular na uri ng mathematical equation (non-linear differential equation) na naglalaman ng mga gustong dami sa mga kapangyarihang higit sa isa o mga coefficient na nakadepende sa mga katangian ng medium. Iyon ay, kapag nag-apply kami ng mga klasikal na modelo (halimbawa, trend, regression, atbp.), sinasabi namin na ang hinaharap ng isang bagay ay natatanging tinutukoy. At maaari nating hulaan ito, alam ang nakaraan ng bagay (ang paunang data para sa pagmomolde). At ang mga fractals ay ginagamit sa kaso kung ang bagay ay may ilang mga pagpipilian para sa pag-unlad at ang estado ng system ay tinutukoy ng posisyon kung saan ito kasalukuyang matatagpuan. Ibig sabihin, sinusubukan nating gayahin ang isang magulong pag-unlad.

Kapag pinag-uusapan nila ang determinismo ng isang tiyak na sistema, ang ibig nilang sabihin ay ang pag-uugali nito ay nailalarawan sa pamamagitan ng isang hindi malabo na sanhi ng relasyon. Iyon ay, alam ang mga paunang kondisyon at ang batas ng paggalaw ng system, posible na tumpak na mahulaan ang hinaharap nito. Ito ang ideya ng paggalaw sa Uniberso na katangian ng klasikal, Newtonian dynamics. Ang kaguluhan, sa kabaligtaran, ay nagpapahiwatig ng isang magulong, random na proseso, kapag ang takbo ng mga kaganapan ay hindi mahulaan o muling gawin.

Ang kaguluhan ay nabuo sa pamamagitan ng intrinsic dynamics ng isang nonlinear system - ang pag-aari nito upang mabilis na paghiwalayin ang mga arbitraryong malapit na trajectory. Bilang isang resulta, ang hugis ng mga trajectory ay lubos na nakasalalay sa mga paunang kondisyon. Kapag nag-aaral ng mga sistema na, sa unang sulyap, umuunlad nang magulo, madalas nilang ginagamit ang teorya ng fractals, dahil Ito ay ang diskarte na ginagawang posible upang makita ang isang tiyak na pattern sa paglitaw ng "random" deviations sa pagbuo ng system.

Ang pag-aaral ng mga natural na fractal na istruktura ay nagbibigay sa atin ng pagkakataon na mas maunawaan ang mga proseso ng self-organization at pagbuo ng mga nonlinear system. Nalaman na natin na ang mga natural na fractal ng pinaka-iba't iba, paikot-ikot na mga linya ay matatagpuan sa paligid natin. Ito ang dalampasigan, mga puno, ulap, paglabas ng kidlat, istraktura ng metal, sistema ng nerbiyos o vascular ng tao. Ang mga masalimuot na linya at magaspang na ibabaw ay nakuha ng pansin ng siyentipikong pananaliksik dahil ipinakita sa amin ng kalikasan ang isang ganap na naiibang antas ng pagiging kumplikado kaysa sa mga ideal na geometric na sistema. Ang mga istrukturang pinag-aaralan ay naging magkatulad sa spatio-temporal na relasyon. Sila ay walang katapusang nag-replicate sa sarili at paulit-ulit sa iba't ibang sukat ng haba at oras. Anumang di-linear na proseso ay humahantong sa isang tinidor. Ang sistema sa kasong ito, sa punto ng sangay, ay pumipili ng isang landas o iba pa. Ang tilapon ng pag-unlad ng system ay magmumukhang isang fractal, iyon ay, isang putol na linya, ang hugis nito ay maaaring inilarawan bilang isang sumasanga, masalimuot na landas na may sariling lohika at pattern.

Ang pagsasanga ng isang sistema ay maihahambing sa pagsasanga ng isang puno, kung saan ang bawat sangay ay tumutugma sa ikatlong bahagi ng buong sistema. Binibigyang-daan ng branching ang isang linear na istraktura na punan ang isang three-dimensional na espasyo, o, mas tiyak: isang fractal na istraktura ang nagkoordina ng iba't ibang espasyo. Ang isang fractal ay maaaring lumaki, na pumupuno sa nakapalibot na espasyo, tulad ng isang kristal na lumalaki sa isang supersaturated na solusyon. Sa kasong ito, ang likas na katangian ng sumasanga ay maiuugnay hindi sa pagkakataon, ngunit sa isang tiyak na pattern.

Ang fractal na istraktura ay umuulit nang katulad sa iba pang mga antas, sa isang mas mataas na antas ng organisasyon ng buhay ng tao, halimbawa, sa antas ng self-organization ng isang kolektibo o pangkat. Ang self-organization ng mga network at form ay lumilipat mula sa micro level patungo sa macro level. Sama-sama, kinakatawan nila ang isang holistic na pagkakaisa, kung saan maaaring hatulan ng isa ang kabuuan sa pamamagitan ng bahagi. Sa kursong ito, bilang isang halimbawa, ang mga fractal na katangian ng mga prosesong panlipunan ay isinasaalang-alang, na nagpapahiwatig ng pagiging pandaigdigan ng teorya ng fractals at ang katapatan nito sa iba't ibang larangan ng agham.

Napagpasyahan na ang fractal ay isang paraan ng organisadong interaksyon ng mga espasyo ng iba't ibang dimensyon at kalikasan. Dapat itong idagdag sa itaas na hindi lamang spatial, kundi pati na rin temporal. At kahit na ang utak ng tao at mga neural network ay magiging isang fractal na istraktura.

Ang kalikasan ay labis na mahilig sa mga fractal form. Ang isang fractal na bagay ay may malawak, bihirang istraktura. Kapag pinagmamasdan ang gayong mga bagay na may pagtaas ng paglaki, makikita ng isa na nagpapakita sila ng pattern na umuulit sa iba't ibang antas. Nasabi na natin na ang isang fractal na bagay ay maaaring magmukhang eksaktong magkapareho kahit na oobserbahan natin ito sa metro, millimeters o microns (1:1,000,000 ng isang metrong sukat). Ang pag-aari ng simetrya ng mga fractal na bagay ay ipinakita sa invariance na may paggalang sa sukat. Ang mga fractals ay simetriko tungkol sa gitna ng pag-uunat o rescaling, tulad ng mga bilog na katawan ay simetriko tungkol sa axis ng pag-ikot.

Ngayon, ang mga pag-unlad sa loob ng balangkas ng teorya ng fractals ay isinasagawa sa anumang partikular na agham - pisika, sosyolohiya, sikolohiya, lingguwistika, atbp. Pagkatapos ang lipunan, at mga institusyong panlipunan, at wika, at maging ang pag-iisip ay mga fractal.

Ang modernong agham ay lubos na matagumpay na inangkop ang teorya ng fractals para sa iba't ibang larangan ng kaalaman. Kaya, sa ekonomiya, ang teorya ng fractals ay ginagamit sa teknikal na pagsusuri ng mga pamilihan sa pananalapi na umiral sa mga binuo na bansa sa mundo nang higit sa isang daang taon. Sa unang pagkakataon ang pagkakataon na mahulaan ang karagdagang pag-uugali ng presyo ng mga pagbabahagi, kung ang direksyon nito para sa ilang kamakailang panahon ay kilala, ay nabanggit ni C. Dow. Noong dekada ng 1990, pagkatapos maglathala ng ilang artikulo, napansin ng Dow na ang mga presyo ng stock ay napapailalim sa cyclical fluctuations: pagkatapos ng mahabang pagtaas, isang mahabang pagbagsak ang susunod, pagkatapos ay muling tumaas at bumaba.

Sa kalagitnaan ng ika-20 siglo, nang ang buong siyentipikong mundo ay nabighani sa bagong umuusbong na teorya ng fractals, isa pang kilalang Amerikanong financier, si R. Elliot, ang nagmungkahi ng kanyang teorya ng pag-uugali sa presyo ng stock, na batay sa paggamit ng fractal teorya. Nagpatuloy si Elliot mula sa katotohanan na ang geometry ng fractals ay nagaganap hindi lamang sa wildlife, kundi pati na rin sa mga prosesong panlipunan. Iniugnay din niya ang pangangalakal ng mga pagbabahagi sa stock exchange sa mga prosesong panlipunan.

Ang batayan ng teorya ay ang tinatawag na wave diagram. Ginagawang posible ng teoryang ito na mahulaan ang karagdagang pag-uugali ng trend ng presyo, batay sa kaalaman sa kasaysayan ng pag-uugali nito at pagsunod sa mga patakaran para sa pagbuo ng mass psychological na pag-uugali.

Ang teorya ng fractals ay natagpuan din ang aplikasyon sa biology. Marami, kung hindi lahat, ang mga biological na istruktura at sistema ng mga halaman, hayop at tao ay may likas na fractal, ilang pagkakatulad dito: ang nervous system, ang sistema ng baga, ang circulatory at lymphatic system, atbp. Ang katibayan ay lumitaw na ang pagbuo ng isang malignant na tumor ay nagpapatuloy din ayon sa fractal na prinsipyo. Ang mga bagay na fractal ay nailalarawan din ng isang tampok bilang pagpapakita ng complementarity. Ang complementarity sa biochemistry ay ang mutual correspondence sa kemikal na istraktura ng dalawang macromolecules, na nagsisiguro sa kanilang pakikipag-ugnayan - ang pagpapares ng dalawang strands ng DNA, ang koneksyon ng isang enzyme na may substrate, isang antigen na may isang antibody. Ang mga komplementaryong istruktura ay magkasya tulad ng isang susi sa isang lock. Ang ari-arian na ito ay taglay ng DNA polynucleotide chain.

Ang isa sa pinakamakapangyarihang aplikasyon ng fractals ay nasa computer graphics. Una, ito ay isang fractal compression ng mga imahe, at pangalawa, ang pagbuo ng mga landscape, puno, halaman at ang pagbuo ng mga fractal texture. Kasabay nito, para sa compression, pag-record ng impormasyon, ang isang katulad na pagbawas sa fractal ay kinakailangan, at para sa pagbabasa nito, ayon sa pagkakabanggit, isang self-katulad na pagtaas.

Ang mga bentahe ng fractal image compression algorithm ay ang napakaliit na sukat ng naka-pack na file at ang maikling oras ng pagbawi ng imahe. Maaaring i-scale ang mga fractally packed na larawan nang walang pixelation. Ngunit ang proseso ng compression ay tumatagal ng mahabang panahon at kung minsan ay tumatagal ng ilang oras. Binibigyang-daan ka ng lossy fractal packing algorithm na itakda ang antas ng compression, katulad ng jpeg na format. Ang algorithm ay batay sa paghahanap ng malalaking bahagi ng larawan na katulad ng ilang maliliit na bahagi. At ang impormasyon lamang tungkol sa pagkakapareho ng isang bahagi sa isa pa ay nakasulat sa output file. Kapag nag-compress, karaniwang ginagamit ang isang parisukat na grid, na humahantong sa isang bahagyang angularity kapag ibinalik ang larawan; ang isang hexagonal na grid ay walang ganoong disbentaha.

Kadalasan, ang mga makikinang na pagtuklas na ginawa sa agham ay maaaring radikal na magbago ng ating buhay. Kaya, halimbawa, ang pag-imbento ng isang bakuna ay maaaring magligtas ng maraming tao, at ang paglikha ng isang bagong sandata ay humahantong sa pagpatay. Literal na kahapon (sa sukat ng kasaysayan) ang isang tao ay "pinaamo" ng kuryente, at ngayon ay hindi na niya maiisip ang kanyang buhay kung wala ito. Gayunpaman, mayroon ding mga naturang pagtuklas na, tulad ng sinasabi nila, ay nananatili sa mga anino, at sa kabila ng katotohanan na mayroon din silang ilang impluwensya sa ating buhay. Isa sa mga natuklasang ito ay ang fractal. Karamihan sa mga tao ay hindi pa nakarinig ng ganitong konsepto at hindi maipaliwanag ang kahulugan nito. Sa artikulong ito, susubukan naming harapin ang tanong kung ano ang isang fractal, isaalang-alang ang kahulugan ng terminong ito mula sa pananaw ng agham at kalikasan.

Order sa kaguluhan

Upang maunawaan kung ano ang fractal, dapat simulan ng isa ang debriefing mula sa posisyon ng matematika, gayunpaman, bago pag-aralan ito, pilosopiya namin ng kaunti. Ang bawat tao ay may likas na pagkamausisa, salamat sa kung saan natutunan niya ang mundo sa paligid niya. Kadalasan, sa kanyang pagnanais para sa kaalaman, sinusubukan niyang gumana nang may lohika sa kanyang mga paghatol. Kaya, ang pag-aaral ng mga proseso na nagaganap sa paligid, sinusubukan niyang kalkulahin ang mga relasyon at kumuha ng ilang mga pattern. Ang pinakamalaking isip sa planeta ay abala sa paglutas ng mga problemang ito. Sa halos pagsasalita, ang aming mga siyentipiko ay naghahanap ng mga pattern kung saan sila ay hindi, at hindi dapat. Gayunpaman, kahit na sa kaguluhan ay may koneksyon sa pagitan ng ilang mga kaganapan. Ang koneksyon na ito ay ang fractal. Bilang halimbawa, isaalang-alang ang isang sirang sanga na nakahiga sa kalsada. Kung titingnan natin itong mabuti, makikita natin na ito, kasama ang lahat ng mga sanga at buhol nito, ay tila isang puno. Ang pagkakatulad na ito ng isang hiwalay na bahagi na may isang solong kabuuan ay nagpapatotoo sa tinatawag na prinsipyo ng recursive self-similarity. Ang mga fractals sa kalikasan ay matatagpuan sa lahat ng oras, dahil maraming mga inorganic at organic na anyo ang nabuo sa katulad na paraan. Ito ay mga ulap, at mga shell ng dagat, at mga shell ng snail, at mga korona ng puno, at maging ang sistema ng sirkulasyon. Ang listahang ito ay maaaring ipagpatuloy nang walang katapusan. Ang lahat ng mga random na hugis ay madaling inilarawan ng fractal algorithm. Dito natin napag-isipan kung ano ang fractal mula sa pananaw ng mga eksaktong agham.

Ilang tuyong katotohanan

Ang salitang "fractal" mismo ay isinalin mula sa Latin bilang "partial", "divided", "fragmented", at kung tungkol sa nilalaman ng terminong ito, walang mga salita na tulad nito. Kadalasan ito ay itinuturing bilang isang self-similar set, isang bahagi ng kabuuan, na inuulit ng istraktura nito sa micro level. Ang terminong ito ay nilikha noong dekada setenta ng ikadalawampu siglo ni Benoit Mandelbrot, na kinikilala bilang ama. Ngayon, ang konsepto ng fractal ay nangangahulugan ng isang graphic na representasyon ng isang tiyak na istraktura, na, kapag pinalaki, ay magiging katulad sa sarili nito. Gayunpaman, ang matematikal na batayan para sa paglikha ng teoryang ito ay inilatag bago pa man ang kapanganakan ni Mandelbrot mismo, ngunit hindi ito maaaring umunlad hanggang sa lumitaw ang mga elektronikong kompyuter.

Makasaysayang sanggunian, o Paano nagsimula ang lahat

Sa pagliko ng ika-19 at ika-20 siglo, ang pag-aaral ng kalikasan ng mga fractals ay episodiko. Ito ay dahil sa ang katunayan na ang mga mathematician ay ginustong pag-aralan ang mga bagay na maaaring siyasatin batay sa pangkalahatang mga teorya at pamamaraan. Noong 1872, ang German mathematician na si K. Weierstrass ay gumawa ng isang halimbawa ng tuluy-tuloy na function na wala saanman naiba. Gayunpaman, ang konstruksiyon na ito ay naging ganap na abstract at mahirap maunawaan. Sumunod ay dumating ang Swede na si Helge von Koch, na noong 1904 ay nagtayo ng tuluy-tuloy na kurba na walang tangent kahit saan. Ito ay medyo madali upang gumuhit, at, tulad ng nangyari, ito ay nailalarawan sa pamamagitan ng mga katangian ng fractal. Ang isa sa mga variant ng curve na ito ay pinangalanan sa may-akda nito - "Koch's snowflake". Dagdag pa, ang ideya ng pagkakatulad sa sarili ng mga numero ay binuo ng hinaharap na tagapagturo ng B. Mandelbrot, ang Pranses na si Paul Levy. Noong 1938 inilathala niya ang papel na "Plane and Spatial Curves and Surfaces Consisting of Parts Like a Whole". Sa loob nito, inilarawan niya ang isang bagong species - ang Levy C-curve. Ang lahat ng mga figure sa itaas ay may kondisyon na tumutukoy sa isang form bilang geometric fractals.

Dynamic o algebraic fractals

Ang Mandelbrot set ay kabilang sa klase na ito. Ang mga Pranses na matematiko na sina Pierre Fatou at Gaston Julia ang naging unang mga mananaliksik sa direksyong ito. Noong 1918, inilathala ni Julia ang isang papel batay sa pag-aaral ng mga pag-ulit ng mga rational complex function. Dito niya inilarawan ang isang pamilya ng mga fractals na malapit na nauugnay sa set ng Mandelbrot. Sa kabila ng katotohanan na ang gawaing ito ay niluwalhati ang may-akda sa mga mathematician, mabilis itong nakalimutan. At kalahating siglo lamang ang lumipas, salamat sa mga computer, ang trabaho ni Julia ay nakatanggap ng pangalawang buhay. Ginawang posible ng mga computer na ipakita sa bawat tao ang kagandahan at kayamanan ng mundo ng mga fractal na "makikita" ng mga mathematician sa pamamagitan ng pagpapakita sa kanila sa pamamagitan ng mga function. Si Mandelbrot ang unang gumamit ng computer para magsagawa ng mga kalkulasyon (imposibleng manu-manong magsagawa ng ganoong dami) na naging posible upang bumuo ng isang imahe ng mga figure na ito.

Lalaking may spatial na imahinasyon

Sinimulan ni Mandelbrot ang kanyang siyentipikong karera sa IBM Research Center. Ang pag-aaral ng mga posibilidad ng paghahatid ng data sa mahabang distansya, ang mga siyentipiko ay nahaharap sa katotohanan ng malalaking pagkalugi na lumitaw dahil sa pagkagambala sa ingay. Si Benoit ay naghahanap ng mga paraan upang malutas ang problemang ito. Sa pagtingin sa mga resulta ng pagsukat, iginuhit niya ang pansin sa isang kakaibang pattern, ibig sabihin: pareho ang hitsura ng mga graph ng ingay sa iba't ibang sukat ng oras.

Ang isang katulad na larawan ay naobserbahan kapwa para sa isang panahon ng isang araw, at para sa pitong araw, o para sa isang oras. Si Benoit Mandelbrot mismo ay madalas na paulit-ulit na hindi siya gumagana sa mga formula, ngunit naglalaro ng mga larawan. Ang siyentipikong ito ay nakikilala sa pamamagitan ng mapanlikhang pag-iisip, isinalin niya ang anumang algebraic na problema sa isang geometric na lugar, kung saan ang tamang sagot ay halata. Kaya't hindi nakakagulat, nakilala ng mayayaman at naging ama ng fractal geometry. Pagkatapos ng lahat, ang kamalayan ng figure na ito ay maaaring dumating lamang kapag pinag-aralan mo ang mga guhit at iniisip ang kahulugan ng mga kakaibang swirl na ito na bumubuo sa pattern. Ang mga guhit ng fractal ay walang magkaparehong elemento, ngunit magkapareho sila sa anumang sukat.

Julia - Mandelbrot

Ang isa sa mga unang guhit ng figure na ito ay isang graphic na interpretasyon ng set, na ipinanganak salamat sa gawain ni Gaston Julia at tinapos ni Mandelbrot. Sinusubukang isipin ni Gaston kung ano ang hitsura ng isang set kapag ito ay binuo mula sa isang simpleng formula na inuulit ng isang feedback loop. Subukan nating ipaliwanag kung ano ang sinabi sa wika ng tao, wika nga, sa mga daliri. Para sa isang partikular na numerical value, gamit ang formula, makakahanap kami ng bagong value. Pinapalitan namin ito sa formula at hanapin ang sumusunod. Malaki ang resulta. Upang kumatawan sa naturang set, kailangan mong gawin ang operasyong ito nang maraming beses: daan-daan, libo-libo, milyon-milyon. Ito ang ginawa ni Benoit. Pinoproseso niya ang pagkakasunud-sunod at inilipat ang mga resulta sa graphical na anyo. Kasunod nito, kinulayan niya ang nagresultang figure (bawat kulay ay tumutugma sa isang tiyak na bilang ng mga pag-ulit). Ang graphic na imaheng ito ay tinatawag na Mandelbrot fractal.

L. Carpenter: sining na nilikha ng kalikasan

Ang teorya ng fractals ay mabilis na nakahanap ng praktikal na aplikasyon. Dahil ito ay napakalapit na nauugnay sa visualization ng mga larawang magkatulad sa sarili, ang unang nagpatibay ng mga prinsipyo at algorithm para sa pagbuo ng mga hindi pangkaraniwang anyo na ito ay mga artista. Ang una sa mga ito ay ang magiging tagapagtatag ng Pixar studio na si Lauren Carpenter. Habang nagtatrabaho sa pagtatanghal ng mga prototype ng sasakyang panghimpapawid, nakaisip siya ng ideya na gamitin ang imahe ng mga bundok bilang background. Ngayon, halos lahat ng gumagamit ng computer ay maaaring makayanan ang ganoong gawain, at noong dekada ikapitumpu ng huling siglo, ang mga computer ay hindi nagawa ang mga naturang proseso, dahil walang mga graphic editor at mga aplikasyon para sa tatlong-dimensional na mga graphic sa oras na iyon. Nakita ni Loren ang Mandelbrot's Fractals: Shape, Randomness, at Dimension. Sa loob nito, nagbigay si Benois ng maraming mga halimbawa, na nagpapakita na mayroong mga fractals sa kalikasan (fiva), inilarawan niya ang kanilang iba't ibang anyo at pinatunayan na madali silang inilarawan ng mga ekspresyong matematika. Binanggit ng mathematician ang pagkakatulad na ito bilang isang argumento para sa pagiging kapaki-pakinabang ng teorya na kanyang binuo bilang tugon sa isang magulo ng kritisismo mula sa kanyang mga kasamahan. Nagtalo sila na ang isang fractal ay isang magandang larawan lamang na walang halaga, isang by-product ng mga electronic machine. Nagpasya ang karpintero na subukan ang pamamaraang ito sa pagsasanay. Ang pagkakaroon ng maingat na pag-aaral ng libro, ang hinaharap na animator ay nagsimulang maghanap ng isang paraan upang ipatupad ang fractal geometry sa mga graphics ng computer. Tatlong araw lang ang inabot niya para makapagbigay ng ganap na makatotohanang larawan ng landscape ng bundok sa kanyang computer. At ngayon ang prinsipyong ito ay malawakang ginagamit. Tulad ng nangyari, ang paglikha ng mga fractals ay hindi nangangailangan ng maraming oras at pagsisikap.

Desisyon ng karpintero

Simple lang pala ang prinsipyong ginamit ni Lauren. Binubuo ito sa paghahati ng mas malaki sa mas maliliit na elemento, at sa mga katulad na mas maliit, at iba pa. Ang karpintero, gamit ang malalaking tatsulok, ay dinurog ang mga ito sa 4 na maliliit, at iba pa, hanggang sa nakakuha siya ng makatotohanang tanawin ng bundok. Kaya, siya ang naging unang artist na nag-aplay ng fractal algorithm sa computer graphics upang bumuo ng kinakailangang imahe. Ngayon, ang prinsipyong ito ay ginagamit upang gayahin ang iba't ibang makatotohanang natural na anyo.

Ang unang 3D visualization batay sa fractal algorithm

Pagkalipas ng ilang taon, inilapat ni Lauren ang kanyang trabaho sa isang malakihang proyekto - isang animated na video na Vol Libre, na ipinakita sa Siggraph noong 1980. Ang video na ito ay nagulat sa marami, at ang lumikha nito ay inimbitahan na magtrabaho sa Lucasfilm. Dito ay ganap na napagtanto ng animator ang kanyang sarili, lumikha siya ng mga three-dimensional na landscape (ang buong planeta) para sa tampok na pelikulang "Star Trek". Anumang modernong programa ("Fractals") o application para sa paglikha ng tatlong-dimensional na graphics (Terragen, Vue, Bryce) ay gumagamit ng parehong algorithm para sa pagmomodelo ng mga texture at surface.

Tom Beddard

Isang dating laser physicist at ngayon ay digital artist at artist, si Beddard ay lumikha ng isang serye ng mga nakakaintriga na geometric na hugis na tinawag niyang Faberge's fractals. Sa panlabas, sila ay kahawig ng mga pandekorasyon na itlog ng isang Ruso na alahero, mayroon silang parehong makinang na masalimuot na pattern. Gumamit si Beddard ng paraan ng template para gawin ang kanyang mga digital rendering ng mga modelo. Ang mga resultang produkto ay kapansin-pansin sa kanilang kagandahan. Bagaman marami ang tumatangging ihambing ang isang produktong gawa sa kamay sa isang computer program, dapat tanggapin na ang mga resultang anyo ay hindi pangkaraniwang maganda. Ang highlight ay ang sinuman ay maaaring bumuo ng tulad ng isang fractal gamit ang WebGL software library. Pinapayagan ka nitong galugarin ang iba't ibang mga fractal na istruktura sa real time.

fractals sa kalikasan

Ilang tao ang nagbibigay-pansin, ngunit ang mga kamangha-manghang figure na ito ay nasa lahat ng dako. Ang kalikasan ay binubuo ng magkatulad na pigura, hindi lang natin ito napapansin. Ito ay sapat na upang tumingin sa pamamagitan ng isang magnifying glass sa ating balat o isang dahon ng isang puno, at makikita natin ang mga fractals. O kunin, halimbawa, isang pinya o kahit isang buntot ng paboreal - binubuo sila ng magkatulad na mga pigura. At ang iba't ibang Romanescu broccoli ay karaniwang kapansin-pansin sa hitsura nito, dahil maaari itong tunay na tinatawag na isang himala ng kalikasan.

Paghinto ng musika

Lumalabas na ang mga fractals ay hindi lamang mga geometric na hugis, maaari rin silang maging mga tunog. Kaya, ang musikero na si Jonathan Colton ay nagsusulat ng musika gamit ang mga fractal algorithm. Sinasabi niya na tumutugma sa natural na pagkakaisa. Inilalathala ng kompositor ang lahat ng kanyang mga gawa sa ilalim ng lisensyang CreativeCommons Attribution-Noncommercial, na nagbibigay ng libreng pamamahagi, pagkopya, paglilipat ng mga gawa ng ibang tao.

Fractal indicator

Ang diskarteng ito ay nakahanap ng isang hindi inaasahang aplikasyon. Sa batayan nito, nilikha ang isang tool para sa pagsusuri ng stock exchange market, at, bilang resulta, nagsimula itong gamitin sa merkado ng Forex. Ngayon ang fractal indicator ay matatagpuan sa lahat ng mga trading platform at ginagamit sa isang trading technique na tinatawag na price breakout. Binuo ni Bill Williams ang pamamaraang ito. Tulad ng komento ng may-akda sa kanyang imbensyon, ang algorithm na ito ay isang kumbinasyon ng ilang "kandila", kung saan ang gitnang isa ay sumasalamin sa maximum o, sa kabaligtaran, ang pinakamababang extreme point.

Sa wakas

Kaya't isinaalang-alang namin kung ano ang isang fractal. Lumalabas na sa kaguluhang nakapaligid sa atin, sa katunayan, may mga perpektong anyo. Ang kalikasan ang pinakamahusay na arkitekto, ang perpektong tagabuo at inhinyero. Nakaayos ito nang napaka-lohikal, at kung hindi natin mahanap ang isang pattern, hindi ito nangangahulugan na wala ito. Siguro kailangan mong tumingin sa ibang sukat. Masasabi nating may kumpiyansa na ang mga fractals ay nagtatago pa rin ng maraming sikreto na hindi pa natin natutuklasan.

Institusyong pang-edukasyon sa badyet ng munisipyo

"Siverskaya secondary school No. 3"

gawaing pananaliksik

matematika.

Ginawa ang trabaho

mag-aaral sa ika-8 baitang

Emelin Pavel

siyentipikong tagapayo

guro sa matematika

Tupitsyna Natalya Alekseevna

p. Siversky

taong 2014

Ang matematika ay puno ng kagandahan at pagkakaisa,

Kailangan mo lang makita ang kagandahang ito.

B. Mandelbrot

Panimula

Kabanata 1. Ang kasaysayan ng paglitaw ng mga fractals _______ 5-6 pp.

Kabanata 2. Pag-uuri ng mga fractals._______________6-10pp.

geometric fractals

Algebraic fractals

Stochastic fractals

Kabanata 3. "Fractal geometry ng kalikasan" ______ 11-13pp.

Kabanata 4. Paglalapat ng mga fractals _______________13-15pp.

Kabanata 5 Praktikal na gawain ________________ 16-24pp.

Konklusyon________________________________25.pahina

Listahan ng mga literatura at mapagkukunan sa Internet _______ 26 p.

Panimula

matematika,

kung titingnan mo ng tama,

sumasalamin hindi lamang sa katotohanan,

ngunit hindi mapapantayan ang kagandahan.

Bertrand Russell

Ang salitang "fractal" ay isang bagay na pinag-uusapan ng maraming tao ngayon, mula sa mga siyentipiko hanggang sa mga estudyante sa high school. Lumilitaw ito sa pabalat ng maraming aklat-aralin sa matematika, siyentipikong journal, at mga kahon ng software ng computer. Ang mga kulay na larawan ng fractals ngayon ay matatagpuan sa lahat ng dako: mula sa mga postkard, T-shirt hanggang sa mga larawan sa desktop ng isang personal na computer. Kaya, ano ang mga kulay na hugis na nakikita natin sa paligid?

Ang matematika ang pinakamatandang agham. Tila sa karamihan ng mga tao na ang geometry sa kalikasan ay limitado sa mga simpleng hugis gaya ng linya, bilog, polygon, globo, at iba pa. Tulad ng nangyari, maraming mga natural na sistema ang napakasalimuot na ang paggamit lamang ng mga pamilyar na bagay ng ordinaryong geometry upang imodelo ang mga ito ay tila walang pag-asa. Paano, halimbawa, upang bumuo ng isang modelo ng isang hanay ng bundok o korona ng puno sa mga tuntunin ng geometry? Paano ilarawan ang pagkakaiba-iba ng biological diversity na ating naobserbahan sa mundo ng mga halaman at hayop? Paano isipin ang buong kumplikado ng sistema ng sirkulasyon, na binubuo ng maraming mga capillary at mga sisidlan at naghahatid ng dugo sa bawat selula ng katawan ng tao? Isipin ang istraktura ng mga baga at bato, na kahawig ng mga puno na may sanga na korona sa istraktura?

Ang mga fractals ay isang angkop na paraan para sa paggalugad ng mga tanong na ibinibigay. Kadalasan ang nakikita natin sa kalikasan ay nakakaintriga sa atin sa walang katapusang pag-uulit ng parehong pattern, pinalaki o binawasan ng ilang beses. Halimbawa, ang puno ay may mga sanga. Ang mga sangay na ito ay may mas maliliit na sanga, at iba pa. Sa teorya, ang elementong "tinidor" ay umuulit nang walang hanggan nang maraming beses, lumiliit nang lumiliit. Ang parehong bagay ay makikita kapag tumitingin sa isang larawan ng isang bulubunduking lupain. Subukan mong mag-zoom in ng kaunti sa bulubundukin --- makikita mo muli ang mga bundok. Ito ay kung paano ang pag-aari ng self-similarity na katangian ng fractals ay nagpapakita mismo.

Ang pag-aaral ng fractals ay nagbubukas ng mga magagandang posibilidad, kapwa sa pag-aaral ng walang katapusang bilang ng mga aplikasyon, at sa larangan ng matematika. Ang paggamit ng fractals ay napakalawak! Pagkatapos ng lahat, ang mga bagay na ito ay napakaganda na ang mga ito ay ginagamit ng mga designer, artist, sa tulong ng mga ito maraming mga elemento ng mga puno, ulap, bundok, atbp ay iginuhit sa mga graphics. Ngunit ang mga fractal ay ginagamit pa nga bilang mga antenna sa maraming mga cell phone.

Para sa maraming chaologists (siyentipiko na nag-aaral ng fractals at chaos), ito ay hindi lamang isang bagong larangan ng kaalaman na pinagsasama ang matematika, teoretikal na pisika, sining at teknolohiya ng kompyuter - ito ay isang rebolusyon. Ito ang pagtuklas ng isang bagong uri ng geometry, ang geometry na naglalarawan sa mundo sa paligid natin at makikita hindi lamang sa mga aklat-aralin, kundi pati na rin sa kalikasan at saanman sa walang hangganang uniberso..

Sa aking trabaho, nagpasya din akong "hawakan" ang mundo ng kagandahan at determinado para sa aking sarili ...

Layunin: paglikha ng mga bagay na halos kapareho ng kalikasan.

Mga pamamaraan ng pananaliksik Keywords: comparative analysis, synthesis, modelling.

Mga gawain:

kakilala sa konsepto, kasaysayan ng paglitaw at pananaliksik ng B. Mandelbrot,

G. Koch, V. Sierpinsky at iba pa;

pamilyar sa iba't ibang uri ng fractal set;

pag-aaral ng tanyag na literatura sa agham sa isyung ito, kakilala sa

siyentipikong pagpapalagay;

paghahanap ng kumpirmasyon ng teorya ng fractality ng nakapaligid na mundo;

pag-aaral ng paggamit ng fractals sa iba pang mga agham at sa pagsasanay;

nagsasagawa ng isang eksperimento upang lumikha ng iyong sariling mga fractal na larawan.

Pangunahing tanong ng trabaho:

Ipakita na ang matematika ay hindi isang tuyo, walang kaluluwang paksa, maaari itong ipahayag ang espirituwal na mundo ng isang tao nang paisa-isa at sa lipunan sa kabuuan.

Paksa ng pag-aaral: Fractal geometry.

Layunin ng pag-aaral: fractals sa matematika at sa totoong mundo.

Hypothesis: Ang lahat ng umiiral sa totoong mundo ay isang fractal.

Mga pamamaraan ng pananaliksik: analitikal, paghahanap.

Kaugnayan ng ipinahayag na paksa ay tinutukoy, una sa lahat, ng paksa ng pananaliksik, na fractal geometry.

Inaasahang resulta: Sa kurso ng trabaho, mapapalawak ko ang aking kaalaman sa larangan ng matematika, makita ang kagandahan ng fractal geometry, at magsimulang magtrabaho sa paglikha ng sarili kong mga fractal.

Ang resulta ng gawain ay ang paglikha ng isang computer presentation, isang bulletin at isang booklet.

Kabanata 1

B Enua Mandelbrot

Ang terminong "fractal" ay likha ni Benoit Mandelbrot. Ang salitang ito ay nagmula sa Latin na "fractus", ibig sabihin ay "sira, basag".

Fractal (lat. fractus - durog, sira, sira) - isang termino na nangangahulugang isang kumplikadong geometric figure na may pag-aari ng pagkakatulad sa sarili, iyon ay, binubuo ng ilang mga bahagi, ang bawat isa ay katulad ng buong figure sa kabuuan.

Ang mga bagay sa matematika na tinutukoy nito ay nailalarawan sa pamamagitan ng lubhang kawili-wiling mga katangian. Sa ordinaryong geometry, ang isang linya ay may isang dimensyon, ang isang ibabaw ay may dalawang dimensyon, at ang isang spatial na pigura ay tatlong-dimensional. Ang mga fractals, sa kabilang banda, ay hindi mga linya o mga ibabaw, ngunit, kung maaari mong isipin ito, isang bagay sa pagitan. Sa pagtaas ng laki, ang dami ng fractal ay tumataas din, ngunit ang dimensyon nito (exponent) ay hindi isang integer, ngunit isang fractional na halaga, at samakatuwid ang hangganan ng fractal figure ay hindi isang linya: sa mataas na paglaki, ito ay nagiging malinaw. na ito ay malabo at binubuo ng mga spiral at kulot, na inuulit sa maliit ang sukat ng pigura mismo. Ang ganitong geometric na regularity ay tinatawag na scale invariance o self-similarity. Siya ang tumutukoy sa fractional na sukat ng mga fractal figure.

Bago ang pagdating ng fractal geometry, ang agham ay humarap sa mga sistemang nakapaloob sa tatlong spatial na sukat. Salamat kay Einstein, naging malinaw na ang three-dimensional na espasyo ay isang modelo lamang ng realidad, at hindi ang realidad mismo. Sa katunayan, ang ating mundo ay matatagpuan sa isang four-dimensional space-time continuum.
Salamat sa Mandelbrot, naging malinaw kung ano ang hitsura ng isang four-dimensional na espasyo, sa makasagisag na pagsasalita, ang fractal na mukha ng Chaos. Natuklasan ni Benoit Mandelbrot na kasama sa ikaapat na dimensyon hindi lamang ang unang tatlong dimensyon, kundi pati na rin (napakahalaga nito!) ang mga pagitan sa pagitan ng mga ito.

Ang recursive (o fractal) na geometry ay pinapalitan ang Euclidean. Ang bagong agham ay may kakayahang ilarawan ang tunay na kalikasan ng mga katawan at phenomena. Ang Euclidean geometry ay tumatalakay lamang sa mga artipisyal, haka-haka na bagay na kabilang sa tatlong dimensyon. Tanging ang ika-apat na dimensyon ang maaaring gawing katotohanan ang mga ito.

Ang likido, gas, solid ay ang tatlong karaniwang pisikal na estado ng bagay na umiiral sa tatlong-dimensional na mundo. Ngunit ano ang sukat ng buga ng usok, ulap, o sa halip, ang kanilang mga hangganan, na patuloy na pinalabo ng magulong paggalaw ng hangin?

Karaniwan, ang mga fractal ay inuri sa tatlong pangkat:

Algebraic fractals

Stochastic fractals

geometric fractals

Tingnan natin ang bawat isa sa kanila.

Kabanata 2. Pag-uuri ng mga fractal

geometric fractals

Iminungkahi ni Benoit Mandelbrot ang isang fractal na modelo, na naging klasiko na at kadalasang ginagamit upang ipakita ang parehong tipikal na halimbawa ng fractal mismo at upang ipakita ang kagandahan ng mga fractal, na umaakit din sa mga mananaliksik, artist, at mga taong interesado lang.

Sa kanila nagsimula ang kasaysayan ng mga fractal. Ang ganitong uri ng fractals ay nakuha sa pamamagitan ng simpleng geometric na mga konstruksyon. Karaniwan, kapag nagtatayo ng mga fractal na ito, ang isa ay nagpapatuloy tulad ng sumusunod: ang isang "binhi" ay kinuha - isang axiom - isang hanay ng mga segment, sa batayan kung saan ang fractal ay itatayo. Dagdag pa, ang isang hanay ng mga patakaran ay inilalapat sa "binhi" na ito, na binabago ito sa ilang geometric na pigura. Dagdag pa, ang parehong hanay ng mga patakaran ay muling inilalapat sa bawat bahagi ng figure na ito. Sa bawat hakbang, ang figure ay magiging mas at mas kumplikado, at kung isasagawa natin (kahit sa isip) ang isang walang katapusang bilang ng mga pagbabagong-anyo, makakakuha tayo ng geometric fractal.

Ang mga fractals ng klase na ito ay ang pinaka-visual, dahil ang mga ito ay agad na nakikita ang pagkakatulad sa sarili sa anumang sukat ng pagmamasid. Sa dalawang-dimensional na kaso, ang mga naturang fractals ay maaaring makuha sa pamamagitan ng pagtukoy ng ilang sirang linya, na tinatawag na generator. Sa isang hakbang ng algorithm, ang bawat isa sa mga segment na bumubuo sa sirang linya ay pinapalitan ng isang sirang line-generator, sa naaangkop na sukat. Bilang resulta ng walang katapusang pag-uulit ng pamamaraang ito (o, mas tiyak, kapag pumasa sa limitasyon), ang isang fractal curve ay nakuha. Sa maliwanag na pagiging kumplikado ng nagresultang kurba, ang pangkalahatang anyo nito ay ibinibigay lamang sa pamamagitan ng hugis ng generator. Ang mga halimbawa ng naturang mga kurba ay: Koch curve (Fig.7), Peano curve (Fig.8), Minkowski curve.

Sa simula ng ika-20 siglo, ang mga mathematician ay naghahanap ng mga kurba na walang tangent sa anumang punto. Nangangahulugan ito na ang curve ay biglang nagbago ng direksyon nito, at, bukod dito, sa isang napakalaking bilis (ang derivative ay katumbas ng infinity). Ang paghahanap para sa mga kurba na ito ay sanhi hindi lamang ng walang ginagawang interes ng mga mathematician. Ang katotohanan ay na sa simula ng ika-20 siglo, ang quantum mechanics ay umunlad nang napakabilis. Ang mananaliksik na si M. Brown ay nag-sketch ng tilapon ng mga nasuspinde na mga particle sa tubig at ipinaliwanag ang hindi pangkaraniwang bagay na ito tulad ng sumusunod: ang random na paglipat ng mga likidong atom ay tumama sa mga nasuspinde na mga particle at sa gayon ay itinatakda ang mga ito sa paggalaw. Matapos ang gayong paliwanag ng Brownian motion, ang mga siyentipiko ay nahaharap sa gawain ng paghahanap ng isang curve na pinakamahusay na magpapakita ng paggalaw ng mga Brownian particle. Upang gawin ito, ang kurba ay kailangang matugunan ang mga sumusunod na katangian: walang tangent sa anumang punto. Ang mathematician na si Koch ay nagmungkahi ng isang ganoong kurba.

Upang ang Koch curve ay isang tipikal na geometric fractal. Ang proseso ng pagtatayo nito ay ang mga sumusunod: kumuha kami ng isang solong segment, hatiin ito sa tatlong pantay na bahagi at palitan ang gitnang pagitan ng isang equilateral triangle na walang segment na ito. Bilang isang resulta, isang putol na linya ay nabuo, na binubuo ng apat na mga link na may haba na 1/3. Sa susunod na hakbang, inuulit namin ang operasyon para sa bawat isa sa apat na resultang link, at iba pa ...

Ang limit curve ay Kurba ng Koch.

Snowflake Koch. Sa pamamagitan ng pagsasagawa ng katulad na pagbabago sa mga gilid ng isang equilateral triangle, maaari kang makakuha ng fractal na imahe ng isang Koch snowflake.

T
Ang isa pang simpleng kinatawan ng isang geometric fractal ay Sierpinski square. Ito ay itinayo nang simple: Ang parisukat ay nahahati sa pamamagitan ng mga tuwid na linya na kahanay sa mga gilid nito sa 9 na pantay na parisukat. Ang gitnang parisukat ay tinanggal mula sa parisukat. Ito ay lumiliko ang isang set na binubuo ng 8 natitirang mga parisukat ng "unang ranggo". Ang paggawa ng pareho sa bawat isa sa mga parisukat ng unang ranggo, makakakuha tayo ng isang set na binubuo ng 64 na mga parisukat ng pangalawang ranggo. Sa pagpapatuloy ng prosesong ito nang walang katapusan, nakakakuha kami ng isang walang katapusang sequence o Sierpinski square.

Algebraic fractals

Ito ang pinakamalaking pangkat ng mga fractal. Ang mga algebraic fractals ay nakuha ang kanilang pangalan dahil sila ay binuo gamit ang mga simpleng algebraic formula.

Nakukuha ang mga ito gamit ang mga non-linear na proseso sa n-dimensional na espasyo. Ito ay kilala na ang mga nonlinear dynamical system ay may ilang mga matatag na estado. Ang estado kung saan nahanap ng dynamical system ang sarili nito pagkatapos ng isang tiyak na bilang ng mga pag-ulit ay nakasalalay sa paunang estado nito. Samakatuwid, ang bawat matatag na estado (o, gaya ng sinasabi nila, isang pang-akit) ay may isang tiyak na lugar ng mga paunang estado, kung saan ang sistema ay kinakailangang mahuhulog sa itinuturing na panghuling estado. Kaya, ang phase space ng system ay nahahati sa mga lugar ng atraksyon mga pang-akit. Kung ang puwang ng phase ay dalawang-dimensional, pagkatapos ay sa pamamagitan ng pagkulay sa mga rehiyon ng atraksyon na may iba't ibang kulay, maaari kang makakuha larawan ng yugto ng kulay ang sistemang ito (prosesong umuulit). Sa pamamagitan ng pagbabago sa algorithm ng pagpili ng kulay, maaari kang makakuha ng mga kumplikadong fractal pattern na may magarbong multicolor pattern. Ang isang sorpresa para sa mga mathematician ay ang kakayahang makabuo ng napakakumplikadong istruktura gamit ang mga primitive na algorithm.

Bilang halimbawa, isaalang-alang ang set ng Mandelbrot. Ito ay binuo gamit ang mga kumplikadong numero.

Bahagi ng hangganan ng set ng Mandelbrot, pinalaki ng 200 beses.

Ang set ng Mandelbrot ay naglalaman ng mga puntos na habangwalang katapusan ang bilang ng mga pag-ulit ay hindi napupunta sa infinity (mga puntos na itim). Mga puntos na kabilang sa hangganan ng set(dito umusbong ang mga kumplikadong istruktura) pumunta sa infinity sa isang may hangganang bilang ng mga iteration, at ang mga puntos na nasa labas ng set ay napupunta sa infinity pagkatapos ng ilang mga iteration (white background).

P



Ang isang halimbawa ng isa pang algebraic fractal ay ang Julia set. Mayroong 2 uri ng fractal na ito. Nakakagulat, ang Julia set ay nabuo ayon sa parehong formula bilang ang Mandelbrot set. Ang Julia set ay naimbento ng French mathematician na si Gaston Julia, kung saan pinangalanan ang set.

At
kawili-wiling katotohanan, ang ilang mga algebraic fractals ay kapansin-pansing kahawig ng mga larawan ng mga hayop, halaman at iba pang biological na bagay, bilang isang resulta kung saan sila ay tinatawag na biomorphs.

Stochastic fractals

Ang isa pang kilalang klase ng fractals ay stochastic fractals, na nakukuha kung anuman sa mga parameter nito ay random na binago sa isang umuulit na proseso. Nagreresulta ito sa mga bagay na halos kapareho ng mga natural - mga punong walang simetriko, mga indent na baybayin, atbp.

Ang isang tipikal na kinatawan ng grupong ito ng mga fractals ay "plasma".

D
Upang mabuo ito, isang rektanggulo ang kinuha at isang kulay ang tinutukoy para sa bawat sulok nito. Susunod, ang gitnang punto ng rectangle ay matatagpuan at pininturahan sa isang kulay na katumbas ng arithmetic mean ng mga kulay sa mga sulok ng rectangle kasama ang ilang random na numero. Kung mas malaki ang random na numero, mas magiging "punit" ang larawan. Kung ipagpalagay natin na ang kulay ng punto ay ang taas sa ibabaw ng antas ng dagat, makakakuha tayo ng hanay ng bundok sa halip na plasma. Sa prinsipyong ito, ang mga bundok ay na-modelo sa karamihan ng mga programa. Gamit ang isang algorithm na tulad ng plasma, ang isang mapa ng taas ay binuo, ang iba't ibang mga filter ay inilalapat dito, isang texture ay inilapat, at ang mga photorealistic na bundok ay handa na.

E
Kung titingnan natin ang fractal na ito sa isang seksyon, makikita natin na ang fractal na ito ay napakalaki, at may "kagaspangan", dahil lamang sa "kagaspangan" na ito mayroong isang napakahalagang aplikasyon ng fractal na ito.

Sabihin nating gusto mong ilarawan ang hugis ng bundok. Ang mga ordinaryong figure mula sa Euclidean geometry ay hindi makakatulong dito, dahil hindi nila isinasaalang-alang ang topograpiya sa ibabaw. Ngunit kapag pinagsama ang maginoo na geometry sa fractal geometry, maaari mong makuha ang pinaka "kagaspangan" ng bundok. Ang plasma ay dapat ilapat sa isang ordinaryong kono at makukuha natin ang kaginhawahan ng bundok. Ang ganitong mga operasyon ay maaaring isagawa sa maraming iba pang mga bagay sa kalikasan, salamat sa stochastic fractals, ang kalikasan mismo ay maaaring inilarawan.

Ngayon ay pag-usapan natin ang tungkol sa geometric fractals.

.

Kabanata 3 "Ang Fractal Geometry ng Kalikasan"

Bakit madalas na tinutukoy ang geometry bilang "malamig" at "tuyo"? Ang isang dahilan ay ang kawalan ng kakayahan nitong ilarawan ang hugis ng ulap, bundok, baybayin o puno. Ang mga ulap ay hindi mga sphere, ang mga bundok ay hindi cone, ang mga baybayin ay hindi mga bilog, puno ang balat ay hindi makinis; ngunit ang pagiging kumplikado ng isang ganap na naiibang antas. Ang bilang ng iba't ibang haba ng mga kaliskis ng mga likas na bagay para sa lahat ng praktikal na layunin ay walang hanggan."

(Benoit Mandelbrot "Ang Fractal Geometry ng Kalikasan" ).

Upang Ang kagandahan ng mga fractal ay dalawa: ito ay nakalulugod sa mata, bilang ebidensya ng hindi bababa sa buong mundo na eksibisyon ng mga fractal na imahe, na inayos ng isang grupo ng mga mathematician ng Bremen sa ilalim ng pamumuno ni Peitgen at Richter. Nang maglaon, ang mga eksibit ng engrandeng eksibisyon na ito ay nakuhanan sa mga guhit para sa aklat na "The Beauty of Fractals" ng parehong mga may-akda. Ngunit may isa pa, mas abstract o kahanga-hanga, aspeto ng kagandahan ng mga fractals, bukas, ayon kay R. Feynman, lamang sa mental na tingin ng theorist, sa ganitong kahulugan, ang mga fractals ay maganda sa kagandahan ng isang mahirap na problema sa matematika. Itinuro ni Benoit Mandelbrot sa kanyang mga kontemporaryo (at, siguro, sa kanyang mga inapo) ang isang kapus-palad na puwang sa Mga Elemento ni Euclid, ayon sa kung saan, nang hindi napansin ang pagkukulang, halos dalawang libong taon na ang sangkatauhan ay naunawaan ang geometry ng nakapaligid na mundo at natutunan ang mathematical rigor ng pagtatanghal. Siyempre, ang parehong mga aspeto ng kagandahan ng fractals ay malapit na magkakaugnay at hindi ibinubukod, ngunit kapwa umakma sa isa't isa, kahit na ang bawat isa sa kanila ay sapat sa sarili.

Ang fractal geometry ng kalikasan, ayon kay Mandelbrot, ay isang tunay na geometry na nakakatugon sa kahulugan ng geometry na iminungkahi sa "Erlangen Program" ni F. Klein. Ang katotohanan ay bago ang pagdating ng non-Euclidean geometry, N.I. Lobachevsky - L. Bolyai, mayroon lamang isang geometry - ang isa na itinakda sa "Mga Simula", at ang tanong kung ano ang geometry at kung alin sa mga geometry ang geometry ng totoong mundo ay hindi lumitaw, at hindi maaaring manggaling. Ngunit sa pagdating ng isa pang geometry, lumitaw ang tanong kung ano ang geometry sa pangkalahatan, at kung alin sa maraming mga geometry ang tumutugma sa totoong mundo. Ayon kay F. Klein, pinag-aaralan ng geometry ang mga katangian ng mga bagay na invariant sa ilalim ng mga pagbabagong-anyo: Euclidean - mga invariant ng pangkat ng mga galaw (mga pagbabagong hindi nagbabago sa distansya sa pagitan ng alinmang dalawang punto, ibig sabihin, kumakatawan sa isang superposisyon ng mga parallel na pagsasalin at pag-ikot na may o nang walang pagbabago sa oryentasyon), Lobachevsky-Bolyai geometry - mga invariant ng pangkat ng Lorentz. Ang Fractal geometry ay tumatalakay sa pag-aaral ng mga invariant ng pangkat ng self-affine transformations, i.e. mga ari-arian na ipinahayag ng mga batas ng kapangyarihan.

Tulad ng para sa pagsusulatan sa totoong mundo, ang fractal geometry ay naglalarawan ng isang napakalawak na klase ng mga natural na proseso at phenomena, at samakatuwid ay maaari nating, kasunod ni B. Mandelbrot, na may karapatang magsalita tungkol sa fractal geometry ng kalikasan. Bago - ang mga fractal na bagay ay may mga hindi pangkaraniwang katangian. Ang mga haba, lugar at volume ng ilang fractals ay katumbas ng zero, ang iba ay nagiging infinity.

Ang kalikasan ay madalas na lumilikha ng mga kamangha-manghang at magagandang fractals, na may perpektong geometry at ganoong pagkakatugma na nag-freeze ka lang sa paghanga. At narito ang kanilang mga halimbawa:

mga shell ng dagat

Kidlat humahanga sa kanilang kagandahan. Ang mga fractals na nilikha ng kidlat ay hindi random o regular.

fractal na hugis subspecies ng cauliflower(Brassica cauliflora). Ang espesyal na uri na ito ay partikular na simetriko fractal.

P pako ay isa ring magandang halimbawa ng isang fractal sa mga flora.

Mga paboreal lahat ay kilala sa kanilang makulay na balahibo, kung saan nakatago ang mga solidong fractals.

Mga pattern ng yelo, hamog na nagyelo sa mga bintana, ito ay mga fractal din

O
t pinalaki na imahe leaflet, dati mga sanga ng puno- makakahanap ka ng fractals sa lahat ng bagay

Ang mga fractal ay nasa lahat ng dako at saanman sa kalikasan sa paligid natin. Ang buong uniberso ay itinayo ayon sa nakakagulat na magkakatugmang mga batas na may katumpakan sa matematika. Posible ba pagkatapos nito na isipin na ang ating planeta ay isang random na clutch ng mga particle? Halos hindi.

Kabanata 4

Ang mga fractals ay nakakahanap ng higit at higit pang mga aplikasyon sa agham. Ang pangunahing dahilan nito ay inilalarawan nila ang totoong mundo kung minsan ay mas mahusay pa kaysa sa tradisyonal na pisika o matematika. Narito ang ilang halimbawa:

O
Ang mga araw ng pinakamakapangyarihang mga aplikasyon ng fractals ay namamalagi computer graphics. Ito ay fractal compression ng mga imahe. Ang modernong pisika at mekanika ay nagsisimula pa lamang na pag-aralan ang pag-uugali ng mga fractal na bagay.

Ang mga bentahe ng fractal image compression algorithm ay ang napakaliit na sukat ng naka-pack na file at ang maikling oras ng pagbawi ng imahe. Ang mga fractally packed na imahe ay maaaring i-scale nang walang hitsura ng pixelization (mahinang kalidad ng imahe - malalaking parisukat). Ngunit ang proseso ng compression ay tumatagal ng mahabang panahon at kung minsan ay tumatagal ng ilang oras. Binibigyang-daan ka ng lossy fractal packing algorithm na itakda ang antas ng compression, katulad ng jpeg na format. Ang algorithm ay batay sa paghahanap para sa malalaking piraso ng larawan na katulad ng ilang maliliit na piraso. At kung aling piraso lamang ang katulad ng nakasulat sa output file. Kapag nag-compress, ang isang parisukat na grid ay karaniwang ginagamit (mga piraso ay mga parisukat), na humahantong sa isang bahagyang angularity kapag ibinalik ang larawan, ang isang hexagonal na grid ay libre mula sa gayong sagabal.

Nakabuo ang Iterated ng bagong format ng imahe, "Sting", na pinagsasama ang fractal at "wave" (gaya ng jpeg) lossless compression. Ang bagong format ay nagpapahintulot sa iyo na lumikha ng mga imahe na may posibilidad ng kasunod na mataas na kalidad na pag-scale, at ang dami ng mga graphic na file ay 15-20% ng dami ng hindi naka-compress na mga imahe.

Sa mechanics at physics Ang mga fractals ay ginagamit dahil sa natatanging katangian upang ulitin ang mga balangkas ng maraming natural na bagay. Binibigyang-daan ka ng mga fractals na tantiyahin ang mga puno, ibabaw ng bundok, at mga bitak na may mas mataas na katumpakan kaysa sa mga pagtatantya na may mga segment ng linya o polygon (na may parehong dami ng nakaimbak na data). Ang mga modelo ng fractal, tulad ng mga natural na bagay, ay may "kagaspangan", at ang ari-arian na ito ay pinapanatili sa isang arbitraryong malaking pagtaas sa modelo. Ang pagkakaroon ng pare-parehong sukat sa mga fractals ay ginagawang posible na ilapat ang integrasyon, potensyal na teorya, upang gamitin ang mga ito sa halip na mga karaniwang bagay sa mga equation na pinag-aralan na.

T
Fractal geometry ay ginagamit din sa disenyo ng mga antenna device. Ito ay unang ginamit ng American engineer na si Nathan Cohen, na noon ay nanirahan sa gitna ng Boston, kung saan ipinagbabawal ang pag-install ng mga panlabas na antenna sa mga gusali. Gumupit si Cohen ng isang Koch curve na hugis mula sa aluminum foil at pagkatapos ay idinikit ito sa isang piraso ng papel bago ito ilakip sa isang receiver. Ito ay lumabas na ang naturang antena ay gumagana nang hindi mas masahol kaysa sa isang maginoo. At kahit na ang mga pisikal na prinsipyo ng naturang antenna ay hindi pa napag-aralan sa ngayon, hindi nito napigilan si Cohen na magtatag ng sarili niyang kumpanya at mag-set up ng kanilang serial production. Sa ngayon, ang kumpanyang Amerikano na "Fractal Antenna System" ay nakabuo ng isang bagong uri ng antenna. Maaari mo na ngayong ihinto ang paggamit ng mga nakausli na panlabas na antenna sa mga mobile phone. Ang tinatawag na fractal antenna ay direktang matatagpuan sa main board sa loob ng device.

Marami ring hypotheses tungkol sa paggamit ng fractals - halimbawa, ang lymphatic at circulatory system, ang baga, at marami pang iba ay mayroon ding fractal properties.

Kabanata 5. Praktikal na gawain.

Una, tumuon tayo sa mga fractals na "Necklace", "Victory" at "Square".

Una- "Kuwintas"(Larawan 7). Ang bilog ay ang nagpasimula ng fractal na ito. Binubuo ang bilog na ito ng isang tiyak na bilang ng parehong mga bilog, ngunit may mas maliliit na laki, at ito mismo ay isa sa ilang mga bilog na pareho, ngunit mas malalaking sukat. Kaya't ang proseso ng edukasyon ay walang katapusan at maaari itong isagawa sa parehong direksyon at sa kabaligtaran ng direksyon. Yung. ang pigura ay maaaring palakihin sa pamamagitan ng pagkuha lamang ng isang maliit na arko, o maaari itong bawasan sa pamamagitan ng pagsasaalang-alang sa pagbuo nito mula sa mas maliliit.

kanin. 7.

Fractal "Kwintas"

Ang pangalawang fractal ay "Tagumpay"(Larawan 8). Nakuha niya ang pangalang ito dahil ito ay kahawig ng Latin na letrang "V", iyon ay, "tagumpay" -tagumpay. Ang fractal na ito ay binubuo ng isang tiyak na bilang ng maliit na "v", na bumubuo ng isang malaking "V", at sa kaliwang kalahati, kung saan ang mga maliliit ay inilalagay upang ang kanilang kaliwang kalahati ay bumubuo ng isang tuwid na linya, ang kanang bahagi ay itinayo. sa parehong paraan. Ang bawat isa sa mga "v" na ito ay binuo sa parehong paraan at nagpapatuloy ito hanggang sa kawalang-hanggan.

Fig.8. Fractal "Tagumpay"

Ang ikatlong fractal ay "Square" (Fig. 9). Ang bawat panig nito ay binubuo ng isang hilera ng mga selula, na hugis parisukat, na ang mga gilid ay kumakatawan din sa mga hilera ng mga selula, at iba pa.

Fig. 9. Fractal "Square"

Ang fractal ay tinawag na "Rose" (Larawan 10), dahil sa panlabas na pagkakahawig nito sa bulaklak na ito. Ang pagtatayo ng isang fractal ay nauugnay sa pagtatayo ng isang serye ng mga concentric na bilog, ang radius kung saan nagbabago sa proporsyon sa isang naibigay na ratio (sa kasong ito, R m / R b = ¾ = 0.75.). Pagkatapos nito, ang isang regular na heksagono ay nakasulat sa bawat bilog, ang gilid nito ay katumbas ng radius ng bilog na inilarawan sa paligid nito.

kanin. 11. Fractal "Rose *"

Susunod, lumiko kami sa regular na pentagon, kung saan iginuhit namin ang mga diagonal nito. Pagkatapos, sa pentagon na nakuha sa intersection ng kaukulang mga segment, muli kaming gumuhit ng mga diagonal. Ipagpatuloy natin ang prosesong ito hanggang sa infinity at makuha ang "Pentagram" fractal (Larawan 12).

Ipakilala natin ang isang elemento ng pagkamalikhain at ang ating fractal ay magkakaroon ng anyo ng isang mas visual na bagay (Larawan 13).

R
ay. 12. Fractal "Pentagram".

kanin. 13. Fractal "Pentagram *"

kanin. 14 fractal "Black hole"

Eksperimento No. 1 "Tree"

Ngayong naiintindihan ko na kung ano ang fractal at kung paano bumuo ng isa, sinubukan kong gumawa ng sarili kong mga fractal na larawan. Sa Adobe Photoshop, gumawa ako ng maliit na subroutine o aksyon , ang kakaiba ng aksyon na ito ay inuulit nito ang mga aksyon na ginagawa ko, at ito ay kung paano ako nakakakuha ng fractal.

Upang magsimula, gumawa ako ng background para sa aming hinaharap na fractal na may resolusyon na 600 sa pamamagitan ng 600. Pagkatapos ay gumuhit ako ng 3 linya sa background na ito - ang batayan ng aming hinaharap na fractal.

MULA SA Ang susunod na hakbang ay ang pagsulat ng script.

dobleng layer ( layer > duplicate) at baguhin ang uri ng timpla sa " Screen" .

Tawagan natin siya" fr1". Doblehin ang layer na ito (" fr1") 2 beses pa.

Ngayon kailangan nating lumipat sa huling layer (fr3) at isama ito ng dalawang beses sa nauna ( ctrl+e). Bawasan ang liwanag ng layer ( Larawan > Mga Pagsasaayos > Liwanag/Contrast , set ng liwanag 50% ). Muli, pagsamahin ang nakaraang layer at putulin ang mga gilid ng buong pagguhit upang alisin ang mga hindi nakikitang bahagi.

Bilang pangwakas na hakbang, kinopya ko ang larawang ito at idinikit ito nang pinababa at pinaikot. Narito ang resulta.

Konklusyon

Ang gawaing ito ay isang panimula sa mundo ng mga fractals. Isinaalang-alang lamang namin ang pinakamaliit na bahagi ng kung ano ang mga fractal, batay sa kung anong mga prinsipyo ang itinayo ng mga ito.

Ang Fractal graphics ay hindi lamang isang set ng mga self-repeating na imahe, ito ay isang modelo ng istraktura at prinsipyo ng anumang nilalang. Ang ating buong buhay ay kinakatawan ng mga fractals. Ang lahat ng kalikasan sa paligid natin ay binubuo ng mga ito. Dapat tandaan na ang mga fractal ay malawakang ginagamit sa mga laro sa kompyuter, kung saan ang mga terrain ay kadalasang mga fractal na larawan batay sa mga three-dimensional na modelo ng mga kumplikadong set. Ang mga fractals ay lubos na nagpapadali sa pagguhit ng mga computer graphics; sa tulong ng mga fractals, maraming mga espesyal na epekto, iba't ibang mga kamangha-manghang at hindi kapani-paniwalang mga larawan, atbp. Gayundin, sa tulong ng fractal geometry, ang mga puno, ulap, baybayin at lahat ng iba pang kalikasan ay iginuhit. Ang mga fractal graphics ay kailangan sa lahat ng dako, at ang pagbuo ng "fractal na teknolohiya" ay isa sa pinakamahalagang gawain ngayon.

Sa hinaharap, plano kong matutunan kung paano bumuo ng algebraic fractals kapag pinag-aralan ko ang mga kumplikadong numero nang mas detalyado. Gusto ko ring subukang buuin ang aking fractal na imahe sa wikang programming ng Pascal gamit ang mga cycle.

Dapat pansinin ang paggamit ng mga fractals sa teknolohiya ng computer, bilang karagdagan sa simpleng pagbuo ng magagandang larawan sa screen ng computer. Ang mga fractals sa teknolohiya ng computer ay ginagamit sa mga sumusunod na lugar:

1. I-compress ang mga larawan at impormasyon

2. Pagtatago ng impormasyon sa larawan, sa tunog, ...

3. Pag-encrypt ng data gamit ang mga fractal algorithm

4. Paglikha ng fractal music

5. Pagmomodelo ng system

Sa aming trabaho, hindi lahat ng mga lugar ng kaalaman ng tao ay ibinigay, kung saan ang teorya ng fractals ay natagpuan ang aplikasyon nito. Nais lamang naming sabihin na hindi hihigit sa isang katlo ng isang siglo ang lumipas mula nang lumitaw ang teorya, ngunit sa panahong ito, ang mga fractals para sa maraming mga mananaliksik ay naging isang biglaang maliwanag na liwanag sa gabi, na nagpapaliwanag hanggang ngayon hindi kilalang mga katotohanan at mga pattern sa tiyak mga lugar ng data. Gamit ang teorya ng fractals, sinimulan nilang ipaliwanag ang ebolusyon ng mga kalawakan at ang pag-unlad ng cell, ang paglitaw ng mga bundok at ang pagbuo ng mga ulap, ang paggalaw ng mga presyo sa stock exchange at ang pag-unlad ng lipunan at pamilya. Marahil, sa una, ang pagkahilig na ito para sa mga fractals ay masyadong mabagyo at ang mga pagtatangka na ipaliwanag ang lahat gamit ang teorya ng fractals ay hindi makatwiran. Ngunit, nang walang pag-aalinlangan, ang teoryang ito ay may karapatang umiral, at ikinalulungkot namin na kamakailan lamang ay nakalimutan na ito at nanatili ang kapalaran ng mga piling tao. Sa paghahanda ng gawaing ito, napakainteresante para sa amin na makahanap ng mga aplikasyon ng TEORYA sa PAGSASANAY. Sapagkat napakadalas ay may pakiramdam na ang teoretikal na kaalaman ay hiwalay sa realidad ng buhay.

Kaya, ang konsepto ng fractals ay nagiging hindi lamang bahagi ng "dalisay" na agham, kundi isang elemento rin ng kultura ng tao. Ang Fractal science ay napakabata pa at may magandang kinabukasan. Ang kagandahan ng mga fractals ay malayo sa pagkaubos at magbibigay pa rin sa atin ng maraming mga obra maestra - yaong nakalulugod sa mata, at yaong nagdudulot ng tunay na kasiyahan sa isipan.

10. Mga Sanggunian

Bozhokin S.V., Parshin D.A. Fractal at multifractals. RHD 2001 .

Vitolin D. Ang paggamit ng fractals sa computer graphics. // Computerworld-Russia.-1995

Mandelbrot B. Self-affine fractal set, "Fractals in Physics". M.: Mir 1988

Mandelbrot B. Fractal geometry ng kalikasan. - M.: "Institute para sa Computer Research", 2002.

Morozov A.D. Panimula sa teorya ng fractals. Nizhny Novgorod: Nizhegorod Publishing House. unibersidad noong 1999

Paytgen H.-O., Richter P. H. Ang kagandahan ng fractals. - M.: "Mir", 1993.

Mga mapagkukunan sa internet

http://www.ghcube.com/fractals/determin.html

http://fractals.nsu.ru/fractals.chat.ru/

http://fractals.nsu.ru/animations.htm

http://www.cootey.com/fractals/index.html

http://fraktals.ucoz.ru/publ

http://sakva.narod.ru

http://rusnauka.narod.ru/lib/author/kosinov_n/12/

http://www.cnam.fr/fractals/

http://www.softlab.ntua.gr/mandel/

http://subscribe.ru/archive/job.education.maths/201005/06210524.html