Ang isa sa mga sub-item ng paksang "Ang equation ng isang tuwid na linya sa isang eroplano" ay ang isyu ng pag-compile ng mga parametric equation ng isang tuwid na linya sa isang eroplano sa isang rectangular coordinate system. Tinatalakay ng artikulo sa ibaba ang prinsipyo ng pag-compile ng mga naturang equation para sa ilang kilalang data. Ipakita natin kung paano pumasa mula sa mga parametric equation patungo sa mga equation ng ibang anyo; Suriin natin ang solusyon ng mga karaniwang problema.

Ang isang partikular na linya ay maaaring tukuyin sa pamamagitan ng pagtukoy ng isang punto na kabilang sa linyang iyon at isang vector ng direksyon para sa linya.

Ipagpalagay na binigyan tayo ng isang parihabang coordinate system O x y . At ibinigay din ang tuwid na linya a, na nagpapahiwatig ng puntong M 1 na nakahiga dito (x 1, y 1) at ang vector ng direksyon ng ibinigay na tuwid na linya a → = (a x , a y) . Nagbibigay kami ng paglalarawan ng ibinigay na linya a gamit ang mga equation.

Gumagamit kami ng arbitrary point M (x, y) at kumuha ng vector M 1 M →; kalkulahin ang mga coordinate nito mula sa mga coordinate ng mga punto ng pagsisimula at pagtatapos: M 1 M → = (x - x 1 , y - y 1) . Ilarawan natin ang resulta: ang linya ay ibinibigay ng isang set ng mga puntos na M (x, y), dumadaan sa puntong M 1 (x 1, y 1) at may vector ng direksyon. a → = (a x , a y) . Ang tinukoy na set ay tumutukoy lamang sa isang tuwid na linya kapag ang mga vectors M 1 M → = (x - x 1 , y - y 1) at a → = (a x , a y) ay collinear.

Mayroong kinakailangan at sapat na kondisyon para sa collinearity ng mga vector, na sa kasong ito para sa mga vectors M 1 M → = (x - x 1 , y - y 1) at a → = (a x , a y) ay maaaring isulat bilang isang equation:

M 1 M → = λ · a → , kung saan ang λ ay ilang totoong numero.

Kahulugan 1

Ang equation na M 1 M → = λ · a → ay tinatawag na vector-parametric equation ng linya.

Sa coordinate form, mukhang:

M 1 M → = λ a → ⇔ x - x 1 = λ a x y - y 1 = λ a y ⇔ x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ

Ang mga equation ng resultang sistema x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ay tinatawag na parametric equation ng isang tuwid na linya sa isang eroplano sa isang rectangular coordinate system. Ang kakanyahan ng pangalan ay ang mga sumusunod: ang mga coordinate ng lahat ng mga punto ng linya ay maaaring matukoy ng mga parametric equation sa eroplano ng form na x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ kapag umuulit sa lahat ng tunay na halaga ​ng parameter λ

Ayon sa itaas, ang mga parametric equation ng isang tuwid na linya sa eroplano x \u003d x 1 + a x λ y \u003d y 1 + a y λ ay tumutukoy sa isang tuwid na linya na ibinibigay sa isang hugis-parihaba na sistema ng coordinate, na dumadaan sa punto M 1 (x 1, y 1) at may gabay na vector a → = (a x , a y) . Samakatuwid, kung ang mga coordinate ng isang tiyak na punto ng tuwid na linya at ang mga coordinate ng nagdidirekta nitong vector ay ibinigay, posible na agad na isulat ang mga parametric equation ng ibinigay na tuwid na linya.

Halimbawa 1

Kinakailangang bumuo ng mga parametric equation ng isang tuwid na linya sa isang eroplano sa isang hugis-parihaba na coordinate system, kung ang puntong M 1 (2, 3) na kabilang dito at ang vector ng direksyon nito ay ibinigay. a → = (3 , 1) .

Solusyon

Batay sa paunang data, nakukuha namin ang: x 1 \u003d 2, y 1 \u003d 3, a x \u003d 3, a y \u003d 1. Ang mga parametric equation ay magiging ganito:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ x = 2 + 3 λ y = 3 + 1 λ ⇔ x = 2 + 3 λ y = 3 + λ

Malinaw nating ilarawan:

Sagot: x = 2 + 3 λ y = 3 + λ

Dapat tandaan: kung ang vector a → = (a x , a y) nagsisilbing directing vector ng tuwid na linya a, at ang mga puntos na M 1 (x 1, y 1) at M 2 (x 2, y 2) ay nabibilang sa linyang ito, pagkatapos ay matutukoy ito sa pamamagitan ng pagtatakda ng mga parametric equation ng form : x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ , pati na rin ang opsyong ito: x = x 2 + a x λ y = y 2 + a y λ .

Halimbawa, binibigyan kami ng isang direktang vector ng isang tuwid na linya a → \u003d (2, - 1), pati na rin ang mga puntos na M 1 (1, - 2) at M 2 (3, - 3) na kabilang sa linyang ito. Pagkatapos ang tuwid na linya ay tinutukoy ng mga parametric equation: x = 1 + 2 · λ y = - 2 - λ o x = 3 + 2 · λ y = - 3 - λ .

Dapat ding bigyang pansin ang sumusunod na katotohanan: kung a → = (a x , a y) ay ang nagdidirekta na vector ng tuwid na linya a , kung gayon ang alinman sa mga vector ay magiging kanyang nagdidirekta na vector μ a → = (μ a x , μ a y) , kung saan μ ϵ R , μ ≠ 0 .

Kaya, ang isang tuwid na linya a sa isang eroplano sa isang rectangular coordinate system ay maaaring tukuyin ng mga parametric equation: x = x 1 + μ a x λ y = y 1 + μ a y λ para sa anumang halaga ng μ na iba sa zero.

Ipagpalagay na ang linya a ay ibinigay ng mga parametric equation x = 3 + 2 λ y = - 2-5 λ . Pagkatapos a → = (2 , - 5) - vector ng direksyon ng linyang ito. At gayundin ang alinman sa mga vector μ · a → = (μ · 2 , μ · - 5) = 2 μ , - 5 μ , μ ∈ R , μ ≠ 0 ay magiging vector ng direksyon para sa ibinigay na tuwid na linya. Para sa kalinawan, isaalang-alang ang isang tiyak na vector - 2 · a → = (- 4 , 10) , tumutugma ito sa halaga μ = - 2 . Sa kasong ito, ang ibinigay na tuwid na linya ay maaari ding matukoy ng mga parametric equation x = 3 - 4 · λ y = - 2 + 10 · λ .

Ang paglipat mula sa mga parametric na equation ng isang tuwid na linya sa isang eroplano patungo sa iba pang mga equation ng isang ibinigay na tuwid na linya at vice versa

Sa paglutas ng ilang mga problema, ang paggamit ng mga parametric equation ay hindi ang pinakamainam na opsyon, pagkatapos ay kinakailangan na isalin ang parametric equation ng isang tuwid na linya sa mga equation ng isang tuwid na linya ng ibang uri. Tingnan natin kung paano ito gagawin.

Parametric equation ng tuwid na linya x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ay tumutugma sa canonical equation ng tuwid na linya sa eroplano x - x 1 a x = y - y 1 a y .

Nalulutas namin ang bawat isa sa mga parametric equation na may paggalang sa parameter na λ, equate ang mga tamang bahagi ng nakuha na pagkakapantay-pantay at makuha ang canonical equation ng ibinigay na tuwid na linya:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ λ = x - x 1 a x λ = y - y 1 a y ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y

Sa kasong ito, hindi dapat nakakahiya kung ang isang x o a y ay magiging katumbas ng zero.

Halimbawa 2

Kinakailangang isagawa ang paglipat mula sa mga parametric equation ng tuwid na linya x = 3 y = - 2 - 4 · λ patungo sa canonical equation.

Solusyon

Isinulat namin ang ibinigay na parametric equation sa sumusunod na anyo: x = 3 + 0 λ y = - 2 - 4 λ

Ipinapahayag namin ang parameter na λ sa bawat isa sa mga equation: x = 3 + 0 λ y = - 2 - 4 λ ⇔ λ = x - 3 0 λ = y + 2 - 4

Tinutumbas namin ang mga tamang bahagi ng sistema ng mga equation at nakuha ang kinakailangang canonical equation ng isang tuwid na linya sa eroplano:

x - 3 0 = y + 2 - 4

Sagot: x - 3 0 = y + 2 - 4

Sa kaso kung kailan kinakailangang isulat ang equation ng tuwid na linya ng anyong A x + B y + C = 0 , habang ang mga parametric equation ng tuwid na linya sa eroplano ay ibinigay, kinakailangan munang gawin ang paglipat sa canonical equation, at pagkatapos ay sa pangkalahatang equation ng tuwid na linya. Isulat natin ang buong pagkakasunud-sunod ng mga aksyon:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ λ = x - x 1 a x λ = y - y 1 a y ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ ⇔ a y (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ A x + B y + C = 0

Halimbawa 3

Kinakailangang isulat ang pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya kung ang mga parametric equation na tumutukoy dito ay ibinigay: x = - 1 + 2 λ y = - 3 λ

Solusyon

Una, gawin natin ang paglipat sa canonical equation:

x = - 1 + 2 λ y = - 3 λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y - 3 ⇔ x + 1 2 = y - 3

Ang resultang proporsyon ay magkapareho sa pagkakapantay-pantay - 3 · (x + 1) = 2 · y. Buksan natin ang mga bracket at kunin ang pangkalahatang equation ng tuwid na linya: - 3 x + 1 = 2 y ⇔ 3 x + 2 y + 3 = 0 .

Sagot: 3x + 2y + 3 = 0

Kasunod ng lohika sa itaas ng mga aksyon, upang makakuha ng isang equation ng isang tuwid na linya na may isang slope, isang equation ng isang tuwid na linya sa mga segment o isang normal na equation ng isang tuwid na linya, ito ay kinakailangan upang makuha ang pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya. , at mula dito upang magsagawa ng karagdagang paglipat.

Ngayon isaalang-alang ang kabaligtaran na aksyon: pagsulat ng mga parametric equation ng isang tuwid na linya para sa ibang ibinigay na anyo ng mga equation ng tuwid na linya na ito.

Ang pinakamadaling paglipat: mula sa canonical equation hanggang sa mga parametric. Hayaang ibigay ang canonical equation ng form: x - x 1 a x = y - y 1 a y . Kinukuha namin ang bawat isa sa mga ugnayan ng pagkakapantay-pantay na ito na katumbas ng parameter λ:

x - x 1 a x = y - y 1 a y = λ ⇔ λ = x - x 1 a x λ = y - y 1 a y

Lutasin natin ang mga resultang equation para sa mga variable na x at y:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ

Halimbawa 4

Kinakailangang isulat ang mga parametric equation ng tuwid na linya kung ang canonical equation ng tuwid na linya sa eroplano ay kilala: x - 2 5 = y - 2 2

Solusyon

Itumbas natin ang mga bahagi ng kilalang equation sa parameter na λ: x - 2 5 = y - 2 2 = λ . Mula sa nakuhang pagkakapantay-pantay makuha natin ang mga parametric equation ng tuwid na linya: x - 2 5 = y - 2 2 = λ ⇔ λ = x - 2 5 λ = y - 2 5 ⇔ x = 2 + 5 λ y = 2 + 2 λ

Sagot: x = 2 + 5 λ y = 2 + 2 λ

Kapag kinakailangan na gumawa ng isang paglipat sa mga parametric equation mula sa isang ibinigay na pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya, isang equation ng isang tuwid na linya na may isang slope o isang equation ng isang tuwid na linya sa mga segment, ito ay kinakailangan upang dalhin ang orihinal na equation sa canonical, at pagkatapos ay gawin ang paglipat sa parametric equation.

Halimbawa 5

Kinakailangang isulat ang mga parametric equation ng tuwid na linya na may alam na pangkalahatang equation ng tuwid na linyang ito: 4 x - 3 y - 3 = 0 .

Solusyon

Binabago namin ang ibinigay na pangkalahatang equation sa isang equation ng canonical form:

4 x - 3 y - 3 = 0 ⇔ 4 x = 3 y + 3 ⇔ ⇔ 4 x = 3 y + 1 3 ⇔ x 3 = y + 1 3 4

Itinutumbas namin ang parehong bahagi ng pagkakapantay-pantay sa parameter na λ at makuha ang kinakailangang mga parametric equation ng tuwid na linya:

x 3 = y + 1 3 4 = λ ⇔ x 3 = λ y + 1 3 4 = λ ⇔ x = 3 λ y = - 1 3 + 4 λ

Sagot: x = 3 λ y = - 1 3 + 4 λ

Mga halimbawa at problema sa mga parametric equation ng isang tuwid na linya sa isang eroplano

Isaalang-alang natin ang pinakakaraniwang uri ng mga problema gamit ang mga parametric equation ng isang tuwid na linya sa isang eroplano sa isang rectangular coordinate system.

1. Sa mga problema ng unang uri, ang mga coordinate ng mga puntos ay ibinibigay, kung sila ay kabilang sa isang tuwid na linya na inilarawan ng mga parametric equation.

Ang solusyon sa naturang mga problema ay batay sa sumusunod na katotohanan: ang mga numero (x, y) na tinutukoy mula sa mga parametric equation x \u003d x 1 + a x λ y \u003d y 1 + a y λ para sa ilang tunay na halaga λ ay ang mga coordinate ng isang puntong kabilang sa tuwid na linya, na inilarawan sa mga parametric na equation na ito.

Halimbawa 6

Kinakailangang matukoy ang mga coordinate ng isang punto na nasa isang tuwid na linya na ibinigay ng mga parametric equation x = 2-1 6 · λ y = - 1 + 2 · λ para sa λ = 3 .

Solusyon

Pinapalitan natin ang kilalang halaga λ = 3 sa ibinigay na parametric equation at kalkulahin ang nais na mga coordinate: x = 2 - 1 6 3 y = - 1 + 2 3 ⇔ x = 1 1 2 y = 5

Sagot: 1 1 2 , 5

Posible rin ang sumusunod na problema: hayaang maibigay ang ilang punto M 0 (x 0, y 0) sa isang eroplano sa isang rectangular coordinate system at kinakailangan upang matukoy kung ang puntong ito ay kabilang sa linyang inilarawan ng mga parametric equation x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ .

Upang malutas ang gayong problema, kinakailangan na palitan ang mga coordinate ng isang naibigay na punto sa kilalang mga parametric equation ng isang tuwid na linya. Kung natukoy na ang gayong halaga ng parameter λ = λ 0 ay posible, kung saan ang parehong mga parametric equation ay totoo, kung gayon ang ibinigay na punto ay kabilang sa ibinigay na tuwid na linya.

Halimbawa 7

Ang mga puntos na M 0 (4, - 2) at N 0 (- 2, 1) ay ibinibigay. Kinakailangang matukoy kung kabilang sila sa tuwid na linya na tinukoy ng mga parametric equation x = 2 · λ y = - 1-1 2 · λ .

Solusyon

Pinapalitan namin ang mga coordinate ng point M 0 (4, - 2) sa ibinigay na parametric equation:

4 = 2 λ - 2 = - 1 - 1 2 λ ⇔ λ = 2 λ = 2 ⇔ λ = 2

Napagpasyahan namin na ang punto M 0 ay kabilang sa isang naibigay na linya, dahil tumutugma sa halaga λ = 2 .

2 = 2 λ 1 = - 1 - 1 2 λ ⇔ λ = - 1 λ = - 4

Ito ay malinaw na walang ganoong parameter λ kung saan ang punto N 0 ay tumutugma. Sa madaling salita, ang ibinigay na linya ay hindi dumadaan sa punto N 0 (- 2 , 1) .

Sagot: point M 0 ay kabilang sa isang ibinigay na linya; ang punto N 0 ay hindi kabilang sa ibinigay na linya.

1. Sa mga problema ng pangalawang uri, kinakailangan na bumuo ng mga parametric equation ng isang tuwid na linya sa isang eroplano sa isang rectangular coordinate system. Ang pinakasimpleng halimbawa ng naturang problema (na may kilalang mga coordinate ng punto ng linya at vector ng direksyon) ay isinasaalang-alang sa itaas. Ngayon tingnan natin ang mga halimbawa kung saan kailangan mo munang hanapin ang mga coordinate ng vector ng direksyon, at pagkatapos ay isulat ang mga parametric equation.

Halimbawa 8

Ibinigay ang punto M 1 1 2 , 2 3. Kinakailangan na bumuo ng mga parametric equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa puntong ito at isang parallel na tuwid na linya x 2 \u003d y - 3 - 1.

Solusyon

Ayon sa kondisyon ng problema, ang tuwid na linya, ang equation na kailangan nating mauna, ay kahanay sa tuwid na linya x 2 \u003d y - 3 - 1. Pagkatapos, bilang isang nagdidirekta na vector ng isang tuwid na linya na dumadaan sa isang naibigay na punto, posibleng gamitin ang nagdidirekta na vector ng isang tuwid na linya x 2 = y - 3 - 1, na isinusulat namin sa anyo: a → = (2, - 1) . Ngayon ang lahat ng kinakailangang data ay kilala upang mabuo ang nais na parametric equation:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ x = 1 2 + 2 λ y = 2 3 + (- 1) λ ⇔ x = 1 2 + x λ y = 2 3 - λ

Sagot: x = 1 2 + x λ y = 2 3 - λ .

Halimbawa 9

Point M 1 (0, - 7) ay ibinigay. Kinakailangang isulat ang mga parametric equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa puntong ito patayo sa tuwid na linya 3 x – 2 y – 5 = 0 .

Solusyon

Bilang ang nagdidirekta na vector ng tuwid na linya, ang equation na kung saan ay dapat na binubuo, posibleng kunin ang normal na vector ng tuwid na linya 3 x - 2 y - 5 = 0 . Ang mga coordinate nito ay (3 , - 2) . Isinulat namin ang mga kinakailangang parametric equation ng tuwid na linya:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ x = 0 + 3 λ y = - 7 + (- 2) λ ⇔ x = 3 λ y = - 7 - 2 λ

Sagot: x = 3 λ y = - 7 - 2 λ

1. Sa mga problema ng ikatlong uri, kinakailangan na gumawa ng isang paglipat mula sa mga parametric equation ng isang tuwid na linya patungo sa iba pang mga uri ng mga equation na tumutukoy dito. Isinasaalang-alang namin ang solusyon ng mga naturang halimbawa sa itaas, magbibigay kami ng isa pa.

Halimbawa 10

Ibinigay ang isang tuwid na linya sa isang eroplano sa isang rectangular coordinate system, na tinukoy ng mga parametric equation x = 1 - 3 4 · λ y = - 1 + λ . Kinakailangang hanapin ang mga coordinate ng ilang normal na vector ng linyang ito.

Solusyon

Upang matukoy ang nais na mga coordinate ng normal na vector, gagawin namin ang paglipat mula sa mga parametric equation patungo sa pangkalahatang equation:

x = 1 - 3 4 λ y = - 1 + λ ⇔ λ = x - 1 - 3 4 λ = y + 1 1 ⇔ x - 1 - 3 4 = y + 1 1 ⇔ ⇔ 1 x - 1 = - 3 4 y + 1 ⇔ x + 3 4 y - 1 4 = 0

Ang mga coefficient ng mga variable na x at y ay nagbibigay sa amin ng mga kinakailangang coordinate ng normal na vector. Kaya, ang normal na vector ng linyang x = 1 - 3 4 · λ y = - 1 + λ ay may mga coordinate 1 , 3 4 .

Sagot: 1 , 3 4 .

Kung may napansin kang pagkakamali sa text, mangyaring i-highlight ito at pindutin ang Ctrl+Enter

Sa ngayon, isinasaalang-alang namin ang equation ng isang ibabaw sa espasyo na may mga coordinate axes X, Y, Z sa isang tahasang anyo o sa isang implicit na anyo

Maaaring isulat ng isa ang mga surface equation sa parametric form, na nagpapahayag ng mga coordinate ng mga punto nito bilang mga function ng dalawang independent variable na parameter at

Ipagpalagay namin na ang mga function na ito ay single-valued, tuloy-tuloy, at may tuluy-tuloy na derivatives hanggang sa pangalawang order sa isang partikular na hanay ng mga parameter.

Kung papalitan natin ang mga coordinate na expression na ito sa mga tuntunin ng u at v sa kaliwang bahagi ng equation (37), kung gayon dapat tayong makakuha ng pagkakakilanlan na may kinalaman sa u at V. Ang pagkakaiba sa pagkakakilanlang ito na may paggalang sa mga independiyenteng variable na u at v, mayroon tayong

Isinasaalang-alang ang mga equation na ito bilang dalawang homogenous na equation na may kinalaman sa at paglalapat ng algebraic lemma na binanggit sa , nakuha namin

kung saan ang k ay ilang koepisyent ng proporsyonalidad.

Ipinapalagay namin na ang factor k at hindi bababa sa isa sa mga pagkakaiba sa kanang bahagi ng mga huling formula ay nonzero.

Ipahiwatig natin para sa kaiklian ang nakasulat na tatlong pagkakaiba tulad ng sumusunod:

Tulad ng alam mo, ang equation ng tangent plane sa ating ibabaw sa ilang punto (x, y, z) ay maaaring isulat bilang

o, pinapalitan ng mga proporsyonal na dami, maaari nating muling isulat ang equation ng tangent plane bilang mga sumusunod:

Ang mga coefficient sa equation na ito ay kilala na proporsyonal sa direksyon ng mga cosine ng normal sa ibabaw.

Ang posisyon ng variable point M sa ibabaw ay nailalarawan sa pamamagitan ng mga halaga ng mga parameter u at v, at ang mga parameter na ito ay karaniwang tinatawag na mga coordinate ng mga surface point o mga coordinate na mga parameter.

Sa pamamagitan ng pagbibigay ng mga parameter na u at v ng mga pare-parehong halaga, nakakakuha tayo ng dalawang pamilya ng mga linya sa ibabaw, na tatawagin natin ang mga linya ng coordinate ng ibabaw: mga linya ng coordinate kung saan ang v lang ang nagbabago, at mga linya ng coordinate kung saan u lang ang nagbabago. Ang dalawang pamilyang ito ng mga linya ng coordinate ay nagbibigay ng coordinate grid sa ibabaw.

Bilang halimbawa, isaalang-alang ang isang globo na nakasentro sa pinanggalingan at radius R. Ang mga parametric equation ng naturang globo ay maaaring isulat bilang

Ang mga linya ng coordinate sa kasong ito ay, malinaw naman, ang mga parallel at meridian ng ating globo.

Sa pag-abstract mula sa mga coordinate axes, maaari nating makilala ang ibabaw sa pamamagitan ng isang variable na radius-vector na nagmumula sa isang pare-parehong punto O hanggang isang variable na punto M ng ating ibabaw. Ang mga bahagyang derivatives ng radius-vector na ito na may paggalang sa mga parameter ay malinaw na magbibigay ng mga vectors na nakadirekta sa mga tangent sa mga linya ng coordinate. Ang mga bahagi ng mga vector na ito kasama ang mga palakol

ito ay, ayon sa at samakatuwid, na ang mga coefficient sa equation ng tangent plane (39) ay ang mga bahagi ng produkto ng vector. Ang produktong vector na ito ay isang vector na patayo sa mga tangent, ibig sabihin, isang vector na nakadirekta sa normal ng ang ibabaw. Ang parisukat ng haba ng vector na ito ay malinaw na ipinahayag ng scalar product ng vector at mismo, iyon ay, sa madaling salita, ng square ng vector na ito 1). Sa sumusunod, isang mahalagang papel ang gagampanan ng unit na normal na vector sa ibabaw, na malinaw na maaari nating isulat sa anyo

Sa pamamagitan ng pagbabago ng pagkakasunud-sunod ng mga kadahilanan sa nakasulat na produkto ng vector, nakukuha namin ang kabaligtaran na direksyon para sa vector (40). Sa mga sumusunod, aayusin namin ang pagkakasunud-sunod ng mga kadahilanan sa isang tiyak na paraan, ibig sabihin, aayusin namin ang direksyon ng normal sa ibabaw sa isang tiyak na paraan.

Kumuha tayo ng ilang punto M sa ibabaw at gumuhit sa puntong ito ng ilang kurba (L) na nakahiga sa ibabaw. Ang curve na ito, sa pangkalahatan, ay hindi isang coordinate line, at parehong H at v ay magbabago kasama nito. Ang direksyon ng tangent sa curve na ito ay tutukuyin ng vector kung ipagpalagay natin na sa kahabaan ng (L) sa paligid ng punto, ang parameter na v ay isang function kung saan ay may derivative. Mula dito makikita na ang direksyon ng tangent sa isang kurba na iginuhit sa isang ibabaw sa ilang punto M ng kurba na ito ay ganap na nailalarawan sa pamamagitan ng halaga sa puntong iyon. Kapag tinukoy ang Tangent Plane at nagmula sa equation nito (39), ipinapalagay namin na ang mga function (38) sa isinasaalang-alang na punto at ang kapitbahayan nito ay may tuluy-tuloy na partial derivatives at na kahit isa sa mga coefficient ng equation (39) ay iba sa zero sa itinuturing na punto.

Vector at parametric equation ng eroplano. Hayaang r 0 at r ang radius vectors ng mga puntos na M 0 at M, ayon sa pagkakabanggit. Pagkatapos M 0 M = r - r 0 , at ang kundisyon (5.1) na ang punto M ay kabilang sa eroplanong dumadaan sa puntong M 0 patayo di-zero na vector n (Larawan 5.2, a), maaaring isulat gamit ang produkto ng tuldok bilang isang ratio

n(r - r 0) = 0, (5.4)

na tinatawag na vector equation ng eroplano.

Ang isang nakapirming eroplano sa espasyo ay tumutugma sa isang hanay ng mga vector na kahanay nito, i.e. space V2. Pumili tayo sa espasyong ito batayan e 1 , e 2 , ibig sabihin. isang pares ng mga di-collinear na vector na kahanay sa itinuturing na eroplano, at isang puntong M 0 sa eroplano. Kung ang punto M ay kabilang sa eroplano, kung gayon ito ay katumbas ng katotohanan na ang vector M 0 M ay kahanay nito (Larawan 5.2, b), i.e. ito ay kabilang sa ipinahiwatig na espasyo V 2 . Ibig sabihin meron agnas ng vector M 0 M sa batayan e 1 , e 2 , ibig sabihin. may mga numerong t 1 at t 2 kung saan M 0 M = t 1 e 1 + t 2 e 2 . Ang pagsusulat sa kaliwang bahagi ng equation na ito sa mga tuntunin ng radius vectors r 0 at r ng mga puntos na M 0 at M, ayon sa pagkakabanggit, nakukuha namin vector parametric equation ng eroplano

r = r 0 + t 1 e 1 + t 2 e 2 , t 1 , t 1 ∈ R. (5.5)

Upang maipasa mula sa pagkakapantay-pantay ng mga vector sa (5.5) sa kanilang pagkakapantay-pantay mga coordinate, na tinutukoy ng (x 0 ; y 0 ; z 0), (x; y; z) mga coordinate ng punto M 0 , M at sa pamamagitan ng (e 1x ; e 1y ; e 1z ), (e 2x; e 2y; e 2z ) ang mga coordinate ng mga vectors e 1 , e 2 . Equating ang parehong-pinangalanang mga coordinate ng mga vectors r at r 0 + t 1 e 1 + t 2 e 2 , nakuha namin mga equation ng parametric plane

Isang eroplanong dumadaan sa tatlong punto. Ipagpalagay natin na ang tatlong puntos na M 1 , M 2 at M 3 ay hindi nakalagay sa isang tuwid na linya. Pagkatapos ay mayroong isang natatanging eroplano π kung saan nabibilang ang mga puntong ito. Hanapin natin ang equation ng plane na ito sa pamamagitan ng pagbabalangkas ng criterion para sa isang arbitrary point M na kabilang sa ibinigay na eroplano π. Pagkatapos ay isinulat namin ang pamantayang ito sa mga tuntunin ng mga coordinate ng mga puntos. Ang ipinahiwatig na pamantayan ay ang paglalarawan ng eroplano π bilang set ng mga puntong M kung saan ang mga vectors M 1 M 2 , M 1 M 3 at M 1 M coplanar. Ang criterion para sa complanarity ng tatlong vectors ay ang pagkakapantay-pantay sa zero ng kanilang pinaghalong produkto(tingnan ang 3.2). Ang pinaghalong produkto ay kinakalkula gamit determinant ng ikatlong order, na ang mga string ay ang mga coordinate ng mga vectors sa orthonormal na batayan. Samakatuwid, kung ang (x i; yx i; Zx i) ay ang mga coordinate ng mga puntos na Mx i, i = 1, 2, 3, at (x; y; z) ay ang mga coordinate ng point M, kung gayon M 1 M = (x-x 1; y-y 1 ; z-z 1 ), M 1 M 2 = (x 2 -x 1 ; y 2 ​​​​-y 1 ; z 2 -z 1 ), M 1 M 3 = (x 3 -x 1 ; y 3 -y 1 ; z 3 -z 1 ) at ang kondisyon ng pagkakapantay-pantay sa zero ng pinaghalong produkto ng mga vector na ito ay may anyo

Ang pagkalkula ng determinant, nakukuha namin linear kaugnay sa x, y, z ang equation, which is ang pangkalahatang equation ng nais na eroplano. Halimbawa, kung palawakin ang determinant kasama ang 1st row, pagkatapos makuha namin

Ang pagkakapantay-pantay na ito, pagkatapos kalkulahin ang mga determinant at buksan ang mga bracket, ay na-convert sa pangkalahatang equation ng eroplano.

Tandaan na ang mga coefficient ng mga variable sa huling equation ay nag-tutugma sa mga coordinate produkto ng vector M 1 M 2 × M 1 M 3 . Ang cross product na ito, bilang produkto ng dalawang non-collinear vectors parallel sa π plane, ay nagbibigay ng non-zero vector na patayo sa π, i.e. kanya normal na vector. Kaya ang hitsura ng mga coordinate ng produkto ng vector bilang mga coefficient ng pangkalahatang equation ng eroplano ay medyo natural.

Isaalang-alang ang sumusunod na partikular na kaso ng isang eroplanong dumadaan sa tatlong punto. Mga Punto M 1 (a; 0; 0), M 2 (0; b; 0), M 3 (0; 0; c), abc ≠ 0, huwag magsinungaling sa isang tuwid na linya at tukuyin ang isang eroplano na pumutol ng mga segment sa coordinate axes non-zero ang haba (Fig. 5.3). Dito, ang "haba ng mga segment" ay nangangahulugang ang halaga ng mga non-zero na coordinate ng radius vectors ng mga puntos na M i , i = 1,2,3.

Dahil M 1 M 2 = (-a; b; 0), M 1 M 3 = (-a; 0; c), M 1 M = (x-a; y; z), ang equation (5.7) ay nasa anyo

Sa pagkalkula ng determinant, nakita namin ang bc(x - a) + acy + abz = 0, hatiin ang resultang equation sa abc at ilipat ang libreng termino sa kanang bahagi,

x/a + y/b + z/c = 1.

Ang equation na ito ay tinatawag equation ng eroplano sa mga segment.

Halimbawa 5.2. Hanapin natin ang pangkalahatang equation ng isang eroplano na dumadaan sa isang punto na may mga coordinate (1; 1; 2) at pinuputol ang mga segment na may parehong haba mula sa mga coordinate axes.

Ang equation ng isang eroplano sa mga segment, sa kondisyon na pinuputol nito ang mga segment na may pantay na haba mula sa mga coordinate axes, sabihin nating isang ≠ 0, ay may anyo na x/a + y/b + z/c = 1. Dapat matugunan ng equation na ito ang mga coordinate ( 1; 1; 2) kilalang punto sa eroplano, i.e. ang pagkakapantay-pantay na 4/a = 1. Samakatuwid, a = 4 at ang nais na equation ay x + y + z - 4 = 0.

Normal na equation ng eroplano. Isaalang-alang ang ilang eroplano π sa kalawakan. Inaayos namin siya yunit normal vector n itinuro mula sa pinanggalingan"patungo sa eroplano", at tukuyin sa pamamagitan ng p ang distansya mula sa pinanggalingan O ng sistema ng coordinate sa eroplano π (Larawan 5.4). Kung ang eroplano ay dumaan sa pinagmulan ng coordinate system, kung gayon ang p = 0, at alinman sa dalawang posibleng direksyon ay maaaring mapili bilang direksyon para sa normal na vector n.

Kung ang puntong M ay kabilang sa eroplanong π, kung gayon ito ay katumbas ng katotohanang iyon vector orthogonal projection OM sa direksyon vector n ay katumbas ng p, i.e. ang kondisyon nOM = pr n OM = p ay nasiyahan, dahil haba ng vector n ay katumbas ng isa.

Tukuyin ang mga coordinate ng point M sa pamamagitan ng (x; y; z) at hayaan n = (cosα; cosβ; cosγ) (tandaan na para sa unit vector n nito mga cosine ng direksyon cosα, cosβ, cosγ din ang mga coordinate nito). Pagsusulat ng scalar product sa equality nOM = p sa coordinate form, nakukuha namin normal na equation ng eroplano

xcosα + ycosbeta; + zcosγ - p = 0.

Katulad ng kaso ng isang tuwid na linya sa isang eroplano, ang pangkalahatang equation ng isang eroplano sa kalawakan ay maaaring mabago sa normal na equation nito sa pamamagitan ng paghahati sa pamamagitan ng isang normalizing factor.

Para sa equation ng eroplanong Ax + By + Cz + D = 0, ang normalizing factor ay ang numero ±√(A 2 + B 2 + C 2), ang tanda kung saan ay pinili sa tapat ng sign ng D. Sa ganap na halaga, ang normalizing factor ay ang haba ng normal na vector (A; B ; C) ng eroplano, at ang sign ay tumutugma sa nais na direksyon ng unit normal na vector ng eroplano. Kung ang eroplano ay dumaan sa pinanggalingan ng coordinate system, i.e. D = 0, kung gayon ang tanda ng normalizing factor ay maaaring mapili ng anumang palatandaan.

Anumang equation ng unang degree na may paggalang sa mga coordinate x, y, z

Ax + By + Cz +D = 0 (3.1)

tumutukoy sa isang eroplano, at kabaliktaran: anumang eroplano ay maaaring katawanin ng equation (3.1), na tinatawag na equation ng eroplano.

Vector n(A, B, C) orthogonal sa eroplano ay tinatawag normal na vector mga eroplano. Sa equation (3.1), ang mga coefficient A, B, C ay hindi katumbas ng 0 sa parehong oras.

Mga espesyal na kaso ng equation (3.1):

1. D = 0, Ax+By+Cz = 0 - ang eroplano ay dumadaan sa pinanggalingan.

2. C = 0, Ax+By+D = 0 - ang eroplano ay parallel sa Oz axis.

3. C = D = 0, Ax + By = 0 - ang eroplano ay dumadaan sa Oz axis.

4. B = C = 0, Ax + D = 0 - ang eroplano ay parallel sa Oyz plane.

Coordinate plane equation: x = 0, y = 0, z = 0.

Ang isang tuwid na linya sa espasyo ay maaaring ibigay:

1) bilang isang linya ng intersection ng dalawang eroplano, i.e. sistema ng mga equation:

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0, A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0; (3.2)

2) ang dalawang puntos nito M 1 (x 1, y 1, z 1) at M 2 (x 2, y 2, z 2), pagkatapos ay ang tuwid na linya na dumadaan sa kanila ay ibinibigay ng mga equation:

3) ang puntong M 1 (x 1 , y 1 , z 1) na kabilang dito, at ang vector a(m, n, p), s collinear. Pagkatapos ang tuwid na linya ay tinutukoy ng mga equation:

Tinatawag ang mga equation (3.4). canonical equation ng linya.

Vector a tinawag gabayan ang vector nang tuwid.

Parametric equation ng isang tuwid na linya nakukuha natin sa pamamagitan ng pag-equate ng bawat isa sa mga relasyon (3.4) sa parameter na t:

x \u003d x 1 + mt, y \u003d y 1 + nt, z \u003d z 1 + p t. (3.5)

Paglutas ng sistema (3.2) bilang isang sistema ng mga linear na equation sa mga hindi alam x at y, dumating tayo sa mga equation ng tuwid na linya sa mga projection o sa pinababang mga equation ng tuwid na linya :

x = mz + a, y = nz + b. (3.6)

Mula sa mga equation (3.6) ang isa ay maaaring pumasa sa canonical equation, paghahanap z mula sa bawat equation at equating ang mga resultang halaga:

Ang isa ay maaaring pumasa mula sa mga pangkalahatang equation (3.2) patungo sa mga canonical na equation sa ibang paraan, kung ang isa ay makakahanap ng anumang punto ng linyang ito at ang vector ng direksyon nito n= [n 1 , n 2], saan n 1 (A 1 , B 1 , C 1) at n 2 (A 2 , B 2 , C 2) - mga normal na vector ng mga ibinigay na eroplano. Kung isa sa mga denominador m,n o R sa mga equation (3.4) ay lumalabas na katumbas ng zero, kung gayon ang numerator ng kaukulang fraction ay dapat itakda na katumbas ng zero, i.e. sistema

ay katumbas ng sistema; tulad ng isang linya ay patayo sa x-axis.

Ang sistema ay katumbas ng sistema x = x 1 , y = y 1 ; ang tuwid na linya ay parallel sa Oz axis.

Halimbawa 1.15. Isulat ang equation ng eroplano, alam na ang punto A (1, -1,3) ay nagsisilbing base ng patayo na iginuhit mula sa pinanggalingan hanggang sa eroplanong ito.

Solusyon. Sa pamamagitan ng kondisyon ng problema, ang vector OA Ang (1,-1,3) ay isang normal na vector ng eroplano, kung gayon ang equation nito ay maaaring isulat bilang
x-y+3z+D=0. Ang pagpapalit sa mga coordinate ng puntong A(1,-1,3) na kabilang sa eroplano, makikita natin ang D: 1-(-1)+3 × 3+D = 0 Þ D = -11. Kaya x-y+3z-11=0.

Halimbawa 1.16. Sumulat ng isang equation para sa isang eroplanong dumadaan sa Oz axis at bumubuo ng isang anggulo na 60 degrees sa 2x+y-z-7=0 na eroplano.

Solusyon. Ang eroplanong dumadaan sa Oz axis ay ibinibigay ng equation na Ax+By=0, kung saan ang A at B ay hindi naglalaho sa parehong oras. Huwag hayaan si B
ay 0, A/Bx+y=0. Ayon sa formula para sa cosine ng anggulo sa pagitan ng dalawang eroplano

Ang paglutas ng quadratic equation na 3m 2 + 8m - 3 = 0, hinahanap natin ang mga ugat nito
m 1 = 1/3, m 2 = -3, kung saan makakakuha tayo ng dalawang eroplano 1/3x+y = 0 at -3x+y = 0.

Halimbawa 1.17. Isulat ang mga canonical equation ng tuwid na linya:
5x + y + z = 0, 2x + 3y - 2z + 5 = 0.

Solusyon. Ang mga canonical equation ng isang tuwid na linya ay may anyo:

saan m, n, p- mga coordinate ng nagdidirekta na vector ng tuwid na linya, x1, y1, z1- mga coordinate ng anumang punto na kabilang sa linya. Ang tuwid na linya ay tinukoy bilang ang linya ng intersection ng dalawang eroplano. Upang makahanap ng isang punto na kabilang sa isang tuwid na linya, ang isa sa mga coordinate ay naayos (ang pinakamadaling paraan ay ilagay, halimbawa, x=0) at ang resultang sistema ay nalutas bilang isang sistema ng mga linear na equation na may dalawang hindi alam. Kaya, hayaan ang x=0, pagkatapos y + z = 0, 3y - 2z+ 5 = 0, kung saan y=-1, z=1. Natagpuan namin ang mga coordinate ng point M (x 1, y 1, z 1) na kabilang sa linyang ito: M (0,-1,1). Ang direktang vector ng isang tuwid na linya ay madaling mahanap, alam ang mga normal na vector ng orihinal na mga eroplano n 1 (5,1,1) at n 2(2,3,-2). Pagkatapos

Ang mga canonical equation ng linya ay: x/(-5) = (y + 1)/12 =
= (z - 1)/13.

ay ang pangkalahatang equation ng isang eroplano sa kalawakan

Normal na vector ng eroplano

Ang isang normal na vector ng isang eroplano ay isang nonzero vector na orthogonal sa bawat vector na nakahiga sa eroplano.

Equation ng isang eroplanong dumadaan sa isang punto na may ibinigay na normal na vector

ay ang equation ng eroplano na dumadaan sa puntong M0 na may ibinigay na normal na vector

Mga vector ng direksyon ng eroplano

Dalawang non-collinear vectors na parallel sa eroplano ay tinatawag na direction vectors ng eroplano

Parametric plane equation

– parametric equation ng plane sa vector form

ay ang parametric equation ng eroplano sa mga coordinate

Equation ng isang eroplano sa pamamagitan ng isang ibinigay na punto at dalawang direksyon ng vectors

-nakapirming punto

isang tuldok lang lol

ay coplanar, kaya ang kanilang pinaghalong produkto ay 0.

Equation ng isang eroplano na dumadaan sa tatlong ibinigay na puntos

– equation ng eroplano sa pamamagitan ng tatlong puntos

Equation ng isang eroplano sa mga segment

- equation ng eroplano sa mga segment

Patunay

Upang patunayan ito, ginagamit namin ang katotohanan na ang aming eroplano ay dumadaan sa A, B, C, at ang normal na vector

Ipalit natin ang mga coordinate ng punto at ang vector n sa equation ng eroplano na may normal na vector

Hatiin ang lahat at kunin

Kaya ito napupunta.

Normal na equation ng eroplano

ay ang anggulo sa pagitan ng ox at ng normal na vector sa eroplano, na lumalabas sa O.

ay ang anggulo sa pagitan ng oy at ng normal na vector sa eroplano, papalabas mula sa O.

ay ang anggulo sa pagitan ng oz at ng normal na vector sa eroplano, papalabas mula sa O.

ay ang distansya mula sa pinanggalingan ng mga coordinate sa eroplano.

Katibayan o ilang kalokohan

Ang karatula ay nasa tapat ng D.

Katulad din para sa iba pang mga cosine. Tapusin.

Distansya mula sa punto hanggang sa eroplano

Point S, eroplano

ay ang oriented na distansya mula sa puntong S hanggang sa eroplano

Kung , kung gayon ang S at O ​​ay nakahiga sa magkabilang panig ng eroplano

Kung , kung gayon ang S at O ​​ay nasa magkabilang panig

Multiply sa n

Mutual arrangement ng dalawang linya sa espasyo

Anggulo sa pagitan ng mga eroplano

Sa intersection, dalawang pares ng mga vertical na dihedral na anggulo ang nabuo, ang pinakamaliit ay tinatawag na anggulo sa pagitan ng mga eroplano

Tuwid na linya sa kalawakan

Ang isang linya sa espasyo ay maaaring ibigay bilang

Intersection ng dalawang eroplano:

Parametric equation ng isang tuwid na linya

- parametric equation ng isang tuwid na linya sa anyong vector

ay ang parametric equation ng isang tuwid na linya sa mga coordinate

Canonical Equation

ay ang canonical equation ng isang tuwid na linya.

Equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa dalawang ibinigay na puntos

– canonical equation ng isang tuwid na linya sa anyong vector;

Mutual arrangement ng dalawang linya sa espasyo

Mutual arrangement ng isang tuwid na linya at isang eroplano sa kalawakan

Anggulo sa pagitan ng linya at eroplano

Distansya mula sa isang punto hanggang sa isang linya sa kalawakan

a ay ang vector ng direksyon ng ating tuwid na linya.

ay isang arbitrary na punto na kabilang sa isang ibinigay na linya

- ang punto kung saan hinahanap natin ang distansya.

Distansya sa pagitan ng dalawang magkasalubong na linya

Distansya sa pagitan ng dalawang parallel na linya

M1 - punto na kabilang sa unang linya

Ang M2 ay isang puntong kabilang sa pangalawang linya

Mga kurba at ibabaw ng pangalawang pagkakasunud-sunod

Ang isang ellipse ay isang hanay ng mga puntos sa isang eroplano, ang kabuuan ng mga distansya mula sa kung saan sa dalawang ibinigay na mga punto (foci) ay isang pare-parehong halaga.

Canonical equation ng isang ellipse

Palitan natin ng

Hatiin sa pamamagitan ng

Mga Katangian ng Ellipse

Intersection na may coordinate axes

Symmetry tungkol sa

1. Pinagmulan

Ang isang ellipse ay isang kurba na nakahiga sa isang limitadong bahagi ng isang eroplano

Ang isang ellipse ay maaaring makuha mula sa isang bilog sa pamamagitan ng pag-unat o pagpisil nito

Parametric equation ng isang ellipse:

- mga direktor

Hyperbola

Ang hyperbola ay isang hanay ng mga puntos sa isang eroplano kung saan ang modulus ng pagkakaiba sa mga distansya sa 2 ibinigay na mga puntos (foci) ay isang pare-parehong halaga (2a)

Ginagawa namin ang lahat katulad ng sa ellipse, nakukuha namin

Palitan ng

Hatiin sa pamamagitan ng

Mga katangian ng hyperbola

;

- mga direktor

Asymptote

Ang asymptote ay isang tuwid na linya kung saan ang kurba ay lumalapit nang walang katiyakan, umuurong hanggang sa kawalang-hanggan.

Parabola

parabot properties

Relasyon sa pagitan ng ellipse, hyperbola at parabola.

Ang ugnayan sa pagitan ng mga kurba na ito ay may algebraic na paliwanag: lahat sila ay ibinibigay sa pamamagitan ng mga equation ng ikalawang antas. Sa anumang coordinate system, ang mga equation ng mga curve na ito ay may anyo: ax 2 +bxy+cy 2 +dx+ey+f=0, kung saan ang a, b, c, d, e, f ay mga numero

Pagbabago ng Rectangular Cartesian Coordinate System

Parallel na pagsasalin ng coordinate system

–O’ sa lumang coordinate system

– mga coordinate ng punto sa lumang coordinate system

– mga coordinate ng punto sa bagong coordinate system

Point coordinates sa bagong coordinate system.

I-rotate sa isang Cartesian Coordinate System

– bagong coordinate system

Ilipat ang matrix mula sa lumang batayan patungo sa bago

- (sa ilalim ng unang hanay ako’ , sa ilalim ng pangalawa j’ ) ang transition matrix mula sa batayan ako,j sa batayan ako’ ,j’

Pangkalahatang kaso

1 opsyon

1. Pag-ikot ng coordinate system

Opsyon 2

1. Pag-ikot ng coordinate system

   Parallel na pagsasalin ng pinagmulan

Pangkalahatang equation ng second order lines at ang pagbabawas nito sa canonical form

ay ang pangkalahatang anyo ng second-order curve equation

Pag-uuri ng mga kurba ng pangalawang pagkakasunud-sunod

Ellipsoid

Mga cross section ng isang ellipsoid

- ellipse

- ellipse

Ellipsoids ng rebolusyon

Ang mga ellipsoid ng rebolusyon ay alinman sa mga oblate o prolate na spheroid, depende sa kung ano ang ating iniikot sa paligid.

Isang-band hyperboloid

Mga seksyon ng isang one-strip hyperboloid

– hyperbola na may totoong axis oy

ay isang hyperbola na may totoong x-axis

Ito ay lumalabas na isang ellipse para sa anumang h. Kaya ito napupunta.

Single-strip hyperboloids ng rebolusyon

Ang isang sheet na hyperboloid ng rebolusyon ay maaaring makuha sa pamamagitan ng pag-ikot ng hyperbola sa paligid ng haka-haka na axis nito.

Dalawang-sheet na hyperboloid

Mga seksyon ng isang dalawang-sheet na hyperboloid

- hyperbole na may aksyon. axisoz

ay isang hyperbola na may totoong axis oz

Cone

- isang pares ng mga intersecting na linya

- isang pares ng mga intersecting na linya

Elliptical paraboloid

- parabola

- parabola

Mga pag-ikot

Kung , kung gayon ang elliptic paraboloid ay isang ibabaw ng rebolusyon na nabuo sa pamamagitan ng pag-ikot ng parabola tungkol sa axis ng symmetry nito.

Hyperbolic paraboloid

Parabola

- parabola

h>0 hyperbola na may totoong axis na kahanay ng x

h<0 гипербола с действительной осью паралльной оу и мнимой ох

Sa ilalim ng silindro ang ibig sabihin namin ay ang ibabaw na makukuha kapag ang isang tuwid na linya ay gumagalaw sa kalawakan, na hindi nagbabago ng direksyon nito, kung ang tuwid na linya ay gumagalaw na may kaugnayan sa oz, kung gayon ang equation ng silindro ay ang equation ng isang seksyon sa pamamagitan ng eroplano xoy.

Elliptical cylinder

hyperbolic cylinder

parabolic cylinder

Mga rectilinear generator ng mga ibabaw ng pangalawang pagkakasunud-sunod

Ang mga linya na ganap na nakahiga sa ibabaw ay tinatawag na rectilinear generators ng surface.

Mga ibabaw ng rebolusyon

Bastos ka lol

Pagpapakita

sa pamamagitan ng pagpapakita Tawagan natin ang panuntunan ayon sa kung saan ang bawat elemento ng set A ay nauugnay sa isa o higit pang mga elemento ng set B. Kung ang bawat isa ay itinalaga ng isang solong elemento ng set B, kung gayon ang pagmamapa ay tinatawag hindi malabo, kung hindi malabo.

Pagbabago set ay tinatawag na one-to-one na pagmamapa ng isang set papunta sa sarili nito

Iniksyon

Injection o one-to-one na pagmamapa ng set A hanggang set B

(iba't ibang elemento ng isang tumutugma sa iba't ibang elemento ng B) halimbawa y=x^2

surjection

Surjection o pagmamapa ng isang set A sa isang set B

Para sa bawat B, mayroong kahit isang A (halimbawa, isang sine)

Ang bawat elemento ng set B ay tumutugma lamang sa isang elemento ng set A. (halimbawa, y=x)