Ang isa sa mga makapangyarihang kasangkapan para sa pag-aaral ng mga problema ng matematikal na pisika ay ang paraan ng integral na pagbabago. Hayaang tukuyin ang function na f(x) sa pagitan (a, 6), finite o infinite. Ang integral transformation ng function na f (x) ay ang function kung saan ang K (x, w) ay isang function na naayos para sa isang partikular na transformation, na tinatawag na transformation kernel (pinapalagay na ang integral (*) ay umiiral sa wasto o hindi wastong kahulugan nito. ). §isa. Fourier integral Anumang function f(x), na nasa segment [-f, I] ay nakakatugon sa mga kondisyon ng pagpapalawak sa isang Fourier series, ay maaaring katawanin sa segment na ito ng isang trigonometriko series. : Fourier transform Fourier integral Complex integral form Fourier transform Cosine at sine transforms Amplitude at phase spectra Application properties Ang serye sa kanang bahagi ng equation (1) ay maaaring isulat sa ibang anyo. Para sa layuning ito, ipinakilala namin dito mula sa mga pormula (2) ang mga halaga ng mga coefficient a» at op, na isinasama ang mga integral cos ^ x at sin x (na posible, dahil ang variable ng pagsasama ay m) O) at paggamit ang formula para sa cosine ng pagkakaiba. Magkakaroon tayo Kung ang function na /(x) ay orihinal na tinukoy sa pagitan ng numerical axis na mas malaki kaysa sa interval [-1,1] (halimbawa, sa buong axis), pagkatapos ay ang pagpapalawak (3) ay magpaparami ng mga halaga ​​ng function na ito lamang sa interval [-1, 1] at magpatuloy sa buong real axis bilang periodic function na may period na 21 (Fig. 1). Samakatuwid, kung ang function na f(x) (sa pangkalahatan, hindi pana-panahon) ay tinukoy sa buong tunay na axis, sa formula (3) ay maaaring subukan ng isa na pumasa sa limitasyon bilang I + oo. Sa kasong ito, natural na hilingin na matugunan ang mga sumusunod na kundisyon: 1. natutugunan ng f(x) ang mga kundisyon ng pagpapalawak sa seryeng Fourier sa anumang may hangganang bahagi ng Ox\ axis 2. ang function na f(x) ay ganap na integrable sa buong totoong axis. Kung ang kundisyon 2 ay nasiyahan, ang unang termino sa kanang bahagi ng pagkakapantay-pantay (3) ay may posibilidad na zero bilang I -* + oo. Sa katunayan, Subukan nating itatag kung ano ang mapupunta sa kabuuan sa kanang bahagi ng (3) sa limitasyon bilang I + oo. Ipagpalagay natin na Pagkatapos ang kabuuan sa kanang bahagi ng (3) ay magkakaroon ng anyo Dahil sa ganap na tagpo ng integral, ang kabuuan na ito para sa malaki ay kaunti lamang ang pagkakaiba ng I sa isang expression na kahawig ng integral na kabuuan para sa function ng variable £ pinagsama-sama para sa pagitan (0, + oo) ng pagbabago. Samakatuwid, natural na asahan na para sa , ang kabuuan (5) ay pupunta sa integral С Sa kabilang banda, para sa fixed) ito ay sumusunod mula sa formula (3 ) na makukuha rin natin ang pagkakapantay-pantay Ang sapat na kondisyon para sa bisa ng formula (7) ay ipinahayag ng sumusunod na teorama. Theorem 1. Kung ang function na f(x) ay ganap na maisasama sa buong tunay na axis at, kasama ang hinango nito, ay may hangganan na bilang ng mga discontinuity point ng unang uri sa alinmang segment [a, 6], pagkatapos ay sa ika-uri ng function /(x), ang halaga ng integral sa kanang bahagi ng (7) ay katumbas ng Formula (7) ay tinatawag na Fourier integral formula, at ang integral sa kanang bahagi nito ay tinatawag na Fourier integral. Kung gagamitin natin ang formula para sa araw ng cosine ng pagkakaiba, kung gayon ang formula (7) ay maaaring isulat bilang Ang mga function a(t), b(t) ay mga analogue ng kaukulang Fourier coefficients an at bn ng isang 2n-periodic function, ngunit ang huli ay tinukoy para sa mga discrete values ​​​​ng n, habang ang a(0 > HO ay tinukoy para sa tuluy-tuloy na values ​​ng G(-oo, +oo). Ang kumplikadong anyo ng Fourier integral , malinaw naman na isang kakaibang function ng But then Sa kabilang banda, ang integral ay isang even function ng variable upang Samakatuwid, ang Fourier integral formula ay maaaring isulat ng mga sumusunod: Let us multiply the equality by the imaginary unit i and add to the equality (10). Ito ang kumplikadong anyo ng Fourier integral. Dito, ang panlabas na pagsasama sa t ay nauunawaan sa kahulugan ng pangunahing halaga ng Cauchy: § 2. Fourier transform Cosine at sine Fourier transforms Let the func Ang linyang f(x) ay putol-putol na makinis sa anumang may hangganang bahagi ng x-axis at ganap na maisasama sa buong axis. Kahulugan. Ang function kung saan, sa pamamagitan ng pormula ni Euler, magkakaroon tayo ay tinatawag na Fourier transform ng function na f(r) (spectral function). Ito ang integral transformation ng function / (r) sa interval (-oo, + oo) na may kernel. Gamit ang Fourier integral formula, makuha natin Ito ang tinatawag na inverse Fourier transform, na nagbibigay ng transition mula sa F (t) hanggang / (x). Minsan ang direktang Fourier transform ay ibinibigay tulad ng sumusunod: Pagkatapos ang kabaligtaran na Fourier transform ay tinutukoy ng formula Ang Fourier transform ng function na f(x) ay tinukoy din bilang mga sumusunod: FOURIER TRANSFORM Fourier integral Complex form ng integral Fourier transform Cosine at sine ng transform Amplitude at phase spectra Application properties Pagkatapos, sa pagkakataong ito, ang posisyon ng factor ^ ay medyo arbitrary: maaari itong magpasok ng alinman sa formula (1") o formula (2"). Halimbawa 1. Hanapin ang Fourier transform ng function -4 Mayroon kaming Ang pagkakapantay-pantay na ito ay umamin sa pagkita ng kaibhan na may paggalang sa £ sa ilalim ng integral sign (ang integral na nakuha pagkatapos ng pagkita ng kaibhan ay pare-parehong nagtatagpo kapag ( nabibilang sa anumang may hangganang segment): Pagsasama ng mga bahagi, magkakaroon tayo ng nakukuha natin mula sa kung saan (C ay ang pare-pareho ng pagsasama). Ang pagtatakda ng £ = 0 sa (4), nakita namin ang С = F(0). Sa bisa ng (3) mayroon tayo Ito ay kilala na Sa partikular, para sa) nakuha natin iyon Isaalang-alang natin ang function 4. Para sa spectra oyu ng function F(t), makuha natin ang Hence (Fig. 2). Ang kondisyon ng ganap na pagkakaisa ng function na f(x) sa buong tunay na axis ay napakahigpit. Ibinubukod nito, halimbawa, ang mga elementarya na function tulad ng f(x) = e1, kung saan ang Fourier transform (sa klasikal na anyo na isinasaalang-alang dito) ay hindi umiiral. Tanging ang mga function na iyon ang may Fourier transform na malamang na maging zero nang sapat na mabilis para sa |x| -+ +oo (tulad ng sa mga halimbawa 1 at 2). 2.1. Cosine at sine Fourier transforms Gamit ang cosine formula, ang pagkakaiba, muli nating isusulat ang Fourier integral formula sa sumusunod na anyo: Hayaan ang f(x) na maging isang even na function. Pagkatapos, upang mula sa pagkakapantay-pantay (5) mayroon tayo Sa kaso ng kakaibang f(x), pareho nating makukuha Kung ang f(x) ay ibinigay lamang sa (0, -foo), kung gayon ang formula (6) ay umaabot sa f(x) sa buong axis ng Ox sa pantay na paraan, at formula (7) - kakaiba. (7) Kahulugan. Ang function ay tinatawag na cosine Fourier transform ng function na f(x). Ito ay sumusunod mula sa (6) na para sa isang kahit na function na f(x) Nangangahulugan ito na ang f(x), naman, ay isang cosine transform para sa Fc(t). Sa madaling salita, ang mga function / at Fc ay kapwa cosine transforms. Kahulugan. Ang function ay tinatawag na sine Fourier transform ng function na f(x). Mula sa (7) makuha natin iyon para sa isang kakaibang function f(x), ibig sabihin, Ang f at Fs ay mutual sine transforms. Halimbawa 3 (right-angle pulse). Hayaan ang f(t) na maging pantay na function na tinukoy bilang mga sumusunod: (Larawan 3). Gamitin natin ang nakuhang resulta upang kalkulahin ang integral Sa bisa ng formula (9), mayroon tayong Fig.3 0 0 Sa puntong t = 0, ang function na f(t) ay tuloy-tuloy at katumbas ng isa. Samakatuwid, mula sa (12") nakakakuha tayo ng 2.2. Amplitude at phase spectra ng Fourier integral Hayaan ang f(x) na maging periodic function na may periodic na 2m at lumawak sa isang Fourier series. Ang pagkakapantay-pantay na ito ay maaaring isulat pagdating natin sa mga konsepto ng amplitude at phase spectra ng isang periodic function Para sa isang non-periodic function na f(x) na ibinigay sa (-oo, +oo), sa ilalim ng ilang partikular na kundisyon, lumalabas na posible itong katawanin ng Fourier integral, na pinapalawak ang function na ito sa lahat ng mga frequency (pagpapalawak sa tuloy-tuloy na frequency spectrum Kahulugan Ang spectral function, o ang spectral density ng Fourier integral, ay isang expression (ang direktang Fourier transform ng function f ay tinatawag na amplitude spectrum, at ang function na Ф " ) = -argSfc) - ang phase spectrum ng function / ("). Ang amplitude spectrum A(t) ay nagsisilbing sukatan ng kontribusyon ng frequency t sa function /(x). Halimbawa 4. Hanapin ang amplitude at phase spectra ng function 4 Hanapin ang spectral function Mula dito Ang mga graph ng mga function na ito ay ipinapakita sa fig. 4. §3. Fourier transform properties 1. Linearity. Kung ang at G(0 ay ang Fourier transforms ng mga function na f(x) at q(x), ayon sa pagkakabanggit, kung gayon para sa anumang pare-parehong a at p ang Fourier transform ng function ay isang f(x) + p g(x) ang magiging function a Gamit ang linearity property ng integral, mayroon tayong Kaya, ang Fourier transform ay isang linear operator. Ang pagtukoy nito sa pamamagitan ng isusulat natin. Kung ang F(t) ay ang Fourier transform ng isang function na f(x) absolutely integrable sa buong real axis, pagkatapos F(t) ay bounded para sa lahat. Hayaang ang function na f(x) ay ganap na maisasama sa buong axis - ang Fourier transform ng function na f (x). Pagkatapos ay 3 "flts J. Hayaan ang f (x) na maging isang function, ang tolerance nito ay ang Fourier transform, ang L ay ang bilang ng mga katangian. Ang function na fh (x) \u003d f (z-h) ay tinatawag na shift ng funddium f(x).Gamit ang kahulugan ng Fourier transform , ipakita na Problema. Hayaan ang isang function na f(z) na magkaroon ng Fourier transform F(0> h ay isang tunay na numero. Ipakita na ang 3. Fourier transform at differentiation ooeresis. Hayaan ang isang ganap na pinagsama-samang function na f (x) ay may isang derivative f " (x), na ganap ding maisasama sa buong axis Oh, kaya ang /(n) ay nagiging zero bilang |x| -» +oo. Ipagpalagay na ang f "(x) ay isang maayos na function, isinusulat namin ang Integrating by parts, mayroon kaming term sa labas ng integral vanishes (dahil, at nakukuha namin Kaya, ang pagkakaiba ng function / (x) ay tumutugma sa multiplikasyon ng Fourier nito. larawan ^ П /] sa pamamagitan ng factor Kung ang function na f (x) ay may makinis na ganap na intetable derivatives hanggang sa order m inclusive, at lahat ng mga ito, tulad ng function na f(x) mismo, ay may posibilidad na zero, at pagkatapos, pagsasama-sama ng mga bahagi ang kinakailangang bilang ng beses, nakuha namin ang Fourier transform ay tiyak na kapaki-pakinabang dahil pinapalitan nito ang operasyon ng pagkita ng kaibhan sa pagpapatakbo ng multiplikasyon sa isang halaga at sa gayon ay pinapasimple ang problema ng pagsasama ng ilang uri ng mga differential equation. Dahil ang Fourier transform ng isang ganap na integrable function f^k\x) ay isang bounded function ng (property 2), mula sa relation (2) nakukuha natin ang sumusunod na pagtatantya para sa : Fourier transform Fourier integral Complex integral form Fourier transform Cosine at sine transforms Amplitude at phase spectra Application properties Mula ang pagsusuring ito kasama ang sumusunod: kung mas ang function na f(x) ay may ganap na integrable derivatives, mas mabilis ang Fourier transform nito ay nagiging zero sa. Magkomento. Ang kundisyon ay medyo natural, dahil ang karaniwang teorya ng Fourier integrals ay tumatalakay sa mga proseso na, sa isang kahulugan o iba pa, ay may simula at nagtatapos, ngunit hindi nagpapatuloy nang walang hanggan na may humigit-kumulang sa parehong intensity. 4. Relasyon sa pagitan ng rate ng pagkabulok ng function na f(x) para sa |z| -» -f oo at ang kinis ng Fourm transformation nito. Ipagpalagay natin na hindi lamang /(x), kundi pati na rin ang produkto nito na xf(x) ay isang ganap na pinagsama-samang function sa buong x-axis. Pagkatapos ang Fourier transform) ay magiging isang differentiable function. Sa katunayan, ang pormal na pagkakaiba-iba na may paggalang sa parameter £ ng integrand ay humahantong sa isang integral na ganap at pare-parehong nagtatagpo sa paggalang sa parameter. . Kung, kasama ang function na f(x), ang mga function ay ganap na maisasama sa buong Ox axis, kung gayon ang proseso ng pagkita ng kaibhan ay maaaring ipagpatuloy. Nakukuha namin na ang function ay may mga derivatives hanggang sa pagkakasunud-sunod ng m inclusive, at Kaya, mas mabilis na bumaba ang function na f(x), mas maayos ang function na lumilitaw. Theorem 2 (tungkol sa drill). Hayaan ang Fourier transforms ng mga function /,(x), at f2(x), ayon sa pagkakabanggit. Pagkatapos ang dobleng integral sa kanang bahagi ay ganap na nagtatagpo. Lagyan natin ng x. Pagkatapos ay magkakaroon tayo ng o, binabago ang pagkakasunud-sunod ng pagsasama, Ang pag-andar ay tinatawag na convolution ng mga pag-andar at ipinapahiwatig ng simbolong Formula (1) ay maaari na ngayong isulat ng mga sumusunod: Mula dito makikita na ang Fourier transform ng convolution ng mga function na f\(x) at f2(x) ay katumbas ng multiplied sa y/2x ang produkto ng Fourier transforms ng foldable function, Remark. Madaling itatag ang mga sumusunod na katangian ng convolution: 1) linearity: 2) commutativity: §4. Mga aplikasyon ng Fourier transform 1. Hayaang ang P(t) ay isang linear differential operator ng order m na may pare-parehong coefficients. Gamit ang formula para sa Fourier transform ng mga derivatives ng function na y(x), makikita natin ang " Isaalang-alang ang differential equation kung saan Ang P ay ang differential operator na ipinakilala sa itaas. Ipagpalagay na ang gustong solusyon na y(x) ay may Fourier transform y (O. at ang function na f(x) ay may transform /(t) Ang paglalapat ng Fourier transform sa equation (1), tayo makuha sa halip na isang differential algebraic equation sa axis na may kinalaman sa kung saan upang pormal na kung saan ang simbolo ay nagsasaad ng inverse Fourier transform Ang pangunahing limitasyon ng applicability ng pamamaraang ito ay konektado sa sumusunod na katotohanan: Ang solusyon ng isang ordinaryong differential equation na may pare-pareho Ang mga coefficient ay naglalaman ng mga function ng form< х < 4-оо, и преобразование Фурье для них не определено, так что, строго говоря, применятьданный метод нельзя. Это ограничение можно обойти, если ввести в рассмотрение так называемые обобщенные функции. Однако в ряде случаев преобразование Фурье все же применимо в своей классической форме. Пример. Найти решение а = а(х, t) уравнения (а = const), при начальных условиях Это - задача о свободных колебаниях бесконечной однородной струны, когда задано начальное отклонение <р(х) точек сгруны, а начальные скорости отсутствуют. 4 Поскольку пространственная переменная х изменяется в пределах от -оо до +оо, подвергнем уравнение и начальные условия преобразованию Фурье по переменной х. Будем предполагать, что 1) функции и(х, t) и

Naniniwala ako na sa pangkalahatan ay alam ng lahat ang pagkakaroon ng napakagandang kasangkapang pangmatematika gaya ng pagbabagong Fourier. Gayunpaman, sa mga unibersidad, sa ilang kadahilanan, ito ay itinuro nang napakasama kaya kakaunti ang mga tao ang nakakaunawa kung paano gumagana ang pagbabagong ito at kung paano ito dapat gamitin nang tama. Samantala, ang matematika ng pagbabagong ito ay nakakagulat na maganda, simple at eleganteng. Inaanyayahan ko ang lahat na matuto nang kaunti pa tungkol sa Fourier transform at ang nauugnay na paksa kung paano epektibong mako-convert ang mga analog signal sa mga digital para sa pagpoproseso ng computational.

Nang hindi gumagamit ng mga kumplikadong formula at matlab, susubukan kong sagutin ang mga sumusunod na tanong:

• FT, DTF, DTFT - ano ang mga pagkakaiba at paano ang tila ganap na magkakaibang mga formula ay nagbibigay ng mga katulad na resulta sa konsepto?
• Paano wastong bigyang-kahulugan ang mga resulta ng Fast Fourier Transform (FFT).
• Ano ang gagawin kung ang isang signal ng 179 sample ay ibinigay at ang FFT ay nangangailangan ng isang pagkakasunod-sunod ng haba na katumbas ng kapangyarihan ng dalawa bilang input
• Bakit, kapag sinusubukang makuha ang spectrum ng isang sinusoid gamit ang Fourier, sa halip na ang inaasahang solong "stick", isang kakaibang squiggle ang lumalabas sa graph at kung ano ang maaaring gawin tungkol dito
• Bakit inilalagay ang mga analog na filter bago ang ADC at pagkatapos ng DAC
• Posible bang mag-digitize ng signal ng ADC na may dalas na mas mataas sa kalahati ng sampling rate (mali ang sagot ng paaralan, posible ang tamang sagot)
• Paano ibinabalik ng digital sequence ang orihinal na signal

Magpapatuloy ako mula sa pagpapalagay na nauunawaan ng mambabasa kung ano ang isang integral, isang kumplikadong numero (pati na rin ang modulus at argumento nito), convolution ng mga pag-andar, kasama ang hindi bababa sa "sa mga daliri" na iniisip kung ano ang Dirac delta function. Hindi alam - hindi mahalaga, basahin ang mga link sa itaas. Sa pamamagitan ng "produkto ng mga function" sa tekstong ito, ang ibig kong sabihin ay "pointwise multiplication"

Marahil ay dapat tayong magsimula sa katotohanan na ang karaniwang pagbabago ng Fourier ay isang uri ng bagay na, gaya ng maaari mong hulaan mula sa pangalan, ay nagbabago ng isang function sa isa pa, iyon ay, itinalaga sa bawat function ng isang tunay na variable x (t) ang spectrum nito o Fourier na imahe y (w):

Kung magbibigay tayo ng mga pagkakatulad, kung gayon ang isang halimbawa ng isang pagbabagong katulad ng kahulugan ay maaaring, halimbawa, pagkita ng kaibhan, na nagiging derivative ng isang function. Iyon ay, ang Fourier transform ay, sa katunayan, ang parehong operasyon tulad ng pagkuha ng derivative, at ito ay madalas na tinutukoy sa isang katulad na paraan, pagguhit ng isang tatsulok na "cap" sa ibabaw ng function. Tanging hindi tulad ng pagkita ng kaibhan, na maaari ding tukuyin para sa mga tunay na numero, ang Fourier transform ay palaging "gumagana" sa mas pangkalahatang kumplikadong mga numero. Dahil dito, ang mga problema ay patuloy na lumitaw sa pagpapakita ng mga resulta ng pagbabagong ito, dahil ang mga kumplikadong numero ay tinutukoy hindi ng isa, ngunit sa pamamagitan ng dalawang mga coordinate sa isang graph na tumatakbo sa mga tunay na numero. Ang pinaka-maginhawang paraan, bilang panuntunan, ay upang kumatawan sa mga kumplikadong numero bilang isang module at isang argumento at iguhit ang mga ito nang hiwalay bilang dalawang magkahiwalay na mga graph:

Ang graph ng argumento ng isang kumplikadong halaga ay madalas na tinutukoy sa kasong ito bilang ang "phase spectrum", at ang graph ng modulus ay madalas na tinatawag na "amplitude spectrum". Ang amplitude spectrum, bilang panuntunan, ay higit na interesado, at samakatuwid ang "phase" na bahagi ng spectrum ay madalas na nilaktawan. Sa artikulong ito, tututuon din natin ang mga bagay na "amplitude", ngunit hindi natin dapat kalimutan ang tungkol sa pagkakaroon ng nawawalang bahagi ng bahagi ng graph. Bilang karagdagan, sa halip na ang karaniwang modulus ng isang kumplikadong halaga, ang logarithm nito na pinarami ng 10 ay madalas na iguguhit. Ang resulta ay isang logarithmic plot, ang mga halaga kung saan ipinapakita sa decibels (dB).

Pakitandaan na hindi masyadong malakas na negatibong mga numero ng logarithmic graph (-20 dB o mas kaunti) sa kasong ito ay tumutugma sa halos zero na mga numero sa "normal" na graph. Samakatuwid, ang mahaba at malawak na "mga buntot" ng iba't ibang spectra sa naturang mga graph, kapag ipinapakita sa "ordinaryong" mga coordinate, bilang panuntunan, ay halos nawawala. Ang kaginhawahan ng tulad ng isang tila kakaibang representasyon arises mula sa katotohanan na ang Fourier transforms ng iba't-ibang mga function ay madalas na kailangang multiply sa bawat isa. Sa ganoong pointwise multiplication ng complex-valued Fourier na mga imahe, ang kanilang phase spectra ay idinagdag, at ang kanilang amplitude spectra ay pinarami. Ang una ay madaling gawin, habang ang pangalawa ay medyo mahirap. Gayunpaman, ang mga logarithms ng amplitude ay idinaragdag kapag nagpaparami ng mga amplitude, kaya ang mga logarithmic amplitude graph ay maaaring, tulad ng mga phase graph, ay maidagdag lamang ng punto sa punto. Bilang karagdagan, sa mga praktikal na problema kadalasan ay mas maginhawang gumana hindi sa "amplitude" ng signal, ngunit sa "kapangyarihan" nito (ang parisukat ng amplitude). Sa logarithmic scale, ang parehong mga graph (parehong amplitude at power) ay mukhang magkapareho at naiiba lamang sa coefficient - lahat ng mga halaga sa power graph ay eksaktong dalawang beses na mas malaki kaysa sa amplitude scale. Alinsunod dito, upang i-plot ang dalas ng pamamahagi ng kapangyarihan (sa decibels), hindi mo maaaring kuwadrado ang anuman, ngunit kalkulahin ang decimal logarithm at i-multiply ito ng 20.

Naiinip ka na ba? Maghintay, kaunti pa, sa nakakainip na bahagi ng artikulo na nagpapaliwanag kung paano i-interpret ang mga tsart, malapit na tayong matapos :). Ngunit bago iyon, isang napakahalagang bagay na dapat maunawaan ay na kahit na ang lahat ng spectrum plot sa itaas ay iginuhit para sa ilang limitadong hanay ng mga halaga (sa partikular, positibong mga numero), ang lahat ng mga plot na ito ay aktwal na nagpapatuloy sa plus at minus infinity. Ang mga graph ay nagpapakita lamang ng ilang "pinakamakahulugan" na bahagi ng graph, na karaniwang sinasalamin para sa mga negatibong halaga ng parameter, at madalas na umuulit sa pana-panahon na may ilang hakbang kapag tiningnan sa mas malaking sukat.

Ang pagkakaroon ng pagpapasya sa kung ano ang iginuhit sa mga graph, bumalik tayo sa Fourier transform mismo at sa mga katangian nito. Mayroong ilang iba't ibang paraan upang tukuyin ang pagbabagong ito, naiiba sa maliliit na detalye (iba't ibang mga normalisasyon). Halimbawa, sa aming mga unibersidad, sa ilang kadahilanan, madalas nilang ginagamit ang normalisasyon ng Fourier transform na tumutukoy sa spectrum sa mga tuntunin ng angular frequency (radians per second). Gagamit ako ng mas maginhawang western formulation na tumutukoy sa spectrum sa mga tuntunin ng karaniwang frequency (hertz). Ang direkta at kabaligtaran na pagbabagong Fourier sa kasong ito ay tinukoy ng mga formula sa kaliwa, at ang ilan sa mga katangian ng pagbabagong ito na kailangan namin ay isang listahan ng pitong item sa kanan:

Ang una sa mga katangiang ito ay linearity. Kung kukuha tayo ng ilang linear na kumbinasyon ng mga function, ang Fourier transform ng kumbinasyong ito ay magiging parehong linear na kumbinasyon ng mga Fourier na imahe ng mga function na ito. Ang property na ito ay nagpapahintulot sa isa na bawasan ang mga kumplikadong function at ang kanilang Fourier ay nagbabago sa mas simple. Halimbawa, ang Fourier transform ng isang sinusoidal function na may frequency f at amplitude a ay isang kumbinasyon ng dalawang delta function na matatagpuan sa mga punto f at -f at may coefficient a/2:

Kung kukuha tayo ng isang function na binubuo ng kabuuan ng isang set ng sinusoids na may iba't ibang frequency, kung gayon, ayon sa linearity property, ang Fourier transform ng function na ito ay bubuo ng kaukulang hanay ng mga delta function. Ito ay nagpapahintulot sa amin na magbigay ng isang walang muwang, ngunit visual na interpretasyon ng spectrum ayon sa prinsipyo "kung sa spectrum ng isang function frequency f ay tumutugma sa amplitude a, kung gayon ang orihinal na function ay maaaring kinakatawan bilang isang kabuuan ng sinusoids, isa sa mga ito ay maging isang sinusoid na may frequency f at amplitude 2a". Sa mahigpit na pagsasalita, ang interpretasyong ito ay hindi tama, dahil ang delta function at ang punto sa graph ay ganap na magkaibang mga bagay, ngunit habang mas makikita pa natin, para sa discrete Fourier transforms, hindi ito malayo sa katotohanan.

Ang pangalawang pag-aari ng Fourier transform ay ang pagsasarili ng amplitude spectrum mula sa time shift ng signal. Kung ililipat natin ang function sa kaliwa o kanan sa kahabaan ng x-axis, ang phase spectrum lamang nito ang magbabago.

Ang ikatlong pag-aari - ang pag-uunat (compression) ng orihinal na pag-andar sa kahabaan ng axis ng oras (x) ay proporsyonal na nag-compress (nag-uunat) ng Fourier na pagbabago nito kasama ang frequency scale (w). Sa partikular, ang spectrum ng isang signal ng may hangganan na tagal ay palaging walang hanggan ang lapad, at vice versa, ang spectrum ng may hangganan na lapad ay palaging tumutugma sa isang signal ng walang limitasyong tagal.

Ang ikaapat at ikalimang katangian ay marahil ang pinakakapaki-pakinabang sa lahat. Ginagawa nilang posible na bawasan ang convolution ng mga function sa pointwise multiplication ng kanilang Fourier transforms, at vice versa - ang pointwise multiplication ng mga function sa convolution ng kanilang Fourier transforms. Kaunti pa ay ipapakita ko kung gaano ito maginhawa.

Ang ikaanim na ari-arian ay nagsasalita tungkol sa simetrya ng mga imahe ng Fourier. Sa partikular, sumusunod mula sa property na ito na sa Fourier transform ng isang real-valued na function (i.e. anumang "real" signal) ang amplitude spectrum ay palaging isang even function, at ang phase spectrum (kung mababawasan sa range -pi.. .pi) ay kakaiba . Ito ay para sa kadahilanang ito na ang negatibong bahagi ng spectrum ay halos hindi iginuhit sa mga spectrum graph - para sa totoong halaga ng mga signal, hindi ito nagbibigay ng anumang bagong impormasyon (ngunit, inuulit ko, hindi rin ito zero).

Sa wakas, ang huling, ikapitong ari-arian, ay nagsasabi na ang Fourier transform ay nagpapanatili ng "enerhiya" ng signal. Makatuwiran lamang para sa mga signal na may hangganan ang tagal, na ang enerhiya ay may hangganan, at nagsasabing ang spectrum ng naturang mga signal sa infinity ay mabilis na lumalapit sa zero. Tiyak na dahil sa pag-aari na ito na, bilang isang panuntunan, tanging ang "pangunahing" bahagi ng signal ang inilalarawan sa mga spectrum graph, na nagdadala ng bahagi ng enerhiya ng leon - ang natitirang bahagi ng graph ay may posibilidad na zero (ngunit, muli , hindi ito zero).

Gamit ang 7 katangiang ito, tingnan natin ang matematika ng "pag-digitize" ng isang senyales upang isalin ang isang tuloy-tuloy na signal sa isang pagkakasunud-sunod ng mga digit. Upang gawin ito, kailangan nating kumuha ng function na kilala bilang "Dirac comb":

Ang isang Dirac comb ay isang panaka-nakang pagkakasunod-sunod lamang ng mga function ng unity delta, na nagsisimula sa zero at nagpapatuloy sa hakbang T. Upang i-digitize ang mga signal, pinipili ang T bilang maliit hangga't maaari, T<<1. Фурье-образ этой функции - тоже гребенка Дирака, только с гораздо большим шагом 1/T и несколько меньшим коэффициентом (1/T). С математической точки зрения, дискретизация сигнала по времени - это просто поточечное умножение исходного сигнала на гребенку Дирака. Значение 1/T при этом называют частотой дискретизации:

Sa halip na isang tuluy-tuloy na pag-andar, pagkatapos ng naturang pagpaparami, isang pagkakasunud-sunod ng mga pulso ng delta ng isang tiyak na taas ay nakuha. Sa kasong ito, ayon sa property 5 ng Fourier transform, ang spectrum ng resultang discrete signal ay ang convolution ng orihinal na spectrum na may kaukulang Dirac comb. Madaling maunawaan na, batay sa mga katangian ng convolution, ang spectrum ng orihinal na signal ay, kumbaga, "kinopya" ng isang walang katapusang bilang ng beses kasama ang frequency axis na may isang hakbang na 1/T, at pagkatapos ay summed up .

Tandaan na kung ang orihinal na spectrum ay may hangganan na lapad at gumamit kami ng sapat na mataas na sampling rate, ang mga kopya ng orihinal na spectrum ay hindi magkakapatong at, samakatuwid, ay hindi idadagdag sa isa't isa. Madaling maunawaan na madaling ibalik ang orihinal na spectrum mula sa naturang "nakatiklop" na spectrum - sapat na upang kunin ang bahagi ng spectrum sa rehiyon ng zero, "puputol" ang mga karagdagang kopya na pupunta. sa kawalang-hanggan. Ang pinakasimpleng paraan upang gawin ito ay ang pag-multiply ng spectrum sa pamamagitan ng isang rectangular function na katumbas ng T sa range na -1/2T...1/2T at zero sa labas ng range na ito. Ang isang katulad na Fourier transform ay tumutugma sa function na sinc (Tx) at ayon sa property 4, ang naturang multiplikasyon ay katumbas ng convolution ng orihinal na sequence ng mga delta function na may function na sinc(Tx)

Iyon ay, gamit ang Fourier transform, nakakuha kami ng paraan upang madaling maibalik ang orihinal na signal mula sa isang time-sampled, na gumagana sa kondisyon na gumamit kami ng sampling frequency na hindi bababa sa dalawang beses (dahil sa pagkakaroon ng mga negatibong frequency sa spectrum ) ang pinakamataas na dalas na nasa orihinal na signal. Ang resultang ito ay malawak na kilala at tinatawag na Kotelnikov / Shannon-Nyquist theorem. Gayunpaman, dahil madaling makita ngayon (pag-unawa sa patunay), ang resultang ito, salungat sa isang malawakang maling kuru-kuro, ay tumutukoy sapat, ngunit hindi kailangan kundisyon para sa pagpapanumbalik ng orihinal na signal. Ang kailangan lang namin ay tiyakin na ang bahagi ng spectrum ng interes sa amin pagkatapos ng pag-sample ng signal ay hindi magkakapatong sa isa't isa, at kung ang signal ay sapat na makitid-band (may maliit na "lapad" ng hindi zero na bahagi ng spectrum), kung gayon ang resultang ito ay madalas na makakamit kahit na sa isang sampling rate na mas mababa kaysa dalawang beses sa maximum na dalas ng signal. Ang pamamaraan na ito ay tinatawag na "undersampling" (subsampling, bandpass sampling) at medyo malawak na ginagamit sa pagproseso ng lahat ng uri ng mga signal ng radyo. Halimbawa, kung kukuha tayo ng FM radio na tumatakbo sa frequency band mula 88 hanggang 108 MHz, kung gayon ang isang ADC na may dalas na 43.5 MHz lamang ay maaaring gamitin upang i-digitize ito sa halip na ang 216 MHz na ipinapalagay ng Kotelnikov theorem. Sa kasong ito, gayunpaman, kailangan mo ng mataas na kalidad na ADC at isang mahusay na filter.

Pansinin ko na ang "pagdoble" ng mataas na frequency sa pamamagitan ng mga frequency ng mas mababang mga order (aliasing) ay isang direktang pag-aari ng signal sampling, na hindi maibabalik na "nasisira" ang resulta. Samakatuwid, kung ang mga high-order na frequency ay maaaring sa prinsipyo ay naroroon sa signal (iyon ay, halos palaging), isang analog filter ang inilalagay sa harap ng ADC, na "puputol" ang lahat ng sobra nang direkta sa orihinal na signal (dahil ito ay huli na para gawin ito pagkatapos ng sampling). Ang mga katangian ng mga filter na ito, bilang mga analog na aparato, ay hindi perpekto, kaya ang ilang "pagkasira" ng signal ay nangyayari pa rin, at sa pagsasanay ay sumusunod na ang pinakamataas na frequency sa spectrum ay karaniwang hindi maaasahan. Upang mabawasan ang problemang ito, karaniwan nang magsampol ng signal sa isang oversampled na rate, habang itinatakda ang analog input filter sa mas mababang bandwidth at ginagamit lamang ang mas mababang bahagi ng theoretically available frequency range ng ADC.

Ang isa pang karaniwang maling kuru-kuro, sa pamamagitan ng paraan, ay kapag ang signal sa output ng DAC ay iginuhit sa "mga hakbang". Ang "Mga Hakbang" ay tumutugma sa convolution ng naka-sample na pagkakasunod-sunod ng mga signal na may hugis-parihaba na function ng lapad T at taas 1:

Sa ganitong pagbabago, ang signal spectrum ay pinarami ng Fourier transform ng rectangular function na ito, at para sa isang katulad na rectangular function na ito ay muli sinc(w), "stretched" ang mas malakas, mas maliit ang lapad ng katumbas na rectangle. Ang spectrum ng naka-sample na signal na may katulad na "DAC" ay pointwise multiply sa spectrum na ito. Sa kasong ito, ang mga hindi kinakailangang mataas na frequency na may "mga karagdagang kopya" ng spectrum ay hindi ganap na pinutol, at ang itaas na bahagi ng "kapaki-pakinabang" na bahagi ng spectrum, sa kabaligtaran, ay humina.

Sa pagsasagawa, siyempre, walang gumagawa nito. Mayroong maraming iba't ibang mga diskarte sa pagbuo ng isang DAC, ngunit kahit na sa pinakakaparehong uri ng weighting na mga DAC, sa kabaligtaran, ang mga hugis-parihaba na pulso sa DAC ay pinili nang maikli hangga't maaari (lumalapit sa isang tunay na pagkakasunud-sunod ng mga pag-andar ng delta) upang maiwasan ang hindi kinakailangang pagsugpo. ng kapaki-pakinabang na bahagi ng spectrum. Ang mga "dagdag" na frequency sa nagreresultang broadband signal ay halos palaging damped sa pamamagitan ng pagpasa ng signal sa pamamagitan ng analog na low-pass na filter, upang walang mga "digital na hakbang" alinman sa "sa loob" ng converter, o, higit pa, sa output nito.

Gayunpaman, bumalik tayo sa pagbabagong Fourier. Ang Fourier transform na inilarawan sa itaas na inilapat sa isang pre-sample na sequence ng mga signal ay tinatawag na Discrete Time Fourier Transform (DTFT). Ang spectrum na nakuha ng naturang pagbabago ay palaging 1/T-periodic, kaya ang DTFT spectrum ay ganap na tinutukoy ng mga halaga nito sa segment )