Sa araling ito, titingnan natin pangunahing trigonometriko function, ang kanilang mga katangian at mga graph, at listahan din pangunahing uri ng trigonometriko equation at sistema. Bilang karagdagan, ipinapahiwatig namin pangkalahatang mga solusyon ng pinakasimpleng trigonometriko equation at ang kanilang mga espesyal na kaso.
Tutulungan ka ng araling ito na maghanda para sa isa sa mga uri ng takdang-aralin. B5 at C1.
Paghahanda para sa pagsusulit sa matematika
Eksperimento
Aralin 10 Trigonometric equation at ang kanilang mga sistema.
Teorya
Buod ng aralin
Paulit-ulit na nating ginamit ang terminong "trigonometric function". Bumalik sa unang aralin ng paksang ito, tinukoy namin ang mga ito gamit ang isang tamang tatsulok at isang yunit ng trigonometric na bilog. Gamit ang gayong mga pamamaraan ng pagtukoy ng mga function ng trigonometriko, maaari na nating tapusin na para sa kanila ang isang halaga ng argumento (o anggulo) ay tumutugma sa eksaktong isang halaga ng function, i.e. may karapatan tayong tawagan ang sine, cosine, tangent at cotangent na eksaktong function.
Sa araling ito, oras na upang subukang mag-abstract mula sa mga naunang tinalakay na pamamaraan para sa pagkalkula ng mga halaga ng mga function ng trigonometriko. Ngayon ay magpapatuloy tayo sa karaniwang algebraic na diskarte sa pagtatrabaho sa mga function, isasaalang-alang natin ang kanilang mga katangian at gumuhit ng mga graph.
Tulad ng para sa mga katangian ng trigonometriko function, ang espesyal na pansin ay dapat bayaran sa:
Domain ng kahulugan at hanay ng mga halaga, dahil para sa sine at cosine may mga paghihigpit sa hanay ng mga halaga, at para sa tangent at cotangent may mga paghihigpit sa hanay ng kahulugan;
Ang periodicity ng lahat ng trigonometriko function, dahil Napansin na natin ang pagkakaroon ng pinakamaliit na di-zero na argumento, ang pagdaragdag nito ay hindi nagbabago sa halaga ng function. Ang ganitong argumento ay tinatawag na panahon ng function at ipinapahiwatig ng titik . Para sa sine/cosine at tangent/cottangent, ang mga panahong ito ay magkaiba.
Isaalang-alang ang isang function:
1) Domain ng kahulugan;
2) Saklaw ng mga halaga 
;
3) Ang pag-andar ay kakaiba 
;
I-plot natin ang function. Sa kasong ito, ito ay maginhawa upang simulan ang konstruksiyon mula sa imahe ng lugar, na naglilimita sa graph mula sa itaas ng numero 1 at mula sa ibaba ng numero , na nauugnay sa hanay ng function. Bilang karagdagan, para sa pag-plot, kapaki-pakinabang na alalahanin ang mga halaga ng mga sine ng ilang pangunahing mga anggulo ng talahanayan, halimbawa, na Papayagan ka nitong bumuo ng unang kumpletong "alon" ng graph at pagkatapos ay i-redraw ito sa kanan. at umalis, sinasamantala ang katotohanan na ang larawan ay mauulit na may offset ng isang tuldok, i.e. sa .
Ngayon tingnan natin ang function:
Ang mga pangunahing katangian ng function na ito:
1) Domain ng kahulugan;
2) Saklaw ng mga halaga ;
3) Ang pag-andar ay pantay 
Ito ay nagpapahiwatig ng simetrya ng graph ng function na may paggalang sa y-axis;
4) Ang function ay hindi monotone sa buong domain ng kahulugan nito;
I-plot natin ang function. Tulad ng sa pagbuo ng sine, maginhawang magsimula sa imahe ng lugar na naglilimita sa graph mula sa itaas ng numero 1 at mula sa ibaba ng numero , na nauugnay sa hanay ng function. I-plot din namin ang mga coordinate ng ilang mga punto sa graph, kung saan kinakailangang tandaan ang mga halaga ng cosine ng ilang mga pangunahing anggulo ng talahanayan, halimbawa, gamit ang mga puntong ito, maaari naming bumuo ng unang kumpletong "alon" ng ang graph at pagkatapos ay i-redraw ito sa kanan at kaliwa, sinasamantala ang katotohanan na ang larawan ay uulit sa isang pagbabago ng panahon, i.e. sa .
Lumipat tayo sa pag-andar:
Ang mga pangunahing katangian ng function na ito:
1) Domain ng kahulugan maliban sa , kung saan . Naipahiwatig na natin sa mga nakaraang aralin na wala. Ang pahayag na ito ay maaaring gawing pangkalahatan sa pamamagitan ng pagsasaalang-alang sa panahon ng tangent;
2) Ang hanay ng mga halaga, ibig sabihin. ang mga tangent na halaga ay hindi limitado;
3) Ang pag-andar ay kakaiba 
;
4) Ang function na monotonically ay tumataas sa loob ng tinatawag nitong tangent branches, na makikita natin ngayon sa figure;
5) Ang function ay panaka-nakang may tuldok
I-plot natin ang function. Sa kasong ito, ito ay maginhawa upang simulan ang konstruksiyon mula sa imahe ng vertical asymptotes ng graph sa mga punto na hindi kasama sa domain ng kahulugan, i.e. atbp. Susunod, inilalarawan namin ang mga sanga ng tangent sa loob ng bawat isa sa mga piraso na nabuo ng mga asymptotes, na pinindot ang mga ito sa kaliwang asymptote at sa kanan. Kasabay nito, huwag kalimutan na ang bawat sangay ay monotonically pagtaas. Inilalarawan namin ang lahat ng mga sangay sa parehong paraan, dahil ang function ay may period na katumbas ng . Ito ay makikita mula sa katotohanan na ang bawat sangay ay nakuha sa pamamagitan ng paglilipat ng kalapit na isa kasama ang x-axis.
At nagtatapos kami sa isang pagtingin sa pag-andar:
Ang mga pangunahing katangian ng function na ito:
1) Domain ng kahulugan maliban sa , kung saan . Ayon sa talahanayan ng mga halaga ng mga pag-andar ng trigonometriko, alam na natin na hindi ito umiiral. Ang pahayag na ito ay maaaring gawing pangkalahatan sa pamamagitan ng pagsasaalang-alang sa panahon ng cotangent;
2) Ang hanay ng mga halaga, ibig sabihin. ang mga halaga ng cotangent ay hindi limitado;
3) Ang pag-andar ay kakaiba 
;
4) Ang function na monotonically bumababa sa loob ng mga sanga nito, na katulad ng mga padaplis na sanga;
5) Ang function ay panaka-nakang may tuldok
I-plot natin ang function. Sa kasong ito, tulad ng para sa tangent, ito ay maginhawa upang simulan ang konstruksiyon mula sa imahe ng mga vertical asymptotes ng graph sa mga punto na hindi kasama sa domain ng kahulugan, i.e. atbp. Susunod, inilalarawan namin ang mga sanga ng cotangent sa loob ng bawat isa sa mga piraso na nabuo ng mga asymptotes, na pinindot ang mga ito sa kaliwang asymptote at sa kanan. Sa kasong ito, isinasaalang-alang namin na ang bawat sangay ay monotonically bumababa. Ang lahat ng mga sanga, katulad ng tangent, ay inilalarawan sa parehong paraan, dahil ang function ay may period na katumbas ng .
Hiwalay, dapat tandaan na ang mga function ng trigonometriko na may isang kumplikadong argumento ay maaaring magkaroon ng isang hindi pamantayang panahon. Ito ang mga function ng form:
Pareho sila ng period. At tungkol sa mga pag-andar:
Pareho sila ng period.
Tulad ng nakikita mo, upang makalkula ang isang bagong panahon, ang karaniwang panahon ay hinati lamang ng kadahilanan sa argumento. Hindi ito nakasalalay sa iba pang mga pagbabago ng function.
Maiintindihan at mauunawaan mo nang mas detalyado kung saan nanggaling ang mga formula na ito sa aralin tungkol sa pagbuo at pag-convert ng mga function graph.
Nakarating na kami sa isa sa pinakamahalagang bahagi ng paksang "Trigonometry", na ilalaan namin sa paglutas ng mga equation ng trigonometriko. Ang kakayahang malutas ang mga naturang equation ay mahalaga, halimbawa, kapag naglalarawan ng mga proseso ng oscillatory sa pisika. Isipin natin na nagmaneho ka ng ilang laps sa isang kart sa isang sports car, ang paglutas ng isang trigonometric equation ay makakatulong na matukoy kung gaano ka na katagal nakikilahok sa karera, depende sa posisyon ng kotse sa track.
Isulat natin ang pinakasimpleng trigonometric equation:
Ang solusyon ng naturang equation ay ang mga argumento, na ang sine ay katumbas ng. Ngunit alam na natin na dahil sa periodicity ng sine, mayroong isang walang katapusang bilang ng mga naturang argumento. Kaya, ang solusyon ng equation na ito ay, atbp. Ang parehong naaangkop sa paglutas ng anumang iba pang simpleng trigonometric equation, magkakaroon ng walang katapusang bilang ng mga ito.
Ang mga equation ng trigonometric ay nahahati sa ilang mga pangunahing uri. Hiwalay, ang isa ay dapat tumira sa pinakasimpleng, dahil. lahat ng iba ay nabawasan sa kanila. Mayroong apat na mga equation (ayon sa bilang ng mga pangunahing trigonometriko function). Para sa kanila, ang mga karaniwang solusyon ay kilala, dapat silang tandaan.
Ang pinakasimpleng trigonometriko equation at ang kanilang mga pangkalahatang solusyon ganito ang hitsura:
Pakitandaan na ang mga halaga ng sine at cosine ay dapat isaalang-alang ang mga limitasyon na alam namin. Kung, halimbawa, , kung gayon ang equation ay walang mga solusyon at ang formula na ito ay hindi dapat ilapat.
Bilang karagdagan, ang mga root formula na ito ay naglalaman ng isang parameter sa anyo ng isang arbitrary integer . Sa kurikulum ng paaralan, ito lamang ang kaso kapag ang solusyon ng isang equation na walang parameter ay naglalaman ng isang parameter. Ang di-makatwirang integer na ito ay nagpapakita na posibleng isulat ang isang walang katapusang bilang ng mga ugat ng alinman sa mga ipinahiwatig na equation sa pamamagitan lamang ng pagpapalit sa lahat ng mga integer.
Maaari kang maging pamilyar sa detalyadong pagtanggap ng mga formula na ito sa pamamagitan ng pag-uulit ng kabanata na "Trigonometric Equation" sa programa ng algebra ng ika-10 baitang.
Hiwalay, kinakailangang bigyang-pansin ang solusyon ng mga partikular na kaso ng pinakasimpleng equation na may sine at cosine. Ang mga equation na ito ay mukhang:
Ang mga formula para sa paghahanap ng mga pangkalahatang solusyon ay hindi dapat ilapat sa kanila. Ang ganitong mga equation ay pinaka-maginhawang nalutas gamit ang isang trigonometriko na bilog, na nagbibigay ng isang mas simpleng resulta kaysa sa mga pangkalahatang formula ng solusyon.
Halimbawa, ang solusyon sa equation ay 
. Subukang kunin ang sagot na ito sa iyong sarili at lutasin ang iba pang mga ipinahiwatig na equation.
Bilang karagdagan sa pinakakaraniwang uri ng trigonometriko equation na ipinahiwatig, may ilan pang mga pamantayan. Inilista namin ang mga ito, na isinasaalang-alang ang mga naipahiwatig na namin:
1) Protozoa, Halimbawa, ;
2) Mga partikular na kaso ng pinakasimpleng equation, Halimbawa, ;
3) Mga Complex Argument Equation, Halimbawa, 
;
4) Ang mga equation ay nabawasan sa kanilang pinakasimpleng anyo sa pamamagitan ng pagkuha ng isang karaniwang kadahilanan, Halimbawa, ;
5) Nabawasan ang mga equation sa kanilang pinakasimpleng anyo sa pamamagitan ng pagbabago ng mga function ng trigonometriko, Halimbawa, ;
6) Mga Equation na Nababawasan sa Pinakasimple sa pamamagitan ng Pagpapalit, Halimbawa, ;
7) Mga homogenous na equation, Halimbawa, ;
8) Mga equation na nalutas gamit ang mga katangian ng mga function, Halimbawa, 
. Huwag matakot sa katotohanan na ang equation na ito ay may dalawang variable, ito ay malulutas sa parehong oras;
Pati na rin ang mga equation na nalutas gamit ang iba't ibang pamamaraan.
Bilang karagdagan sa paglutas ng mga trigonometric equation, kinakailangan upang malutas ang kanilang mga sistema.
Ang pinakakaraniwang uri ng mga sistema ay:
1) Kung saan ang isa sa mga equation ay isang batas ng kapangyarihan, Halimbawa, 
;
2) Mga sistema ng simpleng trigonometric equation, Halimbawa, 
.
Sa aralin ngayon, tiningnan natin ang mga pangunahing trigonometric function, ang kanilang mga katangian at mga graph. At nakilala din ang mga pangkalahatang formula para sa paglutas ng pinakasimpleng mga equation ng trigonometriko, na ipinahiwatig ang mga pangunahing uri ng naturang mga equation at ang kanilang mga system.
Sa praktikal na bahagi ng aralin, susuriin natin ang mga pamamaraan para sa paglutas ng mga trigonometric equation at ang kanilang mga sistema.
Kahon 1.Solusyon ng mga espesyal na kaso ng pinakasimpleng trigonometric equation.
Tulad ng sinabi namin sa pangunahing bahagi ng aralin, ang mga espesyal na kaso ng trigonometric equation na may sinus at cosine ng form:
magkaroon ng mas simpleng mga solusyon kaysa sa ibinibigay ng mga pangkalahatang formula ng solusyon.
Para dito, ginagamit ang isang trigonometriko na bilog. Suriin natin ang pamamaraan para sa paglutas ng mga ito gamit ang equation bilang isang halimbawa.
Gumuhit ng punto sa isang trigonometric na bilog kung saan ang cosine value ay zero, na siya ring coordinate sa kahabaan ng x-axis. Tulad ng nakikita mo, mayroong dalawang ganoong punto. Ang aming gawain ay upang ipahiwatig kung ano ang anggulo na tumutugma sa mga puntong ito sa bilog.
 |
Nagsisimula kaming magbilang mula sa positibong direksyon ng abscissa axis (cosine axis) at, kapag ipinagpaliban ang anggulo, nakarating kami sa unang punto na ipinakita, i.e. ang isang solusyon ay ang halaga ng anggulong ito. Ngunit nasiyahan pa rin kami sa anggulo na tumutugma sa pangalawang punto. Paano makapasok dito?
Trigonometric function ng isang numerical argument. Mga katangian at graph ng trigonometriko function.
Depinisyon1: Ang numerical function na ibinigay ng formula y=sin x ay tinatawag na sine.
Ang kurba na ito ay tinatawag sinusoid.
Mga katangian ng pag-andar y=sin x
2. Saklaw ng pag-andar: E(y)=[-1; isa]
3. Parity function:
y=sin x – kakaiba,.
4. Periodicity: sin(x+2πn)=sin x, kung saan ang n ay isang integer.
Ang function na ito ay tumatagal ng parehong mga halaga pagkatapos ng isang tiyak na agwat. Ang pag-aari na ito ng isang function ay tinatawag periodicity. Ang pagitan ay ang panahon ng pag-andar.
Para sa function na y=sin x, ang panahon ay 2π.
Ang function na y=sin x ay periodic, na may period T=2πn, n ay isang integer.
Ang pinakamaliit na positibong panahon T=2π.
Sa matematika, maaari itong isulat bilang: sin(x+2πn)=sin x, kung saan ang n ay isang integer.
Depinisyon2: Ang numerical function na ibinigay ng formula y=cosx ay tinatawag na cosine.
Mga katangian ng function y=cos x
1. Saklaw ng function: D(y)=R
2. Saklaw ng function: E(y)=[-1;1]
3. Parity function:
y=cos x ay pantay.
4. Periodicity: cos(x+2πn)=cos x, kung saan ang n ay isang integer.
Ang function na y=cos x ay periodic, na may period Т=2π.
Depinisyon 3: Ang numerical function na ibinigay ng formula y=tg x ay tinatawag na tangent.
Mga katangian ng function y=tg x
1. Domain ng function: D(y) - lahat ng totoong numero maliban sa π/2+πk, ang k ay isang integer. Dahil sa mga puntong ito ang tangent ay hindi tinukoy.
2. Ang saklaw ng function: E(y)=R.
3. Parity function:
y=tg x ay kakaiba.
4. Periodicity: tg(x+πk)=tg x, kung saan ang k ay isang integer.
Ang function na y=tg x ay periodic na may period π.
Depinisyon 4: Ang numerical function na ibinigay ng formula y=ctg x ay tinatawag na cotangent.
Mga katangian ng function y=ctg x
1. Function domain: D(y) - lahat ng tunay na numero, maliban sa πk, k ay isang integer. Dahil sa mga puntong ito ang cotangent ay hindi tinukoy.
Trigonometric function ay elementarya function na ang argumento ay sulok. Ang mga function na trigonometric ay naglalarawan ng mga ugnayan sa pagitan ng mga gilid at matinding anggulo sa kanang tatsulok. Ang mga lugar ng aplikasyon ng trigonometriko function ay lubhang magkakaibang. Kaya, halimbawa, ang anumang mga pana-panahong proseso ay maaaring katawanin bilang isang kabuuan ng trigonometriko function (). Madalas na lumilitaw ang mga function na ito kapag nilulutas ang mga functional equation.
Kabilang sa mga trigonometric function ang sumusunod na 6 na function: sinus , cosine , padaplis , cotangent , secant at cosecant. Para sa bawat isa sa mga function na ito, mayroong baligtad na trigonometriko function .
Ang geometric na kahulugan ng trigonometriko function ay maginhawang ipinakilala gamit bilog na yunit . Ang figure sa ibaba ay nagpapakita ng isang bilog na may radius \(r = 1\). Ang puntong \(M\left((x,y) \right)\) ay minarkahan sa bilog. Ang anggulo sa pagitan ng radius vector \(OM\) at ang positibong direksyon ng \(Ox\) axis ay katumbas ng \(\alpha\).
sinus ang anggulo \(\alpha\) ay ang ratio ng ordinate \(y\) ng punto \(M\left((x,y) \right)\) sa radius \(r\):
\(\sin \alpha = y/r\).
Dahil \(r = 1\), kung gayon ang sine ay katumbas ng ordinate ng punto \(M\left((x,y) \right)\).
cosine ang anggulo \(\alpha\) ay ang ratio ng abscissa \(x\) ng punto \(M\left((x,y) \right)\) sa radius \(r\):
\(\cos \alpha = x/r\)
padaplis ang anggulo \(\alpha\) ay ang ratio ng ordinate \(y\) ng punto \(M\left((x,y) \right)\) sa abscissa nito \(x\):
\(\tan \alpha = y/x,\;\;x \ne 0\)
Cotangent
ang anggulo \(\alpha\) ay ang ratio ng abscissa \(x\) ng punto \(M\left((x,y) \right)\) sa kanyang ordinate \(y\):
\(\cot \alpha = x/y,\;\;y \ne 0\)
Secant ang anggulo \(\alpha\) ay ang ratio ng radius \(r\) sa abscissa \(x\) ng punto \(M\left((x,y) \right)\):
\(\sec \alpha = r/x = 1/x,\;\;x \ne 0\)
Cosecant ang anggulo \(\alpha\) ay ang ratio ng radius \(r\) sa ordinate \(y\) ng punto \(M\left((x,y) \right)\):
\(\csc \alpha = r/y = 1/y,\;\;y \ne 0\)
Sa bilog ng projection unit \(x\), \(y\) ang mga puntong \(M\left((x,y) \right)\) at ang radius \(r\) ay bumubuo ng right triangle kung saan \( Ang x,y \) ay mga binti, at ang \(r\) ay ang hypotenuse. Samakatuwid, ang mga kahulugan sa itaas ng trigonometriko function na inilapat sa isang tamang tatsulok ay nabuo bilang mga sumusunod:
sinus ang anggulo \(\alpha\) ay ang ratio ng tapat na paa sa hypotenuse.
cosine ang anggulo \(\alpha\) ay ang ratio ng katabing paa sa hypotenuse.
padaplis ang anggulong \(\alpha\) ay tinatawag na kabaligtaran na paa sa katabi.
Cotangent
Ang anggulo \(\alpha\) ay tinatawag na katabing binti sa kabaligtaran.
Secant ang anggulo \(\alpha\) ay ang ratio ng hypotenuse sa katabing binti.
Cosecant ang anggulo \(\alpha\) ay ang ratio ng hypotenuse sa tapat na binti.
graph ng pag-andar ng sine
\(y = \sin x\), domain: \(x \in \mathbb(R)\), domain: \(-1 \le \sin x \le 1\)
Graph ng cosine function
\(y = \cos x\), domain: \(x \in \mathbb(R)\), domain: \(-1 \le \cos x \le 1\)
Ang mga ratio sa pagitan ng mga pangunahing trigonometric function - sine, cosine, tangent at cotangent - ay ibinibigay mga formula ng trigonometriko. At dahil napakaraming koneksyon sa pagitan ng mga function ng trigonometriko, ipinapaliwanag din nito ang kasaganaan ng mga formula ng trigonometriko. Ang ilang mga formula ay nagkokonekta sa mga trigonometriko na pag-andar ng parehong anggulo, ang iba - ang mga pag-andar ng isang maramihang anggulo, ang iba pa - ay nagbibigay-daan sa iyo upang babaan ang antas, ang ikaapat - upang ipahayag ang lahat ng mga pag-andar sa pamamagitan ng tangent ng kalahating anggulo, atbp.
Sa artikulong ito, inilista namin sa pagkakasunud-sunod ang lahat ng mga pangunahing trigonometric formula, na sapat upang malutas ang karamihan ng mga problema sa trigonometrya. Para sa kadalian ng pagsasaulo at paggamit, ipapangkat namin ang mga ito ayon sa kanilang layunin, at ilalagay ang mga ito sa mga talahanayan.
Pag-navigate sa pahina.
Mga pangunahing pagkakakilanlan ng trigonometriko
Mga pangunahing pagkakakilanlan ng trigonometriko itakda ang ugnayan sa pagitan ng sine, cosine, tangent at cotangent ng isang anggulo. Sinusundan nila ang kahulugan ng sine, cosine, tangent at cotangent, pati na rin ang konsepto ng unit circle. Pinapayagan ka nitong ipahayag ang isang trigonometric function sa pamamagitan ng anumang iba pa.
Para sa isang detalyadong paglalarawan ng mga formula ng trigonometrya, ang kanilang mga halimbawa ng pinagmulan at aplikasyon, tingnan ang artikulo.
Mga formula ng cast
Mga formula ng cast sundin mula sa mga katangian ng sine, cosine, tangent at cotangent, iyon ay, sinasalamin nila ang pag-aari ng periodicity ng mga function ng trigonometriko, ang ari-arian ng simetrya, at gayundin ang pag-aari ng paglilipat ng isang naibigay na anggulo. Binibigyang-daan ka ng mga trigonometrikong formula na ito na lumipat mula sa pagtatrabaho sa mga di-makatwirang anggulo patungo sa pagtatrabaho sa mga anggulo na mula sa zero hanggang 90 degrees.
Ang katwiran para sa mga formula na ito, isang mnemonic na panuntunan para sa pagsasaulo ng mga ito, at mga halimbawa ng kanilang aplikasyon ay maaaring pag-aralan sa artikulo.
Mga Formula sa Pagdaragdag
Mga formula sa pagdaragdag ng trigonometric ipakita kung paano ang trigonometriko function ng kabuuan o pagkakaiba ng dalawang anggulo ay ipinahayag sa mga tuntunin ng trigonometriko function ng mga anggulong ito. Ang mga formula na ito ay nagsisilbing batayan para sa derivation ng mga sumusunod na trigonometric formula.
Mga formula para sa doble, triple, atbp. sulok
Mga formula para sa doble, triple, atbp. anggulo (tinatawag din silang mga formula ng maramihang anggulo) ay nagpapakita kung paano gumagana ang trigonometriko ng doble, triple, atbp. ang mga anggulo () ay ipinahayag sa mga tuntunin ng trigonometric function ng isang solong anggulo. Ang kanilang derivation ay batay sa mga formula ng karagdagan.
Ang mas detalyadong impormasyon ay kinokolekta sa mga formula ng artikulo para sa doble, triple, atbp. anggulo .
Mga Formula sa Half Angle
Mga Formula sa Half Angle ipakita kung paano ipinahayag ang mga trigonometriko function ng kalahating anggulo sa mga tuntunin ng cosine ng isang integer na anggulo. Ang mga trigonometrikong formula na ito ay sumusunod mula sa mga formula ng dobleng anggulo.
Ang kanilang konklusyon at mga halimbawa ng aplikasyon ay matatagpuan sa artikulo.
Mga Formula ng Pagbawas
Mga formula ng trigonometric para sa pagbaba ng mga degree ay idinisenyo upang mapadali ang paglipat mula sa mga natural na kapangyarihan ng trigonometriko function sa mga sine at cosine sa unang antas, ngunit maramihang mga anggulo. Sa madaling salita, pinapayagan nila ang isa na bawasan ang mga kapangyarihan ng trigonometric function sa una.
Mga formula para sa kabuuan at pagkakaiba ng trigonometriko function
pangunahing destinasyon sum and difference formula para sa trigonometriko function ay binubuo sa paglipat sa produkto ng mga pag-andar, na lubhang kapaki-pakinabang kapag pinasimple ang mga trigonometrikong expression. Ang mga formula na ito ay malawakang ginagamit din sa paglutas ng mga trigonometrikong equation, dahil pinapayagan nila ang pag-factor ng kabuuan at pagkakaiba ng mga sinus at cosine.
Mga formula para sa produkto ng mga sine, cosine at sine sa pamamagitan ng cosine
Ang paglipat mula sa produkto ng trigonometriko function sa kabuuan o pagkakaiba ay isinasagawa sa pamamagitan ng mga formula para sa produkto ng mga sine, cosine at sine sa pamamagitan ng cosine.
Copyright ng matatalinong estudyante
Lahat ng karapatan ay nakalaan.
Pinoprotektahan ng batas sa copyright. Walang bahagi ng www.site, kabilang ang mga panloob na materyales at panlabas na disenyo, ang maaaring kopyahin sa anumang anyo o gamitin nang walang paunang nakasulat na pahintulot ng may-ari ng copyright.
Naaalala namin ang pangunahing impormasyon mula sa trigonometrya na kinakailangan para sa mga sumusunod.
Ang mga function ng trigonometriko ay itinuturing sa simula bilang mga pag-andar ng anggulo, dahil ang numerical na halaga ng bawat isa sa kanila (kung may katuturan lamang) ay tinutukoy sa pamamagitan ng pagtukoy sa anggulo. Ang isa-sa-isang pagsusulatan sa pagitan ng mga pabilog na arko at gitnang anggulo ay ginagawang posible na isaalang-alang ang mga function ng trigonometriko bilang mga function ng isang arko. Halimbawa, ang function argument kasalanan φ mayroon kaming opsyon na bigyang-kahulugan bilang isang anggulo o isang arko sa kalooban. Kaya, sa una ang argumento ng trigonometric function ay gumaganap bilang isang geometric na bagay - isang anggulo o isang arko. Gayunpaman, kapwa sa matematika mismo at sa mga aplikasyon nito, kailangang isaalang-alang ang mga function ng trigonometriko bilang mga function ng isang numerical argument. Kahit na sa matematika ng paaralan, ang argumento ng isang trigonometric function ay hindi palaging itinuturing bilang isang anggulo. Kaya, halimbawa, ang harmonic oscillatory motion ay ibinibigay ng equation: s = Isang sinat. Dito ang argumentong t ay ang oras, hindi ang anggulo (ang koepisyent a ay isang numerong nagpapakilala sa dalas ng oscillation).
Ang proseso ng pagsukat ng mga anggulo (o mga arko) ay nagtatalaga sa bawat anggulo (arko) ng isang tiyak na numero bilang sukat nito. Bilang resulta ng pagsukat ng isang anggulo (arc), maaari kang makakuha anuman isang tunay na numero, dahil maaari nating isaalang-alang ang mga nakadirektang anggulo (mga arko) ng anumang laki. Sa pamamagitan ng pagpili ng isang partikular na yunit ng pagsukat para sa mga anggulo (arc), posibleng magtalaga sa anumang anggulo (arc) ng isang numerong sumusukat dito, at, sa kabaligtaran, sa anumang numero upang iugnay ang isang anggulo (arc) na sinusukat ng isang naibigay na numero. Ito ay nagpapahintulot sa iyo na bigyang-kahulugan ang argumento ng trigonometriko function bilang isang numero. Isaalang-alang ang ilang trigonometric function, halimbawa, sine. Hayaang ang x ay anumang tunay na numero, ang numerong ito ay tumutugma sa isang mahusay na tinukoy na anggulo (arc), na sinusukat ng numerong x, at ang resultang anggulo (arc) ay tumutugma sa isang mahusay na tinukoy na halaga ng sine, sin x. Sa huli, ang isang sulat sa pagitan ng mga numero ay nakuha: para sa bawat tunay na numero x mayroong tumutugma sa isang mahusay na tinukoy na tunay na numero y \u003d sin x. Samakatuwid, ang sin x ay maaaring bigyang-kahulugan bilang isang function argumentong numero. Kapag isinasaalang-alang ang trigonometric function bilang mga function ng isang numerical argument, sumang-ayon kaming kunin bilang unit ng pagsukat para sa mga arko at anggulo. radian. Sa bisa ng kombensyong ito, ang mga simbolo na sin x, cos x, tgx at ctg x ay dapat bigyang-kahulugan bilang sine, cosine, tangent at cotangent ng anggulo (arc), ang radian na sukat nito ay ipinahayag ng numerong x. Halimbawa, kasalanan 2 ay ang sine ng isang arko na sinusukat sa dalawang radians *.
* (Tandaan na sa ilang mga manwal, ang radian na sukat ay sa kasamaang-palad ay tinatawag na abstract, sa kaibahan sa sukat ng antas. Sa pagitan ng parehong paraan ng pagsukat walang pangunahing pagkakaiba, iba't ibang unit lang ng pagsukat ang pipiliin. Sa kasamaang palad, at pa rin ang tanong na ito kung minsan ay nagdudulot ng pseudo-scientific, nakakapinsalang "methodological" na walang ginagawang usapan.)
Pagpili ng yunit ng sukat para sa mga arko at anggulo ay wala ng pangunahing kahalagahan. Pagpili ng radian hindi dinidiktahan pangangailangan. Ang radian ay lumalabas na ang pinaka-maginhawang yunit lamang, dahil sa pagsukat ng radian, ang mga formula ng pagsusuri sa matematika na may kaugnayan sa mga function ng trigonometriko ay kumukuha ng pinakasimpleng anyo * .
* (Ang pagpapagaan na ito ay ipinaliwanag sa pamamagitan ng katotohanan na sa isang radian na sukat Kunin natin, halimbawa, ang isang antas bilang isang yunit ng pagsukat ng mga anggulo. Hayaan ang t at x na ayon sa pagkakabanggit ay ang antas at radian na mga sukat ng ibinigay na anggulo, pagkatapos ay mayroon tayong:
Ang batas ng pagsusulatan sa pagitan ng mga halaga ng argumento at ng trigonometric function ay itinatag hindi sa pamamagitan ng isang direktang indikasyon ng mga mathematical operations (formula) na isasagawa sa argument, ngunit geometrically * . Gayunpaman, upang makapag-usap tungkol sa isang function, kinakailangan na magkaroon ng isang batas sa pagsusulatan, kung saan ang bawat wastong halaga ng argumento ay tumutugma sa isang tiyak na halaga ng function, ngunit hindi makabuluhan kung paano itinatag ang batas na ito.
* (Sa pamamagitan ng elementarya na matematika, imposibleng makabuo ng mga formula na nagpapahayag ng mga halaga ng mga function ng trigonometriko gamit ang mga operasyong algebraic sa argumento. Mga formula na kilala mula sa mas mataas na matematika na nagpapahayag ng mga halaga ng trigonometric function nang direkta sa pamamagitan ng halaga ng argumento,
Ang mga function na sin x at cos x ay may katuturan para sa anumang tunay na halaga ng x, at samakatuwid ang kanilang domain ng kahulugan ay ang hanay ng lahat ng tunay na numero.
Ang function na tg x ay tinukoy para sa lahat ng tunay na halaga ng x, maliban sa mga numero ng anyong π / 2 + kπ.
Ang function na ctg x ay tinukoy para sa lahat ng tunay na halaga ng x, maliban sa mga numero ng anyong kπ.
Kaya, ang argumento ng trigonometriko function, sa aming paghuhusga, ay maaaring bigyang-kahulugan bilang isang anggulo, o bilang isang arko, o, sa wakas, bilang isang numero. Ang pagtawag sa isang argumento bilang isang arko (o anggulo), maaari mong sabihin dito hindi ang arko (o anggulo) mismo, ngunit ang bilang na sumusukat dito. Pagpapanatiling geometric terminolohiya, papayagan namin ang ating sarili sa halip na, halimbawa, tulad ng isang parirala: "ang sine ng numero π / 2" na sabihin: "ang sine ng arko π / 2".
Ang geometric na terminolohiya ay maginhawa dahil ito ay nagpapaalala sa atin ng kaukulang mga geometric na imahe.
Ang isa sa mga pinakamahalagang katangian ng trigonometriko function ay ang kanilang periodicity. Ang mga function ng sin x at cos x ay may panahon na 2π. Nangangahulugan ito na para sa anumang halaga ng x, ang mga pagkakapantay-pantay ay nagaganap:
kasalanan x \u003d kasalanan (x + 2π) \u003d kasalanan (x + 4π) \u003d ... \u003d kasalanan (x + 2kπ);
cos x \u003d cos (x + 2π) \u003d cos (x + 4π) \u003d ... \u003d cos (x + 2kπ),
saan k- anumang integer.
Sa mahigpit na pagsasalita, ang sin x at cos x function ay mayroon walang katapusang set mga panahon:
±2π, ±4π, ±6π, ... ±2kπ,
ang numero 2n, na siyang pinakamaliit na positibong panahon, ay karaniwang tinatawag na tuldok.
Ang ari-arian ng periodicity ay may sumusunod na geometric na interpretasyon: ang halaga ng trigonometriko function kasalanan x at kasi x ay hindi nagbabago kung ang isang integer na bilang ng mga lupon ay idinagdag (o ibawas) sa arko x. Kung ang function kasalanan x o kasi x ay may ilang pag-aari kapag ang halaga ng argumentong x = a, pagkatapos ay mayroon itong parehong pag-aari para sa alinman sa mga halaga isang + 2kπ.
Ang mga function na tg x at ctg x ay panaka-nakang din, ang kanilang period (pinakamaliit na positibo) ay ang bilang na π.
Kapag pinag-aaralan ang mga katangian ng isang periodic function, ito ay sapat na upang isaalang-alang ito sa ilang pagitan na katumbas ng magnitude sa panahon.
Ilista natin ang mga pangunahing katangian ng trigonometriko function.
1°. sin x function sa segment 
(Ako at ako ay negatibong quarters) nadadagdagan. Ang mga halaga ng sine sa mga dulo ng segment, i.e. sa x = π / 2 at sa x = - π / 2 ay katumbas ng 1 at -1, ayon sa pagkakabanggit.
2°. Anuman ang tunay na bilang ng k, ang ganap na halaga ay hindi hihigit sa 1, sa segment - π / 2 ≤x≤ π / 2 mayroong isang solong arko x = x 1, ang sine kung saan ay katumbas ng k. Sa madaling salita, sa segment ang sine ay may, na may isang solong halaga ng argumentong x \u003d x 1, isang arbitrary na ibinigay na halaga na hindi lalampas sa 1 sa ganap na halaga.
Sa katunayan, ayon sa ibinigay na halaga ng sine, posible na bumuo ng kaukulang arko sa I at I negatibong quarters ng trigonometriko na bilog (ang radius ng trigonometriko na bilog ay palaging ituturing na katumbas ng 1). Ito ay sapat na upang maglagay ng isang segment ng halaga k sa vertical diameter (pataas para sa k>0 at pababa para sa k
Ang mga katangian 1° at 2° ay karaniwang pinagsama sa anyo ng sumusunod na conditional statement.
Sa segment - π / 2 ≤x≤ π / 2, ang sine ay tumataas mula -1 hanggang 1.
Gamit ang katulad na geometric na pangangatwiran, o gamit ang formula ng pagbabawas sin (π - x) \u003d sin x, madaling itatag na sa segment π / 2 ≤x≤ 3π / 2 (i.e., sa II at III quarters) ang sine bumababa mula 1 hanggang -1. Ang mga segment - π / 2 ≤x≤ π / 2 at π / 2 ≤x≤ 3π / 2 magkasama ay bumubuo ng isang buong bilog, ibig sabihin, takpan ang buong yugto ng sine. Ang karagdagang pag-aaral ng sine ay nagiging kalabisan, at maaari nating igiit na sa anumang segment [- π / 2 + 2kπ, π / 2 + 2kπ] ang sine ay tumataas mula -1 hanggang 1, at sa anumang segment [ π / 2 + 2kπ, 3π / 2 +2kπ] bumababa ang sine mula 1 hanggang -1. Ang sine graph ay ipinapakita sa drawing 11.
Ang pag-aaral ng cosine ay isinasagawa sa katulad na paraan. Ang mga pangunahing katangian ng cosine ay:
Ang cos x function sa segment (i.e., sa quarters I at II) ay bumababa mula 1 hanggang -1. Sa segment [π, 2π] (ibig sabihin, sa quarters III at IV), ang cosine ay tumataas mula -1 hanggang 1. Dahil sa periodicity, bumababa ang cosine mula 1 hanggang -1 sa mga segment at tumataas mula -1 hanggang 1 sa mga segment [(2k-1)π, 2kπ] (Fig. 12).
Isaalang-alang ang function na y = tg x sa pagitan (- π / 2 , π / 2).
Ang mga halaga ng hangganan ± π / 2 ay dapat na hindi kasama, dahil ang tg (± π / 2) ay hindi umiiral.
1°. Sa pagitan (- π / 2 , π / 2) ang function tg x nadadagdagan.
2°. Anuman ang tunay na bilang k, sa pagitan - - π / 2
Ang pagkakaroon at pagiging natatangi ng arc x 1 ay madaling ma-verify mula sa geometric na konstruksyon na ipinakita sa drawing 13.
Kaya, sa pagitan (- π / 2, π / 2) ang tangent ay tumataas at, na may isang solong halaga ng argumento, ay may arbitrary na ibinigay na tunay na halaga. Ang mga katangian 1° at 2° ay maikling binabalangkas bilang sumusunod na pahayag:
sa pagitan (- π / 2 , π / 2) ang padaplis ay tumataas mula -∞ hanggang ∞.
Anuman ang isang naibigay (arbitraryong malaki) positibong numero N, ang mga halaga ng tangent ay mas malaki kaysa sa N para sa lahat ng mga halaga ng x na mas mababa sa π/2 at sapat na malapit sa π/2. Sa simbolikong paraan, ang pahayag na ito ay nakasulat tulad ng sumusunod:
Para sa mga halaga ng x na higit sa - π / 2 at sapat na malapit sa - π / 2 y na mga halaga tg x
* (Kadalasan ay isinusulat nila ang tan π / 2 = ∞ at sinasabi na ang halaga ng tangent π / 2 ay ∞. Ang pahayag na ito sa kurso ng elementarya na matematika ay maaari lamang humantong sa mga katawa-tawang anti-siyentipikong ideya. Ang simbolo ∞ ay hindi isang numero at hindi maaaring isang function na halaga. Ang eksaktong kahulugan kung saan dapat gamitin ang mga simbolo ±∞ ay ipinaliwanag sa teksto.)
Ang karagdagang pag-aaral ng tangent ay hindi kailangan, dahil ang halaga ng pagitan (- π / 2, π / 2) ay katumbas ng π, ibig sabihin, ang buong panahon ng tangent. Samakatuwid, sa anumang pagitan (- π / 2 + π, π / 2 + π) ang padaplis ay tumataas mula -∞ hanggang ∞, at sa mga puntong x = (2k+1)π / 2 ito ay may katuturan. Ang tangent graph ay ipinapakita sa drawing 14.
Ang function na ctg x sa pagitan (0, π), gayundin sa bawat isa sa mga pagitan (kπ, (k+1)π) ay bumababa mula ∞ hanggang -∞, at sa mga puntong x = kπ ang cotangent ay walang kahulugan . Ang cotangent graph ay ipinapakita sa drawing 15.
