Sa pagkakaiba na sa halip na mga "flat" na mga graph, isasaalang-alang namin ang pinakakaraniwang mga spatial na ibabaw, at matutunan din kung paano wastong buuin ang mga ito sa pamamagitan ng kamay. Matagal na akong naghahanap ng mga tool sa software para sa pagbuo ng mga 3D na guhit at nakakita ako ng ilang magagandang aplikasyon, ngunit sa kabila ng lahat ng kadalian ng paggamit, ang mga programang ito ay hindi malulutas nang maayos ang isang mahalagang praktikal na isyu. Ang katotohanan ay sa nakikinita na makasaysayang hinaharap, ang mga mag-aaral ay armado pa rin ng isang ruler na may lapis, at kahit na may mataas na kalidad na "machine" na pagguhit, marami ang hindi mailipat ito nang tama sa checkered na papel. Samakatuwid, sa manwal Espesyal na atensyon binayaran sa pamamaraan ng manu-manong konstruksyon, at isang mahalagang bahagi ng mga guhit sa pahina ay isang produktong gawa sa kamay.
Paano naiiba ang sangguniang materyal na ito sa mga analogue?
Ang pagkakaroon ng disenteng praktikal na karanasan, alam na alam ko kung aling mga ibabaw ang pinakamadalas na tinatalakay sa mga tunay na problema ng mas mataas na matematika, at umaasa ako na ang artikulong ito ay makakatulong sa iyo na mabilis na mapunan ang iyong mga bagahe ng may-katuturang kaalaman at inilapat na mga kasanayan, na 90-95% na mga kaso dapat sapat na.
Ano ang kailangan mong malaman ngayon?
Ang pinaka elementarya:
Una, kailangan mong kayanin bumuo ng tama spatial na Cartesian coordinate system (tingnan ang simula ng artikulo Mga graph at katangian ng mga function) .
Ano ang mapapala mo pagkatapos basahin ang artikulong ito?
Bote Matapos ma-master ang mga materyales ng aralin, matututunan mo kung paano mabilis na matukoy ang uri ng ibabaw sa pamamagitan ng pag-andar at / o equation nito, isipin kung paano ito matatagpuan sa espasyo, at, siyempre, gumawa ng mga guhit. Okay lang kung hindi lahat ay akma sa iyong ulo mula sa 1st reading - maaari mong palaging bumalik sa anumang talata kung kinakailangan sa ibang pagkakataon.
Ang impormasyon ay nasa kapangyarihan ng lahat - upang makabisado ito, hindi mo kailangan ng anumang super-kaalaman, espesyal na artistikong talento at spatial na pananaw.
Magsimula na!
Sa pagsasagawa, ang spatial na ibabaw ay karaniwang ibinibigay function ng dalawang variable o isang equation ng form (ang pare-pareho ng kanang bahagi ay kadalasang katumbas ng zero o isa). Ang unang pagtatalaga ay mas tipikal para sa mathematical analysis, ang pangalawa - para sa analytical geometry. Ang equation, sa esensya, ay implicitly na ibinigay function ng 2 variable, na sa mga tipikal na kaso ay madaling maibaba sa anyo . Ipinaaalala ko sa iyo ang pinakasimpleng halimbawa c :
–equation ng eroplano mabait.
ay ang function ng eroplano sa tahasan .
Magsimula tayo dito:
Mga Common Plane Equation
Ang mga karaniwang opsyon para sa pag-aayos ng mga eroplano sa isang rectangular coordinate system ay tinalakay nang detalyado sa pinakadulo simula ng artikulo. Equation ng eroplano. Gayunpaman, muli nating tatalakayin ang mga equation na napakahalaga para sa pagsasanay.
Una sa lahat, kailangan mong ganap na kilalanin ang mga equation ng mga eroplano na parallel sa mga coordinate na eroplano. Ang mga fragment ng eroplano ay karaniwang inilalarawan bilang mga parihaba, na sa huling dalawang kaso ay parang mga paralelogram. Bilang default, maaari kang pumili ng anumang mga sukat (sa loob ng makatwirang mga limitasyon, siyempre), habang ito ay kanais-nais na ang punto kung saan ang coordinate axis ay "tumugos" sa eroplano ay ang sentro ng simetrya: 
Sa mahigpit na pagsasalita, ang mga coordinate axes sa ilang mga lugar ay dapat na itinatanghal na may tuldok na linya, ngunit upang maiwasan ang pagkalito, pababayaan natin ang nuance na ito.
– (kaliwang drawing) ang hindi pagkakapantay-pantay ay tumutukoy sa kalahating espasyo na pinakamalayo mula sa amin, hindi kasama ang eroplano mismo;
– (katamtamang pagguhit) ang hindi pagkakapantay-pantay ay tumutukoy sa tamang kalahating espasyo, kabilang ang eroplano;
– (kanang pagguhit) ang isang dobleng hindi pagkakapantay-pantay ay tumutukoy sa isang "layer" na matatagpuan sa pagitan ng mga eroplano , kabilang ang parehong mga eroplano.
Para sa self workout:
Halimbawa 1
Gumuhit ng isang katawan na nakatali ng mga eroplano
Bumuo ng isang sistema ng hindi pagkakapantay-pantay na tumutukoy sa ibinigay na katawan.
Ang isang matandang kakilala ay dapat lumabas mula sa ilalim ng pamumuno ng iyong lapis kuboid. Huwag kalimutan na ang hindi nakikitang mga gilid at mukha ay dapat na iguguhit na may tuldok na linya. Natapos ang pagguhit sa pagtatapos ng aralin.
pakiusap, HUWAG PAbayaan mga gawain sa pag-aaral, kahit na mukhang napakasimple ng mga ito. Kung hindi man, maaaring lumabas na napalampas nila ito nang isang beses, nakaligtaan ito ng dalawang beses, at pagkatapos ay gumugol ng isang oras sa paggiling ng isang three-dimensional na pagguhit sa ilang totoong halimbawa. Bilang karagdagan, ang gawaing mekanikal ay makakatulong upang matutunan ang materyal nang mas mahusay at bumuo ng katalinuhan! Ito ay hindi nagkataon na sa kindergarten at elementarya, ang mga bata ay puno ng pagguhit, pagmomodelo, mga taga-disenyo at iba pang mga gawain para sa mahusay na mga kasanayan sa motor ng mga daliri. Patawarin mo ako sa paglihis, ngunit ang aking dalawang notebook sa sikolohiya ng pag-unlad ay hindi dapat mawala =)
Sa kondisyon na tatawagin namin ang sumusunod na pangkat ng mga eroplano na "direktang proporsyon" - ito ang mga eroplano na dumadaan sa mga coordinate axes:
2) ang equation ng form ay tumutukoy sa isang eroplanong dumadaan sa axis;
3) ang equation ng form ay tumutukoy sa isang eroplanong dumadaan sa axis.
Bagama't halata ang pormal na tanda (aling variable ang nawawala sa equation - ang eroplano ay dumadaan sa axis na iyon), palaging kapaki-pakinabang na maunawaan ang kakanyahan ng mga kaganapang nagaganap:
Halimbawa 2
Gumawa ng Eroplano
Ano ang pinakamahusay na paraan upang bumuo? Iminumungkahi ko ang sumusunod na algorithm:
Una, muling isinulat namin ang equation sa anyo , kung saan malinaw na makikita na ang "y" ay maaaring tumagal anuman mga halaga. Inaayos namin ang halaga , iyon ay, isasaalang-alang namin ang coordinate plane . Itinakda ang mga equation spatial na linya nakahiga sa ibinigay na coordinate plane. Iguhit natin ang linyang ito sa pagguhit. Ang linya ay dumadaan sa pinanggalingan, kaya upang maitayo ito, sapat na upang makahanap ng isang punto. Hayaan . Magtabi ng isang punto at gumuhit ng isang linya.
Ngayon bumalik sa equation ng eroplano. Dahil ang "y" ay tumatagal anuman mga halaga, pagkatapos ay ang tuwid na linya na itinayo sa eroplano ay patuloy na "ginagaya" sa kaliwa at sa kanan. Ito ay kung paano nabuo ang aming eroplano, na dumadaan sa axis. Upang makumpleto ang pagguhit, sa kaliwa at sa kanan ng tuwid na linya ay nagtabi kami ng dalawang magkatulad na linya at "isara" ang simbolikong paralelogram na may nakahalang pahalang na mga segment: 
Dahil ang kundisyon ay hindi nagpataw ng karagdagang mga paghihigpit, ang fragment ng eroplano ay maaaring ilarawan nang bahagyang mas maliit o bahagyang mas malaki.
Muli, inuulit namin ang kahulugan ng spatial linear inequality gamit ang halimbawa. Paano matukoy ang kalahating espasyo na tinukoy nito? Kumuha tayo ng isang punto hindi pag-aari eroplano, halimbawa, isang punto mula sa kalahating espasyo na pinakamalapit sa amin at palitan ang mga coordinate nito sa hindi pagkakapantay-pantay:
Natanggap tamang hindi pagkakapantay-pantay, na nangangahulugan na ang hindi pagkakapantay-pantay ay tumutukoy sa mas mababa (na may paggalang sa eroplano ) kalahating espasyo, habang ang eroplano mismo ay hindi kasama sa solusyon.
Halimbawa 3
Gumawa ng mga Eroplano
a) ;
b) .
Ito ay mga gawain para sa pagtatayo ng sarili, sa kaso ng kahirapan, gumamit ng katulad na pangangatwiran. Maikling tagubilin at mga guhit sa pagtatapos ng aralin.
Sa pagsasagawa, ang mga eroplanong parallel sa axis ay pangkaraniwan. Ang isang espesyal na kaso, kapag ang eroplano ay dumaan sa axis, ay nasa talata lamang na "b", at ngayon ay susuriin natin ang isang mas pangkalahatang problema:
Halimbawa 4
Gumawa ng Eroplano
Solusyon: ang variable na "z" ay hindi tahasang lumahok sa equation, na nangangahulugan na ang eroplano ay parallel sa applicate na axis. Gamitin natin ang parehong pamamaraan tulad ng sa mga nakaraang halimbawa.
Isulat muli natin ang equation ng eroplano sa anyo 
mula sa kung saan ito ay malinaw na ang "Z" ay maaaring tumagal anuman mga halaga. Ayusin natin ito at sa "katutubong" eroplano ay gumuhit ng karaniwang "flat" na tuwid na linya. Upang maitayo ito, maginhawang kumuha ng mga reference point.
Dahil ang "Z" ay tumatagal lahat mga halaga, pagkatapos ay ang itinayong tuwid na linya ay patuloy na "nagpaparami" pataas at pababa, sa gayon ay bumubuo ng nais na eroplano 
. Maingat na gumuhit ng paralelogram na may makatwirang laki: 
handa na.
Equation ng isang eroplano sa mga segment
Ang pinakamahalagang inilapat na iba't. Kung ang lahat posibilidad pangkalahatang equation ng eroplano iba sa zero, pagkatapos ay maaari itong katawanin bilang 
, na tinatawag na equation ng eroplano sa mga segment. Malinaw, ang eroplano ay nag-intersect sa mga coordinate axes sa mga punto , at ang malaking bentahe ng naturang equation ay ang kadalian ng pagguhit:
Halimbawa 5
Gumawa ng Eroplano
Solusyon: una, binubuo namin ang equation ng eroplano sa mga segment. Itapon ang libreng termino sa kanan at hatiin ang parehong bahagi ng 12: 
Hindi, hindi ito isang typo at lahat ng bagay ay nangyayari sa kalawakan! Sinusuri namin ang iminungkahing ibabaw sa pamamagitan ng parehong paraan na ginamit kamakailan para sa mga eroplano. Muli naming isinusulat ang equation sa form 
, kung saan sumusunod na ang "Z" ay tumatagal anuman mga halaga. Nag-aayos kami at gumagawa ng isang ellipse sa eroplano. Dahil ang "Z" ay tumatagal lahat mga halaga, pagkatapos ay ang itinayong ellipse ay patuloy na "ginagaya" pataas at pababa. Ito ay madaling maunawaan na ang ibabaw walang katapusan:
Ang ibabaw na ito ay tinatawag na elliptical cylinder. Ang isang ellipse (sa anumang taas) ay tinatawag gabay cylinder, at mga parallel na linya na dumadaan sa bawat punto ng ellipse ay tinatawag pagbuo silindro (na literal na bumubuo nito). axis ay axis ng simetrya ibabaw (ngunit hindi bahagi nito!).
Ang mga coordinate ng anumang punto na kabilang sa isang ibinigay na ibabaw ay kinakailangang masiyahan ang equation 
.
Spatial ang hindi pagkakapantay-pantay ay tumutukoy sa "loob" ng walang katapusang "pipe", kabilang ang cylindrical na ibabaw mismo, at, nang naaayon, ang kabaligtaran na hindi pagkakapantay-pantay ay tumutukoy sa hanay ng mga punto sa labas ng silindro.
Sa mga praktikal na problema, ang pinakasikat na kaso ay kung kailan gabay silindro ay bilog:
Halimbawa 8
Buuin ang ibabaw na ibinigay ng equation
Imposibleng ilarawan ang isang walang katapusang "pipe", samakatuwid ang sining ay limitado, bilang panuntunan, sa "pagputol".
Una, ito ay maginhawa upang bumuo ng isang bilog ng radius sa eroplano, at pagkatapos ay isang pares ng higit pang mga bilog sa itaas at sa ibaba. Ang mga nagresultang bilog ( mga gabay silindro) na maayos na konektado sa pamamagitan ng apat na parallel na tuwid na linya ( pagbuo silindro): 
Huwag kalimutang gumamit ng mga tuldok na linya para sa mga di-nakikitang linya.
Ang mga coordinate ng anumang punto na kabilang sa isang naibigay na silindro ay nakakatugon sa equation 
. Ang mga coordinate ng anumang punto na nakahiga nang mahigpit sa loob ng "pipe" ay nakakatugon sa hindi pagkakapantay-pantay 
, at ang hindi pagkakapantay-pantay 
tumutukoy sa isang hanay ng mga punto ng panlabas na bahagi. Para sa isang mas mahusay na pag-unawa, inirerekumenda kong isaalang-alang ang ilang partikular na mga punto sa espasyo at tingnan para sa iyong sarili.
Halimbawa 9
Bumuo ng isang ibabaw at hanapin ang projection nito sa isang eroplano
Muli naming isinusulat ang equation sa form 
mula sa kung saan ito ay sumusunod na "x" tumatagal anuman mga halaga. Ayusin natin at iguhit sa eroplano bilog– nakasentro sa pinanggalingan, unit radius. Dahil ang "x" ay patuloy na tumatagal lahat mga halaga, pagkatapos ang itinayong bilog ay bubuo ng isang pabilog na silindro na may axis ng symmetry . Gumuhit ng isa pang bilog gabay silindro) at maingat na ikonekta ang mga ito sa mga tuwid na linya ( pagbuo silindro). Sa ilang mga lugar, lumitaw ang mga overlay, ngunit kung ano ang gagawin, tulad ng isang slope: 
Sa pagkakataong ito nilimitahan ko ang aking sarili sa isang piraso ng silindro sa puwang at hindi ito sinasadya. Sa pagsasagawa, madalas na kinakailangan upang ilarawan lamang ang isang maliit na fragment ng ibabaw.
Dito, sa pamamagitan ng paraan, ito ay naging 6 na generatrice - dalawang karagdagang tuwid na linya "isara" ang ibabaw mula sa kaliwang itaas at kanang ibabang sulok.
Ngayon ay haharapin natin ang projection ng silindro sa eroplano. Naiintindihan ng maraming mambabasa kung ano ang projection, ngunit, gayunpaman, gumastos tayo ng isa pang limang minutong pisikal na edukasyon. Mangyaring tumayo at ikiling ang iyong ulo sa ibabaw ng drawing upang ang dulo ng axis ay mukhang patayo sa iyong noo. Kung ano ang hitsura ng silindro mula sa anggulong ito ay ang projection nito sa eroplano. Ngunit ito ay tila isang walang katapusang strip, na nakapaloob sa pagitan ng mga tuwid na linya, kabilang ang mga tuwid na linya mismo. Ang projection na ito ay eksakto domain function (itaas na "gutter" ng silindro), (ibabang "gutter").
Sa pamamagitan ng paraan, linawin natin ang sitwasyon gamit ang mga projection sa iba pang mga coordinate na eroplano. Hayaang sumikat ang mga sinag ng araw sa silindro mula sa gilid ng dulo at sa kahabaan ng axis. Ang anino (projection) ng isang silindro papunta sa isang eroplano ay isang katulad na walang katapusan na strip - isang bahagi ng eroplano na nakatali ng mga tuwid na linya ( - anuman), kabilang ang mga tuwid na linya mismo.
Ngunit ang projection sa eroplano ay medyo naiiba. Kung titingnan mo ang silindro mula sa dulo ng axis, pagkatapos ay i-project ito sa isang bilog ng unit radius 
kung saan sinimulan namin ang pagtatayo.
Halimbawa 10
Bumuo ng isang ibabaw at hanapin ang mga projection nito sa mga coordinate na eroplano
Ito ay isang gawain para sa malayang desisyon. Kung ang kondisyon ay hindi masyadong malinaw, parisukat ang magkabilang panig at pag-aralan ang resulta; alamin kung anong bahagi ng silindro ang tinukoy ng function. Gamitin ang construction technique na paulit-ulit na ginamit sa itaas. Maikling solusyon, pagguhit at komento sa pagtatapos ng aralin.
Ang elliptical at iba pang mga cylindrical na ibabaw ay maaaring i-offset kaugnay sa mga coordinate axes, halimbawa:
(sa pamilyar na batayan ng isang artikulo tungkol sa Mga linya ng 2nd order)
- isang silindro ng unit radius na may linya ng simetrya na dumadaan sa isang punto na kahanay sa axis. Gayunpaman, sa pagsasagawa, ang mga naturang cylinder ay bihira, at ito ay ganap na hindi kapani-paniwala na matugunan ang isang cylindrical na ibabaw na "pahilig" na may paggalang sa mga coordinate axes.
Parabolic cylinders
Gaya ng ipinahihiwatig ng pangalan, gabay tulad ng isang silindro ay parabola.
Halimbawa 11
Bumuo ng isang ibabaw at hanapin ang mga projection nito sa mga coordinate planes.
Hindi mapaglabanan ang halimbawang ito =)
Solusyon: Sinusundan namin ang matapang na landas. Isulat muli natin ang equation sa form , kung saan sumusunod na ang "Z" ay maaaring kumuha ng anumang halaga. Ayusin natin at bumuo ng isang ordinaryong parabola sa eroplano, na dati ay minarkahan ang mga walang kuwentang reference point. Dahil ang "Z" ay tumatagal lahat mga halaga, pagkatapos ang ginawang parabola ay patuloy na "ginagaya" pataas at pababa hanggang sa infinity. Isinasantabi namin ang parehong parabola, sabihin, sa taas (sa eroplano) at maingat na ikinonekta ang mga ito sa mga parallel na linya ( mga generator ng silindro): 
pinaalala ko kapaki-pakinabang na pamamaraan: kung sa una ay walang tiwala sa kalidad ng pagguhit, kung gayon mas mahusay na iguhit muna ang mga linya nang manipis at manipis na may lapis. Pagkatapos ay sinusuri namin ang kalidad ng sketch, alamin ang mga lugar kung saan nakatago ang ibabaw mula sa aming mga mata, at pagkatapos lamang namin ilapat ang presyon sa stylus.
Mga projection.
1) Ang projection ng isang silindro sa isang eroplano ay isang parabola. Dapat pansinin na sa kasong ito hindi makausap mga domain ng isang function ng dalawang variable- sa kadahilanang ang equation ng cylinder ay hindi mababawasan sa functional form .
2) Ang projection ng silindro papunta sa eroplano ay isang kalahating eroplano, kabilang ang axis
3) At, sa wakas, ang projection ng silindro papunta sa eroplano ay ang buong eroplano.
Halimbawa 12
Bumuo ng parabolic cylinders:
a) , paghigpitan ang ating sarili sa isang fragment ng ibabaw sa malapit sa kalahating espasyo;
b) sa pagitan
Sa kaso ng mga kahirapan, hindi kami nagmamadali at nakikipagtalo sa pamamagitan ng pagkakatulad sa mga naunang halimbawa, sa kabutihang palad, ang teknolohiya ay lubusang naisagawa. Hindi kritikal kung ang mga ibabaw ay lumalabas na medyo malamya - mahalaga na tama na ipakita ang pangunahing larawan. Ako mismo ay hindi partikular na nag-abala sa kagandahan ng mga linya, kung nakakuha ako ng isang matitiis na pagguhit ng "C grade", kadalasan ay hindi ko ito muling ginagawa. Sa sample na solusyon, sa pamamagitan ng paraan, isa pang pamamaraan ang ginamit upang mapabuti ang kalidad ng pagguhit ;-)
Mga hyperbolic na silindro
mga gabay ang mga cylinder ay hyperbolas. Ang ganitong uri ng ibabaw, ayon sa aking mga obserbasyon, ay mas bihira kaysa sa mga naunang uri, kaya lilimitahan ko ang aking sarili sa isang solong eskematiko na pagguhit ng isang hyperbolic cylinder: 
Ang prinsipyo ng pangangatwiran dito ay eksaktong pareho - ang karaniwan hyperbole ng paaralan mula sa eroplano ay patuloy na "nagpaparami" pataas at pababa hanggang sa infinity.
Ang itinuturing na mga silindro ay nabibilang sa tinatawag na ibabaw ng 2nd order, at ngayon ay patuloy tayong makikilala sa iba pang mga kinatawan ng pangkat na ito:
Ellipsoid. Sphere at bola
Ang canonical equation ng isang ellipsoid sa isang rectangular coordinate system ay may anyo 
, nasaan ang mga positibong numero ( mga axle shaft ellipsoid), na sa pangkalahatang kaso magkaiba. Ang isang ellipsoid ay tinatawag ibabaw, at katawan napapaligiran ng ibabaw na ito. Ang katawan, gaya ng nahulaan ng marami, ay ibinibigay ng hindi pagkakapantay-pantay 
at ang mga coordinate ng anumang panloob na punto (pati na rin ang anumang ibabaw na punto) ay kinakailangang masiyahan ang hindi pagkakapantay-pantay na ito. Ang disenyo ay simetriko na may paggalang sa mga coordinate axes at coordinate planes: 
Ang pinagmulan ng salitang "ellipsoid" ay halata din: kung ang ibabaw ay "pinutol" ng mga coordinate na eroplano, kung gayon sa mga seksyon ay magkakaroon ng tatlong magkakaibang (sa pangkalahatang kaso)
Ang isang cylindrical na ibabaw ay isang ibabaw na binubuo ng lahat ng mga linya na intersecting sa isang ibinigay na linya L at parallel sa isang ibinigay na linya I. Sa kasong ito, ang linya L ay tinatawag na gabay ng cylindrical na ibabaw, at ang bawat isa sa mga linya na bumubuo sa ibabaw na ito at parallel sa linya ay tinatawag na generatrix (Fig. 89). Sa hinaharap, isasaalang-alang lamang natin ang mga cylindrical na ibabaw, ang mga gabay na kung saan ay nasa isa sa mga coordinate na eroplano, at ang mga generator ay kahanay sa coordinate axis na patayo sa eroplanong ito.
Isaalang-alang natin ang ilang linya L sa Oxy plane, na may equation sa Oxy coordinate system
Bumuo tayo ng isang cylindrical na ibabaw na may mga generator parallel sa Oz axis at ang gabay L (Larawan 90). Ipakita natin na ang equation (39) ang magiging equation ng surface na ito kung ito ay nauugnay sa coordinate system sa space . Hayaan ang anumang nakapirming punto ng itinayong cylindrical na ibabaw.
Ipahiwatig sa pamamagitan ng N ang punto ng intersection ng gabay na L at ang generatrix na dumadaan sa puntong M. Ang punto ay malinaw na magiging projection ng puntong M papunta sa eroplano. Samakatuwid, ang mga puntong M at N ay may parehong abscissa at parehong ordinate y. Ngunit ang puntong N ay nasa kurba L, at ang mga x at y na coordinate nito ay nakakatugon sa equation (39) ng kurba na ito. Samakatuwid, ang mga coordinate ng punto ay nakakatugon din sa equation na ito, dahil hindi ito naglalaman ng . Kaya, ang mga coordinate ng anumang punto ng cylindrical na ibabaw na ito ay nakakatugon sa equation (39). Ang mga coordinate ng mga puntos na hindi nakahiga sa ibabaw na ito ay hindi nakakatugon sa equation (39), dahil ang mga puntong ito ay naka-project sa isang eroplano sa labas ng curve
Kaya, ang hindi naglalaman ng equation, kung ito ay tinutukoy sa coordinate system sa espasyo, ay ang equation ng isang cylindrical surface na may mga generator na kahanay sa axis at ang gabay na L, na sa eroplano ay ibinigay ng parehong equation
Sa espasyo, ang gabay L ay tinutukoy ng isang sistema ng dalawang equation:
Sa katulad na paraan, maipapakita na ang isang equation na hindi naglalaman ng y at isang equation na hindi naglalaman ng isang equation na hindi naglalaman ay tumutukoy sa mga cylindrical na ibabaw sa espasyo ng Oxy na may mga generator na parallel sa mga axes
Isaalang-alang ang mga halimbawa ng mga cylindrical na ibabaw.
1. Ibabaw na tinukoy ng equation
ay cylindrical at tinatawag na elliptical cylinder (Fig. 91).
Ang mga generator nito ay parallel sa axis at ang gabay ay isang ellipse na may mga semi-axes a at b, na nakahiga sa eroplano. Sa partikular, kung ang gabay ay isang bilog at ang ibabaw ay isang tamang pabilog na silindro. Ang kanyang equation
2. Cylindrical na ibabaw na tinukoy ng equation
ay tinatawag na hyperbolic cylinder (Larawan 92). Ang mga generator ng ibabaw na ito ay parallel sa axis a, at ang hyperbola na matatagpuan sa eroplano na may tunay na semi-axis a at ang haka-haka na semi-axis b ay nagsisilbing gabay.
3. Cylindrical na ibabaw na tinukoy ng equation
ay tinatawag na parabolic cylinder (Larawan 93). Ang gabay nito ay isang parabola na nakahiga sa eroplano , at ang mga generator ay parallel sa Ox axis.
Magkomento. Tulad ng nalalaman, ang isang tuwid na linya sa kalawakan ay maaaring ibigay sa pamamagitan ng mga equation ng iba't ibang pares ng mga eroplano na nagsasalubong sa tuwid na linyang ito. Katulad nito, ang isang kurba sa espasyo ay maaaring tukuyin gamit ang mga equation ng iba't ibang mga ibabaw na nagsasalubong sa kurba na ito.
CYLINDRICAL SURFACES
| Pangalan ng parameter | Ibig sabihin |
| Paksa ng artikulo: | CYLINDRICAL SURFACES |
| Rubric (temang kategorya) | Math |
MGA ILAW
Hayaan ang G ay isang linya at - isang non-zero vector na hindi parallel sa eroplano ng linya Г (kung ang Г ay isang flat line.
Kahulugan 10. Cylindrical na ibabaw na may gabay na G at mga generator na kahanay sa vector , kaugalian na tawagan ang hanay ng mga punto ng lahat ng posibleng linya na kahanay sa vector at tumawid sa linya G.
Ang pangunahing problema na dapat malutas: kung paano hanapin ang equation ng isang cylindrical na ibabaw, kung ang mga equation ng linya Г at ang mga coordinate ng vector ay ibinigay .
(28)
Ito ay nananatiling ibukod ang parameter t mula sa mga equation na ito.
Nakuha namin ang mga sumusunod na patakaran para sa pag-compile ng equation ng isang cylindrical na ibabaw:
Kung ang direksyon ng cylindrical na ibabaw ay ibinibigay ng mga equation (27) at ang mga generator ay parallel sa vector , pagkatapos ay upang ipunin ang equation ng ibabaw, ito ay sapat sa mga equation (27) upang palitan ang x ng x - mt, y ng y - nt, z ng z - pt at ibukod ang parameter mula sa mga resultang equation.
Halimbawa 1 Sumulat ng isang equation para sa isang cylindrical na ibabaw, kung ang mga generator ay parallel sa vector = (3, 2, -1) at ang gabay na G ay may mga equation 
Halimbawa 2. Sumulat ng isang equation para sa isang cylindrical na ibabaw kung ang gabay ay isang linya nakahiga sa eroplano (HOY), at ang mga generator ay parallel sa axis (ОZ).
Solusyon. Ang isang vector na kahanay sa mga generator ay isang vector. Pinapalitan namin ang x sa mga equation ng gabay ng x - 0‣‣‣t, ᴛ.ᴇ. ang x ay pinalitan ng x. Katulad nito, ang y ay pinapalitan ng y. Ngunit ang z ay pinalitan ng z - t. Nakukuha namin Mula sa pangalawang equation z = t. Nangangahulugan ito na ang z ay maaaring, anuman ang x at y, na kumuha ng lahat ng posibleng tunay na halaga, at ang x at y ay nauugnay sa parehong equation f (x, y) \u003d 0, tulad ng sa equation ng gabay. Ang equation ng isang cylindrical na ibabaw sa kasong ito ay magiging f(x, y) = 0.
Bunga. Mga equation , , y 2 = 2px tukuyin ang mga cylindrical na ibabaw na may mga gabay na ellipse, hyperbola at parabola, ayon sa pagkakabanggit. Ang kanilang mga generator ay parallel sa axis (ОZ).
Kung ang gabay ng cylindrical na ibabaw ay isang linya ng pangalawang pagkakasunud-sunod, kung gayon ang ibabaw ay karaniwang tinatawag pangalawang order na silindro.
Magkomento. Bigyang-pansin ang katotohanan na ang mga equation na f(x, y) = 0, f(x, z) = 0, f(y, z) = 0, ay tumutukoy sa mga eroplano (XOY), (XOZ) at (YOZ) , ayon sa pagkakabanggit, ilang linya. Ngunit sa isang affine coordinate system sa espasyo, tinukoy nila ang mga cylinder na may mga generator na kahanay sa axis (ОZ), (ОУ) at (ОХ), ayon sa pagkakabanggit.
CYLINDRICAL SURFACES - konsepto at uri. Pag-uuri at tampok ng kategoryang "CYLINDRICAL SURFACES" 2017, 2018.
Aralin bilang 10.
Paksa:Mga ibabaw ng rebolusyon.
Mga cylindrical na ibabaw
Teoretikal na impormasyon.
1. Mga ibabaw ng rebolusyon.
Limitahan. Ang ibabaw ng rebolusyon ay isang ibabaw na nabuo sa pamamagitan ng pag-ikot ng isang linya ng eroplano sa paligid ng isang axis na nakahiga sa eroplano ng linyang ito.
Hayaan 
, pagkatapos ay maibibigay ito ng mga equation
Ang equation ng ibabaw na nabuo sa pamamagitan ng pag-ikot ng linya sa paligid ng axis Oz magiging ganito:
(1)
2. Mga cylindrical na ibabaw.
Hayaang magbigay ng ilang flat line sa espasyo at isang vector 
hindi parallel sa eroplano ng linyang ito.
Kahulugan. Ang cylindrical surface ay isang set ng mga punto sa espasyo na nakahiga sa mga tuwid na linya na kahanay ng isang vector at nag-intersect sa isang partikular na linya .
Ang linya ay tinatawag na gabay ng cylindrical na ibabaw, ang mga tuwid na linya ay tinatawag na mga generator.
Isaalang-alang ang isang espesyal na kaso: ang guide line ay nasa eroplano xOy: at ibinibigay ng mga equation: 
at ang vector ng direksyon ng mga generator ay may mga coordinate 
,
.
Sa kasong ito, ang equation ng isang cylindrical na ibabaw ay may anyo
. (2)
Kunin ang equation ng ibabaw ng rebolusyon (1).
Kunin ang equation ng isang cylindrical na ibabaw (2).
Pagsasama-sama ng equation ng ibabaw ng rebolusyon ayon sa mga equation ng gabay at axis ng rebolusyon.
Pagsasama-sama ng equation ng isang cylindrical na ibabaw ayon sa mga equation ng gabay at ang gabay na vector ng mga generator.
Mga ehersisyo.
Mga pangunahing karaniwang gawain.
Mga halimbawa ng paglutas ng problema.
Gawain 1. Sa eroplano yOz binigyan ng isang bilog na nakasentro sa punto (0; 4; 0) ng radius 1. Isulat ang equation para sa ibabaw na nabuo sa pamamagitan ng pag-ikot ng bilog na ito sa paligid ng axis Oz.
Yeshenie.
Mga equation ng isang bilog na nakahiga sa isang eroplano yOz nakasentro sa punto (0; 4; 0) ng radius 1, may anyo
(3)
Kapag ang bilog na ito ay umiikot sa paligid ng Oz axis, isang ibabaw ay nakuha, na tinatawag na torus. Hayaan M ay isang arbitrary na punto sa torus. Dumaan tayo sa punto M eroplano , patayo sa axis ng pag-ikot, i.e. mga palakol Oz, sa seksyon ay makakakuha tayo ng isang bilog. Tukuyin ang gitna ng bilog na ito P, at ang punto ng intersection ng eroplano na may bilog na bumubuo sa ibabaw ng rebolusyon ay N.
Tukuyin ang mga coordinate ng punto M(x,
y,
z), pagkatapos P(0,
0, z), habang ang N(0, 
,
z). Dahil ang mga puntong M at N ay nasa bilog na nakasentro sa punto P, pagkatapos
,
.
Isinulat namin ang huling pagkakapantay-pantay sa mga coordinate
. (4)
Ang punto N ay namamalagi sa isang bilog, sa panahon ng pag-ikot kung saan nabuo ang isang torus, na nangangahulugang ang mga coordinate nito ay dapat matugunan ang mga equation (3), isinusulat namin ang unang equation ng system (3)
,
,
.
I-square natin ang huling equation.
at palitan ang expression para sa 
mula sa pagkakapantay-pantay (4), nakukuha natin
Equation (5) ang kailangan.
Gawain 2. Sumulat ng isang equation para sa isang cylindrical na ibabaw kung ang gabay ay nasa isang eroplano xOy at may equation 
, at ang mga generator ay parallel sa vector (1; 2; –1).
Hayaan ang punto M(x,
y,
z) ay isang arbitrary na punto ng cylindrical na ibabaw. Dumaan tayo sa punto M pagbuo l, ito ay bumalandra sa gabay sa punto 
. Dahil ang gabay ay namamalagi sa eroplano xOy, pagkatapos 
. Bumuo ng mga canonical equation ng tuwid na linya l
.
Ipantay ang una at pangalawang fraction sa huli
(6)
Ang punto N ay nasa gabay, kaya ang mga coordinate nito ay nakakatugon sa equation nito:
.
Pagpapalit ng mga expression para sa 
at mula sa system (6), nakukuha namin
. (7)
(7) ay ang nais na equation.
a) isang ellipse 
;
b) mga hyperbola 
;
c) mga parabola 
.
a) Ang gabay ay nasa eroplano 
at may equation , at ang mga generator ay parallel sa vector (1; 0; 1);
b) ang gabay ay nasa eroplano yOz at may equation 
, at ang mga generator ay parallel sa axis baka;
c) ang gabay ay nasa xOz plane at isang bilog 
, at ang mga generator ay parallel sa Oy axis.
Isulat ang equation para sa isang cylindrical na ibabaw kung:
a) ang gabay ay ibinigay ng mga equation 
at ang generatrix ay parallel sa vector 
;
b) ang gabay ay ibinigay ng mga equation 
at ang generatrix ay parallel sa linya x=
y=
z.
a) 
,
,
,
M(2; 0; 1);
b) l:
,
M(2; –1; 1).
Aralin bilang 11.
Paksa:korteng kono ibabaw.
Teoretikal na impormasyon.
Hayaang magbigay ng ilang flat line at isang punto sa espasyo S hindi nakahiga sa eroplano ng linyang ito.
Kahulugan. Ang conical surface ay isang hanay ng mga punto sa espasyo na nakahiga sa mga linyang dumadaan sa isang partikular na punto. S at interseksyon sa linyang ito .
Ang linyang ay tinatawag na gabay ng conical surface, ang punto S- isang vertex, ang mga linya ay tinatawag na generators.
Isaalang-alang ang isang espesyal na kaso: ang vertex S ay tumutugma sa pinanggalingan, ang gabay na linya ay nasa isang eroplanong parallel sa eroplano xOy:
z=
c, at ibinibigay ng equation: 
.
Sa kasong ito, ang equation ng conical surface ay may anyo
. (1)
Kung ang gabay ay isang ellipse na nakasentro sa axis Oz,
pagkatapos ay makakakuha tayo ng isang ibabaw na tinatawag na isang kono ng pangalawang pagkakasunud-sunod, ang equation ng ibabaw na ito ay may anyo:
. (2)
Aksis Oz sa kasong ito ay ang axis ng kono ng pangalawang order.
Mga seksyon ng isang kono ng pangalawang pagkakasunud-sunod:
Hayaang ang eroplano ay hindi dumaan sa vertex ng kono ng pangalawang pagkakasunud-sunod, pagkatapos ay ang eroplano ay nag-intersect sa kono:
a) kasama ang isang ellipse, kung ang ay nagsalubong sa lahat ng mga generator ng kono;
b) sa pamamagitan ng hyperbola, kung ang ay parallel sa dalawang generator ng kono;
c) kasama ang isang parabola, kung ang ay parallel sa isang generatrix ng kono.
Mga ehersisyo.
Kunin ang equation ng conical surface (1).
Kunin ang pangalawang order na conic surface equation (2).
Mga pangunahing karaniwang gawain.
Pagsasama-sama ng equation ng isang conical surface sa pamamagitan ng mga coordinate ng vertex at ang equation ng gabay.
Mga halimbawa ng paglutas ng problema.
Gawain 1. Sumulat ng equation para sa conical surface na ang vertex ay nasa pinanggalingan at ang guideline ay ibinibigay ng mga equation 
Hayaan ang punto M(x,
y,
z) ay isang arbitrary na punto ng conical surface. Gumuhit tayo ng generatrix sa puntong ito l, ito ay bumalandra sa gabay sa punto 
. Isinulat namin ang mga canonical equation ng tuwid na linya l, bilang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa isang punto N at ang vertex ng kono O(0, 0, 0)
,
.
Ipahayag natin mula sa huling sistema at: 
,
. kasi tuldok N namamalagi sa gabay na conical na ibabaw, kung gayon ang mga coordinate nito ay dapat matugunan ang mga equation ng gabay:
(3)
Ipalit natin ang mga nahanap na expression sa pangalawang equation ng system (3)
,
,
,
. (4)
,
. (5)
Pinapalitan namin ang (4) at (5) sa unang equation ng system (3)
,
.
Ang resultang equation ay ang gustong equation ng conical surface.; Linear dependence mga vector. Sistema ng coordinate. Orthonormal na batayan. Linear mga operasyon sa itaas mga vector sa mga coordinate. scalar trabaho mga vector. vector trabaho mga vector ...
Programa ng trabaho ng disiplina sa Matematika (2)
Working programm... » 4 2 Mga vector. Linear mga operasyon sa itaas mga vector. batayan ng espasyo at linearly mga independiyenteng sistema mga vector. mga projection vector at mga coordinate nito. Mga cosine ng haba at direksyon. 4 2 scalar trabaho mga vector ...
Work program ng disiplina (module) Mas mataas na matematika
Working programmmga solusyon). Mga halimbawa. 9. Scalar at mga dami ng vector. Linear mga operasyon sa itaas mga vector(tatlo mga operasyon), ang kanilang mga ari-arian. Yunit vector a0. sampu...
Ang programa sa trabaho ay idinisenyo upang magtrabaho sa ika-9 na baitang ng isang komprehensibong paaralan. Ang layunin ng pagpapatupad ng prinsipyo
Working programm... paksa"Mga ugnayan sa pagitan ng mga gilid at anggulo ng isang tatsulok". 1 91 Anggulo sa pagitan mga vector. scalar trabaho mga vector. scalar trabaho mga vector sa mga coordinate. 1 kahulugan scalar gumagana mga vector ...
