Coursework: Mga espesyal na katangian ng Euler gamma function. Gamma radiation at mga katangian nito

Ang gamma rays ay mga electromagnetic oscillations ng napakataas na frequency, na nagpapalaganap sa espasyo sa bilis ng liwanag. Ang mga radiation na ito ay ibinubuga ng nucleus sa anyo ng magkahiwalay na bahagi, na tinatawag na gamma quanta o mga photon.

Ang enerhiya ng gamma quanta ay nasa saklaw mula 0.05 hanggang 5 MeV. Ang gamma radiation na may enerhiya na mas mababa sa 1 MeV ay may kondisyong tinatawag na soft radiation, at may enerhiya na higit sa 1 MeV - hard radiation.

Ang gamma radiation ay hindi isang independiyenteng uri ng radiation. Karaniwang sinasamahan ng gamma radiation ang beta decay, mas madalas ang alpha decay. Sa pamamagitan ng pag-eject ng mga alpha o beta particle, ang nucleus ay napalaya mula sa labis na enerhiya, ngunit maaari pa ring manatili sa isang nasasabik na estado. Ang paglipat mula sa nasasabik na estado hanggang sa ground state ay sinamahan ng paglabas ng gamma rays, habang ang komposisyon ng nucleus ay hindi nagbabago.

Sa hangin, ang mga gamma ray ay kumakalat sa malalayong distansya, na sinusukat sa sampu at daan-daang metro.

Ang penetrating power ng gamma rays ay 50-100 beses na mas malaki kaysa sa penetrating power ng beta particle at libu-libong beses na mas mataas kaysa sa penetrating power ng alpha particle.

Ionize ang daluyan sa panahon ng pagpasa ng gamma rays sa pamamagitan nito: lamang sa mga pangalawang electron na lumitaw bilang isang resulta ng pakikipag-ugnayan ng gamma quanta sa mga atomo ng bagay. Ang kakayahang mag-ionize ng gamma quanta ay tinutukoy ng kanilang enerhiya. Sa pangkalahatan, ang isang gamma quantum ay nagbibigay ng kasing dami ng mga pares ng mga ion gaya ng mga beta o alpha particle ng parehong enerhiya. Gayunpaman, dahil sa mas mababang pagsipsip ng mga gamma ray, ang mga ion na kanilang nabuo ay ipinamamahagi sa mas malaking distansya. Samakatuwid, ang tiyak na kapangyarihan ng pag-ionize ng mga gamma ray ay daan-daang beses na mas mababa kaysa sa tiyak na kapangyarihan ng pag-ionize ng mga beta particle, libu-libong beses na mas mababa kaysa sa tiyak na kapangyarihan ng pag-ionize ng mga particle ng alpha at umaabot sa ilang pares ng mga ion sa hangin bawat 1 cm ng landas.

Konklusyon. Ang gamma radiation ay may pinakamataas na lakas ng pagtagos kumpara sa lakas ng pagtagos ng iba pang uri ng radioactive radiation. Kasabay nito, ang gamma radiation ay may napakababang tiyak na kapasidad ng ionizing, na umaabot sa ilang pares ng mga ion sa hangin bawat 1 cm ng landas ng gamma ray.

Neutron radiation at ang mga pangunahing katangian nito

Ang neutron radiation ay isang corpuscular radiation na nangyayari sa proseso ng fission o fusion ng nuclei.

Ang mga neutron ay may malakas na nakakapinsalang epekto, dahil sila, na walang singil sa kuryente, ay madaling tumagos sa nuclei ng mga atomo na bumubuo sa mga nabubuhay na tisyu at nakuha ng mga ito.

Higit sa 99% ng kabuuang bilang ng mga neutron sa isang nuclear explosion ay inilabas sa loob ng 10 -14 s. Ang mga neutron na ito ay tinatawag na prompt. Ang natitira (mga 1%) ng mga neutron ay ibinubuga sa ibang pagkakataon ng ilang mga fission fragment sa panahon ng kanilang beta decay. Ang mga neutron na ito ay tinatawag na naantala.

Ang bilis ng pagpapalaganap ng neutron ay umaabot sa 20,000 km/h. Ang oras na kinakailangan para sa lahat ng mga neutron upang maglakbay sa distansya mula sa punto ng pagsabog hanggang sa lugar kung saan sila ay nagbabanta ng pagkawasak ay halos isang segundo pagkatapos ng sandali ng pagsabog.

Depende sa enerhiya, ang mga neutron ay inuri bilang mga sumusunod:

mabagal na neutron 0-0.1 keV;

intermediate energy neutrons 0.1-20 keV;

mabilis na mga neutron 20 keV-10 MeV;

mataas na enerhiya na mga neutron na higit sa 10 MeV.

Thermal neutrons - mga neutron na nasa thermal equilibrium sa kapaligiran (na may enerhiya na hindi hihigit sa 1 eV), ay kasama sa rehiyon ng mabagal na neutron.

Ang pagpasa ng mga neutron sa bagay ay sinamahan ng isang pagpapahina ng kanilang intensity. Ang pagpapahina na ito ay dahil sa pakikipag-ugnayan ng mga neutron sa nuclei ng mga atomo ng bagay.

x-ray radiation

Ang mga X-ray ay ginagawa kapag ang mga mabibilis na electron ay binomba ang mga solidong target. Ang X-ray tube ay isang evacuated balloon na may ilang electrodes (Larawan 1.2). Ang kasalukuyang pinainit na cathode K ay nagsisilbing pinagmumulan ng mga libreng electron na ibinubuga dahil sa thermionic emission. Ang cylindrical electrode Z ay idinisenyo para sa pagtutok ng electron beam.

Ang target ay ang anode A, na tinatawag ding anticathode. Ito ay gawa sa mabibigat na metal (W, C. Pt, atbp.). Ang mga electron ay pinabilis ng isang mataas na boltahe na nabuo sa pagitan ng cathode at anticathode. Halos lahat ng enerhiya ng mga electron ay inilabas sa anticathode sa anyo ng init (1-3% lamang ng enerhiya ang na-convert sa radiation).

Sa sandaling nasa substansiya ng anticathode, ang mga electron ay nakakaranas ng malakas na pagbabawas ng bilis at nagiging pinagmumulan ng mga electromagnetic wave.

Sa isang sapat na mataas na bilis ng elektron, bilang karagdagan sa bremsstrahlung (ibig sabihin, radiation na dulot ng pagbabawas ng bilis ng elektron), ang katangian ng radiation ay nasasabik din (na sanhi ng paggulo ng mga panloob na shell ng elektron ng mga atomo ng anticathode).

Ang intensity ng X-ray radiation ay maaaring masukat sa parehong antas ng photographic action at sa pamamagitan ng ionization na ginagawa nito sa gaseous media, lalo na sa hangin. * Kung mas matindi ang radiation, mas maraming ionization ang nagagawa nito. Ayon sa mekanismo ng pakikipag-ugnayan sa bagay, ang mga x-ray ay katulad ng y-radiation. Ang wavelength ng X-ray radiation ay 10 -10 -10 -6 cm, gamma radiation -10-9 cm at mas mababa.

Sa kasalukuyan, ang mga x-ray ay ginagamit bilang isang tool sa pagkontrol. Sa tulong ng mga x-ray, kinokontrol nila ang kalidad ng hinang, ang pagkakapareho ng mga kaukulang produkto, atbp. Sa gamot, ang mga x-ray ay malawakang ginagamit para sa pagsusuri, at sa ilang mga kaso bilang isang paraan ng pag-impluwensya sa mga selula ng kanser.

Lecture No. 11 (2 lecture ang pwedeng gawin)

Ang GAMMA FUNCTION, ang G-function, ay isang transendental function na T(z) na nagpapalaganap ng mga halaga ng factorial z! para sa kaso ng anumang kumplikadong z ≠ 0, -1, -2, .... G.-f. ipinakilala ni L. Euler [(L. Euler), 1729, sulat kay Ch. Goldbach] gamit ang walang katapusang produkto

kung saan nakuha ni L. Euler ang isang integral na representasyon (isang Euler integral ng pangalawang uri)

true para sa Re z > 0. Ang polysemy ng function na x z-1 ay inalis ng formula x z-1 = e (z-1)ln x na may real ln x. Pagtatalaga Г(z) at mga pangalan. G.-f. ay iminungkahi ni A. M. Legendre (A. M. Legendre, 1814).

Sa buong z-plane na may mga ejected point z = 0, -1, -2, ... para sa G.-f. valid ang integral na representasyon ng Hankel:

kung saan s z-1 = e (z-1)ln s , at ln s ay isang sangay ng logarithm, kung saan 0

Mga pangunahing ugnayan at katangian ng G.-f.

1) Euler functional equation:

zГ(z) = Г(z + 1),

G(1) = 1, G(n + 1) = n!, kung ang n > 0 ay isang integer, habang nagbibilang ng 0! = Г(1) = 1.

2) Euler's complement formula:

Г(z)Г(1 - z) = π/sin πz.

Sa partikular,

kung ang n > 0 ay isang integer, kung gayon

y ay totoo.

3) Gauss multiplication formula:

Para sa m = 2, ito ang formula ng pagdodoble ng Legendre.

4) Kapag Re z ≥ δ > 0 o |Im z| ≥ δ > 0, ang asymptotic pagpapalawak ng ln Г(z) sa isang serye ng Stirling:

kung saan ang B 2n ay mga numero ng Bernoulli. Ano ang ipinahihiwatig ng pagkakapantay-pantay?

Sa partikular,

Mas tumpak ang formula ni Sonin:

5) Sa totoong lugar G(x) > 0 para sa x > 0 at kumukuha ng sign (-1) k + 1 sa mga seksyon -k - 1

ГГ "" > Г" 2 ≥ 0,

ibig sabihin, lahat ng sangay parehong |Г(x)| at ln |Г(х)| ay mga convex function. Ang ari-arian ay logarithmic. ang convexity ay tumutukoy sa G.-f. sa lahat ng mga solusyon ng functional equation

G(1 + x) = xG(x)

hanggang sa isang pare-parehong kadahilanan.

kanin. 2. Graph ng function na y \u003d G (x).

Para sa positibong x G.-f. ay may isang solong minimum sa x = 1.4616321... katumbas ng 0.885603... . Lokal na minima ng function |Г(х)| bilang x → -∞ bumubuo sila ng isang sequence na may posibilidad na zero.

kanin. 3. Graph ng function na 1/Г(x).

6) Sa kumplikadong domain, para sa Re z > 0, G.-f. mabilis na bumababa bilang |Im z| → -∞

7) Ang function na 1/Г(z) (tingnan ang Fig. 3) ay isang buong function ng 1st order ng maximum na uri, at asymptotically bilang Г → ∞

log М(r) ~ r log r,

Maaari itong katawanin ng isang walang katapusang produkto ng Weierstrass:

ganap at pare-parehong nagtatagpo sa anumang compact set ng complex plane (dito ang C-Euler constant). Ang integral na representasyon ng Hankel ay wasto:

kung saan ang circuit C * ay ipinapakita sa fig. apat.

Mga integral na representasyon para sa mga antas ng G.-f. ay nakuha ni G. F. Vorony.

Sa mga aplikasyon, ang tinatawag na polygamma function na kth derivatives ng ln Г(z). Function (ψ-Gauss function)

ay meromorphic, may mga simpleng pole sa mga puntos na z = 0,-1,_-2, ... at natutugunan ang functional equation

ψ(z + 1) - ψ(z) = 1/z.

Mula sa representasyong ψ(z) para sa |z|

ang formula na ito ay kapaki-pakinabang para sa pagkalkula ng Г(z) sa paligid ng puntong z = 1.

Para sa iba pang polygamma function, tingnan ang . Ang hindi kumpletong gamma function ay tinutukoy ng pagkakapantay-pantay

Ang mga function Г(z), ψ(z) ay transendental function na hindi nakakatugon sa anumang linear differential equation na may rational coefficients (Hölder's theorem).

Ang eksklusibong papel ni G.-f. sa math. ang pagsusuri ay tinutukoy ng katotohanan na sa tulong ni G.-f. isang malaking bilang ng mga tiyak na integral, walang katapusan na mga produkto, at mga kabuuan ng mga serye ay ipinahayag (tingnan, halimbawa, ang Beta function). Bukod dito, si G.-f. nakakahanap ng malawak na aplikasyon sa teorya ng mga espesyal na function (hypergeometric function, kung saan ang G.-f. ay ang limiting case, cylindrical function, atbp.), sa analytic. teorya ng numero, atbp.

Lit.: Whittaker E. T., Watson J. N., Isang kurso sa modernong pagsusuri, trans. mula sa English, tomo 2, 2nd ed., M., 1963; Bateman G., Erdeyi A., Mas mataas na transendental na function Hypergeometric function. Legendre function, trans. mula sa English, M., 1965; Bourbaki N., Mga Pag-andar ng isang tunay na variable. Teoryang Elementarya, trans. mula sa French, Moscow, 1965; Pagsusuri sa matematika. Functions, Limits, Series, Continued Fractions, (Reference Mathematical Library), M., 1961; Nielsen N. Handbuch der Theorie der Gamma-funktion, Lpz., 1906; Sonin N. Ya., Mga pag-aaral sa cylindrical function at mga espesyal na polynomial, Moscow, 1954; Voronoi G.F., Sobr. soch., tomo 2, K., 1952, p. 53-62; Janke E., Emde F., Lesh F., Mga espesyal na function. Mga formula, graph, talahanayan, trans. mula sa German, 2nd ed., M., 1968; Ango A., Mathematics para sa mga electrical at radio engineer, trans. mula sa French, 2nd ed., M., 1967.

L. P. Kuptsov.

Mga pinagmumulan:

Mathematical Encyclopedia. T. 1 (A - D). Ed. collegium: I. M. Vinogradov (punong editor) [at iba pa] - M., "Soviet Encyclopedia", 1977, 1152 stb. mula sa sakit.

Ang paliwanag na tala sa gawaing kurso ay ginawa sa halagang 36 na mga sheet. Naglalaman ito ng isang talahanayan ng mga halaga ng gamma function para sa ilang mga halaga ng mga variable at mga teksto ng programa para sa pagkalkula ng mga halaga ng gamma function at para sa pag-plot, pati na rin ang 2 mga numero.

7 mapagkukunan ang ginamit sa pagsulat ng term paper.

Panimula

Magtalaga ng isang espesyal na klase ng mga function, na kinakatawan sa anyo ng wasto o hindi wastong integral, na nakasalalay hindi lamang sa pormal na variable, kundi pati na rin sa parameter.

Ang mga naturang function ay tinatawag na parameter dependent integrals. Kabilang dito ang Euler gamma at beta function.

Ang mga beta function ay kinakatawan ng Euler integral ng unang uri:

Ang gamma function ay kinakatawan ng Euler integral ng pangalawang uri:

Ang gamma function ay isa sa pinakasimpleng at pinaka makabuluhang mga espesyal na pag-andar, ang kaalaman sa mga katangian ng kung saan ay kinakailangan para sa pag-aaral ng maraming iba pang mga espesyal na pag-andar, halimbawa, cylindrical, hypergeometric at iba pa.

Salamat sa pagpapakilala nito, ang aming mga kakayahan sa pagkalkula ng mga integral ay makabuluhang pinalawak. Kahit na sa mga kaso kung saan ang panghuling formula ay hindi naglalaman ng mga function maliban sa mga elementarya, ang pagkuha nito ay kadalasang ginagawang mas madaling gamitin ang function na Г, kahit man lang sa mga intermediate na kalkulasyon.

Ang mga integral ng Euler ay mahusay na pinag-aralan na hindi pang-elementarya na mga function. Ang problema ay itinuturing na lutasin kung ito ay nabawasan sa pagkalkula ng Euler integrals.

1. Beta function i euler

Ang mga beta function ay tinutukoy ng Euler integral ng unang uri:

=(1.1)

Ito ay kumakatawan sa isang function ng dalawang variable na mga parameter

at : function B. Kung ang mga parameter na ito ay nakakatugon sa mga kundisyon at , kung gayon ang integral (1.1) ay magiging isang hindi wastong integral depende sa mga parameter at , at ang mga singular na punto ng integral na ito ay ang mga puntos at

Integral (1.1) converge para sa

.Ipagpalagay na makuha natin ang: = -

i.e. argumento

at ipasok ang simetriko. Isinasaalang-alang ang pagkakakilanlan

sa pamamagitan ng integration formula na mayroon tayo

Saan tayo kukuha

Para sa integer b = n, sunud-sunod na paglalapat (1.2)

para sa integer

= m,= n, mayroon kami

ngunit B(1,1) = 1, kaya:

Naglagay kami ng (1.1)

.Dahil ang graph ng function

simetriko na may paggalang sa isang tuwid na linya, pagkatapos

at bilang resulta ng pagpapalit

, nakukuha namin

setting sa (1.1)

, kung saan , nakukuha natin

paghahati ng integral sa dalawa mula 0 hanggang 1 at mula 1 hanggang

at paglalapat ng pagpapalit sa pangalawang integral, nakukuha natin

2. Gamma function

2.1 Kahulugan

Ang tandang padamdam sa mga gawaing matematika ay karaniwang nangangahulugan ng pagkuha ng factorial ng ilang hindi negatibong integer:

n! = 1 2 3 ... n.

Ang factorial function ay maaari ding isulat bilang recursion relation:

(n+1)! = (n+1) n!.

Ang kaugnayan na ito ay maaaring isaalang-alang hindi lamang para sa mga integer na halaga ng n.

Isaalang-alang ang difference equation

Sa kabila ng simpleng notasyon, hindi malulutas ang equation na ito sa mga elementary function. Ang solusyon nito ay tinatawag na gamma function. Ang gamma function ay maaaring isulat bilang isang serye o bilang isang integral. Upang pag-aralan ang mga pandaigdigang katangian ng gamma function, kadalasang ginagamit ang integral na representasyon.

2.2 integral na representasyon

Magpatuloy tayo sa paglutas ng equation na ito. Maghahanap kami ng solusyon sa anyo ng integral ng Laplace:

Sa kasong ito, ang kanang bahagi ng equation (2.1) ay maaaring isulat bilang:

Ang formula na ito ay wasto kung may mga limitasyon para sa di-integral na termino. Hindi namin alam muna ang pag-uugali ng larawan [(G)\tilde](p) bilang p®±¥. Ipagpalagay natin na ang imahe ng gamma function ay tulad na ang termino sa labas ng integral ay katumbas ng zero. Matapos mahanap ang solusyon, kakailanganing suriin kung totoo ang pagpapalagay tungkol sa di-integral na termino, kung hindi, kakailanganin nating hanapin ang G(z) sa ibang paraan.

abstract

Ang layunin ng gawaing kursong ito ay pag-aralan ang mga espesyal na katangian ng Euler Gamma function. Sa kurso ng trabaho, ang Gamma function, ang mga pangunahing katangian nito ay pinag-aralan, at isang algorithm ng pagkalkula ay pinagsama-sama na may iba't ibang antas ng katumpakan. Ang algorithm ay isinulat sa isang mataas na antas ng wika - C. Ang resulta ng programa ay inihambing sa talahanayan. Walang nakitang mga pagkakaiba sa mga halaga.

7 mapagkukunan ang ginamit sa pagsulat ng term paper.

Panimula

Magtalaga ng isang espesyal na klase ng mga function, na kinakatawan sa anyo ng wasto o hindi wastong integral, na nakasalalay hindi lamang sa pormal na variable, kundi pati na rin sa parameter.

Ang mga naturang function ay tinatawag na parameter dependent integrals. Kabilang dito ang Euler gamma at beta function.

Ang mga beta function ay kinakatawan ng Euler integral ng unang uri:

Ang gamma function ay kinakatawan ng Euler integral ng pangalawang uri:

Ang mga integral ng Euler ay mahusay na pinag-aralan na hindi pang-elementarya na mga function. Ang problema ay itinuturing na lutasin kung ito ay nabawasan sa pagkalkula ng Euler integrals.

1. Beta function i euler

Ang mga beta function ay tinutukoy ng Euler integral ng unang uri:

Ito ay kumakatawan sa isang function ng dalawang variable na mga parameter at : isang function B. Kung ang mga parameter na ito ay nakakatugon sa mga kundisyon at , kung gayon ang integral (1.1) ay magiging isang hindi wastong integral depende sa mga parameter at , at ang mga singular na punto ng integral na ito ay ang mga puntos at

Ang integral (1.1) ay nagtatagpo sa . Ipagpalagay na makuha natin ang:

= - =

i.e. argumento at ipasok ang simetriko. Isinasaalang-alang ang pagkakakilanlan

sa pamamagitan ng integration formula na mayroon tayo

Saan tayo kukuha

Para sa integer b = n, sunud-sunod na paglalapat (1.2)

para sa mga integer = m, = n, mayroon kami

ngunit B(1,1) = 1, kaya:

Inilagay namin sa (1.1) .Dahil ang graph ng function simetriko na may paggalang sa isang tuwid na linya, pagkatapos

at bilang resulta ng pagpapalit, nakukuha natin

sa pag-aakalang sa (1.1) , kung saan , nakukuha natin

paghahati ng integral sa dalawa sa hanay mula 0 hanggang 1 at mula 1 hanggang at paglalapat ng substitution integral sa pangalawang integral, nakukuha natin

2. Gamma function

2.1 Kahulugan

Ang tandang padamdam sa mga gawaing matematika ay karaniwang nangangahulugan ng pagkuha ng factorial ng ilang hindi negatibong integer:

n! = 1 2 3 ... n.

Ang factorial function ay maaari ding isulat bilang recursion relation:

(n+1)! = (n+1) n!.

Ang kaugnayan na ito ay maaaring isaalang-alang hindi lamang para sa mga integer na halaga ng n.

Isaalang-alang ang difference equation

2.2 integral na representasyon

Magpatuloy tayo sa paglutas ng equation na ito. Maghahanap kami ng solusyon sa anyo ng integral ng Laplace:

Sa kasong ito, ang kanang bahagi ng equation (2.1) ay maaaring isulat bilang:

Ang kaliwang bahagi ng pagkakapantay-pantay (2.1) ay nakasulat tulad ng sumusunod:

Pagkatapos ang equation (2.1) para sa imahe ng gamma function ay may anyo:

Ang equation na ito ay madaling lutasin:

Madaling makita na ang nahanap na function [(Γ)\tilde](p) ay sa katunayan na ang di-integral na termino sa formula (2.2) ay katumbas ng zero.

Alam ang imahe ng gamma function, madaling makakuha ng expression para sa preimage:

Ito ay isang non-canonical formula, upang dalhin ito sa form na nakuha ni Euler, kinakailangan upang baguhin ang integration variable: t = exp(-p), pagkatapos ay ang integral ay kukuha ng form:

Ang pare-parehong C ay pinili upang para sa mga integer na halaga ng z ang gamma function ay tumutugma sa factorial function: Г(n+1) = n!, pagkatapos:

kaya C = 1. Sa wakas, nakuha namin ang Euler formula para sa gamma function:

Ang pagpapaandar na ito ay karaniwan sa mga tekstong matematika. Kapag nagtatrabaho sa mga espesyal na function, marahil ay mas madalas kaysa sa isang tandang padamdam.

Maaari mong suriin na ang function na tinukoy ng formula (2.3) ay talagang nakakatugon sa equation (2.1) sa pamamagitan ng pagsasama ng integral sa kanang bahagi ng formula na ito sa pamamagitan ng mga bahagi:

2.3 Domain at mga pole

Sa integrand ng integral (2.3) sa , ang exponent exp( -tz) para kay R( z) > 0 ay bumaba nang mas mabilis kaysa sa algebraic function na lumalaki t(z-1) . Ang singularity sa zero ay integrable, kaya ang hindi wastong integral sa (2.3) ay ganap na nagtatagpo at pare-pareho para sa R (z) > 0. Bukod dito, sa pamamagitan ng sunud-sunod na pagkita ng kaibhan patungkol sa parameter z madaling i-verify na G( z) ay isang holomorphic function para sa R ( z) > 0. Gayunpaman, ang hindi kaangkupan ng integral na representasyon (2.3) para sa R ( z) 0 ay hindi nangangahulugan na ang gamma function mismo ay hindi tinukoy doon - ang solusyon ng equation (2.1).

Isaalang-alang natin ang pag-uugali ng Г(z) sa isang lugar na zero. Upang gawin ito, isipin natin:

kung saan ay isang holomorphic function sa kapitbahayan z = 0. Mula sa formula (2.1) ito ay sumusunod:

ibig sabihin, ang Г(z) ay may first-order pole sa z = 0.

Madali din itong makuha:

iyon ay, sa isang kapitbahayan ng punto, ang function na Г( z) ay mayroon ding first-order pole.

Sa parehong paraan, maaari mong makuha ang formula:

Ito ay sumusunod mula sa formula na ito na ang mga puntos na z = 0,-1,-2,... ay mga simpleng pole ng gamma function at ang function na ito ay walang ibang mga pole sa totoong axis. Madaling kalkulahin ang nalalabi sa puntong z = -n, n = 0,1,2,...:

2.4 Ang representasyon ng Hankel sa pamamagitan ng loop integral

Alamin kung ang gamma function ay may mga zero. Upang gawin ito, isaalang-alang ang pag-andar

Ang mga pole ng function na ito ay ang mga zero ng function na Г(z).

Equation ng pagkakaiba para sa I( z) ay madaling makuha gamit ang expression para sa Г( z):

Ang expression para sa paglutas ng equation na ito sa anyo ng isang integral ay maaaring makuha sa parehong paraan kung paano nakuha ang integral expression para sa gamma function - sa pamamagitan ng Laplace transform. Nasa ibaba ang mga kalkulasyon. Ni pareho sa talata 1). At  ang integral ay magiging mga puntos ________________________________________________________________________________

Pagkatapos paghiwalayin ang mga variable, nakukuha namin ang:

Pagkatapos ng pagsasama, nakukuha namin ang:

Ang pagpasa sa Laplace preimage ay nagbibigay ng:

Sa resultang integral, gumawa kami ng pagbabago sa variable ng integration:

Pagkatapos

Mahalagang tandaan dito na ang integrand para sa mga hindi integer na halaga z may branch point t= 0. Sa kumplikadong eroplano ng variable t Gumuhit tayo ng isang hiwa kasama ang negatibong totoong semiaxis. Kinakatawan namin ang integral sa kahabaan ng semiaxis na ito bilang kabuuan ng integral sa itaas na bahagi ng seksyong ito mula hanggang 0 at ang integral mula 0 hanggang sa kahabaan ng ibabang bahagi ng seksyon. Upang ang integral ay hindi dumaan sa punto ng sangay, ayusin namin ang isang loop sa paligid nito.

Fig1: Loop sa integral na representasyon ng Hankel.

Bilang resulta, nakukuha namin ang:

Upang malaman ang halaga ng pare-pareho, tandaan na I(1) = 1, sa kabilang banda:

integral na representasyon

ay tinatawag na representasyon ng Hankel na may paggalang sa loop.

Madaling makita na ang function na 1/Γ( z) ay walang mga pole sa kumplikadong eroplano, kaya ang gamma function ay walang mga zero.

Gamit ang integral na representasyong ito, makakakuha ang isa ng formula para sa produkto ng gamma function. Upang gawin ito, sa integral gagawa kami ng pagbabago ng variable , pagkatapos:

2.5 Euler limit form

Ang gamma function ay maaaring katawanin bilang isang walang katapusan na produkto. Ito ay makikita kung sa integral (2.3) ay kinakatawan natin

Kung gayon ang integral na representasyon ng gamma function ay:

Sa formula na ito, maaari nating baguhin ang mga limitasyon - ang limitasyon ng pagsasama sa hindi wastong integral at ang limitasyon para sa loob ng integral. Narito ang resulta:

Kunin natin ang integral na ito sa pamamagitan ng mga bahagi:

Kung gagawin natin ang pamamaraang ito ng n beses, makakakuha tayo ng:

Ang pagpasa sa limitasyon, makuha namin ang form ng limitasyon ng Euler para sa gamma function:

2.6 Formula para sa produkto

Sa ibaba ay kailangan namin ng isang formula kung saan ang produkto ng dalawang gamma function ay kinakatawan sa pamamagitan ng isang gamma function. Nakukuha namin ang formula na ito gamit ang integral na representasyon ng mga gamma function.

Kinakatawan namin ang inuulit na integral bilang dobleng hindi wastong integral. Magagawa ito gamit ang teorama ni Fubini. Bilang resulta, nakukuha namin ang:

Ang hindi wastong integral ay pare-parehong nagtatagpo. Maaari itong isaalang-alang, halimbawa, bilang isang integral sa ibabaw ng isang tatsulok na nililimitahan ng mga coordinate axes at isang tuwid na linya x + y = R sa R. Sa double integral, gumawa kami ng pagbabago ng mga variable:

Jacobian ng kapalit na ito

Mga limitasyon sa pagsasama: u mga pagbabago mula 0 hanggang ∞, v habang nagbabago mula 0 hanggang 1. Bilang resulta, nakukuha namin ang:

Muli naming isinulat muli ang integral na ito bilang isang paulit-ulit, bilang isang resulta, nakukuha namin ang:

kung saan si R p> 0, R v > 0.

2. Derivative ng gamma function

integral

nagtatagpo para sa bawat isa, dahil , at ang integral sa converges.

Sa rehiyon kung saan mayroong isang arbitrary na positibong numero, ang integral na ito ay pare-parehong nagtatagpo, dahil at maaari nating ilapat ang pagsubok sa Weirstrass. Ang buong integral ay convergent din para sa lahat ng mga halaga dahil ang pangalawang termino sa kanang bahagi ay isang integral na tiyak na nagtatagpo para sa alinman. Madaling makita na ang integral ay nagtatagpo sa anumang domain kung saan arbitrary. Wasto para sa lahat ng tinukoy na halaga at para sa lahat, at mula noon nagtatagpo, pagkatapos ay nasiyahan ang mga kondisyon ng pamantayan ng Weierstrass. Kaya, sa lugar integral nagtatagpo nang pantay-pantay.

Ito ay nagpapahiwatig ng pagpapatuloy ng gamma function sa. Patunayan natin ang pagkakaiba-iba ng function na ito sa . Tandaan na ang function ay tuluy-tuloy para sa at, at ipinapakita namin na ang integral:

pare-parehong nagtatagpo sa bawat segment, . Pumili tayo ng numero upang ; pagkatapos ay para sa . Samakatuwid, mayroong isang bilang na ganoon at para sa. Ngunit pagkatapos ay ang hindi pagkakapantay-pantay ay humahawak para sa

at dahil ang integral ay nagtatagpo, ang integral pare-parehong nagtatagpo sa paggalang sa . Katulad nito, dahil mayroong isang bilang na para sa lahat ng hindi pagkakapantay-pantay . Sa ganyan at lahat ng makukuha natin , kung saan, sa pamamagitan ng criterion ng paghahambing, ito ay sumusunod na ang integral pare-parehong nagtatagpo sa paggalang sa . Panghuli, ang integral

kung saan ang integrand ay tuloy-tuloy sa domain

Malinaw, nagtatagpo ng pantay na may paggalang sa . Kaya, para sa integral

pare-parehong nagtatagpo, at, dahil dito, ang gamma function ay walang katapusang pagkakaiba-iba para sa anuman at ang pagkakapantay-pantay

Tungkol sa integral, maaari nating ulitin ang parehong pangangatwiran at tapusin iyon

Ito ay pinatunayan sa pamamagitan ng induction na ang Γ-function ay walang hanggan na pagkakaiba-iba at ang i-th derivative nito ay nakakatugon sa pagkakapantay-pantay.

Pag-aralan natin ngayon ang pag-uugali - mga function at bumuo ng sketch ng graph nito. (Tingnan ang Appendix 1)

Ito ay makikita mula sa expression para sa pangalawang derivative ng -function na para sa lahat . Samakatuwid, ito ay tumataas. Dahil , pagkatapos, sa pamamagitan ng Role theorem sa segment, ang derivative para sa at para sa , ibig sabihin, ay bumababa nang monotonically sa at monotonically tumataas sa . Dagdag pa, dahil , pagkatapos ay sa . Para sa , ito ay sumusunod mula sa formula na para sa .

Pagkakapantay-pantay , wasto para sa , ay maaaring gamitin kapag pinalawak ang -function sa isang negatibong halaga.

Ilagay natin para diyan . Ang kanang bahagi ng pagkakapantay-pantay na ito ay tinukoy para sa mula sa (-1,0) . Nakuha namin na ang function ay nagpatuloy sa ganitong paraan ay tumatagal sa (-1,0) mga negatibong halaga at sa , pati na rin sa function .

Ang pagkakaroon ng pagtukoy sa ganitong paraan sa , maaari nating ipagpatuloy ito sa pagitan (-2,-1) gamit ang parehong formula. Sa agwat na ito, ang pagpapatuloy ay magiging isang function na kumukuha ng mga positibong halaga at tulad na para sa at . Sa pagpapatuloy ng prosesong ito, tinutukoy namin ang isang function na may mga discontinuities sa mga integer point (Tingnan ang Appendix 1.)

Tandaan muli na ang integral

Tinutukoy ang Γ-function lamang para sa mga positibong halaga ng , ang pagpapatuloy sa mga negatibong halaga ay isinasagawa namin nang pormal gamit ang formula ng pagbawas .

4. Pagkalkula ng ilang integral.

Stirling formula

Ilapat natin ang gamma function sa pagkalkula ng integral:

kung saan ang m > -1,n > -1. Ipagpalagay na , mayroon kami

at batay sa (2.8) mayroon tayo

Sa integral

Kung saan ang k > -1,n > 0, sapat na itong ilagay

integral

Kung saan ang s > 0, palawakin sa serye

nasaan ang Riemann zetta function

Isaalang-alang ang hindi kumpletong gamma function (Prim functions)

nakatali sa hindi pagkakapantay-pantay

Lumalawak, sunod-sunod na mayroon kami

Bumaling sa derivation ng Stirling formula, na nagbibigay, sa partikular, ng tinatayang halaga ng n! para sa malalaking halaga ng n , isaalang-alang muna ang pantulong na function

(4.2)

Ang tuluy-tuloy sa pagitan (-1,) monotonically ay tumataas mula hanggang kapag nagbabago mula sa hanggang at nagiging 0 sa u = 0. Dahil

At kaya ang derivative ay tuloy-tuloy at positibo sa buong pagitan, natutugunan ang kundisyon

Ito ay sumusunod mula sa itaas na mayroong isang kabaligtaran na function na tinukoy sa isang agwat na tuluy-tuloy at monotonikong tumataas sa pagitan na ito,

Lumiko sa 0 sa v=0 at nagbibigay-kasiyahan sa kondisyon

Kinukuha namin ang formula ng Stirling mula sa pagkakapantay-pantay

assuming meron tayo

sa pag-aakalang sa dulo, nakukuha namin

sa limitasyon sa i.e. sa (tingnan ang 4.3)

saan nagmula ang formula ni Stirling

na maaaring kunin sa anyo

kung saan sa

para ipagpalagay na sapat na malaki

ang pagkalkula ay ginawa gamit ang logarithms

kung ang isang positibong integer, kung gayon (4.5) ay nagiging isang tinatayang formula para sa pagkalkula ng mga factorial para sa malalaking halaga ng n

nagbibigay kami nang walang derivation ng isang mas tumpak na formula

kung saan sa panaklong ay isang serye na hindi nagtatagpo.

5. Mga halimbawa ng pagkalkula ng mga integral

Kinakailangan ang mga formula upang makalkula:

G()

Kalkulahin ang Integrals

PRAKTIKAL NA BAHAGI

Upang kalkulahin ang gamma function, isang approximation ng logarithm nito ang ginagamit. Upang tantiyahin ang gamma function sa interval x>0, ang sumusunod na formula ay ginagamit (para sa complex z):

Г(z+1)=(z+g+0.5) z+0.5 exp(-(z+g+0.5))

Ang formula na ito ay katulad ng pagtatantya ni Stirling, ngunit mayroon itong serye ng pagwawasto. Para sa mga halaga g=5 at n=6, ito ay nasuri na ang error ε hindi hihigit sa 2*10 -10 . Bukod dito, ang error ay hindi lalampas sa halagang ito sa buong kanang kalahati ng kumplikadong eroplano: z > 0.

Upang makuha ang (tunay) gamma function sa interval x>0, ang recursive formula Г(z+1)=zГ(z) at ang approximation sa itaas na Г(z+1) ay ginagamit. Bilang karagdagan, makikita na ito ay mas maginhawa upang tantiyahin ang logarithm ng gamma function kaysa sa gamma function mismo. Una, ito ay mangangailangan ng pagtawag lamang ng isang mathematical function - ang logarithm, at hindi dalawa - ang exponent at ang degree (ang huli ay gumagamit pa rin ng tawag ng logarithm), at pangalawa, ang gamma function ay mabilis na lumalaki para sa malaking x, at ang tinatanggal ng pagtatantya ng logarithm ang mga isyu sa overflow.

Upang tantiyahin ang Ln(Г(х) - ang logarithm ng gamma function - ang formula ay nakuha:

log(G(x))=(x+0.5)log(x+5.5)-(x+5.5)+

log(C 0 (C 1 +C 2 /(x+1)+C 3 /(x+2)+...+C 7 /(x+8))/x)

Mga halaga ng koepisyent Ck- tabular data (tingnan sa programa).

Ang gamma function mismo ay nakuha mula sa logarithm nito sa pamamagitan ng pagkuha ng exponent.

Konklusyon

Ang gamma function ay isang maginhawang tool para sa pagkalkula ng ilang integral, lalo na sa marami sa mga integral na iyon na hindi kinakatawan sa elementarya na function.

Dahil dito, malawakang ginagamit ang mga ito sa matematika at mga aplikasyon nito, sa mechanics, thermodynamics, at iba pang sangay ng modernong agham.

Bibliograpiya

1. Mga espesyal na function at kanilang mga aplikasyon:

Lebedev I.I., M., Gostekhterioizdat, 1953

2. Pagsusuri sa matematika bahagi 2:

Ilyin O.A., Sadovnichiy V.A., Sendov Bl.Kh., M.,"Moscow University",1987

3. Koleksyon ng mga problema sa mathematical analysis:

Demidovich B.P., M., Nauka, 1966

4. Mga integral at serye ng mga espesyal na function:

Prudnikov A.P., Brychkov Yu.A., M., Nauka, 1983

5. Mga Espesyal na Tampok:

Kuznetsov, M., "Mataas na Paaralan", 1965

6. Asymptotics at mga espesyal na function

F. Olver, M., Nauka, 1990.

7. Halimaw zoo o panimula sa mga espesyal na tampok

O.M. Kiselev,

APPS

Appendix 1 - Graph ng gamma function ng isang real variable

Appendix 2 - Graph ng Gamma Function

Talahanayan - isang talahanayan ng mga halaga ng gamma function para sa ilang mga halaga ng argumento.

Ang Appendix 3 ay isang listahan ng programa na gumuhit ng isang talahanayan ng mga halaga ng gamma function para sa ilang mga halaga ng argumento.

Appendix 4 - listahan ng isang programa na gumuhit ng graph ng gamma function

Abstract................................................. ............ ...................................3

Panimula ................................................. . ......... ...................................apat

Teoretikal na bahagi…………………………………………………….5

Euler Beta Function…………………………………………………….5

Gamma function................................................. ... ................................... walo

2.1. Depinisyon…………………………………………………………8

2.2. Integral na representasyon………………………………8

2.3. Domain ng kahulugan at mga pole………………………………..10

2.4. Ang representasyon ng Hankel sa mga tuntunin ng loop integral...........10

2.5. Form ng limitasyon ng Euler…………………………………………12

2.6. Ang formula para sa produkto………………………………..13

Derivative ng gamma function .............................................. ............. ..........labing lima

Pagkalkula ng mga integral. Stirling Formula..............................18

Mga halimbawa ng pagkalkula ng mga integral ............................................. .................. ......23

Praktikal na bahagi…………………………………………………….24

Konklusyon................................................. ...... ................................25

Mga Sanggunian………………………………………………………………26

Mga Aplikasyon………………………………………………………………..27

ATTACHMENT 1

Graph ng gamma function ng isang tunay na variable

APENDIKS 2

Graph ng gamma function

TABLE

X	g(x)

APENDIKS 3

#isama

static na double cof=(

2.5066282746310005,

1.0000000000190015,

76.18009172947146,

86.50532032941677,

24.01409824083091,

1.231739572450155,

0.1208650973866179e-2,

0.5395239384953e-5,

dobleng GammLn(doble x) (

lg1=log(cof*(cof+cof/(x+1)+cof/(x+2)+cof/(x+3)+cof/(x+4)+cof/(x+5)+cof /(x+6))/x);

lg=(x+0.5)*log(x+5.5)-(x+5.5)+lg1;

dobleng Gamma(dobleng x) (

return(exp(GammLn(x)));

cout<<"vvedite x";

printf("\n\t\t\t| x |Gamma(x) |");

printf("\n\t\t\t________________________________________________");

para sa(i=1;i<=8;i++)

x=x[i]+0.5;

g[i]=Gamma(x[i]);

printf("\n\t\t\t| %f | %f |",x[i],g[i]);

printf("\n\t\t\t________________________________________________");

printf("\n Ipatupad ang programa sa iyo upang matugunan ang mga ito");

APENDIKS 4

#isama

double gam(double x, double eps)

Int I, j, n, nb;

Dobleng dze=(1.6449340668422643647,

1.20205690315959428540,

1.08232323371113819152,

1.03692775514336992633,

1.01734306198444913971};

Doble ang a=x, y, fc=1.0, s, s1, b;

Printf("Maling data ang inilagay mo, pakisubukang muli\n"); bumalik -1.0;

Kung(a==0) ibalik ang fc;

Para sa(i=0;i<5;i++)

S=s+b*dze[i]/(i+2.0);

Nb=exp((i.0/6.0)*(7.0*log(a)-log(42/0)-log(eps)))+I;

Para sa(n=1;n<=nb;n++)

Para sa(j=0; j<5; j++)

Si=si+b/(j+1.0);

S=s+si-log(1.0+a/n);

Dobleng dx,dy, xfrom=0,xto=4, yto=5, h, maxy, miny;

Int n=100, I, gdriver=DETECT, gmode, X0, YN0, X, Y, Y0,pr=0;

Initgraph(&gdriver,&gmode, “ ”);

YN0=getmaxy()-20;

Linya(30, getmaxy()-10,30,30);

Linya(20, getmaxy()-30, getmaxx()-20, getmaxy()-30);

)habang (Y>30);

) habang (X<700);

) habang (X<=620);

)habang (y>=30);

X=30+150.0*0.1845;

Para sa9i=1;i

Dy=gam(dx,1e-3);

X=30+(600/0*i)/n;

Kung (Y<30) continue;

X=30+150.0*308523;

linya(30,30,30,10);

Linya(620,450,640,450);

Linya(30,10,25,15);

Linya(640,450,635,445);

Linya(640,450,635,455);

Linya(170,445,170,455);

Linya(320,445,320,455);

Linya(470,445,470,455);

Linya(620,445,620,455);

Linya(25,366,35,366);

Linya(25,282,35,282);

Linya(25,114,35,114);

Linya(25,30,35,30);

Outtexty(20,465,"0");

Outtexty(165,465, "1";

Outtexty(315,465, "2";

Outtexty(465,465, "3";

Outtexty(615,465, "4";

Outtexty(630,465, "x";

Outtexty(15,364, "1";

Outtexty(15,280, "2";

Outtexty(15,196, "3";

Outtexty(15,112, "4";

Outtexty(15,30, "5";

Eksperimento na itinatag na ang g-radiation (tingnan ang § 255) ay hindi isang independiyenteng anyo ng radioactivity, ngunit sinasamahan lamang ng a- at b-decays at bumangon din sa panahon ng mga reaksyong nuklear, sa panahon ng pagbabawas ng bilis ng mga sisingilin na particle, ang kanilang pagkabulok, atbp. may linya ang g-spectrum. Ang g-Spectrum ay ang pamamahagi ng enerhiya ng bilang ng g-quanta (ang parehong interpretasyon ng b-spectrum ay ibinibigay sa §258). Ang discreteness ng g-spectrum ay may pangunahing kahalagahan, dahil ito ay patunay ng discreteness ng mga estado ng enerhiya ng atomic nuclei.

Matatag na ngayon na ang g-radiation ay ibinubuga ng anak na babae (sa halip na magulang) na nucleus. Ang nucleus ng anak na babae sa sandali ng pagbuo nito, na nasasabik, ay pumasa sa ground state na may paglabas ng g-radiation sa isang oras na humigit-kumulang 10 -13 - 10 -14 s, na mas maikli kaysa sa buhay ng isang excited na atom. (humigit-kumulang 10 -8 s). Pagbabalik sa ground state, ang excited na nucleus ay maaaring dumaan sa isang bilang ng mga intermediate state, kaya ang g-radiation ng parehong radioactive isotope ay maaaring maglaman ng ilang grupo ng g-quanta, na naiiba sa isa't isa sa kanilang enerhiya.

Sa g-radiation PERO at ang Z ng kernel ay hindi nagbabago, kaya hindi ito inilalarawan ng anumang mga panuntunan sa pag-aalis. Ang g-radiation ng karamihan sa mga nuclei ay may napakaikling wavelength na ang mga katangian ng wave nito ay napakahina na ipinakita. Dito, nauuna ang mga katangian ng corpuscular, kaya ang g-radiation ay itinuturing bilang isang stream ng mga particle - g-quanta. Sa panahon ng radioactive decay ng iba't ibang nuclei, ang g-quanta ay may mga enerhiya mula 10 keV hanggang 5 MeV.

Ang nucleus, na nasa isang excited na estado, ay maaaring pumunta sa ground state hindi lamang sa pamamagitan ng paglabas ng g-quantum, kundi sa pamamagitan din ng direktang paglilipat ng excitation energy (nang walang paunang paglabas ng g-quantum) sa isa sa mga electron ng parehong atom. Sa kasong ito, ang tinatawag na conversion electron ay ibinubuga. Ang kababalaghan mismo ay tinatawag na panloob na conversion. Ang panloob na conversion ay isang proseso na nakikipagkumpitensya sa g-radiation.

Ang mga electron ng conversion ay tumutugma sa mga discrete na halaga ng enerhiya, depende sa work function ng electron mula sa shell kung saan nakatakas ang electron, at sa enerhiya E. , ibinigay ng nucleus sa panahon ng paglipat mula sa nasasabik na estado sa ground state. Kung ang lahat ng enerhiya E ay inilabas sa anyo ng isang y-quantum, kung gayon ang dalas ng radiation v ay tinutukoy mula sa kilalang kaugnayan E=hv . Kung naglalabas sila ng L electron ng panloob na conversion, kung gayon ang kanilang mga enerhiya ay katumbas ng E-A K, E-A L, ..., kung saan ang A k, A L, ... ay ang work function ng isang electron mula sa K - at L-shells. Ang monoenergetic na katangian ng conversion electron ay ginagawang posible na makilala ang mga ito mula sa b-electrons, na ang spectrum ay tuloy-tuloy (tingnan ang § 258). Ang bakante sa panloob na shell ng atom na lumitaw bilang isang resulta ng paglabas ng isang electron ay mapupuno ng mga electron mula sa nakapatong na mga shell. Samakatuwid, ang panloob na conversion ay palaging sinasamahan ng katangiang paglabas ng X-ray.

Ang G-quanta, na may zero rest mass, ay hindi maaaring bumagal sa isang medium, samakatuwid, kapag ang g-radiation ay dumaan sa bagay, sila ay nasisipsip o nakakalat dito. Ang g-quanta ay hindi nagdadala ng isang electric charge at sa gayon ay hindi nakakaranas ng impluwensya ng mga puwersa ng Coulomb. Kapag ang isang sinag ng y-quanta ay dumaan sa isang sangkap, ang kanilang enerhiya ay hindi nagbabago, ngunit bilang isang resulta ng mga banggaan, ang intensity ay humina, ang pagbabago nito ay inilarawan ng exponential law x, m - absorption coefficient). Dahil ang g-radiation ay ang pinaka-matalim na radiation, ang m para sa maraming mga sangkap ay isang napakaliit na halaga; Ang m ay nakasalalay sa mga katangian ng bagay at sa enerhiya ng g-quanta.

Ang g-quanta, na dumadaan sa substance, ay maaaring makipag-ugnayan kapwa sa electron shell ng mga atomo ng substance, at sa kanilang nuclei. Sa quantum electrodynamics, pinatunayan na ang mga pangunahing proseso na kasama ng pagpasa ng g-radiation sa pamamagitan ng bagay ay ang photoelectric effect, ang Compton effect (Commpton scattering), at ang pagbuo ng mga pares ng electron-positron.

Ang photoelectric effect, o photoelectric absorption ng g-rays, ay isang proseso kung saan ang isang atom ay sumisipsip ng isang g-quantum at naglalabas ng isang electron. Dahil ang electron ay na-knock out sa isa sa mga panloob na shell ng atom, ang bakanteng espasyo ay napuno ng mga electron mula sa nakapatong na mga shell, at ang photoelectric na epekto ay sinamahan ng katangian ng X-ray radiation. Ang photoelectric effect ay ang nangingibabaw na mekanismo ng pagsipsip sa rehiyon ng mababang enerhiya ng g-quanta (E g< 100 кэВ). Фотоэффект может идти только на связанных электронах, так как свободный электрон не может поглотить g-квант, при этом одновременно не удовлетворяются законы сохранения энергии и импульса.

Habang tumataas ang enerhiya ng g-quanta (E g »0.5 MeV), ang posibilidad ng photoelectric effect ay napakaliit, at ang pangunahing mekanismo para sa pakikipag-ugnayan ng g-quanta sa matter ay ang Compton scattering (tingnan ang § 206).

Kapag E g >1.02 MeV = 2m e c 2 (m e ang natitirang masa ng isang electron), nagiging posible ang proseso ng pagbuo ng mga pares ng electron-positron sa mga electric field ng nuclei. Ang posibilidad ng prosesong ito ay proporsyonal sa Z 2 at tumataas sa E g. Samakatuwid, sa E g » 10 MeV, ang pangunahing proseso ng pakikipag-ugnayan ng g-radiation sa anumang sangkap ay ang pagbuo ng mga pares ng electric-positron.

Kung ang enerhiya ng isang g-quantum ay lumampas sa nagbubuklod na enerhiya ng mga nucleon sa nucleus (7-8 MeV), kung gayon bilang resulta ng pagsipsip ng isang g-quantum, ang isang nuclear photoelectric effect ay maaaring maobserbahan - ang paglabas ng isa sa ang mga nucleon mula sa nucleus, kadalasan ay isang neutron.

Ang malaking penetrating power ng g-radiation ay ginagamit sa gamma flaw detection - isang flaw detection method batay sa iba't ibang absorption ng g-radiation kapag dumarami ito sa parehong distansya sa iba't ibang media. Ang lokasyon at laki ng mga depekto (mga cavity, bitak, atbp.) ay tinutukoy ng pagkakaiba sa mga intensity ng radiation na dumaan sa iba't ibang bahagi ng translucent na produkto.

Ang epekto ng g-radiation (pati na rin ang iba pang uri ng ionizing radiation) sa isang substance ay nailalarawan sa pamamagitan ng isang dosis ng ionizing radiation. Magkaiba:

Ang hinihigop na dosis ng radiation ay isang pisikal na dami na katumbas ng ratio ng enerhiya ng radiation sa masa ng irradiated substance.

Ang yunit ng hinihigop na dosis ng radiation ay kulay abo (Gy) *: 1 Gy \u003d 1 J / kg - dosis ng radiation kung saan ang enerhiya ng anumang ionizing radiation na 1 J ay inilipat sa isang irradiated substance na tumitimbang ng 1 kg.

Ang dosis ng pagkakalantad ng radiation ay isang pisikal na dami na katumbas ng ratio ng kabuuan ng mga singil sa kuryente ng lahat ng mga ion ng parehong tanda, na nilikha ng mga electron na inilabas sa irradiated air (sa ilalim ng kondisyon ng buong paggamit ng kakayahang mag-ionize ng mga electron), upang ang masa nitong hangin.

Ang yunit ng exposure dose ng radiation ay isang palawit bawat kilo (C/kg); ang dark unit ay ang roentgen (R): 1 R=2.58×10 -4 C/kg.

Biological dose - isang halaga na tumutukoy sa epekto ng radiation sa katawan.

Ang biological dose unit ay ang biological equivalent ng isang roentgen (rem): 1 rem ay isang dosis ng anumang uri ng ionizing radiation na gumagawa ng parehong biological effect bilang isang dosis ng x-ray o g radiation sa 1 R (1 rem = 10 -2 J / kg).

Portal para sa mag-aaral. Pagsasanay sa sarili

Panimula

Panimula

2. Derivative ng gamma function

Ilapat natin ang gamma function sa pagkalkula ng integral:

Konklusyon

Bibliograpiya

1. Mga espesyal na function at kanilang mga aplikasyon:

Lebedev I.I., M., Gostekhterioizdat, 1953

MGA KAUGNAY NA ARTIKULO