Maliit na anggulo ng pag-atake - [A.S. English-Russian energy dictionary. 2006] Mga paksa power engineering sa pangkalahatan Mga kasingkahulugan maliit na anggulo ng pag-atake EN negatibong saklawmababang saklaw ...

negatibong anggulo ng pagputol- - Mga paksa industriya ng langis at gas EN negatibong pagputol anglenegative cutting anglenegative rake ... Gabay sa Teknikal na Tagasalin

negatibong anggulo ng bevel ng itaas na ibabaw ng brush- [GOST 21888 82 (IEC 276 68, IEC 560 77)] Mga paksa ng mga electrical rotating machine sa pangkalahatan... Gabay sa Teknikal na Tagasalin

anggulo ng pakpak Encyclopedia "Aviation"

anggulo ng pakpak- Anggulo ng pag-install ng pakpak. anggulo ng pag-install ng pakpak φ0 sa pagitan ng gitnang chord ng pakpak at ng base axis ng sasakyang panghimpapawid (tingnan ang figure). Depende sa aerodynamic configuration ng sasakyang panghimpapawid, ang anggulong ito ay maaaring maging positibo o negatibo. Karaniwan… Encyclopedia "Aviation"

Anggulo ng pakpak- anggulo (φ)0 sa pagitan ng gitnang chord ng pakpak at ng base axis ng sasakyang panghimpapawid. Depende sa aerodynamic configuration ng sasakyang panghimpapawid, ang anggulong ito ay maaaring maging positibo o negatibo. Kadalasan ito ay nasa hanay mula ―2(°) hanggang +3(°). Anggulo (φ)0… … Encyclopedia ng teknolohiya

ANGLE NG DECEPTION- (Depressed angle) ang anggulo na nabuo ng elevation line (cm) sa horizon kapag ang una ay dumaan sa ibaba ng horizon, ibig sabihin, isang negatibong anggulo ng elevation. Diksyonaryo ng Samoilov K.I. M.L.: State Naval Publishing House ng NKVMF Union... ... Marine Dictionary

ANGLE NG OPTICAL AXES- matinding anggulo sa pagitan ng opt. axle sa biaxial shafts. U. o. O. tinatawag na positibo kapag ang acute bisector ay Ng at negatibo kapag ang acute bisector ay Np (tingnan ang Optitically biaxial crystal). Totoo U. o. O. ay itinalaga... ... Geological encyclopedia

Castor (anggulo)- Ang terminong ito ay may iba pang kahulugan, tingnan ang Castor. θ castor, ang pulang linya ay ang steering axis ng gulong. Sa figure, ang castor ay positibo (ang anggulo ay sinusukat clockwise, ang harap ng kotse ay nasa kaliwa) ... Wikipedia

Castor (Anggulo ng pag-ikot)- θ castor, pulang linya ay ang steering axis ng gulong. Sa figure, ang castor ay positibo (ang anggulo ay sinusukat clockwise, ang harap ng kotse ay nasa kaliwa) Castor (English caster) ay ang longitudinal inclination angle ng wheel turning axis ng kotse. Castor... ...Wikipedia

anggulo ng rake- 3.2.9 rake angle: Ang anggulo sa pagitan ng rake surface at ng base plane (tingnan ang Figure 5). 1 negatibong anggulo ng rake; 2 positibong anggulo ng rake Figure 5 Ang mga anggulo ng rake

Ang Alpha ay kumakatawan sa totoong numero. Ang equal sign sa mga expression sa itaas ay nagpapahiwatig na kung magdagdag ka ng isang numero o infinity sa infinity, walang magbabago, ang resulta ay magiging parehong infinity. Kung kukunin natin ang walang katapusang hanay ng mga natural na numero bilang isang halimbawa, kung gayon ang itinuturing na mga halimbawa ay maaaring katawanin sa form na ito:

Upang malinaw na patunayan na sila ay tama, ang mga mathematician ay gumawa ng maraming iba't ibang mga pamamaraan. Sa personal, tinitingnan ko ang lahat ng mga pamamaraang ito bilang mga shaman na sumasayaw gamit ang mga tamburin. Sa totoo lang, lahat sila ay naiintindihan na ang ilan sa mga kuwarto ay walang tao at ang mga bagong bisita ay lumilipat, o ang ilan sa mga bisita ay itinapon sa corridor upang magbigay ng puwang para sa mga bisita (napakatao). Iniharap ko ang aking pananaw sa gayong mga desisyon sa anyo ng isang pantasyang kuwento tungkol sa Blonde. Ano ang batayan ng aking pangangatwiran? Ang paglipat ng isang walang katapusang bilang ng mga bisita ay tumatagal ng isang walang katapusang tagal ng oras. Pagkatapos naming lisanin ang unang silid para sa isang panauhin, ang isa sa mga bisita ay palaging maglalakad sa koridor mula sa kanyang silid patungo sa susunod na silid hanggang sa katapusan ng oras. Siyempre, ang salik ng oras ay maaaring hindi papansinin, ngunit ito ay nasa kategoryang "walang batas ang isinulat para sa mga mangmang." Ang lahat ay nakasalalay sa kung ano ang ginagawa natin: pagsasaayos ng katotohanan sa mga teoryang matematika o kabaliktaran.

Ano ang isang "walang katapusang hotel"? Ang isang walang katapusang hotel ay isang hotel na palaging may anumang bilang ng mga bakanteng kama, gaano man karaming mga kuwarto ang inookupahan. Kung ang lahat ng mga silid sa walang katapusang "bisita" na koridor ay inookupahan, mayroong isa pang walang katapusang koridor na may "mga bisita" na silid. Magkakaroon ng walang katapusang bilang ng mga naturang koridor. Bukod dito, ang "walang katapusan na hotel" ay may walang katapusang bilang ng mga palapag sa walang katapusang bilang ng mga gusali sa walang katapusang bilang ng mga planeta sa walang katapusang bilang ng mga uniberso na nilikha ng walang katapusang bilang ng mga Diyos. Hindi nagagawa ng mga mathematician na ilayo ang kanilang mga sarili sa mga pang-araw-araw na problema: palaging may isang Diyos-Allah-Buddha, mayroon lamang isang hotel, mayroon lamang isang koridor. Kaya't sinusubukan ng mga mathematician na i-juggle ang mga serial number ng mga kuwarto sa hotel, na kinukumbinsi kami na posible na "ipilit ang imposible."

Ipapakita ko sa iyo ang lohika ng aking pangangatwiran gamit ang halimbawa ng isang walang katapusang hanay ng mga natural na numero. Una kailangan mong sagutin ang isang napaka-simpleng tanong: gaano karaming mga hanay ng mga natural na numero ang naroroon - isa o marami? Walang tamang sagot sa tanong na ito, dahil kami mismo ang nag-imbento ng mga numero sa Kalikasan. Oo, ang Kalikasan ay mahusay sa pagbibilang, ngunit para dito gumagamit siya ng iba pang mga tool sa matematika na hindi pamilyar sa atin. Sasabihin ko sa iyo kung ano ang iniisip ng Kalikasan sa ibang pagkakataon. Dahil nag-imbento tayo ng mga numero, tayo mismo ang magdedesisyon kung ilang set ng natural na numero ang mayroon. Isaalang-alang natin ang parehong mga pagpipilian, bilang angkop sa mga tunay na siyentipiko.

Opsyon isa. "Bigyan tayo" ng isang solong set ng mga natural na numero, na tahimik na nakalagay sa istante. Kinukuha namin ang set na ito mula sa istante. Iyon lang, wala nang ibang natural na numero ang natitira sa istante at wala nang madadala. Hindi kami makakapagdagdag ng isa sa set na ito, dahil mayroon na kami nito. Paano kung gusto mo talaga? Walang problema. Maaari tayong kumuha ng isa mula sa set na nakuha na natin at ibalik ito sa istante. Pagkatapos nito, maaari kaming kumuha ng isa mula sa istante at idagdag ito sa kung ano ang natitira namin. Bilang resulta, muli tayong makakakuha ng walang katapusang hanay ng mga natural na numero. Maaari mong isulat ang lahat ng aming mga manipulasyon tulad nito:

Isinulat ko ang mga aksyon sa algebraic notation at sa set theory notation, na may detalyadong listahan ng mga elemento ng set. Isinasaad ng subscript na mayroon kaming isa at tanging hanay ng mga natural na numero. Lumalabas na ang hanay ng mga natural na numero ay mananatiling hindi nagbabago lamang kung ang isa ay ibabawas mula dito at ang parehong yunit ay idinagdag.

Opsyon dalawa. Marami kaming iba't ibang infinite set ng natural na numero sa aming shelf. Binibigyang-diin ko - IBA, sa kabila ng katotohanan na sila ay halos hindi makilala. Kunin natin ang isa sa mga set na ito. Pagkatapos ay kukuha kami ng isa mula sa isa pang hanay ng mga natural na numero at idagdag ito sa set na nakuha na namin. Maaari pa nga tayong magdagdag ng dalawang set ng natural na numero. Ito ang makukuha natin:

Ang mga subscript na "isa" at "dalawa" ay nagpapahiwatig na ang mga elementong ito ay kabilang sa iba't ibang hanay. Oo, kung magdadagdag ka ng isa sa isang walang katapusan na hanay, ang resulta ay magiging isang walang katapusan na hanay, ngunit hindi ito magiging katulad ng orihinal na hanay. Kung nagdagdag ka ng isa pang infinite set sa isang infinite set, ang resulta ay isang bagong infinite set na binubuo ng mga elemento ng unang dalawang set.

Ang hanay ng mga natural na numero ay ginagamit para sa pagbibilang sa parehong paraan tulad ng isang ruler ay para sa pagsukat. Ngayon isipin na nagdagdag ka ng isang sentimetro sa ruler. Magiging ibang linya ito, hindi katumbas ng orihinal.

Maaari mong tanggapin o hindi tanggapin ang aking pangangatwiran - ito ay iyong sariling negosyo. Ngunit kung sakaling makatagpo ka ng mga problema sa matematika, isipin kung sinusunod mo ang landas ng maling pangangatwiran na tinatahak ng mga henerasyon ng mga mathematician. Pagkatapos ng lahat, ang pag-aaral ng matematika, una sa lahat, ay bumubuo ng isang matatag na stereotype ng pag-iisip sa atin, at pagkatapos ay nagdaragdag lamang sa ating mga kakayahan sa pag-iisip (o, sa kabaligtaran, ay nag-aalis sa atin ng malayang pag-iisip).

Linggo, Agosto 4, 2019

Tinatapos ko ang isang postscript sa isang artikulo tungkol sa at nakita ko ang kahanga-hangang tekstong ito sa Wikipedia:

Mababasa natin: "... ang mayamang teoretikal na batayan ng matematika ng Babylon ay walang holistic na katangian at nabawasan sa isang hanay ng mga disparate na pamamaraan, wala ng isang karaniwang sistema at base ng ebidensya."

Wow! Kung gaano tayo katalino at kung gaano natin nakikita ang pagkukulang ng iba. Mahirap ba para sa atin na tingnan ang modernong matematika sa parehong konteksto? Bahagyang binabanggit ang teksto sa itaas, personal kong nakuha ang sumusunod:

Ang mayamang teoretikal na batayan ng modernong matematika ay hindi holistic sa kalikasan at nababawasan sa isang hanay ng magkakaibang mga seksyon, wala ng isang karaniwang sistema at base ng ebidensya.

Hindi ako lalayo upang kumpirmahin ang aking mga salita - mayroon itong wika at mga kumbensyon na naiiba sa wika at mga kumbensyon ng maraming iba pang sangay ng matematika. Ang parehong mga pangalan sa iba't ibang sangay ng matematika ay maaaring magkaroon ng iba't ibang kahulugan. Gusto kong italaga ang isang buong serye ng mga publikasyon sa mga pinaka-halatang pagkakamali ng modernong matematika. Hanggang sa muli.

Sabado, Agosto 3, 2019

Paano hatiin ang isang set sa mga subset? Upang gawin ito, kailangan mong magpasok ng isang bagong yunit ng pagsukat na naroroon sa ilan sa mga elemento ng napiling hanay. Tingnan natin ang isang halimbawa.

Nawa'y magkaroon tayo ng marami A binubuo ng apat na tao. Ang set na ito ay nabuo batay sa "mga tao." Tukuyin natin ang mga elemento ng set na ito sa pamamagitan ng titik A, ang subscript na may numero ay magsasaad ng serial number ng bawat tao sa set na ito. Ipakilala natin ang isang bagong yunit ng pagsukat na "kasarian" at tukuyin ito sa pamamagitan ng titik b. Dahil likas sa lahat ng tao ang mga sekswal na katangian, pinaparami namin ang bawat elemento ng set A batay sa kasarian b. Pansinin na ang aming hanay ng "mga tao" ay naging isang hanay na ngayon ng "mga taong may mga katangian ng kasarian." Pagkatapos nito maaari nating hatiin ang mga sekswal na katangian sa lalaki bm at pambabae bw mga katangiang sekswal. Ngayon ay maaari na tayong maglapat ng mathematical na filter: pipili tayo ng isa sa mga sekswal na katangiang ito, kahit alin - lalaki o babae. Kung ang isang tao ay mayroon nito, pagkatapos ay i-multiply natin ito ng isa, kung walang ganoong palatandaan, pinarami natin ito ng zero. At pagkatapos ay ginagamit namin ang regular na matematika ng paaralan. Tingnan mo ang nangyari.

Pagkatapos ng multiplikasyon, pagbabawas at muling pagsasaayos, napunta kami sa dalawang subset: ang subset ng mga lalaki Bm at isang subset ng kababaihan Bw. Ang mga mathematician ay nangangatuwiran sa halos parehong paraan kapag inilapat nila ang set theory sa pagsasanay. Ngunit hindi nila binibigyan kami ng mga detalye, ngunit binibigyan kami ng natapos na resulta - "maraming tao ang binubuo ng isang subset ng mga lalaki at isang subset ng mga babae." Naturally, maaari kang magkaroon ng isang katanungan: gaano katama nailapat ang matematika sa mga pagbabagong nakabalangkas sa itaas? Naglakas-loob akong tiyakin sa iyo na, sa esensya, ang mga pagbabagong-anyo ay ginawa nang tama; sapat na upang malaman ang mathematical na batayan ng aritmetika, Boolean algebra at iba pang sangay ng matematika. Ano ito? Sa ibang pagkakataon sasabihin ko sa iyo ang tungkol dito.

Tulad ng para sa mga superset, maaari mong pagsamahin ang dalawang set sa isang superset sa pamamagitan ng pagpili sa unit ng pagsukat na nasa mga elemento ng dalawang set na ito.

Gaya ng nakikita mo, ginagawa ng mga yunit ng pagsukat at ordinaryong matematika ang set theory bilang isang relic ng nakaraan. Isang palatandaan na ang lahat ay hindi maayos sa set theory ay ang mga mathematician ay nakabuo ng kanilang sariling wika at notasyon para sa set theory. Ang mga mathematician ay kumilos bilang mga shaman minsan. Ang mga shaman lamang ang nakakaalam kung paano "tama" ilapat ang kanilang "kaalaman." Itinuturo nila sa atin ang "kaalaman" na ito.

Bilang konklusyon, gusto kong ipakita sa iyo kung paano minamanipula ang mga mathematician .

Lunes, Enero 7, 2019

Noong ikalimang siglo BC, ang sinaunang pilosopong Griyego na si Zeno ng Elea ay nagbalangkas ng kanyang tanyag na aporias, na ang pinakatanyag ay ang aporia na "Achilles at ang Pagong". Narito kung ano ang tunog nito:

Sabihin nating tumakbo si Achilles ng sampung beses na mas mabilis kaysa sa pagong at nasa likod nito ng isang libong hakbang. Sa oras na kailangan ni Achilles para tumakbo sa distansyang ito, ang pagong ay gagapang ng isang daang hakbang sa parehong direksyon. Kapag si Achilles ay tumakbo ng isang daang hakbang, ang pagong ay gumagapang ng isa pang sampung hakbang, at iba pa. Ang proseso ay magpapatuloy sa ad infinitum, hindi na maaabutan ni Achilles ang pagong.

Ang pangangatwiran na ito ay naging isang lohikal na pagkabigla para sa lahat ng kasunod na henerasyon. Aristotle, Diogenes, Kant, Hegel, Hilbert... Itinuring nilang lahat ang aporia ni Zeno sa isang paraan o iba pa. Napakalakas ng shock kaya" ... nagpapatuloy ang mga talakayan hanggang sa araw na ito; ; wala sa kanila ang naging pangkalahatang tinatanggap na solusyon sa problema..."[Wikipedia, "Zeno's Aporia". Naiintindihan ng lahat na sila ay niloloko, ngunit walang nakakaintindi kung ano ang binubuo ng panlilinlang.

Mula sa isang mathematical point of view, si Zeno sa kanyang aporia ay malinaw na nagpakita ng paglipat mula sa dami sa . Ang paglipat na ito ay nagpapahiwatig ng aplikasyon sa halip na mga permanenteng. Sa pagkakaintindi ko, ang mathematical apparatus para sa paggamit ng variable units of measurement ay hindi pa nabubuo, o hindi pa ito nailalapat sa aporia ni Zeno. Ang paglalapat ng ating karaniwang lohika ay humahantong sa atin sa isang bitag. Kami, dahil sa pagkawalang-kilos ng pag-iisip, ay naglalapat ng pare-parehong mga yunit ng oras sa katumbas na halaga. Mula sa pisikal na pananaw, mukhang bumagal ang oras hanggang sa tuluyang huminto sa sandaling maabutan ni Achilles ang pagong. Kung titigil ang oras, hindi na kayang malampasan ni Achilles ang pagong.

Kung iikot natin ang ating karaniwang lohika, ang lahat ay nahuhulog sa lugar. Tumatakbo si Achilles sa patuloy na bilis. Ang bawat kasunod na bahagi ng kanyang landas ay sampung beses na mas maikli kaysa sa nauna. Alinsunod dito, ang oras na ginugol sa pagtagumpayan ito ay sampung beses na mas mababa kaysa sa nauna. Kung ilalapat natin ang konsepto ng "infinity" sa sitwasyong ito, tama na sabihing "Mabilis na maaabutan ni Achilles ang pagong."

Paano maiiwasan ang lohikal na bitag na ito? Manatili sa pare-parehong mga yunit ng oras at huwag lumipat sa reciprocal na mga yunit. Sa wika ni Zeno, ganito ang hitsura:

Sa oras na kailangan ni Achilles na tumakbo ng isang libong hakbang, ang pagong ay gagapang ng isang daang hakbang sa parehong direksyon. Sa susunod na agwat ng oras na katumbas ng una, tatakbo si Achilles ng isa pang libong hakbang, at ang pagong ay gagapang ng isang daang hakbang. Ngayon si Achilles ay walong daang hakbang sa unahan ng pagong.

Ang diskarte na ito ay sapat na naglalarawan sa katotohanan nang walang anumang mga lohikal na kabalintunaan. Ngunit hindi ito kumpletong solusyon sa problema. Ang pahayag ni Einstein tungkol sa hindi mapaglabanan ng bilis ng liwanag ay halos kapareho sa aporia ni Zeno na "Achilles and the Tortoise". Kailangan pa nating pag-aralan, pag-isipang muli at lutasin ang problemang ito. At ang solusyon ay dapat hanapin hindi sa walang katapusang malalaking numero, ngunit sa mga yunit ng pagsukat.

Ang isa pang kawili-wiling aporia ng Zeno ay nagsasabi tungkol sa isang lumilipad na palaso:

Ang lumilipad na palaso ay hindi gumagalaw, dahil sa bawat sandali ng oras ito ay nagpapahinga, at dahil ito ay nakapahinga sa bawat sandali ng oras, ito ay palaging nasa pahinga.

Sa aporia na ito, ang lohikal na kabalintunaan ay napagtagumpayan nang napakasimple - sapat na upang linawin na sa bawat sandali ng oras ang isang lumilipad na arrow ay nagpapahinga sa iba't ibang mga punto sa kalawakan, na, sa katunayan, ay paggalaw. Ang isa pang punto ay kailangang tandaan dito. Mula sa isang larawan ng isang kotse sa kalsada imposibleng matukoy ang alinman sa katotohanan ng paggalaw nito o ang distansya dito. Upang matukoy kung ang isang kotse ay gumagalaw, kailangan mo ng dalawang larawan na kinunan mula sa parehong punto sa magkaibang mga punto ng oras, ngunit hindi mo matukoy ang distansya mula sa kanila. Upang matukoy ang distansya sa isang kotse, kailangan mo ng dalawang litrato na kinuha mula sa iba't ibang mga punto sa espasyo sa isang punto sa oras, ngunit mula sa kanila hindi mo matukoy ang katotohanan ng paggalaw (siyempre, kailangan mo pa rin ng karagdagang data para sa mga kalkulasyon, makakatulong sa iyo ang trigonometrya. ). Ang gusto kong bigyan ng espesyal na pansin ay ang dalawang punto sa oras at dalawang punto sa kalawakan ay magkaibang mga bagay na hindi dapat malito, dahil nagbibigay sila ng iba't ibang pagkakataon para sa pananaliksik.

Miyerkules, Hulyo 4, 2018

Nasabi ko na sa iyo na sa tulong ng kung aling mga shamans ay sinusubukang ayusin ang "" katotohanan. Paano nila ito ginagawa? Paano talaga nangyayari ang pagbuo ng isang set?

Tingnan natin ang kahulugan ng isang set: "isang koleksyon ng iba't ibang mga elemento, conceived bilang isang solong kabuuan." Pakiramdam ngayon ang pagkakaiba sa pagitan ng dalawang parirala: "maiisip sa kabuuan" at "maiisip sa kabuuan." Ang unang parirala ay ang huling resulta, ang set. Ang pangalawang parirala ay isang paunang paghahanda para sa pagbuo ng maraming tao. Sa yugtong ito, ang realidad ay nahahati sa mga indibidwal na elemento (ang "buong"), kung saan bubuo ang maraming tao (ang "isang buo"). Kasabay nito, ang kadahilanan na ginagawang posible na pagsamahin ang "buo" sa isang "iisang buo" ay maingat na sinusubaybayan, kung hindi man ay hindi magtatagumpay ang mga shaman. Pagkatapos ng lahat, alam ng mga shaman nang maaga kung ano mismo ang nais nilang ipakita sa amin.

Ipapakita ko sa iyo ang proseso na may isang halimbawa. Pinipili namin ang "pulang solid sa isang tagihawat" - ito ang aming "buo". Kasabay nito, nakikita natin na ang mga bagay na ito ay may busog, at mayroong walang busog. Pagkatapos nito, pumili kami ng bahagi ng "buo" at bumubuo ng isang set "na may busog". Ito ay kung paano nakukuha ng mga shaman ang kanilang pagkain sa pamamagitan ng pagtali sa kanilang itinakdang teorya sa katotohanan.

Ngayon gawin natin ang isang maliit na trick. Kunin natin ang "solid na may tagihawat na may busog" at pagsamahin ang mga "buo" na ito ayon sa kulay, pagpili ng mga pulang elemento. Nakakuha kami ng maraming "pula". Ngayon ang pangwakas na tanong: ang mga resultang set ay "na may busog" at "pula" sa parehong hanay o dalawang magkaibang hanay? Mga shaman lang ang nakakaalam ng sagot. Mas tiyak, sila mismo ay walang alam, ngunit tulad ng sinasabi nila, ito ay mangyayari.

Ang simpleng halimbawang ito ay nagpapakita na ang set theory ay ganap na walang silbi pagdating sa realidad. Ano ang sikreto? Bumuo kami ng isang set ng "pulang solid na may tagihawat at isang busog." Ang pagbuo ay naganap sa apat na magkakaibang mga yunit ng pagsukat: kulay (pula), lakas (solid), pagkamagaspang (pimply), dekorasyon (na may busog). Isang hanay lamang ng mga yunit ng pagsukat ang nagpapahintulot sa amin na sapat na ilarawan ang mga tunay na bagay sa wika ng matematika. Ito ang hitsura nito.

Ang titik na "a" na may iba't ibang mga indeks ay nagpapahiwatig ng iba't ibang mga yunit ng pagsukat. Ang mga yunit ng pagsukat kung saan ang "buo" ay nakikilala sa paunang yugto ay naka-highlight sa mga bracket. Ang yunit ng pagsukat kung saan nabuo ang hanay ay kinuha mula sa mga bracket. Ang huling linya ay nagpapakita ng huling resulta - isang elemento ng set. Tulad ng nakikita mo, kung gumagamit kami ng mga yunit ng pagsukat upang bumuo ng isang set, kung gayon ang resulta ay hindi nakasalalay sa pagkakasunud-sunod ng aming mga aksyon. At ito ay matematika, at hindi ang pagsasayaw ng mga shaman na may mga tamburin. Ang mga shaman ay maaaring "intuitively" na dumating sa parehong resulta, na pinagtatalunan na ito ay "halata," dahil ang mga yunit ng pagsukat ay hindi bahagi ng kanilang "pang-agham" na arsenal.

Gamit ang mga unit ng pagsukat, napakadaling hatiin ang isang set o pagsamahin ang ilang set sa isang superset. Tingnan natin ang algebra ng prosesong ito.

Sabado, Hunyo 30, 2018

Kung hindi maaaring bawasan ng mga mathematician ang isang konsepto sa ibang mga konsepto, kung gayon wala silang naiintindihan tungkol sa matematika. Sagot ko: paano naiiba ang mga elemento ng isang set sa mga elemento ng isa pang set? Ang sagot ay napaka-simple: mga numero at yunit ng pagsukat.

Ngayon, lahat ng hindi natin kinukuha ay kabilang sa ilang hanay (gaya ng tiniyak sa atin ng mga mathematician). Oo nga pala, nakita mo ba sa salamin sa iyong noo ang isang listahan ng mga set kung saan ka nabibilang? At wala akong nakitang ganoong listahan. Sasabihin ko pa - wala ni isang bagay sa katotohanan ang may tag na may listahan ng mga hanay kung saan kabilang ang bagay na ito. Ang mga set ay lahat ng mga imbensyon ng mga shaman. Paano nila ito ginagawa? Tingnan natin nang mas malalim ang kasaysayan at tingnan kung ano ang hitsura ng mga elemento ng set bago sila dinala ng mga mathematician shaman sa kanilang mga set.

Matagal na ang nakalipas, nang walang sinuman ang nakarinig ng matematika, at ang mga puno at Saturn lamang ang may mga singsing, ang malalaking kawan ng mga ligaw na elemento ng mga set ay gumagala sa mga pisikal na larangan (pagkatapos ng lahat, ang mga shaman ay hindi pa nag-imbento ng mga larangan ng matematika). Parang ganito sila.

Oo, huwag magulat, mula sa punto ng view ng matematika, ang lahat ng mga elemento ng set ay halos kapareho sa mga sea urchin - mula sa isang punto, tulad ng mga karayom, ang mga yunit ng pagsukat ay lumalabas sa lahat ng direksyon. Para sa mga taong, ipinaaalala ko sa iyo na ang anumang yunit ng pagsukat ay maaaring geometriko na kinakatawan bilang isang segment ng arbitrary na haba, at isang numero bilang isang punto. Sa geometrically, ang anumang dami ay maaaring ilarawan bilang isang grupo ng mga segment na lumalabas sa iba't ibang direksyon mula sa isang punto. Ang puntong ito ay point zero. Hindi ko iguguhit ang piraso ng geometric na sining (walang inspirasyon), ngunit madali mong maiisip ito.

Anong mga yunit ng pagsukat ang bumubuo sa isang elemento ng isang set? Lahat ng uri ng mga bagay na naglalarawan ng isang partikular na elemento mula sa iba't ibang punto ng view. Ito ang mga sinaunang yunit ng pagsukat na ginamit ng ating mga ninuno at matagal nang nakalimutan ng lahat. Ito ang mga modernong yunit ng pagsukat na ginagamit natin ngayon. Ito rin ay mga yunit ng pagsukat na hindi natin alam, na bubuo ng ating mga inapo at gagamitin nila upang ilarawan ang katotohanan.

Inayos namin ang geometry - ang iminungkahing modelo ng mga elemento ng set ay may malinaw na geometric na representasyon. Paano ang tungkol sa pisika? Ang mga yunit ng pagsukat ay ang direktang koneksyon sa pagitan ng matematika at pisika. Kung ang mga shaman ay hindi kinikilala ang mga yunit ng pagsukat bilang isang ganap na elemento ng mga teorya sa matematika, ito ang kanilang problema. Personal kong hindi maisip ang tunay na agham ng matematika na walang mga yunit ng pagsukat. Kaya naman sa simula pa lang ng kwento tungkol sa set theory ay binanggit ko na ito ay nasa Panahon ng Bato.

Ngunit lumipat tayo sa pinaka-kagiliw-giliw na bagay - ang algebra ng mga elemento ng mga set. Algebraically, ang anumang elemento ng isang set ay isang produkto (ang resulta ng multiplikasyon) ng iba't ibang dami.

Sinadya kong hindi ginamit ang mga kumbensyon ng teorya ng set, dahil isinasaalang-alang namin ang isang elemento ng isang set sa natural na tirahan nito bago ang pagdating ng set theory. Ang bawat pares ng mga titik sa mga bracket ay nagpapahiwatig ng isang hiwalay na dami, na binubuo ng isang numero na ipinahiwatig ng titik " n" at ang yunit ng pagsukat na ipinahiwatig ng titik " a". Ang mga indeks sa tabi ng mga titik ay nagpapahiwatig na ang mga numero at yunit ng pagsukat ay magkaiba. Ang isang elemento ng set ay maaaring binubuo ng isang walang katapusang bilang ng mga dami (kung gaano tayo at ang ating mga inapo ay may sapat na imahinasyon). Ang bawat bracket ay geometrical na inilalarawan bilang isang hiwalay na bahagi Sa halimbawa na may sea urchin ang isang bracket ay isang karayom.

Paano bumubuo ang mga shaman ng mga set mula sa iba't ibang elemento? Sa katunayan, sa pamamagitan ng mga yunit ng pagsukat o sa pamamagitan ng mga numero. Hindi nauunawaan ang anumang bagay tungkol sa matematika, kumuha sila ng iba't ibang mga sea urchin at maingat na sinusuri ang mga ito sa paghahanap ng nag-iisang karayom, kung saan sila ay bumubuo ng isang set. Kung mayroong ganoong karayom, kung gayon ang elementong ito ay kabilang sa hanay; Sinasabi sa amin ng mga salamangkero ang mga pabula tungkol sa mga proseso ng pag-iisip at ang kabuuan.

Tulad ng maaaring nahulaan mo, ang parehong elemento ay maaaring kabilang sa iba't ibang mga hanay. Susunod na ipapakita ko sa iyo kung paano nabuo ang mga set, subset at iba pang shamanic nonsense. Tulad ng nakikita mo, "hindi maaaring magkaroon ng dalawang magkaparehong elemento sa isang set," ngunit kung mayroong magkaparehong mga elemento sa isang set, ang naturang set ay tinatawag na "multiset." Ang mga makatwirang nilalang ay hindi kailanman mauunawaan ang gayong walang katotohanan na lohika. Ito ang antas ng pagsasalita ng mga parrot at sinanay na unggoy, na walang katalinuhan mula sa salitang "ganap". Ang mga mathematician ay kumikilos bilang mga ordinaryong tagapagsanay, na ipinangangaral sa amin ang kanilang mga walang katotohanan na ideya.

Noong unang panahon, ang mga inhinyero na gumawa ng tulay ay nasa isang bangka sa ilalim ng tulay habang sinusuri ang tulay. Kung ang tulay ay gumuho, ang pangkaraniwang inhinyero ay namatay sa ilalim ng mga durog na bato ng kanyang nilikha. Kung ang tulay ay makatiis sa karga, ang mahuhusay na inhinyero ay gumawa ng iba pang mga tulay.

Gaano man magtago ang mga mathematician sa likod ng pariralang "isipin mo, nasa bahay ako," o sa halip, "pag-aaral ng matematika ng mga abstract na konsepto," mayroong isang pusod na hindi mapaghihiwalay na nag-uugnay sa kanila sa katotohanan. Ang pusod na ito ay pera. Ilapat natin ang mathematical set theory sa mga mathematician mismo.

Nag-aral kami ng mabuti sa matematika at ngayon ay nakaupo kami sa cash register, nagbibigay ng suweldo. Kaya isang mathematician ang pumunta sa amin para sa kanyang pera. Binibilang namin ang buong halaga sa kanya at inilalatag ito sa aming mesa sa iba't ibang mga tambak, kung saan naglalagay kami ng mga bill ng parehong denominasyon. Pagkatapos ay kukuha kami ng isang kuwenta mula sa bawat tumpok at ibibigay sa mathematician ang kanyang "mathematical set of salary." Ipaliwanag natin sa mathematician na matatanggap lamang niya ang natitirang mga bayarin kapag napatunayan niya na ang isang set na walang magkatulad na elemento ay hindi katumbas ng isang set na may magkaparehong elemento. Dito nagsisimula ang saya.

Una sa lahat, gagana ang lohika ng mga kinatawan: "Maaari itong mailapat sa iba, ngunit hindi sa akin!" Pagkatapos ay magsisimula silang tiyakin sa amin na ang mga bill ng parehong denominasyon ay may iba't ibang numero ng bill, na nangangahulugang hindi sila maaaring ituring na parehong mga elemento. Okay, bilangin natin ang mga suweldo sa mga barya - walang mga numero sa mga barya. Dito magsisimulang maalala ng mathematician ang pisika: ang iba't ibang mga barya ay may iba't ibang dami ng dumi, ang kristal na istraktura at pag-aayos ng mga atom ay natatangi para sa bawat barya...

At ngayon mayroon akong pinaka-kagiliw-giliw na tanong: nasaan ang linya kung saan ang mga elemento ng isang multiset ay nagiging mga elemento ng isang set at vice versa? Ang ganitong linya ay hindi umiiral - ang lahat ay napagpasyahan ng mga shaman, ang agham ay hindi malapit sa pagsisinungaling dito.

Tumingin dito. Pumili kami ng mga football stadium na may parehong lugar ng field. Ang mga lugar ng mga field ay pareho - ibig sabihin mayroon kaming multiset. Ngunit kung titingnan natin ang mga pangalan ng parehong mga istadyum, makakakuha tayo ng marami, dahil magkaiba ang mga pangalan. Gaya ng nakikita mo, ang parehong hanay ng mga elemento ay parehong set at multiset. Ano ang tama? At dito ang mathematician-shaman-sharpist ay naglabas ng isang ace of trumps mula sa kanyang manggas at nagsimulang sabihin sa amin ang tungkol sa isang set o isang multiset. Sa anumang kaso, kukumbinsihin niya tayo na tama siya.

Upang maunawaan kung paano gumagana ang mga modernong shaman sa teorya ng set, tinali ito sa katotohanan, sapat na upang sagutin ang isang tanong: paano naiiba ang mga elemento ng isang set mula sa mga elemento ng isa pang set? Ipapakita ko sa iyo, nang walang anumang "maiisip bilang hindi isang solong kabuuan" o "hindi maiisip bilang isang solong kabuuan."

Tawagin natin ang pag-ikot ng gumagalaw na radius vector sa pakaliwa na direksyon na positibo, at sa kabaligtaran na direksyon (clockwise na direksyon) ay negatibo. Ang anggulo na inilalarawan ng negatibong pag-ikot ng gumagalaw na radius vector ay tatawaging negatibong anggulo.

Panuntunan. Ang anggulo ay sinusukat gamit ang isang positibong numero kung ito ay positibo at isang negatibong numero kung ito ay negatibo.

Halimbawa 1. Sa Fig. Ang 80 ay nagpapakita ng dalawang anggulo na may karaniwang panimulang bahagi OA at isang karaniwang pangwakas na bahagi OD: ang isa ay katumbas ng +270°, ang isa ay -90°.

Ang kabuuan ng dalawang anggulo. Sa coordinate plane na Oxy, isaalang-alang ang isang bilog ng unit radius na ang sentro ay nasa pinanggalingan (Larawan 81).

Hayaan ang isang di-makatwirang anggulo a (positibo sa drawing) bilang resulta ng pag-ikot ng isang tiyak na gumagalaw na radius vector mula sa paunang posisyon nito OA, kasabay ng positibong direksyon ng Ox axis, hanggang sa huling posisyon nito.

Kunin natin ngayon ang posisyon ng radius vector OE bilang paunang isa at magtabi ng isang di-makatwirang anggulo mula dito (positibo sa pagguhit), na nakuha natin bilang resulta ng pag-ikot ng isang tiyak na gumagalaw na radius vector mula sa paunang posisyon nito OE hanggang sa panghuling posisyon OS. Bilang resulta ng mga pagkilos na ito, makakakuha tayo ng isang anggulo, na tatawagin natin ang kabuuan ng mga anggulo a at . (Paunang posisyon ng gumagalaw na radius vector OA, huling posisyon ng radius vector OS.)

Pagkakaiba sa pagitan ng dalawang anggulo.

Sa pamamagitan ng pagkakaiba ng dalawang anggulo a at , na tinutukoy natin ay mauunawaan natin ang ikatlong anggulo y, na sa kabuuan ng anggulo ay nagbibigay ng anggulo a, ibig sabihin, kung ang pagkakaiba ng dalawang anggulo ay maaaring bigyang-kahulugan bilang kabuuan ng mga anggulo a at . Sa katunayan, sa pangkalahatan, para sa anumang mga anggulo ang kanilang kabuuan ay sinusukat ng algebraic na kabuuan ng mga tunay na numero na sumusukat sa mga anggulong ito.

Halimbawa 2. pagkatapos .

Halimbawa 3. Anggulo , at anggulo . Ang kabuuan ng mga ito.

Sa formula (95.1) ipinapalagay na - anumang non-negative integer. Kung ipagpalagay natin na anumang integer (positibo, negatibo o zero), pagkatapos ay gamitin ang formula

kung saan maaari kang sumulat ng anumang anggulo, parehong positibo at negatibo.

Halimbawa 4. Ang isang anggulo na katumbas ng -1370° ay maaaring isulat tulad ng sumusunod:

Tandaan na ang lahat ng mga anggulo na isinulat gamit ang formula (96.1), na may iba't ibang mga halaga ng , ngunit pareho ang a, ay may karaniwang mga gilid ng inisyal (OA) at panghuling (OE) (Fig. 79). Samakatuwid, ang pagtatayo ng anumang anggulo ay nabawasan sa pagtatayo ng kaukulang di-negatibong anggulo na mas mababa sa 360°. Sa Fig. Ang 79 na mga anggulo ay hindi naiiba sa bawat isa; naiiba lamang sila sa proseso ng pag-ikot ng radius vector, na humantong sa kanilang pagbuo.

Sa huling aralin, matagumpay naming pinagkadalubhasaan (o paulit-ulit, depende kung sino) ang mga pangunahing konsepto ng lahat ng trigonometrya. Ito trigonometriko na bilog , anggulo sa isang bilog , sine at cosine ng anggulong ito , at pinagkadalubhasaan din mga palatandaan ng trigonometriko function sa pamamagitan ng quarters . Pinagkadalubhasaan namin ito nang detalyado. Sa mga daliri, maaaring sabihin ng isa.

Ngunit ito ay hindi pa sapat. Upang matagumpay na mailapat ang lahat ng mga simpleng konseptong ito sa pagsasanay, kailangan namin ng isa pang kapaki-pakinabang na kasanayan. Ibig sabihin, ang tama nagtatrabaho sa mga sulok sa trigonometry. Kung wala ang kasanayang ito sa trigonometrya, walang paraan. Kahit na sa pinaka primitive na mga halimbawa. Bakit? Oo, dahil ang anggulo ay ang key operating figure sa lahat ng trigonometry! Hindi, hindi trigonometric function, hindi sine at cosine, hindi tangent at cotangent, lalo ang sulok mismo. Ang walang anggulo ay nangangahulugang walang trigonometriko function, oo...

Paano gumawa ng mga anggulo sa isang bilog? Upang gawin ito, kailangan nating mahigpit na hawakan ang dalawang punto.

1) Paano Nasusukat ba ang mga anggulo sa isang bilog?

2) Ano sila ba ay binibilang (nasusukat)?

Ang sagot sa unang tanong ay ang paksa ng aralin ngayon. Haharapin natin ang unang tanong nang detalyado dito at ngayon. Hindi ko ibibigay ang sagot sa pangalawang tanong dito. Dahil ito ay lubos na binuo. Just like the second question itself is very slippery, yes.) I will not go into details yet. Ito ang paksa ng susunod na hiwalay na aralin.

Magsimula na tayo?

Paano sinusukat ang mga anggulo sa isang bilog? Positibo at negatibong mga anggulo.

Ang mga nagbabasa ng pamagat ng talata ay maaaring nakatayo na ang kanilang mga balahibo. Paano kaya?! Mga negatibong anggulo? Posible ba ito?

Sa negatibo numero Nasanay na kami. Maaari nating ilarawan ang mga ito sa axis ng numero: sa kanan ng zero ay positibo, sa kaliwa ng zero ay negatibo. Oo, at pana-panahon naming tinitingnan ang thermometer sa labas ng bintana. Lalo na sa taglamig, sa lamig.) At ang pera sa telepono ay nasa minus (i.e. tungkulin) minsan umaalis sila. Pamilyar lahat ito.

Paano ang mga kanto? Lumalabas na ang mga negatibong anggulo sa matematika meron din! Ang lahat ay nakasalalay sa kung paano sukatin ang mismong anggulo na ito... hindi, hindi sa linya ng numero, ngunit sa bilog ng numero! Iyon ay, sa isang bilog. Ang bilog - narito, isang analogue ng linya ng numero sa trigonometrya!

Kaya, Paano sinusukat ang mga anggulo sa isang bilog? Wala tayong magagawa, kailangan muna nating iguhit ang mismong bilog na ito.

Iguguhit ko itong magandang larawan:

Ito ay halos kapareho ng mga larawan mula sa huling aralin. May mga palakol, may bilog, may anggulo. Ngunit mayroon ding bagong impormasyon.

Nagdagdag din ako ng 0°, 90°, 180°, 270° at 360° na mga numero sa mga palakol. Ngayon ito ay mas kawili-wili.) Anong uri ng mga numero ito? Tama! Ito ang mga halaga ng anggulo na sinusukat mula sa aming nakapirming panig na bumabagsak sa coordinate axes. Tandaan natin na ang nakapirming bahagi ng anggulo ay palaging mahigpit na nakatali sa positibong semi-axis na OX. At ang anumang anggulo sa trigonometrya ay tiyak na sinusukat mula sa semi-axis na ito. Ang pangunahing panimulang punto para sa mga anggulo ay dapat panatilihing matatag sa isip. At ang mga palakol - nagsalubong sila sa tamang mga anggulo, tama ba? Kaya nagdaragdag kami ng 90° sa bawat quarter.

At idinagdag pa pulang pana. May plus. Sinasadya ang pula para mapansin. At ito ay nakaukit ng mabuti sa aking alaala. Dahil ito ay dapat tandaan na mapagkakatiwalaan.) Ano ang ibig sabihin ng palasong ito?

Kaya pala kung iikot natin ang ating sulok kasama ang arrow na may plus(counterclockwise, ayon sa pag-numero ng quarters), pagkatapos ay ang anggulo ituturing na positibo! Bilang isang halimbawa, ang figure ay nagpapakita ng isang anggulo ng +45°. Sa pamamagitan ng paraan, pakitandaan na ang mga anggulo ng axial na 0°, 90°, 180°, 270° at 360° ay rewound din sa positibong direksyon! Sundin ang pulang arrow.

Ngayon tingnan natin ang isa pang larawan:

Halos lahat ay pareho dito. Tanging ang mga anggulo sa mga palakol ang binibilang baligtad. Clockwise. At may minus sign sila.) Naka-drawing pa asul na palaso. May minus din. Ang arrow na ito ay ang direksyon ng mga negatibong anggulo sa bilog. Ipinakikita niya sa amin iyon kung ipagpaliban namin ang aming sulok clockwise, Iyon ang anggulo ay ituturing na negatibo. Halimbawa, nagpakita ako ng anggulo na -45°.

Sa pamamagitan ng paraan, mangyaring tandaan na ang pagnunumero ng mga quarter ay hindi nagbabago! Hindi mahalaga kung ililipat natin ang mga anggulo sa plus o minus. Laging mahigpit na counterclockwise.)

Tandaan:

1. Ang panimulang punto para sa mga anggulo ay mula sa positibong semi-axis na OX. Sa pamamagitan ng orasan - "minus", laban sa orasan - "plus".

2. Ang pagnunumero ng quarters ay palaging counterclockwise, anuman ang direksyon kung saan kinakalkula ang mga anggulo.

Sa pamamagitan ng paraan, ang pag-label ng mga anggulo sa mga axes 0°, 90°, 180°, 270°, 360°, sa bawat pagguhit ng bilog, ay hindi sapilitan. Ginagawa ito para lamang sa pag-unawa sa punto. Ngunit ang mga numerong ito ay dapat naroroon sa iyong ulo kapag nilulutas ang anumang problema sa trigonometrya. Bakit? Oo, dahil ang pangunahing kaalaman na ito ay nagbibigay ng mga sagot sa napakaraming iba pang tanong sa lahat ng trigonometrya! Ang pinakamahalagang tanong ay Saang quarter nahuhulog ang anggulong interesado tayo? Maniwala ka man o hindi, ang pagsagot sa tanong na ito ng tama ay malulutas ang malaking bahagi ng lahat ng iba pang mga problema sa trigonometrya. Haharapin natin ang mahalagang gawaing ito (pamamahagi ng mga anggulo sa mga quarter) sa parehong aralin, ngunit sa ibang pagkakataon.

Ang mga halaga ng mga anggulo na nakahiga sa mga coordinate axes (0°, 90°, 180°, 270° at 360°) ay dapat tandaan! Alalahanin ito nang mahigpit, hanggang sa maging awtomatiko. At parehong plus at minus.

Ngunit mula sa sandaling ito magsisimula ang mga unang sorpresa. At kasama nila, ang mga nakakalito na tanong na naka-address sa akin, oo...) Ano ang mangyayari kung may negatibong anggulo sa isang bilog kasabay ng positibo? Lumalabas na ang parehong punto sa isang bilog ay maaaring tukuyin ng parehong positibo at negatibong anggulo???

Ganap na tama! Ito ay totoo.) Halimbawa, ang isang positibong anggulo ng +270° ay sumasakop sa isang bilog parehong sitwasyon , kapareho ng isang negatibong anggulo na -90°. O, halimbawa, ang isang positibong anggulo ng +45° sa isang bilog ay kukuha parehong sitwasyon , kapareho ng negatibong anggulo -315°.

Tinitingnan namin ang susunod na pagguhit at nakikita ang lahat:

Sa parehong paraan, ang isang positibong anggulo ng +150° ay mahuhulog sa parehong lugar bilang isang negatibong anggulo ng -210°, ang isang positibong anggulo ng +230° ay mahuhulog sa parehong lugar bilang isang negatibong anggulo ng -130°. At iba pa…

At ngayon ano ang magagawa ko? Paano eksaktong magbilang ng mga anggulo, kung magagawa mo ito sa ganitong paraan at iyon? Ano ang tama?

Sagot: sa lahat ng paraan tama! Hindi ipinagbabawal ng matematika ang alinman sa dalawang direksyon para sa pagbibilang ng mga anggulo. At ang pagpili ng isang tiyak na direksyon ay nakasalalay lamang sa gawain. Kung ang takdang-aralin ay walang sinasabi sa simpleng teksto tungkol sa tanda ng anggulo (tulad ng "tukuyin ang pinakamalaki negatibo sulok" atbp.), pagkatapos ay nagtatrabaho kami sa mga anggulo na pinaka-maginhawa para sa amin.

Siyempre, halimbawa, sa mga cool na paksa tulad ng mga trigonometric equation at hindi pagkakapantay-pantay, ang direksyon ng pagkalkula ng anggulo ay maaaring magkaroon ng malaking epekto sa sagot. At sa mga nauugnay na paksa ay isasaalang-alang natin ang mga pitfalls na ito.

Tandaan:

Ang anumang punto sa isang bilog ay maaaring italaga ng alinman sa positibo o negatibong anggulo. Sinuman! Kahit anong gusto natin.

Ngayon pag-isipan natin ito. Nalaman namin na ang isang anggulo ng 45° ay eksaktong kapareho ng isang anggulo ng -315°? Paano ko nalaman ang tungkol sa parehong 315 na ito° ? Hindi mo ba mahuhulaan? Oo! Sa pamamagitan ng isang buong pag-ikot.) Sa 360°. Mayroon kaming anggulo na 45°. Gaano katagal bago makumpleto ang isang buong rebolusyon? Ibawas 45° mula sa 360° - kaya nakakakuha tayo ng 315° . Lumipat sa negatibong direksyon at makakakuha tayo ng anggulo na -315°. Hindi pa rin malinaw? Pagkatapos ay tingnan muli ang larawan sa itaas.

At ito ay dapat palaging gawin kapag nagko-convert ng mga positibong anggulo sa negatibo (at kabaligtaran) - gumuhit ng isang bilog, markahan humigit-kumulang isang naibigay na anggulo, kinakalkula namin kung gaano karaming mga degree ang nawawala upang makumpleto ang isang buong rebolusyon, at ilipat ang nagresultang pagkakaiba sa tapat na direksyon. Iyon lang.)

Ano pa ang kawili-wili sa mga anggulo na sumasakop sa parehong posisyon sa isang bilog, sa palagay mo? At ang katotohanan na sa gayong mga sulok eksaktong pareho sine, cosine, tangent at cotangent! Laging!

Halimbawa:

Sin45° = kasalanan(-315°)

Cos120° = cos(-240°)

Tg249° = tg(-111°)

Ctg333° = ctg(-27°)

Ngunit ito ay lubhang mahalaga! Para saan? Oo, lahat para sa parehong bagay!) Upang gawing simple ang mga expression. Dahil ang pagpapasimple ng mga expression ay isang pangunahing pamamaraan para sa isang matagumpay na solusyon anuman mga takdang aralin sa matematika. At sa trigonometry din.

Kaya, nalaman namin ang pangkalahatang tuntunin para sa pagbibilang ng mga anggulo sa isang bilog. Buweno, kung sinimulan nating pag-usapan ang tungkol sa mga buong pagliko, mga quarter turn, pagkatapos ay oras na upang i-twist at iguhit ang mismong mga sulok na ito. Magdra-drawing tayo?)

Magsimula tayo sa positibo mga sulok Sila ay magiging mas madali upang gumuhit.

Gumuhit kami ng mga anggulo sa loob ng isang rebolusyon (sa pagitan ng 0° at 360°).

Gumuhit tayo, halimbawa, ng isang anggulo na 60°. Simple lang ang lahat dito, walang hassles. Gumuhit kami ng mga coordinate axes at isang bilog. Magagawa mo ito nang direkta sa pamamagitan ng kamay, nang walang anumang compass o ruler. Magdrawing tayo eskematiko: Hindi kami nagdo-drawing sa iyo. Hindi mo kailangang sumunod sa anumang GOST, hindi ka mapaparusahan.)

Maaari mong (para sa iyong sarili) markahan ang mga halaga ng anggulo sa mga palakol at ituro ang arrow sa direksyon laban sa orasan. Pagkatapos ng lahat, kami ay mag-iipon bilang isang plus?) Hindi mo kailangang gawin ito, ngunit kailangan mong panatilihin ang lahat sa iyong ulo.

At ngayon iginuhit namin ang pangalawang (gumagalaw) na bahagi ng sulok. Sa anong quarter? Sa una, siyempre! Dahil ang 60 degrees ay mahigpit na nasa pagitan ng 0° at 90°. Kaya gumuhit kami sa unang quarter. Sa isang anggulo humigit-kumulang 60 degrees sa nakapirming panig. Paano magbilang humigit-kumulang 60 degrees na walang protractor? Madali lang! 60° ay dalawang katlo ng isang tamang anggulo! Hinahati namin sa isip ang unang diyablo ng bilog sa tatlong bahagi, kumukuha ng dalawang-katlo para sa ating sarili. At gumuhit kami... Magkano ang aktwal na narating namin doon (kung ikabit mo ang isang protractor at sukat) - 55 degrees o 64 - hindi mahalaga! Mahalaga na ito ay nasa isang lugar pa rin mga 60°.

Nakuha namin ang larawan:

Iyon lang. At walang mga kagamitan na kailangan. Palakihin natin ang ating mata! Makakatulong ito sa mga problema sa geometry.) Ang hindi magandang tingnan na pagguhit ay kailangang-kailangan kapag kailangan mong mabilis na magsulat ng isang bilog at isang anggulo, nang hindi talaga iniisip ang tungkol sa kagandahan. Pero sabay scribble Tama, nang walang mga pagkakamali, kasama ang lahat ng kinakailangang impormasyon. Halimbawa, bilang tulong sa paglutas ng mga trigonometrikong equation at hindi pagkakapantay-pantay.

Gumuhit tayo ngayon ng isang anggulo, halimbawa, 265°. Alamin natin kung saan ito matatagpuan? Buweno, malinaw na hindi sa unang quarter at hindi kahit sa pangalawa: nagtatapos sila sa 90 at 180 degrees. Maaari mong malaman na ang 265° ay 180° at isa pang 85°. Iyon ay, sa negatibong semi-axis OX (kung saan 180°) kailangan mong idagdag humigit-kumulang 85°. O, kahit na mas simple, hulaan na ang 265° ay hindi umabot sa negatibong semi-axis OY (kung saan ang 270° ay) ilang kapus-palad na 5°. Sa madaling salita, sa ikatlong quarter ay magkakaroon ng ganitong anggulo. Napakalapit sa negatibong semi-axis OY, sa 270 degrees, ngunit nasa pangatlo pa rin!

Gumuhit tayo:

Muli, hindi kinakailangan ang ganap na katumpakan dito. Hayaan sa katotohanan na ang anggulong ito ay maging, sabihin nating, 263 degrees. Ngunit sa pinakamahalagang tanong (anong quarter?) sagot namin ng tama. Bakit ito ang pinakamahalagang tanong? Oo, dahil ang anumang gawaing may anggulo sa trigonometrya (hindi mahalaga kung iguguhit natin ang anggulong ito o hindi) ay nagsisimula sa sagot sa eksaktong tanong na ito! Laging. Kung balewalain mo ang tanong na ito o susubukan mong sagutin ito sa isip, kung gayon ang mga pagkakamali ay halos hindi maiiwasan, oo... Kailangan mo ba ito?

Tandaan:

Ang anumang gawaing may anggulo (kabilang ang pagguhit ng mismong anggulong ito sa isang bilog) ay palaging nagsisimula sa pagtukoy sa quarter kung saan bumagsak ang anggulong ito.

Ngayon, umaasa akong maaari mong tumpak na ilarawan ang mga anggulo, halimbawa, 182°, 88°, 280°. SA tama quarters. Sa ikatlo, una at ikaapat, kung iyon...)

Ang ikaapat na quarter ay nagtatapos sa isang anggulo na 360°. Ito ay isang buong rebolusyon. Malinaw na ang anggulong ito ay sumasakop sa parehong posisyon sa bilog bilang 0° (i.e., ang pinagmulan). Ngunit ang mga anggulo ay hindi nagtatapos doon, oo...

Ano ang gagawin sa mga anggulo na higit sa 360°?

"May mga ganyan ba talaga?"- tanong mo. Mangyayari nga sila! Mayroong, halimbawa, isang anggulo ng 444°. At kung minsan, sabihin nating, isang anggulo ng 1000°. Mayroong lahat ng uri ng mga anggulo.) Kaya lang, ang mga ganitong kakaibang anggulo ay nakikitang mas mahirap ng kaunti kaysa sa mga anggulo na nakasanayan natin sa loob ng isang rebolusyon. Ngunit kailangan mo ring ma-drawing at makalkula ang mga naturang anggulo, oo.

Upang wastong gumuhit ng gayong mga anggulo sa isang bilog, kailangan mong gawin ang parehong bagay - alamin Saang quarter nahuhulog ang anggulong interesado tayo? Dito, ang kakayahang tumpak na matukoy ang quarter ay mas mahalaga kaysa sa mga anggulo mula 0° hanggang 360°! Ang pamamaraan para sa pagtukoy ng quarter mismo ay kumplikado sa pamamagitan lamang ng isang hakbang. Makikita mo kung ano ito sa lalong madaling panahon.

Kaya, halimbawa, kailangan nating malaman kung saang kuwadrante nahuhulog ang 444° anggulo. Simulan na natin ang pag-ikot. saan? Isang plus, siyempre! Binigyan nila kami ng positive angle! +444°. Nag-twist kami, nag-twist kami... Pinaikot namin ito ng isang liko - umabot kami ng 360°.

Gaano katagal ang natitira hanggang 444°?Binibilang namin ang natitirang buntot:

444°-360° = 84°.

Kaya, ang 444° ay isang buong pag-ikot (360°) at isa pang 84°. Malinaw na ito ang unang quarter. Kaya, bumaba ang anggulo na 444° sa unang quarter. Natapos na ang kalahati ng labanan.

Ngayon ang lahat na natitira ay upang ilarawan ang anggulong ito. Paano? Napakasimple! Gumagawa kami ng isang buong pagliko sa kahabaan ng pula (plus) na arrow at magdagdag ng isa pang 84°.

Ganito:

Dito hindi ako nag-abala sa pag-clutter ng drawing - pag-label ng quarters, pagguhit ng mga anggulo sa mga palakol. Ang lahat ng magagandang bagay na ito ay dapat na nasa aking isipan nang mahabang panahon.)

Ngunit gumamit ako ng "snail" o isang spiral upang ipakita nang eksakto kung paano nabuo ang isang anggulo ng 444° mula sa mga anggulo ng 360° at 84°. Ang may tuldok na pulang linya ay isang buong rebolusyon. Kung saan ang 84° (solid na linya) ay karagdagang screwed. Siyanga pala, pakitandaan na kung ang buong rebolusyong ito ay itatapon, hindi ito makakaapekto sa posisyon ng ating anggulo sa anumang paraan!

Ngunit ito ay mahalaga! Posisyon ng anggulo 444° ganap na nagtutugma na may posisyong anggulo na 84°. Walang mga himala, iyon lang ang lumalabas.)

Posible bang itapon ang hindi isang buong rebolusyon, ngunit dalawa o higit pa?

Bakit hindi? Kung ang anggulo ay mabigat, kung gayon hindi lamang ito posible, ngunit kailangan pa! Hindi magbabago ang anggulo! Mas tiyak, ang anggulo mismo ay, siyempre, magbabago sa magnitude. Pero ang posisyon niya sa bilog - no way!) Kaya sila puno na revolutions, na kahit gaano karaming kopya ang idagdag mo, kahit gaano karami ang ibawas mo, mapupunta ka pa rin sa parehong punto. Ang ganda, di ba?

Tandaan:

Kung idaragdag mo (babawas) ang anumang anggulo sa isang anggulo buo ang bilang ng buong rebolusyon, HINDI magbabago ang posisyon ng orihinal na anggulo sa bilog!

Halimbawa:

Saang quarter nahuhulog ang 1000° na anggulo?

Walang problema! Binibilang namin kung gaano karaming mga buong rebolusyon ang nakaupo sa isang libong degree. Ang isang rebolusyon ay 360°, isa pa ay 720° na, ang pangatlo ay 1080°... Tumigil! Sobra! Nangangahulugan ito na ito ay nakaupo sa isang anggulo ng 1000° dalawa buong liko. Itatapon namin ang mga ito sa 1000° at kalkulahin ang natitira:

1000° - 2 360° = 280°

Kaya, ang posisyon ng anggulo ay 1000° sa bilog pareho, tulad ng sa isang anggulo ng 280°. Alin ang mas masarap magtrabaho.) At saan nahuhulog ang sulok na ito? Bumagsak ito sa ikaapat na quarter: 270° (negatibong semi-axis OY) at isa pang sampu.

Gumuhit tayo:

Dito ay hindi na ako gumuhit ng dalawang buong pagliko gamit ang isang tuldok na spiral: ito ay lumalabas na masyadong mahaba. Iginuhit ko na lang ang natitirang buntot mula sa zero, itinatapon Lahat dagdag na pagliko. Para bang wala talaga sila.)

Muli. Sa mabuting paraan, ang mga anggulo na 444° at 84°, pati na rin ang 1000° at 280°, ay magkaiba. Ngunit para sa sine, cosine, tangent at cotangent ang mga anggulong ito ay - pareho!

Tulad ng nakikita mo, upang gumana sa mga anggulo na higit sa 360°, kailangan mong matukoy kung gaano karaming mga buong rebolusyon ang nakaupo sa isang malaking anggulo. Ito ang napaka karagdagang hakbang na dapat gawin muna kapag nagtatrabaho sa mga naturang anggulo. Walang kumplikado, tama?

Ang pagtanggi sa buong rebolusyon ay, siyempre, isang kaaya-ayang karanasan.) Ngunit sa pagsasagawa, kapag nagtatrabaho sa ganap na kahila-hilakbot na mga anggulo, ang mga paghihirap ay lumitaw.

Halimbawa:

Saang quarter nahuhulog ang anggulo na 31240°?

Kaya ano, magdaragdag ba tayo ng 360 degrees nang marami, maraming beses? Pwede naman, kung hindi masyadong masunog. Pero hindi lang natin madadagdagan.) Pwede rin nating hatiin!

Kaya't hatiin natin ang ating malaking anggulo sa 360 degrees!

Sa pagkilos na ito malalaman natin nang eksakto kung gaano karaming mga buong rebolusyon ang nakatago sa ating 31240 degrees. Maaari mong hatiin ito sa isang sulok, maaari mong (bumulong sa iyong tainga:)) sa isang calculator.)

Nakukuha namin ang 31240:360 = 86.777777….

Ang katotohanan na ang bilang ay naging fractional ay hindi nakakatakot. Kami lang buo Interesado ako sa revs! Samakatuwid, hindi na kailangang ganap na hatiin.)

Kaya, sa aming shaggy coal ay nakaupo ng kasing dami ng 86 full revolutions. Katatakutan...

Magiging degree ito86·360° = 30960°

Ganito. Ito ay eksakto kung gaano karaming mga degree ang maaaring itapon nang walang sakit sa isang naibigay na anggulo na 31240°. Labi:

31240° - 30960° = 280°

Lahat! Ang posisyon ng anggulo 31240° ay ganap na nakilala! Parehong lugar bilang 280°. Yung. fourth quarter.) I think nailarawan na natin ang anggulong ito dati? Kailan iginuhit ang 1000° angle?) Doon din kami nagpunta ng 280 degrees. Pagkakataon.)

Kaya, ang moral ng kuwentong ito ay:

Kung bibigyan tayo ng nakakatakot na mabigat na anggulo, kung gayon:

1. Tukuyin kung ilang buong rebolusyon ang nakaupo sa sulok na ito. Upang gawin ito, hatiin ang orihinal na anggulo ng 360 at itapon ang fractional na bahagi.

2. Binibilang namin kung gaano karaming mga degree ang mayroon sa nagresultang bilang ng mga rebolusyon. Upang gawin ito, i-multiply ang bilang ng mga rebolusyon sa 360.

3. Ibinabawas namin ang mga rebolusyong ito mula sa orihinal na anggulo at gumagana sa karaniwang anggulo mula 0° hanggang 360°.

Paano magtrabaho sa mga negatibong anggulo?

Walang problema! Eksaktong kapareho ng sa mga positibo, mayroon lamang isang pagkakaiba. Alin? Oo! Kailangan mong lumiko sa mga sulok reverse side, minus! Pupunta sa clockwise.)

Gumuhit tayo, halimbawa, isang anggulo ng -200°. Una, ang lahat ay gaya ng dati para sa mga positibong anggulo - mga palakol, bilog. Gumuhit din tayo ng asul na arrow na may minus at pirmahan ang mga anggulo sa mga palakol sa ibang paraan. Natural, kakailanganin din silang mabilang sa negatibong direksyon. Magiging pareho ang mga ito ng mga anggulo, lumalampas sa 90°, ngunit binibilang sa kabaligtaran na direksyon, hanggang sa minus: 0°, -90°, -180°, -270°, -360°.

Magiging ganito ang larawan:

Kapag nagtatrabaho sa mga negatibong anggulo, kadalasan ay may pakiramdam ng bahagyang pagkalito. Paano kaya?! Lumalabas na ang parehong axis ay, sabihin nating, +90° at -270° sa parehong oras? Hindi, may kakaiba dito...

Oo, malinis at transparent ang lahat! Alam na natin na ang anumang punto sa isang bilog ay maaaring tawaging positibo o negatibong anggulo! Ganap na kahit ano. Kasama sa ilan sa mga coordinate axes. Sa aming kaso kailangan namin negatibo calculus ng anggulo. Kaya pinutol namin ang lahat ng sulok sa minus.)

Ngayon ang pagguhit ng anggulo -200° nang tama ay hindi mahirap. Ito ay -180° at minus isa pang 20°. Nagsisimula kaming mag-ugoy mula sa zero hanggang minus: lumipad kami sa ika-apat na quarter, napalampas din namin ang pangatlo, umabot kami sa -180 °. Saan ko dapat gugulin ang natitirang dalawampu? Oo, nandiyan ang lahat! Sa oras.) Ang kabuuang anggulo -200° ay nasa loob pangalawa quarter.

Ngayon naiintindihan mo na ba kung gaano kahalaga na maalala ang mga anggulo sa mga coordinate axes?

Ang mga anggulo sa mga coordinate axes (0°, 90°, 180°, 270°, 360°) ay dapat na maalala nang tumpak upang tumpak na matukoy ang quarter kung saan bumagsak ang anggulo!

Paano kung malaki ang anggulo, na may ilang buong pagliko? ayos lang! Ano ang pagkakaiba nito kung ang mga buong rebolusyong ito ay naging positibo o negatibo? Ang isang punto sa isang bilog ay hindi magbabago sa posisyon nito!

Halimbawa:

Saang quarter nahuhulog ang anggulo ng -2000°?

Lahat pare-pareho! Una, binibilang natin kung ilang buong rebolusyon ang nakaupo sa masamang sulok na ito. Upang hindi magulo ang mga palatandaan, iwanan muna natin ang minus sa ngayon at hatiin lamang ang 2000 sa 360. Makakakuha tayo ng 5 na may buntot. Wala kaming pakialam sa buntot sa ngayon, bibilangin namin ito nang kaunti kapag gumuhit kami ng sulok. Nagbibilang kami lima buong rebolusyon sa mga degree:

5 360° = 1800°

Wow. Ito ay eksakto kung gaano karaming mga dagdag na degree ang maaari nating ligtas na itapon sa ating sulok nang hindi nakakasama sa ating kalusugan.

Binibilang namin ang natitirang buntot:

2000° – 1800° = 200°

Ngunit ngayon ay naaalala natin ang tungkol sa minus.) Saan natin iikot ang 200° na buntot? Minus, siyempre! Binigyan tayo ng negatibong anggulo.)

2000° = -1800° - 200°

Kaya gumuhit kami ng isang anggulo ng -200°, nang walang anumang dagdag na rebolusyon. Kaka-drawing ko pa lang, but so be it, I’ll draw it one more time. Gamit ang kamay.

Malinaw na ang ibinigay na anggulo -2000°, pati na rin ang -200°, ay nasa loob ikalawang quarter.

Kaya, mabaliw tayo... sorry... on our head:

Kung ang isang napakalaking negatibong anggulo ay ibinigay, kung gayon ang unang bahagi ng pagtatrabaho dito (paghahanap ng bilang ng mga buong rebolusyon at pagtatapon sa kanila) ay kapareho ng kapag nagtatrabaho sa isang positibong anggulo. Ang minus sign ay hindi gumaganap ng anumang papel sa yugtong ito ng solusyon. Ang pag-sign ay isinasaalang-alang lamang sa pinakadulo, kapag nagtatrabaho sa natitirang anggulo pagkatapos alisin ang buong rebolusyon.

Tulad ng nakikita mo, ang pagguhit ng mga negatibong anggulo sa isang bilog ay hindi mas mahirap kaysa sa mga positibo.

Ang lahat ay pareho, tanging sa kabilang direksyon! Sa oras!

Ngayon ay dumating ang masayang bahagi! Tumingin kami sa mga positibong anggulo, negatibong mga anggulo, malalaking anggulo, maliliit na anggulo - ang buong saklaw. Nalaman din namin na ang anumang punto sa isang bilog ay maaaring tawaging positibo at negatibong anggulo, itinapon namin ang buong mga rebolusyon... Any thoughts? Dapat ipagpaliban...

Oo! Anuman ang punto sa bilog na iyong kunin, ito ay tumutugma sa walang katapusang bilang ng mga anggulo! Malalaki at hindi napakalaki, positibo at negatibo - lahat ng uri! At ang pagkakaiba sa pagitan ng mga anggulong ito ay magiging buo bilang ng buong rebolusyon. Laging! Ganyan gumagana ang trigonometric circle, oo...) Kaya naman reverse ang gawain ay hanapin ang anggulo gamit ang kilalang sine/cosine/tangent/cottangent - nalulusaw malabo. At mas mahirap. Sa kaibahan sa direktang problema - binigyan ng isang anggulo, hanapin ang buong hanay ng mga trigonometric function nito. At sa mas seryosong mga paksa ng trigonometrya ( mga arko, trigonometriko mga equation At hindi pagkakapantay-pantay ) makakatagpo tayo ng trick na ito sa lahat ng oras. Nasasanay na tayo.)

1. Saang quarter nahuhulog ang -345° anggulo?

2. Saang quarter nahuhulog ang anggulong 666°?

3. Saang quarter nahuhulog ang anggulong 5555°?

4. Saang quarter nahuhulog ang anggulo ng -3700°?

5. Anong palatandaan ang ginagawacos999°?

6. Anong palatandaan ang ginagawactg999°?

At gumana ba ito? Kahanga-hanga! May problema? Tapos ikaw.

Mga sagot:

1. 1

2. 4

3. 2

4. 3

5. "+"

6. "-"

Sa pagkakataong ito ang mga sagot ay ibinigay sa pagkakasunud-sunod, paglabag sa tradisyon. Sapagkat mayroon lamang apat na quarters, at mayroon lamang dalawang palatandaan. Hindi ka masyadong tatakas...)

Sa susunod na aralin ay pag-uusapan natin ang tungkol sa mga radian, tungkol sa mahiwagang numerong "pi", matututunan natin kung paano madali at simpleng i-convert ang mga radian sa mga degree at vice versa. At magugulat tayo na matuklasan na kahit na ang simpleng kaalaman at kasanayang ito ay magiging sapat na para matagumpay nating malutas ang maraming di-maliit na problema sa trigonometrya!

Sulok: ° π rad =

I-convert sa: radians degrees 0 - 360° 0 - 2π positive negative Kalkulahin

Kapag nagsalubong ang mga linya, mayroong apat na magkakaibang lugar na nauugnay sa punto ng intersection.
Ang mga bagong lugar na ito ay tinatawag na mga sulok.

Ang larawan ay nagpapakita ng 4 na magkakaibang anggulo na nabuo sa pamamagitan ng intersection ng mga linyang AB at CD

Ang mga anggulo ay karaniwang sinusukat sa mga degree, na tinutukoy bilang °. Kapag ang isang bagay ay gumawa ng isang kumpletong bilog, iyon ay, gumagalaw mula sa punto D hanggang B, C, A, at pagkatapos ay bumalik sa D, pagkatapos ay sinasabing ito ay naging 360 degrees (360°). Kaya ang isang degree ay $\frac(1)(360)$ ng isang bilog.

Ang mga anggulo na higit sa 360 degrees

Napag-usapan namin kung paano kapag ang isang bagay ay gumawa ng isang buong bilog sa paligid ng isang punto, ito ay 360 degrees, gayunpaman, kapag ang isang bagay ay gumawa ng higit sa isang bilog, ito ay gumagawa ng isang anggulo na higit sa 360 degrees. Ito ay isang pangkaraniwang pangyayari sa pang-araw-araw na buhay. Ang gulong ay umiikot sa maraming bilog kapag ang kotse ay gumagalaw, iyon ay, ito ay bumubuo ng isang anggulo na higit sa 360°.

Upang malaman ang bilang ng mga cycle (mga bilog na nakumpleto) kapag umiikot ang isang bagay, binibilang namin ang bilang ng mga beses na kailangan naming magdagdag ng 360 sa sarili nito upang makakuha ng isang numero na katumbas o mas mababa sa isang naibigay na anggulo. Sa parehong paraan, nakahanap kami ng isang numero na i-multiply namin sa 360 upang makakuha ng isang numero na mas maliit ngunit pinakamalapit sa ibinigay na anggulo.

Halimbawa 2
1. Hanapin ang bilang ng mga bilog na inilarawan ng isang bagay na bumubuo ng isang anggulo
a) 380°
b) 770°
c) 1000°
Solusyon
a) 380 = (1 × 360) + 20
Inilarawan ng bagay ang isang bilog at 20°
Dahil $20^(\circ) = \frac(20)(360) = \frac(1)(18)$ circle
Inilarawan ng bagay ang $1\frac(1)(18)$ na bilog.

B) 2 × 360 = 720
770 = (2 × 360) + 50
Inilarawan ng bagay ang dalawang bilog at 50°
$50^(\circ) = \frac(50)(360) = \frac(5)(36)$ bilog
Inilarawan ng bagay ang $2\frac(5)(36)$ ng isang bilog
c)2 × 360 = 720
1000 = (2 × 360) + 280
$280^(\circ) = \frac(260)(360) = \frac(7)(9)$ na bilog
Inilarawan ng bagay ang $2\frac(7)(9)$ na bilog

Kapag ang isang bagay ay umiikot nang pakanan, ito ay bumubuo ng isang negatibong anggulo ng pag-ikot, at kapag ito ay umiikot nang pakaliwa, ito ay bumubuo ng isang positibong anggulo. Hanggang sa puntong ito, ang mga positibong anggulo lamang ang aming isinasaalang-alang.

Sa anyo ng diagram, ang isang negatibong anggulo ay maaaring ilarawan tulad ng ipinapakita sa ibaba.

Ang figure sa ibaba ay nagpapakita ng tanda ng anggulo, na sinusukat mula sa isang karaniwang tuwid na linya, ang 0 axis (x-axis - x-axis)

Nangangahulugan ito na kung mayroong negatibong anggulo, makakakuha tayo ng katumbas na positibong anggulo.
Halimbawa, ang ibaba ng isang patayong linya ay 270°. Kapag sinusukat sa negatibong direksyon, makakakuha tayo ng -90°. Ibinabawas lang namin ang 270 sa 360. Dahil sa negatibong anggulo, idinagdag namin ang 360 upang makuha ang katumbas na positibong anggulo.
Kapag ang anggulo ay -360°, nangangahulugan ito na ang bagay ay nakagawa ng higit sa isang clockwise na bilog.

Halimbawa 3
1. Hanapin ang katumbas na positibong anggulo
a) -35°
b) -60°
c) -180°
d) - 670°

2. Hanapin ang katumbas na negatibong anggulo ng 80°, 167°, 330° at 1300°.
Solusyon
1. Upang mahanap ang katumbas na positibong anggulo, nagdaragdag kami ng 360 sa halaga ng anggulo.
a) -35°= 360 + (-35) = 360 - 35 = 325°
b) -60°= 360 + (-60) = 360 - 60 = 300°
c) -180°= 360 + (-180) = 360 - 180 = 180°
d) -670°= 360 + (-670) = -310
Nangangahulugan ito ng isang bilog na pakanan (360)
360 + (-310) = 50°
Ang anggulo ay 360 + 50 = 410°

2. Upang makuha ang katumbas na negatibong anggulo, ibawas namin ang 360 mula sa halaga ng anggulo.
80° = 80 - 360 = - 280°
167° = 167 - 360 = -193°
330° = 330 - 360 = -30°
1300° = 1300 - 360 = 940 (nakumpleto ang isang lap)
940 - 360 = 580 (nakumpleto ang ikalawang round)
580 - 360 = 220 (nakumpleto ang ikatlong round)
220 - 360 = -140°
Ang anggulo ay -360 - 360 - 360 - 140 = -1220°
Kaya 1300° = -1220°

Radian

Ang radian ay ang anggulo mula sa gitna ng isang bilog na nakapaloob sa isang arko na ang haba ay katumbas ng radius ng bilog. Ito ay isang yunit ng pagsukat para sa angular magnitude. Ang anggulong ito ay humigit-kumulang 57.3°.
Sa karamihan ng mga kaso, ito ay tinutukoy bilang masaya.
Kaya $1 rad \approx 57.3^(\circ)$

Radius = r = OA = OB = AB
Ang anggulo ng BOA ay katumbas ng isang radian

Dahil ang circumference ng isang bilog ay ibinibigay bilang $2\pi r$, kung gayon mayroong $2\pi$ radii sa bilog, at samakatuwid sa buong bilog ay mayroong $2\pi$ radians.

Ang mga radian ay karaniwang ipinahayag sa mga tuntunin ng $\pi$ upang maiwasan ang mga desimal sa mga kalkulasyon. Sa karamihan ng mga libro, ang abbreviation masaya ay hindi mangyayari, ngunit dapat malaman ng mambabasa na pagdating sa anggulo, ito ay tinukoy sa mga tuntunin ng $\pi$, at ang mga yunit ng pagsukat ay awtomatikong nagiging radian.

$360^(\circ) = 2\pi\rad$
$180^(\circ) = \pi\rad$,
$90^(\circ) = \frac(\pi)(2) rad$,
$30^(\circ) = \frac(30)(180)\pi = \frac(\pi)(6) rad$,
$45^(\circ) = \frac(45)(180)\pi = \frac(\pi)(4) rad$,
$60^(\circ) = \frac(60)(180)\pi = \frac(\pi)(3) rad$
$270^(\circ) = \frac(270)(180)\pi = \frac(27)(18)\pi = 1\frac(1)(2)\pi\ rad$

Halimbawa 4
1. I-convert ang 240°, 45°, 270°, 750° at 390° sa mga radian gamit ang $\pi$.
Solusyon
I-multiply natin ang mga anggulo sa $\frac(\pi)(180)$.
$240^(\circ) = 240 \beses \frac(\pi)(180) = \frac(4)(3)\pi=1\frac(1)(3)\pi$
$120^(\circ) = 120 \beses \frac(\pi)(180) = \frac(2\pi)(3)$
$270^(\circ) = 270 \beses \frac(1)(180)\pi = \frac(3)(2)\pi=1\frac(1)(2)\pi$
$750^(\circ) = 750 \beses \frac(1)(180)\pi = \frac(25)(6)\pi=4\frac(1)(6)\pi$
$390^(\circ) = 390 \beses \frac(1)(180)\pi = \frac(13)(6)\pi=2\frac(1)(6)\pi$

2. I-convert ang mga sumusunod na anggulo sa degrees.
a) $\frac(5)(4)\pi$
b) $3.12\pi$
c) 2.4 radians
Solusyon
$180^(\circ) = \pi$
a) $\frac(5)(4) \pi = \frac(5)(4) \times 180 = 225^(\circ)$
b) $3.12\pi = 3.12 \beses 180 = 561.6^(\circ)$
c) 1 rad = 57.3°
$2.4 = \frac(2.4 \times 57.3)(1) = 137.52$

Mga negatibong anggulo at anggulo na higit sa $2\pi$ radian

Upang i-convert ang isang negatibong anggulo sa isang positibo, idinaragdag namin ito sa $2\pi$.
Upang i-convert ang isang positibong anggulo sa isang negatibong anggulo, ibinabawas namin ang $2\pi$ mula dito.

Halimbawa 5
1. I-convert ang $-\frac(3)(4)\pi$ at $-\frac(5)(7)\pi$ sa mga positibong anggulo sa radians.

Solusyon
Magdagdag ng $2\pi$ sa anggulo
$-\frac(3)(4)\pi = -\frac(3)(4)\pi + 2\pi = \frac(5)(4)\pi = 1\frac(1)(4)\ pi$

$-\frac(5)(7)\pi = -\frac(5)(7)\pi + 2\pi = \frac(9)(7)\pi = 1\frac(2)(7)\ pi$

Kapag ang isang bagay ay umiikot sa isang anggulo na mas malaki sa $2\pi$;, ito ay gumagawa ng higit sa isang bilog.
Upang matukoy ang bilang ng mga rebolusyon (mga bilog o cycle) sa ganoong anggulo, nakahanap kami ng isang numero, na nagpaparami nito sa $2\pi$, ang resulta ay katumbas o mas kaunti, ngunit mas malapit hangga't maaari sa numerong ito.

Halimbawa 6
1. Hanapin ang bilang ng mga bilog na dinadaanan ng bagay sa mga ibinigay na anggulo
a) $-10\pi$
b) $9\pi$
c) $\frac(7)(2)\pi$

Solusyon
a) $-10\pi = 5(-2\pi)$;
Ang $-2\pi$ ay nagpapahiwatig ng isang ikot sa direksyong pakanan, nangangahulugan ito na
ang bagay ay gumawa ng 5 clockwise cycle.

b) $9\pi = 4(2\pi) + \pi$, $\pi =$ kalahating ikot
ang bagay ay gumawa ng apat at kalahating ikot ng pakaliwa

c) $\frac(7)(2)\pi=3.5\pi=2\pi+1.5\pi$, $1.5\pi$ ay katumbas ng tatlong quarter ng cycle $(\frac(1.5\pi)(2 \pi)= \frac(3)(4))$
ang bagay ay dumaan sa isa at tatlong quarter ng isang cycle ng counterclockwise