Ang paraan ng variation ng isang arbitrary constant, o ang Lagrange method, ay isa pang paraan upang malutas ang first-order linear differential equation at ang Bernoulli equation.

Ang mga linear differential equation ng unang pagkakasunod-sunod ay mga equation ng anyong y’+p(x)y=q(x). Kung ang kanang bahagi ay zero: y'+p(x)y=0, ito ay isang linear homogenous 1st order equation. Alinsunod dito, ang equation na may di-zero na kanang bahagi, y’+p(x)y=q(x), — magkakaiba linear equation ng 1st order.

Arbitrary na pare-parehong paraan ng pagkakaiba-iba (Lagrange method) ay binubuo ng mga sumusunod:

1) Naghahanap kami ng pangkalahatang solusyon sa homogenous na equation na y’+p(x)y=0: y=y*.

2) Sa pangkalahatang solusyon, ang C ay itinuturing na hindi isang pare-pareho, ngunit isang function ng x: C=C(x). Nahanap namin ang hinango ng pangkalahatang solusyon (y*)' at pinapalitan ang resultang expression para sa y* at (y*)' sa paunang kondisyon. Mula sa nagresultang equation, nakita namin ang function na С(x).

3) Sa pangkalahatang solusyon ng homogenous na equation, sa halip na C, pinapalitan natin ang nahanap na expression na C (x).

Isaalang-alang ang mga halimbawa sa paraan ng pagkakaiba-iba ng isang arbitrary na pare-pareho. Gawin natin ang parehong mga gawain tulad ng sa , ihambing ang kurso ng solusyon at siguraduhin na ang mga sagot na natanggap ay pareho.

1) y'=3x-y/x

Isulat muli natin ang equation sa karaniwang anyo (sa kaibahan sa paraan ng Bernoulli, kung saan kailangan natin ang notasyon upang makita lamang na ang equation ay linear).

y'+y/x=3x (I). Ngayon ay pupunta kami ayon sa plano.

1) Lutasin namin ang homogenous na equation na y’+y/x=0. Ito ay isang separable variable equation. Kinakatawan ang y’=dy/dx, palitan: dy/dx+y/x=0, dy/dx=-y/x. I-multiply natin ang parehong bahagi ng equation sa dx at hatiin sa xy≠0: dy/y=-dx/x. Pinagsasama namin:

2) Sa nakuha na pangkalahatang solusyon ng homogenous na equation, isasaalang-alang namin ang С hindi isang pare-pareho, ngunit isang function ng x: С=С(x). Mula rito

Ang mga resultang expression ay pinapalitan sa kondisyon (I):

Isinasama namin ang parehong bahagi ng equation:

narito ang C ay ilang bagong pare-pareho.

3) Sa pangkalahatang solusyon ng homogenous na equation y \u003d C / x, kung saan isinasaalang-alang namin ang C \u003d C (x), iyon ay, y \u003d C (x) / x, sa halip na C (x) pinapalitan namin ang nakitang expression x³ + C: y \u003d (x³ +C)/x o y=x²+C/x. Nakuha namin ang parehong sagot tulad ng paglutas sa pamamagitan ng paraan ng Bernoulli.

Sagot: y=x²+C/x.

2) y'+y=cosx.

Narito ang equation ay nakasulat na sa karaniwang anyo, hindi na kailangang i-convert.

1) Nilulutas namin ang isang homogenous na linear equation na y'+y=0: dy/dx=-y; dy/y=-dx. Pinagsasama namin:

Upang makakuha ng mas maginhawang notasyon, dadalhin namin ang exponent sa kapangyarihan ng C bilang isang bagong C:

Ang pagbabagong ito ay isinagawa upang gawing mas maginhawa ang paghahanap ng derivative.

2) Sa nakuha na pangkalahatang solusyon ng isang linear homogenous equation, isinasaalang-alang namin ang С hindi isang pare-pareho, ngunit isang function ng x: С=С(x). Sa ilalim ng kondisyong ito

Ang mga resultang expression na y at y' ay pinapalitan sa kondisyon:

I-multiply ang magkabilang panig ng equation sa pamamagitan ng

Isinasama namin ang parehong bahagi ng equation gamit ang formula ng integration-by-parts, nakukuha namin ang:

Dito C ay hindi na isang function, ngunit isang ordinaryong pare-pareho.

3) Sa pangkalahatang solusyon ng homogenous na equation

pinapalitan namin ang nahanap na function С(x):

Nakuha namin ang parehong sagot tulad ng paglutas sa pamamagitan ng paraan ng Bernoulli.

Ang paraan ng pagkakaiba-iba ng isang arbitrary na pare-pareho ay naaangkop din sa paglutas.

y’x+y=-xy².

Dinadala namin ang equation sa karaniwang anyo: y'+y/x=-y² (II).

1) Lutasin namin ang homogenous na equation na y’+y/x=0. dy/dx=-y/x. I-multiply ang magkabilang panig ng equation sa dx at hatiin sa y: dy/y=-dx/x. Ngayon, pagsamahin natin:

Pinapalitan namin ang nakuha na mga expression sa kondisyon (II):

Pinapasimple:

Nakakuha kami ng isang equation na may mga separable variable para sa C at x:

Narito ang C ay isa nang ordinaryong pare-pareho. Sa proseso ng pagsasama, sa halip na C(x), isinulat lang namin ang C, upang hindi ma-overload ang notasyon. At sa dulo bumalik kami sa C(x) para hindi malito ang C(x) sa bagong C.

3) Pinapalitan namin ang nahanap na function na С(x) sa pangkalahatang solusyon ng homogenous na equation y=C(x)/x:

Nakuha namin ang parehong sagot tulad ng paglutas sa pamamagitan ng paraan ng Bernoulli.

Mga halimbawa para sa self-test:

1. Isulat muli natin ang equation sa karaniwang anyo: y'-2y=x.

1) Malulutas namin ang homogenous na equation y'-2y=0. y’=dy/dx, kaya dy/dx=2y, i-multiply ang magkabilang panig ng equation sa dx, hatiin sa y at pagsamahin:

Mula dito makikita natin ang y:

Pinapalitan namin ang mga expression para sa y at y’ sa kundisyon (para sa kaiklian, papakainin namin ang C sa halip na C (x) at C’ sa halip na C "(x)):

Upang mahanap ang integral sa kanang bahagi, ginagamit namin ang formula ng integration-by-parts:

Ngayon pinapalitan namin ang u, du at v sa formula:

Dito C = const.

3) Ngayon ay pinapalitan namin ang solusyon ng homogenous

Lecture 44. Linear inhomogeneous equation ng pangalawang order. Paraan ng pagkakaiba-iba ng mga arbitrary constants. Linear inhomogeneous equation ng pangalawang order na may pare-parehong coefficient. (espesyal na kanang bahagi).

Mga pagbabagong panlipunan. Estado at Simbahan.

Ang patakarang panlipunan ng mga Bolshevik ay higit na idinidikta ng kanilang makauring pamamaraan. Sa pamamagitan ng isang atas ng Nobyembre 10, 1917, ang sistema ng ari-arian ay inalis, ang mga pre-rebolusyonaryong ranggo, mga titulo at mga parangal ay inalis. Ang halalan ng mga hukom ay naitatag; isinagawa ang sekularisasyon ng mga estadong sibil. Itinatag ang libreng edukasyon at pangangalagang medikal (decree ng Oktubre 31, 1918). Ang mga kababaihan ay pinapantayan ng mga karapatan sa mga lalaki (mga dekreto noong Disyembre 16 at 18, 1917). Ang utos sa kasal ay nagpakilala sa institusyon ng civil marriage.

Sa pamamagitan ng isang atas ng Konseho ng People's Commissars noong Enero 20, 1918, ang simbahan ay nahiwalay sa estado at sa sistema ng edukasyon. Karamihan sa mga ari-arian ng simbahan ay kinumpiska. Si Patriarch Tikhon ng Moscow at All Russia (nahalal noong Nobyembre 5, 1917) noong Enero 19, 1918, ay hinatulan ang kapangyarihan ng Sobyet at nanawagan ng pakikipaglaban sa mga Bolshevik.

Isaalang-alang ang isang linear na inhomogeneous na second-order equation

Ang istraktura ng pangkalahatang solusyon ng naturang equation ay tinutukoy ng sumusunod na theorem:

Teorama 1. Ang pangkalahatang solusyon ng inhomogeneous equation (1) ay kinakatawan bilang kabuuan ng ilang partikular na solusyon ng equation na ito at ang pangkalahatang solusyon ng katumbas na homogeneous equation.

Patunay. Kailangan nating patunayan na ang kabuuan

ay ang pangkalahatang solusyon ng equation (1). Patunayan muna natin na ang function (3) ay isang solusyon ng equation (1).

Ang pagpapalit ng kabuuan sa equation (1) sa halip na sa, Magkakaroon

Dahil mayroong solusyon sa equation (2), ang expression sa unang mga bracket ay magkaparehong katumbas ng zero. Dahil mayroong solusyon sa equation (1), ang expression sa pangalawang bracket ay katumbas ng f(x). Samakatuwid, ang pagkakapantay-pantay (4) ay isang pagkakakilanlan. Kaya, ang unang bahagi ng teorama ay napatunayan.

Patunayan natin ang pangalawang paninindigan: expression (3) ay pangkalahatan solusyon ng equation (1). Dapat nating patunayan na ang mga di-makatwirang mga pare-pareho na kasama sa expression na ito ay maaaring mapili upang ang mga paunang kondisyon ay nasiyahan:

anuman ang mga numero x 0 , y 0 at (kung lamang x 0 ay kinuha mula sa lugar kung saan ang mga function isang 1, isang 2 at f(x) tuloy-tuloy).

Napapansin na posibleng kumatawan sa anyo . Pagkatapos, batay sa mga kondisyon (5), mayroon kami

Ating lutasin ang sistemang ito at hanapin Mula sa 1 at mula 2. Isulat muli natin ang system bilang:

Tandaan na ang determinant ng system na ito ay ang Wronsky determinant para sa mga function 1 at sa 2 sa punto x=x 0. Dahil ang mga function na ito ay linearly independyente sa pamamagitan ng pagpapalagay, ang Wronsky determinant ay hindi katumbas ng zero; samakatuwid ang sistema (6) ay may isang tiyak na solusyon Mula sa 1 at mula 2, ibig sabihin. may mga ganyang halaga Mula sa 1 at mula 2, kung saan ang formula (3) ay tumutukoy sa solusyon ng equation (1) na nakakatugon sa ibinigay na mga paunang kundisyon. Q.E.D.

Bumaling tayo sa pangkalahatang pamamaraan para sa paghahanap ng mga partikular na solusyon ng isang hindi magkakatulad na equation.

Isulat natin ang pangkalahatang solusyon ng homogenous equation (2)

Hahanapin natin ang isang partikular na solusyon ng inhomogeneous equation (1) sa anyo (7), na isinasaalang-alang Mula sa 1 at mula 2 bilang ilang hindi pa kilalang mga tampok mula sa X.

Ibahin natin ang pagkakapantay-pantay (7):

Pinipili namin ang nais na mga function Mula sa 1 at mula 2 upang ang pagkakapantay-pantay

Kung ang karagdagang kundisyong ito ay isasaalang-alang, kung gayon ang unang derivative ay kukuha ng form

Ngayon ang pagkakaiba ng expression na ito, nakita namin:

Ang pagpapalit sa equation (1), makuha namin

Ang mga expression sa unang dalawang bracket ay naglalaho dahil y 1 at y2 ay mga solusyon ng isang homogenous na equation. Samakatuwid, ang huling pagkakapantay-pantay ay nasa anyo

Kaya, ang function (7) ay magiging solusyon sa inhomogeneous equation (1) kung ang mga function Mula sa 1 at mula 2 satisfy equation (8) at (9). Bumuo tayo ng isang sistema ng mga equation mula sa mga equation (8) at (9).

Dahil ang determinant ng system na ito ay ang Vronsky determinant para sa mga linearly independent na solusyon y 1 at y2 equation (2), kung gayon hindi ito katumbas ng zero. Samakatuwid, ang paglutas ng system, makikita natin ang parehong tiyak na mga function ng X:

Ang paglutas ng sistemang ito, makikita natin ang , kung saan, bilang resulta ng pagsasama, nakuha natin ang . Susunod, pinapalitan namin ang mga nahanap na function sa formula , nakukuha namin ang pangkalahatang solusyon ng inhomogeneous equation , kung saan ang mga arbitrary constants.

Isinasaalang-alang ang isang paraan para sa paglutas ng mga linear inhomogeneous differential equation ng mas mataas na mga order na may pare-parehong coefficient sa pamamagitan ng paraan ng pagkakaiba-iba ng mga constant ng Lagrange. Naaangkop din ang pamamaraang Lagrange sa paglutas ng anumang linear inhomogeneous equation kung alam ang pangunahing sistema ng mga solusyon ng homogeneous equation.

Nilalaman

Tingnan din:

Paraan ng Lagrange (pagkakaiba-iba ng mga constant)

Isaalang-alang ang isang linear inhomogeneous differential equation na may pare-parehong coefficient ng isang arbitrary nth order:
(1) .
Ang paraan ng patuloy na pagkakaiba-iba, na aming isinasaalang-alang para sa equation ng unang pagkakasunud-sunod, ay naaangkop din sa mga equation ng mas matataas na mga order.

Ang solusyon ay isinasagawa sa dalawang yugto. Sa unang yugto, itinatapon namin ang kanang bahagi at lutasin ang homogenous na equation. Bilang resulta, nakakakuha kami ng solusyon na naglalaman ng n arbitrary na mga pare-pareho. Sa pangalawang hakbang, iba-iba namin ang mga pare-pareho. Iyon ay, isinasaalang-alang namin na ang mga constant na ito ay mga function ng independent variable x at hanapin ang anyo ng mga function na ito.

Bagaman isinasaalang-alang namin ang mga equation na may pare-parehong coefficient dito, ngunit ang pamamaraang Lagrange ay naaangkop din sa paglutas ng anumang mga linear na hindi magkakatulad na equation. Para dito, gayunpaman, ang pangunahing sistema ng mga solusyon ng homogenous equation ay dapat malaman.

Hakbang 1. Solusyon ng homogenous equation

Tulad ng sa kaso ng mga first-order equation, una nating hinahanap ang pangkalahatang solusyon ng homogenous na equation, na tinutumbasan ang tamang inhomogeneous na bahagi sa zero:
(2) .
Ang pangkalahatang solusyon ng naturang equation ay may anyo:
(3) .
Narito ang mga arbitrary na pare-pareho; - n mga linearly independent na solusyon ng homogenous equation (2), na bumubuo sa pangunahing sistema ng mga solusyon ng equation na ito.

Hakbang 2. Pagkakaiba-iba ng Mga Constant - Pagpapalit ng Mga Constant ng Mga Pag-andar

Sa ikalawang hakbang, haharapin natin ang pagkakaiba-iba ng mga constant. Sa madaling salita, papalitan natin ang mga constant ng mga function ng independent variable x :
.
Ibig sabihin, naghahanap kami ng solusyon sa orihinal na equation (1) sa sumusunod na anyo:
(4) .

Kung papalitan natin ang (4) sa (1), makakakuha tayo ng isang differential equation para sa n function. Sa kasong ito, maaari nating ikonekta ang mga function na ito sa mga karagdagang equation. Pagkatapos ay makakakuha ka ng n equation, kung saan maaari mong matukoy ang n function. Ang mga karagdagang equation ay maaaring isulat sa iba't ibang paraan. Ngunit gagawin namin ito sa paraang ang solusyon ay may pinakasimpleng anyo. Upang gawin ito, kapag nag-iiba, kailangan mong katumbas ng mga zero na termino na naglalaman ng mga derivatives ng mga function. Ipakita natin ito.

Upang palitan ang iminungkahing solusyon (4) sa orihinal na equation (1), kailangan nating hanapin ang mga derivatives ng unang n order ng function na nakasulat sa form (4). Ibahin ang (4) sa pamamagitan ng paglalapat ng mga patakaran para sa pagkakaiba ng kabuuan at ang produkto:
.
Igrupo natin ang mga miyembro. Una, isinusulat namin ang mga terminong may derivatives ng , at pagkatapos ay ang mga terminong may derivatives ng :

.
Ipinapataw namin ang unang kundisyon sa mga function:
(5.1) .
Kung gayon ang expression para sa unang derivative na may kinalaman sa ay magkakaroon ng mas simpleng anyo:
(6.1) .

Sa parehong paraan, nakita namin ang pangalawang derivative:

.
Ipinapataw namin ang pangalawang kundisyon sa mga pag-andar:
(5.2) .
Pagkatapos
(6.2) .
At iba pa. Sa ilalim ng mga karagdagang kundisyon, itinutumbas namin ang mga terminong naglalaman ng mga derivatives ng mga function sa zero.

Kaya, kung pipiliin natin ang mga sumusunod na karagdagang equation para sa mga function:
(5.k) ,
kung gayon ang mga unang derivative na may kinalaman sa ay magkakaroon ng pinakasimpleng anyo:
(6.k) .
Dito .

Nahanap namin ang nth derivative:
(6.n)
.

Pinapalitan namin ang orihinal na equation (1):
(1) ;






.
Isinasaalang-alang namin na ang lahat ng mga function ay nakakatugon sa equation (2):
.
Pagkatapos ang kabuuan ng mga terminong naglalaman ay nagbibigay ng zero. Bilang resulta, nakukuha namin ang:
(7) .

Bilang resulta, nakakuha kami ng isang sistema ng mga linear na equation para sa mga derivatives:
(5.1) ;
(5.2) ;
(5.3) ;
. . . . . . .
(5.n-1) ;
(7') .

Ang paglutas ng sistemang ito, nakita namin ang mga expression para sa mga derivatives bilang mga function ng x . Pagsasama, nakukuha namin:
.
Dito, ay mga constant na hindi na nakadepende sa x. Ang pagpapalit sa (4), makuha natin ang pangkalahatang solusyon ng orihinal na equation.

Tandaan na hindi namin ginamit ang katotohanan na ang mga coefficient a i ay pare-pareho upang matukoy ang mga halaga ng mga derivatives. kaya lang ang pamamaraang Lagrange ay naaangkop upang malutas ang anumang mga linear na hindi magkakatulad na equation, kung ang pangunahing sistema ng mga solusyon ng homogenous equation (2) ay kilala.

Mga halimbawa

Lutasin ang mga equation sa pamamagitan ng paraan ng pagkakaiba-iba ng mga constant (Lagrange).


Solusyon ng mga halimbawa > > >

Tingnan din: Solusyon ng mga first order equation sa pamamagitan ng constant variation method (Lagrange)
Paglutas ng mga equation na may mataas na pagkakasunud-sunod sa pamamagitan ng pamamaraang Bernoulli
Paglutas ng Linear Inhomogeneous Higher-Order Differential Equation na may Constant Coefficients sa pamamagitan ng Linear Substitution

Teoretikal na minimum

Sa teorya ng differential equation, mayroong isang paraan na nagsasabing mayroong sapat na mataas na antas ng pagiging pangkalahatan para sa teoryang ito.
Pinag-uusapan natin ang paraan ng pagkakaiba-iba ng isang arbitrary na pare-pareho, na naaangkop sa solusyon ng iba't ibang klase ng mga differential equation at kanilang
mga sistema. Ito ay eksakto ang kaso kapag ang teorya - kung kukunin mo ang patunay ng mga pahayag mula sa mga bracket - ay minimal, ngunit pinapayagan kang makamit
makabuluhang resulta, kaya ang pangunahing pagtutuon ay sa mga halimbawa.

Ang pangkalahatang ideya ng pamamaraan ay medyo simple upang bumalangkas. Hayaang ang ibinigay na equation (system of equation) ay mahirap lutasin o kahit na hindi maintindihan,
kung paano ito lutasin. Gayunpaman, makikita na kapag ang ilang mga termino ay hindi kasama sa equation, ito ay malulutas. Pagkatapos sila malutas lamang tulad ng isang pinasimple
equation (system), kumuha ng isang solusyon na naglalaman ng isang tiyak na bilang ng mga arbitrary constants - depende sa pagkakasunud-sunod ng equation (ang numero
mga equation sa system). Pagkatapos ay ipinapalagay na ang mga constant sa nahanap na solusyon ay hindi talaga mga constant, ang nahanap na solusyon
ay inihahalili sa orihinal na equation (system), isang differential equation (o sistema ng mga equation) ay nakuha upang matukoy ang "constants".
Mayroong tiyak na pagtitiyak sa paglalapat ng paraan ng pagkakaiba-iba ng isang arbitraryong pare-pareho sa iba't ibang mga problema, ngunit ito ay mga detalye na
ipinakita kasama ng mga halimbawa.

Isaalang-alang natin nang hiwalay ang solusyon ng linear inhomogeneous equation ng mas mataas na mga order, i.e. mga equation ng form
.
Ang pangkalahatang solusyon ng isang linear inhomogeneous equation ay ang kabuuan ng pangkalahatang solusyon ng katumbas na homogeneous equation at ang partikular na solusyon.
ibinigay na equation. Ipagpalagay natin na ang pangkalahatang solusyon ng homogenous equation ay natagpuan na, ibig sabihin, ang pangunahing sistema ng mga solusyon (FSR) ay naitayo na.
. Pagkatapos ang pangkalahatang solusyon ng homogenous equation ay .
Ito ay kinakailangan upang mahanap ang anumang partikular na solusyon ng inhomogeneous equation. Para dito, ang mga constant ay itinuturing na umaasa sa variable.
Susunod, kailangan mong lutasin ang sistema ng mga equation
.
Ginagarantiyahan ng teorya na ang sistemang ito ng mga algebraic equation na may kinalaman sa mga derivatives ng mga function ay may natatanging solusyon.
Kapag ang mga pag-andar mismo ay natagpuan, ang mga constant ng integration ay hindi lilitaw: pagkatapos ng lahat, anumang isang solusyon ay hinahanap.

Sa kaso ng paglutas ng mga sistema ng linear inhomogeneous equation ng unang pagkakasunud-sunod ng form

ang algorithm ay nananatiling halos hindi nagbabago. Una kailangan mong hanapin ang FSR ng kaukulang homogenous na sistema ng mga equation, bumuo ng pangunahing matrix
system , ang mga column kung saan ay ang mga elemento ng FSR. Susunod, ang equation
.
Ang paglutas ng system, tinutukoy namin ang mga function , kaya nakakahanap ng partikular na solusyon sa orihinal na system
(ang pangunahing matrix ay pinarami ng nahanap na hanay ng tampok).
Idinagdag namin ito sa pangkalahatang solusyon ng kaukulang sistema ng mga homogenous na equation, na binuo batay sa FSR na natagpuan na.
Ang pangkalahatang solusyon ng orihinal na sistema ay nakuha.

Mga halimbawa.

Halimbawa 1 Linear inhomogeneous equation ng unang order.

Isaalang-alang natin ang kaukulang homogenous equation (tinukoy natin ang kinakailangang function sa pamamagitan ng ):
.
Ang equation na ito ay madaling malutas sa pamamagitan ng paghihiwalay ng mga variable:

.
Ngayon kinakatawan namin ang solusyon ng orihinal na equation sa anyo , kung saan ang function ay hindi pa mahahanap.
Pinapalitan namin ang ganitong uri ng solusyon sa orihinal na equation:
.
Tulad ng nakikita mo, ang pangalawa at pangatlong termino sa kaliwang bahagi ay kanselahin ang bawat isa - ito ay isang katangian na katangian ng paraan ng pagkakaiba-iba ng isang di-makatwirang pare-pareho.

Narito na - sa katunayan, isang arbitrary na pare-pareho. Sa ganitong paraan,
.

Halimbawa 2 Bernoulli equation.

Gumaganap kami nang katulad sa unang halimbawa - nilulutas namin ang equation

paraan ng paghihiwalay ng mga variable. Ito ay lalabas , kaya hinahanap namin ang solusyon ng orihinal na equation sa anyo
.
I-substitute ang function na ito sa orihinal na equation:
.
At muli may mga pagbawas:
.
Dito kailangan mong tandaan upang matiyak na kapag hinahati sa, ang solusyon ay hindi mawawala. At ang kaso ay tumutugma sa solusyon ng orihinal
mga equation. Alalahanin natin siya. Kaya,
.
Magsulat tayo.
Ito ang solusyon. Kapag isinusulat ang sagot, dapat mo ring ipahiwatig ang solusyon na natagpuan nang mas maaga, dahil hindi ito tumutugma sa anumang panghuling halaga
mga pare-pareho.

Halimbawa 3 Linear inhomogeneous equation ng mas matataas na order.

Napansin namin kaagad na ang equation na ito ay maaaring malutas nang mas simple, ngunit ito ay maginhawa upang ipakita ang pamamaraan dito. Bagaman ang ilang mga pakinabang
ang paraan ng pagkakaiba-iba ng isang arbitrary na pare-pareho ay mayroon din nito sa halimbawang ito.
Kaya, kailangan mong magsimula sa FSR ng kaukulang homogenous equation. Alalahanin na upang mahanap ang FSR, ang katangian
ang equation
.
Kaya, ang pangkalahatang solusyon ng homogenous na equation
.
Ang mga constant na kasama dito ay dapat iba-iba. Pag-iipon ng isang sistema

Ang paraan ng pagkakaiba-iba ng mga arbitrary na constant ay ginagamit upang malutas ang mga hindi magkakatulad na equation ng kaugalian. Ang araling ito ay inilaan para sa mga mag-aaral na higit pa o hindi gaanong bihasa sa paksa. Kung nagsisimula ka pa lamang na maging pamilyar sa remote control, i.e. Kung ikaw ay isang tsarera, inirerekumenda kong magsimula sa unang aralin: First order differential equation. Mga halimbawa ng solusyon. At kung ikaw ay nagtatapos na, mangyaring itapon ang posibleng preconceived paniwala na ang paraan ay mahirap. Dahil simple lang siya.

Sa anong mga kaso ginagamit ang paraan ng pagkakaiba-iba ng mga arbitrary constants?

1) Ang paraan ng pagkakaiba-iba ng isang arbitrary na pare-pareho ay maaaring gamitin upang malutas linear inhomogeneous DE ng 1st order. Dahil ang equation ay nasa unang pagkakasunud-sunod, kung gayon ang pare-pareho (constant) ay isa rin.

2) Ang paraan ng pagkakaiba-iba ng mga arbitrary na constant ay ginagamit upang malutas ang ilan linear inhomogeneous equation ng pangalawang order. Dito, nag-iiba ang dalawang constants (constants).

Makatuwirang ipagpalagay na ang aralin ay bubuo ng dalawang talata .... Isinulat ko ang panukalang ito, at sa loob ng humigit-kumulang 10 minuto ay masakit kong iniisip kung ano pang matalinong crap ang idaragdag para sa isang maayos na paglipat sa mga praktikal na halimbawa. Ngunit sa ilang kadahilanan, walang mga iniisip pagkatapos ng pista opisyal, bagaman tila wala akong inabuso. Kaya tumalon tayo sa unang talata.

Arbitrary Constant Variation Paraan
para sa isang linear inhomogeneous first-order equation

Bago isaalang-alang ang paraan ng pagkakaiba-iba ng isang arbitrary na pare-pareho, ito ay kanais-nais na maging pamilyar sa artikulo Mga linear differential equation ng unang order. Sa araling iyon, nagpraktis kami unang paraan upang malutas inhomogeneous DE ng 1st order. Ang unang solusyon na ito, ipinaalala ko sa iyo, ay tinatawag paraan ng pagpapalit o Bernoulli na pamamaraan(hindi dapat malito sa Bernoulli equation!!!)

Isasaalang-alang natin ngayon pangalawang paraan ng paglutas– paraan ng pagkakaiba-iba ng isang arbitrary na pare-pareho. Magbibigay lamang ako ng tatlong halimbawa, at kukunin ko ang mga ito mula sa aralin sa itaas. Bakit kakaunti? Dahil sa katunayan ang solusyon sa pangalawang paraan ay magiging katulad ng solusyon sa unang paraan. Bilang karagdagan, ayon sa aking mga obserbasyon, ang paraan ng pagkakaiba-iba ng mga di-makatwirang constant ay ginagamit nang mas madalas kaysa sa paraan ng kapalit.

Halimbawa 1

(Kaiba sa Halimbawa Blg. 2 ng aralin Linear inhomogeneous DE ng 1st order)

Solusyon: Ang equation na ito ay linear inhomogeneous at may pamilyar na anyo:

Ang unang hakbang ay upang malutas ang isang mas simpleng equation:
Iyon ay, hangal naming i-reset ang kanang bahagi - sa halip ay sumulat kami ng zero.
Ang equation tatawag ako auxiliary equation.

Sa halimbawang ito, kailangan mong lutasin ang sumusunod na auxiliary equation:

Bago tayo separable equation, ang solusyon kung saan (umaasa ako) ay hindi na mahirap para sa iyo:

Sa ganitong paraan:
ay ang pangkalahatang solusyon ng auxiliary equation.

Sa pangalawang hakbang palitan isang pare-pareho ng ilan pa hindi kilalang function na nakasalalay sa "x":

Kaya ang pangalan ng pamamaraan - iba-iba namin ang pare - pareho . Bilang kahalili, ang pare-pareho ay maaaring ilang function na kailangan nating hanapin ngayon.

AT orihinal hindi magkakatulad na equation Palitan natin:

Kapalit at sa equation :

kontrol sandali - kanselahin ang dalawang termino sa kaliwang bahagi. Kung hindi ito nangyari, dapat mong hanapin ang error sa itaas.

Bilang resulta ng pagpapalit, nakuha ang isang equation na may mga separable variable. Paghiwalayin ang mga variable at pagsamahin.

Napakalaking pagpapala, lumiliit din ang mga exponent:

Nagdaragdag kami ng "normal" na pare-pareho sa nahanap na function:

Sa huling yugto, naaalala namin ang aming kapalit:

Kakahanap lang ng function!

Kaya ang pangkalahatang solusyon ay:

Sagot: karaniwang desisyon:

Kung i-print mo ang dalawang solusyon, madali mong mapapansin na sa parehong mga kaso nakita namin ang parehong mga integral. Ang pagkakaiba lamang ay nasa algorithm ng solusyon.

Ngayon isang bagay na mas kumplikado, magkomento din ako sa pangalawang halimbawa:

Halimbawa 2

Hanapin ang pangkalahatang solusyon ng differential equation
(Kaiba sa Halimbawa Blg. 8 ng aralin Linear inhomogeneous DE ng 1st order)

Solusyon: Dinadala namin ang equation sa form :

Itakda ang kanang bahagi sa zero at lutasin ang auxiliary equation:

Pangkalahatang solusyon ng auxiliary equation:

Sa inhomogeneous equation, gagawin namin ang pagpapalit:

Ayon sa panuntunan sa pagkakaiba-iba ng produkto:

Kapalit at sa orihinal na inhomogeneous equation:

Ang dalawang termino sa kaliwang bahagi ay nagkansela, na nangangahulugang nasa tamang landas tayo:

Pinagsasama namin ayon sa mga bahagi. Ang isang masarap na liham mula sa formula para sa pagsasama ng mga bahagi ay kasangkot na sa solusyon, kaya ginagamit namin, halimbawa, ang mga titik na "a" at "be":

Ngayon tingnan natin ang kapalit:

Sagot: karaniwang desisyon:

At isang halimbawa para sa sariling solusyon:

Halimbawa 3

Maghanap ng isang partikular na solusyon ng differential equation na tumutugma sa ibinigay na paunang kondisyon.

,
(Diffur mula sa Aralin 4 Halimbawa Linear inhomogeneous DE ng 1st order)
Solusyon:
Ang DE na ito ay linear inhomogeneous. Ginagamit namin ang paraan ng pagkakaiba-iba ng mga arbitrary constants. Lutasin natin ang auxiliary equation:

Pinaghiwalay namin ang mga variable at pinagsama ang:

Karaniwang desisyon:
Sa inhomogeneous equation, gagawin namin ang pagpapalit:

Gawin natin ang pagpapalit:

Kaya ang pangkalahatang solusyon ay:

Maghanap ng isang partikular na solusyon na tumutugma sa ibinigay na paunang kondisyon:

Sagot: pribadong solusyon:

Ang solusyon sa pagtatapos ng aralin ay maaaring magsilbi bilang isang tinatayang modelo para sa pagtatapos ng takdang-aralin.

Paraan ng Variation ng Arbitrary Constants
para sa isang linear na inhomogeneous na second order equation
na may pare-parehong coefficient

Madalas marinig ng isang tao ang opinyon na ang paraan ng pagkakaiba-iba ng mga arbitrary na constant para sa isang pangalawang-order na equation ay hindi isang madaling bagay. Ngunit sa palagay ko ang mga sumusunod: malamang, ang pamamaraan ay tila mahirap sa marami, dahil hindi ito karaniwan. Ngunit sa katotohanan, walang partikular na mga paghihirap - ang kurso ng desisyon ay malinaw, transparent, at naiintindihan. At maganda.

Upang makabisado ang pamamaraan, ito ay kanais-nais na malutas ang hindi magkakatulad na mga equation ng pangalawang pagkakasunud-sunod sa pamamagitan ng pagpili ng isang partikular na solusyon ayon sa anyo ng kanang bahagi. Ang pamamaraang ito ay tinalakay nang detalyado sa artikulo. Inhomogeneous DE ng 2nd order. Naaalala namin na ang isang second-order linear inhomogeneous equation na may pare-parehong coefficient ay may anyo:

Ang paraan ng pagpili, na isinasaalang-alang sa aralin sa itaas, ay gumagana lamang sa isang limitadong bilang ng mga kaso, kapag ang mga polynomial, exponents, sines, cosine ay nasa kanang bahagi. Ngunit ano ang gagawin kapag nasa kanan, halimbawa, isang fraction, logarithm, tangent? Sa ganoong sitwasyon, ang paraan ng pagkakaiba-iba ng mga constant ay dumating sa pagsagip.

Halimbawa 4

Hanapin ang pangkalahatang solusyon ng isang second-order differential equation

Solusyon: Mayroong isang maliit na bahagi sa kanang bahagi ng equation na ito, kaya maaari naming agad na sabihin na ang paraan ng pagpili ng isang partikular na solusyon ay hindi gumagana. Ginagamit namin ang paraan ng pagkakaiba-iba ng mga arbitrary constants.

Walang naglalarawan ng isang bagyo, ang simula ng solusyon ay medyo karaniwan:

Hanapin natin karaniwang desisyon kaugnay homogenous mga equation:

Binubuo at lutasin namin ang katangiang equation:


– ang conjugate complex na mga ugat ay nakuha, kaya ang pangkalahatang solusyon ay:

Bigyang-pansin ang talaan ng pangkalahatang solusyon - kung may mga bracket, pagkatapos ay buksan ang mga ito.

Ngayon ginagawa namin ang halos parehong trick tulad ng para sa equation ng unang order: iba-iba namin ang mga constants , pinapalitan ang mga ito ng hindi kilalang mga function . Yan ay, pangkalahatang solusyon ng inhomogeneous Hahanapin natin ang mga equation sa anyo:

saan- pa hindi kilalang mga function.

Mukhang isang basurahan, ngunit ngayon ay ayusin namin ang lahat.

Ang mga derivatives ng mga function ay kumikilos bilang mga hindi alam. Ang aming layunin ay maghanap ng mga derivative, at ang mga nahanap na derivative ay dapat matugunan ang una at pangalawang equation ng system.

Saan nagmula ang "mga laro"? Dinadala sila ng tagak. Tinitingnan namin ang dating nakuha na pangkalahatang solusyon at isulat:

Maghanap tayo ng mga derivatives:

Hinarap sa kaliwang bahagi. Ano ang nasa kanan?

ay ang kanang bahagi ng orihinal na equation, sa kasong ito:

Ang coefficient ay ang coefficient sa pangalawang derivative:

Sa pagsasagawa, halos palaging, at ang aming halimbawa ay walang pagbubukod.

Naayos na ang lahat, maaari ka na ngayong lumikha ng system:

Ang sistema ay karaniwang nalutas ayon sa mga formula ni Cramer gamit ang karaniwang algorithm. Ang pagkakaiba lamang ay sa halip na mga numero mayroon kaming mga pag-andar.

Hanapin ang pangunahing determinant ng system:

Kung nakalimutan mo kung paano inihayag ang determinant na "dalawa sa dalawa", sumangguni sa aralin Paano makalkula ang determinant? Ang link ay humahantong sa board of shame =)

Kaya: , kaya ang sistema ay may natatanging solusyon.

Nahanap namin ang derivative:

Ngunit hindi lang iyon, sa ngayon ay natagpuan lamang namin ang hinalaw.
Ang function mismo ay naibalik sa pamamagitan ng pagsasama:

Tingnan natin ang pangalawang function:

Dito nagdagdag kami ng "normal" na pare-pareho

Sa huling yugto ng solusyon, naaalala natin sa anong anyo ang hinahanap natin para sa pangkalahatang solusyon ng hindi magkakatulad na equation? Sa ganitong:

Ang mga tampok na kailangan mo ay natagpuan na!

Ito ay nananatiling gawin ang pagpapalit at isulat ang sagot:

Sagot: karaniwang desisyon:

Sa prinsipyo, ang sagot ay maaaring magbukas ng mga bracket.

Ang isang buong pagsusuri ng sagot ay isinasagawa ayon sa karaniwang pamamaraan, na isinasaalang-alang sa aralin. Inhomogeneous DE ng 2nd order. Ngunit hindi magiging madali ang pag-verify, dahil kailangan nating maghanap ng medyo mabibigat na derivatives at magsagawa ng masalimuot na pagpapalit. Isa itong pangit na feature kapag nilulutas mo ang mga diff na tulad nito.

Halimbawa 5

Lutasin ang differential equation sa pamamagitan ng paraan ng variation ng arbitrary constants

Ito ay isang halimbawa ng do-it-yourself. Sa katunayan, ang kanang bahagi ay isang fraction din. Naaalala namin ang trigonometric formula, sa pamamagitan ng paraan, kakailanganin itong ilapat sa daan.

Ang paraan ng pagkakaiba-iba ng mga arbitrary constants ay ang pinaka-unibersal na paraan. Maaari nilang lutasin ang anumang equation na maaaring malutas ang paraan ng pagpili ng isang partikular na solusyon ayon sa anyo ng kanang bahagi. Ang tanong ay arises, bakit hindi gamitin ang paraan ng pagkakaiba-iba ng mga arbitrary constants din doon? Ang sagot ay malinaw: ang pagpili ng isang partikular na solusyon, na isinasaalang-alang sa aralin Inhomogeneous equation ng pangalawang order, makabuluhang nagpapabilis sa solusyon at nagpapaikli sa notasyon - walang pakialaman sa mga determinant at integral.

Isaalang-alang ang dalawang halimbawa na may Cauchy problema.

Halimbawa 6

Maghanap ng isang partikular na solusyon ng differential equation na tumutugma sa ibinigay na mga paunang kondisyon

,

Solusyon: Muli, ang fraction at ang exponent sa isang kawili-wiling lugar.
Ginagamit namin ang paraan ng pagkakaiba-iba ng mga arbitrary constants.

Hanapin natin karaniwang desisyon kaugnay homogenous mga equation:



– iba't ibang tunay na ugat ang nakuha, kaya ang pangkalahatang solusyon ay:

Ang pangkalahatang solusyon ng inhomogeneous naghahanap kami ng mga equation sa anyo: , kung saan - pa hindi kilalang mga function.

Gumawa tayo ng system:

Sa kasong ito:
,
Paghahanap ng mga derivative:
,

Sa ganitong paraan:

Niresolba namin ang system gamit ang mga formula ng Cramer:
, kaya may kakaibang solusyon ang system.

Ibinabalik namin ang function sa pamamagitan ng pagsasama:

Ginamit dito paraan ng pagdadala ng function sa ilalim ng differential sign.

Ibinabalik namin ang pangalawang function sa pamamagitan ng pagsasama:

Ang ganitong integral ay nalulutas variable na paraan ng pagpapalit:

Mula sa kapalit mismo, ipinapahayag namin:

Sa ganitong paraan:

Ang integral na ito ay matatagpuan buong parisukat na paraan ng pagpili, ngunit sa mga halimbawang may diffurs, mas gusto kong palawakin ang fraction paraan ng hindi tiyak na coefficients:

Nahanap ang parehong mga function:

Bilang resulta, ang pangkalahatang solusyon ng inhomogeneous equation ay:

Maghanap ng isang partikular na solusyon na nakakatugon sa mga paunang kondisyon .

Sa teknikal, ang paghahanap para sa isang solusyon ay isinasagawa sa isang karaniwang paraan, na tinalakay sa artikulo. Inhomogeneous Second Order Differential Equation.

Maghintay, ngayon ay makikita natin ang hinango ng nahanap na pangkalahatang solusyon:

Narito ang isang kahihiyan. Hindi kinakailangan na gawing simple ito, mas madaling gumawa ng isang sistema ng mga equation kaagad. Ayon sa mga paunang kondisyon :

Palitan ang mga nahanap na halaga ng mga constant sa isang pangkalahatang solusyon:

Sa sagot, ang logarithms ay maaaring nakaimpake ng kaunti.

Sagot: pribadong solusyon:

Tulad ng nakikita mo, ang mga paghihirap ay maaaring lumitaw sa mga integral at derivatives, ngunit hindi sa algorithm ng paraan ng pagkakaiba-iba ng mga di-makatwirang constants. Hindi ako ang nanakot sa iyo, lahat ito ay koleksyon ng Kuznetsov!

Para makapag-relax, isang pangwakas, mas simple, self-solving na halimbawa:

Halimbawa 7

Lutasin ang problemang Cauchy

,

Ang halimbawa ay simple, ngunit malikhain, kapag gumawa ka ng isang sistema, tingnan ito ng mabuti bago magpasya ;-),




Bilang resulta, ang pangkalahatang solusyon ay:

Maghanap ng isang partikular na solusyon na naaayon sa mga paunang kondisyon .



Pinapalitan namin ang mga nahanap na halaga ng mga constant sa pangkalahatang solusyon:

Sagot: pribadong solusyon: