Aralin #30 (Algebra at ang Simula ng Pagsusuri, Baitang 11)
Paksa ng aralin: Degree sa isang rational exponent.
Layunin ng aralin: 1 . Palawakin ang konsepto ng degree, ibigay ang konsepto ng degree na may rational indicator; upang magturo kung paano isalin ang isang degree na may isang nakapangangatwiran indicator sa ugat at vice versa; kalkulahin ang mga kapangyarihan gamit ang isang rational exponent.
2. Pag-unlad ng memorya, pag-iisip.
3. Pagbuo ng aktibidad.
"Hayaan ang isang tao na subukang tumawid
mula sa isang mathematics degree at makikita niya
Hindi ka makakalayo kung wala sila." M.V. Lomonosov
Sa panahon ng mga klase.
I. Komunikasyon ng paksa at layunin ng aralin.
II. Pag-uulit at pagsasama-sama ng materyal na sakop.
1. Pagsusuri ng mga hindi nalutas na mga halimbawa ng tahanan.
2. Pagkontrol sa malayang gawain:
Pagpipilian 1.
1. Lutasin ang equation: √(2x - 1) = 3x - 12
2. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay: √(3x - 2) ≥ 4 - x
Opsyon 2.
1. Lutasin ang equation: 3 - 2x \u003d √ (7x + 32)
2. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay: √(3x + 1) ≥ x - 1
III. Pag-aaral ng bagong materyal.
1 . Alalahanin ang extension ng konsepto ng mga numero: N є Z є Q є R.
Ito ay pinakamahusay na kinakatawan bilang ang diagram sa ibaba:
Natural (N)
Zero
Hindi-negatibong mga numero
Mga negatibong numero
Mga fractional na numero
Mga Integer (Z)
Hindi makatwiran
Rational (Q)
Mga totoong numero
2. Sa mas mababang mga grado, tinukoy ang konsepto ng antas ng isang numero na may integer exponent. a) Alalahanin ang kahulugan ng degree a) na may natural, b) na may negatibong integer, c) na may zero exponent.Bigyang-diin na ang ekspresyong a n makatuwiran para sa lahat ng integer n at anumang mga halaga ng a, maliban sa a=0 at n≤0.
b) Ilista ang mga katangian ng mga degree na may integer exponent.
3 . gawaing pasalita.
isa). Kalkulahin: 1 -5 ; 4-3; (-100 ; (-5) -2 ; (1/2) -4 ; (3/7) -1 .
2). Sumulat bilang negatibong exponent:
1/4 5 ;1/21 3 ; 1/x 7 ; 1/a 9 .
3).Ihambing sa yunit: 12-3 ; 21 0 ; (0,6) -5 ; (5/19) -4 .
4 . Ngayon ay kailangan mong maunawaan ang kahulugan ng mga expression 3 0,4 ; 4 5/7 ; 5 -1/2 atbp. Upang gawin ito, kinakailangan na gawing pangkalahatan ang konsepto ng isang degree sa paraang ang lahat ng nakalistang katangian ng mga degree ay nasiyahan. Isaalang-alang ang pagkakapantay-pantay (a m/n ) n = isang m . Pagkatapos, sa pamamagitan ng kahulugan ng nth root, makatwirang ipagpalagay na a m/n ang magiging ika-1 ugat ng a m . Ang kahulugan ng degree na may rational exponent ay ibinigay.
5. Isaalang-alang ang mga halimbawa 1 at 2 mula sa aklat-aralin.
6. Gumawa tayo ng ilang mga puna na may kaugnayan sa konsepto ng isang degree na may isang rational exponent.
Puna 1 : Para sa alinmang a>0 at rational number r, ang numerong a r>0
Puna 2 : Sa pamamagitan ng pangunahing katangian ng mga fraction, ang isang rational na numerong m/n ay maaaring isulat bilang mk/nk para sa anumang natural na bilang k. Pagkataposang halaga ng antas ay hindi nakasalalay sa anyo ng pagsulat ng isang makatwirang numero, dahil a mk/nk = = nk √ a mk = n √ a m = a m/n
Tandaan 3: Kapag a Ipaliwanag natin ito sa isang halimbawa. Isaalang-alang ang (-64) 1/3 = 3 √-64 = -4. Sa kabilang banda: 1/3 = 2/6 at pagkatapos ay (-64) 1/ 3 = (-64) 2/6 = 6 √(-64) 2 = 6√64 2 = 6 √4 6 = 4. Nakakakuha tayo ng kontradiksyon.
Guro sa matematika: Nashkenova A.N. Maybalyk secondary school Balangkas ng aralin sa paksang "Degree na may makatwirang tagapagpahiwatig"
(algebra, grade 11)
Layunin ng Aralin:
Upang palawakin at palalimin ang kaalaman ng mga mag-aaral sa antas ng bilang; pamilyar sa mga mag-aaral sa konsepto ng degree na may isang nakapangangatwiran na tagapagpahiwatig at ang kanilang mga katangian;
Bumuo ng kaalaman, kasanayan at kakayahan upang makalkula ang mga halaga ng mga expression sa pamamagitan ng paggamit ng mga katangian;
Magpatuloy sa pag-unlad ng mga kasanayan sa pagsusuri, paghahambing, pag-highlight ng pangunahing bagay, tukuyin at ipaliwanag ang mga konsepto;
Upang bumuo ng mga kakayahan sa komunikasyon, ang kakayahang magtaltalan ng kanilang mga aksyon, upang linangin ang kalayaan, sipag.
Kagamitan: aklat-aralin, handout card, laptop,materyal sa pagtatanghal power point ;
Uri ng aralin: aralin ng pag-aaral at pangunahing pagsasama-sama ng bagong kaalaman.
Plano ng aralin:
1.Org. sandali. - 1 minuto.
2.Pagganyak ng aralin.-2 minuto
3. Aktwalisasyon ng pangunahing kaalaman. - 5 minuto.
4. Pag-aaral ng bagong materyal. - 15 minuto.
5. Minuto ng pisikal na edukasyon - 1 min.
6. Pangunahing pagsasama-sama ng pinag-aralan na materyal - 10 min
7. Malayang gawain. - 7 min.
8. Takdang-Aralin. - 2 minuto.
9. Pagninilay - 1 min.
10. Ang resulta ng aralin. - 1 minuto.
Sa panahon ng mga klase
1. Organisasyon sandali
Emosyonal na mood para sa aralin.
Gusto kong magtrabaho, gusto ko
trabaho,
Nais kong tagumpay ka ngayon.
Pagkatapos ng lahat, sa hinaharap ang lahat ng ito ay para sa iyo
dumating sa madaling gamiting.
At ito ay magiging mas madali para sa iyo sa hinaharap
mag-aral(Slide #1)
2. Pagganyak sa aralin
Ang mga operasyon ng pagtaas sa isang kapangyarihan at pagkuha ng isang ugat, tulad ng apat na mga operasyon sa aritmetika, ay lumitaw bilang isang resulta ng isang praktikal na pangangailangan. Kaya, kasama ang gawain ng pagkalkula ng lugar ng isang parisukat, ang gilida na alam, nagkaroon ng kabaligtaran na problema: “Anong haba dapat mayroon ang gilid ng parisukat upang ang lawak nito ay katumbas ngsa. Noong ika-14 hanggang ika-15 na siglo, lumitaw ang mga bangko sa Kanlurang Europa, na nagbigay ng pera bilang interes sa mga prinsipe at mangangalakal, tinustusan ang mga paglalakbay at pananakop sa malayuan sa mataas na mga rate ng interes. Upang mapadali ang pagkalkula ng tambalang interes, nag-compile kami ng mga talahanayan kung saan maaari mong malaman kaagad kung magkano ang kailangan mong bayaran sa pamamagitan ngP taon, kung ang halaga ay hinirama saR % kada taon. Ang halagang binayaran ay ipinahayag ng formula: s = a(1 + ) P .Minsan ang pera ay hiniram hindi para sa isang integer na bilang ng mga taon, ngunit halimbawa, para sa 2 taon 6 na buwan. Kung pagkatapos ng 2.5 taon ang halagaa mag apply sa aq , pagkatapos ay sa susunod na 2.5 taon ito ay tataas ng isa paq beses at nagiging pantayaq 2 . Pagkatapos ng 5 taon:a=(1 + 5 , kaya lang q 2 = (1 + 5 at ibig sabihin q =
(Slide 2) .
Kaya, ang ideya ng isang degree na may fractional exponent ay ipinanganak.
3. Aktwalisasyon ng pangunahing kaalaman.
Mga Tanong:
1. Ano ang ibig sabihin ng talaan;a P
2. Ano ang a ?
3. Ano ang P ?
4. a -P =?
5. Isulat sa iyong kuwaderno ang mga katangian ng degree na may integer indicator.
6. Anong mga numero ang natural, buo, makatwiran? Iguhit ang mga ito gamit ang Euler circles.(Slide 3)
Mga sagot: 1. Degree na may integer exponent
2. a- base
3. P- exponent
4. a -P =
5. Degree na mga katangian na may integer exponent:
a m *a n = a (m+n) ;
a m : a n = a (m-n) ( sa a hindi katumbas ng sero );
(a m ) n = a (m*n) ;
(a*b) n = a n *b n ;
(a/b) n = (a n )/(b n ) (sa b hindi katumbas ng zero);
a 1 = a;
a 0 = 1 (kailan a hindi katumbas ng zero);
Magiging wasto ang mga katangiang ito para sa anumang numerong a, b at anumang integer na m at n.
6.1,2,3, …- positibong mga numero – hanay ng mga natural na numero –N
0,-1,-2,-3,.. ang bilang O at mga negatibong numero - isang set ng mga integer -Z
Q , – mga fractional na numero (negatibo at positibo) – set ng mga rational na numero -Q ZN
Mga bilog ni Euler (slide 4)
4. Pag-aaral ng bagong materyal.
Hayaan. a - hindi-negatibong numero at gusto mong itaas ito sa isang fractional na kapangyarihan . Alam mo ba ang equationa m ) n = a m n (slide 4) , ibig sabihin. ang panuntunan para sa pagtataas ng isang kapangyarihan sa isang kapangyarihan. Sa equation sa itaas, ipagpalagay na m = , pagkatapos ay makuha namin: (a ) P = a =a (slide 4)
Mula rito ay mahihinuha naa ugat P - ika degree mula sa numeroa , ibig sabihin. a = . kasunod nito (a P ) = P =a (slide 4).
Dahil dito a =(a ) m =(a m ) = m . ( slide 4 ).
Kaya, ang sumusunod na pagkakapantay-pantay ay pinanghahawakan:a = m (slide 4)
Kahulugan: antas ng isang di-negatibong numero a na may makatwiran , saan - isang irreducible fraction, ang halaga ng ugat ng n-th degree mula sa isang numero ay tinatawag a t .
Samakatuwid, sa pamamagitan ng kahulugan a = m (slide 5)
Tingnan natin ang halimbawa 1 : Isulat ang exponent na may rational exponent bilang nth root:
1)5 2)3,7 -0,7 3) ( ) (slide 6) Solusyon: 1) 5 = 2 = 2) 3,7 -0,7 = -7 3) ( ) = ( slide 7) Maaaring isagawa ang multiplication, division, exponentiation, at root extraction sa mga powers na may rational exponent alinsunod sa parehong mga patakaran tulad ng powers na may integer exponents at powers na may parehong base:a = a + a = a - (a ) = a * (a*b) = a * sa ) = a / sa saan p, q ay mga natural na numero, m, p ay mga integer. (slide 8) 5. Minuto ng pisikal na edukasyonIlipat ang iyong tingin sa kanan
Lumiko ang iyong tingin sa kaliwa
Tumingin sa kisame
Napatingin kaming lahat sa unahan.
Isang - yumuko - yumuko,
Dalawa ─ yumuko - mag-inat
Tatlo - sa kamay ng tatlong palakpak,
Tatlong tango ang ulo.
Tahimik na umupo ang lima at anim.
At sa kalsada na naman! (slide 9)
6. Pangunahing pagsasama-sama ng pinag-aralan na materyal:
Pahina 51, No. 90, No. 91 - kumpleto sa isang notebook sa iyong sarili,
may board check
7. Malayang gawain
Pagpipilian 1
(Slide 10)
Pagpipilian 1
(Slide 11)
Magsagawa ng independiyenteng gawain na may peer review.
Mga sagot:
Pagpipilian 1
(Slide 12)
Kaya, ngayon sa aralin nakilala namin ang konsepto ng isang degree na may isang nakapangangatwiran na exponent at natutunan kung paano isulat ito sa anyo ng mga ugat, ilapat ang mga pangunahing katangian ng mga degree kapag naghahanap ng mga halaga ng mga numerical expression.8. Takdang-Aralin: No. 92, No. 93 Impormasyon sa Takdang-Aralin
9. Pagninilay
(Slide 13)
10. Buod ng aralin:
Ano ang pagkakatulad at pagkakaiba sa pagitan ng degree na may integer indicator at degree na may fractional indicator? (pagkakatulad: lahat ng katangian ng isang degree na may integer exponent ay mayroon ding degree na may rational exponent;
pagkakaiba: degree)
Ilista ang mga katangian ng degree na may rational exponent
Natapos ang aralin ngayong araw
Hindi ka makakahanap ng mga kaibigan.
Ngunit dapat malaman ng lahat:
Kaalaman, tiyaga, trabaho
Humantong sa pag-unlad sa buhay.
Salamat sa aralin!
(slide 14)
Mga expression, conversion ng expression
Mga pagpapahayag ng kapangyarihan (mga ekspresyong may kapangyarihan) at ang kanilang pagbabago
Sa artikulong ito, pag-uusapan natin ang tungkol sa pagbabago ng mga expression na may mga kapangyarihan. Una, tututuon natin ang mga pagbabagong ginagawa gamit ang anumang uri ng mga expression, kabilang ang mga power expression, gaya ng pagbubukas ng mga bracket, na binabawasan ang mga katulad na termino. At pagkatapos ay susuriin namin ang mga pagbabagong likas na partikular sa mga expression na may mga degree: nagtatrabaho sa base at exponent, gamit ang mga katangian ng mga degree, atbp.
Pag-navigate sa pahina.
Ano ang Power Expressions?
Ang terminong "mga expression ng kapangyarihan" ay halos hindi matatagpuan sa mga aklat-aralin sa matematika ng paaralan, ngunit madalas itong lumilitaw sa mga koleksyon ng mga gawain, lalo na idinisenyo upang maghanda para sa Pinag-isang Estado na Pagsusuri at ang OGE, halimbawa,. Pagkatapos suriin ang mga gawain kung saan kinakailangan na magsagawa ng anumang mga aksyon na may mga power expression, nagiging malinaw na ang mga power expression ay nauunawaan bilang mga expression na naglalaman ng mga degree sa kanilang mga entry. Samakatuwid, para sa iyong sarili, maaari mong kunin ang sumusunod na kahulugan:
Kahulugan.
Mga pagpapahayag ng kapangyarihan ay mga ekspresyong naglalaman ng mga kapangyarihan.
Dalhin natin mga halimbawa ng mga pagpapahayag ng kapangyarihan. Bukod dito, kakatawanin namin sila ayon sa kung paano nagaganap ang pagbuo ng mga pananaw mula sa isang degree na may natural na indicator hanggang sa isang degree na may totoong indicator.
Tulad ng alam mo, una ay mayroong isang kakilala sa antas ng isang numero na may natural na exponent, sa yugtong ito ang unang pinakasimpleng mga expression ng kapangyarihan ng uri 3 2 , 7 5 +1 , (2+1) 5 , (−0, 1) 4 , 3 a 2 −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 atbp.
Maya-maya, pinag-aralan ang kapangyarihan ng isang numero na may integer exponent, na humahantong sa paglitaw ng mga power expression na may negatibong integer na kapangyarihan, tulad ng sumusunod: 3 −2, 
, a −2 +2 b −3 + c 2 .
Sa mga senior class, muli silang bumalik sa mga degree. Doon, ipinakilala ang isang degree na may rational exponent, na humahantong sa paglitaw ng kaukulang mga expression ng kapangyarihan: 
, , 
atbp. Panghuli, ang mga degree na may mga hindi makatwirang exponent at mga expression na naglalaman ng mga ito ay isinasaalang-alang: , .
Ang usapin ay hindi limitado sa nakalistang mga expression ng kapangyarihan: lalo pang tumagos ang variable sa exponent, at mayroong, halimbawa, mga ganitong expression na 2 x 2 +1 o 
. At pagkatapos na makilala, ang mga expression na may mga kapangyarihan at logarithms ay nagsisimulang lumitaw, halimbawa, x 2 lgx −5 x lgx.
Kaya, nalaman namin ang tanong kung ano ang mga pagpapahayag ng kapangyarihan. Susunod, matututunan natin kung paano baguhin ang mga ito.
Ang mga pangunahing uri ng mga pagbabagong-anyo ng mga pagpapahayag ng kapangyarihan
Gamit ang mga power expression, maaari mong gawin ang alinman sa mga basic magkaparehong pagbabago ng mga ekspresyon. Halimbawa, maaari mong palawakin ang mga bracket, palitan ang mga numeric na expression ng kanilang mga halaga, magdagdag ng mga katulad na termino, at iba pa. Naturally, sa kasong ito kinakailangan na sumunod sa tinanggap pagkakasunud-sunod ng mga aksyon. Magbigay tayo ng mga halimbawa.
Halimbawa.
Kalkulahin ang halaga ng power expression 2 3 ·(4 2 −12) .
Solusyon.
Ayon sa pagkakasunud-sunod ng mga aksyon, ginagawa muna namin ang mga aksyon sa mga bracket. Doon, una, pinapalitan namin ang kapangyarihan ng 4 2 sa halaga nito na 16 (tingnan kung kinakailangan), at pangalawa, kinakalkula namin ang pagkakaiba 16−12=4 . Meron kami 2 3 (4 2 −12)=2 3 (16−12)=2 3 4.
Sa resultang expression, pinapalitan namin ang kapangyarihan ng 2 3 ng halaga nito 8 , pagkatapos ay kalkulahin namin ang produkto 8·4=32 . Ito ang nais na halaga.
Kaya, 2 3 (4 2 −12)=2 3 (16−12)=2 3 4=8 4=32.
Sagot:
2 3 (4 2 −12)=32 .
Halimbawa.
Pasimplehin ang Power Expressions 3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7.
Solusyon.
Malinaw, ang expression na ito ay naglalaman ng parang terms 3 a 4 b −7 at 2 a 4 b −7 , at maaari nating bawasan ang mga ito: .
Sagot:
3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7 =5 a 4 b −7 −1.
Halimbawa.
Ipahayag ang isang pagpapahayag na may mga kapangyarihan bilang isang produkto.
Solusyon.
Upang makayanan ang gawain ay nagbibigay-daan sa representasyon ng numero 9 bilang isang kapangyarihan ng 3 2 at kasunod na paggamit pinaikling mga pormula ng pagpaparami pagkakaiba ng mga parisukat: 
Sagot:
Mayroon ding ilang magkakaparehong pagbabagong likas sa mga pagpapahayag ng kapangyarihan. Susunod, susuriin natin ang mga ito.
Paggawa gamit ang base at exponent
Mayroong mga degree, sa batayan at / o tagapagpahiwatig na hindi lamang mga numero o variable, ngunit ilang mga expression. Bilang halimbawa, isulat natin ang (2+0.3 7) 5−3.7 at (a (a+1)−a 2) 2 (x+1) .
Kapag nagtatrabaho sa magkatulad na mga expression, parehong ang expression sa base ng degree at ang expression sa exponent ay maaaring mapalitan ng magkaparehong pantay na expression sa ODZ kanyang mga variable. Sa madaling salita, ayon sa mga patakaran na kilala sa amin, maaari naming hiwalay na i-convert ang base ng antas, at hiwalay - ang tagapagpahiwatig. Malinaw na bilang resulta ng pagbabagong ito, nakuha ang isang expression na kapareho ng orihinal.
Ang ganitong mga pagbabago ay nagpapahintulot sa amin na pasimplehin ang mga expression na may mga kapangyarihan o makamit ang iba pang mga layunin na kailangan namin. Halimbawa, sa power expression (2+0.3 7) 5−3.7 na binanggit sa itaas, maaari kang magsagawa ng mga operasyon na may mga numero sa base at exponent, na magbibigay-daan sa iyong pumunta sa kapangyarihan ng 4.1 1.3. At pagkatapos buksan ang mga bracket at magdala ng mga katulad na termino sa base ng degree (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) nakakakuha tayo ng power expression ng mas simpleng anyo na a 2·(x+1 ).
Paggamit ng Power Properties
Ang isa sa mga pangunahing tool para sa pagbabago ng mga expression na may kapangyarihan ay ang mga pagkakapantay-pantay na sumasalamin sa . Alalahanin natin ang mga pangunahing. Para sa anumang positibong numero a at b at arbitrary na tunay na mga numero r at s, ang mga sumusunod na katangian ng kapangyarihan ay nagtataglay:
- a r a s =a r+s ;
- a r:a s =a r−s ;
- (a b) r = a r b r ;
- (a:b) r =a r:b r ;
- (a r) s =a r s .
Tandaan na para sa natural, integer, at positibong exponent, maaaring hindi masyadong mahigpit ang mga paghihigpit sa mga numerong a at b. Halimbawa, para sa mga natural na bilang na m at n, ang pagkakapantay-pantay na a m ·a n =a m+n ay totoo hindi lamang para sa positibong a , kundi pati na rin sa mga negatibo, at para sa a=0 .
Sa paaralan, ang pangunahing pansin sa pagbabago ng mga ekspresyon ng kapangyarihan ay tiyak na nakatuon sa kakayahang pumili ng naaangkop na pag-aari at ilapat ito nang tama. Sa kasong ito, ang mga base ng mga degree ay karaniwang positibo, na nagpapahintulot sa iyo na gamitin ang mga katangian ng mga degree nang walang mga paghihigpit. Ang parehong naaangkop sa pagbabagong-anyo ng mga expression na naglalaman ng mga variable sa mga base ng degree - ang hanay ng mga katanggap-tanggap na halaga ng mga variable ay kadalasang tulad na ang mga base ay kumukuha lamang ng mga positibong halaga dito, na nagpapahintulot sa iyo na malayang gamitin ang mga katangian. ng mga degree. Sa pangkalahatan, kailangan mong patuloy na tanungin ang iyong sarili kung posible bang mag-aplay ng anumang ari-arian ng mga degree sa kasong ito, dahil ang hindi tumpak na paggamit ng mga ari-arian ay maaaring humantong sa isang pagpapaliit ng ODZ at iba pang mga problema. Ang mga puntong ito ay tinalakay nang detalyado at may mga halimbawa sa artikulo. pagbabago ng mga expression gamit ang mga katangian ng mga degree. Dito ikukulong natin ang ating sarili sa ilang simpleng halimbawa.
Halimbawa.
Ipahayag ang expression na a 2.5 ·(a 2) −3:a −5.5 bilang isang kapangyarihan na may base a .
Solusyon.
Una, binabago natin ang pangalawang salik (a 2) −3 sa pamamagitan ng pag-aari ng pagtaas ng kapangyarihan sa isang kapangyarihan: (a 2) −3 =a 2 (−3) =a −6. Sa kasong ito, ang paunang pagpapahayag ng kapangyarihan ay kukuha ng anyong 2.5 ·a −6:a −5.5 . Malinaw, ito ay nananatiling gamitin ang mga katangian ng pagpaparami at paghahati ng mga kapangyarihan na may parehong base, mayroon tayo
isang 2.5 a -6:a -5.5 =
a 2.5−6:a−5.5 =a−3.5:a−5.5 =
a −3.5−(−5.5) =a 2 .
Sagot:
isang 2.5 (a 2) -3:a -5.5 \u003d a 2.
Ginagamit ang mga power properties kapag binabago ang mga power expression mula kaliwa pakanan at mula kanan papuntang kaliwa.
Halimbawa.
Hanapin ang halaga ng pagpapahayag ng kapangyarihan.
Solusyon.
Ang pagkakapantay-pantay (a·b) r =a r ·b r , na inilapat mula kanan pakaliwa, ay nagbibigay-daan sa iyong pumunta mula sa orihinal na expression patungo sa produkto ng form at higit pa. At kapag nagpaparami ng mga kapangyarihan na may parehong base, ang mga tagapagpahiwatig ay nagdaragdag: 
.
Posibleng isagawa ang pagbabago ng orihinal na expression sa ibang paraan: 
Sagot:
.
Halimbawa.
Dahil sa power expression a 1.5 −a 0.5 −6 , magpasok ng bagong variable t=a 0.5 .
Solusyon.
Ang degree na a 1.5 ay maaaring katawanin bilang isang 0.5 3 at higit pa sa batayan ng pag-aari ng degree sa degree (a r) s =a r s na inilapat mula kanan pakaliwa, i-convert ito sa anyo (a 0.5) 3 . Sa ganitong paraan, a 1.5 -a 0.5 -6=(a 0.5) 3 -a 0.5 -6. Ngayon ay madaling magpakilala ng bagong variable t=a 0.5 , nakukuha natin ang t 3 −t−6 .
Sagot:
t 3 −t−6 .
Pag-convert ng mga fraction na naglalaman ng mga kapangyarihan
Ang mga power expression ay maaaring maglaman ng mga fraction na may kapangyarihan o kumakatawan sa mga naturang fraction. Sa ganitong mga fraction, alinman sa mga pangunahing mga pagbabagong bahagi, na likas sa mga fraction ng anumang uri. Iyon ay, ang mga fraction na naglalaman ng mga degree ay maaaring bawasan, bawasan sa isang bagong denominator, gumana nang hiwalay sa kanilang numerator at hiwalay sa denominator, atbp. Upang ilarawan ang mga salita sa itaas, isaalang-alang ang mga solusyon ng ilang mga halimbawa.
Halimbawa.
Pasimplehin ang Power Expression 
.
Solusyon.
Ang power expression na ito ay isang fraction. Gawin natin ang numerator at denominator nito. Sa numerator, binubuksan namin ang mga bracket at pinasimple ang expression na nakuha pagkatapos nito gamit ang mga katangian ng mga kapangyarihan, at sa denominator ay nagpapakita kami ng mga katulad na termino: 
At binabago din namin ang tanda ng denominator sa pamamagitan ng paglalagay ng minus sa harap ng fraction: 
.
Sagot:
.
Ang pagbabawas ng mga fraction na naglalaman ng mga kapangyarihan sa isang bagong denominator ay isinasagawa katulad ng pagbabawas ng mga rational fraction sa isang bagong denominator. Kasabay nito, ang isang karagdagang kadahilanan ay matatagpuan din at ang numerator at denominator ng fraction ay pinarami nito. Kapag ginagawa ang pagkilos na ito, ito ay nagkakahalaga ng pag-alala na ang pagbawas sa isang bagong denominator ay maaaring humantong sa isang pagpapaliit ng DPV. Upang maiwasang mangyari ito, kinakailangan na ang karagdagang kadahilanan ay hindi maglaho para sa anumang mga halaga ng mga variable mula sa mga variable ng ODZ para sa orihinal na expression.
Halimbawa.
Dalhin ang mga fraction sa isang bagong denominator: a) sa denominator a, b) 
sa denominator.
Solusyon.
a) Sa kasong ito, medyo madaling malaman kung anong karagdagang kadahilanan ang nakakatulong upang makamit ang ninanais na resulta. Ito ay isang salik a 0.3, dahil ang isang 0.7 a 0.3 = a 0.7+0.3 = a . Tandaan na sa hanay ng mga katanggap-tanggap na halaga ng variable a (ito ang set ng lahat ng positibong tunay na numero), ang degree na 0.3 ay hindi nawawala, samakatuwid, may karapatan tayong i-multiply ang numerator at denominator ng ibinigay na fraction sa pamamagitan ng karagdagang salik na ito: 
b) Kung titingnang mabuti ang denominator, makikita natin iyon 
at ang pagpaparami ng expression na ito sa ay magbibigay ng kabuuan ng mga cube at , iyon ay, . At ito ang bagong denominator kung saan kailangan nating dalhin ang orihinal na fraction.
Kaya nakakita kami ng karagdagang kadahilanan. Ang expression ay hindi nawawala sa hanay ng mga katanggap-tanggap na halaga ng mga variable na x at y, samakatuwid, maaari nating i-multiply ang numerator at denominator ng fraction sa pamamagitan nito: 
Sagot:
a) 
, b) 
.
Wala ring bago sa pagbabawas ng mga fraction na naglalaman ng mga degree: ang numerator at denominator ay kinakatawan bilang isang tiyak na bilang ng mga kadahilanan, at ang parehong mga kadahilanan ng numerator at denominator ay nababawasan.
Halimbawa.
Bawasan ang bahagi: a) 
, b).
Solusyon.
a) Una, ang numerator at denominator ay maaaring bawasan ng mga numerong 30 at 45, na katumbas ng 15. Gayundin, malinaw naman, maaari mong bawasan ng x 0.5 +1 at ng 
. Narito ang mayroon tayo: 
b) Sa kasong ito, ang parehong mga kadahilanan sa numerator at denominator ay hindi agad makikita. Upang makuha ang mga ito, kailangan mong magsagawa ng mga paunang pagbabago. Sa kasong ito, binubuo sila sa pag-decomposing ng denominator sa mga kadahilanan ayon sa pagkakaiba ng formula ng mga parisukat: 
Sagot:
a) 
b) 
.
Ang pagbabawas ng mga fraction sa isang bagong denominator at pagbabawas ng mga fraction ay pangunahing ginagamit upang magsagawa ng mga operasyon sa mga fraction. Ang mga aksyon ay isinasagawa ayon sa mga kilalang tuntunin. Kapag nagdadagdag (nagbabawas) ng mga fraction, ang mga ito ay binabawasan sa isang karaniwang denominator, pagkatapos kung saan ang mga numerator ay idinagdag (binabawas), at ang denominator ay nananatiling pareho. Ang resulta ay isang fraction na ang numerator ay produkto ng mga numerator, at ang denominator ay produkto ng mga denominador. Ang paghahati sa isang fraction ay multiplikasyon sa pamamagitan ng katumbas nito.
Halimbawa.
Sundin ang mga hakbang 
.
Solusyon.
Una, ibawas natin ang mga fraction sa mga bracket. Upang gawin ito, dinadala namin ang mga ito sa isang karaniwang denominator, na 
, pagkatapos ay ibawas ang mga numerator: 
Ngayon kami ay nagpaparami ng mga fraction: 
Malinaw, ang pagbawas ng kapangyarihan x 1/2 ay posible, pagkatapos nito ay mayroon na tayo 
.
Maaari mo ring gawing simple ang power expression sa denominator sa pamamagitan ng paggamit ng difference ng squares formula: 
.
Sagot:
Halimbawa.
Pasimplehin ang Power Expression 
.
Solusyon.
Malinaw, ang fraction na ito ay maaaring bawasan ng (x 2.7 +1) 2, ito ay nagbibigay ng fraction 
. Malinaw na may ibang kailangang gawin sa mga kapangyarihan ng x. Upang gawin ito, kino-convert namin ang resultang fraction sa isang produkto. Nagbibigay ito sa amin ng pagkakataong gamitin ang pag-aari ng paghahati ng mga kapangyarihan na may parehong mga batayan: 
. At sa dulo ng proseso, pumasa kami mula sa huling produkto hanggang sa fraction.
Sagot:
.
At idinagdag namin na posible at sa maraming mga kaso ay kanais-nais na ilipat ang mga kadahilanan na may mga negatibong exponent mula sa numerator patungo sa denominator o mula sa denominator patungo sa numerator sa pamamagitan ng pagbabago ng tanda ng exponent. Ang ganitong mga pagbabago ay kadalasang nagpapasimple ng mga karagdagang aksyon. Halimbawa, ang isang power expression ay maaaring palitan ng .
Pag-convert ng mga expression na may mga ugat at kapangyarihan
Kadalasan sa mga expression kung saan kinakailangan ang ilang pagbabago, kasama ang mga degree na may mga fractional exponents, mayroon ding mga ugat. Upang i-convert ang gayong ekspresyon sa nais na anyo, sa karamihan ng mga kaso ito ay sapat na upang pumunta lamang sa mga ugat o lamang sa mga kapangyarihan. Ngunit dahil ito ay mas maginhawa upang gumana sa mga degree, sila ay karaniwang lumipat mula sa mga ugat hanggang sa mga degree. Gayunpaman, ipinapayong magsagawa ng gayong paglipat kapag ang ODZ ng mga variable para sa orihinal na expression ay nagpapahintulot sa iyo na palitan ang mga ugat ng mga degree nang hindi kinakailangang i-access ang module o hatiin ang ODZ sa ilang mga agwat (tinalakay namin ito nang detalyado sa artikulo, ang paglipat mula sa mga ugat tungo sa mga kapangyarihan at vice versa Matapos makilala ang antas na may makatwirang exponent isang antas na may hindi makatwiran na tagapagpahiwatig ay ipinakilala, na ginagawang posible na magsalita ng isang antas na may arbitrary na tunay na tagapagpahiwatig. Sa yugtong ito, ang nagsisimulang mag-aral ang paaralan exponential function, na kung saan ay analytically ibinigay sa pamamagitan ng antas, sa batayan ng kung saan mayroong isang numero, at sa indicator - isang variable. Kaya tayo ay nahaharap sa mga exponential expression na naglalaman ng mga numero sa base ng degree, at sa exponent - mga expression na may mga variable, at natural na ang pangangailangan ay lumitaw upang maisagawa ang mga pagbabagong-anyo ng naturang mga expression.
Dapat sabihin na ang pagbabagong-anyo ng mga expression ng ipinahiwatig na uri ay karaniwang kailangang isagawa kapag nagresolba mga exponential equation at exponential inequalities, at ang mga pagbabagong ito ay medyo simple. Sa karamihan ng mga kaso, ang mga ito ay nakabatay sa mga katangian ng antas at higit na naglalayong magpakilala ng bagong variable sa hinaharap. Ang equation ay magpapahintulot sa amin na ipakita ang mga ito 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.
Una, ang mga exponents, kung saan ang mga exponents ay natagpuan ang kabuuan ng ilang variable (o expression na may mga variable) at isang numero, ay pinapalitan ng mga produkto. Nalalapat ito sa una at huling mga termino ng expression sa kaliwang bahagi:
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.
Susunod, ang parehong bahagi ng pagkakapantay-pantay ay hinati ng expression 7 2 x , na kumukuha lamang ng mga positibong halaga sa ODZ ng variable x para sa orihinal na equation (ito ay isang karaniwang pamamaraan para sa paglutas ng mga equation ng ganitong uri, hindi kami pinag-uusapan ito ngayon, kaya tumuon sa mga kasunod na pagbabago ng mga expression na may mga kapangyarihan ): 
Ngayon ang mga fraction na may kapangyarihan ay kinansela, na nagbibigay 
.
Sa wakas, ang ratio ng mga kapangyarihan na may parehong mga exponent ay pinalitan ng mga kapangyarihan ng mga ratio, na humahantong sa equation 
, na katumbas ng 
. Ang mga pagbabagong ginawa ay nagpapahintulot sa amin na magpakilala ng isang bagong variable, na binabawasan ang solusyon ng orihinal na exponential equation sa solusyon ng quadratic equation
