Weitere Eigenschaften hängen mit den Konzepten des Moll- und algebraischen Komplements zusammen
Unerheblich Das Element wird als Determinante bezeichnet und besteht aus den Elementen, die nach dem Löschen der Zeile und Spalte verbleiben, an deren Schnittpunkt sich dieses Element befindet. Das ordnungsbestimmende Element Minor hat Ordnung. Wir werden es mit bezeichnen.
Beispiel 1 Lassen 
, Dann 
.
Dieses Moll wird aus A erhalten, indem die zweite Zeile und die dritte Spalte gelöscht werden.
Algebraische Addition Element heißt das entsprechende Moll multipliziert mit , d.h. 
, wobei die Nummer der Zeile und Spalte ist, an deren Schnittpunkt sich das angegebene Element befindet.
VIII.(Zerlegung der Determinante über die Elemente einer Zeichenfolge). Die Determinante ist gleich der Summe der Produkte der Elemente einer Zeile und ihrer entsprechenden algebraischen Additionen.
Beispiel 2 Lassen 
, Dann
Beispiel 3 Finden wir die Matrixdeterminante und erweitert es um die Elemente der ersten Zeile.
Formal sind dieser Satz und andere Eigenschaften von Determinanten bisher nur für Determinanten von Matrizen nicht höher als dritter Ordnung anwendbar, da wir andere Determinanten nicht berücksichtigt haben. Die folgende Definition erweitert diese Eigenschaften auf Determinanten beliebiger Ordnung.
Determinante der Matrix Befehl heißt eine Zahl, die durch sukzessive Anwendung des Zerlegungssatzes und anderer Eigenschaften von Determinanten berechnet wird.
Sie können überprüfen, ob das Berechnungsergebnis nicht von der Reihenfolge abhängt, in der die oben genannten Eigenschaften angewendet werden und für welche Zeilen und Spalten. Mit dieser Definition lässt sich die Determinante eindeutig bestimmen.
Obwohl diese Definition keine explizite Formel zum Finden der Determinante enthält, ermöglicht sie Ihnen, sie durch Reduzieren auf Determinanten von Matrizen niedrigerer Ordnung zu finden. Solche Definitionen heißen wiederkehrend.
Beispiel 4 Berechnen Sie die Determinante: 
Obwohl der Zerlegungssatz auf jede Zeile oder Spalte einer bestimmten Matrix angewendet werden kann, ist der Rechenaufwand geringer, wenn die Zerlegung auf einer Spalte erfolgt, die möglichst viele Nullen enthält.
Da die Matrix keine Nullelemente hat, ermitteln wir diese über die Eigenschaft VII. Multiplizieren Sie die erste Zeile fortlaufend mit Zahlen 
und füge es zu den Strings hinzu und erhalte:
Wir erweitern die resultierende Determinante in der ersten Spalte und erhalten:
da die Determinante zwei proportionale Spalten enthält.
Einige Arten von Matrizen und ihre Determinanten
Eine quadratische Matrix, in der null Elemente unter oder über der Hauptdiagonale () liegen, heißt dreieckig.
Ihr schematischer Aufbau sieht dementsprechend wie folgt aus: 
oder
.
Übung. Berechnen Sie die Determinante, indem Sie sie über die Elemente einer Zeile oder Spalte erweitern.
Lösung. Führen wir zunächst elementare Transformationen an den Zeilen der Determinante durch, indem wir entweder in einer Zeile oder in einer Spalte so viele Nullen wie möglich erstellen. Dazu subtrahieren wir zunächst neun Drittel von der ersten Zeile, fünf Drittel von der zweiten und drei Drittel von der vierten und erhalten:
Wir erweitern die resultierende Determinante um die Elemente der ersten Spalte:
Die resultierende Determinante dritter Ordnung wird ebenfalls um die Elemente der Zeile und Spalte erweitert, nachdem sie zuvor beispielsweise in der ersten Spalte Nullen erhalten hat. Dazu subtrahieren wir zwei zweite Zeilen von der ersten Zeile und die zweite von der dritten:
Antwort. 
12. Slough 3 Bestellungen
1. Dreiecksregel
Schematisch lässt sich diese Regel wie folgt darstellen:
Das Produkt der Elemente in der ersten Determinante, die durch Linien verbunden sind, wird mit einem Pluszeichen versehen; Ebenso werden für die zweite Determinante die entsprechenden Produkte mit einem Minuszeichen genommen, d.h.
2. Sarrus-Regel
Rechts von der Determinante werden die ersten beiden Spalten addiert und die Produkte der Elemente auf der Hauptdiagonale und auf den dazu parallelen Diagonalen mit einem Pluszeichen gebildet; und die Produkte der Elemente der Nebendiagonale und der dazu parallelen Diagonalen, mit Minuszeichen:
3. Erweiterung der Determinante in einer Zeile oder Spalte
Die Determinante ist gleich der Summe der Produkte der Elemente der Reihe der Determinante und ihrer algebraischen Komplemente. Wählen Sie normalerweise die Zeile/Spalte, in der Nullen stehen. Die Zeile oder Spalte, für die die Zerlegung durchgeführt wird, wird durch einen Pfeil angezeigt.
Übung. Berechnen Sie die Determinante, indem Sie die erste Zeile erweitern
Lösung.
Antwort. 
4. Bringen Sie die Determinante in eine Dreiecksform
Mit Hilfe elementarer Transformationen über Zeilen oder Spalten wird die Determinante auf eine Dreiecksform reduziert, und dann ist ihr Wert entsprechend den Eigenschaften der Determinante gleich dem Produkt der Elemente auf der Hauptdiagonale.
Beispiel
Übung. Determinante berechnen 
Bringen Sie es in eine dreieckige Form.
Lösung. Zuerst machen wir Nullen in der ersten Spalte unter der Hauptdiagonale. Alle Transformationen sind einfacher durchzuführen, wenn das Element gleich 1 ist. Dazu vertauschen wir die erste und zweite Spalte der Determinante, was je nach den Eigenschaften der Determinante dazu führt, dass sie ihr Vorzeichen in das Gegenteil ändert :
Als nächstes erhalten wir in der zweiten Spalte Nullen anstelle der Elemente unter der Hauptdiagonale. Und noch einmal: Wenn das Diagonalelement gleich ist, werden die Berechnungen einfacher. Dazu vertauschen wir die zweite und dritte Zeile (und wechseln gleichzeitig in das umgekehrte Vorzeichen der Determinante):
Als nächstes machen wir in der zweiten Spalte unter der Hauptdiagonale Nullen, dazu gehen wir wie folgt vor: Wir addieren drei zweite Zeilen zur dritten Zeile und zwei zweite Zeilen zur vierten, wir erhalten:
Außerdem nehmen wir aus der dritten Zeile (-10) als Determinante heraus und machen Nullen in der dritten Spalte unter der Hauptdiagonale, und fügen dazu die dritte zur letzten Zeile hinzu:
Formulierung des Problems
Die Aufgabe besteht darin, den Benutzer mit den Grundkonzepten numerischer Methoden wie Determinante und Umkehrmatrix sowie verschiedenen Methoden zu deren Berechnung vertraut zu machen. In diesem theoretischen Bericht werden in einer einfachen und leicht verständlichen Sprache zunächst die grundlegenden Konzepte und Definitionen vorgestellt, auf deren Grundlage weitere Untersuchungen durchgeführt werden. Der Benutzer verfügt möglicherweise nicht über besondere Kenntnisse auf dem Gebiet der numerischen Methoden und der linearen Algebra, kann die Ergebnisse dieser Arbeit jedoch problemlos nutzen. Der Übersichtlichkeit halber wird ein Programm zur Berechnung der Matrixdeterminante nach mehreren Methoden angegeben, geschrieben in der Programmiersprache C++. Das Programm dient als Laborstand zur Erstellung von Illustrationen für den Bericht. Außerdem wird eine Untersuchung von Methoden zur Lösung linearer algebraischer Gleichungssysteme durchgeführt. Die Nutzlosigkeit der Berechnung der inversen Matrix ist bewiesen, daher bietet das Papier optimalere Möglichkeiten, Gleichungen zu lösen, ohne sie zu berechnen. Es wird erklärt, warum es so viele verschiedene Methoden zur Berechnung von Determinanten und inversen Matrizen gibt, und ihre Mängel werden analysiert. Dabei werden auch Fehler bei der Berechnung der Determinante berücksichtigt und die erreichte Genauigkeit abgeschätzt. Neben russischen Begriffen werden in der Arbeit auch deren englische Äquivalente verwendet, um zu verstehen, unter welchen Namen in Bibliotheken nach numerischen Prozeduren gesucht werden kann und was ihre Parameter bedeuten.
Grundlegende Definitionen und einfache Eigenschaften
Bestimmend
Lassen Sie uns die Definition der Determinante einer quadratischen Matrix beliebiger Ordnung einführen. Diese Definition wird wiederkehrend Das heißt, um festzustellen, was die Determinante der Ordnungsmatrix ist, müssen Sie bereits wissen, was die Determinante der Ordnungsmatrix ist. Beachten Sie auch, dass die Determinante nur für quadratische Matrizen existiert.
Die Determinante einer quadratischen Matrix wird mit oder det bezeichnet.
Definition 1. bestimmend quadratische Matrix 
Die zweite Ordnungsnummer wird aufgerufen 
.
bestimmend 
Die quadratische Ordnungsmatrix wird als Zahl bezeichnet 
wobei die Determinante der Ordnungsmatrix ist, die aus der Matrix durch Löschen der ersten Zeile und der Spalte mit der Nummer erhalten wird.
Der Übersichtlichkeit halber schreiben wir auf, wie Sie die Determinante einer Matrix vierter Ordnung berechnen können: 
Kommentar. In Ausnahmefällen wird die eigentliche Berechnung von Determinanten für Matrizen oberhalb der dritten Ordnung anhand der Definition verwendet. In der Regel erfolgt die Berechnung nach anderen Algorithmen, auf die später noch eingegangen wird und die weniger Rechenaufwand erfordern.
Kommentar. In Definition 1 wäre es genauer zu sagen, dass die Determinante eine Funktion ist, die auf der Menge der Matrizen quadratischer Ordnung definiert ist und Werte in der Menge der Zahlen annimmt.
Kommentar. In der Literatur wird anstelle des Begriffs „Determinante“ auch der Begriff „Determinante“ verwendet, der die gleiche Bedeutung hat. Aus dem Wort „determinant“ entstand die Bezeichnung det.
Betrachten wir einige Eigenschaften von Determinanten, die wir in Form von Aussagen formulieren.
Aussage 1. Beim Transponieren einer Matrix ändert sich die Determinante nicht, d. h. .
Aussage 2. Die Determinante des Produkts quadratischer Matrizen ist gleich dem Produkt der Determinanten der Faktoren, also .
Aussage 3. Wenn zwei Zeilen in einer Matrix vertauscht werden, ändert sich das Vorzeichen ihrer Determinante.
Aussage 4. Wenn eine Matrix zwei identische Zeilen hat, ist ihre Determinante Null.
In Zukunft müssen wir Zeichenfolgen hinzufügen und eine Zeichenfolge mit einer Zahl multiplizieren. Wir werden diese Operationen an Zeilen (Spalten) auf die gleiche Weise durchführen wie Operationen an Zeilenmatrizen (Spaltenmatrizen), also Element für Element. Das Ergebnis wird eine Zeile (Spalte) sein, die in der Regel nicht mit den Zeilen der Originalmatrix übereinstimmt. Bei Vorliegen von Operationen zum Addieren von Zeilen (Spalten) und deren Multiplikation mit einer Zahl können wir auch von Linearkombinationen von Zeilen (Spalten) sprechen, also von Summen mit numerischen Koeffizienten.
Aussage 5. Wenn eine Zeile einer Matrix mit einer Zahl multipliziert wird, wird ihre Determinante mit dieser Zahl multipliziert.
Aussage 6. Wenn die Matrix eine Nullzeile enthält, ist ihre Determinante Null.
Aussage 7. Wenn eine der Zeilen der Matrix gleich der anderen ist, multipliziert mit einer Zahl (die Zeilen sind proportional), dann ist die Determinante der Matrix Null.
Aussage 8. Lassen Sie die i-te Zeile in der Matrix wie folgt aussehen. Dann wird die Matrix aus der Matrix erhalten, indem die i-te Zeile durch die Zeile ersetzt wird, und die Matrix wird durch Ersetzen der i-ten Zeile durch die Zeile erhalten.
Aussage 9. Wenn eine der Zeilen der Matrix zu einer anderen addiert und mit einer Zahl multipliziert wird, ändert sich die Determinante der Matrix nicht.
Aussage 10. Wenn eine der Zeilen einer Matrix eine Linearkombination ihrer anderen Zeilen ist, dann ist die Determinante der Matrix Null.
Definition 2. Algebraische Addition zu einem Matrixelement wird eine Zahl gleich genannt, wobei die Determinante der Matrix ist, die aus der Matrix durch Löschen der i-ten Zeile und der j-ten Spalte erhalten wird. Das algebraische Komplement zu einem Matrixelement wird mit bezeichnet.
Beispiel. Lassen 
. Dann 
Kommentar. Unter Verwendung algebraischer Additionen kann die Definition einer Determinante wie folgt geschrieben werden: 
Aussage 11. Zerlegung der Determinante in eine beliebige Zeichenfolge.
Die Matrixdeterminante erfüllt die Formel 
Beispiel. Berechnung 
.
Lösung. Verwenden wir die Erweiterung in der dritten Zeile, sie ist profitabler, weil in der dritten Zeile zwei von drei Zahlen Nullen sind. Erhalten 
Aussage 12. Für eine quadratische Matrix der Ordnung bei haben wir die Beziehung 
.
Aussage 13. Alle für Zeilen formulierten Eigenschaften der Determinante (Aussagen 1 - 11) gelten auch für Spalten, insbesondere gilt die Zerlegung der Determinante in der j-ten Spalte 
und Gleichheit 
bei .
Aussage 14. Die Determinante einer Dreiecksmatrix ist gleich dem Produkt der Elemente ihrer Hauptdiagonale.
Folge. Die Determinante der Identitätsmatrix ist gleich eins, .
Abschluss. Die oben aufgeführten Eigenschaften ermöglichen es, mit relativ geringem Rechenaufwand Determinanten von Matrizen ausreichend hoher Ordnung zu finden. Der Berechnungsalgorithmus ist der folgende.
Algorithmus zum Erstellen von Nullen in einer Spalte. Es sei erforderlich, die Ordnungsdeterminante zu berechnen. Wenn , dann vertauschen Sie die erste Zeile und jede andere Zeile, in der das erste Element nicht Null ist. Infolgedessen ist die Determinante gleich der Determinante der neuen Matrix mit umgekehrtem Vorzeichen. Wenn das erste Element jeder Zeile gleich Null ist, dann hat die Matrix eine Nullspalte und gemäß den Aussagen 1, 13 ist ihre Determinante gleich Null.
Wir berücksichtigen das also bereits in der ursprünglichen Matrix. Lassen Sie die erste Zeile unverändert. Fügen wir zur zweiten Zeile die erste Zeile hinzu, multipliziert mit der Zahl . Dann ist das erste Element der zweiten Zeile gleich 
.
Die verbleibenden Elemente der neuen zweiten Zeile werden mit , bezeichnet. Die Determinante der neuen Matrix gemäß Aussage 9 ist gleich. Multiplizieren Sie die erste Zeile mit der Zahl und addieren Sie sie zur dritten. Das erste Element der neuen dritten Zeile wird gleich sein 
Die verbleibenden Elemente der neuen dritten Zeile werden mit , bezeichnet. Die Determinante der neuen Matrix gemäß Aussage 9 ist gleich.
Wir werden den Prozess fortsetzen, Nullen anstelle der ersten Elemente von Zeichenfolgen zu erhalten. Zum Schluss multiplizieren wir die erste Zeile mit einer Zahl und addieren sie zur letzten Zeile. Das Ergebnis ist eine Matrix mit der Bezeichnung , die die Form hat 
Und . Um die Determinante der Matrix zu berechnen, verwenden wir die Entwicklung in der ersten Spalte
Seit damals 
Die Determinante der Ordnungsmatrix steht auf der rechten Seite. Wir wenden den gleichen Algorithmus darauf an und die Berechnung der Determinante der Matrix wird auf die Berechnung der Determinante der Ordnungsmatrix reduziert. Der Vorgang wird wiederholt, bis wir die Determinante zweiter Ordnung erreichen, die per Definition berechnet wird.
Wenn die Matrix keine spezifischen Eigenschaften aufweist, ist es nicht möglich, den Rechenaufwand im Vergleich zum vorgeschlagenen Algorithmus wesentlich zu reduzieren. Ein weiterer Vorteil dieses Algorithmus besteht darin, dass es einfach ist, ein Programm für einen Computer zu schreiben, um die Determinanten von Matrizen großer Ordnungen zu berechnen. In Standardprogrammen zur Berechnung von Determinanten wird dieser Algorithmus mit geringfügigen Änderungen verwendet, die mit der Minimierung des Einflusses von Rundungsfehlern und Eingabedatenfehlern bei Computerberechnungen verbunden sind.
Beispiel. Berechnen Sie die Matrixdeterminante 
.
Lösung. Die erste Zeile bleibt unverändert. Zur zweiten Zeile addieren wir die erste, multipliziert mit der Zahl:
Die Determinante ändert sich nicht. Zur dritten Zeile addieren wir die erste, multipliziert mit der Zahl:
Die Determinante ändert sich nicht. Zur vierten Zeile addieren wir die erste, multipliziert mit der Zahl:
Die Determinante ändert sich nicht. Als Ergebnis erhalten wir 
Mit demselben Algorithmus berechnen wir die Determinante einer Matrix der Ordnung 3, die sich rechts befindet. Wir lassen die erste Zeile unverändert, zur zweiten Zeile addieren wir die erste, multipliziert mit der Zahl 
:
Zur dritten Zeile addieren wir die erste, multipliziert mit der Zahl 
:
Als Ergebnis erhalten wir 
Antwort. .
Kommentar. Obwohl bei den Berechnungen Brüche verwendet wurden, war das Ergebnis eine ganze Zahl. Durch die Nutzung der Eigenschaften von Determinanten und der Tatsache, dass die ursprünglichen Zahlen ganze Zahlen sind, könnten Operationen mit Brüchen tatsächlich vermieden werden. In der Ingenieurspraxis sind Zahlen jedoch äußerst selten ganze Zahlen. Daher werden die Elemente der Determinante in der Regel Dezimalbrüche sein und es ist nicht ratsam, irgendwelche Tricks anzuwenden, um Berechnungen zu vereinfachen.
inverse Matrix
Definition 3. Die Matrix heißt inverse Matrix für eine quadratische Matrix, wenn .
Aus der Definition folgt, dass die inverse Matrix eine quadratische Matrix derselben Ordnung wie die Matrix ist (andernfalls wäre eines der Produkte oder nicht definiert).
Die inverse Matrix für eine Matrix wird mit bezeichnet. Wenn also existiert, dann .
Aus der Definition einer inversen Matrix folgt, dass die Matrix die Umkehrung der Matrix ist, also . Man kann sagen, dass Matrizen und zueinander invers oder gegenseitig invers sind.
Wenn die Determinante einer Matrix Null ist, existiert ihre Umkehrung nicht.
Da es für die Ermittlung der inversen Matrix wichtig ist, ob die Determinante der Matrix gleich Null ist oder nicht, führen wir die folgenden Definitionen ein.
Definition 4. Nennen wir die quadratische Matrix degenerieren oder spezielle Matrix, Wenn nicht entartet oder nichtsinguläre Matrix, Wenn .
Stellungnahme. Wenn eine inverse Matrix existiert, ist sie eindeutig.
Stellungnahme. Wenn eine quadratische Matrix nicht entartet ist, dann existiert ihre Umkehrung und 
(1) Wo sind algebraische Additionen zu Elementen?
Satz. Eine inverse Matrix für eine quadratische Matrix existiert genau dann, wenn die Matrix nichtsingulär ist, die inverse Matrix eindeutig ist und Formel (1) gültig ist.
Kommentar. Besonderes Augenmerk sollte auf die Stellen gelegt werden, die algebraische Additionen in der inversen Matrixformel einnehmen: Der erste Index zeigt die Zahl an Spalte, und die zweite ist die Zahl Linien, in dem das berechnete algebraische Komplement geschrieben werden soll.
Beispiel. 
.
Lösung. Finden der Determinante
Da ist die Matrix nicht entartet und es existiert die Umkehrung dazu. Algebraische Additionen finden: 
Wir stellen die inverse Matrix zusammen, indem wir die gefundenen algebraischen Additionen so platzieren, dass der erste Index der Spalte und der zweite der Zeile entspricht: 
(2)
Die resultierende Matrix (2) ist die Antwort auf das Problem.
Kommentar. Im vorherigen Beispiel wäre es genauer, die Antwort so zu schreiben: 
(3)
Allerdings ist die Notation (2) kompakter und es ist bequemer, ggf. weitere Berechnungen damit durchzuführen. Daher ist es vorzuziehen, die Antwort in der Form (2) zu schreiben, wenn die Elemente der Matrizen ganze Zahlen sind. Und umgekehrt, wenn die Elemente der Matrix Dezimalbrüche sind, ist es besser, die Umkehrmatrix ohne einen Faktor davor zu schreiben.
Kommentar. Um die inverse Matrix zu finden, müssen Sie eine Menge Berechnungen durchführen und eine ungewöhnliche Regel für die Anordnung algebraischer Additionen in der endgültigen Matrix anwenden. Daher besteht eine hohe Fehlerwahrscheinlichkeit. Um Fehler zu vermeiden, sollten Sie eine Überprüfung durchführen: Berechnen Sie das Produkt der ursprünglichen Matrix mit der endgültigen in der einen oder anderen Reihenfolge. Wenn das Ergebnis eine Identitätsmatrix ist, wird die inverse Matrix korrekt gefunden. Andernfalls müssen Sie nach einem Fehler suchen.
Beispiel. Finden Sie die Umkehrung einer Matrix 
.
Lösung.
- existiert.
Antwort: 
.
Abschluss. Das Finden der inversen Matrix anhand der Formel (1) erfordert zu viele Berechnungen. Für Matrizen vierter Ordnung und höher ist dies nicht akzeptabel. Der eigentliche Algorithmus zum Finden der inversen Matrix wird später angegeben.
Berechnung der Determinante und Umkehrmatrix mit der Gauß-Methode
Mit der Gauß-Methode können die Determinante und die Umkehrmatrix ermittelt werden.
Die Matrixdeterminante ist nämlich gleich det .
Die inverse Matrix wird durch Lösen linearer Gleichungssysteme mit der Gaußschen Eliminierungsmethode gefunden:
Wo ist die j-te Spalte der Identitätsmatrix, ist der erforderliche Vektor.
Die resultierenden Lösungsvektoren bilden offensichtlich die Spalten der Matrix, da .
Formeln für die Determinante
1. Wenn die Matrix nichtsingulär ist, dann und (das Produkt der führenden Elemente).
Erinnern Sie sich an den Satz von Laplace:
Satz von Laplace:
Es seien k Zeilen (oder k Spalten) in der Determinante d der Ordnung n willkürlich gewählt. Dann ist die Summe der Produkte aller in den ausgewählten Zeilen enthaltenen Minderjährigen k-ter Ordnung und ihrer algebraischen Komplemente gleich der Determinante d.
Um die Determinanten im allgemeinen Fall zu berechnen, wird k gleich 1 angenommen. Das heißt, in der Determinante d der Ordnung n wird eine Zeile (oder Spalte) willkürlich ausgewählt. Dann ist die Summe der Produkte aller in der ausgewählten Zeile (oder Spalte) enthaltenen Elemente und ihrer algebraischen Komplemente gleich der Determinante d.
Beispiel:
Determinante berechnen 
Lösung:
Wählen wir eine beliebige Zeile oder Spalte. Aus einem Grund, der etwas später klar wird, beschränken wir unsere Auswahl entweder auf die dritte Zeile oder die vierte Spalte. Und bleiben Sie in der dritten Zeile stehen.
Lassen Sie uns den Satz von Laplace verwenden.
Das erste Element der ausgewählten Zeile ist 10, es befindet sich in der dritten Zeile und der ersten Spalte. Berechnen wir das algebraische Komplement dazu, d.h. Finden Sie die Determinante, die Sie durch Löschen der Spalte und Zeile erhalten, in der dieses Element steht (10), und ermitteln Sie das Vorzeichen.
„plus, wenn die Summe der Zahlen aller Zeilen und Spalten, in denen sich das kleine M befindet, gerade ist, und minus, wenn diese Summe ungerade ist.“
Und wir haben das aus einem einzigen Element bestehende Moll 10 genommen, das in der ersten Spalte der dritten Zeile steht.
Also: 
Der vierte Term dieser Summe ist 0, weshalb es sich lohnt, Zeilen oder Spalten mit der maximalen Anzahl von Nullelementen zu wählen.
Antwort: -1228
Beispiel:
Berechnen Sie die Determinante: 
Lösung:
Wählen wir die erste Spalte, denn zwei Elemente darin sind gleich 0. Erweitern wir die Determinante in der ersten Spalte. 
Wir entwickeln jede der Determinanten dritter Ordnung in Bezug auf die erste und zweite Zeile 
Wir erweitern jede der Determinanten zweiter Ordnung in der ersten Spalte 
Antwort: 48
Kommentar: Bei der Lösung dieses Problems wurden keine Formeln zur Berechnung der Determinanten 2. und 3. Ordnung verwendet. Es wurde nur die Erweiterung nach Zeile oder Spalte verwendet. Dies führt zu einer Verringerung der Reihenfolge der Determinanten.
