Betrachten Sie axiale und zentrale Symmetrie als Eigenschaften einiger geometrischer Figuren; Betrachten Sie axiale und zentrale Symmetrie als Eigenschaften einiger geometrischer Figuren; in der Lage sein, symmetrische Punkte zu bilden und Figuren zu erkennen, die symmetrisch zu einem Punkt oder einer Linie sind; in der Lage sein, symmetrische Punkte zu bilden und Figuren zu erkennen, die symmetrisch zu einem Punkt oder einer Linie sind; Verbesserung der Fähigkeiten zur Problemlösung; Verbesserung der Fähigkeiten zur Problemlösung; Arbeiten Sie weiter an der Genauigkeit der Aufzeichnung und Durchführung einer geometrischen Zeichnung. Arbeiten Sie weiter an der Genauigkeit der Aufzeichnung und Durchführung einer geometrischen Zeichnung.

Mündliche Arbeit „Sanfte Umfrage“ Mündliche Arbeit „Sanfte Umfrage“ Welcher Punkt wird als Mittelpunkt des Segments bezeichnet? Welches Dreieck heißt gleichschenkliges Dreieck? Welche Eigenschaft haben die Diagonalen einer Raute? Formulieren Sie die Eigenschaft der Winkelhalbierenden eines gleichschenkligen Dreiecks. Welche Geraden nennt man senkrecht? Was ist ein gleichseitiges Dreieck? Welche Eigenschaft haben die Diagonalen eines Quadrats? Welche Figuren heißen gleich?

Welche neuen Konzepte hast du im Unterricht gelernt? Welche neuen Konzepte hast du im Unterricht gelernt? Was hast du über geometrische Formen gelernt? Was hast du über geometrische Formen gelernt? Nennen Sie Beispiele für geometrische Figuren mit Achsensymmetrie. Nennen Sie Beispiele für geometrische Figuren mit Achsensymmetrie. Geben Sie ein Beispiel für Figuren mit zentraler Symmetrie. Geben Sie ein Beispiel für Figuren mit zentraler Symmetrie. Nennen Sie Beispiele für Objekte aus dem umgebenden Leben, die eine oder zwei Arten von Symmetrie haben. Nennen Sie Beispiele für Objekte aus dem umgebenden Leben, die eine oder zwei Arten von Symmetrie haben.

"Symmetriepunkt" - Symmetrie in der Architektur. Beispiele für die Symmetrie ebener Figuren. Zwei Punkte A und A1 heißen symmetrisch zu O, wenn O der Mittelpunkt der Strecke AA1 ist. Beispiele für Figuren mit zentraler Symmetrie sind der Kreis und das Parallelogramm. Punkt C heißt Symmetriezentrum. Symmetrie in Wissenschaft und Technik.

"Konstruktion geometrischer Formen" - Pädagogischer Aspekt. Kontrolle und Korrektur der Assimilation. Das Studium der Theorie, auf der die Methode basiert. In der Stereometrie - keine strengen Konstruktionen. Stereometrische Konstruktionen. algebraische Methode. Transformationsverfahren (Ähnlichkeit, Symmetrie, Parallelübersetzung etc.). Zum Beispiel: gerade; Winkelhalbierende; Median senkrecht.

"Menschliche Figur" - Die Form und Bewegung des menschlichen Körpers wird maßgeblich durch das Skelett bestimmt. Jahrmarkt mit Theateraufführung. Glaubst du, es gibt einen Job für einen Künstler in einem Zirkus? Das Skelett spielt die Rolle eines Rahmens in der Struktur der Figur. Hauptkörper (Bauch, Brust) Nicht aufgepasst Kopf, Gesicht, Hände. A. Mathis. Proportionen. Antikes Griechenland.

"Symmetrie um eine Linie" - Symmetrie um eine Linie wird als Achsensymmetrie bezeichnet. Die Gerade a ist die Symmetrieachse. Symmetrie um eine Gerade. Bulavin Pavel, Klasse 9B. Wie viele Symmetrieachsen hat jede Figur? Eine Figur kann eine oder mehrere Symmetrieachsen haben. zentrale Symmetrie. Gleichschenkliges Trapez. Rechteck.

"Geometrie der Quadrate der Zahlen" - Satz des Pythagoras. Bereiche verschiedener Figuren. Das Rätsel lösen. Figuren mit gleichen Flächen heißen flächengleich. Flächeneinheiten. Fläche eines Dreiecks. Rechteck, Dreieck, Parallelogramm. Quadratzentimeter. Figuren gleicher Fläche. Gleiche Zahlen b). Quadratmillimeter. in). Wie groß wird die Fläche der Figur sein, die sich aus den Figuren A und D zusammensetzt?

"Grenze einer Funktion an einem Punkt" - Dann in diesem Fall. Beim Streben. Grenzwert einer Funktion an einem Punkt. Kontinuierlich an einem Punkt. Gleich dem Wert der Funktion in. Aber bei der Berechnung der Grenze der Funktion bei. Wert gleich. Ausdruck. Aspiration. Oder man kann sagen: in einer ausreichend kleinen Umgebung des Punktes. Zusammengestellt aus. Entscheidung. Kontinuierlich in Intervallen. Zwischen.

Homothetie und Ähnlichkeit.Homothety - eine Transformation, bei der jeder Punkt M (Ebene oder Raum) wird ein Punkt zugeordnet M", auf OM liegend (Abb. 5.16) und das Verhältnis OM": OM= λ das gleiche für alle Punkte außerÖ. FixpunktÖ wird als Homothetitätszentrum bezeichnet. Attitüde OM": OM gilt als positiv, wenn M und M auf einer Seite liegenÖ, negativ - auf gegenüberliegenden Seiten. Anzahl X heißt Homothetitätskoeffizient. Beim X< 0 Homothetie heißt invers. Beimλ = - 1 Homothetie wird zu einer Symmetrietransformation um einen PunktÖ. Bei der Homothetie geht eine gerade Linie in eine gerade Linie über, parallele Linien und Ebenen bleiben erhalten, Winkel (linear und Dieder) bleiben erhalten, jede Figur geht in sie überähnlich (Abb. 5.17).

Auch die Umkehrung gilt. Eine Homothetie kann als eine affine Transformation definiert werden, bei der die Linien, die die entsprechenden Punkte verbinden, durch einen Punkt gehen – das Zentrum der Homothetie. Homothetie wird verwendet, um Bilder zu vergrößern (Projektionslampe, Kino).

Zentral- und Spiegelsymmetrie.Symmetrie (in weiten Sinne) - eine Eigenschaft einer geometrischen Figur Ф, die eine gewisse Korrektheit ihrer Form, ihre Invarianz unter der Einwirkung von Bewegungen und Reflexionen kennzeichnet. Die Figur Ä hat Symmetrie (symmetrisch), wenn es nicht identische orthogonale Transformationen gibt, die diese Figur in sich aufnehmen. Die Menge aller orthogonalen Transformationen, die die Figur Ä mit sich selbst verbinden, ist die Gruppe dieser Figur. Also eine flache Figur (Abb. 5.18) mit einem Punkt M, transformierend-

Xia in sich selbst mit einem Spiegel Reflexion, symmetrisch um die gerade - Achse AB. Hier besteht die Symmetriegruppe aus zwei Elementen - dem Punkt M umgewandelt zu M".

Wenn die Figur Ф in der Ebene so ist, dass sie sich um einen Punkt drehtÖ durch einen Winkel von 360°/n, wobei n > 2 eine ganze Zahl ist, in sich selbst transformieren, dann hat die Figur Ä eine Symmetrie n-ter Ordnung bezüglich des PunktesÖ - Symmetriezentrum. Ein Beispiel für solche Figuren sind regelmäßige Polygone, z. B. sternförmig (Abb. 5.19), die Symmetrie achter Ordnung um ihren Mittelpunkt haben. Die Symmetriegruppe ist hier die sogenannte zyklische Gruppe n-ter Ordnung. Der Kreis hat eine Symmetrie von unendlicher Ordnung (da er durch Drehung um einen beliebigen Winkel mit sich selbst kombiniert wird).

Die einfachste Art der räumlichen Symmetrie ist die Zentralsymmetrie (Inversion). In diesem Fall in Bezug auf den PunktÖ die Figur Ф wird nach aufeinanderfolgenden Reflexionen an drei zueinander senkrechten Ebenen mit sich selbst kombiniert, d. H. Der PunktÖ - die Mitte des Segments, das die symmetrischen Punkte F verbindet. Also für den Würfel (Abb. 5.20) der PunktÖ ist das Symmetriezentrum. Punkte M und M" Würfel

SYMMETRIE DER RÄUMLICHEN FIGUREN

Laut dem berühmten deutschen Mathematiker G. Weyl (1885-1955) ist "Symmetrie die Idee, durch die der Mensch seit Jahrhunderten versucht, Ordnung, Schönheit und Perfektion zu verstehen und zu schaffen."
Schöne Bilder der Symmetrie werden durch Kunstwerke demonstriert: Architektur, Malerei, Skulptur usw.
Das Konzept der Symmetrie von Figuren in der Ebene wurde im Zuge der Planimetrie berücksichtigt. Insbesondere wurden die Begriffe Zentral- und Axialsymmetrie definiert. Für Raumfiguren wird der Symmetriebegriff ähnlich definiert.
Betrachten Sie zunächst die zentrale Symmetrie.
symmetrisch um einen Punkt Ach, angerufen Zentrum der Symmetrie, wenn O der Mittelpunkt der Strecke AA ist". Der Punkt O wird als zu sich selbst symmetrisch betrachtet.
Eine Raumtransformation, bei der jedem Punkt A ein Punkt A zugeordnet ist, der symmetrisch zu ihm (in Bezug auf einen gegebenen Punkt O) ist, wird aufgerufen zentrale Symmetrie. Der Punkt O wird aufgerufen Zentrum der Symmetrie.
Die beiden Figuren F und F" werden aufgerufen zentralsymmetrisch, wenn es eine Symmetrietransformation gibt, die einen von ihnen zum anderen bringt.
Figur F wird aufgerufen zentralsymmetrisch wenn es zentralsymmetrisch zu sich selbst ist.
Beispielsweise ist eine Box zentralsymmetrisch um den Schnittpunkt ihrer Diagonalen. Die Kugel und die Kugel sind zentralsymmetrisch um ihre Mittelpunkte.
Von den regulären Polyedern sind Würfel, Oktaeder, Ikosaeder und Dodekaeder zentralsymmetrisch. Der Tetraeder ist keine zentralsymmetrische Figur.
Betrachten Sie einige Eigenschaften der Zentralsymmetrie.
Eigentum 1. Wenn o 1, O2 die Symmetriezentren der Figur Ф sind, dann der Punkt O 3 symmetrisch zu O 1 bezüglich O 2 ist auch das Symmetriezentrum dieser Figur.
Nachweisen. Sei A ein Punkt im Raum, A 2 ist ein Punkt, der bezüglich O symmetrisch dazu ist 2, A1 – Punkt symmetrisch zu A 2 relativ zu O 1 und A 3 – Symmetrischer Punkt A 1 relativ zu O 2 (Abb. 1).

Dann die Dreiecke O 2 O 1 A 1 und O 2 O 3 A 3, O 2 O 1 A 2 und O 2 O 3 A sind gleich. Also A und A 3 sind symmetrisch zu O 3 . Also die Symmetrie bezüglich O 3 ist eine Zusammensetzung von Symmetrien bezüglich O 2 , O 1 und O 2 . Folglich verwandelt sich bei dieser Symmetrie die Figur Ф in sich selbst, d.h. Ö 3 ist das Symmetriezentrum des F.

Folge.Jede Figur hat entweder kein Symmetriezentrum oder ein Symmetriezentrum oder unendlich viele Symmetriezentren

In der Tat, wenn O 1, O2 die Symmetriezentren der Figur Ф sind, dann der Punkt O 3 symmetrisch zu O 1 bezüglich O 2 ist auch das Symmetriezentrum dieser Figur. Ebenso Punkt O 4 symmetrisches O 2 in Bezug auf O 3 ist auch das Symmetriezentrum der Figur Ä usw. Die Figur Ä hat also in diesem Fall unendlich viele Symmetriezentren.

Betrachten Sie nun das Konzept axiale Symmetrie.
Die Punkte A und A" des Raums werden aufgerufen symmetrisch um eine Gerade a namens Symmetrieachse wenn gerade a geht durch den Mittelpunkt des Segments AA "und steht senkrecht zu diesem Segment. Jeder Punkt der Linie a als symmetrisch zu sich selbst betrachtet.
Eine Raumtransformation, bei der jedem Punkt A ein Punkt A zugeordnet ist, der symmetrisch zu ihm ist (in Bezug auf eine gegebene Linie a), wird genannt axiale Symmetrie. Gerade a es wird genannt Symmetrieachse.
Die beiden Figuren werden aufgerufen symmetrisch um eine Gerade a wenn die Symmetrietransformation um diese Linie einen von ihnen zum anderen bringt.
Die Figur Ф im Raum wird aufgerufen symmetrisch um eine Gerade a wenn es zu sich selbst symmetrisch ist.
Beispielsweise ist ein Quader symmetrisch zu einer geraden Linie, die durch die Mittelpunkte gegenüberliegender Flächen verläuft. Ein gerader Kreiszylinder ist symmetrisch zu seiner Achse, eine Kugel und eine Kugel sind symmetrisch zu allen geraden Linien, die durch ihre Mittelpunkte gehen usw.
Der Würfel hat drei Symmetrieachsen, die durch die Mittelpunkte gegenüberliegender Flächen verlaufen, und sechs Symmetrieachsen, die durch die Mittelpunkte gegenüberliegender Kanten verlaufen.
Ein Tetraeder hat drei Symmetrieachsen, die durch die Mittelpunkte gegenüberliegender Kanten verlaufen.
Das Oktaeder hat drei Symmetrieachsen, die durch gegenüberliegende Ecken verlaufen, und sechs Symmetrieachsen, die durch die Mittelpunkte gegenüberliegender Kanten verlaufen.
Das Ikosaeder und das Dodekaeder haben jeweils fünfzehn Symmetrieachsen, die durch die Mittelpunkte gegenüberliegender Kanten verlaufen.
Eigenschaft 3. Wenn eina 1 , a 2 - die Symmetrieachse der Figur Ф, dann die gerade Liniea 3, symmetrisch a 1 relativ a 2 ist auch die Symmetrieachse dieser Figur.

Der Beweis ist ähnlich dem Beweis von Eigenschaft 1.

Eigenschaft 4.Wenn zwei sich schneidende senkrechte Linien im Raum die Symmetrieachsen der gegebenen Figur Ä sind, dann ist die Linie, die durch den Schnittpunkt verläuft und senkrecht zur Ebene dieser Linien steht, auch die Symmetrieachse der Figur Ä.
Nachweisen. Betrachten Sie die Koordinatenachsen O x,Ö j,Ö z. Symmetrie um die O-Achse x x, j, z) zum Punkt der Figur Ф mit Koordinaten ( x, -y, -z). Ebenso Symmetrie um die O-Achse jübersetzt den Punkt der Figur Ф mit Koordinaten ( x, –j, –z) zu einem Punkt der Figur Ô mit Koordinaten (– x, -y, z) . Somit übersetzt die Zusammensetzung dieser Symmetrien den Punkt der Figur Ф mit Koordinaten ( x, y, z) zu einem Punkt der Figur Ô mit Koordinaten (– x, -y, z). Daher die O-Achse z ist die Symmetrieachse des F.

Folge.Keine Figur im Raum kann eine gerade (von Null verschiedene) Anzahl von Symmetrieachsen haben.
Tatsächlich legen wir eine Symmetrieachse fest a. Wenn ein b- Symmetrieachse, schneidet sich nicht a oder schneidet sie nicht rechtwinklig, dann gibt es für sie noch eine Symmetrieachse b', symmetrisch in Bezug auf a. Wenn die Symmetrieachse b Kreuze a im rechten Winkel, dann gibt es dafür noch eine Symmetrieachse b' durch den Schnittpunkt und senkrecht zur Ebene der Linien verlaufen a und b. Daher zusätzlich zur Symmetrieachse a es ist entweder eine gerade oder eine unendliche Anzahl von Symmetrieachsen möglich. Somit ist eine insgesamt gerade (von Null verschiedene) Anzahl von Symmetrieachsen unmöglich.
Zusätzlich zu den oben definierten Symmetrieachsen berücksichtigen wir auch Symmetrieachsen n-te Ordnung, n 2 .
Gerade a namens Symmetrieachse n-te Ordnung Figur Ф, wenn beim Drehen der Figur Ф um eine gerade Linie a in einem Winkel wird die Figur Ф mit sich selbst kombiniert.

Es ist klar, dass die Symmetrieachse 2. Ordnung einfach eine Symmetrieachse ist.
Zum Beispiel im richtigen n-Winkelpyramide, eine gerade Linie, die durch die Spitze und die Mitte der Basis verläuft, ist die Symmetrieachse n-te Ordnung.
Lassen Sie uns herausfinden, welche Symmetrieachsen regelmäßige Polyeder haben.
Der Würfel hat drei Symmetrieachsen 4. Ordnung, die durch die Mittelpunkte gegenüberliegender Flächen verlaufen, vier Symmetrieachsen 3. Ordnung, die durch gegenüberliegende Eckpunkte verlaufen, und sechs Symmetrieachsen 2. Ordnung, die durch die Mittelpunkte gegenüberliegender Kanten verlaufen.
Der Tetraeder hat drei Symmetrieachsen zweiter Ordnung, die durch die Mittelpunkte gegenüberliegender Kanten verlaufen.
Das Ikosaeder hat sechs Symmetrieachsen 5. Ordnung, die durch gegenüberliegende Eckpunkte verlaufen; zehn Symmetrieachsen 3. Ordnung, die durch die Mittelpunkte gegenüberliegender Flächen verlaufen, und fünfzehn Symmetrieachsen 2. Ordnung, die durch die Mittelpunkte gegenüberliegender Kanten verlaufen.
Das Dodekaeder hat sechs Symmetrieachsen 5. Ordnung, die durch die Zentren gegenüberliegender Flächen verlaufen; zehn Symmetrieachsen 3. Ordnung, die durch gegenüberliegende Ecken verlaufen, und 15 Symmetrieachsen 2. Ordnung, die durch die Mittelpunkte gegenüberliegender Kanten verlaufen.
Betrachten Sie das Konzept Spiegelsymmetrie.
Die Punkte A und A" im Raum werden aufgerufen symmetrisch zur Ebene, oder anders gesagt, spiegelsymmetrisch, wenn diese Ebene durch den Mittelpunkt der Strecke AA "geht und senkrecht dazu steht. Jeder Punkt der Ebene wird als zu sich selbst symmetrisch betrachtet.
Die Transformation des Raumes, bei der jedem Punkt A ein zu ihm (in Bezug auf die gegebene Ebene) symmetrischer Punkt A zugeordnet ist, heißt Spiegelsymmetrie. Das Flugzeug wird gerufen Symmetrieebene.
Die beiden Figuren werden aufgerufen spiegelsymmetrisch in Bezug auf eine Ebene, wenn eine Symmetrietransformation in Bezug auf diese Ebene eine von ihnen zur anderen bringt.
Die Figur Ф im Raum wird aufgerufen spiegelsymmetrisch wenn es spiegelsymmetrisch zu sich selbst ist.
Beispielsweise ist ein Quader spiegelsymmetrisch zu einer Ebene, die durch die Symmetrieachse verläuft und parallel zu einem der Paare von gegenüberliegenden Flächen verläuft. Der Zylinder ist spiegelsymmetrisch in Bezug auf jede Ebene, die durch seine Achse geht usw.
Unter den regelmäßigen Polyedern haben der Würfel und das Oktaeder jeweils neun Symmetrieebenen. Der Tetraeder hat sechs Symmetrieebenen. Das Ikosaeder und das Dodekaeder haben jeweils fünfzehn Symmetrieebenen, die durch Paare gegenüberliegender Kanten verlaufen.
Eigenschaft 5. Die Zusammensetzung zweier Spiegelsymmetrien in Bezug auf parallele Ebenen ist eine Parallelverschiebung durch einen Vektor, der senkrecht zu diesen Ebenen steht und betragsmäßig gleich dem doppelten Abstand zwischen diesen Ebenen ist.
Folge. Paralleltransport kann als Komposition zweier Spiegelsymmetrien dargestellt werden.
Eigenschaft 6. Die Zusammensetzung zweier Spiegelsymmetrien in Bezug auf Ebenen, die sich in einer geraden Linie schneiden, ist eine Drehung um diese gerade Linie um einen Winkel, der gleich dem doppelten Flächenwinkel zwischen diesen Ebenen ist. Axialsymmetrie ist insbesondere die Zusammensetzung zweier Spiegelsymmetrien um senkrechte Ebenen.
Folge. Eine Rotation kann man sich als Komposition zweier Spiegelsymmetrien vorstellen.
Eigenschaft 7. Die Zentralsymmetrie kann als Zusammensetzung von drei Spiegelsymmetrien dargestellt werden.
Beweisen wir diese Eigenschaft mit der Koordinatenmethode. Lassen Sie Punkt A im Raum hat Koordinaten ( x, y, z). Spiegelsymmetrie zur Koordinatenebene ändert das Vorzeichen der entsprechenden Koordinate. Zum Beispiel Spiegelsymmetrie in Bezug auf die Ebene O xyübersetzt einen Punkt mit Koordinaten ( x, y, z) zu einem Punkt mit Koordinaten ( x, y, –z). Die Zusammensetzung von drei Spiegelsymmetrien um die Koordinatenebenen übersetzt den Punkt mit Koordinaten ( x, y, z) zu einem Punkt mit Koordinaten (– x, -y, -z), die zentralsymmetrisch zum Ausgangspunkt A ist.
Bewegungen, die die Figur F in sich selbst übersetzen, bilden kompositorisch eine Gruppe. Es wird genannt Symmetriegruppe Figuren F.
Lassen Sie uns die Ordnung der Symmetriegruppe des Würfels finden.
Es ist klar, dass jede Bewegung, die den Würfel in sich aufnimmt, den Mittelpunkt des Würfels an Ort und Stelle lässt, die Mittelpunkte der Flächen zu den Mittelpunkten der Flächen bewegt, die Mittelpunkte der Kanten zu den Mittelpunkten der Kanten und die Eckpunkte zu die Eckpunkte.
Um die Bewegung des Würfels festzulegen, reicht es also aus, zu bestimmen, wohin die Mitte der Fläche, die Mitte der Kante dieser Fläche und der Scheitelpunkt der Kante gehen.
Stellen Sie sich vor, Sie teilen einen Würfel in Tetraeder auf, deren Scheitelpunkte jeweils der Mittelpunkt des Würfels, der Mittelpunkt der Fläche, der Mittelpunkt der Kante dieser Fläche und der Scheitelpunkt der Kante sind. Es gibt 48 solcher Tetraeder. Da die Bewegung vollständig davon bestimmt wird, auf welches der Tetraeder das gegebene Tetraeder übertragen wird, ist die Ordnung der Würfelsymmetriegruppe 48.
In ähnlicher Weise werden die Ordnungen der Symmetriegruppen des Tetraeders, Oktaeders, Ikosaeders und Dodekaeders gefunden.
Finden Sie die Symmetriegruppe des Einheitskreises S 1 . Diese Gruppe wird mit O(2) bezeichnet. Es ist eine unendliche topologische Gruppe. Wir stellen den Einheitskreis als eine Gruppe komplexer Zahlen modulo eins dar. Es gibt einen natürlichen Epimorphismus p:O(2) --> S 1 , die einem Element u der Gruppe O(2) ein Element u(1) in S zuordnet 1 . Der Kern dieser Abbildung ist die Gruppe Z 2 , erzeugt durch die Symmetrie des Einheitskreises um die Achse Ox. Daher O(2)/Z 2S1 . Berücksichtigt man außerdem die Gruppenstruktur nicht, so gibt es einen Homöomorphismus O(2) und das direkte Produkt S 1 und Z2.
Ebenso die Symmetriegruppe der zweidimensionalen Sphäre S 2 wird mit O(3) bezeichnet und erfüllt den Isomorphismus O(3)/O(2) S 2 .
Die Symmetriegruppen n-dimensionaler Kugeln spielen eine wichtige Rolle in modernen Zweigen der Topologie: der Theorie der Mannigfaltigkeiten, der Theorie der Faserräume usw.
Eine der auffälligsten Manifestationen von Symmetrie in der Natur sind Kristalle. Die Eigenschaften von Kristallen werden durch die Merkmale ihrer geometrischen Struktur bestimmt, insbesondere durch die symmetrische Anordnung der Atome im Kristallgitter. Die äußeren Formen von Kristallen sind eine Folge ihrer inneren Symmetrie.
Die ersten, noch vagen Annahmen, dass Atome in Kristallen in einer regelmäßigen, regelmäßigen, symmetrischen Ordnung angeordnet sind, wurden in den Arbeiten verschiedener Naturwissenschaftler bereits zu einer Zeit geäußert, als der eigentliche Begriff eines Atoms unklar war und es keine experimentellen Beweise dafür gab Atomstruktur der Materie. Die symmetrische äußere Form der Kristalle legte unwillkürlich nahe, dass die innere Struktur der Kristalle symmetrisch und regelmäßig sein sollte. Die Symmetriegesetze der äußeren Form von Kristallen wurden Mitte des 19. Jahrhunderts vollständig etabliert, und am Ende dieses Jahrhunderts waren die Symmetriegesetze, die die Atomstrukturen in Kristallen bestimmen, klar und genau abgeleitet.
Der Begründer der mathematischen Theorie der Kristallstruktur ist ein herausragender russischer Mathematiker und Kristallograph - Evgraf Stepanovich Fedorov (1853-1919). Mathematik, Chemie, Geologie, Mineralogie, Petrographie, Bergbau – E. S. Fedorov hat zu jedem dieser Bereiche einen bedeutenden Beitrag geleistet. 1890 leitete er streng mathematisch alle möglichen geometrischen Gesetze für die Kombination von Symmetrieelementen in Kristallstrukturen ab, also die Symmetrie der Anordnung von Teilchen innerhalb von Kristallen. Es stellte sich heraus, dass die Anzahl solcher Gesetze begrenzt ist. Fedorov zeigte, dass es 230 Raumsymmetriegruppen gibt, die später zu Ehren des Wissenschaftlers Fedorovs genannt wurden. Es war eine gigantische Arbeit, die 10 Jahre vor der Entdeckung der Röntgenstrahlen unternommen wurde, 27 Jahre bevor sie die Existenz des Kristallgitters selbst bewiesen. Die Existenz von 230 Fedorov-Gruppen ist eines der wichtigsten geometrischen Gesetze der modernen strukturellen Kristallographie. "Die gigantische wissenschaftliche Leistung von E. S. Fedorov, der es geschafft hat, das gesamte natürliche "Chaos" unzähliger Kristallformationen unter ein einziges geometrisches Schema zu bringen, erregt immer noch Bewunderung. Diese Entdeckung ist vergleichbar mit der Entdeckung des Periodensystems von D. I. Mendeleev." Königreich der Kristalle „ist ein unerschütterliches Monument und der ultimative Höhepunkt der klassischen Fedorov-Kristallographie“, sagte Akademiker A.V. Schubnikow.

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