Am Rand einer horizontalen Plattform steht ein Mann der Masse 80 kg. Die Plattform ist eine runde homogene Scheibe mit Masse 160 Kilogramm rund um vertikale Achse mit einer Frequenz durch sein Zentrum geht 6 U/min. Wie viele Umdrehungen pro Minute macht die Plattform, wenn sich die Person vom Rand der Plattform zur Mitte bewegt? Berechnen Sie das Trägheitsmoment wie für einen materiellen Punkt.
Diese Aufgabe wurde von Besuchern im Abschnitt veröffentlicht Wir entscheiden gemeinsam 19. September 2007.
Entscheidung:
Das System "Mensch-Plattform" ist in der Projektion auf die Achse geschlossen Y, weil Momente der Kräfte M m 1 g = 0 und M m 2 g = 0 zu dieser Achse. Daher können Sie das Gesetz der Erhaltung des Drehimpulses verwenden. In der Projektion auf die Achse Y:
Wir lösen die letzte Gleichung für die unbekannte Rotationsfrequenz des "Plattformmanns" n 2:
| n2 = | m2 + 2m1 | n1. |
| m2 |
Nach Berechnungen: n 2 \u003d 0,2 (U / s) \u003d 12 U / min. Die Aufgabe ist universitärer Natur und wird hier ausnahmsweise auf Wunsch von Besuchern gelöst.
Aufgabe: Horizontale Plattform dreht sich gleichmäßig um eine vertikale Achse, die durch seinen Mittelpunkt geht. In einem Abstand von einem Drittel des Radius der Plattform bricht sie von ihrer Oberfläche ab kleiner Körper und gleitet reibungsfrei darüber. Wie lange dauert es, bis der Körper von der Plattform fliegt, wenn er sich vor dem Abheben mit einer Beschleunigung von 0,1 m/s^2 bewegt hat? Plattformradius 60 cm.
Entscheidung:
Bezeichnen wir a - Beschleunigung des Körpers, R - Radius der Plattform, t - Zeit, nach der der Körper von der Plattform abfliegt, v - lineare Geschwindigkeit des Körpers auf der Plattform, S - Weg, den der Körper passieren wird.
Um sich die Bewegung des Körpers auf der Plattform besser vorstellen zu können, machen wir eine Zeichnung (Abb. 15). Betrachten wir die Plattform von oben und zeichnen Sie einen Kreis, zeigen Sie seinen Mittelpunkt O und zeichnen Sie einen horizontalen Radius R. Zeichnen Sie dann in einem Abstand von einem Drittel des Radius vom Rand der Plattform den Körper am Punkt M am Augenblick der Trennung. Das bedeutet, dass in diesem Moment der Abstand vom Körper zum Mittelpunkt der Plattform zwei Drittel des Radius betrug.
Jetzt lasst uns nachdenken. Wir kennen die Beschleunigung des Körpers a vor dem Abheben von der Oberfläche der Plattform. Aber die Plattform dreht sich gleichmäßig, was bedeutet, dass dies ihre Zentripetalbeschleunigung ist. Im Moment der Trennung ist die lineare Geschwindigkeit des Körpers v tangential zu dem Kreis gerichtet, auf dem er sich vor der Trennung bewegt hat. Der Radius dieses Kreises war
(2/3)R . Und wir kennen die Formel, mit der die lineare Geschwindigkeit in Beziehung steht Zentripetalbeschleunigung. Angewandt
für unsere Aufgabe sieht es so aus:
Nach der Trennung bewegt sich der Körper reibungsfrei zum Rand der Plattform. Dies bedeutet, dass diese Bewegung gleichmäßig und geradlinig mit einer Geschwindigkeit v sein wird. Dann fliegt der Körper am Punkt C von der Plattform ab, nachdem er den Weg S zurückgelegt hat. Wenn dieser Weg durch die lineare Geschwindigkeit des Körpers geteilt wird, finden wir die erforderliche Zeit t, nach der der Körper von der Plattform abfliegt:
Der weitere Verlauf der Entscheidung ist klar. Der Pfad S wird aus gefunden rechtwinkliges Dreieck MCO nach dem Satz des Pythagoras und die lineare Geschwindigkeit v aus Ausdruck (1), und all dies wird in Gleichheit (2) eingesetzt. Lass uns anfangen. Nach dem Satz des Pythagoras
Aus (1) finden wir nun die lineare Geschwindigkeit v:
Es bleibt uns, die rechten Seiten der Gleichungen (3) und (4) in Formel (2) einzusetzen, und das Problem in Gesamtansicht wird gelöst. Wir ersetzen:
Das Problem ist im Allgemeinen gelöst. Setze die Zahlen ein und rechne. 60 cm = 0,6 m.
Antworten: 2.2 c.
3.41. Welche Arbeit A leistet eine Person, wenn sie sich unter den Bedingungen der vorherigen Aufgabe vom Rand der Plattform zu ihrer Mitte bewegt? Bahnsteigradius R = 1,5 m.
3.42. Eine horizontale Plattform mit einer Masse m = 80 kg und einem Radius R = 1 m rotiert mit einer Frequenz n, = 20 U/min. Ein Mann steht in der Mitte der Plattform und hält Gewichte in seinen ausgestreckten Händen. Mit welcher Frequenz n2 dreht sich die Plattform, wenn eine Person mit gesenkten Händen ihr Trägheitsmoment von J1 = 2,94 auf J2 = 0,98 kg m2 reduziert? Behandeln Sie die Plattform als homogene Scheibe.
3.43. Wie oft hat es zugenommen kinetische Energie Plattformen mit einer Person unter den Bedingungen der vorherigen Aufgabe?
3.44. Eine Person mit der Masse m0 = 60 kg befindet sich auf einer festen Plattform mit der Masse m = 100 kg. Mit welcher Frequenz n dreht sich die Plattform, wenn sich eine Person auf einem Kreis mit Radius r = 5 m um die Drehachse bewegt? Bewegungsgeschwindigkeit des Menschen relativ zur Plattform v0 = 4 km/h. Bahnsteigradius R = 10m. Betrachten Sie die Plattform als homogene Scheibe und die Person als Punktmasse.
3.45. Ein homogener Stab der Länge l = 0,5 m macht kleine Schwingungen in der vertikalen Ebene um die durch sein oberes Ende verlaufende horizontale Achse. Finden Sie die Schwingungsdauer T des Stabes.
