« Physik - Klasse 10 "

Warum streckt sich der Skater entlang der Rotationsachse, um die Winkelgeschwindigkeit der Rotation zu erhöhen?
Sollte sich ein Hubschrauber drehen, wenn sich sein Propeller dreht?

Die gestellten Fragen deuten darauf hin, dass, wenn äußere Kräfte nicht auf den Körper wirken oder ihre Wirkung kompensiert wird und ein Teil des Körpers beginnt, sich in eine Richtung zu drehen, der andere Teil sich in die andere Richtung drehen muss, genau wie wenn Kraftstoff ausgestoßen wird eine Rakete, bewegt sich die Rakete selbst in die entgegengesetzte Richtung.

Augenblick des Impulses.

Betrachten wir eine rotierende Scheibe, so wird deutlich, dass der Gesamtimpuls der Scheibe Null ist, da jedem Teilchen des Körpers ein Teilchen entspricht, das sich betragsmäßig mit gleicher Geschwindigkeit, aber in entgegengesetzter Richtung bewegt (Abb. 6.9).

Aber die Scheibe bewegt sich, die Rotationswinkelgeschwindigkeit aller Teilchen ist gleich. Es ist jedoch klar, dass je weiter das Teilchen von der Rotationsachse entfernt ist, desto größer sein Impuls ist. Daher ist es für die Rotationsbewegung notwendig, eine weitere Eigenschaft, ähnlich einem Impuls, einzuführen - den Drehimpuls.

Der Drehimpuls eines sich auf einer Kreisbahn bewegenden Teilchens ist das Produkt aus Impuls des Teilchens und dessen Abstand zur Rotationsachse (Abb. 6.10):

Linear- und Winkelgeschwindigkeit stehen dann in Beziehung zu v = ωr

Alle Punkte einer starren Materie bewegen sich relativ zu einer festen Rotationsachse mit der gleichen Winkelgeschwindigkeit. Ein starrer Körper kann als eine Sammlung von Materialpunkten dargestellt werden.

Der Drehimpuls eines starren Körpers ist gleich dem Produkt aus Trägheitsmoment und Rotationswinkelgeschwindigkeit:

Der Drehimpuls ist eine vektorielle Größe, nach Formel (6.3) ist der Drehimpuls genauso gerichtet wie die Winkelgeschwindigkeit.

Die Grundgleichung der Dynamik der Drehbewegung in impulsiver Form.

Die Winkelbeschleunigung eines Körpers ist gleich der Änderung der Winkelgeschwindigkeit geteilt durch das Zeitintervall, in dem diese Änderung auftrat: Setzen Sie diesen Ausdruck in die Grundgleichung für die Dynamik der Drehbewegung ein daher I(ω 2 - ω 1) = MΔt oder IΔω = MΔt.

Auf diese Weise,

∆L = M∆t. (6.4)

Die Änderung des Drehimpulses ist gleich dem Produkt aus dem Gesamtmoment der auf den Körper oder das System wirkenden Kräfte und der Wirkzeit dieser Kräfte.

Gesetz der Drehimpulserhaltung:

Ist das Gesamtmoment der auf einen Körper oder ein System von Körpern mit fester Rotationsachse wirkenden Kräfte gleich Null, so ist auch die Änderung des Drehimpulses gleich Null, d.h. der Drehimpuls des Systems bleibt konstant.

∆L=0, L=konst.

Die Impulsänderung des Systems ist gleich dem Gesamtimpuls der auf das System wirkenden Kräfte.

Der Spinning-Skater breitet seine Arme zu den Seiten aus und erhöht dadurch das Trägheitsmoment, um die Winkelgeschwindigkeit der Rotation zu verringern.

Das Gesetz der Erhaltung des Drehimpulses kann anhand des folgenden Experiments demonstriert werden, das als "Experiment mit der Schukowski-Bank" bezeichnet wird. Eine Person steht auf einer Bank, durch deren Mittelpunkt eine vertikale Rotationsachse verläuft. Der Mann hält Hanteln in seinen Händen. Wenn die Bank gedreht wird, kann eine Person die Rotationsgeschwindigkeit ändern, indem sie die Hanteln auf ihre Brust drückt oder ihre Arme senkt und sie dann auseinander spreizt. Wenn er seine Arme ausbreitet, erhöht er das Trägheitsmoment und die Winkelgeschwindigkeit der Drehung nimmt ab (Abb. 6.11, a), senkt seine Hände, verringert er das Trägheitsmoment und die Winkelgeschwindigkeit der Drehung der Bank nimmt zu (Abb. 6.11, b).

Eine Person kann eine Bank auch drehen lassen, indem sie an ihrer Kante entlang geht. In diesem Fall dreht sich die Bank in die entgegengesetzte Richtung, da der Gesamtdrehimpuls gleich Null bleiben muss.

Das Funktionsprinzip von Geräten, die als Gyroskope bezeichnet werden, basiert auf dem Gesetz der Drehimpulserhaltung. Die Haupteigenschaft eines Kreisels ist die Beibehaltung der Richtung der Rotationsachse, wenn keine äußeren Kräfte auf diese Achse einwirken. Im 19. Jahrhundert Gyroskope wurden von Seefahrern verwendet, um auf dem Meer zu navigieren.

Kinetische Energie eines rotierenden starren Körpers.

Die kinetische Energie eines rotierenden Festkörpers ist gleich der Summe der kinetischen Energie seiner einzelnen Teilchen. Teilen wir den Körper in kleine Elemente auf, von denen jedes als materieller Punkt betrachtet werden kann. Dann ist die kinetische Energie des Körpers gleich der Summe der kinetischen Energien der materiellen Punkte, aus denen er besteht:

Die Rotationswinkelgeschwindigkeit aller Körperpunkte ist also gleich

Der Wert in Klammern ist, wie wir bereits wissen, das Trägheitsmoment des starren Körpers. Schließlich hat die Formel für die kinetische Energie eines starren Körpers mit fester Rotationsachse die Form

Im allgemeinen Fall der Bewegung eines starren Körpers ist bei freier Rotationsachse seine kinetische Energie gleich der Summe der Energie der Translations- und Rotationsbewegung. Die kinetische Energie eines Rades, dessen Masse in der Felge konzentriert ist und mit konstanter Geschwindigkeit über die Straße rollt, ist also gleich

Die Tabelle vergleicht die Formeln der Mechanik der Translationsbewegung eines materiellen Punktes mit ähnlichen Formeln für die Rotationsbewegung eines starren Körpers.

Bestimmen wir die kinetische Energie eines starren Körpers, der sich um eine feste Achse dreht. Teilen wir diesen Körper in n materielle Punkte. Jeder Punkt bewegt sich mit einer linearen Geschwindigkeit υ i = ωr i , dann der kinetischen Energie des Punktes

oder

Die gesamte kinetische Energie eines rotierenden starren Körpers ist gleich der Summe der kinetischen Energien aller seiner materiellen Punkte:

(3.22)

(J - Trägheitsmoment des Körpers um die Rotationsachse)

Wenn die Trajektorien aller Punkte in parallelen Ebenen liegen (wie ein Zylinder, der eine schiefe Ebene hinunterrollt, bewegt sich jeder Punkt in seiner eigenen Ebene), ist dies der Fall flache Bewegung. Ebene Bewegung lässt sich nach dem Eulerschen Prinzip immer auf unendlich viele Arten in Translations- und Rotationsbewegung zerlegen. Wenn die Kugel auf eine schiefe Ebene fällt oder gleitet, bewegt sie sich nur vorwärts; Wenn die Kugel rollt, dreht sie sich auch.

Führt ein Körper gleichzeitig Translations- und Rotationsbewegungen aus, so ist seine gesamte kinetische Energie gleich

(3.23)

Aus einem Vergleich der Formeln für kinetische Energie für Translations- und Rotationsbewegungen ist ersichtlich, dass das Maß der Trägheit bei Rotationsbewegungen das Trägheitsmoment des Körpers ist.

§ 3.6 Die Arbeit äußerer Kräfte bei der Drehung eines starren Körpers

Wenn sich ein starrer Körper dreht, ändert sich seine potentielle Energie nicht, daher ist die elementare Arbeit äußerer Kräfte gleich der Zunahme der kinetischen Energie des Körpers:

dA = dE bzw

Unter Berücksichtigung, dass Jβ = M, ωdr = dφ, haben wir α des Körpers bei einem endlichen Winkel φ gleich

(3.25)

Wenn sich ein starrer Körper um eine feste Achse dreht, wird die Arbeit äußerer Kräfte durch die Wirkung des Moments dieser Kräfte um eine bestimmte Achse bestimmt. Wenn das Moment der Kräfte um die Achse gleich Null ist, leisten diese Kräfte keine Arbeit.

Beispiele für Problemlösungen

Beispiel 2.1. Schwungmassem=5kg und Radiusr= 0,2 m dreht sich mit einer Frequenz um die horizontale Achseν 0 =720 min -1 und stoppt beim Bremsent=20 s. Ermitteln Sie das Bremsmoment und die Drehzahl vor dem Anhalten.

Zur Bestimmung des Bremsmoments wenden wir die Grundgleichung für die Dynamik der Drehbewegung an

wobei I=mr 2 das Trägheitsmoment der Scheibe ist; Δω \u003d ω - ω 0 und ω \u003d 0 ist die endgültige Winkelgeschwindigkeit, ω 0 \u003d 2πν 0 ist die anfängliche. M ist das Bremsmoment der auf die Scheibe wirkenden Kräfte.

Sind alle Größen bekannt, kann das Bremsmoment bestimmt werden

Herr 2 2πν 0 = МΔt (1)

(2)

Aus der Kinematik der Drehbewegung lässt sich der Drehwinkel während der Scheibendrehung bis zum Stillstand durch die Formel bestimmen

(3)

wobei β die Winkelbeschleunigung ist.

Gemäß der Bedingung des Problems: ω = ω 0 - βΔt, da ω=0, ω 0 = βΔt

Dann kann Ausdruck (2) geschrieben werden als:

Beispiel 2.2. Zwei Schwungräder in Form von Scheiben mit gleichen Radien und Massen wurden auf Rotationsgeschwindigkeit hochgeschleudertn= 480 U/min und sich selbst überlassen. Unter Einwirkung der Reibungskräfte der Wellen auf die Lager blieb der erste nacht\u003d 80 s, und der zweite tat esN= 240 Umdrehungen bis zum Stopp. Bei welchem ​​Schwungrad war das Moment der Reibungskräfte der Wellen an den Lagern größer und wie oft.

Wir finden das Moment der Kräfte der Dornen M 1 des ersten Schwungrads unter Verwendung der Grundgleichung der Dynamik der Drehbewegung

M 1 Δt \u003d Iω 2 - Iω 1

wobei Δt die Wirkungszeit des Moments der Reibungskräfte ist, I \u003d mr 2 - das Trägheitsmoment des Schwungrads, ω 1 \u003d 2πν und ω 2 \u003d 0 die Anfangs- und Endwinkelgeschwindigkeiten der Schwungräder sind

Dann

Das Moment der Reibungskräfte M 2 des zweiten Schwungrads wird durch die Beziehung zwischen der Arbeit A der Reibungskräfte und der Änderung seiner kinetischen Energie ΔE k ausgedrückt:

wobei Δφ = 2πN der Drehwinkel ist, N die Anzahl der Umdrehungen des Schwungrads ist.

Wo dann

Ö Verhältnis wird

Das Reibmoment des zweiten Schwungrades ist 1,33 mal größer.

Beispiel 2.3. Masse einer homogenen Festkörperscheibe m, Massen von Lasten m 1 und M 2 (Abb.15). Es gibt keinen Schlupf und keine Reibung des Gewindes in der Achse des Zylinders. Finden Sie die Beschleunigung der Massen und das Verhältnis der Fadenspannungenim Bewegungsablauf.

Es gibt keinen Schlupf des Fadens, daher dreht sich der Zylinder, wenn m 1 und m 2 eine Translationsbewegung ausführen, um die Achse, die durch den Punkt O verläuft. Nehmen wir zur Sicherheit an, dass m 2 > m 1.

Dann wird die Last m 2 abgesenkt und der Zylinder dreht sich im Uhrzeigersinn. Schreiben wir die Bewegungsgleichungen der im System enthaltenen Körper auf

Die ersten beiden Gleichungen sind für Körper mit den Massen m 1 und m 2 geschrieben, die eine Translationsbewegung ausführen, und die dritte Gleichung ist für einen rotierenden Zylinder. In der dritten Gleichung ist links das Gesamtmoment der auf den Zylinder wirkenden Kräfte (das Kraftmoment T 1 wird mit einem Minuszeichen genommen, da die Kraft T 1 dazu neigt, den Zylinder gegen den Uhrzeigersinn zu drehen). Rechts ist I das Trägheitsmoment des Zylinders um die Achse O, das gleich ist

wobei R der Radius des Zylinders ist; β ist die Winkelbeschleunigung des Zylinders.

Da kein Fadenschlupf auftritt,
. Unter Berücksichtigung der Ausdrücke für I und β erhalten wir:

Wenn wir die Gleichungen des Systems addieren, erhalten wir die Gleichung

Von hier aus finden wir die Beschleunigung a Ladung

Aus der resultierenden Gleichung ist ersichtlich, dass die Fadenspannungen gleich sein werden, d.h. =1, wenn die Masse des Zylinders viel kleiner ist als die Masse der Gewichte.

Beispiel 2.4. Eine Hohlkugel mit der Masse m = 0,5 kg hat einen Außenradius R = 0,08 m und einen Innenradius r = 0,06 m. Die Kugel dreht sich um eine Achse, die durch ihren Mittelpunkt geht. Zu einem bestimmten Zeitpunkt beginnt eine Kraft auf den Ball zu wirken, wodurch sich der Drehwinkel des Balls gesetzmäßig ändert
. Bestimmen Sie das Moment der aufgebrachten Kraft.

Wir lösen das Problem mit der Grundgleichung der Dynamik der Rotationsbewegung
. Die Hauptschwierigkeit besteht darin, das Trägheitsmoment der Hohlkugel zu bestimmen, und die Winkelbeschleunigung β wird als gefunden
. Das Trägheitsmoment I einer Hohlkugel ist gleich der Differenz der Trägheitsmomente einer Kugel mit Radius R und einer Kugel mit Radius r:

wobei ρ die Dichte des Kugelmaterials ist. Wir finden die Dichte, wenn wir die Masse einer Hohlkugel kennen

Daraus bestimmen wir die Dichte des Kugelmaterials

Für das Kraftmoment M erhalten wir folgenden Ausdruck:

Beispiel 2.5. Ein dünner Stab mit einer Masse von 300 g und einer Länge von 50 cm rotiert mit einer Winkelgeschwindigkeit von 10 s -1 in einer horizontalen Ebene um eine vertikale Achse, die durch die Mitte des Stabs verläuft. Finden Sie die Winkelgeschwindigkeit, wenn sich der Stab während der Drehung in derselben Ebene so bewegt, dass die Rotationsachse durch das Ende des Stabs geht.

Wir wenden den Drehimpulserhaltungssatz an

(1)

(J i - Trägheitsmoment der Stange relativ zur Drehachse).

Für ein isoliertes Körpersystem bleibt die Vektorsumme des Drehimpulses konstant. Da sich die Massenverteilung des Stabes relativ zur Drehachse ändert, ändert sich auch das Trägheitsmoment des Stabes gemäß (1):

J 0 ω 1 = J 2 ω 2 . (2)

Es ist bekannt, dass das Trägheitsmoment des Stabes um die Achse, die durch den Massenmittelpunkt geht und senkrecht zum Stab steht, gleich ist

J 0 \u003d ml 2 / 12. (3)

Nach dem Satz von Steiner

J = J 0 +m a 2

(J ist das Trägheitsmoment des Stabes um eine beliebige Rotationsachse; J 0 ist das Trägheitsmoment um eine parallele Achse, die durch den Massenmittelpunkt geht; a- Abstand vom Massenmittelpunkt zur gewählten Rotationsachse).

Finden wir das Trägheitsmoment um die Achse, die durch sein Ende verläuft und senkrecht zur Stange steht:

J 2 \u003d J 0 +m a 2 , J 2 = ml 2 /12 + m(l/2) 2 = ml 2 /3. (4)

Lassen Sie uns die Formeln (3) und (4) durch (2) ersetzen:

ml 2 ω 1 /12 = ml 2 ω 2 /3

ω 2 \u003d ω 1 /4 ω 2 \u003d 10 s-1/4 \u003d 2,5 s -1

Beispiel 2.6 . Massenmenschm= 60 kg, stehend auf dem Rand der Plattform mit Masse M = 120 kg, rotierend durch Trägheit um eine feste vertikale Achse mit einer Frequenz ν 1 =12min -1 , geht in seine Mitte. Betrachten Sie die Plattform als runde homogene Scheibe und die Person als Punktmasse und bestimmen Sie, mit welcher Frequenz ν 2 die Plattform dreht sich dann.

Gegeben: m = 60 kg, M = 120 kg, v 1 = 12 min –1 = 0,2 s –1 .

Finden: v1

Entscheidung: Je nach Problemstellung dreht sich die Plattform mit der Person durch Trägheit, d.h. das resultierende Moment aller auf das rotierende System aufgebrachten Kräfte ist Null. Daher ist für das „Plattform-Mann“-System das Impulserhaltungsgesetz erfüllt

Ich 1 ω 1 = Ich 2 ω 2

wo
- das Trägheitsmoment des Systems, wenn eine Person auf der Kante der Plattform steht (wir haben berücksichtigt, dass das Trägheitsmoment der Plattform gleich ist (R ist der Radius p
Bahnsteig) beträgt das Trägheitsmoment einer Person am Bahnsteigrand mR 2).

- das Trägheitsmoment des Systems, wenn eine Person in der Mitte der Plattform steht (wir haben berücksichtigt, dass das Moment einer Person, die in der Mitte der Plattform steht, gleich Null ist). Winkelgeschwindigkeit ω 1 = 2π ν 1 und ω 1 = 2π ν 2 .

Durch Einsetzen der geschriebenen Ausdrücke in Formel (1) erhalten wir

woraus sich die gewünschte Drehzahl ergibt

Antworten: v 2 = 24 min –1 .

Stellen Sie sich einen absolut starren Körper vor, der sich um eine feste Achse dreht. Zerlegen wir diesen Körper gedanklich in unendlich kleine Stücke mit unendlich kleinen Größen und Massen. m v t., t 3 ,... auf Distanz R v R 0 , R 3 ,... von der Achse. Kinetische Energie eines rotierenden Körpers wir finden als Summe der kinetischen Energien seiner kleinen Teile:

- Trägheitsmoment starrer Körper relativ zur gegebenen Achse 00,. Aus einem Vergleich der Formeln für die kinetische Energie von Translations- und Rotationsbewegungen geht das hervor Trägheitsmoment bei Rotationsbewegung ist analog zur Masse bei Translationsbewegung. Formel (4.14) eignet sich zur Berechnung des Trägheitsmoments von Systemen, die aus einzelnen materiellen Punkten bestehen. Um das Trägheitsmoment fester Körper zu berechnen, können Sie es anhand der Definition des Integrals in die Form umwandeln

Es ist leicht einzusehen, dass das Trägheitsmoment von der Wahl der Achse abhängt und sich mit ihrer parallelen Translation und Rotation ändert. Lassen Sie uns die Werte der Trägheitsmomente für einige homogene Körper finden.

Aus Formel (4.14) ist dies offensichtlich Trägheitsmoment eines materiellen Punktes gleich

wo t - Punktmasse; R- Abstand zur Rotationsachse.

Das Trägheitsmoment lässt sich leicht berechnen hohler dünnwandiger Zylinder(oder ein Sonderfall eines Zylinders mit geringer Höhe - dünner Ring) Radius R um die Symmetrieachse. Der Abstand aller Punkte zur Rotationsachse eines solchen Körpers ist gleich, gleich dem Radius und kann aus dem Summenzeichen (4.14) entnommen werden:

Reis. 4.5

massiver Zylinder(oder ein Sonderfall eines Zylinders mit geringer Höhe - Scheibe) Radius R zur Berechnung des Trägheitsmoments um die Symmetrieachse ist die Berechnung des Integrals (4.15) erforderlich. Es ist vorauszusehen, dass die Masse in diesem Fall im Durchschnitt etwas näher an der Achse konzentriert ist als im Fall eines Hohlzylinders, und die Formel wird ähnlich wie (4.17) sein, aber ein Koeffizient kleiner als eins darin auftauchen. Finden wir diesen Koeffizienten. Ein Vollzylinder habe die Dichte p und die Höhe A. Unterteilen wir ihn in Hohlzylinder (dünne Zylinderflächen) mit der Dicke DR(Abb. 4.5 zeigt eine Projektion senkrecht zur Symmetrieachse). Das Volumen eines solchen Hohlzylinders mit Radius r ist gleich der Oberfläche multipliziert mit der Dicke: dV = 2nrhdr, Last: dm=2nphrdr, und dem Trägheitsmoment nach Formel (4.17): dj=

= r 2 dm = 2lr/?g Wr. Das Gesamtträgheitsmoment eines Vollzylinders erhält man durch Integration (Summierung) der Trägheitsmomente von Hohlzylindern:

Ähnlich gesucht Trägheitsmoment eines dünnen Stabes Länge L und die Massen t, wenn die Rotationsachse senkrecht zum Stab steht und durch dessen Mitte geht. Brechen wir das auf

Unter Berücksichtigung der Tatsache, dass die Masse eines Vollzylinders über die Formel mit der Dichte zusammenhängt t = nR 2 PS, haben wir endlich Trägheitsmoment eines Vollzylinders:

Reis. 4.6

Stange gemäß Abb. 4,6 Stück dick dl. Die Masse eines solchen Stückes ist dm = mdl/L, und dem Trägheitsmoment nach Formel (4.6): dj = l 2 dm = l 2 mdl/l. Das Gesamtträgheitsmoment eines dünnen Stabs erhält man durch Integrieren (Summieren) der Trägheitsmomente der Teile:

Das elementare Integral ergibt das Trägheitsmoment eines dünnen langen Stabes L und die Massen t

Reis. 4.7

Das Integral wird bei der Suche etwas komplizierter genommen Trägheitsmoment einer homogenen Kugel Radius R und Masse /77 in Bezug auf die Symmetrieachse. Eine feste Kugel habe die Dichte p. Lassen Sie es uns wie in Abb. 4,7 für die Dicke von dünnen Hohlzylindern DR, dessen Symmetrieachse mit der Rotationsachse der Kugel zusammenfällt. Das Volumen eines solchen Hohlzylinders von Radius G ist gleich der Oberfläche multipliziert mit der Dicke:

wo ist die höhe des zylinders h mit dem Satz des Pythagoras gefunden:

Dann ist es einfach, die Masse des Hohlzylinders zu finden:

sowie das Trägheitsmoment nach Formel (4.15):

Das Gesamtträgheitsmoment einer Vollkugel ergibt sich durch Integration (Summierung) der Trägheitsmomente von Hohlzylindern:

Unter Berücksichtigung der Tatsache, dass die Masse einer festen Kugel mit der Dichte der Form zusammenhängt - 4 .

Loy t = -npRA y wir haben schließlich das Trägheitsmoment um die Achse

Symmetrie einer homogenen Kugel mit Radius R Massen t:

Betrachten wir zunächst die Rotation des Körpers um eine feste Achse, die wir als z-Achse bezeichnen wollen (Abb. 41.1). Die lineare Geschwindigkeit der Elementarmasse ist wobei der Abstand der Masse von der Achse ist. Daher erhält man für die kinetische Energie einer Elementarmasse den Ausdruck

Die Bewegungsenergie eines Körpers setzt sich aus den Bewegungsenergien seiner Teile zusammen:

Die Summe auf der rechten Seite dieses Verhältnisses ist das Trägheitsmoment des Körpers 1 um die Rotationsachse. Somit ist die kinetische Energie eines um eine feste Achse rotierenden Körpers

Auf die Masse wirken eine innere Kraft und eine äußere Kraft (siehe Abb. 41.1). Nach (20.5) werden diese Kräfte während der Zeit Arbeit verrichten

Führt man eine zyklische Permutation von Faktoren in Mischprodukten von Vektoren durch (siehe (2.34)), erhält man:

wobei N das Moment der inneren Kraft relativ zum Punkt O ist, N das analoge Moment der äußeren Kraft ist.

Summiert man den Ausdruck (41.2) über alle Elementarmassen, erhält man die während der Zeit dt am Körper verrichtete Elementararbeit:

Die Summe der Schnittgrößenmomente ist gleich Null (siehe (29.12)). Wenn wir also das Gesamtmoment der äußeren Kräfte durch N bezeichnen, gelangen wir zu dem Ausdruck

(Wir haben Formel (2.21) verwendet).

Wenn wir schließlich berücksichtigen, dass es einen Winkel gibt, um den sich der Körper in der Zeit dreht, erhalten wir:

Das Vorzeichen der Arbeit hängt vom Vorzeichen ab, d. h. vom Vorzeichen der Projektion des Vektors N auf die Richtung des Vektors

Wenn sich der Körper also dreht, verrichten die inneren Kräfte keine Arbeit, während die Arbeit der äußeren Kräfte durch Formel (41.4) bestimmt wird.

Die Formel (41.4) erhält man, indem man die Tatsache nutzt, dass die von allen auf den Körper ausgeübten Kräfte verrichtete Arbeit seine kinetische Energie erhöht (siehe (19.11)). Wenn wir das Differential beider Seiten der Gleichheit (41.1) verwenden, gelangen wir zu der Beziehung

Entsprechend der Gleichung (38.8) kommen wir also durch Ersetzen zu der Formel (41.4).

Tabelle 41.1

Im Tisch. 41.1 werden die Formeln der Mechanik der Rotationsbewegungen mit ähnlichen Formeln der Mechanik der Translationsbewegung (der Mechanik eines Punktes) verglichen. Aus diesem Vergleich lässt sich leicht schließen, dass in allen Fällen die Rolle der Masse das Trägheitsmoment, die Rolle der Kraft das Kraftmoment, die Rolle des Impulses das Impulsmoment usw. spielt.

Formel. (41.1) erhalten wir für den Fall, dass sich der Körper um eine körperfeste Achse dreht. Nehmen wir nun an, dass sich der Körper willkürlich um einen festen Punkt dreht, der mit seinem Massenmittelpunkt zusammenfällt.

Verbinden wir das kartesische Koordinatensystem starr mit dem Körper, dessen Ursprung im Massenmittelpunkt des Körpers liegt. Die Geschwindigkeit der i-ten Elementarmasse ist Daher können wir für die kinetische Energie des Körpers den Ausdruck schreiben

wo ist der Winkel zwischen den Vektoren Ersetzen eines durch und unter Berücksichtigung dessen, was wir erhalten:

Wir schreiben die Skalarprodukte als Projektionen von Vektoren auf die Achsen des dem Körper zugeordneten Koordinatensystems:

Indem wir schließlich die Terme mit denselben Produkten der Komponenten der Winkelgeschwindigkeit kombinieren und diese Produkte aus den Vorzeichen der Summen entfernen, erhalten wir: damit Formel (41.7) die Form annimmt (vergleiche mit (41.1)). Wenn sich ein beliebiger Körper um eine der Hauptträgheitsachsen dreht, sagen wir, die Achsen und Formel (41.7) gehen in (41.10.

Auf diese Weise. Die kinetische Energie eines rotierenden Körpers ist in drei Fällen gleich dem halben Produkt aus dem Trägheitsmoment und dem Quadrat der Winkelgeschwindigkeit: 1) für einen Körper, der sich um eine feste Achse dreht; 2) für einen um eine der Hauptträgheitsachsen rotierenden Körper; 3) für eine Kugelspitze. In anderen Fällen wird die kinetische Energie durch die komplexeren Formeln (41.5) oder (41.7) bestimmt.

Betrachten Sie zunächst einen starren Körper, der sich mit einer Winkelgeschwindigkeit um eine feste Achse OZ dreht ω (Abb.5.6). Brechen wir den Körper in elementare Massen auf. Die lineare Geschwindigkeit einer Elementarmasse ist , wobei ihr Abstand von der Rotationsachse ist. Kinetische Energie ich-dass elementare Masse gleich sein wird

.

Die Bewegungsenergie des ganzen Körpers setzt sich also aus den Bewegungsenergien seiner Teile zusammen

.

Wenn man bedenkt, dass die Summe auf der rechten Seite dieser Beziehung das Trägheitsmoment des Körpers um die Rotationsachse darstellt, erhalten wir schließlich

. (5.30)

Die Formeln für die kinetische Energie eines rotierenden Körpers (5.30) sind ähnlich den entsprechenden Formeln für die kinetische Energie der Translationsbewegung eines Körpers. Aus letzterem werden sie durch formale Substitution gewonnen .

Im allgemeinen Fall kann die Bewegung eines starren Körpers als Summe von Bewegungen dargestellt werden - Translation mit einer Geschwindigkeit, die gleich der Geschwindigkeit des Massenmittelpunkts des Körpers ist, und Rotation mit einer Winkelgeschwindigkeit um die durch den Massenmittelpunkt verlaufende Momentanachse Massezentrum. In diesem Fall nimmt der Ausdruck für die kinetische Energie des Körpers die Form an

.

Finden wir nun die Arbeit, die das Moment äußerer Kräfte bei der Rotation eines starren Körpers verrichtet. Elementare Arbeit externer Kräfte in der Zeit dt gleich der Änderung der kinetischen Energie des Körpers sein

Wenn wir das Differential von der kinetischen Energie der Rotationsbewegung nehmen, finden wir ihr Inkrement

.

Gemäß der Grundgleichung der Dynamik für Drehbewegungen

Unter Berücksichtigung dieser Beziehungen reduzieren wir den Ausdruck für elementare Arbeit auf die Form

wo ist die Projektion des resultierenden Moments der äußeren Kräfte auf die Richtung der Rotationsachse OZ, ist der Rotationswinkel des Körpers für den betrachteten Zeitraum.

Durch Integration von (5.31) erhalten wir eine Formel für die Arbeit äußerer Kräfte, die auf einen rotierenden Körper wirken

Wenn , dann wird die Formel vereinfacht

Somit wird die Arbeit äußerer Kräfte während der Drehung eines starren Körpers um eine feste Achse durch die Wirkung der Projektion des Moments dieser Kräfte auf eine bestimmte Achse bestimmt.

Gyroskop

Ein Kreisel ist ein sich schnell drehender symmetrischer Körper, dessen Rotationsachse ihre Richtung im Raum ändern kann. Damit sich die Achse des Kreisels frei im Raum drehen kann, wird der Kreisel in der sogenannten kardanischen Aufhängung gelagert (Abb. 5.13). Das Schwungrad des Kreisels dreht sich im inneren Ringkäfig um die durch seinen Schwerpunkt verlaufende Achse C 1 C 2 . Der innere Käfig wiederum kann sich im äußeren Käfig um die Achse B 1 B 2 senkrecht zu C 1 C 2 drehen. Schließlich kann sich der äußere Laufring frei in den Federbeinlagern um die Achse A 1 A 2 senkrecht zu den Achsen C 1 C 2 und B 1 B 2 drehen. Alle drei Achsen schneiden sich an einem festen Punkt O, der als Aufhängungszentrum oder Drehpunkt des Kreisels bezeichnet wird. Das Gyroskop im Gimbal hat drei Freiheitsgrade und kann sich daher beliebig um den Mittelpunkt des Gimbals drehen. Fällt der Aufhängungspunkt des Kreisels mit seinem Schwerpunkt zusammen, so ist das resultierende Massenmoment aller Teile des Kreisels gegenüber dem Aufhängungspunkt gleich Null. Ein solches Gyroskop wird als ausgeglichen bezeichnet.

Betrachten wir nun die wichtigsten Eigenschaften des Kreisels, die in verschiedenen Bereichen breite Anwendung gefunden haben.

1) Nachhaltigkeit.

Bei jeder Drehung des ausbalancierten Kreiselgestells bleibt seine Drehachse in Bezug auf den Laborbezugssystem in derselben Richtung. Dies liegt daran, dass das Moment aller äußeren Kräfte, gleich dem Moment der Reibungskräfte, sehr klein ist und praktisch keine Änderung des Drehimpulses des Kreisels bewirkt, d.h.

Da der Drehimpuls entlang der Drehachse des Kreisels gerichtet ist, muss seine Orientierung unverändert bleiben.

Wirkt kurzzeitig eine äußere Kraft ein, so wird das Integral, das die Zunahme des Drehimpulses bestimmt, klein

. (5.34)

Das bedeutet, dass sich die Bewegung eines ausgewuchteten Kreisels bei kurzzeitiger Einwirkung auch großer Kräfte kaum ändert. Der Kreisel widersetzt sich gleichsam allen Versuchen, Größe und Richtung seines Drehimpulses zu ändern. Damit verbunden ist die bemerkenswerte Stabilität, die die Bewegung eines Kreisels erhält, wenn man ihn in schnelle Rotation versetzt. Diese Eigenschaft des Gyroskops wird häufig verwendet, um die Bewegung von Flugzeugen, Schiffen, Raketen und anderen Fahrzeugen automatisch zu steuern.

Wird der Kreisel jedoch längere Zeit mit einem richtungskonstanten Moment äußerer Kräfte beaufschlagt, so wird die Achse des Kreisels schließlich in Richtung des Moments äußerer Kräfte eingestellt. Dieses Phänomen wird im Kreiselkompass ausgenutzt. Dieses Gerät ist ein Gyroskop, dessen Achse sich in einer horizontalen Ebene frei drehen kann. Aufgrund der täglichen Rotation der Erde und der Wirkung des Moments der Zentrifugalkräfte dreht sich die Achse des Kreisels, sodass der Winkel zwischen und minimal wird (Abb. 5.14). Dies entspricht der Lage der Kreiselachse in der Meridianebene.

2). Gyroskopischer Effekt.

Wenn auf ein rotierendes Gyroskop ein Kräftepaar ausgeübt wird, das dazu neigt, es um eine Achse zu drehen, die senkrecht zur Rotationsachse steht, dreht es sich um die dritte Achse, die senkrecht zu den ersten beiden ist (Abb. 5.15). Dieses ungewöhnliche Verhalten des Kreisels wird Kreiseleffekt genannt. Dies erklärt sich aus der Tatsache, dass das Moment eines Kräftepaares entlang der Achse O 1 O 1 gerichtet ist und eine Änderung des Vektors um einen Wert über die Zeit die gleiche Richtung hat. Als Ergebnis dreht sich der neue Vektor um die O 2 O 2 -Achse. Somit entspricht das scheinbar unnatürliche Verhalten des Kreisels vollständig den Gesetzen der Dynamik der Drehbewegung

3). Kreiselpräzession.

Die Präzession eines Kreisels ist die konische Bewegung seiner Achse. Es tritt auf, wenn das Moment der äußeren Kräfte, die in ihrer Größe konstant bleiben, sich gleichzeitig mit der Achse des Kreisels dreht und mit ihr ständig einen rechten Winkel bildet. Zur Demonstration der Präzession kann ein Fahrradrad mit verlängerter Achse, das in schnelle Rotation gebracht wird (Abb. 5.16), dienen.

Wenn das Rad am verlängerten Ende der Achse aufgehängt ist, beginnt seine Achse unter der Wirkung ihres eigenen Gewichts um die vertikale Achse zu präzedieren. Ein schnell rotierender Kreisel kann auch als Demonstration der Präzession dienen.

Finden Sie die Gründe für die Präzession des Kreisels heraus. Betrachten Sie einen unausgeglichenen Kreisel, dessen Achse sich frei um einen bestimmten Punkt O drehen kann (Abb. 5.16). Das auf das Gyroskop wirkende Schwerkraftmoment ist gleich groß

wo ist die Masse des Kreisels, ist der Abstand vom Punkt O zum Massenmittelpunkt des Kreisels, ist der Winkel, den die Achse des Kreisels mit der Vertikalen bildet. Der Vektor ist senkrecht zu der vertikalen Ebene gerichtet, die durch die Achse des Kreisels verläuft.

Unter dem Einfluss dieses Moments erhält der Drehimpuls des Kreisels (sein Anfang befindet sich am Punkt O) einen Zeitzuwachs, und die vertikale Ebene, die durch die Achse des Kreisels verläuft, dreht sich um einen Winkel. Der Vektor steht immer senkrecht auf , daher ändert sich der Vektor ohne Größenänderung nur in der Richtung. In diesem Fall ist nach einer Weile die relative Position der Vektoren und die gleiche wie im Anfangsmoment. Dadurch dreht sich die Achse des Kreisels kontinuierlich um die Vertikale und beschreibt einen Kegel. Diese Bewegung wird als Präzession bezeichnet.

Lassen Sie uns die Winkelgeschwindigkeit der Präzession bestimmen. Nach Abb.5.16 ist der Drehwinkel der durch die Kegelachse und die Kreiselachse gehenden Ebene gleich

wo ist der Drehimpuls des Gyroskops und seine Zunahme über die Zeit.

Teilen durch unter Berücksichtigung der obigen Beziehungen und Transformationen erhalten wir die Winkelgeschwindigkeit der Präzession

. (5.35)

Bei in der Technik verwendeten Kreiseln ist die Winkelgeschwindigkeit der Präzession millionenfach geringer als die Rotationsgeschwindigkeit des Kreisels.

Abschließend stellen wir fest, dass das Phänomen der Präzession auch in Atomen aufgrund der Orbitalbewegung von Elektronen beobachtet wird.

Beispiele für die Anwendung der Gesetze der Dynamik

Beim Drehen

1. Betrachten Sie einige Beispiele für das Drehimpulserhaltungsgesetz, das mit der Zhukovsky-Bank implementiert werden kann. Die Zhukovsky-Bank ist im einfachsten Fall eine scheibenförmige Plattform (Stuhl), die sich auf Kugellagern frei um eine vertikale Achse drehen kann (Abb. 5.17). Der Demonstrator sitzt oder steht auf der Bank, danach wird sie in Rotationsbewegung versetzt. Da die Reibungskräfte durch die Verwendung von Lagern sehr klein sind, kann sich der Drehimpuls des Systems aus Bank und Demonstrator um die Rotationsachse zeitlich nicht ändern, wenn das System sich selbst überlassen wird. Wenn der Demonstrator schwere Hanteln in den Händen hält und die Arme seitlich ausbreitet, erhöht er das Trägheitsmoment des Systems, und daher muss die Rotationswinkelgeschwindigkeit abnehmen, damit der Drehimpuls unverändert bleibt.

Nach dem Drehimpulserhaltungssatz stellen wir für diesen Fall eine Gleichung auf

wo ist das Trägheitsmoment der Person und der Bank, und ist das Trägheitsmoment der Hanteln in der ersten und zweiten Position, und sind die Winkelgeschwindigkeiten des Systems.

Die Winkelgeschwindigkeit der Drehung des Systems beim Züchten von Hanteln zur Seite wird gleich sein

.

Die Arbeit, die eine Person beim Bewegen von Hanteln verrichtet, kann durch eine Änderung der kinetischen Energie des Systems bestimmt werden

2. Lassen Sie uns noch ein Experiment mit Schukowskis Bank geben. Der Demonstrator sitzt oder steht auf einer Bank und bekommt ein schnell rotierendes Rad mit vertikal gerichteter Achse (Abb. 5.18). Der Demonstrator dreht dann das Rad um 180°. In diesem Fall wird die Drehimpulsänderung des Rades vollständig auf den Prüfstand und den Demonstrator übertragen. Dadurch kommt die Bank zusammen mit dem Demonstrator in Rotation mit einer Winkelgeschwindigkeit, die auf Basis des Drehimpulserhaltungssatzes bestimmt wird.

Der Drehimpuls des Systems im Ausgangszustand wird nur durch den Drehimpuls des Rades bestimmt und ist gleich

wo ist das Trägheitsmoment des Rades, ist die Winkelgeschwindigkeit seiner Drehung.

Nach dem Drehen des Rades in einem Winkel von 180 0 wird das Impulsmoment des Systems bereits durch die Summe des Impulsmoments der Bank mit der Person und des Impulsmoments des Rads bestimmt. Unter Berücksichtigung der Tatsache, dass der Impulsvektor des Rads seine Richtung in die entgegengesetzte Richtung geändert hat und seine Projektion auf die vertikale Achse negativ geworden ist, erhalten wir

,

wo ist das Trägheitsmoment des „Mann-Plattform“-Systems, ist die Winkelgeschwindigkeit der Drehung der Bank mit der Person.

Nach dem Drehimpulserhaltungssatz

und .

Als Ergebnis finden wir die Rotationsgeschwindigkeit der Bank

3. Dünne Stangenmasse m und Länge l rotiert mit einer Winkelgeschwindigkeit ω=10 s -1 in einer horizontalen Ebene um eine vertikale Achse, die durch die Stabmitte verläuft. Die Stange dreht sich weiter in derselben Ebene und bewegt sich so, dass die Rotationsachse nun durch das Ende der Stange verläuft. Finden Sie die Winkelgeschwindigkeit im zweiten Fall.

Bei diesem Problem ändert sich aufgrund der Tatsache, dass sich die Verteilung der Masse der Stange relativ zur Rotationsachse ändert, auch das Trägheitsmoment der Stange. In Übereinstimmung mit dem Erhaltungssatz des Drehimpulses eines isolierten Systems haben wir

Hier - das Trägheitsmoment der Stange um die Achse, die durch die Mitte der Stange verläuft; - das Trägheitsmoment des Stabes um die Achse, die durch sein Ende verläuft und durch den Satz von Steiner gefunden wurde.

Setzen wir diese Ausdrücke in das Gesetz der Erhaltung des Drehimpulses ein, erhalten wir

,

.

4. Stangenlänge L=1,5 m und Gewicht m 1=10 kg ist am oberen Ende klappbar. Eine Kugel trifft mit einer Masse auf die Mitte der Stange m2=10 g, fliegt horizontal mit einer Geschwindigkeit von =500 m/s und bleibt in der Stange stecken. Um welchen Winkel weicht die Stange nach dem Aufprall aus?

Stellen wir uns in Abb. 5.19. System interagierender Körper "Stabkugel". Die Momente der äußeren Kräfte (Schwerkraft, Achsreaktion) im Moment des Aufpralls sind gleich Null, daher können wir das Gesetz der Erhaltung des Drehimpulses anwenden

Der Drehimpuls des Systems vor dem Aufprall ist gleich dem Drehimpuls des Geschosses relativ zum Aufhängepunkt

Der Drehimpuls des Systems nach einem inelastischen Stoß wird durch die Formel bestimmt

,

wo ist das Trägheitsmoment der Stange relativ zum Aufhängepunkt, ist das Trägheitsmoment der Kugel, ist die Winkelgeschwindigkeit der Stange mit der Kugel unmittelbar nach dem Aufprall.

Lösen Sie die resultierende Gleichung nach der Substitution, finden wir

.

Wenden wir nun den Erhaltungssatz der mechanischen Energie an. Setzen wir die kinetische Energie des Stabes nach dem Auftreffen des Geschosses mit seiner potentiellen Energie am höchsten Punkt des Aufstiegs gleich:

,

wo ist die Höhe des Massenschwerpunkts des gegebenen Systems.

Nachdem wir die notwendigen Transformationen durchgeführt haben, erhalten wir

Der Auslenkungswinkel der Stange hängt mit dem Wert durch das Verhältnis zusammen

.

Nach Durchführung der Berechnungen erhalten wir =0,1p=18 0 .

5. Bestimmen Sie die Beschleunigung der Körper und die Spannung des Fadens auf der Atwood-Maschine unter der Annahme (Abb. 5.20). Das Trägheitsmoment des Blocks um die Rotationsachse ist ich, Blockradius r. Ignorieren Sie die Masse des Fadens.

Lassen Sie uns alle auf die Lasten und den Block wirkenden Kräfte ordnen und die dynamischen Gleichungen dafür erstellen

Wenn der Faden entlang des Blocks nicht rutscht, stehen die lineare und die Winkelbeschleunigung durch die Beziehung in Beziehung

Wenn wir diese Gleichungen lösen, erhalten wir

Dann finden wir T 1 und T 2 .

6. An der Rolle des Oberbeck-Kreuzes (Abb. 5.21) ist ein Faden befestigt, an dem eine Masse belastet wird M= 0,5 kg. Bestimmen Sie, wie lange es dauert, bis eine Last aus der Höhe fällt h=1 m bis zur unteren Position. Riemenscheibenradius r\u003d 3 cm Vier Massegewichte m=250g jeweils auf Abstand R= 30 cm von seiner Achse entfernt. Vernachlässigen Sie das Trägheitsmoment des Kreuzes selbst und der Rolle im Vergleich zum Trägheitsmoment der Gewichte.