Wenn Informationen über den Abstand eines Punktes relativ zur Projektionsebene nicht durch eine numerische Markierung, sondern durch eine zweite Projektion des auf der zweiten Projektionsebene konstruierten Punktes angegeben werden, wird die Zeichnung als zweibildig oder komplex bezeichnet. Die Grundprinzipien für die Erstellung solcher Zeichnungen werden von G. Monge dargelegt.

Die von Monge beschriebene Methode – die Methode der orthogonalen Projektion, bei der zwei Projektionen auf zwei zueinander senkrechte Projektionsebenen vorgenommen werden – die Ausdruckskraft, Genauigkeit und Messbarkeit von Bildern von Objekten auf einer Ebene gewährleistet, war und ist die Hauptmethode zur Erstellung technischer Zeichnungen.

Das Modell mit drei Projektionsebenen ist in der Abbildung dargestellt. Die dritte Ebene, die senkrecht zu P1 und P2 steht, wird mit dem Buchstaben P3 bezeichnet und als Profil bezeichnet. Projektionen von Punkten auf diese Ebene werden durch Großbuchstaben oder Zahlen mit dem Index 3 gekennzeichnet. Die sich paarweise schneidenden Projektionsebenen definieren drei Achsen 0x, 0y und 0z, die als kartesisches Koordinatensystem im Raum mit Beginn bei betrachtet werden können Punkt 0. Die drei Projektionsebenen teilen den Raum in acht Dreieckswinkel – Oktanten. Wie zuvor gehen wir davon aus, dass sich der Betrachter, der das Objekt betrachtet, im ersten Oktanten befindet. Um ein Diagramm zu erhalten, werden Punkte im System aus drei Projektionsebenen, den Ebenen P1 und P3, gedreht, bis sie mit der Ebene P2 ausgerichtet sind. Bei der Bezeichnung von Achsen in einem Diagramm werden negative Halbachsen in der Regel nicht angegeben. Wenn nur das Bild des Objekts selbst von Bedeutung ist und nicht seine Position relativ zu den Projektionsebenen, werden die Achsen im Diagramm nicht angezeigt. Koordinaten sind Zahlen, die einem Punkt zugewiesen werden, um seine Position im Raum oder auf einer Oberfläche zu bestimmen. Im dreidimensionalen Raum wird die Position eines Punktes anhand rechtwinkliger kartesischer Koordinaten x, y und z (Abszisse, Ordinate und Applikate) bestimmt.

Vorlesung 7, SRSP-7

2. Die Lage der Geraden relativ zu den Projektionsebenen.

3. Die relative Position eines Punktes und einer geraden Linie, zwei geraden Linien.

Eine gerade Linie projizieren

Um die Position einer Linie im Raum zu bestimmen, gibt es folgende Methoden: 1. Zwei Punkte (A und B). Betrachten Sie zwei Punkte im Raum A und B (Abb.). Durch diese Punkte können Sie eine gerade Linie zeichnen einen Abschnitt lernen. Um die Projektionen dieses Segments auf der Projektionsebene zu finden, ist es notwendig, die Projektionen der Punkte A und B zu finden und diese mit einer Geraden zu verbinden. Jede der Projektionen eines Segments auf der Projektionsebene ist kleiner als das Segment selbst:<; <; <.

2. Zwei Ebenen (a; b). Diese Einstellungsmethode wird dadurch bestimmt, dass sich zwei nichtparallele Ebenen im Raum in einer geraden Linie schneiden (diese Methode wird im Verlauf der Elementargeometrie ausführlich besprochen).

3. Punkt und Neigungswinkel zu Projektionsebenen. Wenn man die Koordinaten eines zu einer Linie gehörenden Punktes und seine Neigungswinkel zu den Projektionsebenen kennt, kann man die Position der Linie im Raum ermitteln.

IN Abhängig von der Position der Linie in Bezug auf die Projektionsebenen kann sie sowohl allgemeine als auch besondere Positionen einnehmen. 1. Eine Gerade, die zu keiner Projektionsebene parallel ist, wird als allgemeine Gerade bezeichnet (Abb.).

2. Linien parallel zu den Projektionsebenen nehmen eine bestimmte Position im Raum ein und werden Höhenlinien genannt. Abhängig davon, zu welcher Projektionsebene die gegebene Gerade parallel ist, gibt es:

2.1. Gerade Linien parallel zur horizontalen Projektionsebene werden als horizontal oder horizontal bezeichnet (Abb.).

2.2. Direkte Linien parallel zur Frontalebene der Projektionen werden als Frontal oder Frontal bezeichnet (Abb.).

2.3. Direkte Projektionen parallel zur Profilebene werden als Profil bezeichnet (Abb.).

3. Linien senkrecht zu den Projektionsebenen werden Projektionslinien genannt. Eine Linie senkrecht zu einer Projektionsebene ist parallel zu den beiden anderen. Abhängig davon, auf welcher Projektionsebene die untersuchte Linie senkrecht steht, gibt es:

3.1. Frontal projizierte Gerade - AB (Abb.).

3.2. Die vom Profil projizierte Gerade ist AB (Abb.).

] Übersetzung von V.F. Gaza. Kommentare und Bearbeitung von D.I. Kargina. Unter der allgemeinen Herausgeberschaft von T.P. Kravets.
(Verlag der Akademie der Wissenschaften der UdSSR, 1947. – Reihe „Klassiker der Wissenschaft“)
Scan, Bearbeitung, Djv-Format: ???, Ergänzungen und Korrekturen: AAW, mor, 2010

• INHALTSVERZEICHNIS:
  BESCHREIBENDE GEOMETRIE
  Programm (9).
  Abschnitt eins
  1. Gegenstand der beschreibenden Geometrie (13).
  2-9. Überlegungen, durch die die Lage eines Punktes im Raum bestimmt wird. Über die Projektionsmethode (Abb. 1-3) (13).
  10. Vergleich der beschreibenden Geometrie mit der Algebra (27).
  11-13. Das Grundkonzept der Darstellung der Form und Position von Oberflächen. Anwendungen und Flugzeuge (28).
  14-22. Lösung einiger elementarer Probleme auf einer Geraden und einer Ebene (Abb. 4-11) (33).
  Abschnitt zwei
  23-26. Auf Tangentenebenen und Normalen zu gekrümmten Flächen (45).
  27-31. Eine Methode zur Konstruktion von Tangentenebenen an bestimmten Punkten gekrümmter Oberflächen (Abb. 12-15) (48).
  32. Bedingungen, die die Lage einer Ebene tangential zu einer gekrümmten Oberfläche bestimmen; Hinweise zu abwickelbaren Oberflächen (59).
  33-34. Auf Ebenen, die tangential zu Flächen sind, die durch außerhalb dieser Flächen definierte Punkte verlaufen (62).
  35-44. Auf einer Ebene, die die Oberfläche einer oder mehrerer Kugeln tangiert. Bemerkenswerte Eigenschaften von Kreis, Kugel, Kegelschnitten und gekrümmten Flächen zweiter Ordnung (Abb. 16-22) (65).
  45-47. Über die Tangente an die Flächen der Zylinder-, Kegel- und Rotationsfläche werden durch Punkte gezogen, die außerhalb dieser Flächen liegen (Abb. 23-25) (81).
  Abschnitt drei
  48. Über den Schnittpunkt gekrümmter Flächen. Definition von Doppelkrümmungskurven (89).
  49-50. Korrespondenz zwischen Operationen in der beschreibenden Geometrie und der Eliminierung von Unbekannten in der Algebra (90).
  51-56. Eine allgemeine Methode zur Bestimmung der Projektionen von Schnittlinien von Oberflächen. Modifikationen dieser Methode für einige Sonderfälle (Abb. 26) (92).
  57-58. Tangenten an die Schnittlinien der Flächen (98).
  59-83. Schnittpunkt von Flächen: zylindrisch, konisch usw. Diese Schnittpunkte werden in Fällen entwickelt, in denen einer auf den Flächen entwickelt wird, zu denen sie gehören (Abb. 27-35) (100).
  84-87. Robervals Methode zur Konstruktion einer Tangente an eine Kurve, die durch das Bewegungsgesetz des erzeugenden Punktes gegeben ist. Anwendung dieser Methode auf eine Ellipse und auf die Schnittlinie zweier Rotationsellipsoide mit gemeinsamem Brennpunkt (Abb. 36-37) (128).
  Abschnitt vier
  88-102. Anwendung von Oberflächenschnittpunkten zur Lösung verschiedener Probleme (Abb. 38-42) (132).
  Abschnitt fünf
  103-109. Über Flach- und Doppelkrümmungskurven, über ihre Evoluten, Evolventen und Krümmungsradien (fng.43-45) (156).
  110-112. Über die Oberfläche, die der geometrische Ort der Evoluten einer Kurve mit doppelter Krümmung ist; eine bemerkenswerte Eigenschaft der auf dieser Oberfläche untersuchten Evoluten. Bildung einer beliebigen Kurve mit doppelter Krümmung durch kontinuierliche Bewegung (163).
  113-124. Über gekrümmte Oberflächen. Beweis des Satzes: „Jede Fläche hat an jedem Punkt nur zwei Krümmungen; Jede Krümmung hat ihre eigene Richtung, ihren eigenen Radius, und die beiden Bögen, entlang derer diese Krümmungen gemessen werden, stehen auf der Oberfläche senkrecht zueinander (Abb. 46-48) (166).
  125-129. Über die Krümmungslinien einer beliebigen Oberfläche, über ihre Krümmungsmittelpunkte und über die Oberfläche, die ihre geometrische Lage darstellt. Anwendung auf die Einteilung von Gewölben in Keilsteine ​​und auf die Gravurkunst (Abb. 49) (176).
  130-131. Gewölbesteine ​​schneiden (180).
  Schattentheorie
  132. Über die Vorteile der Anwendung von Schatten auf Diagrammen (187).
  133-135. Über die Konstruktion von Schatten (Abb. 50-52) (189).
  PERSPEKTIVE THEORIE
  136-139 Methoden zur perspektivischen Darstellung von Objekten (Abb. 53) (212).
  140-142. Zur Bestimmung von Farbtönen in der Darstellung von Gegenständen und zur Luftperspektive (223).
  143. Über Farbveränderungen unter bestimmten Umständen (233).
  ANWENDUNGEN
  DI. Bilder. Gaspard Monge und seine „Descriptive Geometry“ (245).
  BIN. Lukomskaja. Liste der Werke und Literatur zum Leben und Werk von Gaspard Monge (258).
  Anmerkungen (271).

Seit der Antike wurden nach und nach Informationen und Konstruktionsmethoden angesammelt, die durch das Bedürfnis nach flachen Bildern räumlicher Formen bestimmt wurden. Flache Bilder wurden lange Zeit hauptsächlich als visuelle Bilder aufgeführt. Mit der Entwicklung der Technologie stellt sich die Frage nach der Verwendung einer Methode, die die Genauigkeit und Messbarkeit von Bildern gewährleistet, d. h. die Fähigkeit, die Lage jedes Bildpunkts relativ zu anderen Punkten oder Ebenen genau zu bestimmen und mit einfachen Techniken zu bestimmen Die Größe von Linien- und Figurensegmenten ist von größter Bedeutung geworden. Nach und nach wurden die gesammelten Einzelregeln und Techniken zur Konstruktion solcher Bilder in dem 1799 unter dem Titel „Géometrie déscriptive“ veröffentlichten Werk des französischen Wissenschaftlers Monge zu einem System zusammengeführt und weiterentwickelt.

Gaspard Monge (1746–1818) ging als bedeutender französischer Geometer des späten 18. und frühen 19. Jahrhunderts, Ingenieur, Persönlichkeit des öffentlichen Lebens und Staatsmann während der Revolution von 1789–1794 in die Geschichte ein. und die Regierungszeit von Napoleon I., einem der Gründer der berühmten Ecole Polytechnique in Paris, Teilnehmer an der Arbeit zur Einführung des metrischen Gewichts- und Maßsystems. Als einer der Minister der revolutionären Regierung Frankreichs tat Monge viel, um das Land vor ausländischer Intervention zu schützen und den Sieg der Revolutionstruppen zu sichern. Monge hatte nicht sofort die Gelegenheit, seine Arbeit zu veröffentlichen, in der er die von ihm entwickelte Methode darlegte. Angesichts der großen praktischen Bedeutung dieser Methode für die Anfertigung von Zeichnungen von Objekten von militärischer Bedeutung und weil sie nicht wollte, dass Monges Methode über die Grenzen Frankreichs hinaus bekannt wird, verbot die französische Regierung den Druck des Buches. Erst Ende des 18. Jahrhunderts wurde dieses Verbot aufgehoben. Nach der Bourbonen-Restauration wurde Gaspard Monge verfolgt, gezwungen, sich zu verstecken und beendete sein Leben in Armut. Die von Monge beschriebene Methode ist Parallelprojektionsverfahren (rechteckige Projektionen werden auf zwei zueinander senkrechte Projektionsebenen aufgenommen)- Die Gewährleistung der Ausdruckskraft, Genauigkeit und Messbarkeit von Bildern von Objekten auf einer Ebene war und ist die Hauptmethode zur Erstellung technischer Zeichnungen.

Wort rechteckig oft durch das Wort ersetzt senkrecht, gebildet aus den altgriechischen Wörtern „gerade“ und „Winkel“. In der folgenden Darstellung wird der Begriff orthogonale Projektionen wird verwendet, um ein System rechteckiger Projektionen auf zueinander senkrechten Ebenen zu bezeichnen.

Dieser Kurs konzentriert sich hauptsächlich auf rechteckige Projektionen. Bei der Verwendung paralleler Schrägprojektionen wird dies jeweils angegeben.

Die beschreibende Geometrie (DGE) ist in unserem Land seit 1810 Gegenstand des Unterrichts, als am neu gegründeten Institut des Corps of Railway Engineers der Unterricht in beschreibender Geometrie zusammen mit anderen Disziplinen des Lehrplans begann. Der Grund hierfür liegt in der immer größer werdenden praktischen Bedeutung.

Am Institut des Korps der Eisenbahningenieure 1) fand die Lehrtätigkeit von Jakow Alexandrowitsch Sewastjanow (1796–1849) statt, der 1814 an diesem Institut seinen Abschluss machte und unter dessen Namen die ersten Werke zur modernen Literatur in Russland erschienen sind damit verbundenen. B., zuerst aus dem Französischen übersetzt, und dann das erste Originalwerk mit dem Titel „Grundlagen der beschreibenden Geometrie“ (1821), das sich hauptsächlich der Darstellung der Methode der orthogonalen Projektionen widmete.

1) Jetzt ist das Leningrader Institut für Eisenbahningenieure nach ihm benannt. Akademiker V.N. Obraztsov.

Ya. A. Sevastyanov hielt Vorlesungen auf Russisch, obwohl der Unterricht in diesen Jahren im Allgemeinen auf Französisch stattfand. Damit legte Ya. A. Sevastyanov den Grundstein für die Lehre und Etablierung der Terminologie in der Neuzeit. in ihrer Muttersprache. Schon zu Lebzeiten von Ya. A. Sevastyanov n. wurde in die Lehrpläne einer Reihe ziviler und militärischer Bildungseinrichtungen aufgenommen.

Ein wichtiger Meilenstein in der Entwicklung der Neuzeit. Im 19. Jahrhundert waren es Nikolai Iwanowitsch Makarow (1824–1904), der dieses Fach am St. Petersburger Technologischen Institut lehrte, und Valerian Iwanowitsch Kurdyumow (1853–1904), der als Professor am St. Petersburger Institut für Eisenbahningenieure tätig war in der Abteilung für Baukunst, in Russland der Kurs Nr. d. In seiner Lehrpraxis gibt V.I. Kurdyumov zahlreiche Beispiele für die Verwendung von n. zur Lösung technischer Probleme.

Die Aktivitäten und Werke von V.I. Kurdyumov schienen die fast hundertjährige Entwicklung der modernen Wissenschaft zu beenden. und seine Lehre in Russland. In dieser Zeit wurde der Organisation des Unterrichts, der Erstellung von Werken, die als Lehrbücher dienen sollten, und der Entwicklung verbesserter Techniken und Methoden zur Lösung einer Reihe von Problemen größte Aufmerksamkeit gewidmet. Dies waren bedeutende und notwendige Momente in der Entwicklung des Unterrichts. G.; Allerdings blieb seine wissenschaftliche Entwicklung hinter den Fortschritten bei den Methoden zur Darstellung des Themas zurück. Erst in den Werken von V.I. Kurdyumov fand die Theorie eine lebendigere Reflexion. Inzwischen in einigen fremden Ländern im 19. Jahrhundert n. Chr. hat bereits eine bedeutende wissenschaftliche Entwicklung erfahren. Offensichtlich, um den Rückstand zu beseitigen und den wissenschaftlichen Inhalt von N. weiterzuentwickeln. d. Es war notwendig, seine theoretischen Grundlagen zu erweitern und sich der Forschungsarbeit zuzuwenden.

Dies zeigt sich in den Werken und Aktivitäten von Evgraf Stepanovich Fedorov (1853 - 1919), dem berühmten russischen Wissenschaftler, Geometer-Kristallographen, und Nikolai Alekseevich Rynin (1877-1942), der bereits in den letzten Jahren vor der Großen Sozialistischen Oktoberrevolution tätig war wandte sich der Entwicklung der beschreibenden Geometrie als Wissenschaften zu. Bis heute hat die beschreibende Geometrie als Wissenschaft in den Werken der sowjetischen Wissenschaftler N. A. Glagolev (1888-1945), A. I. Dobryakov (1895-1947), D. D. Mordukhai-Boltovsky (1876-1952) und M. Y. Gromova eine bedeutende Entwicklung erfahren (1884-1963), S. M. Kolotov (1885-1965), N. F. Chetverukhin (1891-1974), I. I. Kotov (1909-1976) und viele andere.

Fragen zu Kapitel I

1. Wie ist die Zentralprojektion eines Punktes aufgebaut?
2. Wann stellt die Zentralprojektion einer Geraden einen Punkt dar?
3. Welche Projektionsmethode nennt man Parallel?
4. Wie entsteht eine Parallelprojektion einer Geraden?
5. Kann die Parallelprojektion einer Geraden einen Punkt darstellen?
6. Wenn ein Punkt zu einer bestimmten Linie gehört, wie liegen dann ihre Projektionen zueinander?
7. In welchem ​​Fall wird bei der Parallelprojektion ein gerades Liniensegment auf seine natürliche Größe projiziert?
8. Was ist die Monge-Methode?
9. Wofür steht das Wort „orthogonal“?

Die Monge-Methode oder Projektionsmethode ist eine Methode der Parallelprojektion, bei der rechteckige Projektionen auf zwei zueinander senkrechten Projektionsebenen vorgenommen werden. Eine horizontal liegende Ebene wird als horizontale Projektionsebene (bezeichnet mit P1) bezeichnet, und eine vertikal liegende Ebene wird als Frontalebene der Projektionen (bezeichnet mit P2) bezeichnet.

Die Schnittlinie der Projektionsebenen wird Projektionsachse genannt. Die Projektionsachse unterteilt jede der Ebenen P1 und P2 in Halbebenen. Für diese Achse wird die Bezeichnung X verwendet (Abbildung 3). Abbildung 4 zeigt die Konstruktion von Projektionen eines bestimmten Punktes A im System P1, P2.

Abbildung 3 Abbildung 4

Die Projektion von Punkt A auf die horizontale Projektionsebene wird mithilfe eines Projektionsstrahls erhalten, der senkrecht zu P1 durch Punkt A gezogen wird, bis er diesen schneidet. Der Schnittpunkt wird als horizontale Projektion von Punkt A bezeichnet und mit A1 bezeichnet.

Die Frontalprojektion von Punkt A erhält man durch Kreuzung des durch Punkt A gezogenen Projektionsstrahls senkrecht zu P2 und wird mit A2 bezeichnet.

Sehr häufig werden auch Profilprojektionen von Punkten und Geraden berücksichtigt. Die Profilprojektionsebene (P3) liegt senkrecht zu beiden Projektionsebenen (Abbildung 5).

Die Schnittlinien der Projektionsebenen werden Projektionsachsen genannt. Insgesamt gibt es drei Achsen: OX-Achse, OU-Achse und OZ-Achse.

Abbildung 5 Abbildung 6

Wenn Punkt A auf alle drei Projektionsebenen projiziert wird, erhalten wir drei Projektionen von Punkt A – horizontal A1, frontal A2 und Profil A3 (Abbildung 6). Wenn Sie für Punkt A eine komplexe Zeichnung oder ein Monge-Diagramm (das ist dasselbe) erstellen müssen, muss das räumliche oder visuelle Bild in ein planares Bild umgewandelt werden. Abbildung 7 zeigt, wie sich die Projektionsebenen entfalten: Die Frontalebene bleibt an Ort und Stelle, die horizontale Ebene wird durch Drehen um 90 Grad um die OX-Achse transformiert, bis sie mit der Frontalebene ausgerichtet ist, und die Profilebene wird um 90 Grad nach rechts um die OZ gedreht Achse, bis sie mit der Frontalachse ausgerichtet ist. In diesem Fall scheint sich die Projektionsachse des Operationsverstärkers zu gabeln – sie ist an der Bildung der horizontalen Projektionsebene beteiligt und für die Profilebene der Projektionen notwendig.

Abbildung 7 Abbildung 8

Somit sieht das Diagramm des Punktes wie in Abbildung 8 aus. Darüber hinaus müssen Sie darauf achten, dass der Abstand von Punkt A zur Ebene P1 durch die Z-Koordinate ausgedrückt wird, ebenso wie der Abstand von Punkt A zur Ebene P2 durch die Y-Koordinate und zur Ebene P3 durch die X-Koordinate ausgedrückt werden.

Während des Direktoriums kam er Napoleon nahe, nahm an seinem Feldzug in Ägypten und der Gründung des Ägyptischen Instituts in Kairo (1798) teil; wurde zum Zählen erhoben.

Monge Gaspard (10.5.1746-28.7.1818) – französischer Geometer und Persönlichkeit des öffentlichen Lebens, Mitglied der Pariser Akademie der Wissenschaften (1780). Schöpfer der darstellenden Geometrie, einer der Organisatoren der Ecole Polytechnique in Paris und deren langjähriger Direktor. Geboren in Bon Cote d'0r. Absolvent der Schule für Militäringenieure in Mézières. Ab 1768 war er Professor für Mathematik an dieser Schule. Ab 1780 lehrte er Hydraulik an der Louvre-Schule ). Er beschäftigte sich mit mathematischer Analyse, Chemie, Meteorologie und praktischer Mechanik. Während der französischen bürgerlichen Revolution arbeitete er an der Kommission zur Einführung eines neuen Gewichts- und Maßsystems, dann war er Minister für Marineangelegenheiten und Organisator der nationalen Während des Direktoriums kam er Napoleon nahe, beteiligte sich an seinem Feldzug in Ägypten und erlangte bei seiner Gründung in Kairo weltweite Anerkennung, indem er (in den 70er Jahren) moderne Methoden des Projektionszeichnens schuf - Beschreibende Geometrie. Monges Hauptwerk zu diesen Themen war „Beschreibende Geometrie“. Monges erste Arbeiten zu Oberflächengleichungen wurden 1770 und 1773 veröffentlicht Gleichungen verschiedener Oberflächen wurden veröffentlicht. Im Jahr 1804 erschien das Buch „Application of Analysis in Geometry“. Darin betrachtete Monge zylindrische und konische Flächen, die durch die Bewegung einer horizontalen Linie durch eine feste vertikale Linie entstehen, Flächen von „Kanälen“, Flächen, in denen die Linien mit der größten Steigung überall einen konstanten Winkel mit der horizontalen Ebene bilden; Übertragungsflächen usw. Als Anhang zum Buch gab Monge seine Theorie der Integration partieller Differentialgleichungen 1. Ordnung und seine Lösung für das Problem der Saitenschwingung. Für jeden Oberflächentyp habe ich zunächst eine Differentialgleichung und dann eine endliche Gleichung abgeleitet. Der erste bezeichnete die Buchstaben p und q für die partiellen Ableitungen von z nach x und y und die Buchstaben r, s und t für die Ableitungen 2. Ordnung.