Definition von parallelen Linien. Parallel sind zwei Geraden, die in einer Ebene liegen und sich auf ihrer ganzen Länge nicht schneiden.

Gerade Linien AB und CD (Abb. 57) werden parallel sein. Die Tatsache, dass sie parallel sind, wird manchmal schriftlich ausgedrückt: AB || CD.

Satz 34. Zwei Geraden senkrecht auf dasselbe Drittel sind parallel.

Gegebene Geraden CD und EF senkrecht zu AB (Abb. 58)

CD ⊥ AB und EF ⊥ AB.

Es muss nachgewiesen werden, dass CD || EF.

Nachweisen. Wenn die Geraden CD und EF nicht parallel wären, würden sie sich an einem Punkt M schneiden. In diesem Fall würden zwei Senkrechte vom Punkt M zur Geraden AB fallen, was unmöglich ist (Satz 11), daher die Gerade CD || EF (CHTD).

Satz 35. Zwei Geraden, von denen die eine senkrecht und die andere schräg zu einer dritten steht, schneiden sich immer.

Gegeben seien zwei Geraden EF und CG, von denen EF ⊥ AB und CG schräg zu AB steht (Abb. 59).

Es muss nachgewiesen werden, dass CG die Linie EF trifft oder dass CG nicht parallel zu EF verläuft.

Nachweisen. Vom Punkt C stellen wir die senkrechte CD zur Linie AB wieder her, dann wird am Punkt C ein Winkel DCG gebildet, den wir so oft wiederholen werden, bis die Linie CK unter die Linie AB fällt. Angenommen, wir wiederholen dazu den Winkel DCG n-mal, as

Auf ähnliche Weise zeichnen wir die Linie CE ebenfalls n-mal auf die Linie AB, so dass CN = nCE.

Aus den Punkten C, E, L, M, N konstruieren wir die Senkrechten LL", MM", NN". Der Abstand zwischen zwei parallelen Segmenten CD, NN" und dem Segment CN ist n-mal größer als der Abstand zwischen zwei Senkrechten CD , EF und Segment CE, also DCNN" = nDCEF.

Der vom Winkel DCK eingeschlossene Raum enthält den Raum DCNN", also

DCK > CDNN" oder
nDCG > nDCEF, woher
DCG > DCEF.

Die letzte Ungleichung kann nur stattfinden, wenn die Linie CG während ihrer Fortsetzung den DCEF-Raum verlässt, d. h. wenn die Linie CG auf die Linie EF trifft, daher ist die Linie CG nicht parallel zu CF (PTD).

Satz 36. Eine Linie, die senkrecht zu einer der Parallelen steht, ist auch senkrecht zur anderen.

Gegeben sind zwei parallele Linien AB und CD und eine Linie EF senkrecht zu CD (Abb. 60).

AB || CD, EF ⊥ CD

Es muss gezeigt werden, dass EF ⊥ AB.

Nachweisen. Wenn Gerade AB schräg zu EF wäre, dann würden sich zwei Geraden CD und AB schneiden, weil CD ⊥ EF und AB schräg zu EF ist (Satz 35), und die Geraden AB und CD nicht parallel wären, was dieser Bedingung widersprechen würde, also die Linie EF ist senkrecht zu CD (PTD).

Winkel, die durch den Schnittpunkt zweier Linien mit einer dritten Linie gebildet werden. Am Schnittpunkt zweier Geraden AB und CD mit der dritten Geraden EF (Abb. 61) werden acht Winkel α, β, γ, δ, λ, μ, ν, ρ gebildet. Diese Ecken erhalten spezielle Namen.

Die vier Winkel α, β, ν und ρ werden genannt extern.

Die vier Winkel γ, δ, λ, μ heißen intern.

Die vier Winkel β, γ, μ, ν und die vier Winkel α, δ, λ, ρ werden genannt einseitig, weil sie auf einer Seite der Geraden EF liegen.

Darüber hinaus erhalten die Winkel, wenn sie paarweise aufgenommen werden, die folgenden Namen:

Die Winkel β und μ werden genannt relevant . Zusätzlich zu diesem Paar sind die gleichen entsprechenden Winkel Winkelpaare:γ und ν, α und λ, δ und ρ.

Die Winkelpaare δ und μ, sowie γ und λ werden genannt innen querliegend .

Als Winkelpaare werden β und ρ, sowie α und ν bezeichnet außen querliegend .

Als Winkelpaare werden γ und μ, sowie δ und λ bezeichnet intern einseitig .

Als Winkelpaare werden β und ν, sowie α und ρ bezeichnet äußerlich einseitig .

Bedingungen für die Parallelität zweier Linien

Satz 37. Zwei Geraden sind parallel, wenn sie am Schnittpunkt ihrer dritten gleich sind: 1) die entsprechenden Winkel, 2) innere Überkreuzung, 3) äußere Überkreuzung und schließlich, wenn 4) die Summe der inneren -seitig gleich zwei Geraden, 5) die Summe der äußeren einseitigen gleich zwei Geraden.

Lassen Sie uns jeden dieser Teile des Theorems einzeln beweisen.

1. Fall. Die entsprechenden Winkel sind(Abb. 62).

Gegeben. Die Winkel β und μ sind gleich.

Nachweisen. Wenn sich die Geraden AB und CD im Punkt Q schneiden, dann ergäbe sich das Dreieck GQH, in dem der Außenwinkel β gleich dem Innenwinkel μ wäre, was Satz 22 widersprechen würde, also die Geraden AB und CD nicht schneiden oder AB || CD (ChTD).

2. Fall. Innere kreuzende Winkel sind gleich, also δ = μ.

Nachweisen. δ = β als Vertikal, δ = μ nach Annahme, also β = μ. Das heißt, die entsprechenden Winkel sind gleich, und in diesem Fall sind die Linien parallel (1. Fall).

3. Fall. Äußere kreuzende Winkel sind gleich, also β = ρ.

Nachweisen. β = ρ nach Bedingung, μ = ρ als Vertikal, also β = μ, da die entsprechenden Winkel gleich sind. Dies impliziert, dass AB || CD (1. Fall).

4. Fall. Die Summe der inneren Einseitigkeit ist gleich zwei Geraden oder γ + μ = 2d.

Nachweisen. β + γ = 2d als Summe benachbarter Einsen, γ + μ = 2d nach Annahme. Daher ist β + γ = γ + μ, womit β = μ. Die entsprechenden Winkel sind gleich, also AB || CD.

5. Fall. Die Summe der äußeren Einseiten ist gleich zwei geraden Linien, also β + ν = 2d.

Nachweisen. μ + ν = 2d als Summe benachbarter Einsen, β + ν = 2d nach Annahme. Daher ist μ + ν = β + ν, womit μ = β. Die entsprechenden Winkel sind gleich, also AB || CD.

Also in allen Fällen AB || CD (ChTD).

Satz 38(Rückseite 37). Wenn zwei Linien parallel sind, dann sind am Schnittpunkt ihrer dritten Linie gleich: 1) innere gekreuzte Winkel, 2) äußere gekreuzte Winkel, 3) die entsprechenden Winkel und sind gleich zwei geraden Linien 4) die Summe von innere einseitige und 5) die Summe der äußeren einseitigen Winkel.

Gegeben seien zwei parallele Geraden AB und CD, also AB || CD (Abb. 63).

Es muss nachgewiesen werden, dass alle oben genannten Voraussetzungen erfüllt sind.

1. Fall. Lassen Sie uns zwei parallele Linien AB und CD durch eine dritte schräge Linie EF schneiden. Bezeichnen Sie mit G und H die Schnittpunkte der Linien AB und CD der Linie EF. Vom Punkt O des Mittelpunkts der Linie GH lassen wir eine Senkrechte zur Linie CD fallen und setzen sie fort, bis sie die Linie AB am Punkt P schneidet. Die Linie OQ senkrecht zu CD ist auch senkrecht zu AB (Satz 36). Rechtwinklige Dreiecke OPG und OHQ sind gleich, weil OG = OH nach Konstruktion, ∠ HOQ= ∠ POG als Vertikalwinkel, also OP = OQ.

Daraus folgt δ = μ, d.h. innere kreuz liegende Winkel sind gleich.

2. Fall. Wenn AB || CD, dann δ = μ, und da δ = β und μ = ρ, dann β = ρ, d.h. Außenkreuzungswinkel sind gleich.

3. Fall. Wenn AB || CD, dann δ = μ, und da δ = β, dann β = μ, also entsprechende Winkel sind gleich.

4. Fall. Wenn AB || CD, dann δ = μ, und da δ + γ = 2d, dann μ + γ = 2d, d.h. Die Summe der inneren Einseitigkeit ist gleich zwei Geraden.

5. Fall. Wenn AB || CD, dann ist δ = μ.

Da μ + ν = 2d, μ = δ = β, also ν + β = 2d, d.h. die Summe der äußeren Einseiten ist gleich zwei Geraden.

Aus diesen Sätzen folgt Folge. Durch einen Punkt kann nur eine Linie parallel zu einer anderen Linie gezogen werden.

Satz 39. Zwei Linien parallel zu einer dritten sind parallel zueinander.

Gegeben drei Zeilen (Abb. 64) AB, CD und EF, davon AB || EF, CD || EF.

Es ist zu beweisen, dass AB || CD.

Nachweisen. Lassen Sie uns diese Linien mit der vierten Linie GH schneiden.

Wenn AB || EF also ∠ α = ∠ γ wie angemessen. Wenn CD || EF also ∠ β = ∠ γ sowie die entsprechenden. Somit, ∠ α = ∠ β .

Wenn die entsprechenden Winkel gleich sind, dann sind die Geraden parallel, also AB || CD (ChTD).

Satz 40. Gleichnamige Winkel mit parallelen Seiten sind gleich.

Bei gleichnamigen (beide spitzen oder beiden stumpfen) Winkeln ABC und DEF sind ihre Seiten parallel, d.h. AB || DE, BC || EF (Abb. 65).

Das ist nachzuweisen ∠ B= ∠ E.

Nachweisen. Wir setzen die Seite DE fort, bis sie die Linie BC am Punkt G schneidet, dann

∠ E = ∠ G entsprechend dem Schnittpunkt der Seiten parallel zu BC und EF der dritten Linie DG.

∠B = ∠ G entspricht dem Schnittpunkt der parallelen Seiten AB und DG der Linie BC, daher

∠ E = ∠ B (RTD).

Satz 41. Gegenüberliegende Winkel mit parallelen Seiten ergänzen sich zu zwei Geraden.

Bei zwei gegenüberliegenden Winkeln ABC und DEF (Abb. 66) mit parallelen Seiten, also AB || DE und BC || EF.

Es muss gezeigt werden, dass ABC + DEF = 2d.

Nachweisen. Wir setzen die Linie DE fort, bis sie die Linie BC am Punkt G schneidet.

∠B+ ∠ DGB = 2d als Summe der inneren einseitigen Winkel, die durch den Schnittpunkt der Parallelen AB und DG der dritten Linie BC gebildet werden.

∠ DGB = ∠ DEF entsprechend, also

∠B+ ∠ DEF = 2d (PTD).

Satz 42. Gleiche Winkel mit senkrechten Seiten sind gleich und gegenüberliegende Winkel ergänzen sich zu zwei Geraden.

Betrachten Sie zwei Fälle: Wenn A) die Winkel den gleichen Namen haben und wenn B) sie entgegengesetzt sind.

1. Fall. Die Seiten zweier identischer Winkel DEF und ABC (Abb. 67) stehen senkrecht zueinander, d. h. DE ⊥ AB, EF ⊥ BC.

Es muss gezeigt werden, dass ∠ DEF = ∠ ABC.

Nachweisen. Zeichnen Sie die Linien BM und BN vom Punkt B parallel zu den Linien DE und EF, so dass

BM || DE, BN || EF.

Diese Linien stehen auch senkrecht auf den Seiten des gegebenen Winkels ABC, d.h.

BM ⊥ AB und BN ⊥ BC.

Als ∠ NBC = d, ∠ MBA = d, dann

∠NBC= ∠MBA(a)

Subtrahieren von beiden Seiten der Gleichheit (a) für den NBA-Winkel, finden wir

∠ MBN=∠ABC

Da die Winkel MBN und DEF denselben Namen haben und parallele Seiten haben, sind sie gleich (Satz 40).

∠ MBN = ∠DEF(b)

Gleichungen (a) und (b) implizieren die Gleichheit

∠ ABC = ∠ DEF (phd).

2. Fall. Winkel GED und ABC mit senkrechten Seiten sind entgegengesetzt.

Es ist zu beweisen, dass ∠ GED + ∠ ABC = 2d (Abb. 67).

Nachweisen. Die Summe der Winkel GED und DEF ist gleich zwei rechten Winkeln.

GED + DEF = 2d
DEF = ABC, also
GED + ABC = 2d (pthd).

Satz 43. Teile paralleler Linien zwischen anderen parallelen Linien sind gleich.

Gegeben sind vier Linien AB, BD, CD, AC (Abb. 68), davon AB || CD und BD || AC.

Es muss nachgewiesen werden, dass AB = CD und BD = AC.

Nachweisen. Wenn wir Punkt C mit Punkt B durch Segment BC verbinden, erhalten wir zwei gleiche Dreiecke ABC und BCD, weil

BC - gemeinsame Seite,

∠ α = ∠ β (als inneres Kreuz vom Schnittpunkt der parallelen Linien AB und CD der dritten Linie BC),

∠ γ = ∠ δ (als innere kreuzende Linien vom Schnittpunkt der parallelen Linien BD und AC der Linie BC).

Dreiecke haben also eine gleiche Seite und zwei darauf liegende gleiche Winkel.

Gegenüberliegende gleiche Winkel α und β sind gleiche Seiten AC und BD, und entgegengesetzte gleiche Winkel γ und δ sind gleiche Seiten AB und CD, daher

AC = BD, AB = CD (PTD).

Satz 44. Parallele Linien sind über ihre gesamte Länge gleich weit voneinander entfernt.

Der Abstand eines Punktes von einer Geraden wird durch die Länge der Senkrechten bestimmt, die von dem Punkt auf die Gerade fällt. Um den Abstand zweier beliebiger Punkte A und B parallel zu AB von CD zu bestimmen, lassen wir die Senkrechten AC und BD von den Punkten A und B fallen.

Wenn eine Linie AB parallel zu CD ist, sind die Liniensegmente AC und BD senkrecht zur Linie CD, dh AB || CD, AC ⊥ DC, BD ⊥ CD (Abb. 69).

Es muss nachgewiesen werden, dass AC = BD ist.

Nachweisen. Die Linien AC und BD, die beide senkrecht zu CD sind, sind parallel, und daher sind AC und BD als Teile der Parallelen zwischen den Parallelen gleich, d.h. AC = BD (phd).

Satz 45(Rückseite 43). Wenn die gegenüberliegenden Teile von vier sich schneidenden Linien gleich sind, dann sind diese Teile parallel.

Gegeben sind vier sich schneidende Geraden, deren gegenüberliegende Teile gleich sind: AB = CD und BD = AC (Abb. 68).

Es ist zu beweisen, dass AB || CD und BD || AC.

Nachweisen. Verbinden Sie die Punkte B und C mit der Linie BC. Die Dreiecke ABC und BDC sind gleich, weil

BC - gemeinsame Seite,
AB = CD und BD = AC per Konvention.

Von hier

∠ α = ∠ β , ∠ γ = ∠ δ

Somit,

AC || BD, AB || CD (ChTD).

Satz 46. Die Winkelsumme eines Dreiecks ist gleich zwei rechten Winkeln.

Das Dreieck ABC ist gegeben (Abb. 70).

Es muss gezeigt werden, dass A + B + C = 2d.

Nachweisen. Zeichnen Sie eine Linie CF von Punkt C parallel zur Seite AB. Am Punkt C werden drei Winkel BCA, α und β gebildet. Ihre Summe ist gleich zwei Geraden:

BCA+ α + β = 2d

α = B (als innere kreuzende Winkel am Schnittpunkt der parallelen Linien AB und CF mit der Linie BC);

β = A (als die entsprechenden Winkel am Schnittpunkt der Linien AB und CF mit der Linie AD).

Ersetzen der Winkel α und β ihre Werte erhalten wir:

BCA + A + B = 2d (PhD).

Aus diesem Satz folgen die folgenden Folgerungen:

Folge 1. Der Außenwinkel eines Dreiecks ist gleich der Summe der nicht benachbarten Innenwinkel.

Nachweisen. In der Tat, aus Zeichnung 70,

∠BCD= ∠ α + ∠ β

Da ∠ α = ∠ B, dann ∠ β = ∠ A

∠BCD= ∠ A + ∠ B.

Folge 2. In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der spitzen Winkel gleich dem rechten Winkel.

In einem rechtwinkligen Dreieck (Abb. 40)

A + B + C = 2d, A = d, also
B + C = d.

Folge 3. Ein Dreieck kann nicht mehr als einen rechten oder einen stumpfen Winkel haben.

Folge 4. In einem gleichseitigen Dreieck beträgt jeder Winkel 2/3 d .

Allerdings in einem gleichseitigen Dreieck

A + B + C = 2d.

Da A = B = C, dann

3A=2d, A=2/3d.

111*. Zeichnen Sie eine Senkrechte von Punkt A zu der Ebene, die gegeben ist durch: a) Dreieck BCD (Abb. 109, a); b) Spuren (Abb. 109.6); c) Dreieck BCD (Abb. 109, c). Konstruieren Sie in allen Fällen die Basis der Senkrechten auf einer gegebenen Ebene.

Lösung a) Durch Punkt B (Abb. 109, d) zeichnen wir die Frontalseite B-1 einer bestimmten Ebene und durch Punkt D - die Horizontale D-2. Vorderseite. Die Projektion der gewünschten Senkrechten verläuft durch eine "Senkrechte zu b" 1 "und die Horizontale - durch eine Senkrechte zu d-2. Die Basis der Senkrechten (Abb. 109, e) ist als Schnittpunkt davon definiert senkrecht zur Ebene, schließen sie in eine horizontal projizierende Ebene R ein (wir setzen sie nach R h) und finden die Schnittgerade

der Schnittpunkt dieser Ebene mit der Ebene des Dreiecks ist die Gerade NM. Wir erhalten den Punkt k "- die Frontalprojektion der Basis der Senkrechten - und durch k" finden wir k.

b) In Abb. 109, e vorne. die Projektion der Senkrechten wird im rechten Winkel zur Spur P ϑ gezeichnet, und die horizontale Projektion steht im rechten Winkel zu P h . Um die Basis der Senkrechten zu bauen, schließen wir sie (Abb. 109, g) in der nach vorne ragenden Ebene R, wir bauen die Schnittlinie der Ebenen R und P - die gerade Linie MN. Wir bekommen Punkt k - den Horizont. Projektion der Basis der Senkrechten; daraus finden wir k.

c) Nachdem wir die horizontale B-1 gezeichnet haben (Abb. 109, a), sehen wir, dass diese gerade Linie parallel zur x-Achse verläuft. Daraus schließen wir, dass die Ebene des Dreiecks profilbildend ist. Daher ist die Senkrechte dazu ein gerades Profil.

Wir bilden die Profilprojektionen des Dreiecks und den Punkt A. Aus a "zeichnen wir eine Senkrechte auf c" d ". Punkt k" ist die Profilprojektion der Basis der Senkrechten. Mit k" finden wir k" und k auf den gleichnamigen Projektionen der gesuchten Senkrechten.

112. Finden Sie die Basen der von Punkt A gezogenen Senkrechten:

a) zu einer Ebene, die durch parallele Linien BC und DE definiert ist (Abb. 110, a);

b) zur Ebene der SCD-Fläche der SBCD-Pyramide (Abb. 110, b);

c) zur Ebene der Fläche SBD der Pyramide SBCD (Abb. 110, c).

113*. Konstruieren Sie auf der Ebene, die durch die parallelen Linien CD und EF gegeben ist, den Ort der Basen der Senkrechten, die von den Punkten der Linie AB zu dieser Ebene gezogen werden (Abb. 111, a)

Entscheidung. Der gewünschte Ort der Punkte ist (Abb. 111, b) die Schnittlinie der Ebenen K 1 K 2, 1) gegeben und 2) senkrecht dazu, gezeichnet durch die Gerade AB.

Wir führen (Abb. 111, c) in einer bestimmten Ebene das horizontale C-1 und das frontale C-2 durch. Vorderseite. die Projektionen der Senkrechten sind senkrecht zu c"2", und die horizontalen Projektionen sind zu c-1.

Um den gewünschten Ort der Punkte zu konstruieren, finden wir (rio. 111, d) die Punkte K 1 und K 2 des Schnittpunkts der gezeichneten Senkrechten mit einer gegebenen Ebene. Die Gerade K 1 K 2 ist die gesuchte Ortskurve.

114. Konstruieren Sie auf der durch das Dreieck CDE gegebenen Ebene den Ort der Basen der Senkrechten, die von den Punkten der Linie AB zu dieser Ebene gezogen werden (Abb. 112).

115*. Zeichnen Sie vom Scheitelpunkt A aus eine Senkrechte zur Ebene des Dreiecks ABC (Abb. 113, a) und legen Sie ein Segment der Länge l darauf.

Entscheidung. Um eine Senkrechte zu bauen, zeichnen wir (Abb. 113, 6) die horizontale Linie A-1 und die ausgefranste Linie A-2 der Ebene des Dreiecks; Vorderseite. die Projektion der Senkrechten ist senkrecht zu a"2", und die horizontale Projektion ist zu a-1.

Die weitere Konstruktion (Abb. 113, c) ähnelt der in Aufgabe 20 durchgeführten. Die Linien a "d" und ad sind Projektionen des gewünschten Segments.

Dieses Problem hat zwei Lösungen. Im zweiten Fall ist es notwendig, die Senkrechte zur anderen Seite der gegebenen Ebene fortzusetzen.

116. Zeichnen Sie vom Punkt D aus eine Senkrechte auf die Ebene, die durch die parallelen Linien AB und CD gegeben ist, und legen Sie darauf ein Segment der Länge l (Abb. 114).

117*. Konstruieren Sie die Ortskurve von Punkten im Abstand l von einer Ebene. Geben Sie eine Lösung für Fälle an, in denen die Ebene durch das Dreieck ABC (Abb. 115, a) oder Spuren (Abb. 115, b) gegeben ist.

Entscheidung. Die gesuchten Punkte sind zwei Ebenen, die parallel zur gegebenen liegen und sich zu beiden Seiten im Abstand l befinden.

Auf Abb. 115c zeigt eine solche Ebene. Um diese Ebene zu erstellen (Abb. 115, d), zeichnen wir eine Senkrechte von einem beliebigen Punkt dieser Ebene (z. B. C)

zur Ebene (achten Sie darauf, dass in einem gegebenen Dreieck die Seite AC eine Horizontale und BC eine Front ist) und legen Sie darauf ein Segment KS der Länge l beiseite. Dann zeichnen wir durch den Punkt K (Abb. 115, e) gerade Linien KN und KM, parallel mindestens zu den Seiten BC und AC des Dreiecks ABC.

Wenn die Ebene durch Spuren gegeben ist (Abb. 115, b), ist es zweckmäßig, einen Punkt auf einer der Spuren zu nehmen. Auf Abb. 115, e, wird ein Punkt N auf der Spur P θ genommen. Zeichnen Sie von diesem Punkt aus senkrecht zum Quadrat. P und indem wir darauf ein Segment gleich l beiseite legen, zeichnen wir durch den Punkt K (Abb. 1 \ 5, g) die horizontale CD und die frontale AB der gewünschten Ebene

118. Konstruieren Sie den Ort der vom Quadrat entfernten Punkte. P (Abb. 116) in einem Abstand l. Geben Sie zwei Lösungen an.

119*. Zeichnen Sie eine Senkrechte zur Linie BC von ihrem Punkt A, bis sie die Linie EF schneidet (Abb. 117, a).

Entscheidung. Der Ort der Senkrechten zur Linie BC, gezeichnet vom Punkt A, ist quadratisch. P durch Punkt A senkrecht zur Geraden BC (Abb. 117, b). Der Schnittpunkt K dieser Ebene mit der Linie EF ist der Schnittpunkt der gewünschten Senkrechten mit der Linie EF.

in Abb. 117, in setzen wir eine Ebene senkrecht zu BC, frontalem AM und horizontalem AN. Wir bestimmen den Schnittpunkt K der Geraden EF mit dieser Ebene (Abb. 117, d), wobei wir EF in der nach vorne ragenden Ebene R einschließen (als Spur R ϑ setzen); k"a" und ka - Projektionen der gewünschten Senkrechten.

120. Zeichnen Sie eine Senkrechte vom Punkt A zur Linie BC, bis sie die Linie EF schneidet (Abb. 118).

121*. Zeichnen Sie eine Linie durch Punkt A, die die Linien BC und ED schneidet (Abb. 119, a).

Entscheidung. Der Ort der Linien, die durch den Punkt A gehen und die Linie ED schneiden, ist die durch diese Elemente definierte Ebene (Abb. 119, b). Wenn wir ein solches Flugzeug bauen und den Schnittpunkt K mit der zweiten Linie (BC) finden, verläuft die gewünschte Linie durch die Punkte A und K. Eine solche Konstruktion wird in Abb. 1 ausgeführt. 119, c und 119, d, wobei zuerst die durch den Punkt A und die Linie ED definierte Ebene durch das Dreieck AED ausgedrückt wird, und dann der Punkt K der Schnittpunkt der zweiten Linie (BC) mit der Ebene dieses Dreiecks ist gefunden.

Die gesuchte Gerade verläuft durch die Punkte A und K und schneidet die Gerade ED im Punkt M (Abb. 119.6). Natürlich sollten bei der genauen Konstruktion der Projektion m und m "auf der Verbindungslinie m" m senkrecht zur x-Achse liegen.

Dieses Problem kann auf andere Weise gelöst werden: Nehmen Sie zwei Ebenen - eine definiert durch Punkt A und Linie ED (wie in Abb. 119, c) und die andere durch Punkt A und Linie BC. Die Schnittlinie dieser beiden Ebenen n ist die gewünschte gerade Linie, die durch den Punkt A verläuft und BC in ED schneidet,

122. Zeichnen Sie eine Linie durch Punkt A, die sich schneidet:

a) Kante SD und Seite BC der Basis der Pyramide SBCD (Abb. 120, a),

b) Kante BG und Seite EF der oberen Basis des Prismas (Abb. 120.6).

123*. Konstruieren Sie den Ort der Punkte, die von den Punkten A und B gleich weit entfernt sind (Abb. 121, a).

Entscheidung. Der gewünschte Ort ist eine Ebene, die durch den Mittelpunkt des Segments AB verläuft, das senkrecht dazu steht.

Wir teilen die Projektionen des Segments AB in zwei Hälften (Abb. 121, b). Durch die Mitte (Punkt C) ziehen wir die horizontale CD ⊥ AB und die frontale CE ⊥ AB (Abb. 121, c) der gewünschten Ebene. Um diese Ebene in Spuren auszudrücken, muss man die Achse der Projektionen angeben und mindestens eine Front konstruieren. horizontale Spur (Punkt N, Abb. 121, a) und durchziehen Sie die entsprechende Spur pl. p. Die Spur Ð ϑ ⊥ a"b", und die Spur P h ⊥ ab (oder || nñ).

124. Konstruieren Sie den Ort der Punkte, die von den Punkten A und B gleich weit entfernt sind (Abb. 122, a und b). Geben Sie im ersten Fall die Antwort ohne Spuren und im zweiten - in Spuren.

125*. Konstruieren Sie die fehlende Projektion von Punkt K in gleichem Abstand zu den Punkten A und B (Abb. 123, a).

Entscheidung. Da der Ort aller Punkte im Raum, die von den Punkten A und B gleich weit entfernt sind, eine Ebene ist, die durch den Mittelpunkt der dazu senkrechten Strecke AB geht, muss der Punkt K zu dieser Ebene gehören.

Auf Abb. 123b wird eine solche Ebene durch das frontale CE und das horizontale CD definiert, das durch die Mitte des Segments AB verläuft.

Wir zeichnen (Abb. 123, c) durch k "front. Projektion auf" 1 "horizontale Ebene und bauen ihre horizontale Projektion auf, auf der wir den Punkt k markieren - die gewünschte Projektion des Punktes K-

126. Konstruieren Sie die fehlende Projektion des Segments CD, dessen jeder Punkt gleich weit von den Punkten A und B entfernt ist (Abb. 124).

127*. Konstruieren Sie in der Ebene den Ort der Punkte, die von zwei gegebenen Punkten A und B gleich weit entfernt sind: a) Die Ebene ist durch parallele Linien gegeben (Abb. 125, a); b) die Ebene ist durch Spuren gegeben (Abb. 125, b).

Entscheidung. Da der Ort der Punkte, die von den Punkten A und B gleich weit entfernt sind, eine Ebene ist, die durch die Mitte des Segments AB verläuft, das senkrecht dazu steht (Abb. 125, c), ist der gewünschte Ort die Schnittlinie dieser Ebene mit der gegebenen ( Gerade MN).

Auf Abb. 125, d, die Ebene senkrecht zum Segment AB in seiner Mitte wird durch die frontale KS und die horizontale TS ausgedrückt.

Jetzt müssen wir die Schnittlinie zweier Ebenen finden, indem wir die Schnittpunkte der Linien DE und FG (Abb. 125, e) finden, die eine gegebene Ebene definieren, mit einer Ebene, die durch die Horizontale TS und ausgedrückt wird das frontale KS (siehe Aufgabe 86).

Auf Abb. 125, e Ebene Q, senkrecht zum Segment AB in seiner Mitte, wird durch Spuren ausgedrückt. Wir finden die Schnittpunkte M und N der gleichnamigen Spuren der Ebenen P und Q und ziehen die gewünschte Linie MN durch sie (Abb. 125, g).

128. Konstruieren Sie den Ort der Punkte, die von den Punkten A und B gleich weit entfernt sind:

a) auf der durch das Dreieck CDE definierten Ebene (Abb. 126, a);

b) auf dem Platz. P (Abb. 126, b).

129* Die Ebene des Dreiecks CDE und die Gerade AB sind gegeben (Abb. 127, a). Zeichnen Sie in dieser Ebene eine Linie, die AB rechtwinklig schneidet.

Entscheidung. Die gewünschte Linie wird sich als Schnittlinie der Ebene des Dreiecks (P) mit pl herausstellen (Abb. 127, b). Q, senkrecht zu AB und durch den Schnittpunkt (K) von AB mit einer gegebenen Ebene verlaufend.

Daher finden wir (Abb. 127, c) den Punkt K des Schnittpunkts der Geraden AB mit der Ebene des Dreiecks CDE. Als Hilfsebene wurde die durch die Gerade AB gezogene froialprojektive Ebene R genommen. Nachdem wir die Projektionen k und k gefunden haben, zeichnen wir durch sie die Projektionen der Horizontalen und der Vorderseite der Ebene senkrecht zu AB (Abb. 127, d). Um die gewünschte Schnittlinie der Ebenen zu konstruieren, finden wir (Abb . 127, e) der Punkt (m"; m) des Schnittpunkts des Seitendreiecks ED mit einer Ebene durch den Punkt K. Linie MK (m "k"; mk) ist die gewünschte Linie

130. Gegeben sei eine Linie AB und eine Ebene, die durch parallele Linien CD und EF definiert sei. Zeichnen Sie in dieser Ebene eine Gerade, die die Gerade AB im rechten Winkel schneidet (Abb. 128).

131. Gegeben eine gerade Linie AB und pl. R. Zeichnen Sie in dieser Ebene eine gerade Linie, die die gerade Linie AB im rechten Winkel schneidet (Abb. 129).

132*. Gegeben seien die Ebene eines Dreiecks LMN und die Linien AE und FG. Konstruieren Sie ein Parallelogramm, dessen Seite AD auf der Linie AE liegt, die Seite AB parallel zur Ebene des Dreiecks ist, die Spitze B zur Linie FG gehört und die Diagonale BD senkrecht zur Seite AD steht (Abb. 130, a).

Entscheidung. Skizzieren wir einen Lösungsplan (Abb. 130, b und c).

1. Führen Sie durch Punkt A eine Ebene (P) parallel zur Ebene des Dreiecks LMN.

2. Finden Sie den Schnittpunkt (B) der Linie FG mit pl. R.

3. Zeichnen Sie durch Punkt B eine Ebene (Q) senkrecht zur Linie AE.

4. Finden Sie den Schnittpunkt (D) der Linie AE mit pl. Q.

5. Zeichnen Sie ein Segment AB und eine gerade Linie parallel dazu durch Punkt D und durch B - eine gerade Linie parallel zu AD.

Auf Abb. 130, c und d zeigt den Bau des Platzes. P parallel zur Ebene des Dreiecks LMN. Pl. P durch Punkt A ist durch zwei Schnittlinien A-1 und A-2 gegeben, von denen A-1 parallel zu LM und A-2 parallel zu LN ist.

Dieselben Figuren zeigen das Auffinden des Punktes B des Schnittpunkts der Linie FG mit pl. P, für die eine frontal projizierende Ebene S durch FG gezogen ist, gegeben durch die Spur S ϑ . Horizont. die Projektion 1-2 der Schnittlinie der Ebenen P und S schneidet den Horizont. Projektion fg am Punkt b. Vom Punkt b finden wir die Projektion von b" auf f"g".

Auf Abb. 130, d zeigt den Bau des Platzes. Q senkrecht zu AE. Diese Ebene wird durch den Punkt B gezogen und durch die horizontale B-4 und die frontale B-3 senkrecht zu AE ausgedrückt. Dieselbe Zeichnung zeigt die Konstruktion von Punkt D, in dem die Linie AE pl schneidet. Q ausgedrückt durch horizontales B-4 und frontales B-3.

Eine horizontal projizierende Ebene T wird durch AE gezogen, ausgedrückt durch ihre Spur T h , Projektionen 3-4 und 3"4" der Schnittlinie der Ebenen T und Q und Projektionen d" und d werden konstruiert.

Auf Abb. 130, e zeigt den Aufbau des gewünschten Parallelogramms, für das Vorsprünge a "b" und ab, a "d" und ad von zwei Seiten des Parallelogramms und dann b "c" || Anzeige"; vc || Anzeige; d"c" || a "b und dc || ab. Die Punkte c" und c müssen auf der Verbindungslinie cc" senkrecht zur x-Achse liegen.

133. Dreieck LMN und Linien AE und FG sind gegeben. Konstruieren Sie ein Parallelogramm, dessen Seite AD auf der Linie AE liegt, die Seite AB parallel zur Ebene des Dreiecks ist, die Spitze B zur Linie FG gehört, die Diagonale BD senkrecht zur Seite AD steht (Abb. 131).

134*. Ziehen Sie durch Punkt A eine Linie parallel zum Quadrat. P und die Ebene des Dreiecks CDE (Abb. 132, a).

Entscheidung. Wenn die gewünschte Linie gleichzeitig parallel zu zwei Ebenen sein muss, dann muss sie parallel zur Schnittlinie dieser Ebenen sein

(Reis, 132, b). Wenn wir zwei Hilfsebenen T und S einführen, finden wir die Schnittlinie der MN-Ebenen (Abb. 132, c). Die Projektionen der gewünschten Linie b "f" und bf gehen mit ihnen durch a" und a parallel zu den Projektionen der gleichnamigen Linie MN (Abb. 132, d).

i3s. Ziehen Sie durch Punkt A eine Linie parallel zum Quadrat. P und die durch die Schnittlinien DE und DF gegebene Ebene (Abb. 133).

136. Zeichnen Sie eine gerade Linie durch Punkt A parallel zum Quadrat. P und die durch parallele Linien DE und FG gegebene Ebene (Abb. 134).

137*. Zeichnen Sie gerade Linien, die jeweils vom Quadrat getrennt sind. P in einem Abstand l 1 und von der Ebene, die durch die gerade Linie BC und den Punkt A gegeben ist, in einem Abstand l 2 (Abb. 135, a).

Entscheidung. Die Lösung basiert auf der Idee des Ortes von geraden Linien, die von einer gegebenen Ebene um einen bestimmten Abstand beabstandet sind, d.h. von einer Ebene parallel zu der gegebenen.

Die gewünschten Linien sind die Linien MN des Schnittpunkts zweier Ebenen Q parallel zum Quadrat. P und befindet sich auf beiden Seiten davon in einem Abstand l 1, mit zwei

Ebenen S parallel zur zweiten der gegebenen Ebenen und von dieser um einen Abstand l 2 beabstandet. Insgesamt können vier solcher Zeilen vorhanden sein. Auf Abb. 135b zeigt eine davon.

Auf Abb. 135, c zeigt: 1) Zeichnen einer Senkrechten auf das Quadrat. P vom darin aufgenommenen Punkt M 1 und die Konstruktion des Punktes K 1 auf dieser Senkrechten in einem Abstand M 1 K 1 \u003d l 1; 2) Zeichnen einer Senkrechten zu der durch Punkt A gegebenen Ebene und einer geraden Linie BC von Punkt A (unter Verwendung der horizontalen Linie A-2 und der Frontlinie A-3) und Konstruieren von Punkt K 2 auf dieser Senkrechten in einem Abstand AK 2 \u003d l 2

Auf Abb. 135, d zeigt den Durchgang durch den Punkt K 1 pl.Q parallel zu pl. P und durch den Punkt der Ebene K 2, ausgedrückt durch die Horizontale K 2 5 bzw. die Frontalkante K 2 6, parallel zur Horizontalen A-2 und der Frontalkante A-3, die zu der durch die Punkte A und gegebenen Ebene gehören die Gerade BC.

Auf Abb. 135, d eine Schnittlinie von pl. Q und der Ebene S, ausgedrückt durch die horizontale K 2 5 und die frontale K 2 6. Die resultierende Linie MN ist parallel zu beiden gegebenen Ebenen.

138. Zeichnen Sie eine der geraden Linien im Abstand vom Quadrat. P im Abstand l 1 und von der Ebene des Dreiecks ABC im Abstand l 2 (Abb. 136).

139*. Zeichnen Sie eine Linie, die die angegebenen Linien AB und CD schneidet und parallel zur Linie EF verläuft (Abb. 137, a).

Entscheidung. Skizzieren wir einen Plan zur Lösung des Problems (Rn. 137, b).

1. Zeichnen Sie eine Ebene (Q) durch die Linie CD parallel zur Linie EF.

2. Finden Sie einen Punkt (K), an dem die Linie AB das Quadrat schneidet. Q.

3. Ziehe eine Linie (KM) durch den Punkt K parallel zur gegebenen Linie EF.

Auf Abb. 137, in der der Bau des Quadrats gezeigt wird. Q durch die Linie CD und die parallele Linie EF Pl. Q wird durch die Linie CD und die sie schneidende Linie DG ausgedrückt, die durch den Punkt D parallel zu EF gezogen wird.

Auf Abb. 137, c zeigt die Konstruktion des Punktes K, in dem die Gerade AB das Quadrat schneidet. Q. Die Linie AB ist in der frontal projizierten Ebene R eingeschlossen, ausgedrückt durch ihre Spur R ϑ . Pl. R überquert das Quadrat. Q in gerader Linie 1-2. Am Schnittpunkt von 1-2 und ab wird eine Projektion von k erhalten; am Punkt k finden wir die Front. Projektion k".

Schließlich in Abb. 137, d zeigt die Projektionen km und k "m" der gewünschten Linie: k "m" || e"f" und km || ef. Natürlich müssen die Projektionen m" und m auf der Verbindungslinie m" m senkrecht zur x-Achse erhalten werden.

140. Zeichnen Sie eine Linie, die die gegebenen Linien AB und CD schneidet und parallel zur Linie EF verläuft (Abb. 138).

141. Zeichnen Sie eine Linie, die die gegebenen Linien AB und CD schneidet, parallel zur Linie EF (Abb. 139).

142*. Gegebene Linien EF, MN, KL und HI. Konstruieren Sie ein Rechteck ABCD, in dem die Seite AB parallel zur Linie EF liegt, der Scheitelpunkt A auf der Linie KL liegt, der Scheitelpunkt B auf der Linie MN liegt und der Scheitelpunkt C auf der Linie HI liegt (Abb. 140, a).

Entscheidung. Seite AB muss KL und MN schneiden und parallel zu EF sein (siehe Aufgabe 139).

Zieht man (Abb. 140.6) mindestens durch den auf KL liegenden Punkt G eine Gerade parallel zu EF, so erhält man pl. Q parallel zu EF. Als nächstes müssen Sie den Punkt B des Schnittpunkts dieser Ebene mit der Linie MN finden und durch den Punkt B zum Quadrat ziehen. Q. Gerade Linie parallel zu EF. Diese Linie AB schneidet die Linien MN und KL und ist parallel zu EF.

Der Aufbau ist in Abb. 1 dargestellt. 140, c. Da die Seiten BC und AB senkrecht zueinander stehen müssen, zeichnen wir (Abb. 140, Führung) durch den Punkt B pl. P, senkrecht zur Seite AB, und bilde einen Punkt C seines Schnittpunkts mit der Linie HI.

Zeichnen Sie Linien durch die Punkte A und C (Abb. 140, d und e), parallel zu den Linien BC und AB, bis sie sich bei Punkt D schneiden.

143.. Gegeben Pyramide SEFG und Linie MN (Abb. 141). Konstruieren Sie ein Rechteck ABCD, dessen Seite AB parallel zur Linie MN liegt, der Scheitel A auf der Kante SF liegt, der Scheitel AB auf der Seite der Basis EG liegt und der Scheitel D auf der Kante SE liegt.

144. Pyramide SEFG und Linie MN sind angegeben (Abb. 142). Konstruieren Sie ein Rechteck ABCD, bei dem die Seite AB parallel zur Linie MN liegt, der Scheitelpunkt A auf der Kante SG liegt, der Scheitelpunkt B auf der Kante EF liegt und der Scheitelpunkt D auf der Kante SF liegt.

145*. Zeichnen Sie eine Linie durch Punkt A parallel zu der Ebene, die durch die parallelen Linien ED und FG gegeben ist und die Linie BC schneidet (Abb. 143, a).

Entscheidung. Sie können den folgenden Plan zur Lösung des Problems erstellen (Abb. 143, b):

1) zeichne eine Ebene (P) durch Punkt A parallel zu einer gegebenen Ebene;

2) Finden Sie den Punkt (K) des Schnittpunkts der Flugzeuge auf dem Quadrat. R;

3) Zeichnen Sie die gewünschte Linie AK.

Auf Abb. 143, in pl. P, gezeichnet durch Punkt A, wird durch eine gerade Linie AM || ausgedrückt ED (a "m" || e "d", am || ed) und horizontales AN, um den Horizont zu halten. dessen Projektionen

die horizontale E-1 wird in der Ebene aufgenommen, die durch die Linien ED und FG (an || ef) definiert ist. Auf Abb. 143, d zeigt die Konstruktion des Punktes K, in dem die gegebene Linie BC das Quadrat schneidet. R: eine frontal ragende Ebene wird durch das BC gezogen (es wird ausgedrückt

nach R ϑ) Projektionen 2 "3" und 2-3 der Schnittlinie der Ebenen P und R konstruiert werden, wird ein Punkt k am Schnittpunkt der Linie 2-3 und bс erhalten. Durch die Projektion k wird die Projektion k gefunden Projektionen der gewünschten Linie a "k" und ak.

146. Ziehen Sie durch Punkt A (Abb. 144) eine gerade Linie parallel zum Quadrat. P und Schnittlinie BC.

147. Zeichnen Sie eine Linie durch Punkt A (Abb. 145) parallel zu der Ebene, die durch die sich schneidenden Linien DE und DF gegeben ist und die Linie BC schneidet.

148*. Konstruieren Sie den Ort der Punkte, die von den gegebenen Punkten A, B und C gleich weit entfernt sind (Abb. 146, a).

Entscheidung. Der gewünschte geometrische Ort ist die Schnittlinie MN (Abb. 146, b) der Ebenen P bzw. Q, die senkrecht zu den Segmenten AB und BC verläuft und durch die Punkte K 1 und K 2 in den Mittelpunkten dieser Segmente verläuft. Auf Abb. 146, diese

die Ebenen werden durch ihre Spuren ausgedrückt. Unter Verwendung (Abb. 146, d) der Schnittpunkte der gleichnamigen Spuren der Ebenen erstellen wir die Linie ihres Schnittpunkts MN.

149. Konstruieren Sie den Ort der Punkte, die von den gegebenen Punkten A, B und C gleich weit entfernt sind (Abb. 147).

150*. Dreieck ABC ist gegeben (Abb. 148, a). Konstruieren Sie eine Pyramide SABC, deren Scheitelpunkt S gleich weit von den Punkten A, B und C entfernt ist. Der Abstand von Punkt S zum Quadrat. V ist das 1,7-fache seines Abstands zum Quadrat. N.

Entscheidung. Der Ort der Punkte, die von den Punkten A, B und C gleich weit entfernt sind (siehe Aufgabe 148 *), ist die Schnittlinie der MN-Ebenen Q und P, die durch die Mittelpunkte (K 1 und K 2) der senkrecht zu ihnen stehenden Strecken AB und BC gezogen wird (Abb. 148, b und c). Der Scheitelpunkt S muss auf dieser Linie liegen. Der Ort der Punkte, für die die Ordinate das 1,7-fache der Applikate ist, ist die axiale Ebene T; seine Profilspur T ω verläuft (Abb. 148, c) durch den Punkt O und den Punkt, dessen Abstand zu

die y-Achse beträgt 10 Einheiten und bis zur z-Achse 17 Einheiten. Der Punkt S gehört zu dieser Ebene. Die Profilprojektion s " der Spitze der Pyramide befindet sich am Schnittpunkt m" n " mit der Spur T ω (in der Figur wird zur Vereinfachung der Zeichnung die Profilprojektion des auf der Geraden MN liegenden Punktes D konstruiert ). Aus s" finden wir s " und s. In Abb. 148, d sind Projektionen der gewünschten Pyramide dargestellt.

151. Dreieck ABC ist gegeben (Abb. 149). Konstruieren Sie Projektionen der Pyramide SABC, deren Scheitelpunkt S von den Scheitelpunkten der Basis von ABC gleich weit entfernt ist und im Quadrat liegt. v.

152*. Die Punkte A, L, M und N sind angegeben (Abb. 150, a). Konstruieren Sie ein Parallelogramm ABCD, dessen Scheitelpunkt B auf dem Quadrat liegt. H, Seite CD - auf einer geraden Linie mit gleichem Abstand von den Punkten L, M und N, Scheitelpunkt D mit gleichem Abstand von den Ebenen V und H.

Entscheidung. Da die Seite CD des gewünschten Parallelogramms auf einer von den drei Punkten gleich weit entfernten Geraden liegen muss, beginnen wir mit der Konstruktion dieser Geraden. Eine ähnliche Konstruktion ist bereits bekannt: Die Gerade EF ergibt sich als Schnittlinie zweier Ebenen (Abb. 150, 6 und c) P und Q, die senkrecht zu den Strecken LM und MN durch ihre Mittelpunkte gezogen werden. Punkt D auf dieser Linie wird aus der Bedingung gefunden, dass

es ist gleich weit vom Quadrat entfernt. V und pl. H (Abb. 150, d): Wir ziehen eine Hilfslinie f "5 durch den Punkt f im gleichen Winkel zur x-Achse wie die gerade Linie f" e ", wir erhalten einen Punkt d auf der Projektion ef und entlang ihm d", außerdem d " 6 = d-6.

So erhalten wir einen der Eckpunkte des erforderlichen Parallelogramms (Punkt D) und die Richtung der Seite, die durch diesen Punkt verläuft (gerade Linie EF). Durchgehen des Gegebenen

Punkt A eine gerade Linie parallel zu EF ist, erhalten wir die Seite AB, da wir wissen, dass Punkt B aufgrund der Bedingung quadratisch sein muss. N.

Es bleibt noch, die Konstruktion der Projektionen des Parallelogramms zu vervollständigen, indem a "b" und ab gezeichnet werden (Abb. 150.6), b "c" || a"d" und bc || Anzeige. Die Punkte c" und c müssen auf der Kommunikationslinie mit" c senkrecht zur x-Achse liegen.

153. Die Punkte A, L, M und N sind gegeben (Abb. 151). Konstruieren Sie ein Parallelogramm ABCD, dessen Scheitelpunkt B auf dem Quadrat liegt. H, die Seite CD liegt auf einer geraden Linie, die von den Punkten L, M und N gleich weit entfernt ist, der Scheitelpunkt D ist von pl gleich weit entfernt. V und pl.H

154. Dreieck ABC ist gegeben (Abb. 152). Konstruieren Sie Projektionen der Pyramide SABC, deren Scheitelpunkt S von den Punkten A, B und C gleich weit entfernt und vom Quadrat gleich weit entfernt ist. V und pl. H.

Schnittpunkt einer Linie mit einer Ebene und Schnittpunkt zweier Ebenen

Konstruktion des Schnittpunktes einer Geraden mit einer Projektionsebene reduziert sich darauf, eine zweite Projektion eines Punktes auf dem Diagramm zu konstruieren, da eine Projektion eines Punktes immer auf der Spur der Projektionsebene liegt, weil alles, was in der Projektionsebene ist, auf eine der Spuren der Ebene projiziert wird. Auf Abb. 224,a zeigt die Konstruktion des Schnittpunktes der Geraden EF mit der Frontprojektionsebene des Dreiecks ABC (senkrecht zur Ebene V) Auf die Ebene V wird das Dreieck ABC in die Strecke a „c“ projiziert der geraden Linie, und der Punkt k " liegt ebenfalls auf dieser Linie und befindet sich am Schnittpunkt von e "f" mit einem "c". Eine horizontale Projektion wird unter Verwendung einer Projektionsverbindungslinie erstellt. Die Sichtbarkeit von a Gerade relativ zur Ebene des Dreiecks ABC wird durch die relative Lage der Projektionen des Dreiecks ABC und der Geraden EF auf die Ebene V bestimmt. Die Blickrichtung in Abb. 224, a ist durch einen Pfeil angedeutet der Geraden, deren Frontalprojektion über der Projektion des Dreiecks liegt, sichtbar. Links vom Punkt k " liegt die Projektion der Geraden über der Projektion des Dreiecks, daher ist dieser Abschnitt sichtbar in der H-Ebene.

Auf Abb. 224, b, die gerade Linie EF schneidet die horizontale Ebene P. Die Frontalprojektion k "des Punktes K - der Schnittpunkt der geraden Linie EF mit der Ebene P - wird am Schnittpunkt der Projektion e sein" f " mit der Spur der Ebene Pv, da die horizontale Ebene eine Frontprojektionsebene ist. Die horizontale Projektion k des Punktes K wird unter Verwendung der Projektionsverbindungslinie gefunden.

Konstruktion einer Schnittlinie zweier Ebenen wird darauf reduziert, zwei Punkte zu finden, die diesen beiden Ebenen gemeinsam sind. Dies reicht aus, um eine Schnittlinie zu konstruieren, da die Schnittlinie eine gerade Linie ist und eine gerade Linie durch zwei Punkte definiert ist. Wenn eine Projektionsebene eine Ebene in allgemeiner Position schneidet, fällt eine der Projektionen der Schnittlinie mit der Spur der Ebene zusammen, die sich in der Projektionsebene befindet, zu der die Projektionsebene senkrecht ist. Auf Abb. 225, und die Frontalprojektion m "n" der Schnittlinie MN fällt mit der Spur Pv der Frontprojektionsebene P zusammen, und in FIG. In 225b fällt die horizontale Projektion k1 mit der Spur der horizontal projizierenden Ebene R zusammen. Andere Projektionen der Schnittlinie werden unter Verwendung von Projektionsverbindungslinien konstruiert.

Konstruktion des Schnittpunktes einer Geraden mit einer Ebene allgemeine Position (Abb. 226, a) wird unter Verwendung einer Hilfsprojektionsebene R durchgeführt, die durch eine gegebene gerade Linie EF gezogen wird. Eine Schnittlinie 12 der Hilfsebene R mit einer gegebenen Ebene des Dreiecks ABC wird gebaut, zwei gerade Linien werden in der Ebene R erhalten: EF - eine gegebene Linie und 12 - eine konstruierte Schnittlinie, die sich am Punkt K schneiden .

Das Auffinden der Projektionen des Punktes K ist in Abb. 1 dargestellt. 226b. Konstruktionen werden in der folgenden Reihenfolge durchgeführt.

Durch die Gerade EF ist eine horizontale Hilfsprojektionsebene R gezogen, deren Verlauf R H mit der horizontalen Projektion ef der Geraden EF zusammenfällt.

Eine Frontalprojektion 1"2" der Schnittlinie 12 der Ebene R mit der gegebenen Ebene des Dreiecks ABC wird unter Verwendung von Projektionslinien aufgebaut, da die horizontale Projektion der Schnittlinie bekannt ist. Sie fällt mit der horizontalen Spur R H der Ebene R zusammen.

Es wird die Frontalprojektion k" des gewünschten Punktes K bestimmt, der sich im Schnittpunkt der Frontalprojektion dieser Geraden mit der Projektion 1"2" der Schnittlinie befindet. Die Horizontalprojektion des Punktes wird mit einer Projektion konstruiert Verbindungsleitung.

Die Sichtbarkeit einer Linie in Bezug auf die Ebene des Dreiecks ABC wird durch die Methode der konkurrierenden Punkte bestimmt. Um die Sichtbarkeit einer geraden Linie auf der Frontalprojektionsebene zu bestimmen (Abb. 226, b), vergleichen wir die Y-Koordinaten der Punkte 3 und 4, deren Frontalprojektionen zusammenfallen. Die Y-Koordinate des Punktes 3, der auf der Linie BC liegt, ist kleiner als die Y-Koordinate des Punktes 4, der auf der Linie EF liegt. Somit liegt Punkt 4 näher am Betrachter (die Blickrichtung ist durch einen Pfeil angedeutet) und die Projektion der Geraden auf die sichtbare Ebene V abgebildet. Die Linie verläuft vor dem Dreieck. Links vom Punkt K" wird die Gerade durch die Ebene des Dreiecks ABC geschlossen.

Die Sichtbarkeit auf der horizontalen Projektionsebene wird durch Vergleich der Z-Koordinaten der Punkte 1 und 5 gezeigt. Da Z 1 > Z 5 ist, ist Punkt 1 sichtbar. Daher ist rechts vom Punkt 1 (bis zum Punkt K) die Linie EF unsichtbar.

Um eine Schnittlinie zweier Ebenen in allgemeiner Position zu konstruieren, werden Hilfssektantenebenen verwendet. Dies ist in Abb. 1 dargestellt. 227 ein. Eine Ebene ist durch das Dreieck ABC gegeben, die andere durch die parallelen Linien EF und MN. Die angegebenen Ebenen (Abb. 227, a) werden von der dritten Hilfsebene gekreuzt. Zur Erleichterung der Konstruktion werden horizontale oder frontale Ebenen als Hilfsebenen genommen. BEIM dieser Fall die Hilfsebene R ist die horizontale Ebene. Sie schneidet die gegebenen Ebenen entlang der Geraden 12 und 34, die am Schnittpunkt den Punkt K ergeben, der zu allen drei Ebenen gehört und folglich zu zwei gegebenen, d. h. auf der Schnittlinie der gegebenen Ebenen liegt. Der zweite Punkt wird mit Hilfe der zweiten Hilfsebene Q gefunden. Die beiden gefundenen Punkte K und L bestimmen die Schnittlinie der beiden Ebenen.

Auf Abb. 227b ist die Hilfsebene R durch den frontalen Nachlauf gegeben. Die Frontalprojektionen der Schnittlinien 1 "2" und 3"4 der Ebene R mit den gegebenen Ebenen stimmen mit der Frontalspur Rv der Ebene R überein, da die Ebene R senkrecht zur Ebene V steht, und alles, was ist darin (einschließlich der Schnittlinien) wird auf seine Frontalspur Rv projiziert. Die horizontalen Projektionen dieser Linien werden unter Verwendung von Projektionsverbindungslinien konstruiert, die von den Frontalprojektionen der Punkte 1", 2", 3", 4" zum Schnittpunkt gezogen werden mit den horizontalen Projektionen der entsprechenden Linien an den Punkten 1, 2, 3, 4. Konstruiert werden die horizontalen Projektionen der Schnittlinien verlängert, bis sie sich am Punkt k schneiden, der der horizontalen Projektion des Punktes K zugehörig ist Schnittlinie der beiden Ebenen. Die Frontalprojektion dieses Punktes liegt auf der Spur Rv.

Um den zweiten Punkt zu konstruieren, der zu der Schnittlinie gehört, wird eine zweite Hilfsebene Q gezeichnet.Der Einfachheit der Konstruktion halber wird die Ebene Q durch den Punkt C parallel zur EbeneR gezogen des Schnittpunkts der Ebene Q mit der Ebene des Dreiecks ABC und mit der durch parallele Linien gegebenen Ebene genügt es, zwei Punkte zu finden: c und 5 und gerade Linien durch sie zu ziehen, die parallel zu den zuvor konstruierten Projektionen der Schnittlinien 12 und sind 34, da die Ebene Q ║ R. Wenn man diese Linien fortsetzt, bis sie sich schneiden, erhält man eine horizontale Projektion l des Punktes L, der zur Schnittlinie der gegebenen Ebenen gehört. Die Frontalprojektion l" des Punktes L liegt auf der Spur Q v und wird mit der Linie der Projektionsverbindung konstruiert. Durch Verbinden der gleichnamigen Projektionen der Punkte K und L erhält man die Projektionen der gewünschten Schnittlinie .

Wenn wir eine Linie in einer der sich schneidenden Ebenen nehmen und einen Schnittpunkt dieser Linie mit einer anderen Ebene konstruieren, dann wird dieser Punkt zur Schnittlinie dieser Ebenen gehören, da er zu beiden gegebenen Ebenen gehört. Bauen wir den zweiten Punkt auf die gleiche Weise, wir können die Schnittlinie zweier Ebenen finden, da zwei Punkte ausreichen, um eine gerade Linie zu bilden. Auf Abb. 228 zeigt eine solche Konstruktion der Schnittlinie zweier durch Dreiecke gegebener Ebenen.

Für diese Konstruktion wird eine der Seiten des Dreiecks genommen und der Schnittpunkt dieser Seite mit der Ebene des anderen Dreiecks gebildet. Wenn dies fehlschlägt, nehmen Sie die andere Seite des gleichen Dreiecks, dann die dritte. Wenn dies nicht zum Auffinden des gewünschten Punktes geführt hat, werden die Schnittpunkte der Seiten des zweiten Dreiecks mit dem ersten gebildet.

Auf Abb. 228 wird der Schnittpunkt der Linie EF mit der Ebene des Dreiecks ABC konstruiert. Dazu wird eine horizontal projizierende Hilfsebene S durch die Gerade EF gezogen und eine Frontalprojektion 1 "2" der Schnittlinie dieser Ebene mit der Ebene des Dreiecks ABC gebildet. Die Frontalprojektion 1 "2" der Schnittlinie, die sich mit der Frontalprojektion e "f" der Geraden EF schneidet, ergibt die Frontalprojektion m " des Schnittpunktes M. Die horizontale Projektion m des Punktes M wird mit ermittelt die Projektionsverbindungslinie. Der zweite Punkt, der zur Schnittlinie der Ebenen der gegebenen Dreiecke gehört , - Punkt N - der Schnittpunkt der Linie BC mit der Ebene des Dreiecks DEF. Durch die Linie BC, eine Front- die Projektionsebene R wird gezeichnet, und auf der Ebene H ergibt der Schnittpunkt der horizontalen Projektionen der Linie BC und der Schnittlinie 34 den Punkt n - die horizontale Projektion des gewünschten Punktes Sichtbare Abschnitte gegebener Dreiecke werden unter Verwendung konkurrierender Punkte bestimmt für jede Projektionsebene separat. Wählen Sie dazu einen Punkt auf einer der Projektionsebenen aus, der die Projektion zweier konkurrierender Punkte ist. Die Sichtbarkeit wird aus den zweiten Projektionen dieser Punkte durch Vergleich ihrer Koordinaten bestimmt.

Beispielsweise sind die Punkte 5 und 6 die Schnittpunkte der horizontalen Projektionen bc und de. Auf der Frontalprojektionsebene fallen die Projektionen dieser Punkte nicht zusammen. Beim Vergleich ihrer Z-Koordinaten finden sie heraus, dass Punkt 5 Punkt 6 schließt, da die Z 5 -Koordinate größer als die Z 6 -Koordinate ist. Daher ist links von Punkt 5 die Seite DE nicht sichtbar.

Die Sichtbarkeit auf der Frontalebene von Projektionen wird unter Verwendung konkurrierender Punkte 4 und 7 bestimmt, die zu den Segmenten DE und BC gehören, wobei ihre Koordinaten Y 4 und Y 7 verglichen werden. Da Y 4 > Y 7 ist, ist die Seite DE auf der Ebene V sichtbar.

Es ist zu beachten, dass bei der Konstruktion des Schnittpunkts einer Geraden mit der Ebene eines Dreiecks der Schnittpunkt außerhalb der Ebene des Dreiecks liegen kann. In diesem Fall wird durch Verbinden der erhaltenen Punkte, die zu der Schnittlinie gehören, nur der Teil davon umrissen, der zu beiden Dreiecken gehört.

REZENSIONSFRAGEN

1. Welche Koordinaten eines Punktes bestimmen seine Position in der V-Ebene?

2. Was ist die Y-Koordinate und die Z-Koordinate eines Punktes?

3. Wie befinden sich die Projektionen des Segments senkrecht zur Projektionsebene H auf dem Diagramm? Senkrecht zur Projektionsebene V?

4. Wie befinden sich die horizontale und die frontale Projektion auf dem Diagramm?

5. Formulieren Sie die Hauptposition über die Zugehörigkeit eines Punktes zu einer Geraden.

6. Wie kann man sich schneidende Linien von sich schneidenden Linien in einem Diagramm unterscheiden?

7. Welche Punkte nennt man Wettkampf?

8. Wie kann man bestimmen, welcher der beiden Punkte sichtbar ist, wenn ihre Projektionen auf der Frontalprojektionsebene zusammenfallen?

9. Formulieren Sie die Hauptposition zur Parallelität einer Geraden und einer Ebene.

10. Wie wird der Schnittpunkt einer Geraden mit einer Ebene in allgemeiner Lage konstruiert?

11. Wie wird vorgegangen, um eine Schnittlinie zweier Ebenen in allgemeiner Lage zu konstruieren?