Informatik, Kybernetik und Programmierung

Ein Warteschlangensystem mit n Warteschlangenkanälen empfängt einen Poisson-Anforderungsfluss mit der Intensität λ. Die Intensität des Anwendungsdienstes für jeden Kanal. Nach Beendigung des Dienstes werden alle Kanäle freigegeben. Das Verhalten eines solchen Warteschlangensystems kann durch einen Markov-Zufallsprozess t beschrieben werden, der die Anzahl der Kunden im System angibt.

2. QS bei Ausfällen und volle gegenseitige Hilfeleistung bei Massenströmen. Diagramm, Gleichungssystem, berechnete Verhältnisse.

Formulierung des Problems.Ein Warteschlangensystem mit n Warteschlangenkanälen empfängt einen Poisson-Anforderungsfluss mit der Intensität λ. Die Intensität der Anwendungsbedienung durch jeden Kanal beträgt µ. Die Anfrage wird von allen Kanälen gleichzeitig bedient. Nach Beendigung des Dienstes werden alle Kanäle freigegeben. Wenn eine neu eingetroffene Anfrage eine Anfrage findet, wird diese ebenfalls zur Zustellung angenommen. Einige Kanäle bedienen weiterhin die erste Anfrage, während der Rest eine neue Anfrage bedient. Wenn das System bereits n Anfragen bearbeitet, wird die neu eingegangene Anfrage abgelehnt. Das Verhalten eines solchen Warteschlangensystems kann durch einen Markov-Zufallsprozess ξ(t) beschrieben werden, der die Anzahl der Kunden im System angibt.

Mögliche Zustände dieses Prozesses sind E = (0, 1, . . . , n). Lassen Sie uns die Eigenschaften des betrachteten QS im stationären Modus ermitteln.

Der dem betrachteten Prozess entsprechende Graph ist in Abbildung 1 dargestellt.

Reis. 1. QS mit Ausfällen und vollständiger gegenseitiger Hilfeleistung für Poissonströme

Wir stellen ein System algebraischer Gleichungen auf:

Die Lösung dieses Systems hat die Form:

Dabei ist χ =λ/nµ die durchschnittliche Anzahl der Anfragen, die während der durchschnittlichen Bearbeitungszeit einer Anfrage durch alle Kanäle im System eingehen.

Merkmale eines Mehrkanal-Warteschlangensystems mit Ausfällen und vollständiger gegenseitiger Unterstützung zwischen den Kanälen.

1. Wahrscheinlichkeit eines Denial-of-Service (Wahrscheinlichkeit, dass alle Kanäle belegt sind):

2. Wahrscheinlichkeit der Bedienung einer Anwendung (relativer Durchsatz des Systems):

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Gleichungssystem

QS mit Ausfällen für eine zufällige Anzahl von Versorgungsflüssen ist ein Vektormodell für Poisson-Flüsse. Graph, Gleichungssystem.

Stellen wir QS als Vektor dar, wobei k m ist die Anzahl der Anfragen im System, die jeweils bearbeitet werden M Haushaltsgeräte; L= Q max- Q min +1 ist die Anzahl der Eingabeströme.

Wenn die Anforderung zur Bearbeitung angenommen wird, geht das System in einen Zustand mit der Intensität λ über M.

Nach Abschluss der Bearbeitung einer der Anforderungen geht das System in einen Zustand über, in dem die entsprechende Koordinate einen Wert hat, der um eins kleiner ist als im Zustand , = , d. h. Es findet ein umgekehrter Übergang statt.

Ein Beispiel für ein QS-Vektormodell für N = 3, L = 3, Q min = 1, Q max=3, P(M) = 1/3, λ Σ = λ, die Intensität der Instrumentenwartung beträgt μ.

Aus dem Zustandsgraphen mit angelegten Übergangsintensitäten wird ein System linearer algebraischer Gleichungen erstellt. Aus der Lösung dieser Gleichungen werden die Wahrscheinlichkeiten ermittelt R(), anhand derer die QS-Merkmale bestimmt werden.

QS mit einer unendlichen Warteschlange für Poisson-Ströme. Diagramm, Gleichungssystem, berechnete Verhältnisse.

Systemdiagramm

Gleichungssystem

Wo N– Anzahl der Servicekanäle, l– Anzahl der sich gegenseitig unterstützenden Kanäle

QS mit unendlicher Warteschlange und teilweiser gegenseitiger Unterstützung für willkürliche Ströme. Diagramm, Gleichungssystem, berechnete Verhältnisse.

Systemdiagramm

Gleichungssystem

–λ R 0 + Nμ R 1 =0,

.………………

–(λ + Nμ) Pk+ λ Pk –1 + Nμ Pk +1 =0 (k = 1,2, ... , N–1),

……………....

-(λ+ Nμ) P n+ λ P n –1 + Nμ P n+1=0,

……………….

-(λ+ Nμ) Pn+j+ λ Р n+j –1 + Nμ Р n+j+1=0, j=(1,2,….,∞)

QS mit unendlicher Warteschlange und vollständiger gegenseitiger Unterstützung für beliebige Ströme. Diagramm, Gleichungssystem, berechnete Verhältnisse.

Systemdiagramm

…

Gleichungssystem

QS mit einer endlichen Warteschlange für Poisson-Ströme. Diagramm, Gleichungssystem, berechnete Verhältnisse.

Systemdiagramm

Gleichungssystem

Geschätzte Verhältnisse.

Betrachten wir ein Mehrkanal-Warteschlangensystem (es gibt insgesamt n Kanäle), bei dem Anfragen mit einer Rate von λ eingehen und mit einer Rate von μ bedient werden. Eine im System eingetroffene Anfrage wird bedient, wenn mindestens ein Kanal frei ist. Wenn alle Kanäle belegt sind, wird die nächste im System eingehende Anfrage abgelehnt und verlässt das QS. Wir nummerieren die Systemzustände nach der Anzahl der belegten Kanäle:

• S 0 – alle Kanäle sind kostenlos;
• S 1 – ein Kanal ist belegt;
• S 2 – zwei Kanäle sind belegt;
• Sk- beschäftigt k Kanäle;
• SN– Alle Kanäle sind belegt.

Es ist offensichtlich, dass sich das System unter dem Einfluss des Eingabestroms von Anforderungen von Zustand zu Zustand bewegt. Lassen Sie uns einen Zustandsgraphen für dieses Warteschlangensystem erstellen.

Reis. 7.24
Abbildung 6.24 zeigt einen Zustandsgraphen, in dem Sich- Kanal Nummer; λ ist die Intensität des Bewerbungseingangs; μ - bzw. die Intensität der Serviceanfragen. Bewerbungen gelangen mit konstanter Intensität in das Warteschlangensystem und belegen nach und nach Kanäle nacheinander; Wenn alle Kanäle belegt sind, wird die nächste beim QS eintreffende Anfrage abgelehnt und verlässt das System.
Bestimmen wir die Intensitäten der Ereignisflüsse, die das System von Zustand zu Zustand überführen, wenn es sich sowohl von links nach rechts als auch von rechts nach links entlang des Zustandsgraphen bewegt.
Lassen Sie das System beispielsweise im Zustand sein S 1 , d.h. ein Kanal ist belegt, da an seinem Eingang eine Beanspruchung vorliegt. Sobald die Anfrage bearbeitet ist, wechselt das System in den Status S 0 .
Wenn beispielsweise zwei Kanäle belegt sind, dann ist der Dienstfluss, der das System aus dem Zustand versetzt S 2 pro Staat S 1 wird doppelt so intensiv sein: 2-μ; bzw. wenn beschäftigt k Kanäle ist die Intensität gleich k-μ.

Der Dienstprozess ist ein Prozess des Todes und der Reproduktion. Die Kolmogorov-Gleichungen für diesen speziellen Fall haben die folgende Form:

(7.25)
Die Gleichungen (7.25) werden aufgerufen Erlang-Gleichungen .
Um die Werte der Wahrscheinlichkeiten der Zustände zu finden R 0 , R 1 , …, RN, ist es notwendig, die Anfangsbedingungen zu bestimmen:
– R 0 (0) = 1, d. h. es liegt eine Anforderung am Systemeingang vor;
– R 1 (0) = R 2 (0) = … = RN(0) = 0, d. h. zum ersten Zeitpunkt ist das System frei.
Nach der Integration des Differentialgleichungssystems (7.25) erhalten wir die Werte der Zustandswahrscheinlichkeiten R 0 (T), R 1 (T), … RN(T).
Uns interessieren aber viel mehr die Grenzwahrscheinlichkeiten von Zuständen. Für t → ∞ und unter Verwendung der Formel, die wir bei der Betrachtung des Prozesses von Tod und Fortpflanzung erhalten, erhalten wir die Lösung des Gleichungssystems (7.25):

(7.26)
In diesen Formeln ist das Intensitätsverhältnis λ / μ Für den Bewerbungsfluss ist es zweckmäßig, diese zu benennen ρ .Dieser Wert heißt die verringerte Intensität des Bewerbungsflusses, Das heißt, die durchschnittliche Anzahl der im QS eintreffenden Bewerbungen für die durchschnittliche Bearbeitungszeit einer Bewerbung.

Unter Berücksichtigung der obigen Notation hat das Gleichungssystem (7.26) die folgende Form:

(7.27)
Diese Formeln zur Berechnung von Grenzwahrscheinlichkeiten werden aufgerufen Erlang-Formeln .
Wenn wir alle Wahrscheinlichkeiten der QS-Zustände kennen, ermitteln wir die QS-Effizienzkennwerte, also den absoluten Durchsatz A, relativer Durchsatz Q und Wahrscheinlichkeit des Scheiterns R offen
Eine im System eingehende Anfrage wird abgelehnt, wenn alle Kanäle belegt sind:

.
Die Wahrscheinlichkeit, dass der Antrag zur Zustellung angenommen wird:

Q = 1 – R ok,
Wo Q ist der durchschnittliche Anteil der vom System bearbeiteten eingehenden Anfragen oder die durchschnittliche Anzahl der vom QS pro Zeiteinheit bearbeiteten Anfragen, geteilt durch die durchschnittliche Anzahl der in dieser Zeit eingegangenen Anfragen:

A=λ Q=λ (1-P offen)
Darüber hinaus ist eines der wichtigsten Merkmale von QS mit Misserfolgen durchschnittlich ausgelastete Kanäle. IN N-Kanal-QS mit Ausfällen, diese Zahl stimmt mit der durchschnittlichen Anzahl der Bewerbungen im QS überein.
Die durchschnittliche Anzahl der Anwendungen k kann direkt anhand der Wahrscheinlichkeiten der Zustände Р 0 , Р 1 , … , Р n berechnet werden:

,
d.h. wir finden den mathematischen Erwartungswert einer diskreten Zufallsvariablen, die einen Wert von 0 bis annimmt N mit Wahrscheinlichkeiten R 0 , R 1 , …, RN.
Noch einfacher ist es, den Wert von k als absoluten Durchsatz des QS auszudrücken, d. h. A. Der Wert von A ist die durchschnittliche Anzahl von Anwendungen, die vom System pro Zeiteinheit bedient werden. Ein belegter Kanal bedient μ-Anfragen pro Zeiteinheit, also die durchschnittliche Anzahl belegter Kanäle

Formulierung des Problems. Am Eingang N-Kanal-QS empfängt den einfachsten Anforderungsfluss mit der Dichte λ. Die Dichte des einfachsten Serviceflusses jedes Kanals ist gleich μ. Wenn bei der eingegangenen Serviceanfrage alle Kanäle frei sind, wird sie gleichzeitig für den Service angenommen und bedient l Kanäle ( l < N). In diesem Fall hat der Servicefluss einer Anfrage eine Intensität l.

Wenn eine zur Wartung eingegangene Anfrage eine Anfrage im System findet, dann N ≥ 2l Neu eingegangene Anträge werden zur Zustellung angenommen und gleichzeitig bearbeitet l Kanäle.

Wenn die Anfrage zur Wartung im System gefunden wird ich Anwendungen ( ich= 0,1, ...), während ( ich+ 1)l≤ N, dann wird die empfangene Anfrage bearbeitet l Kanäle mit einer Gesamtkapazität l. Wird eine neu eingegangene Bewerbung im System gefunden J Anfragen, und zwei Ungleichungen werden gleichzeitig erfüllt: ( J + 1)l > N Und J < N, dann wird der Antrag zur Zustellung angenommen. In diesem Fall können einige Anträge zugestellt werden l Kanäle, der andere Teil kleiner als l, Anzahl der Kanäle, aber alle N Kanäle, die zufällig auf die Anwendungen verteilt werden. Wenn eine neu eingegangene Bewerbung im System gefunden wird N Bewerbungen werden abgelehnt und nicht zugestellt. Eine bearbeitete Anwendung wird bis zum Ende bearbeitet (Anwendungen sind „geduldig“).

Der Zustandsgraph eines solchen Systems ist in Abb. dargestellt. 3.8.

Reis. 3.8. QS-Zustandsdiagramm mit Ausfällen und Teilausfällen

gegenseitige Unterstützung zwischen den Kanälen

Beachten Sie, dass der Zustandsgraph des Systems bis zum Zustand ist X H stimmt mit dem Zustandsgraphen des klassischen Warteschlangensystems mit Ausfällen überein, dargestellt in Abb. 2, bis hin zur Notation der Flussparameter. 3.6.

Somit,

(ich = 0, 1, ..., H).

Diagramm der Systemzustände, ausgehend vom Zustand X H und endet mit dem Staat X N, stimmt bis zur Notation mit dem Zustandsgraphen von QS mit voller gegenseitiger Unterstützung überein, dargestellt in Abb. 3.7. Auf diese Weise,

.

Wir führen die Notation λ / ein lμ = ρ l ; λ / Nμ = χ, also

Unter Berücksichtigung des normalisierten Zustands erhalten wir

Um die weitere Notation zu verkürzen, führen wir die Notation ein

Finden Sie die Eigenschaften des Systems.

Anwendungsdienstwahrscheinlichkeit

Die durchschnittliche Anzahl der Anwendungen im System,

Durchschnittlich ausgelastete Kanäle

.

Wahrscheinlichkeit, dass ein bestimmter Kanal belegt ist

.

Die Wahrscheinlichkeit der Belegung aller Kanäle des Systems

3.4.4. Warteschlangensysteme mit Ausfällen und inhomogenen Abläufen

Formulierung des Problems. Am Eingang N-Kanal QS erhält einen inhomogenen Elementarstrom mit einer Gesamtintensität λ Σ , und

λ Σ = ,

wo λ ich- die Intensität der Anwendungen in ich-m Quelle.

Da der Anforderungsfluss als Überlagerung von Anforderungen aus verschiedenen Quellen betrachtet wird, kann der kombinierte Fluss mit ausreichender Genauigkeit für die Praxis als Poisson betrachtet werden N = 5...20 und λ ich ≈ λ ich +1 (ich1,N). Die Serviceintensität eines Geräts verteilt sich nach dem Exponentialgesetz und beträgt μ = 1/ T. Servicegeräte zur Wartung einer Anwendung werden in Reihe geschaltet, was einer Erhöhung der Servicezeit um das Vielfache gleichkommt, da viele Geräte zur Wartung zusammengefasst werden:

T obs = kt, μ obs = 1 / kt = μ/ k,

Wo T obs – Servicezeit anfordern; k- die Anzahl der Servicegeräte; μ obs – die Intensität des Anwendungsdienstes.

Im Rahmen der in Kapitel 2 getroffenen Annahmen stellen wir den QS-Zustand als Vektor dar, wobei k M ist die Anzahl der Anfragen im System, die jeweils bearbeitet werden M Haushaltsgeräte; L = Q max- Q min +1 ist die Anzahl der Eingabeströme.

Dann ist die Anzahl der belegten und freien Geräte ( N zan ( ),N sv ( )) fähig ist wie folgt definiert:

Nicht im Land Das System kann in jeden anderen Zustand wechseln . Da hat das System L Eingabeströme, dann ist es von jedem Zustand aus potenziell möglich L direkte Übergänge. Aufgrund der begrenzten Ressourcen des Systems sind jedoch nicht alle dieser Übergänge machbar. Lassen Sie das QS im Staat sein und es kommt ein entsprechender Antrag M Haushaltsgeräte. Wenn M≤ N sv ( ), dann wird die Anforderung zur Bearbeitung angenommen und das System geht in einen Zustand mit der Intensität λ über M. Wenn die Anwendung mehr Geräte benötigt, als es kostenlose gibt, erhält sie einen Denial-of-Service und der QS bleibt im Status . Wenn möglich Es gibt Anwendungen, die Folgendes erfordern M Geräte, dann wird jedes von ihnen mit der Intensität  gewartet M, und die Gesamtintensität der Bearbeitung solcher Anfragen (μ M) ist definiert als μ M = k M μ / M. Wenn die Bearbeitung einer der Anfragen abgeschlossen ist, geht das System in einen Zustand über, in dem die entsprechende Koordinate einen Wert hat, der um eins kleiner ist als im Zustand ,=, d.h. Es findet ein umgekehrter Übergang statt. Auf Abb. In Abb. 3.9 zeigt ein Beispiel eines QS-Vektormodells für N = 3, L = 3, Q min = 1, Q max=3, P(M) = 1/3, λ Σ = λ, die Intensität der Instrumentenwartung beträgt μ.

Reis. 3.9. Ein Beispiel für ein QS-Vektormodelldiagramm mit Denial-of-Service

Also jeder Staat gekennzeichnet durch die Anzahl der bearbeiteten Anfragen eines bestimmten Typs. Zum Beispiel in einem Staat
Ein Anspruch wird von einem Gerät und ein Anspruch von zwei Geräten bedient. In diesem Zustand sind alle Geräte beschäftigt, daher sind nur umgekehrte Übergänge möglich (das Eintreffen eines Kunden in diesem Zustand führt zu einer Dienstverweigerung). Wenn die Bearbeitung der Anfrage des ersten Typs früher beendet wurde, wechselt das System in den Status (0,1,0) mit der Intensität μ, aber wenn der Dienst des zweiten Anforderungstyps früher beendet wurde, geht das System in den Zustand über (0,1,0) mit Intensität μ/2.

Aus dem Zustandsgraphen mit angelegten Übergangsintensitäten wird ein System linearer algebraischer Gleichungen erstellt. Aus der Lösung dieser Gleichungen werden die Wahrscheinlichkeiten ermittelt R(), anhand derer das QS-Merkmal bestimmt wird.

Erwägen Sie die Suche R otk (Wahrscheinlichkeit einer Dienstverweigerung).

,

Wo S ist die Anzahl der Graphzustände des QS-Vektormodells; R() ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich das System in diesem Zustand befindet .

Die Anzahl der Staaten ist wie folgt definiert:

, (3.22)

;

Bestimmen wir die Anzahl der Zustände des QS-Vektormodells nach (3.22) für das in Abb. gezeigte Beispiel. 3.9.

.

Somit, S = 1 + 5 + 1 = 7.

Um reale Anforderungen an Servicegeräte umzusetzen, ist eine ausreichend große Anzahl erforderlich N (40, ..., 50) und die Anforderungen an die Anzahl der Servicegeräte der Anwendung liegen in der Praxis im Bereich von 8–16. Bei einem solchen Verhältnis von Instrumenten und Anfragen wird die vorgeschlagene Methode zur Ermittlung der Wahrscheinlichkeiten äußerst umständlich, da Das QS-Vektormodell verfügt über eine große Anzahl von Zuständen S(50) = 1790, S(60) = 4676, S(70) = 11075 und die Größe der Koeffizientenmatrix des algebraischen Gleichungssystems ist proportional zum Quadrat S, was viel Computerspeicher und viel Computerzeit erfordert. Der Wunsch, den Rechenaufwand zu reduzieren, regte die Suche nach wiederkehrenden Rechenmöglichkeiten an R() basierend auf multiplikativen Darstellungsformen von Zustandswahrscheinlichkeiten. Der Beitrag stellt einen Ansatz zur Berechnung vor R():

(3.23)

Die Verwendung des in der Arbeit vorgeschlagenen Kriteriums der Äquivalenz der globalen und detaillierten Bilanzen von Markov-Ketten ermöglicht es, die Dimension des Problems zu reduzieren und Berechnungen auf einem Computer mit durchschnittlicher Leistung unter Verwendung der Wiederholung von Berechnungen durchzuführen. Darüber hinaus besteht die Möglichkeit:

– Berechnen Sie für beliebige Werte N;

– Beschleunigen Sie die Berechnung und reduzieren Sie die Kosten für Maschinenzeit.

Andere Eigenschaften des Systems können auf ähnliche Weise definiert werden.

Klassifizierungsmerkmale

Verschiedene Warteschlangensysteme

Eingehender Nachfragefluss

Begrenzte Anforderungen

Geschlossen

offen

Vertriebsrecht

Systeme mit einem spezifischen Verteilungsgesetz des ankommenden Flusses: exponentiell, Erlang k Ordnung, Handfläche, normal usw.

Warteschlange

Disziplin in der Warteschlange

Mit geordneter Warteschlange

Mit einer ungeordneten Warteschlange

Servicepriorität

Einschränkungen für den Warteservice

Mit Absagen

Mit unbegrenztem Warten

Eingeschränkt (gemischt)

Nach Warteschlangenlänge

Wartezeit in der Warteschlange

Zum Zeitpunkt des Aufenthalts in SMO

Kombiniert

Servicedisziplin

Leistungsstufen

einzelphase

Mehrphasig

Anzahl der Servicekanäle

Ein-Kanal

Mehrkanalig

Mit gleichen Kanälen

Mit ungleichen Kanälen

Zuverlässigkeit der Servicekanäle

Mit absolut zuverlässigen Kanälen

Mit unzuverlässigen Kanälen

Keine Erholung

Mit Genesung

Kanäle für gegenseitige Hilfe

ohne gegenseitige Hilfe

Mit gegenseitiger Hilfe

Servicezuverlässigkeit

Mit Fehlern

Keine Fehler

Servicezeitverteilung

Systeme mit einem bestimmten Servicezeitverteilungsgesetz: deterministisch, exponentiell, normal usw.

Wenn der Dienst stufenweise durch eine Folge von Kanälen ausgeführt wird, wird ein solches QS aufgerufen mehrphasig.

IN CMO mit „gegenseitiger Unterstützung“ Zwischen Kanälen kann dieselbe Anfrage gleichzeitig von zwei oder mehr Kanälen bedient werden. Beispielsweise kann dieselbe ausgefallene Maschine zwei Arbeiter gleichzeitig bedienen. Eine solche „gegenseitige Hilfeleistung“ zwischen den Kanälen kann sowohl im offenen als auch im geschlossenen QS erfolgen.

IN CMO mit Fehlern ein zur Bedienung im System angenommener Antrag wird nicht mit voller Wahrscheinlichkeit, sondern mit einiger Wahrscheinlichkeit bedient; mit anderen Worten, es kann zu Fehlern in der Zustellung kommen, die zur Folge haben, dass einige Anträge, die an die QS gingen und angeblich „zugestellt“ wurden, aufgrund einer „Ehe“ in der Arbeit der QS tatsächlich unbearbeitet bleiben.

Beispiele für solche Systeme sind: Informationsschalter, die manchmal falsche Informationen und Anweisungen geben; ein Korrektor, der einen Fehler übersehen oder falsch korrigieren kann; Telefonzentrale, manchmal wird der Teilnehmer mit der falschen Nummer verbunden; Handels- und Zwischenfirmen, die ihren Verpflichtungen nicht immer qualitativ hochwertig und pünktlich nachkommen usw.

Um den in einem QS ablaufenden Prozess zu analysieren, ist es wichtig zu wissen grundlegende Systemparameter: die Anzahl der Kanäle, die Intensität des Bewerbungsflusses, die Leistung jedes Kanals (die durchschnittliche Anzahl der Bewerbungen, die pro Zeiteinheit vom Kanal bedient werden), die Bedingungen für die Bildung der Warteschlange, die Intensität des Bewerbungsausgangs aus der Warteschlange oder dem System.

Die Relation heißt Systemlastfaktor. Oftmals werden nur solche Systeme betrachtet, bei denen .

Die Dienstzeit im QS kann sowohl zufällig als auch nicht zufällig sein. In der Praxis wird diese Zeit am häufigsten als nach dem Exponentialgesetz verteilt angenommen.

Die Hauptmerkmale des QS hängen relativ wenig von der Art des Dienstzeitverteilungsgesetzes ab, sondern hängen hauptsächlich vom Durchschnittswert ab. Daher wird häufig angenommen, dass die Dienstzeit nach einem Exponentialgesetz verteilt ist.

Die Annahmen über die Poisson-Natur des Anfrageflusses und die exponentielle Verteilung der Servicezeit (die wir von nun an annehmen werden) sind wertvoll, weil sie es uns ermöglichen, den Apparat der sogenannten Markov-Zufallsprozesse in der Warteschlangentheorie anzuwenden .

Die Wirksamkeit von Dienstleistungssystemen kann je nach Aufgabenstellung und Zielsetzung der Studie durch eine Vielzahl unterschiedlicher quantitativer Indikatoren charakterisiert werden.

Die am häufigsten verwendeten sind die folgenden Indikatoren:

1. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Kanäle mit dem Dienst ausgelastet sind, beträgt .

Ein Sonderfall ist die Wahrscheinlichkeit, dass alle Kanäle frei sind.

2. Die Wahrscheinlichkeit der Ablehnung des Antrags im Dienst.

3. Die durchschnittliche Anzahl belegter Kanäle charakterisiert den Grad der Systemauslastung.

4. Durchschnittliche Anzahl freier Kanäle:

5. Koeffizient (Wahrscheinlichkeit) freier Kanäle.

6. Geräteauslastungsfaktor (Wahrscheinlichkeit belegter Kanäle)

7. Relativer Durchsatz – der durchschnittliche Anteil der eingehenden Anfragen, die vom System bearbeitet werden, d. h. das Verhältnis der durchschnittlichen Anzahl der vom System pro Zeiteinheit bearbeiteten Anfragen zur durchschnittlichen Anzahl der während dieser Zeit eingegangenen Anfragen.

8. Absoluter Durchsatz, d.h. die Anzahl der Anwendungen (Anforderungen), die das System pro Zeiteinheit bedienen kann:

9. Durchschnittliche Kanalleerlaufzeit

Für Systeme mit Erwartung Zusätzliche Funktionen werden verwendet:

10. Durchschnittliche Wartezeit für Anfragen in der Warteschlange.

11. Durchschnittliche Verweildauer eines Antrags in der GMO.

12. Durchschnittliche Warteschlangenlänge.

13. Durchschnittliche Zahl der Bewerbungen im Dienstleistungssektor (in CMOs)

14. Wahrscheinlichkeit, dass die Anwendung nicht länger als eine bestimmte Zeit in der Warteschlange bleibt.

15. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der Anforderungen in der Warteschlange, die auf den Start des Dienstes warten, größer als eine bestimmte Zahl ist.

Zusätzlich zu den aufgeführten Kriterien sind bei der Bewertung der Wirksamkeit von Systemen Kostenindikatoren:

– die Kosten für die Erfüllung jeder Anforderung im System;

– die Kosten der mit dem Warten verbundenen Verluste pro Zeiteinheit;

– die Kosten der Verluste, die mit der Abweichung von Anforderungen aus dem System verbunden sind;

sind die Kosten für den Betrieb des Systemkanals pro Zeiteinheit;

sind die Kosten pro Ausfallzeiteinheit für den Kanal.

Bei der Auswahl der optimalen Systemparameter für Wirtschaftsindikatoren können Sie Folgendes verwenden Verlustkostenfunktion:

a) für Systeme mit unbegrenzter Wartezeit

Wo ist das Zeitintervall?

b) für Systeme mit Ausfällen;

c) für gemischte Systeme.

Optionen, die den Bau (Inbetriebnahme) neuer Elemente des Systems (z. B. Servicekanäle) vorsehen, werden in der Regel zu reduzierten Kosten verglichen.

Die reduzierten Kosten für jede Option sind die Summe aus laufenden Kosten (Kosten) und Kapitalinvestitionen, reduziert auf die gleiche Dimension gemäß dem Effizienzstandard, zum Beispiel:

(angegebene Kosten pro Jahr);

(angegebene Kosten für die Amortisationszeit),

wo - aktuelle Kosten (Kosten) für jede Option, p.;

- Industrienormkoeffizient der wirtschaftlichen Effizienz von Kapitalinvestitionen (normalerweise = 0,15 - 0,25);

– Kapitalinvestitionen für jede Option, S.;

ist die Standard-Amortisationszeit für Kapitalinvestitionen, Jahre.

Der Ausdruck ist die Summe der laufenden und Kapitalkosten für einen bestimmten Zeitraum. Sie heißen gegeben, da sie sich auf einen festen Zeitraum beziehen (in diesem Fall auf die Standard-Amortisationszeit).

Indikatoren und können sowohl in Form der Summe der Kapitalinvestitionen und der Kosten der fertigen Produkte als auch in Form verwendet werden spezifische Kapitalanlagen pro Produktionseinheit und Produktionsstückkosten.

Um einen zufälligen Prozess zu beschreiben, der in einem System mit diskreten Zuständen abläuft, werden häufig Zustandswahrscheinlichkeiten verwendet, wobei es sich um die Wahrscheinlichkeit handelt, dass sich das System zu diesem Zeitpunkt in diesem Zustand befindet.

Es ist klar, dass .

Wenn ein Prozess in einem System mit diskreten Zuständen und kontinuierlicher Zeit abläuft Markovianer, dann ist es für die Wahrscheinlichkeiten von Zuständen möglich, ein System linearer Kolmogorov-Differentialgleichungen aufzustellen.

Wenn es einen beschrifteten Zustandsgraphen gibt (Abb. 4.3) (hier ist über jedem Pfeil, der von Staat zu Staat führt, die Intensität des Ereignisflusses angegeben, der das System entlang dieses Pfeils von Staat zu Staat überträgt), dann das System von Differentialgleichungen für Wahrscheinlichkeiten kann mit der folgenden einfachen Methode sofort geschrieben werden Regel.

Auf der linken Seite jeder Gleichung gibt es eine Ableitung und auf der rechten Seite gibt es so viele Terme, wie die Pfeile direkt mit diesem Zustand zusammenhängen; wenn der Pfeil zeigt V

Wenn alle Ereignisflüsse, die das System von Zustand zu Zustand überführen, stationär sind, die Gesamtzahl der Zustände endlich ist und es keine Zustände ohne Ausgang gibt, dann existiert der Grenzmodus und ist gekennzeichnet durch Grenzwahrscheinlichkeiten .