Was ist eine Gleichung?

Wer seine ersten Schritte in der Algebra macht, benötigt natürlich eine möglichst geordnete Darstellung des Stoffes. Daher werden wir in unserem Artikel darüber, was eine Gleichung ist, nicht nur eine Definition geben, sondern auch verschiedene Klassifizierungen von Gleichungen mit Beispielen geben.

Was ist eine Gleichung: allgemeine Konzepte

Eine Gleichung ist also eine Art Gleichheit mit einer Unbekannten, die durch einen lateinischen Buchstaben bezeichnet wird. In diesem Fall wird der numerische Wert dieses Buchstabens, der es uns ermöglicht, die richtige Gleichheit zu erhalten, als Wurzel der Gleichung bezeichnet. Mehr darüber können Sie in unserem Artikel lesen, aber wir werden weiterhin über die Gleichungen selbst sprechen. Die Argumente einer Gleichung (oder Variablen) sind Unbekannte, und die Lösung einer Gleichung besteht darin, alle ihre Wurzeln zu finden oder das Fehlen von Wurzeln.

Arten von Gleichungen

Gleichungen werden in zwei große Gruppen unterteilt: algebraische und transzendentale.

• Algebraisch ist eine Gleichung, bei der nur algebraische Operationen verwendet werden, um die Wurzel der Gleichung zu finden – 4 arithmetische Operationen sowie Potenzierung und Extraktion der natürlichen Wurzel.
• Eine transzendente Gleichung ist eine Gleichung, in der nichtalgebraische Funktionen verwendet werden, um die Wurzel zu finden: zum Beispiel trigonometrische, logarithmische und andere.

Zu den algebraischen Gleichungen gehören außerdem:

• ganze Zahlen – wobei beide Teile aus ganzen algebraischen Ausdrücken in Bezug auf Unbekannte bestehen;
• Bruchzahl – enthält ganzzahlige algebraische Ausdrücke im Zähler und Nenner;
• irrational - algebraische Ausdrücke stehen hier unter dem Wurzelzeichen.

Beachten Sie auch, dass gebrochene und irrationale Gleichungen auf die Lösung ganzer Gleichungen reduziert werden können.

Transzendentale Gleichungen sind unterteilt in:

• Exponentialgleichungen sind Gleichungen, die eine Variable als Exponenten enthalten. Sie werden gelöst, indem man zu einer einzelnen Basis oder einem einzelnen Exponenten übergeht, den gemeinsamen Faktor aus der Klammer herausnimmt, faktorisiert und einige andere Methoden verwendet;
• logarithmisch – Gleichungen mit Logarithmen, also Gleichungen, bei denen die Unbekannten innerhalb der Logarithmen selbst liegen. Das Lösen solcher Gleichungen ist (anders als beispielsweise die meisten algebraischen) sehr schwierig, da hierfür eine solide mathematische Ausbildung erforderlich ist. Das Wichtigste dabei ist, von einer Gleichung mit Logarithmen zu einer Gleichung ohne Logarithmen überzugehen, also die Gleichung zu vereinfachen (diese Methode zum Entfernen von Logarithmen wird Potenzierung genannt). Natürlich ist es nur dann möglich, eine logarithmische Gleichung zu potenzieren, wenn sie identische Zahlenbasen und keine Koeffizienten haben;
• trigonometrische Gleichungen sind Gleichungen mit Variablen unter den Vorzeichen trigonometrischer Funktionen. Ihre Lösung erfordert die anfängliche Beherrschung trigonometrischer Funktionen;
• gemischt sind differenzierte Gleichungen mit Teilen unterschiedlichen Typs (z. B. mit parabolischen und elliptischen Teilen oder elliptischen und hyperbolischen usw.).

Was die Klassifizierung nach der Anzahl der Unbekannten betrifft, ist alles einfach: Man unterscheidet Gleichungen mit eins, zwei, drei usw. Unbekannten. Es gibt auch eine andere Klassifizierung, die auf dem Grad basiert, der auf der linken Seite des Polynoms liegt. Darauf aufbauend werden lineare, quadratische und kubische Gleichungen unterschieden. Lineare Gleichungen können auch als Gleichungen 1. Grades, quadratische Gleichungen 2. bzw. kubische Gleichungen 3. Grades bezeichnet werden. Nun wollen wir Beispiele für Gleichungen der einen oder anderen Gruppe geben.

Beispiele für verschiedene Arten von Gleichungen

Beispiele für algebraische Gleichungen:

• Axt + B= 0
• Axt 3 + bx 2 + cx+ d= 0
• Axt 4 + bx 3 + cx 2 + bx + a= 0
  (a ist ungleich 0)

Beispiele für transzendentale Gleichungen:

• cos x = x log x = x−5 2 x = logx+x 5 +40

Beispiele für ganze Gleichungen:

• (2+x)2 = (2+x)(55x-4) (x2-12x+10)4 = (3x+10)4 (4x2+3x-10)2=9x4

Beispiel für Bruchgleichungen:

• 15 x + — = 5x - 17 x

Beispiel für irrationale Gleichungen:

• √2kf(x)=g(x)

Beispiele für lineare Gleichungen:

• 2x+7=0 x - 3 = 2 - 4x 2x+3=5x+5 - 3x - 2

Beispiele für quadratische Gleichungen:

• x 2 +5x−7= 0 3x 2 +5x−7= 0 11x 2 −7x+3 = 0

Beispiele für kubische Gleichungen:

• x 3 -9x 2 -46x+120=0 x 3 - 4x 2 + x + 6 = 0

Beispiele für Exponentialgleichungen:

• 5 x+2 = 125 3 x 2 x = 8 x+3 3 2x +4 3 x -5 = 0

Beispiele für logarithmische Gleichungen:

• log 2 x= 3 log 3 x= -1

Beispiele für trigonometrische Gleichungen:

• 3sin 2 x + 4sin x cosx + cos 2 x = 2 sin(5x+π/4) = ctg(2x-π/3) sinx + cos 2 x + tan 3 x = ctg 4 x

Beispiele für gemischte Gleichungen:

• log x (log 9 (4⋅3 x −3))=1 |5x−8|+|2⋅5x+3|=13

Es bleibt hinzuzufügen, dass zur Lösung von Gleichungen unterschiedlicher Art unterschiedliche Methoden eingesetzt werden. Nun, um fast alle Gleichungen zu lösen, benötigen Sie nicht nur Kenntnisse in Algebra, sondern auch in Trigonometrie und oft sehr tiefe Kenntnisse.

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Lernziele:

Lehrreich:

• Fassen Sie das Wissen über alle Arten von Gleichungen zusammen und betonen Sie die Bedeutung aller Methoden zur Lösung von Gleichungen.
• Intensivierung der Arbeit der Schüler durch vielfältige Techniken im Unterricht.
• Testen Sie theoretische und praktische Fähigkeiten beim Lösen von Gleichungen.
• Konzentrieren Sie sich auf die Tatsache, dass eine Gleichung auf verschiedene Arten gelöst werden kann

Lehrreich:

• Steigern Sie das Interesse der Schüler am Thema durch den Einsatz von IKT.
• Machen Sie die Schüler mit historischem Material zum Thema vertraut.
• Entwicklung der geistigen Aktivität bei der Bestimmung der Art der Gleichung und Methoden zu ihrer Lösung.

Lehrreich:

• Vermitteln Sie Disziplin im Klassenzimmer.
• Die Fähigkeit entwickeln, Schönheit in sich selbst, in einer anderen Person und in der Welt um uns herum wahrzunehmen.

Unterrichtsart:

• Lektion der Verallgemeinerung und Systematisierung von Wissen.

Unterrichtsart:

• Kombiniert.

Material und technische Ausstattung:

• Computer
• Bildschirm
• Beamer
• Disc mit Darstellung des Themas

Methoden und Techniken:

• Mithilfe einer Präsentation
• Frontales Gespräch
• Mündliche Arbeit
• Spielmomente
• Partnerarbeit
• Arbeite an der Tafel
• Arbeiten Sie in Notizbüchern

Unterrichtsplan:

1. Organisatorischer Moment (1 Minuten)
2. Das Thema der Lektion entschlüsseln (3 Minuten)
3. Darstellung des Themas und Zwecks der Lektion (1 Minute)
4. Theoretisches Aufwärmen (3 Minuten)
5. Historischer Ausflug (3 Minuten)
6. Spiel „Überschuss entfernen“ (2 Minuten)
7. Kreative Arbeit (2 Minuten)
8. Aufgabe „Fehler finden“ (2 Minuten)
9. Eine Gleichung auf verschiedene Arten lösen (auf Folie) (3 Minuten)
10. Eine Gleichung auf verschiedene Arten lösen (an der Tafel) (24 Minuten)
11. Selbstständiges Arbeiten zu zweit mit anschließender Erklärung (5 Minuten)
12. Individuelle Hausaufgabe (1 Minute)
13. Zusammenfassung der Lektion (1 Minute)

Epigraph der Lektion:

„Man kann nur mit Spaß lernen; um Wissen zu verdauen, muss man es mit Appetit aufnehmen.“
A.Frankreich

Zusammenfassung der Lektion

Organisatorischer Teil

Ich überprüfe die Unterrichtsbereitschaft der Schüler und markiere diejenigen, die nicht am Unterricht teilnehmen. Leute, der französische Schriftsteller A. France hat einmal gesagt: „Man kann nur durch Spaß lernen; um Wissen zu verdauen, muss man es mit Appetit aufnehmen.“ Befolgen wir also den Rat des Autors in unserer Lektion und verdauen Sie das Wissen mit großem Appetit, denn es wird in unserem Leben nützlich sein.

Das Thema der Lektion entschlüsseln

Um zu einer komplexeren Aufgabe überzugehen, fordern wir unser Gehirn mit einfachen Aufgaben auf. Das Thema unserer Lektion ist verschlüsselt; indem wir mündliche Aufgaben lösen und die Antwort darauf finden, wobei wir wissen, dass jede Antwort einen eigenen Buchstaben hat, werden wir das Thema der Lektion offenbaren. Präsentationsfolie 3

Vermittlung des Themas und Zwecks der Lektion

Sie selbst haben das Thema der heutigen Lektion benannt

„Arten von Gleichungen und Methoden zu ihrer Lösung.“ Präsentationsfolie 4

Ziel: Alle Arten von Gleichungen und Methoden zu deren Lösung in Erinnerung rufen und verallgemeinern. Lösen Sie eine Gleichung mit allen Methoden. Präsentationsfolie 5 Lesen Sie Einsteins Aussage Präsentationsfolie 5

Theoretisches Aufwärmen

Fragen Präsentationsfolie 7

Antworten

1. Eine Gleichheit, die eine durch einen Buchstaben gekennzeichnete Variable enthält.
2. Das bedeutet, alle seine Wurzeln zu finden oder zu beweisen, dass es keine Wurzeln gibt.
3. Der Wert der Variablen, bei dem die Gleichung wahr wird.
4. Lesen Sie nach dieser Definition ein Gedicht über die Gleichung. Präsentationsfolie 12,13,14

Antworten auf die letzten beiden Fragen Präsentationsfolie 9,10,11

Historischer Ausflug

Historische Informationen zu „Wer hat die Gleichung erfunden und wann“ Präsentationsfolie 15

Stellen wir uns vor, dass eine primitive Mutter namens ... obwohl sie wahrscheinlich nicht einmal einen Namen hatte, 12 Äpfel von einem Baum pflückte, um sie jedem ihrer vier Kinder zu geben. Sie wusste wahrscheinlich nicht nur, wie man bis 12, sondern auch bis vier zählt, und schon gar nicht, wie man 12 durch 4 teilt. Und sie teilte die Äpfel wahrscheinlich so: Zuerst gab sie jedem Kind einen Apfel, dann noch einen , dann noch einer allein und dann sah ich, dass es keine Äpfel mehr gab und die Kinder glücklich waren. Wenn wir diese Aktionen in moderner mathematischer Sprache aufschreiben, erhalten wir x4=12, das heißt, meine Mutter hat das Problem gelöst, eine Gleichung aufzustellen. Offenbar ist es unmöglich, die oben gestellte Frage zu beantworten. Probleme, die zur Lösung von Gleichungen führen, werden von Menschen mit gesundem Menschenverstand gelöst, seit sie Menschen wurden. Bereits 3.000 bis 4.000 Jahre v. Chr. waren die Ägypter und Babylonier in der Lage, die einfachsten Gleichungen zu lösen, deren Form und Lösungsmethoden den modernen nicht ähnlich waren. Die Griechen erbten das Wissen der Ägypter und zogen weiter. Den größten Erfolg bei der Entwicklung der Gleichungslehre erzielte der griechische Wissenschaftler Diophantus (III. Jahrhundert), über den sie schrieben:

Er hat viele Probleme gelöst.
Er sagte Gerüche und Schauer voraus.
Sein Wissen ist wirklich wunderbar.

Der zentralasiatische Mathematiker Muhammad al-Khorezmi (9. Jahrhundert) leistete einen großen Beitrag zur Lösung von Gleichungen. Sein berühmtes Buch al-Khwarizmi widmet sich dem Lösen von Gleichungen. Es trägt den Namen „Kitab al-jabr wal-mukabala“, d. h. „Das Buch der Ergänzung und Opposition“. Dieses Buch wurde den Europäern bekannt und aus dem Wort „al-jabr“ im Titel entstand das Wort „Algebra“ – der Name eines der Hauptteile der Mathematik. Anschließend beschäftigten sich viele Mathematiker mit Gleichungsproblemen. Die allgemeine Regel zur Lösung quadratischer Gleichungen reduziert auf die Form x2+in=0 wurde von dem deutschen Mathematiker Stiefel formuliert, der im 15. Jahrhundert lebte. Nach den Arbeiten des niederländischen Mathematikers Girard (16. Jahrhundert) sowie Descartes und Newton nahm die Lösungsmethode eine moderne Form an. Formeln, die die Abhängigkeit der Wurzeln einer Gleichung von ihren Koeffizienten ausdrücken, wurden von Vieth eingeführt. Francois Viet lebte im 16. Jahrhundert. Er leistete große Beiträge zur Erforschung verschiedener Probleme der Mathematik und Astronomie; insbesondere führte er Buchstabenbezeichnungen für die Koeffizienten der Gleichung ein. Machen wir uns nun mit einer interessanten Episode aus seinem Leben vertraut. Viet erlangte während des Französisch-Spanischen Krieges unter König Heinrich III. großen Ruhm. Die spanischen Inquisitoren erfanden eine sehr komplexe Geheimschrift, dank derer die Spanier sogar in Frankreich selbst mit den Feinden Heinrichs III. korrespondierten.

Vergeblich versuchten die Franzosen, den Schlüssel zum Code zu finden, und dann wandte sich der König an Vieta. Sie sagen, dass Viet den Schlüssel zum Code in zwei Wochen ununterbrochener Arbeit gefunden habe, woraufhin Frankreich, unerwartet für Spanien, eine Schlacht nach der anderen zu gewinnen begann. In der Überzeugung, dass der Code nicht entschlüsselt werden könne, beschuldigten die Spanier Viet, eine Verbindung zum Teufel zu haben, und verurteilten ihn zur Verbrennung auf dem Scheiterhaufen. Glücklicherweise wurde er nicht an die Inquisition ausgeliefert und ging als großer Mathematiker in die Geschichte ein.

Spiel „Überschuss entfernen“

Zweck des Spiels Orientierung in Gleichungstypen.

Wir erhalten drei Gleichungsspalten, in denen die Gleichungen jeweils nach einem bestimmten Kriterium definiert sind, aber eine davon ist überflüssig. Ihre Aufgabe besteht darin, sie zu finden und zu charakterisieren. Präsentationsfolie 16

Kreative Arbeit

Der Zweck dieser Aufgabe: Hörverständnis mathematischer Sprache, Orientierung der Kinder an Gleichungstypen.

Auf dem Bildschirm sehen Sie 9 Gleichungen. Jede Gleichung hat ihre eigene Nummer. Ich werde den Typ dieser Gleichung benennen. Sie müssen eine Gleichung dieses Typs finden und nur die Nummer eingeben, unter der sie erscheint. Als Ergebnis erhalten Sie eine 9-stellige Zahl. Präsentationsfolie 17

1. Reduzierte quadratische Gleichung.
2. Bruchrationale Gleichung
3. Kubische Gleichung
4. Logarithmische Gleichung
5. Lineare Gleichung
6. Unvollständige quadratische Gleichung
7. Exponentialgleichung
8. Irrationale Gleichung
9. Trigonometrische Gleichung

Aufgabe „Fehler finden“

Ein Schüler hat Gleichungen gelöst, aber die ganze Klasse hat gelacht, er hat in jeder Gleichung einen Fehler gemacht, Ihre Aufgabe ist es, ihn zu finden und zu korrigieren. Präsentationsfolie 18

Eine Gleichung auf verschiedene Arten lösen

Lassen Sie uns nun eine Gleichung auf alle möglichen Arten lösen, um im Unterricht Zeit zu sparen, eine Gleichung auf dem Bildschirm. Nun benennen Sie den Typ dieser Gleichung und erklären, mit welcher Methode diese Gleichung gelöst wird. Präsentationsfolien 19-27

Eine Gleichung auf verschiedene Arten lösen (an der Tafel)

Wir haben uns das Beispiel angesehen und nun lösen wir die Gleichung an der Tafel auf jede erdenkliche Weise.

X-2 - irrationale Gleichung

Lassen Sie uns beide Seiten der Gleichung quadrieren.

X 2 +2x+4x-1-4=0

Wir lösen diese Gleichung an der Tafel auf 9 Arten.

Selbstständiges Arbeiten zu zweit mit anschließender Erklärung an der Tafel

Und jetzt werden Sie in Paaren arbeiten, ich gebe eine Gleichung auf Ihren Schreibtisch, Ihre Aufgabe ist es, die Art der Gleichung zu bestimmen, alle Möglichkeiten zur Lösung dieser Gleichung aufzulisten, 1-2 auf die für Sie rationalste Weise zu lösen. (2 Minuten)

Aufgaben für die Arbeit zu zweit

Löse die Gleichung

Nachdem er unabhängig voneinander zu zweit gearbeitet hat, geht ein Vertreter an die Tafel, stellt seine Gleichung vor und löst sie auf eine Weise

Individuelle Hausaufgaben(differenzierbar)

Löse die Gleichung

(Bestimmen Sie die Art der Gleichung und lösen Sie sie in allen Fällen auf einem separaten Blatt.)

Zusammenfassung der Reflexionslektion.

Ich fasse die Lektion zusammen, mache darauf aufmerksam, dass eine Gleichung auf viele Arten gelöst werden kann, vergebe Noten, ziehe eine Schlussfolgerung darüber, wer aktiv war und wer aktiver sein muss. Ich habe Kalinins Aussage, Präsentationsfolie 28, vorgelesen

Schauen Sie sich die Ziele, die wir uns für die heutige Lektion gesetzt haben, genau an:

• Was glauben Sie, was uns gelungen ist?
• Was hat nicht so gut geklappt?
• Was hat Ihnen besonders gut gefallen und ist Ihnen in Erinnerung geblieben?
• Heute habe ich etwas Neues gelernt...
• Mein Wissen war während des Unterrichts nützlich...
• Es war schwierig für mich...
• Mir hat der Unterricht gefallen...

Literatur.

1. Dorofeev G.V. „Aufgabensammlung zur Durchführung einer schriftlichen Prüfung in Mathematik für einen Gymnasialkurs“ – M.: Bustard, 2006.
2. Garner Martin. Mathe-Rätsel und Unterhaltung.
3. Ivlev B.M., Sahakyan S.M. Didaktische Materialien zur Algebra und den Anfängen der Analysis für die 10. Klasse, 11. Klasse. M.: Aufklärung. 2002.

Ministerium für allgemeine und berufliche Bildung der Russischen Föderation

Städtische Bildungseinrichtung

Gymnasium Nr. 12

Komposition

zum Thema: Gleichungen und Methoden zu ihrer Lösung

Abgeschlossen von: Schüler der Klasse 10 „A“

Krutko Evgeniy

Geprüft von: Mathematiklehrerin Iskhakova Gulsum Akramovna

Tjumen 2001

Planen................................................. ................................................. ...................................... 1

Einführung................................................. ....................................................... ............. ........................ 2

Hauptteil................................................ .................................................. ............... 3

Abschluss................................................. ................................................. ....................... 25

Anwendung................................................. ................................................. ...... ................ 26

Liste der verwendeten Literatur................................................ ........... ........................ 29

Planen.

Einführung.

Historische Referenz.

Gleichungen. Algebraische Gleichungen.

a) Grundlegende Definitionen.

b) Lineare Gleichung und Methode zu ihrer Lösung.

c) Quadratische Gleichungen und Methoden zu ihrer Lösung.

d) Binomialgleichungen und wie man sie löst.

e) Kubische Gleichungen und Methoden zu ihrer Lösung.

f) Biquadratische Gleichung und Methode zu ihrer Lösung.

g) Gleichungen vierten Grades und Methoden zu ihrer Lösung.

g) Gleichungen hohen Grades und Methoden zu ihrer Lösung.

h) Rationale algebraische Gleichung und ihre Methode

i) Irrationale Gleichungen und Methoden zu ihrer Lösung.

j) Gleichungen, die eine Unbekannte unter einem Vorzeichen enthalten.

absoluter Wert und Methode zu seiner Lösung.

Transzendentale Gleichungen.

a) Exponentialgleichungen und wie man sie löst.

b) Logarithmische Gleichungen und Methoden zu ihrer Lösung.

Einführung

Der Mathematikunterricht an einer Gesamtschule ist ein wesentlicher Bestandteil der Allgemeinbildung und der allgemeinen Kultur des modernen Menschen. Fast alles, was den modernen Menschen umgibt, hängt irgendwie mit der Mathematik zusammen. Und die jüngsten Fortschritte in der Physik, im Ingenieurwesen und in der Informationstechnologie lassen keinen Zweifel daran, dass die Lage auch in Zukunft so bleiben wird. Daher kommt es bei der Lösung vieler praktischer Probleme darauf an, verschiedene Arten von Gleichungen zu lösen, deren Lösung Sie lernen müssen.

Diese Arbeit ist ein Versuch, das untersuchte Material zum oben genannten Thema zusammenzufassen und zu systematisieren. Ich habe das Material nach Schwierigkeitsgrad geordnet, beginnend mit dem einfachsten. Es enthält sowohl die uns aus dem Schulalgebrakurs bekannten Gleichungstypen als auch zusätzliches Material. Gleichzeitig habe ich versucht, die Arten von Gleichungen aufzuzeigen, die im Schulkurs nicht studiert werden, deren Kenntnis jedoch für den Eintritt in eine Hochschule erforderlich sein kann. Bei meiner Arbeit habe ich mich beim Lösen von Gleichungen nicht nur auf die reale Lösung beschränkt, sondern auch auf die komplexe Lösung hingewiesen, da ich glaube, dass die Gleichung sonst einfach ungelöst ist. Denn wenn eine Gleichung keine echten Wurzeln hat, heißt das nicht, dass sie keine Lösungen hat. Leider war es mir aus Zeitgründen nicht möglich, das gesamte mir zur Verfügung stehende Material vorzustellen, aber selbst mit dem hier präsentierten Material können viele Fragen auftauchen. Ich hoffe, dass mein Wissen ausreicht, um die meisten Fragen zu beantworten. Also beginne ich mit der Präsentation des Materials.

Mathematik... offenbart Ordnung,

Symmetrie und Gewissheit,

und das sind die wichtigsten Arten von Schönheit.

Aristoteles.

Historische Referenz

In jenen fernen Zeiten, als die Weisen zum ersten Mal über Gleichheiten mit unbekannten Mengen nachzudenken begannen, gab es wahrscheinlich weder Münzen noch Geldbörsen. Es gab aber auch Haufen sowie Töpfe und Körbe, die sich perfekt als Lagerräume eigneten, in denen eine unbekannte Anzahl von Gegenständen aufbewahrt werden konnte. „Wir suchen einen Haufen, der zusammen mit zwei Dritteln, einem halben und einem Siebtel 37 ergibt …“, lehrte der ägyptische Schreiber Ahmes im 2. Jahrtausend v. Chr. In den antiken mathematischen Problemen Mesopotamiens, Indiens, Chinas und Griechenlands drückten unbekannte Größen die Anzahl der Pfauen im Garten, die Anzahl der Bullen in der Herde und die Gesamtheit der Dinge aus, die bei der Aufteilung des Eigentums berücksichtigt wurden. In das Geheimwissen eingeweihte Schriftgelehrte, Beamte und Priester, die in der Buchführungswissenschaft gut ausgebildet waren, bewältigten solche Aufgaben recht erfolgreich.

Quellen, die uns erreicht haben, weisen darauf hin, dass antike Wissenschaftler über einige allgemeine Techniken zur Lösung von Problemen mit unbekannten Größen verfügten. Allerdings enthält keine einzige Papyrus- oder Tontafel eine Beschreibung dieser Techniken. Nur gelegentlich ergänzten die Autoren ihre numerischen Berechnungen mit knappen Kommentaren wie: „Schau mal!“, „Mach das!“, „Du hast das Richtige gefunden.“ Eine Ausnahme bildet in diesem Sinne die „Arithmetik“ des griechischen Mathematikers Diophantus von Alexandria (III. Jahrhundert) – eine Sammlung von Problemen zum Aufstellen von Gleichungen mit einer systematischen Darstellung ihrer Lösungen.

Das erste Handbuch zur Problemlösung, das weithin bekannt wurde, war jedoch das Werk des Bagdader Wissenschaftlers aus dem 9. Jahrhundert. Muhammad bin Musa al-Khwarizmi. Das Wort „al-jabr“ aus dem arabischen Namen dieser Abhandlung – „Kitab al-jaber wal-mukabala“ („Buch der Wiederherstellung und Opposition“) – verwandelte sich im Laufe der Zeit in das bekannte Wort „Algebra“ und das Werk von al-Khwarizmi selbst diente als Ausgangspunkt für die Entwicklung der Wissenschaft des Lösens von Gleichungen.

Gleichungen Algebraische Gleichungen

Grundlegende Definitionen

In der Algebra werden zwei Arten von Gleichheiten betrachtet – Identitäten und Gleichungen.

Identität ist eine Gleichheit, die für alle (zulässigen) Werte der darin enthaltenen Buchstaben gilt). Zur Erfassung der Identität wird neben dem Zeichen auch das Zeichen verwendet.

Die gleichung ist eine Gleichheit, die nur für bestimmte Werte der darin enthaltenen Buchstaben gilt. Die in der Gleichung enthaltenen Buchstaben können je nach den Bedingungen des Problems ungleich sein: Einige können alle ihre zulässigen Werte annehmen (sie heißen Parameter oder Koeffizienten Gleichungen und werden normalerweise mit den Anfangsbuchstaben des lateinischen Alphabets bezeichnet:, , ... - oder mit den gleichen Buchstaben versehen mit Indizes: , , ... oder , , ...); andere, deren Werte gefunden werden müssen, werden aufgerufen Unbekannt(Sie werden normalerweise mit den letzten Buchstaben des lateinischen Alphabets bezeichnet: , , , ... - oder mit denselben Buchstaben mit Indizes: , , ... oder , , ...).

Im Allgemeinen kann die Gleichung wie folgt geschrieben werden:

Abhängig von der Anzahl der Unbekannten wird die Gleichung als Gleichung mit einer, zwei usw. Unbekannten bezeichnet.

Der Wert der Unbekannten, die die Gleichung in eine Identität verwandeln, sogenannte Lösungen Gleichungen

Eine Gleichung zu lösen bedeutet, viele ihrer Lösungen zu finden oder zu beweisen, dass es keine Lösungen gibt. Abhängig von der Art der Gleichung kann die Lösungsmenge der Gleichung unendlich, endlich oder leer sein.

Wenn alle Lösungen der Gleichung Lösungen der Gleichung sind, dann sagen sie, dass die Gleichung eine Folge der Gleichung ist, und schreiben

Zwei Gleichungen

angerufen Äquivalent, wenn jeder von ihnen eine Folge des anderen ist, und schreiben Sie

Somit gelten zwei Gleichungen als äquivalent, wenn die Lösungen dieser Gleichungen übereinstimmen.

Eine Gleichung gilt als äquivalent zu zwei (oder mehr) Gleichungen, wenn die Lösungsmenge der Gleichung mit der Vereinigung der Lösungsmengen der Gleichungen übereinstimmt.

EINIGE Äquivalente Gleichungen:

Die Gleichung entspricht der betrachteten Gleichung auf der Menge der zulässigen Werte der ursprünglichen Gleichung.

Entspricht zwei Gleichungen und .

Die Gleichung ist äquivalent zur Gleichung.

Die Gleichung für ungerades n entspricht der Gleichung und für gerades n entspricht sie zwei Gleichungen und.

Algebraische Gleichung wird als Gleichung der Form bezeichnet

Dabei handelt es sich um ein Polynom n-ten Grades in einer oder mehreren Variablen.

Algebraische Gleichung mit einer Unbekannten heißt eine Gleichung, die sich auf eine Gleichung der Form reduziert

wobei n eine nicht negative ganze Zahl ist; die Koeffizienten des Polynoms werden , , , ..., , genannt Koeffizienten(oder Parameter) Gleichungen und gelten als gegeben; x heißt Unbekannt und das ist es, was wir suchen. Die Zahl n wird aufgerufen Grad Gleichungen

Die Werte der Unbekannten x, die die algebraische Gleichung in eine Identität umwandeln, werden aufgerufen Wurzeln(weniger oft Entscheidungen) algebraische Gleichung.

Es gibt verschiedene Arten von Gleichungen, die mit vorgefertigten Formeln gelöst werden können. Dabei handelt es sich um lineare und quadratische Gleichungen sowie Gleichungen der Form F(x), wobei F eine der Standardfunktionen (Potenz- oder Exponentialfunktion, Logarithmus, Sinus, Cosinus, Tangens oder Kotangens) ist. Solche Gleichungen gelten als die einfachsten. Es gibt auch Formeln für die kubische Gleichung, sie gilt jedoch nicht als die einfachste.

Die Hauptaufgabe bei der Lösung einer Gleichung besteht also darin, sie auf das einfachste zu reduzieren.

Für alle unten aufgeführten Gleichungen gibt es auch eine eigene grafische Lösung, die darin besteht, die linke und rechte Seite der Gleichung als zwei identische Funktionen der Unbekannten darzustellen. Dann wird zunächst ein Graph der einen und dann der anderen Funktion erstellt, und der/die Schnittpunkt(e) der beiden Graphen ergeben die Lösung(en) der ursprünglichen Gleichung. Beispiele für grafische Lösungen aller Gleichungen finden Sie im Anhang.

Lineare Gleichung

Lineare Gleichung wird als Gleichung ersten Grades bezeichnet.

wobei a und b einige reelle Zahlen sind.

Eine lineare Gleichung hat immer eine einzelne Wurzel, die wie folgt gefunden wird.

Addiert man die Zahl zu beiden Seiten der Gleichung (1), erhält man die Gleichung

äquivalent zu Gleichung (1). Wenn wir beide Seiten der Gleichung (2) durch den Wert dividieren, erhalten wir die Wurzel der Gleichung (1):

Quadratische Gleichung

Algebraische Gleichung zweiten Grades.

, (3)

wobei , , einige reelle Zahlen sind, genannt quadratische Gleichung. Wenn , dann wird die quadratische Gleichung (3) aufgerufen gegeben .

Die Wurzeln einer quadratischen Gleichung werden mit der Formel berechnet

,

Der Ausdruck heißt diskriminierend quadratische Gleichung.

Dabei:

wenn , dann hat die Gleichung zwei verschiedene reelle Wurzeln;

wenn , dann hat die Gleichung eine reelle Wurzel der Multiplizität 2;

Wenn , dann hat die Gleichung keine reellen Wurzeln, sondern zwei komplex konjugierte Wurzeln:

, ,

Besondere Arten der quadratischen Gleichung (3) sind:

1) Die reduzierte quadratische Gleichung (if), die normalerweise in der Form geschrieben wird

.

Die Wurzeln der gegebenen quadratischen Gleichung werden mit der Formel berechnet

. (4)

Diese Formel wird Vieta-Formel genannt, benannt nach dem französischen Mathematiker des späten 16. Jahrhunderts, der einen wesentlichen Beitrag zur Entwicklung der algebraischen Symbolik leistete.

2) Eine quadratische Gleichung mit einem geraden zweiten Koeffizienten, die normalerweise geschrieben wird als

( - ganze Zahl).

Die Wurzeln dieser quadratischen Gleichung lassen sich bequem mit der Formel berechnen

. (5)

Die Formeln (4) und (5) sind spezielle Formeltypen zur Berechnung der Wurzeln einer vollständigen quadratischen Gleichung.

Wurzeln der reduzierten quadratischen Gleichung

hängen mit seinen Koeffizienten durch die Vieta-Formeln zusammen

,

.

Wenn die gegebene quadratische Gleichung reelle Wurzeln hat, ermöglichen die Formeln von Vieta, sowohl die Vorzeichen als auch die relative Größe der Wurzeln der quadratischen Gleichung zu beurteilen, nämlich:

wenn , dann sind beide Wurzeln negativ;

wenn , dann sind beide Wurzeln positiv;

wenn , , dann hat die Gleichung Wurzeln mit unterschiedlichen Vorzeichen und die negative Wurzel ist im Absolutwert größer als die positive;

Wenn , , hat die Gleichung Wurzeln mit unterschiedlichen Vorzeichen und die negative Wurzel ist im Absolutwert kleiner als die positive Wurzel.

Schreiben wir die quadratische Gleichung noch einmal um

(6)

und wir werden eine andere Möglichkeit zeigen, die Wurzeln der quadratischen Gleichung (6) über ihre Koeffizienten und ihren freien Term abzuleiten. Wenn

dann werden die Wurzeln der quadratischen Gleichung mit der Formel berechnet

,

, .

die als Ergebnis der folgenden Transformationen der ursprünglichen Gleichung sowie unter Berücksichtigung der Formel (7) erhalten werden kann.

,

Beachten Sie das daher

,

.

,

aber, aus Formel (7) also endgültig

Wenn wir das + setzen, dann

,

Beachten Sie das daher

,

,

aber deshalb endlich

.

Binomialgleichungen

Gleichungen des n-ten Grades der Form

angerufen Binomialgleichung. Mit und Ersatz)

wobei der arithmetische Wert der Wurzel ist, wird Gleichung (8) auf die Gleichung reduziert

Eine Binomialgleichung für ungerades n hat eine reelle Wurzel. In der Menge der komplexen Zahlen hat diese Gleichung n Wurzeln (von denen eine reell und komplex ist):

( 0, 1, 2, ..., ). (9)

Eine Binomialgleichung für gerades n in der Menge der reellen Zahlen hat zwei Wurzeln , und in der Menge der komplexen Zahlen gibt es n Wurzeln, berechnet nach Formel (9).

Eine Binomialgleichung für gerades n hat eine reelle Wurzel und in der Menge der komplexen Zahlen von Wurzeln, berechnet durch die Formel

( 0, 1, 2, ..., ). (10)

Eine Binomialgleichung für gerades n hat keine reellen Wurzeln. In der Menge der komplexen Zahlen hat die Gleichung Wurzeln, die nach Formel (10) berechnet werden.

Lassen Sie uns eine kurze Zusammenfassung der Wurzelsätze einer Binomialgleichung für einige spezifische Werte von n geben.

Die Gleichung hat zwei reelle Wurzeln.

.

Die Gleichung hat zwei reelle Wurzeln und zwei komplexe Wurzeln.

Die Gleichung hat keine wirklichen Wurzeln. Komplexe Wurzeln: .

Die Gleichung hat eine reelle Wurzel und zwei komplexe Wurzeln

.

Die Gleichung hat keine wirklichen Wurzeln. Komplexe Wurzeln:

, .

Kubische Gleichungen

Konnten die Mathematiker Babyloniens und des alten Indiens quadratische Gleichungen lösen, dann auch kubische, d.h. Gleichungen der Form

Es stellte sich heraus, dass es eine harte Nuss war, die es zu knacken galt. Ende des 15. Jahrhunderts. Professor für Mathematik an den Universitäten Rom und Mailand Luca Pacioli stellte in seinem berühmten Lehrbuch „Die Summe des Wissens über Arithmetik, Geometrie, Beziehungen und Proportionalität“ das Problem, eine allgemeine Methode zur Lösung kubischer Gleichungen zu finden, mit dem Problem der Quadrierung gleich Der Kreis. Und doch wurde durch die Bemühungen italienischer Algebraisten bald eine solche Methode gefunden.

Beginnen wir mit der Vereinfachung

Wenn eine kubische Gleichung allgemeiner Form

dividiert durch , dann wird der Koeffizient at gleich 1. Daher werden wir in Zukunft von der Gleichung ausgehen

So wie die Lösung einer quadratischen Gleichung auf der Formel für das Quadrat der Summe basiert, basiert die Lösung einer kubischen Gleichung auf der Formel für die Kubik der Summe:

Um bei den Koeffizienten nicht durcheinander zu geraten, ersetzen wir hier die Begriffe durch und ordnen sie neu an:

Wir sehen, dass wir durch die richtige Wahl, nämlich durch die Verwendung von , sicherstellen können, dass sich die rechte Seite dieser Formel von der linken Seite der Gleichung (11) nur im Koeffizienten at und im freien Term unterscheidet. Addieren wir die Gleichungen (11) und (12) und geben ähnliche an:

Wenn wir hier eine Substitution vornehmen, erhalten wir eine kubische Gleichung bzgl. ohne den Term c:

.

Wir haben also gezeigt, dass wir in der kubischen Gleichung (11) durch eine geeignete Substitution den Term entfernen können, der das Quadrat der Unbekannten enthält. Deshalb lösen wir nun eine Gleichung der Form

. (13)

Cardano-Formel

Schauen wir uns noch einmal die Summenwürfelformel an, schreiben sie aber anders:

Vergleichen Sie diesen Eintrag mit Gleichung (13) und versuchen Sie, einen Zusammenhang zwischen ihnen herzustellen. Selbst mit einem Hinweis ist es nicht einfach. Wir müssen den Mathematikern der Renaissance Tribut zollen, die die kubische Gleichung lösten, ohne die alphabetischen Symbole zu kennen. Ersetzen wir in unsere Formel:

Nun ist klar: Um die Wurzel der Gleichung (13) zu finden, reicht es aus, das Gleichungssystem zu lösen

oder

und nimm als Betrag und . Durch das Ersetzen wird dieses System auf eine sehr einfache Form reduziert:

Dann können Sie auf unterschiedliche Weise vorgehen, aber alle „Straßen“ führen zu derselben quadratischen Gleichung. Beispielsweise ist nach dem Satz von Vieta die Summe der Wurzeln der reduzierten quadratischen Gleichung gleich dem Koeffizienten mit Minuszeichen und das Produkt ist gleich dem freien Term. Daraus folgt und sind die Wurzeln der Gleichung

.

Schreiben wir diese Wurzeln auf:

Die Variablen und sind gleich den kubischen Wurzeln von und und die gewünschte Lösung der kubischen Gleichung (13) ist die Summe dieser Wurzeln:

.

Diese Formel ist bekannt als Cardano-Formel .

Trigonometrische Lösung

, , . (14)

Die Wurzeln , , der „unvollständigen“ kubischen Gleichung (14) sind gleich

, ,

, ,

.

Es sei die „unvollständige“ kubische Gleichung (14) gültig.

a) Wenn (der „irreduzible“ Fall), dann

,

,

.

(b) Wenn , , dann

, ,

, .

(c) Wenn , , dann

, ,

, .

In allen Fällen wird der tatsächliche Wert der Kubikwurzel genommen.

Biquadratische Gleichung

Algebraische Gleichung vierten Grades.

,

wobei a, b, c einige reelle Zahlen sind, genannt biquadratische Gleichung. Durch Substitution wird die Gleichung auf eine quadratische Gleichung reduziert gefolgt von der Lösung zweier Binomialgleichungen und ( und sind die Wurzeln der entsprechenden quadratischen Gleichung).

Wenn und , dann hat die biquadratische Gleichung vier reelle Wurzeln:

, .

Wenn , ), dann hat die biquadratische Gleichung zwei reelle Wurzeln und imaginäre konjugierte Wurzeln:

.

Wenn und , dann hat die biquadratische Gleichung vier rein imaginäre paarweise konjugierte Wurzeln:

, .

Gleichungen vierten Grades

Im 16. Jahrhundert wurde eine Methode zur Lösung von Gleichungen vierten Grades gefunden. Ludovico Ferrari, Schüler von Gerolamo Cardano. So heißt es – die Methode. Ferrari .

Wie beim Lösen kubischer und quadratischer Gleichungen, in einer Gleichung vierten Grades

Sie können den Begriff durch Substitution entfernen. Daher gehen wir davon aus, dass der Koeffizient der Kubikzahl der Unbekannten Null ist:

Ferraris Idee bestand darin, die Gleichung in der Form darzustellen, wobei die linke Seite das Quadrat des Ausdrucks und die rechte Seite das Quadrat einer linearen Gleichung von ist, deren Koeffizienten von abhängen. Danach müssen noch zwei quadratische Gleichungen gelöst werden: und . Eine solche Darstellung ist natürlich nur mit einer speziellen Wahl des Parameters möglich. Es ist praktisch, es in der Form anzunehmen, dann wird die Gleichung wie folgt umgeschrieben:

. (15)

Die rechte Seite dieser Gleichung ist das quadratische Trinom von . Es ist ein vollständiges Quadrat, wenn seine Diskriminante gleich Null ist, d. h.

, oder

Diese Gleichung heißt resolvent(d. h. „freizügig“). Es ist relativ kubisch und die Formel von Cardano ermöglicht es uns, einige seiner Wurzeln zu finden. Wenn die rechte Seite der Gleichung (15) die Form annimmt

,

und die Gleichung selbst wird auf zwei quadratische Gleichungen reduziert:

.

Ihre Wurzeln liefern alle Lösungen der ursprünglichen Gleichung.

Lassen Sie uns zum Beispiel die Gleichung lösen

Hier ist es bequemer, nicht vorgefertigte Formeln zu verwenden, sondern die eigentliche Idee der Lösung. Schreiben wir die Gleichung im Formular um

und füge den Ausdruck auf beiden Seiten hinzu, sodass auf der linken Seite ein vollständiges Quadrat entsteht:

Setzen wir nun die Diskriminante der rechten Seite der Gleichung mit Null gleich:

oder, nach Vereinfachung,

Eine der Wurzeln der resultierenden Gleichung kann durch Aussortieren der Teiler des freien Termes erraten werden: . Nachdem wir diesen Wert eingesetzt haben, erhalten wir die Gleichung

Wo . Die Wurzeln der resultierenden quadratischen Gleichungen sind Und . Natürlich können im allgemeinen Fall auch komplexe Wurzeln erhalten werden.

Descartes-Euler-Lösung

durch Substitution wird es auf eine „unvollständige“ Form reduziert

. (16)

Die Wurzeln , , , der „unvollständigen“ Gleichung vierten Grades (16) sind gleich einem der Ausdrücke

bei dem Zeichenkombinationen so gewählt werden, dass die Bedingung erfüllt ist

wobei , und die Wurzeln der kubischen Gleichung sind

.

Gleichungen hohen Grades

Lösbarkeit in Radikalen

Die Formel für die Wurzeln einer quadratischen Gleichung ist seit jeher, und zwar bereits im 16. Jahrhundert, bekannt. Italienische Algebraisten lösten Gleichungen dritten und vierten Grades in Radikalen. Somit wurde festgestellt, dass die Wurzeln jeder Gleichung, die den vierten Grad nicht überschreitet, durch die Koeffizienten der Gleichung durch eine Formel ausgedrückt werden, die nur vier arithmetische Operationen (Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division) und die Extraktion von Wurzeln eines Grades verwendet den Grad der Gleichung nicht überschreiten. Darüber hinaus können alle Gleichungen eines bestimmten Grades () durch eine allgemeine Formel „bedient“ werden. Durch Einsetzen der Koeffizienten der Gleichung erhalten wir alle Wurzeln – sowohl reelle als auch komplexe.

Danach stellte sich natürlich die Frage: Gibt es ähnliche allgemeine Formeln zur Lösung von Gleichungen fünften Grades und höher? Die Antwort darauf fand der norwegische Mathematiker Niels Henrik Abel zu Beginn des 19. Jahrhunderts. Etwas früher wurde dieses Ergebnis vom Italiener Paolo Ruffini angedeutet, aber nicht ausreichend begründet. Der Satz von Abel-Ruffini lautet wie folgt:

Die allgemeine Potenzgleichung at ist in Radikalen unlösbar.

Daher gibt es keine allgemeine Formel, die auf alle Gleichungen eines bestimmten Grades anwendbar ist. Dies bedeutet jedoch nicht, dass es unmöglich ist, bestimmte Arten von Gleichungen hohen Grades in Radikalen zu lösen. Abel selbst fand eine solche Lösung für eine große Klasse von Gleichungen beliebig hohen Grades – die sogenannten abelschen Gleichungen. Das Abel-Ruffini-Theorem schließt nicht einmal die Tatsache aus, dass die Wurzeln jeder spezifischen algebraischen Gleichung durch ihre Koeffizienten unter Verwendung der Vorzeichen arithmetischer Operationen und Radikale geschrieben werden können, insbesondere, dass jede algebraische Zahl, d.h. Wurzel einer Gleichung der Form

mit ganzzahligen Koeffizienten, kann in Radikalen durch rationale Zahlen ausgedrückt werden. Tatsächlich existiert ein solcher Ausdruck nicht immer. Dies ergibt sich aus dem Lösbarkeitssatz für algebraische Gleichungen, den der herausragende französische Mathematiker Evariste Galois in seinen „Memoiren über die Bedingungen der Lösbarkeit von Gleichungen in Radikalen“ (1832; veröffentlicht 1846) aufgestellt hat.

Wir betonen, dass wir bei angewandten Problemen nur an ungefähren Werten der Wurzeln der Gleichung interessiert sind. Daher spielt seine Löslichkeit in Radikalen hier meist keine Rolle. Es gibt spezielle Berechnungsmethoden, mit denen Sie die Wurzeln jeder Gleichung mit einer vorgegebenen Genauigkeit finden können, die nicht geringer ist als die, die durch Berechnungen mit vorgefertigten Formeln erzielt wird.

Gleichungen, die gelöst werden

Obwohl Gleichungen höheren Grades in Radikalen im Allgemeinen unlösbar sind, funktionieren die Formeln von Cardano und Ferrari für Gleichungen dritten und vierten Grades in der Schule nicht, und bei Aufnahmeprüfungen für Hochschulen gibt es manchmal Probleme, bei denen man Gleichungen höheren Grades lösen muss zweiter Grad. Normalerweise werden sie speziell ausgewählt, damit die Wurzeln der Gleichungen mit einigen elementaren Techniken gefunden werden können.

Eine dieser Techniken basiert auf dem Satz über rationale Wurzeln eines Polynoms:

Wenn ein irreduzibler Bruch die Wurzel eines Polynoms mit ganzzahligen Koeffizienten ist, dann ist sein Zähler der Teiler des freien Termes und der Nenner der Teiler des führenden Koeffizienten.

Um es zu beweisen, setzen Sie es einfach in die Gleichung ein und multiplizieren Sie die Gleichung mit . Wir bekommen

Alle Terme auf der linken Seite, mit Ausnahme des letzten, sind durch teilbar, daher ist es durch teilbar, und da und relativ Primzahlen sind, ist es ein Teiler von . Der Beweis für ist ähnlich.

Mit diesem Satz können Sie alle rationalen Wurzeln einer Gleichung mit ganzzahligen Koeffizienten finden, indem Sie eine endliche Anzahl von „Kandidaten“ testen. Zum Beispiel für die Gleichung

deren führender Koeffizient 1 ist, sind die „Kandidaten“ Teiler der Zahl –2. Es gibt nur vier davon: 1, -1, 2 und –2. Die Überprüfung zeigt, dass nur eine dieser Zahlen die Wurzel ist: .

Wenn eine Wurzel gefunden wird, können Sie den Grad der Gleichung verringern. Nach dem Satz von Bezout gilt

Der Rest der Division eines Polynoms durch ein Binomial ist gleich, d. h.

Aus dem Satz folgt direkt

Wenn die Wurzel eines Polynoms ist, wird das Polynom durch geteilt, d. h. wo ist ein Polynom vom Grad 1 kleiner als.

Setzen wir unser Beispiel fort und gehen wir vom Polynom aus

Faktor . Um den Quotienten zu ermitteln, können Sie eine Division mit einer Ecke durchführen:

Aber es gibt einen einfacheren Weg. Anhand des Beispiels wird es deutlich:

Jetzt muss nur noch die quadratische Gleichung gelöst werden . Seine Wurzeln:

.

Methode mit unsicheren Koeffizienten

Wenn ein Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten keine rationalen Wurzeln hat, können Sie versuchen, es in Faktoren niedrigeren Grades mit ganzzahligen Koeffizienten zu zerlegen. Betrachten Sie zum Beispiel die Gleichung

Stellen wir uns die linke Seite als Produkt zweier quadratischer Trinome mit unbekannten (undefinierten) Koeffizienten vor:

Öffnen wir die Klammern auf der rechten Seite und geben ähnliche ein:

Wenn wir nun die Koeffizienten in beiden Teilen mit den gleichen Potenzen gleichsetzen, erhalten wir ein Gleichungssystem

Ein Versuch, dieses System in allgemeiner Form zu lösen, würde uns zurück zur Lösung der ursprünglichen Gleichung führen. Aber ganze Wurzeln, sofern vorhanden, sind durch Selektion nicht schwer zu finden. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit können wir davon ausgehen, dass die letzte Gleichung zeigt, dass nur zwei Optionen berücksichtigt werden müssen: , und . Wenn wir diese Wertepaare in die verbleibenden Gleichungen einsetzen, sind wir überzeugt, dass das erste von ihnen die gewünschte Entwicklung ergibt: . Diese Lösung heißt Methode der unbestimmten Koeffizienten .

Wenn die Gleichung die Form hat, wobei und Polynome sind, dann reduziert die Ersetzung ihre Lösung auf die Lösung von zwei Gleichungen niedrigeren Grades: und .

Reziproke Gleichungen

Eine reziproke algebraische Gleichung ist eine Gleichung geraden Grades der Form

wobei die Koeffizienten, die von den Enden gleich weit entfernt sind, gleich sind: usw. Eine solche Gleichung wird durch Division durch und anschließendes Ersetzen auf eine Gleichung mit halbem Grad reduziert.

Betrachten Sie zum Beispiel die Gleichung

Wenn wir es durch dividieren (was zulässig ist, da es keine Wurzel ist), erhalten wir

.

beachte das

.

Daher erfüllt die Größe die quadratische Gleichung

,

Lösung, die aus der Gleichung gefunden werden kann .

Beim Lösen von reziproken Gleichungen höheren Grades nutzen sie normalerweise die Tatsache, dass der Ausdruck für jeden als Polynom vom Grad dargestellt werden kann.

Rationale algebraische Gleichungen

Rational Eine algebraische Gleichung ist eine Gleichung der Form

Satz zulässiger Werte der rationalen algebraischen Gleichung (17)

ist durch die Bedingung gegeben, d. h. , , ..., wobei , , ... die Wurzeln des Polynoms sind.

Die Methode zur Lösung von Gleichung (17) ist wie folgt. Lösung der Gleichung

deren Wurzeln wir mit bezeichnen

.

Wir vergleichen die Wurzelsätze der Polynome und . Wenn keine Wurzel eines Polynoms eine Wurzel eines Polynoms ist, dann sind alle Wurzeln des Polynoms Wurzeln der Gleichung (17). Wenn eine Wurzel eines Polynoms die Wurzel eines Polynoms ist, muss ein Vergleich anhand der Multiplizität durchgeführt werden: Wenn die Multiplizität der Wurzel des Polynoms größer ist als die Multiplizität der Wurzel des Polynoms, dann ist diese Wurzel eine Wurzel (17) mit einer Multiplizität gleich der Differenz zwischen den Multiplizitäten der Wurzeln des Dividenden und des Divisors; andernfalls ist die Wurzel des Polynoms nicht die Wurzel der rationalen Gleichung (17).

BEISPIEL Lassen Sie uns die wahren Wurzeln der Gleichung finden

Wo , .

Das Polynom hat zwei reelle Wurzeln (beide einfach):

Ein Polynom hat eine einfache Wurzel. Daher hat die Gleichung eine reelle Wurzel.

Wenn wir dieselbe Gleichung in der Menge der komplexen Zahlen lösen, stellen wir fest, dass die Gleichung zusätzlich zur angegebenen reellen Wurzel zwei komplex konjugierte Wurzeln hat:

Irrationale Gleichungen

Eine Gleichung, die eine Unbekannte (oder einen rationalen algebraischen Ausdruck für eine Unbekannte) unter dem Wurzelzeichen enthält, heißt irrationale Gleichung. In der Elementarmathematik werden Lösungen irrationaler Gleichungen in der Menge der reellen Zahlen gefunden.

Jede irrationale Gleichung kann durch elementare algebraische Operationen (Multiplikation, Division, Potenzierung beider Seiten der Gleichung auf eine rationale algebraische Gleichung) auf eine rationale algebraische Gleichung reduziert werden. Es ist zu bedenken, dass sich die resultierende rationale algebraische Gleichung möglicherweise als nicht äquivalent zur ursprünglichen irrationalen Gleichung erweist, d. h. sie kann „zusätzliche“ Wurzeln enthalten, die keine Wurzeln der ursprünglichen irrationalen Gleichung sind. Nachdem die Wurzeln der resultierenden rationalen algebraischen Gleichung gefunden wurden, muss daher überprüft werden, ob alle Wurzeln der rationalen Gleichung auch die Wurzeln der irrationalen Gleichung sein werden.

Im Allgemeinen ist es schwierig, eine universelle Methode zur Lösung einer irrationalen Gleichung anzugeben, da es wünschenswert ist, dass als Ergebnis von Transformationen der ursprünglichen irrationalen Gleichung das Ergebnis nicht nur eine rationale algebraische Gleichung unter den Wurzeln von ist dass es sich um die Wurzeln der gegebenen irrationalen Gleichung handelt, sondern um eine rationale algebraische Gleichung, die aus Polynomen des kleinstmöglichen Grades gebildet wird. Der Wunsch, diese rationale algebraische Gleichung zu erhalten, die aus Polynomen möglichst kleinen Grades gebildet wird, ist ganz natürlich, da das Finden aller Wurzeln einer rationalen algebraischen Gleichung an sich eine ziemlich schwierige Aufgabe sein kann, die wir nur vollständig lösen können in einer sehr begrenzten Anzahl von Fällen.

Lassen Sie uns einige standardmäßige und am häufigsten verwendete Methoden zur Lösung irrationaler algebraischer Gleichungen vorstellen.

1) Eine der einfachsten Methoden zur Lösung irrationaler Gleichungen ist die Methode der Eliminierung von Radikalen durch sukzessives Erhöhen beider Seiten der Gleichung auf die entsprechende natürliche Potenz. Es ist zu bedenken, dass, wenn beide Seiten der Gleichung ungerade potenziert werden, die resultierende Gleichung dem Original entspricht, und wenn beide Seiten der Gleichung gerade potenziert werden, ist die resultierende Gleichung im Allgemeinen äquivalent Sprich, nicht äquivalent zur ursprünglichen Gleichung sein. Dies kann leicht überprüft werden, indem beide Seiten der Gleichung erhöht werden

in jedem geraden Grad. Das Ergebnis dieser Operation ist die Gleichung

deren Lösungsmenge eine Vereinigung von Lösungsmengen ist:

UND .

Trotz dieses Nachteils ist jedoch das Verfahren, bei dem beide Seiten der Gleichung auf eine gewisse (häufig gerade) Potenz gesteigert werden, das gebräuchlichste Verfahren zur Reduzierung einer irrationalen Gleichung auf eine rationale Gleichung.

wobei , , einige Polynome sind.

Aufgrund der Definition der Operation des Wurzelziehens in der Menge der reellen Zahlen werden die zulässigen Werte der Unbekannten durch die Bedingungen bestimmt

Durch Quadrieren beider Seiten der Gleichung (18) erhalten wir die Gleichung

Nach erneuter Quadrierung wird die Gleichung zu einer algebraischen Gleichung

Da beide Seiten der Gleichung (18) quadriert wurden, kann es sein, dass nicht alle Wurzeln der Gleichung (19) Lösungen der ursprünglichen Gleichung sind.

2) Ein weiteres Beispiel für die Lösung irrationaler Gleichungen ist die Methode der Einführung neuer Unbekannter, hinsichtlich derer entweder eine einfachere irrationale Gleichung oder eine rationale Gleichung erhalten wird.

Beispiel 2. Lösen Sie eine irrationale Gleichung

.

Der Satz gültiger Werte für diese Gleichung ist:

Durch Setzen erhalten wir nach der Substitution die Gleichung

oder eine äquivalente Gleichung

die als quadratische Gleichung bezüglich betrachtet werden kann. Wenn wir diese Gleichung lösen, erhalten wir

Daher ist die Lösungsmenge der ursprünglichen irrationalen Gleichung die Vereinigung der Lösungsmengen der folgenden beiden Gleichungen:

, .

Indem wir beide Seiten jeder dieser Gleichungen zu einem Würfel formen, erhalten wir zwei rationale algebraische Gleichungen:

, .

Beim Lösen dieser Gleichungen stellen wir fest, dass diese irrationale Gleichung eine einzige Wurzel hat.

Zusammenfassend stellen wir fest, dass man bei der Lösung irrationaler Gleichungen nicht mit der Lösung der Gleichung beginnen sollte, indem man beide Seiten der Gleichungen auf eine natürliche Potenz erhöht und versucht, die Lösung der irrationalen Gleichung auf die Lösung einer rationalen algebraischen Gleichung zu reduzieren. Zuerst müssen wir sehen, ob es möglich ist, eine identische Transformation der Gleichung durchzuführen, die ihre Lösung erheblich vereinfachen kann.

. (20)

Der Satz akzeptabler Werte für diese Gleichung ist: . Nehmen wir die folgenden Transformationen dieser Gleichung vor:

.

,

die Gleichung wird keine Lösungen haben;

wenn die Gleichung geschrieben werden kann als

.

Wenn diese Gleichung keine Lösungen hat, da für jeden, der zur Menge der zulässigen Werte der Gleichung gehört, der Ausdruck auf der linken Seite der Gleichung positiv ist.

Wenn die Gleichung eine Lösung hat

.

Unter Berücksichtigung der Tatsache, dass die Menge der zulässigen Lösungen der Gleichung durch die Bedingung bestimmt wird, erhalten wir schließlich:

Bei der Lösung der irrationalen Gleichung (20) wird es sein

.

Für alle anderen Werte hat die Gleichung keine Lösungen, d. h. die Menge ihrer Lösungen ist eine leere Menge.

Gleichungen, die eine Unbekannte unter dem Absolutwertzeichen enthalten

Gleichungen, die eine Unbekannte mit Absolutwertvorzeichen enthalten, können mithilfe der Moduldefinition auf Gleichungen ohne Absolutwertvorzeichen reduziert werden. Also zum Beispiel die Gleichung lösen

(21)

reduziert sich auf die Lösung zweier Gleichungen mit zusätzlichen Bedingungen.

1) Wenn , dann wird Gleichung (21) auf die Form reduziert

. (22)

Lösungen für diese Gleichung: , . Die Bedingung wird durch die zweite Wurzel der quadratischen Gleichung (22) erfüllt und die Zahl 3 ist die Wurzel von Gleichung (21).

2) Wenn , wird Gleichung (21) auf die Form reduziert

.

Die Wurzeln dieser Gleichung sind die Zahlen Und . Erste Wurzel erfüllt die Bedingung nicht und ist daher keine Lösung für diese Gleichung (21).

Somit sind die Lösungen für Gleichung (21) die Zahlen 3 und .

Beachten Sie, dass die Koeffizienten einer Gleichung, die eine Unbekannte unter dem Absolutwertzeichen enthält, so ausgewählt werden können, dass die Lösungen der Gleichung alle Werte der Unbekannten sind, die zu einem bestimmten Intervall der numerischen Achse gehören. Lassen Sie uns zum Beispiel die Gleichung lösen

. (23)

Schauen wir uns die numerische Achse Ox an und markieren Sie darauf die Punkte 0 und 3 (Nullen der Funktionen unter dem Absolutwertzeichen). Diese Punkte teilen die Zahlenlinie in drei Intervalle (Abb. 1):

1) Wenn Gleichung (23) auf die Form reduziert wird

Im Intervall hat die letzte Gleichung keine Lösungen.

Ebenso, wenn Gleichung (23) auf die Form reduziert wird

und im Intervall gibt es keine Lösungen.

2) Wenn Gleichung (23) auf die Form reduziert wird

,

das heißt, es wird zur Identität. Daher ist jeder Wert eine Lösung für Gleichung (23).

Transzendentale Gleichungen

Eine Gleichung, die durch algebraische Transformationen nicht auf eine algebraische Gleichung reduziert werden kann, heißt transzendentale Gleichung ).

Die einfachsten transzendentalen Gleichungen sind exponentielle, logarithmische und trigonometrische Gleichungen.

Exponentialgleichungen

Exponentialgleichung ist eine Gleichung, in der die Unbekannte nur in den Exponenten einiger konstanter Basen enthalten ist.

Die einfachste Exponentialgleichung, deren Lösung sich auf die Lösung einer algebraischen Gleichung reduziert, ist eine Gleichung der Form

wo und sind einige positive Zahlen. Die Exponentialgleichung (24) entspricht der algebraischen Gleichung

.

Im einfachsten Fall hat die Exponentialgleichung (24) eine Lösung

Die Menge der Lösungen einer Exponentialgleichung der Form

Wo ist ein Polynom, das wie folgt gefunden wird?

Eine neue Variable wird eingeführt und Gleichung (25) wird algebraisch in Bezug auf die Unbekannte gelöst. Danach reduziert sich die Lösung der ursprünglichen Gleichung (25) auf die Lösung der einfachsten Exponentialgleichungen der Form (24).

Beispiel 1. Lösen Sie die Gleichung

Schreiben Sie die Gleichung in das Formular

und Einführung einer neuen Variablen erhalten wir eine kubische Gleichung in Bezug auf die Variable:

Es lässt sich leicht überprüfen, dass diese kubische Gleichung eine einzige rationale Wurzel und zwei irrationale Wurzeln hat: und .

Somit reduziert sich die Lösung der ursprünglichen Gleichung auf die Lösung der einfachsten Exponentialgleichungen:

Die zuletzt aufgeführte Gleichung hat keine Lösungsgleichungen. Die Lösungsmenge der ersten und zweiten Gleichung:

Einige der einfachsten Indikatorgleichungen:

1) Gleichung des Formulars

.

2) Gleichung des Formulars

Die Ersetzung reduziert sich auf eine quadratische Gleichung

.

3) Gleichung des Formulars

Die Ersetzung reduziert sich auf eine quadratische Gleichung

.

Logarithmische Gleichungen

Logarithmisch Eine Gleichung ist eine Gleichung, in der die Unbekannte als Argument einer logarithmischen Funktion erscheint.

Die einfachste logarithmische Gleichung ist eine Gleichung der Form

, (26)

Wo ist eine positive Zahl, die sich von eins unterscheidet, eine beliebige reelle Zahl? Die logarithmische Gleichung (26) entspricht der algebraischen Gleichung

Im einfachsten Fall hat die logarithmische Gleichung (26) eine Lösung

Die Menge der Lösungen einer logarithmischen Gleichung der Form , wobei es sich um ein Polynom der angegebenen Unbekannten handelt, wird wie folgt gefunden.

Eine neue Variable wird eingeführt und Gleichung (25) wird als algebraische Gleichung für gelöst. Anschließend werden die einfachsten logarithmischen Gleichungen der Form (25) gelöst.

Beispiel 1. Lösen Sie die Gleichung

Bezogen auf die Unbekannte ist diese Gleichung quadratisch:

.

Die Wurzeln dieser Gleichung sind: , .

Logarithmische Gleichungen lösen

wir erhalten Lösungen für die logarithmische Gleichung (27): , .

Um die Lösung einer logarithmischen Gleichung auf die sequentielle Lösung algebraischer und einfacher logarithmischer Gleichungen zu reduzieren, ist es in manchen Fällen erforderlich, zunächst geeignete Transformationen der in der Gleichung enthaltenen Logarithmen vorzunehmen. Solche Transformationen können die Transformation der Summe der Logarithmen zweier Größen in den Logarithmus des Produkts dieser Größen, der Übergang von einem Logarithmus mit einer Basis zu einem Logarithmus mit einer anderen Basis usw. sein.

Beispiel 2. Lösen Sie die Gleichung

Um die Lösung dieser Gleichung auf eine sequentielle Lösung algebraischer und einfacher logarithmischer Gleichungen zu reduzieren, ist es zunächst notwendig, alle Logarithmen auf eine Basis (hier beispielsweise auf Basis 2) zu reduzieren. Dazu verwenden wir die Formel

,

Aufgrund dessen . Wenn wir einen gleichen Wert in Gleichung (28) einsetzen, erhalten wir die Gleichung

Ersatz Diese Gleichung reduziert sich auf eine quadratische Gleichung für die Unbekannte:

.

Die Wurzeln dieser quadratischen Gleichung sind: , . Wir lösen Gleichungen und :

,

Beispiel 3. Lösen Sie die Gleichung

Umrechnung der Differenz zwischen den Logarithmen zweier Größen in den Logarithmus des Quotienten dieser Größen:

Wir reduzieren diese Gleichung auf die einfachste logarithmische Gleichung

.

Abschluss

Die Mathematik steht wie jede andere Wissenschaft nicht still; mit der Entwicklung der Gesellschaft verändern sich die Ansichten der Menschen, neue Gedanken und Ideen entstehen. Und das 20. Jahrhundert war in diesem Sinne keine Ausnahme. Mit dem Aufkommen von Computern wurden die Methoden zur Lösung von Gleichungen angepasst und wesentlich einfacher. Allerdings ist möglicherweise nicht immer ein Computer zur Hand (Prüfung, Test), daher sind Kenntnisse zumindest der wichtigsten Methoden zur Lösung von Gleichungen erforderlich. Die Verwendung von Gleichungen im Alltag ist selten. Sie haben ihre Anwendung in vielen Wirtschaftszweigen und in fast allen neuesten Technologien gefunden.

In dieser Arbeit wurden nicht alle Methoden zur Lösung von Gleichungen und nicht einmal alle ihre Typen vorgestellt, sondern nur die grundlegendsten. Ich hoffe, dass mein Aufsatz als gutes Referenzmaterial bei der Lösung bestimmter Gleichungen dienen kann. Abschließend möchte ich anmerken, dass ich mir beim Verfassen dieses Aufsatzes nicht das Ziel gesetzt habe, alle Arten von Gleichungen aufzuzeigen, sondern nur das Material präsentiert habe, das mir zur Verfügung stand.

Liste der verwendeten Literatur

Kopf Hrsg. M. D. Aksenova. Enzyklopädie für Kinder. Band 11. Mathematik. – M.: Avanta+, 1998. – 688 S.

Tsypkin A.G. Ed. S. A. Stepanowa. Handbuch der Mathematik für die weiterführende Schule. – M.: Nauka, 1980.- 400 S.

G. Korn und T. Korn. Handbuch der Mathematik für Naturwissenschaftler und Ingenieure. – M.: Nauka, 1970.- 720 S.

) Unter akzeptabel Unter solchen numerischen Werten von Buchstaben werden diejenigen verstanden, für die alle Operationen, die an den in der Gleichheit enthaltenen Buchstaben durchgeführt werden, durchführbar sind. Zum Beispiel die gültigen Werte der in der Gleichheit enthaltenen Buchstaben

wird das Folgende sein; Für ; für, für

) Wenn a und b unterschiedliche Vorzeichen haben, dann .

) Der Fall ähnelt dem besprochenen.

) Unter algebraische Transformationen Gleichungen

Verstehen Sie die folgenden Transformationen:

1) Hinzufügen des gleichen algebraischen Ausdrucks zu beiden Seiten der Gleichung;

2) Multiplikation beider Seiten der Gleichung mit demselben algebraischen Ausdruck;

3) Erhöhen beider Seiten der Gleichung auf eine rationale Potenz.

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Nachdem wir das Konzept der Gleichheiten untersucht haben, nämlich einen ihrer Typen – numerische Gleichheiten –, können wir zu einem anderen wichtigen Typ übergehen – Gleichungen. Im Rahmen dieses Materials erklären wir, was eine Gleichung und ihre Wurzel sind, formulieren grundlegende Definitionen und geben verschiedene Beispiele für Gleichungen und das Finden ihrer Wurzeln.

Konzept der Gleichung

Typischerweise wird das Konzept einer Gleichung gleich zu Beginn eines Algebrakurses in der Schule vermittelt. Dann ist es so definiert:

Definition 1

Gleichung nennt man eine Gleichheit mit einer unbekannten Zahl, die gefunden werden muss.

Es ist üblich, Unbekannte in kleinen lateinischen Buchstaben zu bezeichnen, zum Beispiel t, r, m usw., am häufigsten werden jedoch x, y, z verwendet. Mit anderen Worten, die Gleichung wird durch die Form ihrer Aufzeichnung bestimmt, das heißt, Gleichheit ist nur dann eine Gleichung, wenn sie auf eine bestimmte Form reduziert wird – sie muss einen Buchstaben enthalten, den Wert, der gefunden werden muss.

Lassen Sie uns einige Beispiele für die einfachsten Gleichungen geben. Dies können Gleichungen der Form x = 5, y = 6 usw. sein, aber auch solche, die arithmetische Operationen beinhalten, zum Beispiel x + 7 = 38, z − 4 = 2, 8 t = 4, 6: x = 3.

Nachdem das Konzept der Klammern untersucht wurde, erscheint das Konzept der Gleichungen mit Klammern. Dazu gehören 7 · (x − 1) = 19, x + 6 · (x + 6 · (x − 8)) = 3 usw. Der zu findende Buchstabe kann mehr als einmal, aber auch mehrmals vorkommen , zum Beispiel in der Gleichung x + 2 + 4 · x − 2 − x = 10 . Außerdem können Unbekannte nicht nur links, sondern auch rechts oder in beiden Teilen gleichzeitig liegen, zum Beispiel x (8 + 1) − 7 = 8, 3 − 3 = z + 3 oder 8 x − 9 = 2 (x + 17) .

Nachdem sich die Schüler außerdem mit den Konzepten von ganzen Zahlen, reellen Zahlen, rationalen Zahlen, natürlichen Zahlen sowie Logarithmen, Wurzeln und Potenzen vertraut gemacht haben, erscheinen neue Gleichungen, die alle diese Objekte umfassen. Beispielen für solche Ausdrücke haben wir einen eigenen Artikel gewidmet.

Im Lehrplan der 7. Klasse taucht erstmals das Konzept der Variablen auf. Dabei handelt es sich um Buchstaben, die unterschiedliche Bedeutungen annehmen können (weitere Einzelheiten finden Sie im Artikel zu Zahlen-, Buchstaben- und Variablenausdrücken). Basierend auf diesem Konzept können wir die Gleichung neu definieren:

Definition 2

Die gleichung ist eine Gleichheit, die eine Variable betrifft, deren Wert berechnet werden muss.

Das heißt zum Beispiel, der Ausdruck x + 3 = 6 x + 7 ist eine Gleichung mit der Variablen x und 3 y − 1 + y = 0 ist eine Gleichung mit der Variablen y.

Eine Gleichung kann mehr als eine Variable haben, jedoch zwei oder mehr. Man nennt sie jeweils Gleichungen mit zwei, drei Variablen usw. Schreiben wir die Definition auf:

Definition 3

Gleichungen mit zwei (drei, vier oder mehr) Variablen sind Gleichungen, die eine entsprechende Anzahl an Unbekannten enthalten.

Beispielsweise ist eine Gleichheit der Form 3, 7 x + 0, 6 = 1 eine Gleichung mit einer Variablen x und x − z = 5 ist eine Gleichung mit zwei Variablen x und z. Ein Beispiel für eine Gleichung mit drei Variablen wäre x 2 + (y − 6) 2 + (z + 0, 6) 2 = 26.

Wurzel der Gleichung

Wenn wir über eine Gleichung sprechen, entsteht sofort die Notwendigkeit, den Begriff ihrer Wurzel zu definieren. Versuchen wir zu erklären, was es bedeutet.

Beispiel 1

Wir erhalten eine bestimmte Gleichung, die eine Variable enthält. Wenn wir den unbekannten Buchstaben durch eine Zahl ersetzen, wird die Gleichung zu einer numerischen Gleichheit – wahr oder falsch. Wenn wir also in der Gleichung a + 1 = 5 den Buchstaben durch die Zahl 2 ersetzen, wird die Gleichheit falsch, und wenn 4, dann ist die richtige Gleichheit 4 + 1 = 5.

Uns interessieren vielmehr genau die Werte, bei denen sich die Variable in eine echte Gleichheit verwandelt. Sie werden Wurzeln oder Lösungen genannt. Schreiben wir die Definition auf.

Definition 4

Wurzel der Gleichung Sie bezeichnen den Wert einer Variablen, der eine gegebene Gleichung in eine echte Gleichheit umwandelt.

Die Wurzel kann auch als Lösung bezeichnet werden oder umgekehrt – beide Konzepte bedeuten dasselbe.

Beispiel 2

Nehmen wir ein Beispiel, um diese Definition zu verdeutlichen. Oben haben wir die Gleichung a + 1 = 5 angegeben. Laut Definition ist die Wurzel in diesem Fall 4, denn wenn sie anstelle eines Buchstabens eingesetzt wird, ergibt sie die richtige numerische Gleichheit, und zwei ist keine Lösung, da sie der falschen Gleichheit 2 + 1 = 5 entspricht.

Wie viele Wurzeln kann eine Gleichung haben? Hat jede Gleichung eine Wurzel? Beantworten wir diese Fragen.

Es gibt auch Gleichungen, die keine einzige Wurzel haben. Ein Beispiel wäre 0 x = 5. Wir können unendlich viele verschiedene Zahlen hineinsetzen, aber keine davon wird daraus eine echte Gleichheit machen, da die Multiplikation mit 0 immer 0 ergibt.

Es gibt auch Gleichungen, die mehrere Wurzeln haben. Sie können entweder endlich oder unendlich viele Wurzeln haben.

Beispiel 3

In der Gleichung x − 2 = 4 gibt es also nur eine Wurzel – sechs, in x 2 = 9 zwei Wurzeln – drei und minus drei, in x · (x − 1) · (x − 2) = 0 drei Wurzeln – Null, Eins und Zwei, es gibt unendlich viele Wurzeln in der Gleichung x=x.

Lassen Sie uns nun erklären, wie man die Wurzeln der Gleichung richtig schreibt. Wenn es keine gibt, schreiben wir: „Die Gleichung hat keine Wurzeln.“ In diesem Fall können Sie auch das Vorzeichen der leeren Menge ∅ angeben. Wenn Wurzeln vorhanden sind, schreiben wir sie durch Kommas getrennt oder geben sie als Elemente einer Menge an und schließen sie in geschweifte Klammern ein. Wenn also eine Gleichung drei Wurzeln hat – 2, 1 und 5, dann schreiben wir – 2, 1, 5 oder (- 2, 1, 5).

Es ist erlaubt, Wurzeln in Form einfacher Gleichungen zu schreiben. Wenn also die Unbekannte in der Gleichung mit dem Buchstaben y bezeichnet wird und die Wurzeln 2 und 7 sind, dann schreiben wir y = 2 und y = 7. Manchmal werden Buchstaben tiefgestellt, zum Beispiel x 1 = 3, x 2 = 5. Auf diese Weise weisen wir auf die Zahlen der Wurzeln hin. Wenn die Gleichung unendlich viele Lösungen hat, schreiben wir die Antwort als numerisches Intervall oder verwenden die allgemein akzeptierte Notation: Die Menge der natürlichen Zahlen wird mit N bezeichnet, ganze Zahlen mit Z, reelle Zahlen mit R. Nehmen wir an, wenn wir schreiben müssen, dass die Lösung der Gleichung eine beliebige ganze Zahl sein wird, dann schreiben wir, dass x ∈ Z ist, und wenn es eine reelle Zahl von eins bis neun gibt, dann ist y ∈ 1, 9.

Wenn eine Gleichung zwei, drei Wurzeln oder mehr hat, dann spricht man in der Regel nicht von Wurzeln, sondern von Lösungen der Gleichung. Formulieren wir die Definition einer Lösung einer Gleichung mit mehreren Variablen.

Definition 5

Die Lösung einer Gleichung mit zwei, drei oder mehr Variablen sind zwei, drei oder mehr Werte der Variablen, die die gegebene Gleichung in eine korrekte numerische Gleichheit umwandeln.

Lassen Sie uns die Definition anhand von Beispielen erläutern.

Beispiel 4

Nehmen wir an, wir haben den Ausdruck x + y = 7, der eine Gleichung mit zwei Variablen ist. Ersetzen wir eins anstelle des ersten und zwei anstelle des zweiten. Wir erhalten eine falsche Gleichheit, was bedeutet, dass dieses Wertepaar keine Lösung dieser Gleichung darstellt. Nehmen wir das Paar 3 und 4, dann wird die Gleichheit wahr, was bedeutet, dass wir eine Lösung gefunden haben.

Solche Gleichungen können auch keine oder unendlich viele Wurzeln haben. Wenn wir zwei, drei, vier oder mehr Werte aufschreiben müssen, dann schreiben wir sie durch Kommas getrennt in Klammern. Das heißt, im obigen Beispiel sieht die Antwort wie folgt aus: (3, 4).

In der Praxis hat man es am häufigsten mit Gleichungen zu tun, die eine Variable enthalten. Wir werden den Algorithmus zu ihrer Lösung im Detail in dem Artikel zum Lösen von Gleichungen betrachten.

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