Grenzwerte bereiten allen Mathematikstudenten große Probleme. Um ein Limit zu lösen, muss man manchmal viele Tricks anwenden und aus einer Vielzahl von Lösungsmethoden genau diejenige auswählen, die für ein bestimmtes Beispiel geeignet ist.

In diesem Artikel werden wir Ihnen nicht helfen, die Grenzen Ihrer Fähigkeiten oder die Grenzen der Kontrolle zu verstehen, sondern wir werden versuchen, die Frage zu beantworten: Wie versteht man die Grenzen in der höheren Mathematik? Verständnis geht mit Erfahrung einher, daher werden wir gleichzeitig mehrere detaillierte Beispiele zur Lösung von Grenzen mit Erklärungen geben.

Der Grenzwertbegriff in der Mathematik

Die erste Frage ist: Was ist diese Grenze und die Grenze wovon? Wir können über die Grenzen numerischer Folgen und Funktionen sprechen. Wir interessieren uns für das Konzept des Grenzwerts einer Funktion, da dies das ist, was Studierende am häufigsten antreffen. Doch zunächst die allgemeinste Definition einer Grenze:

Nehmen wir an, es gibt einen variablen Wert. Wenn sich dieser Wert im Veränderungsprozess unbegrenzt einer bestimmten Zahl nähert A , Das A – die Grenze dieses Wertes.

Für eine in einem bestimmten Intervall definierte Funktion f(x)=y Eine solche Zahl wird als Grenzwert bezeichnet A , zu dem die Funktion tendiert, wenn X , tendiert zu einem bestimmten Punkt A . Punkt A gehört zu dem Intervall, in dem die Funktion definiert ist.

Es klingt umständlich, ist aber ganz einfach geschrieben:

Lim- aus dem Englischen Grenze- Grenze.

Es gibt auch eine geometrische Erklärung für die Bestimmung des Grenzwerts, aber wir werden hier nicht auf die Theorie eingehen, da uns mehr die praktische als die theoretische Seite des Problems interessiert. Wenn wir das sagen X tendiert zu einem bestimmten Wert, das bedeutet, dass die Variable nicht den Wert einer Zahl annimmt, sondern sich dieser unendlich nahe annähert.

Lassen Sie uns ein konkretes Beispiel geben. Die Aufgabe besteht darin, die Grenze zu finden.

Um dieses Beispiel zu lösen, ersetzen wir den Wert x=3 in eine Funktion umwandeln. Wir bekommen:

Übrigens, wenn Sie Interesse haben, lesen Sie einen separaten Artikel zu diesem Thema.

In den Beispielen X kann zu jedem Wert tendieren. Es kann eine beliebige Zahl oder unendlich sein. Hier ist ein Beispiel, wann X tendiert zur Unendlichkeit:

Intuitiv gilt: Je größer die Zahl im Nenner, desto kleiner ist der Wert, den die Funktion annimmt. Also mit unbegrenztem Wachstum X Bedeutung 1/x wird abnehmen und gegen Null gehen.

Wie Sie sehen, müssen Sie zum Lösen des Grenzwerts lediglich den anzustrebenden Wert in die Funktion einsetzen X . Dies ist jedoch der einfachste Fall. Oft ist es nicht so offensichtlich, die Grenze zu finden. Innerhalb der Grenzen gibt es Unsicherheiten der Art 0/0 oder Unendlichkeit/Unendlichkeit . Was ist in solchen Fällen zu tun? Greifen Sie zu Tricks!

Unsicherheiten im Inneren

Unsicherheit der Form Unendlichkeit/Unendlichkeit

Lass es eine Grenze geben:

Wenn wir versuchen, Unendlich in die Funktion einzusetzen, erhalten wir Unendlichkeit sowohl im Zähler als auch im Nenner. Im Allgemeinen ist es erwähnenswert, dass die Auflösung solcher Unsicherheiten ein gewisses Kunststück darstellt: Man muss erkennen, wie man die Funktion so umwandeln kann, dass die Unsicherheit verschwindet. In unserem Fall dividieren wir Zähler und Nenner durch X im Oberstufenstudium. Was wird passieren?

Aus dem oben bereits diskutierten Beispiel wissen wir, dass Terme, die x im Nenner enthalten, gegen Null tendieren. Dann lautet die Lösung des Grenzwerts:

Zur Lösung von Typunsicherheiten Unendlichkeit/Unendlichkeit Teilen Sie Zähler und Nenner durch X im höchsten Maße.

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Eine andere Art von Unsicherheit: 0/0

Wie immer Werte in die Funktion einsetzen x=-1 gibt 0 im Zähler und Nenner. Schauen Sie etwas genauer hin und Sie werden feststellen, dass wir im Zähler eine quadratische Gleichung haben. Lasst uns die Wurzeln finden und schreiben:

Reduzieren wir und erhalten:

Wenn Sie also mit Typunsicherheit konfrontiert sind 0/0 – Faktorisieren Sie Zähler und Nenner.

Um Ihnen das Lösen von Beispielen zu erleichtern, präsentieren wir eine Tabelle mit den Grenzen einiger Funktionen:

L'Hopitals Herrschaft im Inneren

Eine weitere wirkungsvolle Möglichkeit, beide Arten von Unsicherheit zu beseitigen. Was ist die Essenz der Methode?

Wenn der Grenzwert unsicher ist, bilden Sie die Ableitung von Zähler und Nenner ab, bis die Unsicherheit verschwindet.

Die Regel von L'Hopital sieht folgendermaßen aus:

Wichtiger Punkt : Der Grenzwert, in dem die Ableitungen von Zähler und Nenner anstelle von Zähler und Nenner stehen, muss existieren.

Und jetzt - ein echtes Beispiel:

Es herrscht typische Unsicherheit 0/0 . Nehmen wir die Ableitungen von Zähler und Nenner:

Voila, Unsicherheit wird schnell und elegant gelöst.

Wir hoffen, dass Sie diese Informationen in der Praxis sinnvoll anwenden und die Antwort auf die Frage „Wie löst man Grenzwerte in der höheren Mathematik“ finden? Wenn Sie den Grenzwert einer Folge oder den Grenzwert einer Funktion an einem Punkt berechnen müssen, aber für diese Arbeit absolut keine Zeit haben, wenden Sie sich für eine schnelle und detaillierte Lösung an einen professionellen Studentenservice.



Er war achtundzwanzig lange Jahre alt und außerdem achtundzwanzig Winter,

Er bewahrte ein Geheimnis und war ein vorbildlicher Ehemann in der Familie.
Alles schien wie immer zu sein: Meine Frau bereitete das Abendessen vor ...
Doch plötzlich geschah etwas Schlimmes: Er erinnerte sich an das Geheimnis.
Zu dem Lärm und dem sauren Geruch der Kohlsuppe, dem Murren meiner Verlobten am Morgen,
Er erinnerte sich bis ins kleinste Detail an alles, als wäre es gestern passiert ...
...Sie saß am Fenster und das sanfte, wundervolle Mondlicht
Malte ihre schöne Silhouette in blassen Tönen ...
Strähnen flossen über die Schultern, glitten wie Schlangen auf die Brust ...
Und er dachte voreilig: „Eines Tages werde ich sie heiraten!“
Er erinnerte sich bis ins kleinste Detail an alles: die Kurven der Linien, die Weichheit der Lippen ...
Und die Hitze ihrer einfachen Reden und eine riesige Eiche vor dem Fenster.
Ein Gewirr von Händen... Eine Verschmelzung von Körpern... Ein Wasserfall brauner Haare...
Und wie er sie bis zur Raserei und zu Tränen begehrte!
Ein Strom zitternder Geständnisse, wie er sie mir ins Ohr flüsterte!
Eine komische Locke über dem Ohr, die vor Atem zitterte...
Sie sah ihn mit nachtfeuchten Augen an.
Die Worte waren so berauschend wie Wein: „Ich liebe dich... Gib mir eine Tochter...“
Am Morgen verlor er die Ruhe: Er war aufgeregt, dann gelangweilt...
Dann bedeckte er sein Gesicht mit der Hand, setzte sich auf einen Stuhl und schwieg.
Die Frau grummelte wie immer. Sie schimpfte mit der außer Kontrolle geratenen Suppe ...
Und er bemerkte, dass ihr die Jahre mit zunehmendem Alter nicht mehr passten.
Genauso wie ihr weiße Farbe und gefärbte Haarsträhnen nicht stehen.
Und achtundzwanzig Jahre lang war irgendwie nicht alles ernst...
Plötzlich sprang er auf, schnappte sich seinen Mantel und vergaß Hut und Socken.
Nicht alle achtundzwanzig Jahre sind gleich... Alle achtundzwanzig Winter sind melancholisch.
Habe das Haus gefunden. Das Haus hat eine Eiche. Er rannte wie ein Pfeil die Treppe hinauf ...
Ich wünschte, ich könnte das Zittern der kalten Lippen und die widerliche Feigheit stoppen – weg!
Sie trinkt wahrscheinlich Tee und hüllt sich in einen Schal ...
Und eine stille Traurigkeit fließt aus ihren schönen Augen ...
Oder hat sie vielleicht angefangen zu stricken? Oder vielleicht Spitze weben?
Es gibt ihr so ​​viel zu erzählen! Und die Hauptsache ist zu sagen: Es tut mir leid...
Sie öffnete die Tür... In ihren Augen lag eine Frage. Sie war wieder zwanzig Jahre alt ...
Eine Kaskade brauner Haare... Eine Silhouette, die dem Herzen vertraut ist...
Es gibt eine leichte Locke über dem Ohr... Genau wie vor vielen Jahren - genau das Gleiche...
„Du täuschst dich nicht?“ - Nein, ich konnte nicht... Bist du Anya „Vera.“ Ihre Tochter…"
„Und Anya?“ – „Mama ist nicht mehr... Wer bist du?“ Er drehte sich um:
„Ich war achtundzwanzig Jahre lang bei ihr...“ - Sie hat auf dich gewartet... Fünfundzwanzig...
Wie schwindelig... Wie mir das Herz in der Brust sank!
Und er erinnerte sich mit einem Gebet an ihre Worte: „Geh nicht!“
Er beugte sich vor. Er trottete davon. Ineinander verschlungene Hände... Verschmelzung von Körpern...
Ich liebe dich... Gib mir eine Tochter... Aber er wollte unbedingt eine Tochter.
Wie merkwürdig. Anya ist nicht mehr ... Ich weinte ... Ich warf es in die Stille: „Ich werde dich viele, viele Jahre lang lieben ... Du allein ...“

P.S. Kümmere dich um die Liebe – sie ist die Grundlage deines Glücks...



Eine Frau, die sehr oft vergibt und sehr lange durchhält, geht oft unerwartet und für immer!



Wisse, dass jeder einen anderen „Verletzung“ hat,
Wisse, dass jeder ein anderes „Gruselgefühl“ hat.
Urteilen Sie nicht von Ihrem Glockenturm aus
Es ist nicht bekannt, wie viele Stockwerke es gibt.

Schauen Sie nicht auf die Grenzen
Erfinden Sie keine Grenzen mit Ihrem Gehirn.
Wovon würden Sie in einem Albtraum niemals träumen?
Für manche ist es eine alltägliche Sache.

Wisse, dass jeder ein anderes „Sollte“ hat.
Wisse, dass die „Schwierigkeit“ bei jedem anders ist.
Allerdings ist die Idee der Hölle
Es ist unmöglich, es zu verallgemeinern und zu vergleichen.

Wisse, dass die Wahrheit anders ist,
Und nicht das, was auf einer Platte serviert wird.
Schauen Sie sich diejenigen genauer an, deren Schicksal beängstigend ist,
Das sind die stärksten Menschen.

Sag nicht, dass ich mich nicht an dich erinnere ...
Ich erinnere mich mehrmals am Tag an alles
Ich wiederhole die Telefonnummer
Aber ich werde dich nie anrufen.
Es fühlte sich an, als ob mein Herz gleich brechen würde
Und an der Grenze einsamer Tage

Sie gingen über den Horizont meiner Seele hinaus.
Da war Liebe, da war Liebe, da war!
Und diesem Satz ist nichts hinzuzufügen.
Unser Zauberschloss ist bis auf die Grundmauern niedergebrannt
Und er hat keine Asche hinterlassen, damit wir uns daran erinnern können.
Ich erinnere mich an alles und ich erinnere mich an den blühenden Garten,
Und durch das Laub - Strahlen von allen Seiten,
Wie aus einem weißen, weißen Glockenturm
In deiner Seele – hörst du – strömt ein leises Klingeln.
Die Liebe ist verschwunden und wird niemals zurückkehren,
Und um sie nicht für immer zu vermissen,
Deine Augen sind wie zwei traurige Sonnen
Sie gingen über den Horizont meiner Seele hinaus.

Das Streben nach Glück ist erneut erfolglos ...
Und es ist ein regnerischer Abend, es ist düster draußen ...
Und als Kind... habe ich Marmelade auf ein Brötchen gestrichen
Und auf jeden Fall glücklich, dummerweise glücklich ...

Glamour, Etikette, Diamanten, Whirlpool ...
Jetzt, zusätzlich zum Glück, im Schicksal von „All inclusive“,
Und als Kind habe ich Sonnenblumenkerne gegessen,
Und das Glück schien keine Grenzen zu kennen ...

Wir sind Clowns sehr ähnlich geworden...
Jeder trägt Make-up, das nach außen hin lacht ...
Und in der Kindheit... brach nur die Sonne vom Himmel hervor
Und das glückliche Herz lächelte so sehr ...

Wir wählen Menschen aus wie Buchweizen in Aschenputtel ...
Kontaktieren Sie alle, die Sie brauchen... Wer unrentabel ist, geht an den Herd...
Und in der Kindheit glaubte ein klarer Himmel an uns ...
Wo bleibt die Freude am Duft von frischem Brot?

Und jetzt kann man Freundschaft auch kaufen...
Wir haben es geschafft... Wir leben in einer Welt aus Pelz und Leder...
Und als Kind retteten sie einen Mischling vor einem Regensturm ...
Und indem sie Glück gaben, empfingen sie es.

Wir haben im Laufe der Jahre an Aufrichtigkeit und Sensibilität verloren ...
Wir haben uns Grenzen und Rahmen ausgedacht...
Hast du ein Brötchen und ein Glas Kirschmarmelade?
Also seid verdammt glücklich!

Ich schaue dich an und merke, dass ich dich immer noch liebe. Diese Liebe ist eine chronische Krankheit der letzten Jahre. Es verursacht so unerträgliche Schmerzen, dass ich mich auf völlig Fremde stürzte und versuchte, mich von ihnen täuschen zu lassen. Mit ihnen werde ich plötzlich in diesen Umarmungen genau das Schmerzmittel finden, das es laut den Besitzern faltiger Herzen überhaupt nicht gibt. Ich verstehe, dass ich getäuscht werde, aber ich umarme mich trotzdem weiter – ich kann mich sonst nicht umbringen, es tut weh, es quält mich, es lässt mich nachts nicht schlafen, also sitze ich auf der Fensterbank und, In einer Minute werde ich vor lauter Illusionen herzzerreißend schreien. Soll ich Sie um Hilfe bitten? Nutzlos. Du weißt von meiner Liebe, aber du brauchst sie nicht, „dein Mund ist voller unausgesprochener Gefühle.“ Wir befinden uns im selben Netz der Verantwortungslosigkeit, können uns aber nicht gegenseitig helfen. Du schlingst deine Hände um die dünnen weißen Fäden und Stäbe und schaust irgendwo über die Grenzen der Realität hinaus, in der Hoffnung auf Gott weiß wessen Hilfe. Und es gibt nur einen Unterschied zwischen uns: Meine Liebe zu dir hat mich fast umgehauen, und deine Liebe zu jemandem befeuert und belebt dich mit Erwartung, wenn auch trügerisch. Ich möchte dich nicht mehr ansehen, ich vertreibe die Möglichkeit von dir aus meinem Herzen, aber das macht es noch schmerzhafter. So geht er im Flüsterton durch den Prozess des Leidens, auch in der Hoffnung auf Gott weiß wessen Hilfe. Zeit?..

Dein Leben ist eine komplette Lüge, Porno, Alltag, Internetsucht und Handysklaverei. Nun, habe ich nicht recht? Sagen Sie mir, haben Sie jemals etwas wirklich Außergewöhnliches getan? Niemals. Und das kannst du nicht. Weißt du, warum? Denn das alles liegt außerhalb Ihrer Komfortzone. Du bist darin eingepackt. Wie in einer Polypropylentüte. Ihr seid Fleischstücke, eingeengt durch die Enge des Alltags und der Arbeit. Oder liege ich falsch? Vielleicht bin ich falsch? Korrigieren Sie mich.
Können Sie zum Beispiel Ihr Mobiltelefon der ersten Person geben, die Sie treffen? A? Knifflige Frage. Können Sie die Schraube Ihres Computers jetzt formatieren? Dumm? Hast du dich selbst beschissen? Wissen Sie, warum Sie das nicht tun? Weil es einem Selbstmord gleichkommt. Ohne es existiert man nicht.