, Wettbewerb „Präsentation für den Unterricht“

Klasse: 11

Präsentation für den Unterricht

Zurück vorwärts

Aufmerksamkeit! Folienvorschauen dienen nur zu Informationszwecken und stellen möglicherweise nicht alle Funktionen der Präsentation dar. Wenn Sie an dieser Arbeit interessiert sind, laden Sie bitte die Vollversion herunter.

Ziele:

• Verallgemeinerung und Systematisierung der Kenntnisse und Fähigkeiten der Studierenden;
• Entwicklung von Fähigkeiten zum Analysieren, Vergleichen und Ziehen von Schlussfolgerungen.

Ausrüstung:

• Multimedia-Projektor;
• Computer;
• Blätter mit Problemtexten

FORTSCHRITT DER KLASSE

I. Organisatorischer Moment

II. Phase der Wissensaktualisierung(Folie 2)

Wir wiederholen, wie der Abstand von einem Punkt zu einer Ebene bestimmt wird

III. Vorlesung(Folien 3-15)

In dieser Lektion werden wir uns verschiedene Möglichkeiten ansehen, den Abstand von einem Punkt zu einer Ebene zu ermitteln.

Erste Methode: Schritt für Schritt rechnerisch

Abstand vom Punkt M zur Ebene α:
– gleich dem Abstand zur Ebene α von einem beliebigen Punkt P, der auf einer Geraden a liegt, die durch den Punkt M geht und parallel zur Ebene α ist;
– ist gleich dem Abstand zur Ebene α von einem beliebigen Punkt P, der auf der Ebene β liegt, der durch den Punkt M verläuft und parallel zur Ebene α ist.

Wir werden folgende Probleme lösen:

№1. Ermitteln Sie im Würfel A...D 1 den Abstand vom Punkt C 1 zur Ebene AB 1 C.

Es bleibt noch der Wert der Länge des Segments O 1 N zu berechnen.

№2. Bestimmen Sie in einem regelmäßigen sechseckigen Prisma A...F 1, dessen Kanten alle gleich 1 sind, den Abstand vom Punkt A zur Ebene DEA 1.

Nächste Methode: Volumenmethode.

Wenn das Volumen der Pyramide ABCM gleich V ist, wird der Abstand vom Punkt M zur Ebene α, die ∆ABC enthält, durch die Formel ρ(M; α) = ρ(M; ABC) = berechnet
Bei der Lösung von Problemen verwenden wir die Volumengleichheit einer Figur, ausgedrückt auf zwei verschiedene Arten.

Lösen wir das folgende Problem:

№3. Die Kante AD der Pyramide DABC steht senkrecht zur Grundebene ABC. Bestimmen Sie den Abstand von A zur Ebene, die durch die Mittelpunkte der Kanten AB, AC und AD verläuft, wenn.

Beim Lösen von Problemen Koordinatenmethode Der Abstand vom Punkt M zur Ebene α kann mit der Formel ρ(M; α) = berechnet werden , wobei M(x 0; y 0; z 0) und die Ebene durch die Gleichung ax + by + cz + d = 0 gegeben ist

Lösen wir das folgende Problem:

№4. Ermitteln Sie in einem Einheitswürfel A...D 1 den Abstand vom Punkt A 1 zur Ebene BDC 1.

Führen wir ein Koordinatensystem mit dem Ursprung im Punkt A ein, die y-Achse verläuft entlang der Kante AB, die x-Achse entlang der Kante AD und die z-Achse entlang der Kante AA 1. Dann sind die Koordinaten der Punkte B (0; 1; 0) D (1; 0; 0;) C 1 (1; 1; 1)
Erstellen wir eine Gleichung für eine Ebene, die durch die Punkte B, D, C 1 verläuft.

Dann – dx – dy + dz + d = 0 x + y – z – 1= 0. Daher ist ρ =

Die folgende Methode, mit der Probleme dieser Art gelöst werden können, ist Methode zur Unterstützung von Problemen.

Die Anwendung dieser Methode besteht in der Verwendung bekannter Referenzprobleme, die als Theoreme formuliert werden.

Lösen wir das folgende Problem:

№5. Ermitteln Sie in einem Einheitswürfel A...D 1 den Abstand vom Punkt D 1 zur Ebene AB 1 C.

Betrachten wir die Anwendung Vektormethode.

№6. Ermitteln Sie in einem Einheitswürfel A...D 1 den Abstand vom Punkt A 1 zur Ebene BDC 1.

Deshalb haben wir uns verschiedene Methoden angesehen, mit denen diese Art von Problem gelöst werden kann. Die Wahl der einen oder anderen Methode hängt von der konkreten Aufgabe und Ihren Vorlieben ab.

IV. Gruppenarbeit

Versuchen Sie, das Problem auf unterschiedliche Weise zu lösen.

№1. Die Kante des Würfels A...D 1 ist gleich . Ermitteln Sie den Abstand vom Scheitelpunkt C zur Ebene BDC 1.

№2. Bestimmen Sie in einem regelmäßigen Tetraeder ABCD mit einer Kante den Abstand vom Punkt A zur Ebene BDC

№3. Bestimmen Sie in einem regelmäßigen dreieckigen Prisma ABCA 1 B 1 C 1, dessen Kanten alle gleich 1 sind, den Abstand von A zur Ebene BCA 1.

№4. Bestimmen Sie in einer regelmäßigen vierseitigen Pyramide SABCD, deren Kanten alle gleich 1 sind, den Abstand von A zur Ebene SCD.

V. Zusammenfassung der Lektion, Hausaufgaben, Reflexion

PROBLEME C2 DER EINHEITLICHEN STAATLICHEN PRÜFUNG IN MATHEMATIK, UM DEN ABSTAND VON EINEM PUNKT ZU EINER EBENE ZU FINDEN

Kulikova Anastasia Yurievna

Student im 5. Jahr, Fachbereich Mathematik. Analyse, Algebra und Geometrie EI KFU, Russische Föderation, Republik Tatarstan, Jelabuga

Ganeeva Aigul Rifovna

Wissenschaftlicher Betreuer, Ph.D. Päd. Naturwissenschaften, außerordentlicher Professor EI KFU, Russische Föderation, Republik Tatarstan, Jelabuga

In den letzten Jahren sind Aufgaben zur Berechnung des Abstands von einem Punkt zu einer Ebene in Aufgaben des Einheitlichen Staatsexamens in Mathematik aufgetaucht. In diesem Artikel werden am Beispiel eines Problems verschiedene Methoden zur Ermittlung des Abstands von einem Punkt zu einer Ebene betrachtet. Mit der am besten geeigneten Methode können verschiedene Probleme gelöst werden. Nachdem Sie ein Problem mit einer Methode gelöst haben, können Sie die Richtigkeit des Ergebnisses mit einer anderen Methode überprüfen.

Definition. Der Abstand von einem Punkt zu einer Ebene, die diesen Punkt nicht enthält, ist die Länge der senkrechten Strecke, die von diesem Punkt zur gegebenen Ebene gezogen wird.

Aufgabe. Gegeben sei ein rechteckiges Parallelepiped ABMITD.A. 1 B 1 C 1 D 1 mit Seiten AB=2, B.C.=4, A.A. 1 =6. Finden Sie die Entfernung vom Punkt D hobeln WechselstromD 1 .

1 Weg. Benutzen Definition. Finden Sie den Abstand r( D, WechselstromD 1) ab Punkt D hobeln WechselstromD 1 (Abb. 1).

Abbildung 1. Erste Methode

Lasst uns ausführen D.H.⊥Wechselstrom, also nach dem Satz der drei Senkrechten D 1 H⊥Wechselstrom Und (DD 1 H)⊥Wechselstrom. Lasst uns ausführen Direkte D.T. aufrecht D 1 H. Gerade D.T. liegt in einem Flugzeug DD 1 H, somit D.T.⊥A.C.. Somit, D.T.⊥WechselstromD 1.

AGleichstrom Finden wir die Hypotenuse Wechselstrom und Höhe D.H.

Aus einem rechtwinkligen Dreieck D 1 D.H. Finden wir die Hypotenuse D 1 H und Höhe D.T.

Antwort: .

Methode 2.Volumenmethode (Verwendung einer Hilfspyramide). Ein Problem dieser Art lässt sich auf das Problem der Berechnung der Höhe einer Pyramide reduzieren, wobei die Höhe der Pyramide der erforderliche Abstand von einem Punkt zu einer Ebene ist. Beweisen Sie, dass diese Höhe der erforderliche Abstand ist; Finden Sie das Volumen dieser Pyramide auf zwei Arten und drücken Sie diese Höhe aus.

Beachten Sie, dass es bei dieser Methode nicht erforderlich ist, eine Senkrechte von einem bestimmten Punkt zu einer bestimmten Ebene zu konstruieren.

Ein Quader ist ein Parallelepiped, dessen Flächen alle Rechtecke sind.

AB=CD=2, B.C.=ANZEIGE=4, A.A. 1 =6.

Der erforderliche Abstand ist die Höhe H Pyramiden ACD 1 D, von oben abgesenkt D in der Basis ACD 1 (Abb. 2).

Berechnen wir das Volumen der Pyramide ACD 1 D zwei Wege.

Bei der Berechnung nehmen wir zunächst ∆ als Basis ACD 1 dann

Bei der zweiten Berechnungsweise nehmen wir ∆ als Basis ACD, Dann

Lassen Sie uns die rechten Seiten der letzten beiden Gleichungen gleichsetzen und erhalten

Abbildung 2. Zweite Methode

Aus rechtwinkligen Dreiecken WechselstromD, HINZUFÜGEN 1 , CDD 1 Finden Sie die Hypotenuse mithilfe des Satzes des Pythagoras

ACD

Berechnen Sie die Fläche des Dreiecks WechselstromD 1 unter Verwendung der Heron-Formel

Antwort: .

3-Wege. Koordinatenmethode.

Lassen Sie uns einen Punkt geben M(X 0 ,j 0 ,z 0) und Flugzeug α , gegeben durch die Gleichung Axt+von+cz+D=0 in einem rechtwinkligen kartesischen Koordinatensystem. Abstand vom Punkt M zur Ebene α kann mit der Formel berechnet werden:

Lassen Sie uns ein Koordinatensystem einführen (Abb. 3). Koordinatenursprung an einem Punkt IN;

Gerade AB- Achse X, gerade Sonne- Achse j, gerade BB 1 - Achse z.

Abbildung 3. Dritte Methode

B(0,0,0), A(2,0,0), MIT(0,4,0), D(2,4,0), D 1 (2,4,6).

Lassen Ax+von+ cz+ D=0 – Ebenengleichung ACD 1 . Ersetzen Sie darin die Koordinaten von Punkten A, C, D 1 wir bekommen:

Ebenengleichung ACD 1 wird das Formular annehmen

Antwort: .

4-Wege. Vektormethode.

Lassen Sie uns die Basis einführen (Abb. 4) , .

Abbildung 4. Vierte Methode

Die Wahrung Ihrer Privatsphäre ist uns wichtig. Aus diesem Grund haben wir eine Datenschutzrichtlinie entwickelt, die beschreibt, wie wir Ihre Daten verwenden und speichern. Bitte lesen Sie unsere Datenschutzpraktiken durch und teilen Sie uns mit, wenn Sie Fragen haben.

Erhebung und Nutzung personenbezogener Daten

Unter personenbezogenen Daten versteht man Daten, die dazu genutzt werden können, eine bestimmte Person zu identifizieren oder mit ihr in Kontakt zu treten.

Sie können jederzeit um die Angabe Ihrer persönlichen Daten gebeten werden, wenn Sie mit uns Kontakt aufnehmen.

Nachfolgend finden Sie einige Beispiele für die Arten personenbezogener Daten, die wir möglicherweise sammeln, und wie wir diese Informationen verwenden können.

Welche personenbezogenen Daten erfassen wir:

• Wenn Sie auf der Website eine Bewerbung einreichen, erfassen wir möglicherweise verschiedene Informationen, einschließlich Ihres Namens, Ihrer Telefonnummer, Ihrer E-Mail-Adresse usw.

Wie wir Ihre persönlichen Daten verwenden:

• Die von uns erfassten personenbezogenen Daten ermöglichen es uns, Sie mit einzigartigen Angeboten, Werbeaktionen und anderen Veranstaltungen sowie bevorstehenden Veranstaltungen zu kontaktieren.
• Von Zeit zu Zeit können wir Ihre persönlichen Daten verwenden, um wichtige Mitteilungen und Mitteilungen zu versenden.
• Wir können personenbezogene Daten auch für interne Zwecke verwenden, beispielsweise zur Durchführung von Audits, Datenanalysen und verschiedenen Forschungsarbeiten, um die von uns bereitgestellten Dienste zu verbessern und Ihnen Empfehlungen zu unseren Diensten zu geben.
• Wenn Sie an einer Verlosung, einem Wettbewerb oder einer ähnlichen Aktion teilnehmen, können wir die von Ihnen bereitgestellten Informationen zur Verwaltung solcher Programme verwenden.

Weitergabe von Informationen an Dritte

Wir geben die von Ihnen erhaltenen Informationen nicht an Dritte weiter.

Ausnahmen:

• Wenn es erforderlich ist – in Übereinstimmung mit dem Gesetz, dem Gerichtsverfahren, in Gerichtsverfahren und/oder auf der Grundlage öffentlicher Anfragen oder Anfragen von Regierungsbehörden im Hoheitsgebiet der Russischen Föderation – Ihre personenbezogenen Daten offenzulegen. Wir können auch Informationen über Sie offenlegen, wenn wir zu dem Schluss kommen, dass eine solche Offenlegung aus Sicherheits-, Strafverfolgungs- oder anderen Gründen von öffentlicher Bedeutung notwendig oder angemessen ist.
• Im Falle einer Umstrukturierung, Fusion oder eines Verkaufs können wir die von uns erfassten personenbezogenen Daten an den jeweiligen Nachfolger-Dritten weitergeben.

Schutz personenbezogener Daten

Wir treffen Vorkehrungen – einschließlich administrativer, technischer und physischer –, um Ihre persönlichen Daten vor Verlust, Diebstahl und Missbrauch sowie vor unbefugtem Zugriff, Offenlegung, Änderung und Zerstörung zu schützen.

Respektieren Sie Ihre Privatsphäre auf Unternehmensebene

Um sicherzustellen, dass Ihre persönlichen Daten sicher sind, kommunizieren wir Datenschutz- und Sicherheitsstandards an unsere Mitarbeiter und setzen Datenschutzpraktiken strikt durch.

Betrachten wir eine bestimmte Ebene π und einen beliebigen Punkt M 0 im Raum. Entscheiden wir uns für das Flugzeug Einheitsnormalenvektor n mit der Anfang an einem Punkt M 1 ∈ π, und sei p(M 0 ,π) der Abstand vom Punkt M 0 zur Ebene π. Dann (Abb. 5.5)

ð(М 0 ,π) = | pr n M 1 M 0 | = |nM 1 M 0 |, (5.8)

seit |n| = 1.

Wenn die π-Ebene gegeben ist rechtwinkliges Koordinatensystem mit seiner allgemeinen Gleichung Ax + By + Cz + D = 0, dann ist sein Normalenvektor der Vektor mit den Koordinaten (A; B; C) und wir können wählen

Seien (x 0 ; y 0 ; z 0) und (x 1 ; y 1 ; z 1) die Koordinaten der Punkte M 0 und M 1 . Dann gilt die Gleichheit Ax 1 + By 1 + Cz 1 + D = 0, da der Punkt M 1 zur Ebene gehört und die Koordinaten des Vektors M 1 M 0 gefunden werden können: M 1 M 0 = (x 0 - x 1; y 0 -y 1 ; z 0 -z 1 ). Aufzeichnung Skalarprodukt nM 1 M 0 in Koordinatenform und Transformation (5.8) erhalten wir

da Ax 1 + By 1 + Cz 1 = - D. Um also den Abstand von einem Punkt zu einer Ebene zu berechnen, müssen Sie die Koordinaten des Punktes in die allgemeine Gleichung der Ebene einsetzen und dann den Absolutwert von dividieren das Ergebnis um einen Normierungsfaktor, der der Länge des entsprechenden Normalenvektors entspricht.