In früheren Materialien wurde die Frage der Ermittlung der Ableitung behandelt und ihre verschiedenen Anwendungen gezeigt: Berechnung der Steigung einer Tangente an einen Graphen, Lösung von Optimierungsproblemen, Untersuchung von Funktionen auf Monotonie und Extrema. $\newcommand(\tg)(\mathop(\mathrm(tg))\nolimits)$ $\newcommand(\ctg)(\mathop(\mathrm(tg))\nolimits)$ $\newcommand(\arctg)( \mathop(\mathrm(arctg))\nolimits)$ $\newcommand(\arcctg)(\mathop(\mathrm(arcctg))\nolimits)$

Bild 1.

Das Problem, die Momentangeschwindigkeit $v(t)$ mithilfe der Ableitung entlang eines zuvor bekannten zurückgelegten Weges, ausgedrückt durch die Funktion $s(t)$, zu ermitteln, wurde ebenfalls berücksichtigt.

Figur 2.

Das umgekehrte Problem tritt auch sehr häufig auf, wenn Sie den Weg $s(t)$ finden müssen, den ein Zeitpunkt $t$ zurücklegt, und dabei die Geschwindigkeit des Punktes $v(t)$ kennen. Wenn wir uns erinnern, ergibt sich die momentane Geschwindigkeit $v(t)$ als Ableitung der Pfadfunktion $s(t)$: $v(t)=s’(t)$. Das bedeutet, dass Sie zur Lösung des Umkehrproblems, also zur Berechnung des Pfades, eine Funktion finden müssen, deren Ableitung gleich der Geschwindigkeitsfunktion ist. Aber wir wissen, dass die Ableitung des Weges die Geschwindigkeit ist, das heißt: $s’(t) = v(t)$. Geschwindigkeit ist gleich Beschleunigung mal Zeit: $v=at$. Es ist leicht zu bestimmen, dass die gewünschte Pfadfunktion die Form hat: $s(t) = \frac(at^2)(2)$. Dies ist jedoch keine vollständige Lösung. Die vollständige Lösung hat die Form: $s(t)= \frac(at^2)(2)+C$, wobei $C$ eine Konstante ist. Warum das so ist, wird weiter diskutiert. Überprüfen wir zunächst die Richtigkeit der gefundenen Lösung: $s"(t)=\left(\frac(at^2)(2)+C\right)"=2\frac(at)(2)+0 =at=v( t)$.

Es ist erwähnenswert, dass die physikalische Bedeutung einer Stammfunktion darin besteht, einen Weg basierend auf der Geschwindigkeit zu finden.

Die resultierende Funktion $s(t)$ wird Stammfunktion der Funktion $v(t)$ genannt. Ein ziemlich interessanter und ungewöhnlicher Name, nicht wahr? Es enthält eine große Bedeutung, die das Wesen dieses Konzepts erklärt und zu seinem Verständnis führt. Sie werden feststellen, dass es zwei Wörter „first“ und „image“ enthält. Sie sprechen für sich. Das heißt, dies ist die Funktion, die die Anfangsfunktion für die Ableitung ist, die wir haben. Und mit dieser Ableitung suchen wir nach der Funktion, die am Anfang war, „erstes“, „erstes Bild“, also Stammfunktion. Sie wird manchmal auch als Grundfunktion oder Stammfunktion bezeichnet.

Wie wir bereits wissen, nennt man den Prozess der Ermittlung der Ableitung Differenzierung. Und der Prozess, die Stammfunktion zu finden, wird Integration genannt. Die Integrationsoperation ist die Umkehrung der Differenzierungsoperation. Das Gegenteil gilt auch.

Definition. Eine Stammfunktion für eine Funktion $f(x)$ in einem bestimmten Intervall ist eine Funktion $F(x)$, deren Ableitung für alle $x$ aus dem angegebenen Intervall gleich dieser Funktion $f(x)$ ist: $F' (x)=f (x)$.

Jemand hat vielleicht eine Frage: Woher kommen $F(x)$ und $f(x)$ in der Definition, wenn wir ursprünglich über $s(t)$ und $v(t)$ gesprochen haben? Tatsache ist, dass $s(t)$ und $v(t)$ Sonderfälle der Funktionsbezeichnung sind, die in diesem Fall eine bestimmte Bedeutung haben, das heißt, sie sind eine Funktion der Zeit bzw. eine Funktion der Geschwindigkeit. Das Gleiche gilt für die Variable $t$ – sie bezeichnet die Zeit. Und $f$ und $x$ sind die traditionelle Variante der allgemeinen Bezeichnung einer Funktion bzw. einer Variablen. Es lohnt sich, der Notation der Stammfunktion $F(x)$ besondere Aufmerksamkeit zu schenken. Erstens ist $F$ Kapital. Stammfunktionen werden in Großbuchstaben angegeben. Zweitens sind die Buchstaben die gleichen: $F$ und $f$. Das heißt, für die Funktion $g(x)$ wird die Stammfunktion mit $G(x)$ bezeichnet, für $z(x)$ mit $Z(x)$. Unabhängig von der Notation sind die Regeln zum Finden einer Stammfunktion immer dieselben.

Schauen wir uns ein paar Beispiele an.

Beispiel 1. Beweisen Sie, dass die Funktion $F(x)=\frac(1)(5)\sin5x$ eine Stammfunktion der Funktion $f(x)=\cos5x$ ist.

Um dies zu beweisen, verwenden wir die Definition, oder besser gesagt die Tatsache, dass $F'(x)=f(x)$, und ermitteln die Ableitung der Funktion $F(x)$: $F'(x)=( \frac(1)(5 ) \sin5x)'=\frac(1)(5)\cdot 5\cos5x= \cos5x$. Das bedeutet, dass $F(x)=\frac(1)(5) \sin5x$ die Stammfunktion von $f(x)=\cos5x$ ist. Q.E.D.

Beispiel 2. Finden Sie heraus, welche Funktionen den folgenden Stammfunktionen entsprechen: a) $F(z)=\tg z$; b) $G(l) = \sin l$.

Um die erforderlichen Funktionen zu finden, berechnen wir ihre Ableitungen:
a) $F’(z)=(\tg z)’=\frac(1)(\cos^2 z)$;
b) $G(l) = (\sin l)’ = \cos l$.

Beispiel 3. Was wird die Stammfunktion für $f(x)=0$ sein?
Lassen Sie uns die Definition verwenden. Überlegen wir, welche Funktion eine Ableitung von $0$ haben kann. Wenn wir uns an die Ableitungstabelle erinnern, stellen wir fest, dass jede Konstante eine solche Ableitung hat. Wir finden, dass die Stammfunktion, nach der wir suchen, ist: $F(x)= C$.

Die resultierende Lösung kann geometrisch und physikalisch erklärt werden. Geometrisch bedeutet dies, dass die Tangente an den Graphen $y=F(x)$ an jedem Punkt dieses Graphen horizontal verläuft und daher mit der $Ox$-Achse zusammenfällt. Physikalisch erklärt sich dies dadurch, dass ein Punkt mit einer Geschwindigkeit gleich Null an Ort und Stelle bleibt, das heißt, der zurückgelegte Weg bleibt unverändert. Auf dieser Grundlage können wir den folgenden Satz formulieren.

Satz. (Zeichen der Konstanz der Funktionen). Wenn in einem Intervall $F’(x) = 0$ ist, dann ist die Funktion $F(x)$ in diesem Intervall konstant.

Beispiel 4. Bestimmen Sie, welche Funktionen Stammfunktionen von a) $F_1 = \frac(x^7)(7)$; b) $F_2 = \frac(x^7)(7) – 3$; c) $F_3 = \frac(x^7)(7) + 9$; d) $F_4 = \frac(x^7)(7) + a$, wobei $a$ eine Zahl ist.
Anhand der Definition einer Stammfunktion kommen wir zu dem Schluss, dass wir zur Lösung dieses Problems die Ableitungen der uns gegebenen Stammfunktionsfunktionen berechnen müssen. Bedenken Sie beim Rechnen, dass die Ableitung einer Konstanten, also einer beliebigen Zahl, gleich Null ist.
a) $F_1 =(\frac(x^7)(7))"= 7 \cdot \frac(x^6)(7) = x^6$;
b) $F_2 =\left(\frac(x^7)(7) – 3\right)"=7 \cdot \frac(x^6)(7)= x^6$;
c) $F_3 =(\frac(x^7)(7) + 9)’= x^6$;
d) $F_4 =(\frac(x^7)(7) + a)’ = x^6$.

Was sehen wir? Mehrere verschiedene Funktionen sind Grundelemente derselben Funktion. Dies legt nahe, dass jede Funktion unendlich viele Stammfunktionen hat und diese die Form $F(x) + C$ haben, wobei $C$ eine beliebige Konstante ist. Das heißt, die Integrationsoperation ist im Gegensatz zur Differenzierungsoperation mehrwertig. Auf dieser Grundlage formulieren wir einen Satz, der die Haupteigenschaft von Stammfunktionen beschreibt.

Satz. (Die Haupteigenschaft von Stammfunktionen). Die Funktionen $F_1$ und $F_2$ seien Stammfunktionen der Funktion $f(x)$ in einem Intervall. Dann gilt für alle Werte aus diesem Intervall die folgende Gleichheit: $F_2=F_1+C$, wobei $C$ eine Konstante ist.

Die Tatsache des Vorhandenseins unendlich vieler Stammfunktionen kann geometrisch interpretiert werden. Durch Parallelverschiebung entlang der $Oy$-Achse kann man voneinander die Graphen zweier beliebiger Stammfunktionen für $f(x)$ erhalten. Dies ist die geometrische Bedeutung der Stammfunktion.

Es ist sehr wichtig, darauf zu achten, dass Sie durch die Wahl der Konstante $C$ sicherstellen können, dass der Graph der Stammfunktion durch einen bestimmten Punkt verläuft.

Figur 3.

Beispiel 5. Finden Sie eine Stammfunktion für die Funktion $f(x)=\frac(x^2)(3)+1$, deren Graph durch den Punkt $(3; 1)$ verläuft.
Finden wir zunächst alle Stammfunktionen für $f(x)$: $F(x)=\frac(x^3)(9)+x + C$.
Als nächstes finden wir eine Zahl C, für die der Graph $y=\frac(x^3)(9)+x + C$ durch den Punkt $(3; 1)$ verläuft. Dazu setzen wir die Koordinaten des Punktes in die Graphgleichung ein und lösen sie nach $C$ auf:
$1= \frac(3^3)(9)+3 + C$, $C=-5$.
Wir haben einen Graphen $y=\frac(x^3)(9)+x-5$ erhalten, der der Stammfunktion $F(x)=\frac(x^3)(9)+x-5$ entspricht.

Tabelle der Stammfunktionen

Mithilfe von Formeln zum Auffinden von Ableitungen kann eine Tabelle mit Formeln zum Auffinden von Stammfunktionen erstellt werden.

Tabelle der Stammfunktionen

Funktionen	Stammfunktionen
$0$	$C$
$1$	$x+C$
$a\in R$	$ax+C$
$x^n, n\ne1$	$\displaystyle \frac(x^(n+1))(n+1)+C$
$\displaystyle \frac(1)(x)$	$\ln|x|+C$
$\sin x$	$-\cos x+C$
$\cos x$	$\sin x+C$
$\displaystyle \frac(1)(\sin^2 x)$	$-\ctg x+C$
$\displaystyle \frac(1)(\cos^2 x)$	$\tg x+C$
$e^x$	$e^x+C$
$a^x, a>0, a\ne1$	$\displaystyle \frac(a^x)(\ln a) +C$
$\displaystyle \frac(1)(\sqrt(1-x^2))$	$\arcsin x+C$
$\displaystyle -\frac(1)(\sqrt(1-x^2))$	$\arccos x+C$
$\displaystyle \frac(1)(1+x^2)$	$\arctg x+C$
$\displaystyle -\frac(1)(1+x^2)$	$\arcctg x+C$

Sie können die Richtigkeit der Tabelle folgendermaßen überprüfen: Suchen Sie für jeden Stammstammsatz in der rechten Spalte die Ableitung, die zu den entsprechenden Funktionen in der linken Spalte führt.

Einige Regeln zum Finden von Stammfunktionen

Bekanntlich haben viele Funktionen eine komplexere Form als die in der Tabelle der Stammfunktionen angegebenen und können jede beliebige Kombination von Summen und Produkten von Funktionen aus dieser Tabelle sein. Und hier stellt sich die Frage: Wie berechnet man Stammfunktionen solcher Funktionen? Aus der Tabelle wissen wir beispielsweise, wie man die Stammfunktionen von $x^3$, $\sin x$ und $10$ berechnet. Wie kann man beispielsweise die Stammfunktion $x^3-10\sin x$ berechnen? Mit Blick auf die Zukunft ist es erwähnenswert, dass es gleich $\frac(x^4)(4)+10\cos x$ sein wird.
1. Wenn $F(x)$ eine Stammfunktion für $f(x)$ ist, $G(x)$ für $g(x)$, dann ist für $f(x)+g(x)$ die Stammfunktion gleich $ F(x)+G(x)$.
2. Wenn $F(x)$ eine Stammfunktion für $f(x)$ ist und $a$ eine Konstante ist, dann ist für $af(x)$ die Stammfunktion $aF(x)$.
3. Wenn für $f(x)$ die Stammfunktion $F(x)$ ist, $a$ und $b$ Konstanten sind, dann ist $\frac(1)(a) F(ax+b)$ die Stammfunktion für $f (ax+b)$.
Mit den erhaltenen Regeln können wir die Tabelle der Stammfunktionen erweitern.

Funktionen	Stammfunktionen
$(ax+b)^n, n\ne1, a\ne0$	$\displaystyle \frac((ax+b)^n)(a(n+1)) +C$
$\displaystyle \frac(1)(ax+b), a\ne0$	$\displaystyle \frac(1)(a)\ln|ax+b|+C$
$e^(ax+b), a\ne0$	$\displaystyle \frac(1)(a) e^(ax+b)+C$
$\sin(ax+b), a\ne0$	$\displaystyle -\frac(1)(a)\cos(ax+b)+C$
$\cos(ax+b), a\ne0$	$\displaystyle \frac(1)(a)\sin(ax+b)+C$

Beispiel 5. Finden Sie Stammfunktionen für:

a) $\displaystyle 4x^3+10x^7$;

b) $\displaystyle \frac(6)(x^5) -\frac(2)(x)$;

c) $\displaystyle 5\cos x+\sin(3x+15)$;

d) $\displaystyle \sqrt(x)-2\sqrt(x)$.

a) $4\frac (x^(3+1))(3+1)+10\frac(x^(7+1))(7+1)+C=x^4+\frac(5)( 4) x^8+C$;

b) $-\frac(3)(2x^4) -2\ln|x|+C$;

c) $5 \sin x - \frac(1)(3)\cos(3x + 15) + C$;

d) $\frac(2)(3)x\sqrt(x) - \frac(3)(2) x\sqrt(x) + C$.

Tabelle der Stammfunktionen

Unter Verwendung der Eigenschaften unbestimmter Integrale und der Tabelle der Fundamentalintegrale,
Einige Funktionen können integriert werden.

INTEGRATIONSTECHNIKEN
Substitutionsmethode

Die gebräuchlichste Methode zur Integration von Funktionen ist die Methode
Substitution, die angewendet wird, wenn das gesuchte Integral vorliegt
ist tabellarisch, kann aber durch eine Reihe elementarer Transformationen tabellarisch sein
auf einen Tisch reduziert.

die Variable t wird durch die Variable / unter Verwendung der Formel x=φ(t) ersetzt und
daher ist dx das Produkt von φ"(t)dt.

Integration in Teilstücken

Beispiel: Sie müssen das Integral finden

Hier umschließen die doppelten vertikalen Linien alle Berechnungen, die durchgeführt werden
sind auf die Anwendung der Integrationsformel vorbereitet
Teile. Vorbereitende Einträge können außerhalb der Gleichung vorgenommen werden.

ENDGÜLTIGES INTEGRAL

Aufgabe. Finden Sie das Inkrement der Funktion, die Stammfunktion der Funktion f(x) ist, wenn
Übergang des Arguments x vom Wert a zum Wert b.
Lösung. Nehmen wir an, dass wir durch Integration gefunden haben

Wie wir sehen, ist im Ausdruck für das Inkrement der Stammfunktion F(x) + C 1
Es gibt keinen konstanten Wert C1. Und da C 1 irgendein bedeutete
gegebene Zahl, dann führt das erhaltene Ergebnis zu folgender Schlussfolgerung: wann
Übergang des Arguments x vom Wert x=a zum Wert x=b, alle Funktionen F(x) + C,
Stammfunktionen für eine gegebene Funktion f(x) haben das gleiche Inkrement gleich
F(b)-F(a).

Dieses Inkrement wird üblicherweise als bestimmtes Integral bezeichnet und mit bezeichnet
Symbol

Somit ist das erforderliche Integral gleich 6.

Geometrische Bedeutung des bestimmten Integrals

1. Finden Sie die Fläche eines Sinusbogens.

Der Rotationskörper ist in der Abbildung dargestellt.
Als Ebene wähle ich die xy-Ebene.

Beispiel Nr. 2. Finden eines bestimmten Integrals mithilfe der Variablenänderungsmethode
Integration

Beispiel Nr. 3. Finden eines bestimmten Integrals durch Integration über
Teile.

Zusammenhänge zwischen Masse m und Dichte p:

Zusammenhänge zwischen elektrischer Ladung q und Strom I:

Der Zusammenhang zwischen der Wärmekapazität c und der Wärmemenge Q:

Beschreibung der Bewegung von viskoser Flüssigkeit, Blut durch die Gefäße, Verteilung
Blutdruck im Herz-Kreislauf-System, thermisch, elektrisch,
magnetische, optische Prozesse, die mit dem Leben verbunden sind
Organismus erfordert den Einsatz von Integration.

SCHULUNG: BEISPIELE LÖSEN

Punkte ändern sich nach dem Gesetz v = (6t +7) m/s

Bestimmen Sie, wie die zurückgelegte Strecke von der Zeit und der Geschwindigkeit des Materials abhängt
Punkte ändern sich nach dem Gesetz v = (6t +7) m/s, wenn bekannt ist, dass dies im Anfangsmoment der Fall ist

Zum Zeitpunkt (t=0) befand sich der materielle Punkt in einer Entfernung von s 0 = 4 m vom Anfang

Finden Sie die Arbeit, die die Feder verrichtet, wenn sie von x 1 auf x 2 ausgedehnt wird.
Lösung.

Um diese Funktion zu integrieren, müssen Sie einen Ersatz vornehmen
Variable

Da es auf dem Segment [-1;2] 4 2 ≤2 gibt, wird die Fläche S dieser Figur berechnet
auf die folgende Weise:

Lösung.
u=sinx
du = cosxdx

neue Integrationsgrenzen: u 1 = 0 (da x 1 = 0, ersetzen wir diesen Wert durch den neuen
Funktion - u = sinx, u 1 = sinx 1 = 0)

das Auftreten eines Induktionsstroms darin,

Antwort:

DIFFERENTIALGLEICHUNG

Differentialgleichungen sind Gleichungen, die das Gewünschte enthalten
Funktionen, ihre Ableitungen verschiedener Ordnungen und unabhängige Variablen.
Die Theorie der Differentialgleichungen entstand Ende des 17. Jahrhunderts unter
der Einfluss der Bedürfnisse der Mechanik und anderer naturwissenschaftlicher Disziplinen,
im Wesentlichen gleichzeitig mit der Integralrechnung und
Differentialrechnung.

Die einfachsten Differentialgleichungen wurden bereits in den Arbeiten von I. gefunden.
Newton und G. Leibniz; Begriff „Differentialgleichungen“
gehört Leibniz. Das Problem, das unbestimmte Integral F (x) zu finden
Funktionen f(x) Newton betrachtete sie einfach als Sonderfall seiner zweiten
Aufgaben. Dies war der Ansatz für Newton als Schöpfer der Stiftungen
mathematische Naturwissenschaften ist durchaus berechtigt: in einem sehr großen
In vielen Fällen sind die Naturgesetze, die bestimmte Prozesse steuern,
werden in Form von Differentialgleichungen ausgedrückt und deren Fluss berechnet
Prozesse werden auf die Lösung von Differentialgleichungen reduziert.

Die folgenden zwei einfachen Beispiele mögen der Veranschaulichung dienen
Was würde gesagt.

1) Wenn ein auf die Temperatur T erhitzter Körper in ein Medium gebracht wird, beträgt die Temperatur
was gleich Null ist, dann können wir unter bestimmten Bedingungen davon ausgehen
Inkrement ΔT (negativ im Fall von T> 0) seiner Temperatur über einen kleinen Zeitraum
das Zeitintervall Δt wird durch die Formel hinreichend genau ausgedrückt

wobei k ein konstanter Koeffizient ist. Wenn man dies mathematisch verarbeitet
Es wird davon ausgegangen, dass eine körperliche Aufgabe genau entsprechend ausgeführt wird
Grenzverhältnis zwischen Differentialen

d.h. die Differentialgleichung gilt

wobei T die Ableitung no t bezeichnet.

Durch Dehnen der Feder wird die Last hineingebracht
Bewegung. Wenn x(t) bezeichnet
das Ausmaß der Abweichung des Körpers von
Gleichgewichtslage im Moment
Zeit t, dann die Beschleunigung des Körpers
wird durch die 2. Ableitung x" (t) ausgedrückt.
Die auf den Körper wirkende Kraft tx" (t) beträgt
mit kleinen Federabschnitten
Sie ist nach den Gesetzen der Elastizitätstheorie proportional zur Abweichung x(t). Das.,
wir erhalten eine Differentialgleichung

Seine Lösung sieht so aus:

Diese Lektion ist die erste einer Reihe von Videos zum Thema Integration. Darin analysieren wir, was eine Stammfunktion einer Funktion ist, und untersuchen auch die elementaren Methoden zur Berechnung dieser Stammfunktionen.

Tatsächlich gibt es hier nichts Kompliziertes: Im Wesentlichen kommt es auf das Konzept der Ableitung an, mit dem Sie bereits vertraut sein sollten :).

Da dies die allererste Lektion in unserem neuen Thema ist, stelle ich sofort fest, dass es heute keine komplexen Berechnungen und Formeln geben wird, sondern das, was wir heute lernen werden, die Grundlage für viel komplexere Berechnungen und Konstruktionen bei der Berechnung komplexer Integrale und Flächen bilden wird .

Darüber hinaus gehen wir zu Beginn des Studiums von Integration und Integralen insbesondere davon aus, dass der Studierende bereits mit den Konzepten der Ableitungen vertraut ist und zumindest über grundlegende Kenntnisse in deren Berechnung verfügt. Ohne ein klares Verständnis davon gibt es bei der Integration absolut nichts zu tun.

Hier liegt jedoch eines der häufigsten und heimtückischsten Probleme. Tatsache ist, dass viele Schüler, wenn sie mit der Berechnung ihrer ersten Stammfunktionen beginnen, diese mit Ableitungen verwechseln. Dadurch kommt es bei Prüfungen und selbständiger Arbeit zu dummen und beleidigenden Fehlern.

Daher werde ich jetzt keine klare Definition einer Stammfunktion geben. Im Gegenzug empfehle ich Ihnen, anhand eines einfachen konkreten Beispiels zu sehen, wie es berechnet wird.

Was ist eine Stammfunktion und wie wird sie berechnet?

Wir kennen diese Formel:

\[((\left(((x)^(n)) \right))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1))\]

Diese Ableitung wird einfach berechnet:

\[(f)"\left(x \right)=((\left(((x)^(3)) \right))^(\prime ))=3((x)^(2))\ ]

Schauen wir uns den resultierenden Ausdruck genau an und drücken wir $((x)^(2))$ aus:

\[((x)^(2))=\frac(((\left(((x)^(3)) \right))^(\prime )))(3)\]

Aber wir können es gemäß der Definition einer Ableitung so schreiben:

\[((x)^(2))=((\left(\frac(((x)^(3)))(3) \right))^(\prime ))\]

Und jetzt Achtung: Was wir gerade aufgeschrieben haben, ist die Definition einer Stammfunktion. Aber um es richtig zu schreiben, müssen Sie Folgendes schreiben:

Schreiben wir den folgenden Ausdruck auf die gleiche Weise:

Wenn wir diese Regel verallgemeinern, können wir die folgende Formel ableiten:

\[((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

Jetzt können wir eine klare Definition formulieren.

Eine Stammfunktion einer Funktion ist eine Funktion, deren Ableitung gleich der ursprünglichen Funktion ist.

Fragen zur Stammfunktion

Es scheint eine ziemlich einfache und verständliche Definition zu sein. Beim Hören werden dem aufmerksamen Schüler jedoch sofort mehrere Fragen aufkommen:

1. Nehmen wir an, okay, diese Formel ist richtig. Allerdings haben wir in diesem Fall mit $n=1$ Probleme: „Null“ erscheint im Nenner und wir können nicht durch „Null“ dividieren.
2. Die Formel ist nur auf Grade beschränkt. So berechnen Sie beispielsweise die Stammfunktion von Sinus, Cosinus und jeder anderen Trigonometrie sowie Konstanten.
3. Existenzielle Frage: Ist es immer möglich, eine Stammfunktion zu finden? Wenn ja, wie sieht es dann mit der Stammfunktion von Summe, Differenz, Produkt usw. aus?

Die letzte Frage werde ich gleich beantworten. Leider wird die Stammfunktion im Gegensatz zur Ableitung nicht immer berücksichtigt. Es gibt keine universelle Formel, mit der wir aus einer beliebigen Anfangskonstruktion eine Funktion erhalten, die dieser ähnlichen Konstruktion entspricht. Über Potenzen und Konstanten sprechen wir jetzt.

Probleme mit Potenzfunktionen lösen

\[((x)^(-1))\to \frac(((x)^(-1+1)))(-1+1)=\frac(1)(0)\]

Wie Sie sehen, funktioniert diese Formel für $((x)^(-1))$ nicht. Es stellt sich die Frage: Was funktioniert dann? Können wir nicht $((x)^(-1))$ zählen? Klar können wir. Erinnern wir uns zunächst einmal daran:

\[((x)^(-1))=\frac(1)(x)\]

Denken wir nun: Die Ableitung dieser Funktion ist gleich $\frac(1)(x)$. Offensichtlich wird sich jeder Student, der sich zumindest ein wenig mit diesem Thema befasst hat, daran erinnern, dass dieser Ausdruck gleich der Ableitung des natürlichen Logarithmus ist:

\[((\left(\ln x \right))^(\prime ))=\frac(1)(x)\]

Daher können wir getrost Folgendes schreiben:

\[\frac(1)(x)=((x)^(-1))\to \ln x\]

Sie müssen diese Formel kennen, genau wie die Ableitung einer Potenzfunktion.

Was wir also bisher wissen:

• Für eine Potenzfunktion - $((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)$
• Für eine Konstante - $=const\to \cdot x$
• Ein Sonderfall einer Potenzfunktion ist $\frac(1)(x)\to \ln x$

Und wenn wir anfangen, die einfachsten Funktionen zu multiplizieren und zu dividieren, wie können wir dann die Stammfunktion eines Produkts oder eines Quotienten berechnen? Analogien zur Ableitung eines Produkts oder Quotienten funktionieren hier leider nicht. Es gibt keine Standardformel. Für manche Fälle gibt es knifflige Spezialformeln – diese werden wir in zukünftigen Video-Lektionen kennenlernen.

Bedenken Sie jedoch: Es gibt keine allgemeine Formel, die der Formel zur Berechnung der Ableitung eines Quotienten und eines Produkts ähnelt.

Echte Probleme lösen

Aufgabe Nr. 1

Berechnen wir jede der Potenzfunktionen einzeln:

\[((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)))(3)\]

Zurück zu unserem Ausdruck schreiben wir die allgemeine Konstruktion:

Problem Nr. 2

Wie ich bereits sagte, werden Prototypen von Werken und Einzelheiten „auf den Punkt“ nicht berücksichtigt. Hier können Sie jedoch Folgendes tun:

Wir haben den Bruch in die Summe zweier Brüche zerlegt.

Lassen Sie uns rechnen:

Die gute Nachricht ist, dass Sie mit Kenntnis der Formeln zur Berechnung von Stammfunktionen bereits komplexere Strukturen berechnen können. Gehen wir jedoch noch weiter und erweitern unser Wissen noch ein wenig. Tatsache ist, dass viele Konstruktionen und Ausdrücke, die auf den ersten Blick nichts mit $((x)^(n))$ zu tun haben, als Potenz mit einem rationalen Exponenten dargestellt werden können, nämlich:

\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2)))\]

\[\sqrt[n](x)=((x)^(\frac(1)(n)))\]

\[\frac(1)(((x)^(n)))=((x)^(-n))\]

Alle diese Techniken können und sollten kombiniert werden. Machtausdrücke können sein

• multiplizieren (Grad addieren);
• dividieren (Grad werden subtrahiert);
• mit einer Konstante multiplizieren;
• usw.

Potenzausdrücke mit rationalem Exponenten lösen

Beispiel Nr. 1

Berechnen wir jede Wurzel einzeln:

\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2)))\to \frac(((x)^(\frac(1)(2)+1)))(\ frac(1)(2)+1)=\frac(((x)^(\frac(3)(2))))(\frac(3)(2))=\frac(2\cdot (( x)^(\frac(3)(2))))(3)\]

\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(4)))\to \frac(((x)^(\frac(1)(4))))(\frac( 1)(4)+1)=\frac(((x)^(\frac(5)(4))))(\frac(5)(4))=\frac(4\cdot ((x) ^(\frac(5)(4))))(5)\]

Insgesamt lässt sich unsere gesamte Konstruktion wie folgt schreiben:

Beispiel Nr. 2

\[\frac(1)(\sqrt(x))=((\left(\sqrt(x) \right))^(-1))=((\left(((x)^(\frac( 1)(2))) \right))^(-1))=((x)^(-\frac(1)(2)))\]

Daher erhalten wir:

\[\frac(1)(((x)^(3)))=((x)^(-3))\to \frac(((x)^(-3+1)))(-3 +1)=\frac(((x)^(-2)))(-2)=-\frac(1)(2((x)^(2)))\]

Insgesamt können wir, indem wir alles in einem Ausdruck zusammenfassen, schreiben:

Beispiel Nr. 3

Zunächst stellen wir fest, dass wir $\sqrt(x)$ bereits berechnet haben:

\[\sqrt(x)\to \frac(4((x)^(\frac(5)(4))))(5)\]

\[((x)^(\frac(3)(2)))\to \frac(((x)^(\frac(3)(2)+1)))(\frac(3)(2 )+1)=\frac(2\cdot ((x)^(\frac(5)(2))))(5)\]

Lassen Sie uns umschreiben:

Ich hoffe, dass ich niemanden überraschen werde, wenn ich sage, dass es sich bei dem, was wir gerade untersucht haben, nur um die einfachsten Berechnungen von Stammfunktionen, die elementarsten Konstruktionen handelt. Schauen wir uns nun etwas komplexere Beispiele an, bei denen Sie sich neben den tabellarischen Stammfunktionen auch den Schullehrplan merken müssen, nämlich abgekürzte Multiplikationsformeln.

Komplexere Beispiele lösen

Aufgabe Nr. 1

Erinnern wir uns an die Formel für die quadrierte Differenz:

\[((\left(a-b \right))^(2))=((a)^(2))-ab+((b)^(2))\]

Schreiben wir unsere Funktion neu:

Wir müssen nun den Prototyp einer solchen Funktion finden:

\[((x)^(\frac(2)(3)))\to \frac(3\cdot ((x)^(\frac(5)(3))))(5)\]

\[((x)^(\frac(1)(3)))\to \frac(3\cdot ((x)^(\frac(4)(3))))(4)\]

Lassen Sie uns alles in einer gemeinsamen Struktur zusammenfassen:

Problem Nr. 2

In diesem Fall müssen wir den Differenzwürfel erweitern. Lass uns erinnern:

\[((\left(a-b \right))^(3))=((a)^(3))-3((a)^(2))\cdot b+3a\cdot ((b)^ (2))-((b)^(3))\]

Unter Berücksichtigung dieser Tatsache können wir es so schreiben:

Lassen Sie uns unsere Funktion ein wenig umwandeln:

Wir zählen wie immer – für jeden Begriff separat:

\[((x)^(-3))\to \frac(((x)^(-2)))(-2)\]

\[((x)^(-2))\zu \frac(((x)^(-1)))(-1)\]

\[((x)^(-1))\zu \ln x\]

Schreiben wir die resultierende Konstruktion:

Aufgabe Nr. 3

Oben haben wir das Quadrat der Summe, erweitern wir es:

\[\frac(((\left(x+\sqrt(x) \right))^(2)))(x)=\frac(((x)^(2))+2x\cdot \sqrt(x )+((\left(\sqrt(x) \right))^(2)))(x)=\]

\[=\frac(((x)^(2)))(x)+\frac(2x\sqrt(x))(x)+\frac(x)(x)=x+2((x) ^(\frac(1)(2)))+1\]

\[((x)^(\frac(1)(2)))\to \frac(2\cdot ((x)^(\frac(3)(2))))(3)\]

Schreiben wir die endgültige Lösung:

Jetzt Achtung! Eine sehr wichtige Sache, die mit dem Löwenanteil an Fehlern und Missverständnissen verbunden ist. Tatsache ist, dass wir bisher bei der Zählung von Stammfunktionen mithilfe von Ableitungen und der Einführung von Transformationen nicht darüber nachgedacht haben, was die Ableitung einer Konstante ist. Aber die Ableitung einer Konstanten ist gleich „Null“. Das bedeutet, dass Sie die folgenden Optionen schreiben können:

1. $((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)))(3)$
2. $((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)))(3)+1$
3. $((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)))(3)+C$

Dies ist sehr wichtig zu verstehen: Wenn die Ableitung einer Funktion immer gleich ist, dann hat dieselbe Funktion unendlich viele Stammfunktionen. Wir können einfach beliebige konstante Zahlen zu unseren Stammfunktionen hinzufügen und so neue erhalten.

Es ist kein Zufall, dass in der Erklärung der Probleme, die wir gerade gelöst haben, geschrieben wurde: „Schreiben Sie die allgemeine Form der Stammfunktionen auf.“ Diese. Es wird bereits im Vorfeld davon ausgegangen, dass es nicht einen von ihnen gibt, sondern eine ganze Menge. Tatsächlich unterscheiden sie sich jedoch nur durch die Konstante $C$ am Ende. Daher werden wir in unseren Aufgaben korrigieren, was wir nicht erledigt haben.

Noch einmal schreiben wir unsere Konstruktionen um:

In solchen Fällen sollten Sie hinzufügen, dass $C$ eine Konstante ist – $C=const$.

In unserer zweiten Funktion erhalten wir die folgende Konstruktion:

Und der Letzte:

Und jetzt haben wir im ursprünglichen Zustand des Problems wirklich das bekommen, was von uns verlangt wurde.

Lösen von Problemen beim Finden von Stammfunktionen mit einem bestimmten Punkt

Nachdem wir nun über Konstanten und die Besonderheiten beim Schreiben von Stammfunktionen Bescheid wissen, ist es ganz logisch, dass die nächste Art von Problem auftritt, wenn es darum geht, aus der Menge aller Stammfunktionen die einzige zu finden, die durch einen bestimmten Punkt verläuft . Was ist diese Aufgabe?

Tatsache ist, dass sich alle Stammfunktionen einer bestimmten Funktion nur dadurch unterscheiden, dass sie um eine bestimmte Zahl vertikal verschoben sind. Und das bedeutet, dass unabhängig davon, welchen Punkt auf der Koordinatenebene wir nehmen, auf jeden Fall eine Stammfunktion existiert, und zwar nur eine.

Die Probleme, die wir nun lösen werden, lauten also wie folgt: Finden Sie nicht nur die Stammfunktion, indem Sie die Formel der ursprünglichen Funktion kennen, sondern wählen Sie genau die Funktion aus, die durch den gegebenen Punkt verläuft, dessen Koordinaten im Problem angegeben werden Stellungnahme.

Beispiel Nr. 1

Zählen wir zunächst einfach jeden Begriff:

\[((x)^(4))\to \frac(((x)^(5)))(5)\]

\[((x)^(3))\to \frac(((x)^(4)))(4)\]

Jetzt ersetzen wir diese Ausdrücke in unserer Konstruktion:

Diese Funktion muss durch den Punkt $M\left(-1;4 \right)$ laufen. Was bedeutet es, dass es durch einen Punkt geht? Das heißt, wenn wir statt $x$ überall $-1$ und statt $F\left(x \right)$ - $-4$ einsetzen, dann sollten wir die richtige numerische Gleichheit erhalten. Lass uns das machen:

Wir sehen, dass wir eine Gleichung für $C$ haben, also versuchen wir, sie zu lösen:

Schreiben wir genau die Lösung auf, nach der wir gesucht haben:

Beispiel Nr. 2

Zunächst muss das Quadrat der Differenz mithilfe der abgekürzten Multiplikationsformel ermittelt werden:

\[((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)))(3)\]

Die ursprüngliche Konstruktion wird wie folgt geschrieben:

Suchen wir nun $C$: Ersetzen Sie die Koordinaten des Punktes $M$:

\[-1=\frac(8)(3)-12+18+C\]

Wir drücken $C$ aus:

Es bleibt noch der endgültige Ausdruck anzuzeigen:

Trigonometrische Probleme lösen

Als letzten Schliff zu dem, was wir gerade besprochen haben, schlage ich vor, zwei komplexere Probleme zu betrachten, die Trigonometrie betreffen. In ihnen müssen Sie auf die gleiche Weise Stammfunktionen für alle Funktionen finden und dann aus dieser Menge die einzige auswählen, die durch den Punkt $M$ auf der Koordinatenebene verläuft.

Mit Blick auf die Zukunft möchte ich anmerken, dass die Technik, die wir jetzt verwenden werden, um Stammfunktionen trigonometrischer Funktionen zu finden, tatsächlich eine universelle Technik für den Selbsttest ist.

Aufgabe Nr. 1

Erinnern wir uns an die folgende Formel:

\[((\left(\text(tg)x \right))^(\prime ))=\frac(1)(((\cos )^(2))x)\]

Auf dieser Grundlage können wir schreiben:

Ersetzen wir die Koordinaten des Punktes $M$ in unseren Ausdruck:

\[-1=\text(tg)\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(4))+C\]

Schreiben wir den Ausdruck unter Berücksichtigung dieser Tatsache um:

Problem Nr. 2

Das wird etwas schwieriger. Jetzt werden Sie sehen, warum.

Erinnern wir uns an diese Formel:

\[((\left(\text(ctg)x \right))^(\prime ))=-\frac(1)(((\sin )^(2))x)\]

Um das „Minus“ loszuwerden, müssen Sie Folgendes tun:

\[((\left(-\text(ctg)x \right))^(\prime ))=\frac(1)(((\sin )^(2))x)\]

Hier ist unser Design

Ersetzen wir die Koordinaten des Punktes $M$:

Insgesamt notieren wir die endgültige Konstruktion:

Das ist alles, worüber ich Ihnen heute erzählen wollte. Wir haben den Begriff Stammfunktionen untersucht, wie man sie aus Elementarfunktionen berechnet und wie man eine Stammfunktion findet, die durch einen bestimmten Punkt auf der Koordinatenebene verläuft.

Ich hoffe, dass diese Lektion Ihnen hilft, dieses komplexe Thema zumindest ein wenig zu verstehen. In jedem Fall werden unbestimmte und unbestimmte Integrale auf Stammfunktionen konstruiert, daher ist es unbedingt erforderlich, sie zu berechnen. Das ist alles für mich. Wir sehen uns wieder!

Nachfolgend sind die vier wichtigsten Integrationsmethoden aufgeführt.

1) Die Regel zum Integrieren einer Summe oder Differenz.
.
Hier und im Folgenden sind u, v, w Funktionen der Integrationsvariablen x.

2) Verschieben der Konstante außerhalb des Integralzeichens.
Sei c eine von x unabhängige Konstante. Dann kann es aus dem Integralzeichen entnommen werden.

3) Methode zum Ersetzen von Variablen.
Betrachten wir das unbestimmte Integral.
Wenn wir eine solche Funktion φ finden können (X) von x, also
,
dann haben wir durch Ersetzen der Variablen t = φ(x)
.

4) Formel für die partielle Integration.
,
wobei u und v Funktionen der Integrationsvariablen sind.

Das ultimative Ziel der Berechnung unbestimmter Integrale besteht darin, ein gegebenes Integral durch Transformationen auf die einfachsten Integrale zu reduzieren, die als tabellarische Integrale bezeichnet werden. Tabellenintegrale werden durch Elementarfunktionen unter Verwendung bekannter Formeln ausgedrückt.
Siehe Tabelle der Integrale >>>

Beispiel

Berechnen Sie das unbestimmte Integral

Lösung

Wir stellen fest, dass der Integrand die Summe und Differenz dreier Terme ist:
, Und .
Anwendung der Methode 1 .

Als nächstes stellen wir fest, dass die Integranden der neuen Integrale mit Konstanten multipliziert werden 5, 4, Und 2 , jeweils. Anwendung der Methode 2 .

In der Integraltabelle finden wir die Formel
.
Vorausgesetzt n = 2 , finden wir das erste Integral.

Schreiben wir das zweite Integral in der Form um
.
Das merken wir. Dann

Lassen Sie uns die dritte Methode verwenden. Wir ändern die Variable t = φ (x) = log x.
.
In der Integraltabelle finden wir die Formel

Da die Integrationsvariable mit einem beliebigen Buchstaben bezeichnet werden kann

Schreiben wir das dritte Integral in der Form um
.
Wir wenden die partielle Integrationsformel an.
Sagen wir es.
Dann
;
;

;
;
.

Endlich haben wir es
.
Sammeln wir Terme mit x 3 .
.

Antwort

Verweise:
N.M. Gunter, R.O. Kuzmin, Sammlung von Problemen der höheren Mathematik, „Lan“, 2003.

Auf dieser Seite finden Sie:

1. Eigentlich die Tabelle der Stammfunktionen – sie kann im PDF-Format heruntergeladen und ausgedruckt werden;

2. Video zur Verwendung dieser Tabelle;

3. Eine Reihe von Beispielen zur Berechnung der Stammfunktion aus verschiedenen Lehrbüchern und Tests.

Im Video selbst werden wir viele Probleme analysieren, bei denen Sie Stammfunktionen von Funktionen berechnen müssen, die oft recht komplex sind, aber am wichtigsten ist, dass es sich nicht um Potenzfunktionen handelt. Alle in der oben vorgeschlagenen Tabelle zusammengefassten Funktionen müssen wie Ableitungen auswendig bekannt sein. Ohne sie ist eine weitere Untersuchung der Integrale und ihrer Anwendung zur Lösung praktischer Probleme unmöglich.

Heute beschäftigen wir uns weiterhin mit Primitiven und wenden uns einem etwas komplexeren Thema zu. Während wir uns beim letzten Mal nur mit Stammfunktionen von Potenzfunktionen und etwas komplexeren Konstruktionen befasst haben, werden wir uns heute mit der Trigonometrie und vielem mehr befassen.

Wie ich in der letzten Lektion gesagt habe, werden Stammfunktionen im Gegensatz zu Ableitungen nie „sofort“ mithilfe von Standardregeln gelöst. Darüber hinaus ist die schlechte Nachricht, dass die Stammfunktion im Gegensatz zur Ableitung möglicherweise überhaupt nicht berücksichtigt wird. Wenn wir eine völlig zufällige Funktion schreiben und versuchen, ihre Ableitung zu finden, dann wird uns das mit sehr hoher Wahrscheinlichkeit gelingen, aber die Stammfunktion wird in diesem Fall fast nie berechnet. Aber es gibt eine gute Nachricht: Es gibt eine ziemlich große Klasse von Funktionen, die Elementarfunktionen genannt werden und deren Stammfunktionen sehr einfach zu berechnen sind. Und alle anderen komplexeren Strukturen, die bei allen Arten von Tests, unabhängigen Tests und Prüfungen angegeben werden, bestehen tatsächlich aus diesen elementaren Funktionen durch Addition, Subtraktion und andere einfache Aktionen. Die Prototypen solcher Funktionen werden seit langem berechnet und in speziellen Tabellen zusammengestellt. Mit diesen Funktionen und Tabellen werden wir heute arbeiten.

Aber wir beginnen wie immer mit einer Wiederholung: Erinnern wir uns daran, was eine Stammfunktion ist, warum es unendlich viele davon gibt und wie man ihr allgemeines Aussehen bestimmt. Dazu habe ich zwei einfache Probleme aufgegriffen.

Einfache Beispiele lösen

Beispiel Nr. 1

Beachten wir sofort, dass $\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)$ und im Allgemeinen die Anwesenheit von $\text( )\!\!\pi\ !\!\ text( )$ weist uns sofort darauf hin, dass die erforderliche Stammfunktion der Funktion mit der Trigonometrie zusammenhängt. Und tatsächlich, wenn wir uns die Tabelle ansehen, werden wir feststellen, dass $\frac(1)(1+((x)^(2)))$ nichts anderes ist als $\text(arctg)x$. Schreiben wir es also auf:

Um es zu finden, müssen Sie Folgendes aufschreiben:

\[\frac(\pi )(6)=\text(arctg)\sqrt(3)+C\]

\[\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )) (3)+C\]

Beispiel Nr. 2

Wir sprechen hier auch von trigonometrischen Funktionen. Wenn wir uns die Tabelle ansehen, dann passiert tatsächlich Folgendes:

Wir müssen unter der gesamten Menge der Stammfunktionen diejenige finden, die durch den angegebenen Punkt geht:

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\arcsin \frac(1)(2)+C\]

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)+C\]

Schreiben wir es endlich auf:

So einfach ist das. Das einzige Problem besteht darin, dass Sie zum Berechnen von Stammfunktionen einfacher Funktionen eine Tabelle mit Stammfunktionen lernen müssen. Nachdem ich die Ableitungstabelle für Sie studiert habe, denke ich jedoch, dass dies kein Problem sein wird.

Lösen von Problemen, die eine Exponentialfunktion enthalten

Schreiben wir zunächst die folgenden Formeln:

\[((e)^(x))\zu ((e)^(x))\]

\[((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\ln a)\]

Mal sehen, wie das alles in der Praxis funktioniert.

Beispiel Nr. 1

Wenn wir uns den Inhalt der Klammern ansehen, werden wir feststellen, dass es in der Tabelle der Stammfunktionen keinen solchen Ausdruck dafür gibt, dass $((e)^(x))$ in einem Quadrat steht, daher muss dieses Quadrat erweitert werden. Dazu verwenden wir die abgekürzten Multiplikationsformeln:

Suchen wir die Stammfunktion für jeden der Begriffe:

\[((e)^(2x))=((\left(((e)^(2)) \right))^(x))\to \frac(((\left(((e)^ (2)) \right))^(x)))(\ln ((e)^(2)))=\frac(((e)^(2x)))(2)\]

\[((e)^(-2x))=((\left(((e)^(-2)) \right))^(x))\to \frac(((\left(((e )^(-2)) \right))^(x)))(\ln ((e)^(-2)))=\frac(1)(-2((e)^(2x))) \]

Fassen wir nun alle Begriffe in einem einzigen Ausdruck zusammen und erhalten die allgemeine Stammfunktion:

Beispiel Nr. 2

Diesmal ist der Grad größer, sodass die abgekürzte Multiplikationsformel recht komplex sein wird. Öffnen wir also die Klammern:

Versuchen wir nun, aus dieser Konstruktion die Stammfunktion unserer Formel zu ziehen:

Wie Sie sehen, gibt es in den Stammfunktionen der Exponentialfunktion nichts Kompliziertes oder Übernatürliches. Alle werden anhand von Tabellen berechnet, aber aufmerksame Schüler werden wahrscheinlich bemerken, dass die Stammfunktion $((e)^(2x))$ viel näher an einfach $((e)^(x))$ als an $((a) liegt )^(x ))$. Vielleicht gibt es also eine speziellere Regel, die es ermöglicht, bei Kenntnis der Stammfunktion $((e)^(x))$ $((e)^(2x))$ zu finden? Ja, eine solche Regel gibt es. Darüber hinaus ist es ein wesentlicher Bestandteil der Arbeit mit der Tabelle der Stammfunktionen. Wir werden es nun anhand derselben Ausdrücke analysieren, mit denen wir gerade als Beispiel gearbeitet haben.

Regeln für die Arbeit mit der Tabelle der Stammfunktionen

Schreiben wir unsere Funktion noch einmal:

Im vorherigen Fall haben wir zur Lösung die folgende Formel verwendet:

\[((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\operatorname(lna))\]

Aber jetzt machen wir es etwas anders: Erinnern wir uns, auf welcher Basis $((e)^(x))\to ((e)^(x))$. Wie ich bereits sagte, da die Ableitung $((e)^(x))$ nichts anderes als $((e)^(x))$ ist, wird ihre Stammfunktion gleich dem gleichen $((e) ^ sein (x))$. Aber das Problem ist, dass wir $((e)^(2x))$ und $((e)^(-2x))$ haben. Versuchen wir nun, die Ableitung von $((e)^(2x))$ zu finden:

\[((\left(((e)^(2x)) \right))^(\prime ))=((e)^(2x))\cdot ((\left(2x \right))^( \prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]

Schreiben wir unsere Konstruktion noch einmal um:

\[((\left(((e)^(2x)) \right))^(\prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]

\[((e)^(2x))=((\left(\frac(((e)^(2x)))(2) \right))^(\prime ))\]

Das heißt, wenn wir die Stammfunktion $((e)^(2x))$ finden, erhalten wir Folgendes:

\[((e)^(2x))\zu \frac(((e)^(2x)))(2)\]

Wie Sie sehen, haben wir das gleiche Ergebnis wie zuvor erhalten, aber wir haben die Formel nicht verwendet, um $((a)^(x))$ zu finden. Nun mag das dumm erscheinen: Warum die Berechnungen komplizieren, wenn es eine Standardformel gibt? Bei etwas komplexeren Ausdrücken werden Sie jedoch feststellen, dass diese Technik sehr effektiv ist, d. h. Verwenden von Ableitungen, um Stammfunktionen zu finden.

Zum Aufwärmen finden wir auf ähnliche Weise die Stammfunktion von $((e)^(2x))$:

\[((\left(((e)^(-2x)) \right))^(\prime ))=((e)^(-2x))\cdot \left(-2 \right)\]

\[((e)^(-2x))=((\left(\frac(((e)^(-2x)))(-2) \right))^(\prime ))\]

Bei der Berechnung wird unsere Konstruktion wie folgt geschrieben:

\[((e)^(-2x))\to -\frac(((e)^(-2x)))(2)\]

\[((e)^(-2x))\to -\frac(1)(2\cdot ((e)^(2x)))\]

Wir kamen genau zum gleichen Ergebnis, gingen aber einen anderen Weg. Es ist dieser Weg, der uns jetzt etwas komplizierter erscheint, der sich in Zukunft für die Berechnung komplexerer Stammfunktionen und die Verwendung von Tabellen als effektiver erweisen wird.

Beachten Sie! Dies ist ein sehr wichtiger Punkt: Stammfunktionen können wie Ableitungen auf viele verschiedene Arten gezählt werden. Wenn jedoch alle Berechnungen und Berechnungen gleich sind, ist die Antwort dieselbe. Wir haben dies gerade am Beispiel von $((e)^(-2x))$ gesehen - einerseits haben wir diese Stammfunktion „durchgehend“ berechnet, indem wir die Definition verwendet und mithilfe von Transformationen berechnet haben, andererseits Wir haben uns daran erinnert, dass $ ((e)^(-2x))$ als $((\left(((e)^(-2)) \right))^(x))$ dargestellt werden kann und erst dann haben wir verwendet die Stammfunktion für die Funktion $( (a)^(x))$. Nach all den Transformationen war das Ergebnis jedoch wie erwartet das gleiche.

Und jetzt, da wir das alles verstanden haben, ist es an der Zeit, zu etwas Bedeutsamerem überzugehen. Jetzt werden wir zwei einfache Konstruktionen analysieren, aber die Technik, die zu ihrer Lösung verwendet wird, ist ein leistungsfähigeres und nützlicheres Werkzeug, als einfach zwischen benachbarten Stammfunktionen aus der Tabelle zu „laufen“.

Problemlösung: Finden der Stammfunktion einer Funktion

Beispiel Nr. 1

Teilen wir den Betrag, der in den Zählern steht, in drei separate Brüche auf:

Dies ist ein ziemlich natürlicher und verständlicher Übergang – die meisten Studierenden haben damit keine Probleme. Schreiben wir unseren Ausdruck wie folgt um:

Erinnern wir uns nun an diese Formel:

In unserem Fall erhalten wir Folgendes:

Um all diese dreistöckigen Brüche loszuwerden, schlage ich Folgendes vor:

Beispiel Nr. 2

Im Gegensatz zum vorherigen Bruch ist der Nenner kein Produkt, sondern eine Summe. In diesem Fall können wir unseren Bruch nicht mehr durch die Summe mehrerer einfacher Brüche dividieren, sondern müssen irgendwie versuchen sicherzustellen, dass der Zähler ungefähr den gleichen Ausdruck enthält wie der Nenner. In diesem Fall ist es ganz einfach:

Diese Notation, die in der mathematischen Sprache „Addieren einer Null“ genannt wird, ermöglicht es uns, den Bruch erneut in zwei Teile zu teilen:

Finden wir nun, wonach wir gesucht haben:

Das sind alle Berechnungen. Trotz der scheinbar größeren Komplexität als bei der vorherigen Aufgabe fiel der Rechenaufwand noch geringer aus.

Nuancen der Lösung

Und hier liegt die Hauptschwierigkeit bei der Arbeit mit tabellarischen Stammfunktionen, dies macht sich besonders bei der zweiten Aufgabe bemerkbar. Tatsache ist, dass wir zur Auswahl einiger Elemente, die sich leicht anhand der Tabelle berechnen lassen, wissen müssen, wonach wir genau suchen, und in der Suche nach diesen Elementen besteht die gesamte Berechnung der Stammfunktionen.

Mit anderen Worten, es reicht nicht aus, sich nur die Tabelle der Stammfunktionen zu merken – Sie müssen in der Lage sein, etwas zu sehen, das noch nicht existiert, sondern was der Autor und Compiler dieser Aufgabe meinte. Deshalb argumentieren viele Mathematiker, Lehrer und Professoren ständig: „Was bedeutet Stammfunktion oder Integration – ist das nur ein Werkzeug oder ist es eine echte Kunst?“ Tatsächlich ist Integration meiner persönlichen Meinung nach überhaupt keine Kunst – es gibt nichts Erhabenes darin, es ist nur Übung und noch mehr Übung. Und zum Üben lösen wir noch drei weitere ernste Beispiele.

Wir schulen Integration in der Praxis

Aufgabe Nr. 1

Schreiben wir die folgenden Formeln:

\[((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

\[\frac(1)(x)\zu \ln x\]

\[\frac(1)(1+((x)^(2)))\to \text(arctg)x\]

Schreiben wir Folgendes:

Problem Nr. 2

Schreiben wir es wie folgt um:

Die gesamte Stammfunktion ist gleich:

Aufgabe Nr. 3

Die Schwierigkeit dieser Aufgabe besteht darin, dass es im Gegensatz zu den oben genannten Funktionen überhaupt keine Variable $x$ gibt, d. h. Uns ist nicht klar, was wir addieren oder subtrahieren müssen, um zumindest etwas Ähnliches wie das untenstehende zu erhalten. Tatsächlich gilt dieser Ausdruck jedoch als noch einfacher als alle vorherigen Ausdrücke, da diese Funktion wie folgt umgeschrieben werden kann:

Sie fragen sich jetzt vielleicht: Warum sind diese Funktionen gleich? Lass uns das Prüfen:

Schreiben wir es noch einmal um:

Lassen Sie uns unseren Ausdruck ein wenig verändern:

Und wenn ich das alles meinen Schülern erkläre, entsteht fast immer das gleiche Problem: Bei der ersten Funktion ist alles mehr oder weniger klar, bei der zweiten kann man es mit Glück oder Übung auch herausfinden, aber was für ein alternatives Bewusstsein hast du? müssen, um das dritte Beispiel zu lösen? Hab eigentlich keine Angst. Die Technik, die wir bei der Berechnung der letzten Stammfunktion verwendet haben, heißt „Zerlegung einer Funktion in ihre einfachste Form“. Dies ist eine sehr ernsthafte Technik, der wir eine eigene Videolektion widmen werden.

In der Zwischenzeit schlage ich vor, zu dem zurückzukehren, was wir gerade untersucht haben, nämlich zu den Exponentialfunktionen, und die Probleme durch ihren Inhalt etwas zu komplizieren.

Komplexere Probleme zur Lösung antiderivativer Exponentialfunktionen

Aufgabe Nr. 1

Beachten wir Folgendes:

\[((2)^(x))\cdot ((5)^(x))=((\left(2\cdot 5 \right))^(x))=((10)^(x) )\]

Um die Stammfunktion dieses Ausdrucks zu finden, verwenden Sie einfach die Standardformel - $((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\ln a)$.

In unserem Fall sieht die Stammfunktion so aus:

Verglichen mit dem Design, das wir gerade gelöst haben, sieht dieses natürlich einfacher aus.

Problem Nr. 2

Auch hier ist leicht zu erkennen, dass diese Funktion leicht in zwei separate Terme unterteilt werden kann – zwei separate Brüche. Lassen Sie uns umschreiben:

Es bleibt noch die Stammfunktion jedes dieser Begriffe mithilfe der oben beschriebenen Formel zu finden:

Trotz der scheinbar größeren Komplexität von Exponentialfunktionen im Vergleich zu Potenzfunktionen erwies sich der Gesamtumfang der Berechnungen und Berechnungen als deutlich einfacher.

Natürlich mag das, was wir gerade besprochen haben, für sachkundige Studierende (insbesondere vor dem Hintergrund dessen, was wir zuvor besprochen haben) wie elementare Ausdrücke erscheinen. Bei der Auswahl dieser beiden Probleme für die heutige Videolektion habe ich mir jedoch nicht das Ziel gesetzt, Ihnen eine weitere komplexe und anspruchsvolle Technik zu erklären – ich wollte Ihnen lediglich zeigen, dass Sie keine Angst davor haben sollten, Standardalgebratechniken zur Transformation ursprünglicher Funktionen zu verwenden .

Mit einer „geheimen“ Technik

Abschließend möchte ich auf eine weitere interessante Technik eingehen, die einerseits über das hinausgeht, was wir heute hauptsächlich besprochen haben, andererseits aber erstens überhaupt nicht kompliziert ist, d.h. Selbst Anfänger können es beherrschen, und zweitens findet man es häufig in Tests und unabhängigen Arbeiten aller Art, d.h. Die Kenntnis davon wird zusätzlich zur Kenntnis der Tabelle der Stammfunktionen sehr nützlich sein.

Aufgabe Nr. 1

Offensichtlich haben wir etwas, das einer Potenzfunktion sehr ähnlich ist. Was sollen wir in diesem Fall tun? Denken wir darüber nach: $x-5$ unterscheidet sich nicht so sehr von $x$ – sie haben nur $-5$ hinzugefügt. Schreiben wir es so:

\[((x)^(4))\to \frac(((x)^(5)))(5)\]

\[((\left(\frac(((x)^(5)))(5) \right))^(\prime ))=\frac(5\cdot ((x)^(4))) (5)=((x)^(4))\]

Versuchen wir, die Ableitung von $((\left(x-5 \right))^(5))$ zu finden:

\[((\left(((\left(x-5 \right))^(5)) \right))^(\prime ))=5\cdot ((\left(x-5 \right)) ^(4))\cdot ((\left(x-5 \right))^(\prime ))=5\cdot ((\left(x-5 \right))^(4))\]

Dies impliziert:

\[((\left(x-5 \right))^(4))=((\left(\frac(((\left(x-5 \right))^(5)))(5) \ rechts))^(\prime ))\]

In der Tabelle gibt es keinen solchen Wert, daher haben wir diese Formel jetzt selbst abgeleitet, indem wir die Standardstammfunktionsformel für eine Potenzfunktion verwendet haben. Schreiben wir die Antwort so:

Problem Nr. 2

Viele Studenten, die sich die erste Lösung ansehen, denken vielleicht, dass alles sehr einfach ist: Ersetzen Sie einfach $x$ in der Potenzfunktion durch einen linearen Ausdruck, und schon passt alles zusammen. Leider ist nicht alles so einfach, und jetzt werden wir das sehen.

Analog zum ersten Ausdruck schreiben wir Folgendes:

\[((x)^(9))\to \frac(((x)^(10)))(10)\]

\[((\left(((\left(4-3x \right))^(10)) \right))^(\prime ))=10\cdot ((\left(4-3x \right)) ^(9))\cdot ((\left(4-3x \right))^(\prime ))=\]

\[=10\cdot ((\left(4-3x \right))^(9))\cdot \left(-3 \right)=-30\cdot ((\left(4-3x \right)) ^(9))\]

Zurück zu unserer Ableitung können wir schreiben:

\[((\left(((\left(4-3x \right))^(10)) \right))^(\prime ))=-30\cdot ((\left(4-3x \right) )^(9))\]

\[((\left(4-3x \right))^(9))=((\left(\frac(((\left(4-3x \right))^(10)))(-30) \right))^(\prime ))\]

Daraus folgt unmittelbar:

Nuancen der Lösung

Bitte beachten Sie: Wenn sich beim letzten Mal nichts Wesentliches geändert hat, dann erschien im zweiten Fall statt $-10$ $-30$. Was ist der Unterschied zwischen -10$ und -30$? Offensichtlich um den Faktor -3$. Frage: Woher kommt es? Wenn Sie genau hinschauen, können Sie erkennen, dass es sich um die Berechnung der Ableitung einer komplexen Funktion handelt – der Koeffizient, der bei $x$ stand, erscheint in der Stammfunktion unten. Dies ist eine sehr wichtige Regel, die ich in der heutigen Videolektion zunächst überhaupt nicht besprechen wollte, aber ohne sie wäre die Darstellung tabellarischer Stammfunktionen unvollständig.

Also lasst es uns noch einmal machen. Es sei unsere Hauptleistungsfunktion:

\[((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

Ersetzen wir nun anstelle von $x$ den Ausdruck $kx+b$. Was wird dann passieren? Wir müssen Folgendes finden:

\[((\left(kx+b \right))^(n))\to \frac(((\left(kx+b \right))^(n+1)))(\left(n+ 1 \right)\cdot k)\]

Auf welcher Grundlage behaupten wir das? Sehr einfach. Finden wir die Ableitung der oben geschriebenen Konstruktion:

\[((\left(\frac(((\left(kx+b \right))^(n+1)))(\left(n+1 \right)\cdot k) \right))^( \prime ))=\frac(1)(\left(n+1 \right)\cdot k)\cdot \left(n+1 \right)\cdot ((\left(kx+b \right))^ (n))\cdot k=((\left(kx+b \right))^(n))\]

Dies ist derselbe Ausdruck, der ursprünglich existierte. Somit ist diese Formel auch korrekt und kann zur Ergänzung der Stammfunktionstabelle verwendet werden, oder es ist besser, sich einfach die gesamte Tabelle zu merken.

Schlussfolgerungen aus dem „Geheimnis: Technik:

• Beide Funktionen, die wir gerade betrachtet haben, können zwar durch Erweiterung der Grade auf die in der Tabelle angegebenen Stammfunktionen zurückgeführt werden, aber wenn wir mit dem vierten Grad einigermaßen klarkommen, dann würde ich den neunten Grad nicht machen alle wagten es zu enthüllen.
• Würden wir die Abschlüsse erweitern, kämen wir am Ende auf eine solche Menge an Berechnungen, dass eine einfache Aufgabe unangemessen viel Zeit in Anspruch nehmen würde.
• Deshalb müssen solche Probleme, die lineare Ausdrücke enthalten, nicht „kopfüber“ gelöst werden. Sobald Sie auf eine Stammfunktion stoßen, die sich von der in der Tabelle nur durch das Vorhandensein des Ausdrucks $kx+b$ darin unterscheidet, erinnern Sie sich sofort an die oben geschriebene Formel, setzen Sie sie in Ihre Stammfunktion in der Tabelle ein, und alles wird gut ausgehen schneller und einfacher.

Aufgrund der Komplexität und Ernsthaftigkeit dieser Technik werden wir in zukünftigen Videolektionen natürlich noch oft auf sie zurückkommen, aber das ist alles für heute. Ich hoffe, dass diese Lektion denjenigen Schülern wirklich hilft, die Stammfunktionen und Integration verstehen möchten.