Im Artikel über n-dimensionale Vektoren sind wir auf das Konzept eines linearen Raums gekommen, der durch eine Menge n-dimensionaler Vektoren erzeugt wird. Jetzt müssen wir ebenso wichtige Konzepte berücksichtigen, wie zum Beispiel die Dimension und Basis eines Vektorraums. Sie stehen in direktem Zusammenhang mit dem Konzept eines linear unabhängigen Vektorsystems, daher empfiehlt es sich zusätzlich, sich an die Grundlagen dieses Themas zu erinnern.

Lassen Sie uns einige Definitionen vorstellen.

Definition 1

Dimension des Vektorraums– eine Zahl, die der maximalen Anzahl linear unabhängiger Vektoren in diesem Raum entspricht.

Definition 2

Vektorraumbasis– eine Menge linear unabhängiger Vektoren, deren Anzahl der Dimension des Raums entspricht.

Betrachten wir einen bestimmten Raum von n -Vektoren. Seine Dimension ist entsprechend n. Nehmen wir ein System von n-Einheitsvektoren:

e (1) = (1, 0, . . . 0) e (2) = (0, 1, . . , 0) e (n) = (0, 0, . . , 1)

Wir verwenden diese Vektoren als Komponenten der Matrix A: Es handelt sich um eine Einheitsmatrix mit der Dimension n mal n. Der Rang dieser Matrix ist n. Daher ist das Vektorsystem e (1), e (2), . . . , e(n) ist linear unabhängig. In diesem Fall ist es unmöglich, einen einzelnen Vektor zum System hinzuzufügen, ohne seine lineare Unabhängigkeit zu verletzen.

Da die Anzahl der Vektoren im System n beträgt, ist die Dimension des Raums der n-dimensionalen Vektoren n und die Einheitsvektoren sind e (1), e (2), . . . , e (n) sind die Basis des angegebenen Raumes.

Aus der resultierenden Definition können wir schließen: Jedes System n-dimensionaler Vektoren, in dem die Anzahl der Vektoren kleiner als n ist, ist keine Raumbasis.

Wenn wir den ersten und zweiten Vektor vertauschen, erhalten wir ein Vektorsystem e (2), e (1), . . . , e(n) . Es wird auch die Basis eines n-dimensionalen Vektorraums sein. Erstellen wir eine Matrix, indem wir die Vektoren des resultierenden Systems als Zeilen verwenden. Die Matrix kann aus der Identitätsmatrix durch Vertauschen der ersten beiden Zeilen erhalten werden, ihr Rang ist n. System e (2) , e (1) , . . . , e(n) ist linear unabhängig und die Basis eines n-dimensionalen Vektorraums.

Indem wir andere Vektoren im ursprünglichen System neu anordnen, erhalten wir eine andere Basis.

Wir können ein linear unabhängiges System von Nicht-Einheitsvektoren annehmen und es stellt auch die Basis eines n-dimensionalen Vektorraums dar.

Definition 3

Ein Vektorraum der Dimension n hat so viele Basen, wie es linear unabhängige Systeme n-dimensionaler Vektoren der Zahl n gibt.

Die Ebene ist ein zweidimensionaler Raum – ihre Basis sind zwei beliebige nichtkollineare Vektoren. Die Basis des dreidimensionalen Raums sind drei beliebige nichtkoplanare Vektoren.

Betrachten wir die Anwendung dieser Theorie anhand konkreter Beispiele.

Beispiel 1

Ausgangsdaten: Vektoren

a = (3 , - 2 , 1) b = (2 , 1 , 2) c = (3 , - 1 , - 2)

Es muss festgestellt werden, ob die angegebenen Vektoren die Basis eines dreidimensionalen Vektorraums sind.

Lösung

Um das Problem zu lösen, untersuchen wir das gegebene Vektorsystem auf lineare Abhängigkeit. Erstellen wir eine Matrix, in der die Zeilen die Koordinaten der Vektoren sind. Bestimmen wir den Rang der Matrix.

A = 3 2 3 - 2 1 - 1 1 2 - 2 A = 3 - 2 1 2 1 2 3 - 1 - 2 = 3 1 (- 2) + (- 2) 2 3 + 1 2 · (- 1) - 1 · 1 · 3 - (- 2) · 2 · (- 2) - 3 · 2 · (- 1) = = - 25 ≠ 0 ⇒ R a n k (A) = 3

Folglich sind die durch die Problembedingung spezifizierten Vektoren linear unabhängig und ihre Anzahl ist gleich der Dimension des Vektorraums – sie sind die Basis des Vektorraums.

Antwort: Die angegebenen Vektoren sind die Basis des Vektorraums.

Beispiel 2

Ausgangsdaten: Vektoren

a = (3, - 2, 1) b = (2, 1, 2) c = (3, - 1, - 2) d = (0, 1, 2)

Es muss festgestellt werden, ob das angegebene Vektorsystem die Grundlage des dreidimensionalen Raums sein kann.

Lösung

Das in der Problemstellung angegebene Vektorsystem ist linear abhängig, weil die maximale Anzahl linear unabhängiger Vektoren beträgt 3. Das angegebene Vektorsystem kann daher nicht als Grundlage für einen dreidimensionalen Vektorraum dienen. Es ist jedoch erwähnenswert, dass das Teilsystem des ursprünglichen Systems a = (3, - 2, 1), b = (2, 1, 2), c = (3, - 1, - 2) eine Basis ist.

Antwort: Das angegebene Vektorsystem ist keine Basis.

Beispiel 3

Ausgangsdaten: Vektoren

a = (1, 2, 3, 3) b = (2, 5, 6, 8) c = (1, 3, 2, 4) d = (2, 5, 4, 7)

Können sie die Grundlage des vierdimensionalen Raums sein?

Lösung

Erstellen wir eine Matrix, die die Koordinaten der angegebenen Vektoren als Zeilen verwendet

A = 1 2 3 3 2 5 6 8 1 3 2 4 2 5 4 7

Mit der Gaußschen Methode bestimmen wir den Rang der Matrix:

A = 1 2 3 3 2 5 6 8 1 3 2 4 2 5 4 7 ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 1 - 1 1 0 1 - 2 1 ~ ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 0 - 1 - 1 0 0 - 2 - 1 ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 0 - 1 - 1 0 0 0 1 ⇒ ⇒ R a n k (A) = 4

Folglich ist das System gegebener Vektoren linear unabhängig und ihre Anzahl ist gleich der Dimension des Vektorraums – sie sind die Basis eines vierdimensionalen Vektorraums.

Antwort: Die angegebenen Vektoren sind die Basis des vierdimensionalen Raums.

Beispiel 4

Ausgangsdaten: Vektoren

a (1) = (1 , 2 , - 1 , - 2) a (2) = (0 , 2 , 1 , - 3) a (3) = (1 , 0 , 0 , 5)

Bilden sie die Grundlage eines Raumes der Dimension 4?

Lösung

Das ursprüngliche Vektorsystem ist linear unabhängig, aber die Anzahl der darin enthaltenen Vektoren reicht nicht aus, um die Grundlage eines vierdimensionalen Raums zu werden.

Antwort: Nein, das tun sie nicht.

Zerlegung eines Vektors in eine Basis

Nehmen wir an, dass beliebige Vektoren e (1), e (2), . . . , e (n) sind die Basis eines n-dimensionalen Vektorraums. Fügen wir ihnen einen bestimmten n-dimensionalen Vektor x → hinzu: Das resultierende Vektorsystem wird linear abhängig. Die Eigenschaften der linearen Abhängigkeit besagen, dass mindestens einer der Vektoren eines solchen Systems durch die anderen linear ausgedrückt werden kann. Um diese Aussage umzuformulieren, können wir sagen, dass mindestens einer der Vektoren eines linear abhängigen Systems in die übrigen Vektoren entwickelt werden kann.

So kamen wir zur Formulierung des wichtigsten Theorems:

Definition 4

Jeder Vektor eines n-dimensionalen Vektorraums kann eindeutig in eine Basis zerlegt werden.

Beweis 1

Beweisen wir diesen Satz:

Legen wir die Basis des n-dimensionalen Vektorraums fest – e (1), e (2), . . . , e(n) . Machen wir das System linear abhängig, indem wir ihm einen n-dimensionalen Vektor x → hinzufügen. Dieser Vektor kann durch die ursprünglichen Vektoren e linear ausgedrückt werden:

x = x 1 · e (1) + x 2 · e (2) + . . . + x n · e (n) , wobei x 1 , x 2 , . . . , x n - einige Zahlen.

Jetzt beweisen wir, dass eine solche Zerlegung eindeutig ist. Nehmen wir an, dass dies nicht der Fall ist und es eine weitere ähnliche Zerlegung gibt:

x = x ~ 1 e (1) + x 2 ~ e (2) + . . . + x ~ n e (n) , wobei x ~ 1 , x ~ 2 , . . . , x ~ n - einige Zahlen.

Subtrahieren wir von der linken bzw. rechten Seite dieser Gleichheit die linke bzw. rechte Seite der Gleichheit x = x 1 · e (1) + x 2 · e (2) + . . . + x n · e (n) . Wir bekommen:

0 = (x ~ 1 - x 1) · e (1) + (x ~ 2 - x 2) · e (2) + . . . (x ~ n - x n) e (2)

System der Basisvektoren e (1), e (2), . . . , e(n) ist linear unabhängig; Gemäß der Definition der linearen Unabhängigkeit eines Vektorsystems ist die obige Gleichheit nur möglich, wenn alle Koeffizienten (x ~ 1 - x 1), (x ~ 2 - x 2), ... sind. . . , (x ~ n - x n) wird gleich Null sein. Daraus ergibt sich: x 1 = x ~ 1, x 2 = x ~ 2, . . . , x n = x ~ n . Und dies ist die einzige Möglichkeit, einen Vektor in eine Basis zu zerlegen.

In diesem Fall sind die Koeffizienten x 1, x 2, . . . , x n heißen die Koordinaten des Vektors x → in der Basis e (1) , e (2) , . . . , e(n) .

Die bewährte Theorie verdeutlicht den Ausdruck „bei gegebenem n-dimensionalem Vektor x = (x 1 , x 2 , . . . , x n)“: Es wird ein Vektor x → n-dimensionaler Vektorraum betrachtet und seine Koordinaten werden in a angegeben bestimmte Grundlage. Es ist auch klar, dass derselbe Vektor in einer anderen Basis des n-dimensionalen Raums unterschiedliche Koordinaten haben wird.

Betrachten Sie das folgende Beispiel: Nehmen Sie an, dass in einer Basis des n-dimensionalen Vektorraums ein System von n linear unabhängigen Vektoren gegeben ist

und auch der Vektor x = (x 1 , x 2 , . . . , x n) ist gegeben.

Vektoren e 1 (1) , e 2 (2) , . . . , e n (n) sind in diesem Fall auch die Basis dieses Vektorraums.

Angenommen, es ist notwendig, die Koordinaten des Vektors x → in der Basis e 1 (1), e 2 (2) , zu bestimmen. . . , e n (n) , bezeichnet als x ~ 1 , x ~ 2 , . . . , x ~ n.

Der Vektor x → wird wie folgt dargestellt:

x = x ~ 1 e (1) + x ~ 2 e (2) + . . . + x ~ n e (n)

Schreiben wir diesen Ausdruck in Koordinatenform:

(x 1 , x 2 , . . . , x n) = x ~ 1 (e (1) 1 , e (1) 2 , . . , e (1) n) + x ~ 2 (e (2 ) 1 , e (2) 2 , . . . , e (2) n) + . . . + + x ~ n · (e (n) 1 , e (n) 2 , . . . , e (n) n) = = (x ~ 1 e 1 (1) + x ~ 2 e 1 (2) + . . . + x ~ n e 1 (n) , x ~ 1 e 2 (1) + x ~ 2 e 2 (2) + + . . + x ~ n e 2 (n) , . . . , x ~ 1 e n (1) + x ~ 2 e n (2) + ... + x ~ n e n (n))

Die resultierende Gleichheit entspricht einem System von n linearen algebraischen Ausdrücken mit n unbekannten linearen Variablen x ~ 1, x ~ 2, . . . , x ~ n:

x 1 = x ~ 1 e 1 1 + x ~ 2 e 1 2 + . . . + x ~ n e 1 n x 2 = x ~ 1 e 2 1 + x ~ 2 e 2 2 + . . . + x ~ n e 2 n ⋮ x n = x ~ 1 e n 1 + x ~ 2 e n 2 + . . . + x ~ n e n n

Die Matrix dieses Systems hat die folgende Form:

e 1 (1) e 1 (2) ⋯ e 1 (n) e 2 (1) e 2 (2) ⋯ e 2 (n) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e n (1) e n (2) ⋯ e n (n)

Dies sei eine Matrix A und ihre Spalten seien Vektoren eines linear unabhängigen Vektorsystems e 1 (1), e 2 (2), . . . , e n (n) . Der Rang der Matrix ist n und ihre Determinante ist ungleich Null. Dies weist darauf hin, dass das Gleichungssystem eine eindeutige Lösung hat, die durch eine beliebige geeignete Methode bestimmt wird: beispielsweise die Cramer-Methode oder die Matrixmethode. Auf diese Weise können wir die Koordinaten x ~ 1, x ~ 2, . bestimmen. . . , x ~ n Vektor x → in der Basis e 1 (1) , e 2 (2) , . . . , e n (n) .

Wenden wir die betrachtete Theorie auf ein konkretes Beispiel an.

Beispiel 6

Ausgangsdaten: Vektoren werden auf der Grundlage des dreidimensionalen Raums angegeben

e (1) = (1 , - 1 , 1) e (2) = (3 , 2 , - 5) e (3) = (2 , 1 , - 3) x = (6 , 2 , - 7)

Es ist notwendig, die Tatsache zu bestätigen, dass das Vektorsystem e (1), e (2), e (3) auch als Basis eines bestimmten Raums dient, und auch die Koordinaten des Vektors x in einer bestimmten Basis zu bestimmen.

Lösung

Das Vektorsystem e (1), e (2), e (3) ist die Grundlage des dreidimensionalen Raums, wenn es linear unabhängig ist. Lassen Sie uns diese Möglichkeit herausfinden, indem wir den Rang der Matrix A bestimmen, deren Zeilen die gegebenen Vektoren e (1), e (2), e (3) sind.

Wir verwenden die Gaußsche Methode:

A = 1 - 1 1 3 2 - 5 2 1 - 3 ~ 1 - 1 1 0 5 - 8 0 3 - 5 ~ 1 - 1 1 0 5 - 8 0 0 - 1 5

R a n k (A) = 3 . Somit ist das Vektorsystem e (1), e (2), e (3) linear unabhängig und eine Basis.

Der Vektor x → habe in der Basis die Koordinaten x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3. Die Beziehung zwischen diesen Koordinaten wird durch die Gleichung bestimmt:

x 1 = x ~ 1 e 1 (1) + x ~ 2 e 1 (2) + x ~ 3 e 1 (3) x 2 = x ~ 1 e 2 (1) + x ~ 2 e 2 (2) + x ~ 3 e 2 (3) x 3 = x ~ 1 e 3 (1) + x ~ 2 e 3 (2) + x ~ 3 e 3 (3)

Wenden wir die Werte entsprechend den Bedingungen des Problems an:

x ~ 1 + 3 x ~ 2 + 2 x ~ 3 = 6 - x ~ 1 + 2 x ~ 2 + x ~ 3 = 2 x ~ 1 - 5 x ~ 2 - 3 x 3 = - 7

Lösen wir das Gleichungssystem mit der Cramer-Methode:

∆ = 1 3 2 - 1 2 1 1 - 5 - 3 = - 1 ∆ x ~ 1 = 6 3 2 2 2 1 - 7 - 5 - 3 = - 1 , x ~ 1 = ∆ x ~ 1 ∆ = - 1 - 1 = 1 ∆ x ~ 2 = 1 6 2 - 1 2 1 1 - 7 - 3 = - 1 , x ~ 2 = ∆ x ~ 2 ∆ = - 1 - 1 = 1 ∆ x ~ 3 = 1 3 6 - 1 2 2 1 - 5 - 7 = - 1 , x ~ 3 = ∆ x ~ 3 ∆ = - 1 - 1 = 1

Somit hat der Vektor x → in der Basis e (1), e (2), e (3) die Koordinaten x ~ 1 = 1, x ~ 2 = 1, x ~ 3 = 1.

Antwort: x = (1 , 1 , 1)

Beziehung zwischen Basen

Nehmen wir an, dass in einer Basis des n-dimensionalen Vektorraums zwei linear unabhängige Vektorsysteme gegeben sind:

c (1) = (c 1 (1) , c 2 (1) , . . . , c n (1)) c (2) = (c 1 (2) , c 2 (2) , . . . , c n (2)) ⋮ c (n) = (c 1 (n) , e 2 (n) , . . . , c n (n))

e (1) = (e 1 (1) , e 2 (1) , . . . , e n (1)) e (2) = (e 1 (2) , e 2 (2) , . . . , e n (2)) ⋮ e (n) = (e 1 (n) , e 2 (n) , . . . , e n (n))

Diese Systeme sind auch Grundlagen eines bestimmten Raumes.

Sei c ~ 1 (1), c ~ 2 (1), . . . , c ~ n (1) – Koordinaten des Vektors c (1) in der Basis e (1), e (2), . . . , e (3) , dann wird die Koordinatenbeziehung durch ein lineares Gleichungssystem gegeben:

c 1 (1) = c ~ 1 (1) e 1 (1) + c ~ 2 (1) e 1 (2) + . . . + c ~ n (1) e 1 (n) c 2 (1) = c ~ 1 (1) e 2 (1) + c ~ 2 (1) e 2 (2) + . . . + c ~ n (1) e 2 (n) ⋮ c n (1) = c ~ 1 (1) e n (1) + c ~ 2 (1) e n (2) + . . . + c ~ n (1) e n (n)

Das System lässt sich als Matrix wie folgt darstellen:

(c 1 (1) , c 2 (1) , . . . , c n (1)) = (c ~ 1 (1) , c ~ 2 (1) , . . . , c ~ n (1)) e 1 (1) e 2 (1) … e n (1) e 1 (2) e 2 (2) … e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) … e n (n)

Machen wir den gleichen Eintrag für den Vektor c (2) analog:

(c 1 (2) , c 2 (2) , . . . , c n (2)) = (c ~ 1 (2) , c ~ 2 (2) , . . . , c ~ n (2)) e 1 (1) e 2 (1) … e n (1) e 1 (2) e 2 (2) … e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) … e n (n)

(c 1 (n) , c 2 (n) , . . . , c n (n)) = (c ~ 1 (n) , c ~ 2 (n) , . . . , c ~ n (n)) e 1 (1) e 2 (1) … e n (1) e 1 (2) e 2 (2) … e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) … e n (n)

Fassen wir die Matrixgleichungen zu einem Ausdruck zusammen:

c 1 (1) c 2 (1) ⋯ c n (1) c 1 (2) c 2 (2) ⋯ c n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c 1 (n) c 2 (n) ⋯ c n (n) = c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) e 1 (1) e 2 (1) ⋯ e n (1) e 1 (2) e 2 (2) ⋯ e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n ) e 2 (n) ⋯ e n (n)

Es bestimmt die Verbindung zwischen den Vektoren zweier verschiedener Basen.

Nach dem gleichen Prinzip ist es möglich, alle Basisvektoren e(1), e(2), ... auszudrücken. . . , e (3) durch die Basis c (1), c (2), . . . , c(n) :

e 1 (1) e 2 (1) ⋯ e n (1) e 1 (2) e 2 (2) ⋯ e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) ⋯ e n (n) = e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) c 1 (1) c 2 (1) ⋯ c n (1) c 1 (2) c 2 (2) ⋯ c n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c 1 (n ) c 2 (n) ⋯ c n (n)

Geben wir die folgenden Definitionen:

Definition 5

Matrix c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) ist die Übergangsmatrix von der Basis e (1), e (2), . . . , e (3)

zur Basis c (1), c (2), . . . , c(n) .

Definition 6

Matrix e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) ist die Übergangsmatrix aus der Basis c (1), c (2), . . . , c(n)

zur Basis e (1) , e (2) , . . . , e (3) .

Aus diesen Gleichheiten geht hervor, dass

c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) = 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 1 e ~ 1 (1) e ~ 2 ( 1 ) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n ) · c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) = 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 1

diese. Die Übergangsmatrizen sind reziprok.

Schauen wir uns die Theorie anhand eines konkreten Beispiels an.

Beispiel 7

Ausgangsdaten: Es ist notwendig, die Übergangsmatrix von der Basis zu finden

c (1) = (1, 2, 1) c (2) = (2, 3, 3) ​​c (3) = (3, 7, 1)

e (1) = (3 , 1 , 4) e (2) = (5 , 2 , 1) e (3) = (1 , 1 , - 6)

Sie müssen auch die Beziehung zwischen den Koordinaten eines beliebigen Vektors x → in den angegebenen Basen angeben.

Lösung

1. Sei T die Übergangsmatrix, dann gilt die Gleichheit:

3 1 4 5 2 1 1 1 1 = T 1 2 1 2 3 3 3 7 1

Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichheit mit

1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1

und wir bekommen:

T = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1

2. Definieren Sie die Übergangsmatrix:

T = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 · 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1 = = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 · - 18 5 3 7 - 2 - 1 5 - 1 - 1 = - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

3. Definieren wir die Beziehung zwischen den Koordinaten des Vektors x → :

Nehmen wir an, dass in der Basis c (1), c (2), . . . , c (n) Vektor x → hat Koordinaten x 1 , x 2 , x 3 , dann:

x = (x 1 , x 2 , x 3) 1 2 1 2 3 3 3 7 1 ,

und in der Basis e (1), e (2), . . . , e (3) hat die Koordinaten x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3, dann:

x = (x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6

Weil Wenn die linken Seiten dieser Gleichungen gleich sind, können wir auch die rechten Seiten gleichsetzen:

(x 1 , x 2 , x 3) · 1 2 1 2 3 3 3 7 1 = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) · 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6

Multiplizieren Sie beide Seiten rechts mit

1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1

und wir bekommen:

(x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) · 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 · 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1 ⇔ ⇔ ( x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) T ⇔ ⇔ (x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3 ) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

Andererseits

(x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) = (x 1, x 2, x 3) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

Die letzten Gleichungen zeigen die Beziehung zwischen den Koordinaten des Vektors x → in beiden Basen.

Antwort:Übergangsmatrix

27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

Die Koordinaten des Vektors x → in den angegebenen Basen hängen durch die Beziehung zusammen:

(x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

(x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) = (x 1, x 2, x 3) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8 - 1

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Finden Sie die Basis des Systems von Vektoren und Vektoren, die nicht in der Basis enthalten sind, und erweitern Sie sie entsprechend der Basis:

A 1 = {5, 2, -3, 1}, A 2 = {4, 1, -2, 3}, A 3 = {1, 1, -1, -2}, A 4 = {3, 4, -1, 2}, A 5 = {13, 8, -7, 4}.

Lösung. Betrachten Sie ein homogenes System linearer Gleichungen

A 1 X 1 + A 2 X 2 + A 3 X 3 + A 4 X 4 + A 5 X 5 = 0

oder in erweiterter Form.

Wir werden dieses System nach der Gaußschen Methode lösen, ohne Zeilen und Spalten zu vertauschen und außerdem das Hauptelement nicht in der oberen linken Ecke, sondern entlang der gesamten Zeile auszuwählen. Die Herausforderung besteht darin Wählen Sie den diagonalen Teil des transformierten Vektorsystems aus.

~ ~

~ ~ ~ .

Das erlaubte Vektorsystem, äquivalent zum ursprünglichen, hat die Form

A 1 1 X 1 + A 2 1 X 2 + A 3 1 X 3 + A 4 1 X 4 + A 5 1 X 5 = 0 ,

Wo A 1 1 = , A 2 1 = , A 3 1 = , A 4 1 = , A 5 1 = . (1)

Vektoren A 1 1 , A 3 1 , A 4 1 bilden ein Diagonalsystem. Daher die Vektoren A 1 , A 3 , A 4 bilden die Basis des Vektorsystems A 1 , A 2 , A 3 , A 4 , A 5 .

Erweitern wir nun die Vektoren A 2 Und A 5 auf Basis A 1 , A 3 , A 4 . Dazu entwickeln wir zunächst die entsprechenden Vektoren A 2 1 Und A 5 1 Diagonalsystem A 1 1 , A 3 1 , A 4 1, wobei zu berücksichtigen ist, dass die Koeffizienten der Ausdehnung eines Vektors entlang des Diagonalsystems seine Koordinaten sind x i.

Aus (1) ergibt sich:

A 2 1 = A 3 1 · (-1) + A 4 1 0 + A 1 1 ·1 => A 2 1 = A 1 1 – A 3 1 .

A 5 1 = A 3 1 0 + A 4 1 1 + A 1 1 ·2 => A 5 1 = 2A 1 1 + A 4 1 .

Vektoren A 2 Und A 5 sind in der Basis erweitert A 1 , A 3 , A 4 mit den gleichen Koeffizienten wie Vektoren A 2 1 Und A 5 1 Diagonalsystem A 1 1 , A 3 1 , A 4 1 (diese Koeffizienten x i). Somit,

A 2 = A 1 – A 3 , A 5 = 2A 1 + A 4 .

Aufgaben. 1.Finden Sie die Basis des Systems von Vektoren und Vektoren, die nicht in der Basis enthalten sind, und erweitern Sie sie entsprechend der Basis:

1. A 1 = { 1, 2, 1 }, A 2 = { 2, 1, 3 }, A 3 = { 1, 5, 0 }, A 4 = { 2, -2, 4 }.

2. A 1 = { 1, 1, 2 }, A 2 = { 0, 1, 2 }, A 3 = { 2, 1, -4 }, A 4 = { 1, 1, 0 }.

3. A 1 = { 1, -2, 3 }, A 2 = { 0, 1, -1 }, A 3 = { 1, 3, 0 }, A 4 = { 0, -7, 3 }, A 5 = { 1, 1, 1 }.

4. A 1 = { 1, 2, -2 }, A 2 = { 0, -1, 4 }, A 3 = { 2, -3, 3 }.

2. Finden Sie alle Basen des Vektorsystems:

1. A 1 = { 1, 1, 2 }, A 2 = { 3, 1, 2 }, A 3 = { 1, 2, 1 }, A 4 = { 2, 1, 2 }.

2. A 1 = { 1, 1, 1 }, A 2 = { -3, -5, 5 }, A 3 = { 3, 4, -1 }, A 4 = { 1, -1, 4 }.

Vorlesungen über Algebra und Geometrie. Semester 1.

Vorlesung 9. Grundlagen des Vektorraums.

Zusammenfassung: Vektorsystem, Linearkombination eines Vektorsystems, Koeffizienten einer Linearkombination eines Vektorsystems, Basis auf einer Geraden, einer Ebene und im Raum, Abmessungen von Vektorräumen auf einer Geraden, einer Ebene und im Raum, Zerlegung von ein Vektor entlang einer Basis, Koordinaten eines Vektors relativ zur Basis, Gleichheitssatz zweier Vektoren, lineare Operationen mit Vektoren in Koordinatenschreibweise, orthonormales Vektortripel, rechtes und linkes Vektortripel, orthonormale Basis, Grundsatz der Vektoralgebra.

Kapitel 9. Basis eines Vektorraums und Zerlegung eines Vektors bezüglich der Basis.

Klausel 1. Basis auf einer Geraden, in einer Ebene und im Raum.

Definition. Jede endliche Menge von Vektoren wird als Vektorsystem bezeichnet.

Definition. Ausdruck wo
wird als Linearkombination eines Vektorsystems bezeichnet
, und die Zahlen
werden die Koeffizienten dieser Linearkombination genannt.

Seien L, P und S eine Gerade, eine Ebene bzw. ein Punktraum und
. Dann
– Vektorräume von Vektoren als gerichtete Segmente auf der Geraden L, auf der Ebene P bzw. im Raum S.

Jeder Vektor ungleich Null wird aufgerufen
, d.h. Jeder Vektor ungleich Null, der kollinear zur Linie L ist:
Und
.

Basisbezeichnung
:
– Basis
.

Definition. Basis des Vektorraums
ist ein beliebiges geordnetes Paar nichtkollinearer Vektoren im Raum
.

, Wo
,
– Basis
.

Definition. Basis des Vektorraums
ist ein beliebiges geordnetes Tripel von nicht koplanaren (d. h. nicht in derselben Ebene liegenden) Vektoren des Raums
.

– Basis
.

Kommentar. Die Basis eines Vektorraums darf keinen Nullvektor im Raum enthalten
per Definition im Raum
Zwei Vektoren sind kollinear, wenn mindestens einer von ihnen im Raum Null ist
Drei Vektoren sind koplanar, das heißt, sie liegen in derselben Ebene, wenn mindestens einer der drei Vektoren Null ist.

Klausel 2. Zerlegung eines Vektors nach Basis.

Definition. Lassen – beliebiger Vektor,
– beliebiges Vektorsystem. Wenn Gleichheit gilt

dann sagen sie, dass der Vektor dargestellt als lineare Kombination eines gegebenen Vektorsystems. Wenn ein gegebenes Vektorsystem
eine Basis eines Vektorraums ist, dann wird Gleichheit (1) als Zerlegung des Vektors bezeichnet nach Basis
. Linearkombinationskoeffizienten
heißen in diesem Fall die Koordinaten des Vektors relativ zur Basis
.

Satz. (Über die Zerlegung eines Vektors bezüglich einer Basis.)

Jeder Vektor eines Vektorraums kann in seine Basis hinein und darüber hinaus auf einzigartige Weise erweitert werden.

Nachweisen. 1) Sei L eine beliebige Gerade (oder Achse) und
– Basis
. Nehmen wir einen beliebigen Vektor
. Da beide Vektoren Und kollinear zur gleichen Linie L, dann
. Nutzen wir den Satz über die Kollinearität zweier Vektoren. Als
, dann gibt (existiert) eine solche Zahl
, Was
und so haben wir die Zerlegung des Vektors erhalten nach Basis
Vektorraum
.

Lassen Sie uns nun die Einzigartigkeit einer solchen Zerlegung beweisen. Nehmen wir das Gegenteil an. Es gebe zwei Zerlegungen des Vektors nach Basis
Vektorraum
:

Und
, Wo
. Dann
und unter Verwendung des Verteilungsgesetzes erhalten wir:

Als
, dann folgt aus der letzten Gleichheit Folgendes
, usw.

2) Sei nun P eine beliebige Ebene und
– Basis
. Lassen
ein beliebiger Vektor dieser Ebene. Lassen Sie uns alle drei Vektoren von einem beliebigen Punkt dieser Ebene aus zeichnen. Lass uns 4 gerade Linien bauen. Machen wir eine direkte , auf dem der Vektor liegt , gerade
, auf dem der Vektor liegt . Durch das Ende des Vektors Zeichnen Sie eine gerade Linie parallel zum Vektor und eine Linie parallel zum Vektor . Diese 4 geraden Linien zeichnen ein Parallelogramm. Siehe Abb. unten. 3. Nach der Parallelogrammregel
, Und
,
,
– Basis ,
– Basis
.

Nun, nach dem, was bereits im ersten Teil dieses Beweises bewiesen wurde, gibt es solche Zahlen
, Was

Und
. Von hier aus erhalten wir:

und die Möglichkeit einer Erweiterung der Basis ist nachgewiesen.

Nun beweisen wir die Eindeutigkeit der Erweiterung hinsichtlich der Basis. Nehmen wir das Gegenteil an. Es gebe zwei Zerlegungen des Vektors nach Basis
Vektorraum
:
Und
. Wir bekommen Gleichberechtigung

Woher kommt das?
. Wenn
, Das
, und weil
, Das
und die Ausdehnungskoeffizienten sind gleich:
,
. Lass es jetzt
. Dann
, Wo
. Aus dem Satz über die Kollinearität zweier Vektoren folgt daraus
. Wir haben einen Widerspruch zu den Bedingungen des Satzes erhalten. Somit,
Und
, usw.

3) Lass
– Basis
lassen Sie es gehen
beliebiger Vektor. Führen wir die folgenden Konstruktionen durch.

Lassen wir alle drei Basisvektoren beiseite
und Vektor von einem Punkt aus und konstruiere 6 Ebenen: die Ebene, in der die Basisvektoren liegen
, Flugzeug
und Flugzeug
; weiter durch das Ende des Vektors Zeichnen wir drei Ebenen parallel zu den drei eben konstruierten Ebenen. Diese 6 Flugzeuge schnitzen ein Parallelepiped:

Mit der Regel zum Addieren von Vektoren erhalten wir die Gleichheit:

. (1)

Durch den Bau
. Daraus folgt aus dem Satz über die Kollinearität zweier Vektoren, dass es eine Zahl gibt
, so dass
. Ebenfalls,
Und
, Wo
. Wenn wir nun diese Gleichungen in (1) einsetzen, erhalten wir:

und die Möglichkeit einer Erweiterung der Basis ist nachgewiesen.

Lassen Sie uns die Einzigartigkeit einer solchen Zerlegung beweisen. Nehmen wir das Gegenteil an. Es gebe zwei Zerlegungen des Vektors nach Basis
:

UND . Dann

Beachten Sie, dass die Vektoren bedingt sind
nicht koplanar, daher sind sie paarweise nicht kollinear.

Es gibt zwei mögliche Fälle:
oder
.

a) Sei
, dann folgt aus Gleichung (3):

. (4)

Aus Gleichung (4) folgt, dass der Vektor erweitert sich entsprechend der Basis
, d.h. Vektor liegt in der Vektorebene
und daher die Vektoren
koplanar, was der Bedingung widerspricht.

b) Es bleibt ein Fall
, d.h.
. Dann erhalten wir aus Gleichung (3) oder

Als
ist die Basis des Raums der in der Ebene liegenden Vektoren, und wir haben bereits die Eindeutigkeit der Entwicklung in der Basis der Vektoren der Ebene bewiesen, dann folgt aus Gleichung (5) das
Und
, usw.

Der Satz ist bewiesen.

Folge.

1) Es besteht eine Eins-zu-eins-Entsprechung zwischen der Menge der Vektoren in einem Vektorraum
und die Menge der reellen Zahlen R.

2) Es besteht eine Eins-zu-eins-Entsprechung zwischen der Menge der Vektoren in einem Vektorraum
und ein kartesisches Quadrat

3) Es besteht eine Eins-zu-eins-Entsprechung zwischen der Menge der Vektoren in einem Vektorraum
und kartesischer Würfel
Menge reeller Zahlen R.

Nachweisen. Beweisen wir die dritte Aussage. Die ersten beiden werden auf ähnliche Weise bewiesen.

Auswählen und im Raum fixieren
eine gewisse Grundlage
und eine Ausstellung arrangieren
nach folgender Regel:

diese. Ordnen wir jedem Vektor einen geordneten Satz seiner Koordinaten zu.

Da bei einer festen Basis jeder Vektor einen einzigen Koordinatensatz hat, ist die durch Regel (6) spezifizierte Entsprechung tatsächlich eine Abbildung.

Aus dem Beweis des Satzes folgt, dass verschiedene Vektoren unterschiedliche Koordinaten relativ zur gleichen Basis haben, d.h. Mapping (6) ist eine Injektion.

Lassen
eine beliebige geordnete Menge reeller Zahlen.

Betrachten Sie einen Vektor
. Dieser Vektor hat konstruktionsbedingt Koordinaten
. Folglich ist Abbildung (6) eine Surjektion.

Eine Abbildung, die sowohl injektiv als auch surjektiv ist, ist bijektiv, d. h. eins zu eins usw.

Die Untersuchung ist bewiesen.

Satz. (Über die Gleichheit zweier Vektoren.)

Zwei Vektoren sind genau dann gleich, wenn ihre Koordinaten relativ zur gleichen Basis gleich sind.

Der Beweis folgt unmittelbar aus dem vorherigen Korollar.

Klausel 3. Dimension des Vektorraums.

Definition. Die Anzahl der Vektoren in der Basis eines Vektorraums wird als dessen Dimension bezeichnet.

Bezeichnung:
– Dimension des Vektorraums V.

Somit haben wir in Übereinstimmung mit dieser und früheren Definitionen:

1)
– Vektorraum der Vektoren der Linie L.

– Basis
,
,
,
– Vektorzerlegung
nach Basis
,
– Vektorkoordinate relativ zur Basis
.

2)
– Vektorraum der Vektoren der Ebene R.

– Basis
,
,
,
– Vektorzerlegung
nach Basis
,
– Vektorkoordinaten relativ zur Basis
.

3)
– Vektorraum von Vektoren im Raum der Punkte S.

– Basis
,
,
– Vektorzerlegung
nach Basis
,
– Vektorkoordinaten relativ zur Basis
.

Kommentar. Wenn
, Das
und Sie können eine Basis wählen
Raum
Also
– Basis
Und
– Basis
. Dann
, Und
, .

Somit kann jeder Vektor der Linie L, der Ebene P und des Raums S entsprechend der Basis erweitert werden
:

Bezeichnung. Aufgrund des Satzes über die Gleichheit von Vektoren können wir jeden Vektor mit einem geordneten Tripel reeller Zahlen identifizieren und schreiben:

Dies ist nur möglich, wenn die Basis
fixiert und es besteht keine Gefahr, sich zu verheddern.

Definition. Das Schreiben eines Vektors in Form eines geordneten Tripels reeller Zahlen wird als Koordinatenform zum Schreiben eines Vektors bezeichnet:
.

Klausel 4. Lineare Operationen mit Vektoren in Koordinatenschreibweise.

Lassen
– Basis des Raumes
Und
sind zwei seiner beliebigen Vektoren. Lassen
Und
– Aufzeichnung dieser Vektoren in Koordinatenform. Lassen Sie weiter,
ist eine beliebige reelle Zahl. Unter Verwendung dieser Notation gilt der folgende Satz.

Satz. (Über lineare Operationen mit Vektoren in Koordinatenform.)

2)
.

Mit anderen Worten: Um zwei Vektoren zu addieren, müssen Sie ihre entsprechenden Koordinaten addieren, und um einen Vektor mit einer Zahl zu multiplizieren, müssen Sie jede Koordinate eines bestimmten Vektors mit einer bestimmten Zahl multiplizieren.

Nachweisen. Da wir gemäß den Bedingungen des Satzes die Axiome des Vektorraums verwenden, die die Operationen der Addition von Vektoren und der Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl regeln, erhalten wir:

Dies impliziert.

Die zweite Gleichheit wird auf ähnliche Weise bewiesen.

Der Satz ist bewiesen.

Klausel 5. Orthogonale Vektoren. Orthonormale Basis.

Definition. Zwei Vektoren heißen orthogonal, wenn der Winkel zwischen ihnen einem rechten Winkel entspricht, d. h.
.

Bezeichnung:
– Vektoren Und senkrecht.

Definition. Troika der Vektoren
heißt orthogonal, wenn diese Vektoren paarweise orthogonal zueinander sind, d.h.
,
.

Definition. Troika der Vektoren
heißt orthonormal, wenn es orthogonal ist und die Längen aller Vektoren gleich eins sind:
.

Kommentar. Aus der Definition folgt, dass ein orthogonales und damit orthonormales Vektortripel nicht koplanar ist.

Definition. Geordnetes nichtkoplanares Vektortriplett
Von einem Punkt aus wird ein Diagramm als rechts (rechtsorientiert) bezeichnet, wenn es vom Ende des dritten Vektors aus betrachtet wird zur Ebene, in der die ersten beiden Vektoren liegen Und , kürzeste Drehung des ersten Vektors auf die Sekunde erfolgt gegen den Uhrzeigersinn. Andernfalls heißt das Vektortripel links (linksorientiert).

Hier in Abb. 6 sind die rechten drei Vektoren dargestellt
. Die folgende Abbildung 7 zeigt die linken drei Vektoren
:

Definition. Basis
Vektorraum
heißt orthonormal, wenn
orthonormales Vektortripel.

Bezeichnung. Im Folgenden verwenden wir die richtige Orthonormalbasis
, siehe folgende Abbildung.

Ausdruck der Form angerufen lineare Kombination von Vektoren A 1 , A 2 ,...,A n mit Chancen λ 1, λ 2 ,...,λ n.

Bestimmung der linearen Abhängigkeit eines Vektorsystems

Vektorsystem A 1 , A 2 ,...,A n angerufen linear abhängig, wenn es eine Zahlenmenge ungleich Null gibt λ 1, λ 2 ,...,λ n, in dem die lineare Kombination von Vektoren λ 1 *A 1 +λ 2 *A 2 +...+λ n *A n gleich dem Nullvektor, also das Gleichungssystem: hat eine Lösung ungleich Null.
Zahlensatz λ 1, λ 2 ,...,λ n ist ungleich Null, wenn mindestens eine der Zahlen λ 1, λ 2 ,...,λ n verschieden von Null.

Bestimmung der linearen Unabhängigkeit eines Vektorsystems

Vektorsystem A 1 , A 2 ,...,A n angerufen linear unabhängig, wenn die lineare Kombination dieser Vektoren λ 1 *A 1 +λ 2 *A 2 +...+λ n *A n nur für eine Nullmenge von Zahlen gleich dem Nullvektor λ 1, λ 2 ,...,λ n , also das Gleichungssystem: A 1 x 1 +A 2 x 2 +...+A n x n =Θ hat eine eindeutige Nulllösung.

Beispiel 29.1

Überprüfen Sie, ob ein Vektorsystem linear abhängig ist

Lösung:

1. Wir stellen ein Gleichungssystem auf:

2. Wir lösen es mit der Gauß-Methode. Die Jordanano-Transformationen des Systems sind in Tabelle 29.1 angegeben. Bei der Berechnung werden die rechten Seiten des Systems nicht mitgeschrieben, da sie gleich Null sind und sich bei Jordan-Transformationen nicht ändern.

3. Aus den letzten drei Zeilen der Tabelle Schreiben Sie ein gelöstes System auf, das dem Original entspricht System:

4. Wir erhalten die allgemeine Lösung des Systems:

5. Nachdem Sie den Wert der freien Variablen x 3 =1 nach Ihrem Ermessen festgelegt haben, Wir erhalten eine bestimmte Nicht-Null-Lösung X=(-3,2,1).

Antwort: Für eine Zahlenmenge ungleich Null (-3,2,1) entspricht die lineare Kombination von Vektoren also dem Nullvektor -3A 1 +2A 2 +1A 3 =Θ. Somit, Vektorsystem linear abhängig.

Eigenschaften von Vektorsystemen

Eigentum (1)
Wenn ein Vektorsystem linear abhängig ist, dann wird mindestens einer der Vektoren hinsichtlich der anderen entwickelt, und umgekehrt, wenn mindestens einer der Vektoren des Systems hinsichtlich der anderen entwickelt wird, dann das Vektorsystem ist linear abhängig.

Eigentum (2)
Wenn ein Teilsystem von Vektoren linear abhängig ist, dann ist das gesamte System linear abhängig.

Eigentum (3)
Wenn ein Vektorsystem linear unabhängig ist, dann ist jedes seiner Subsysteme linear unabhängig.

Eigentum (4)
Jedes Vektorsystem, das einen Nullvektor enthält, ist linear abhängig.

Eigentum (5)
Ein System m-dimensionaler Vektoren ist immer dann linear abhängig, wenn die Anzahl der Vektoren n größer als ihre Dimension ist (n>m).

Grundlage des Vektorsystems

Die Basis des Vektorsystems A 1 , A 2 ,..., A n ein solches Subsystem B 1 , B 2 ,...,B r heißt(Jeder der Vektoren B 1,B 2,...,B r ist einer der Vektoren A 1, A 2,..., A n), der die folgenden Bedingungen erfüllt:
1. B 1 ,B 2 ,...,B r linear unabhängiges Vektorsystem;
2. irgendein Vektor Ein j Das System A 1 , A 2 ,..., A n wird linear durch die Vektoren B 1 , B 2 ,..., B r ausgedrückt

R— die Anzahl der in der Basis enthaltenen Vektoren.

Satz 29.1 Auf der Einheitsbasis eines Vektorsystems.

Wenn ein System m-dimensionaler Vektoren m verschiedene Einheitsvektoren E 1 E 2 ,..., E m enthält, dann bilden sie die Basis des Systems.

Algorithmus zum Finden der Basis eines Vektorsystems

Um die Basis des Vektorsystems A 1 ,A 2 ,...,A n zu finden, ist es notwendig:

• Erstellen Sie ein homogenes Gleichungssystem, das dem Vektorsystem entspricht A 1 x 1 +A 2 x 2 +...+A n x n =Θ
• Bringen Sie dieses System mit

Definition der Basis. Ein Vektorsystem bildet eine Basis, wenn:

1) es ist linear unabhängig,

2) Jeder Raumvektor kann durch ihn linear ausgedrückt werden.

Beispiel 1. Raumbasis: .

2. Im Vektorsystem Die Basis sind die Vektoren: , weil linear ausgedrückt in Form von Vektoren.

Kommentar. Um die Basis eines gegebenen Vektorsystems zu finden, müssen Sie:

1) Schreiben Sie die Koordinaten der Vektoren in die Matrix,

2) Bringen Sie die Matrix mithilfe elementarer Transformationen in eine Dreiecksform.

3) Nicht-Null-Zeilen der Matrix bilden die Grundlage des Systems.

4) Die Anzahl der Vektoren in der Basis entspricht dem Rang der Matrix.

Kronecker-Capelli-Theorem

Das Kronecker-Capelli-Theorem liefert eine umfassende Antwort auf die Frage der Kompatibilität eines beliebigen Systems linearer Gleichungen mit Unbekannten

Kronecker-Capelli-Theorem. Ein System linearer algebraischer Gleichungen ist genau dann konsistent, wenn der Rang der erweiterten Matrix des Systems gleich dem Rang der Hauptmatrix ist.

Der Algorithmus zum Finden aller Lösungen eines simultanen linearen Gleichungssystems ergibt sich aus dem Kronecker-Capelli-Theorem und den folgenden Theoremen.

Satz. Wenn der Rang eines gemeinsamen Systems gleich der Anzahl der Unbekannten ist, dann hat das System eine eindeutige Lösung.

Satz. Wenn der Rang eines gemeinsamen Systems kleiner ist als die Anzahl der Unbekannten, dann hat das System unendlich viele Lösungen.

Algorithmus zur Lösung eines beliebigen linearen Gleichungssystems:

1. Ermitteln Sie die Ränge der Haupt- und erweiterten Matrizen des Systems. Wenn sie nicht gleich sind (), ist das System inkonsistent (hat keine Lösungen). Wenn die Ränge gleich sind ( , dann ist das System konsistent.

2. Für ein gemeinsames System finden wir ein Nebensystem, dessen Reihenfolge den Rang der Matrix bestimmt (ein solches Nebensystem wird als Basissystem bezeichnet). Lassen Sie uns ein neues Gleichungssystem zusammenstellen, in dem die Koeffizienten der Unbekannten in den grundlegenden Nebenwerten enthalten sind (diese Unbekannten werden als Hauptunbekannte bezeichnet), und die verbleibenden Gleichungen verwerfen. Wir belassen die Hauptunbekannten mit Koeffizienten auf der linken Seite und verschieben die verbleibenden Unbekannten (sie werden freie Unbekannte genannt) auf die rechte Seite der Gleichungen.

3. Lassen Sie uns Ausdrücke für die wichtigsten Unbekannten in Form von freien finden. Wir erhalten die allgemeine Lösung des Systems.

4. Indem wir den freien Unbekannten beliebige Werte zuweisen, erhalten wir die entsprechenden Werte der Hauptunbekannten. Auf diese Weise finden wir Teillösungen des ursprünglichen Gleichungssystems.

Lineares Programmieren. Grundlegendes Konzept

Lineares Programmieren ist ein Zweig der mathematischen Programmierung, der Methoden zur Lösung extremer Probleme untersucht, die durch eine lineare Beziehung zwischen Variablen und ein lineares Kriterium gekennzeichnet sind.

Eine notwendige Voraussetzung für die Aufstellung eines linearen Programmierproblems sind Einschränkungen der Verfügbarkeit von Ressourcen, der Nachfragemenge, der Produktionskapazität des Unternehmens und anderer Produktionsfaktoren.

Der Kern der linearen Programmierung besteht darin, die Punkte mit dem größten oder kleinsten Wert einer bestimmten Funktion unter bestimmten Einschränkungen für die Argumente und Generatoren zu finden System der Beschränkungen , die in der Regel unendlich viele Lösungen hat. Jeder Satz variabler Werte (Funktionsargumente). F ), die das System der Nebenbedingungen erfüllen, heißt gültiger Plan Probleme der linearen Programmierung. Funktion F , dessen Maximum bzw. Minimum ermittelt wird, heißt Zielfunktion Aufgaben. Ein realisierbarer Plan, bei dem das Maximum oder Minimum einer Funktion erreicht wird F , angerufen optimaler Plan Aufgaben.

Das System der Beschränkungen, das viele Pläne bestimmt, wird durch die Produktionsbedingungen bestimmt. Lineares Programmierproblem ( ZLP ) ist die Auswahl des rentabelsten (optimalen) Plans aus einer Reihe realisierbarer Pläne.

In seiner allgemeinen Formulierung sieht das lineare Programmierproblem wie folgt aus:

Gibt es Variablen? x = (x 1, x 2, ... x n) und die Funktion dieser Variablen f(x) = f (x 1, x 2, ... x n) , Was heisst Ziel Funktionen. Die Aufgabe ist gestellt: das Extremum (Maximum oder Minimum) der Zielfunktion zu finden f(x) vorausgesetzt, dass die Variablen X gehören zu einem bestimmten Bereich G :

Abhängig von der Art der Funktion f(x) und Regionen G und zwischen Abschnitten der mathematischen Programmierung unterscheiden: quadratische Programmierung, konvexe Programmierung, ganzzahlige Programmierung usw. Die lineare Programmierung zeichnet sich dadurch aus, dass
eine Funktion f(x) ist eine lineare Funktion der Variablen x 1, x 2, … x n
b) Region G vom System bestimmt linear Gleichheiten oder Ungleichheiten.