21x 2 + 55x + 42 = 0, D = 552 − 4 21 42 = 3025 − 3582< 0.

Antwort 1; 2.

§6. Gleichungen mit Modulen und Parametern lösen

Betrachten wir mehrere Gleichungen, in denen die Variable x unter dem Modulzeichen erscheint. Erinnern wir uns daran

x, wenn x ≥ 0,

x = − x wenn x< 0.

Beispiel 1: Lösen Sie die Gleichung:

a) x − 2 = 3; b) x + 1 − 2x − 3 = 1;

x+2

X =1; d) x 2 −

6; e) 6x 2 −

x+1

x − 1

a) Wenn der Modul einer Zahl 3 ist, dann ist diese Zahl entweder gleich 3 oder (− 3),

d.h. x − 2 = 3, x = 5 oder x − 2 = − 3, x = − 1.

b) Aus der Definition eines Moduls folgt Folgendes

x+1

X + 1, für x + 1 ≥ 0,

d.h. für x ≥ − 1 und

x+1

= − x − 1 bei x< − 1. Выражение

2x − 3

2 x − 3, wenn x ≥ 3

und gleich − 2 x + 3, wenn x< 3 .

X< −1

Die gleichung

Äquivalent

Gleichung

− x −1 −

(− 2 x + 3 ) = 1, woraus folgt

x = 5. Aber die Zahl 5 ist es nicht

erfüllt die Bedingung x< − 1, следовательно,

bei x< − 1 данное

Die Gleichung hat keine Lösungen.

−1 ≤ x<

Die gleichung

Äquivalent

Gleichung

x + 1− (2x + 3) = 1, was impliziert, dass x = 1;

Nummer 1 zufrieden-

erfüllt die Bedingung − 1 ≤ x<

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x ≥

Die gleichung

Äquivalent

Gleichung

x + 1 − (− 2 x − 3 ) = 1, das eine Lösung x = 3 hat. Und da die Zahl 3 ist

erfüllt die Bedingung x ≥

dann ist es eine Lösung der Gleichung.

x+2

c) Wenn Zähler und Nenner des Bruchs

das selbe haben

x − 1

Vorzeichen, dann ist der Bruch positiv, und wenn unterschiedlich, dann ist er negativ, d.h.

x+2

x+2

Wenn x ≤ − 2, wenn x > 1,

x − 1

x − 1

x+2

Wenn − 2< x < 1.

−1

Für x ≤ − 2

und für x > 1

die ursprüngliche Gleichung ist äquivalent zur Gleichung

x+2

X =1, x +2

X (x −1 ) = x −1, x 2 − x +3 =0.

x − 1

Die letzte Gleichung hat keine Lösungen.

Bei − 2< x < 1 данное уравнение равносильно уравнению

x+2

X =1, − x −2 + x 2 − x = x −1, x 2 −3 x −1 = 0.

x − 1

Finden wir die Wurzeln dieser Gleichung:

x = 3 ± 9 + 4 = 3 ± 13.

Ungleichheiten

− 2 < x < 1 удовлетворяет число 3 − 13

Sledova-

Daher ist diese Zahl die Lösung der Gleichung.

x ≥ 0 gegeben

Die gleichung

Äquivalent

Gleichung

x 2 − x −6 = 0,

deren Wurzeln die Zahlen 3 und – 2 sind. Zahl 3

erfüllt die Bedingung x > 0,

und die Zahl – 2 erfüllt diese Bedingung nicht-

Daher ist nur die Nummer 3 eine Lösung für das Original

X< 0 удовлетворяет число − 3 и не удовлетворяет число 2.

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		x ≥ − 1 gegeben	Die gleichung	Äquivalent				Gleichung
6 x 2 − x − 1 = 0, finde seine Wurzeln: x = 1 ±				25, x = 1, x				= −1 .
Beide Wurzeln erfüllen die Bedingung x ≥ − 1,					deshalb sind sie es
sind Lösungen dieser Gleichung. Bei				X< − 1 данное уравнение
entspricht der Gleichung 6 x 2 + x + 1 = 0, für die es keine Lösungen gibt.
Gegeben seien die Ausdrücke f (x, a) und g (x, a),					abhängig von Veränderungen
X	und ein.	Dann die Gleichung	f (x, a) = g(x, a)		bezüglich Änderungen

Noah x heißt Gleichung mit Parameter A. Eine Gleichung mit einem Parameter zu lösen bedeutet, für jeden akzeptablen Wert des Parameters alle Lösungen einer gegebenen Gleichung zu finden.

Beispiel 2. Lösen Sie die Gleichung nach allen gültigen Werten des Parameters a:

a) ax 2 − 3 = 4 a 2 − 2 x 2 ; b) (a − 3 ) x 2 = a 2 − 9;

c) (a − 1 ) x2 + 2 (a + 1 ) x + (a − 2 ) = 0.

x 2 =	4a 2 + 3	Ausdruck 4 a 2		3 > 0 für jedes a ; für a > − 2 gibt es
	a+2
wir haben zwei Lösungen: x =			4a 2 + 3	und x = −	4a 2		Wenn	a+2< 0, то
			a+2		a+2

Ausdruck 4 a 2 + 3< 0, тогда уравнение не имеет решений. a + 2

	Antwort: x = ±	4a 2 + 3	Für a > − 2;	Für a ≤ − 2 gibt es keine Lösungen.
		a+2
				dann x 2 = a + 3. Wenn a + 3 = 0,
	b) Wenn a = 3, dann x. Wenn a ≠ 3,
	diese. wenn a = − 3,	dann hat die Gleichung eine eindeutige Lösung x = 0. Ec-

ob ein< − 3, то уравнение не имеет решений. Если a >− 3 und a ≠ 3, dann hat die Gleichung zwei Lösungen: x 1 = a + 3 und x 2 = − a + 3.

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a = 1 nimmt diese Gleichung die Form an

4x − 1 = 0,

x = 1

ist seine Entscheidung. Bei

a ≠ 1 diese Gleichung ist

Quadrat, seine Diskriminante D 1 ist gleich

(a + 1 ) 2 − (a − 1 )(a − 2 ) = 5 a − 1.

Wenn 5 a − 1< 0, т.е. a < 1 ,

dann hat diese Gleichung keine Lösungen.

Wenn a =

dann hat die Gleichung eine eindeutige Lösung

a+1

x = −

a − 1

−1

Wenn ein >

und a ≠ 1,

dann hat diese Gleichung zwei Lösungen:

x = − (a + 1 ) ± 5 a − 1 .

a − 1

−(a +1 ) ±

1 um

a = 1; x = 3

an einer

; x =

5a − 1

a − 1

für a > 1

und a ≠ 1; an einer< 1

Die Gleichung hat keine Lösungen.

§7. Gleichungssysteme lösen. Lösen von Problemen, die sich auf quadratische Gleichungen reduzieren lassen

In diesem Abschnitt betrachten wir Systeme, die Gleichungen zweiten Grades enthalten.

Beispiel 1. Lösen Sie ein Gleichungssystem

2x + 3y = 8,

xy = 2.

In diesem System ist die Gleichung 2 x + 3 y = 8 eine Gleichung ersten Grades und die Gleichung xy = 2 ist eine Gleichung zweiten Grades. Lassen Sie uns dieses System mit der Methode lösen

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Substitutionen. Aus der ersten Gleichung des Systems drücken wir x bis y aus und ersetzen diesen Ausdruck durch x in der zweiten Gleichung des Systems:

	8 − 3 Jahre	4 −
				J, 4			y y = 2.

Die letzte Gleichung reduziert sich auf eine quadratische Gleichung

8y − 3y 2 = 4, 3y 2 − 8y + 4 = 0.

Wir finden seine Wurzeln:

4 ± 4

4 ± 2

Y=2,y

Aus der Bedingung x = 4 −

wir erhalten x = 1, x

Antwort: (1;2) und

Beispiel 2. Lösen Sie das Gleichungssystem:

x 2 + y 2 = 41,

xy = 20.

Multiplizieren Sie beide Seiten der zweiten Gleichung mit 2 und addieren Sie sie zur ersten

Systemgleichung:	x 2 + y 2 + 2xy = 41 + 20 2,				(x + y) 2 = 81, daher
Daraus folgt, dass x + y = 9 oder x + y = − 9.
Wenn x + y = 9, dann	x = 9 − y. Ersetzen wir x durch diesen Ausdruck
zweite Gleichung des Systems:
(9 − y ) y = 20, y 2 − 9 y + 20 = 0,
y = 9 ± 81 − 80 = 9 ± 1, y = 5, y				4, x = 4, x = 5.
Aus der Bedingung x + y = − 9 erhalten wir Lösungen (− 4; − 5) und (− 5; − 4).
Antwort: (± 4;± 5) , (± 5;± 4) .
Beispiel 3. Lösen Sie das Gleichungssystem:
		y = 1,
	x−
	x−y

Schreiben wir die zweite Gleichung des Systems in die Form

( x − y )( x + y ) = 5.

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Mit der Gleichung x − y = 1 erhalten wir: x + y = 5. Somit erhalten wir ein Gleichungssystem, das dem Gegebenen äquivalent ist

	x−	y = 1,
		y = 5.

Addieren wir diese Gleichungen, erhalten wir: 2 x = 6,		x = 3, x = 9.
Einsetzen von x = 9 in die erste Gleichung			Systeme empfangen
wir haben 3 − y = 1, was bedeutet, dass y = 4.
Antwort: (9;4).	(x + y)(x		Y −4 ) = −4,
Beispiel 4. Lösen Sie das Gleichungssystem: (x 2 + y 2 ) xy = − 160.
				xy = v;
Lassen Sie uns neue Variablen einführen	x + y = u
x2 + y2 = x2 + y2 + 2 xy − 2 xy = (x + y) 2 − 2 xy = u2 − 2 v,
u (u −4 ) = −4,
das System wird auf die Form (u 2 − 2 v ) v = − 160 reduziert.
Wir lösen die Gleichung:
u (u − 4) = − 4, u 2 − 4u + 4 = 0, (u − 2) 2 = 0, u = 2.
Wir setzen diesen Wert für u in die Gleichung ein:
(u 2 − 2v ) v = − 160, (4 − 2v ) v = − 160, 2v 2 − 4v − 160 = 0,
v 2 − 2v − 80 = 0, v = 1± 1 + 80 = 1 ± 9, v= 10, v						= −8.
Wir lösen zwei Gleichungssysteme:
	X + j = 2,
X + j = 2,
	Und
xy = 10	xy = − 8.
Wir lösen beide Systeme mit der Substitutionsmethode. Für das erste System haben wir:
X= 2 − j, ( 2 − j) j= 10, j2 − 2 j+ 10 = 0.

Die resultierende quadratische Gleichung hat keine Lösungen. Für das zweite System gilt: X= 2 − j, (2 − j) j= − 8, j2 − 2 j− 8 = 0.

j= 1 ± 1 + 8 = 1 ± 3, j1 = 4, j2 = − 2. DannX1 = − 2 UndX2 = 4. Antwort: (− 2;4 ) Und(4; − 2 ) .

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multipliziert mit 3 erhalten wir:

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Beispiel 5. Lösen Sie das Gleichungssystem:

X 2 + 4 xy = 3,

j 2 + 3 xy = 2.

Von der ersten Gleichung, multipliziert mit 2, subtrahieren Sie die zweite Gleichung,

2 X 2 − xy − 3 j 2 = 0.

Wenn j= 0, dann und X= 0, aber ein paar Zahlen (0;0 ) ist keine Lösung für das ursprüngliche System. Teilen wir beide Seiten der erhaltenen Gleichung

Lizenzgebühren auf j2 ,

1 ± 5 , X = 2 j Und X = − j .

−3

= 0,

j

Lasst uns ersetzen

Bedeutung

X =

3j

erste Gleichung

9 j2 + 6 j2 = 3, 11j2 = 4, j=

, X=

, X= −

Ersetzen Sie den Wert X= − j in die erste Gleichung des Systems: j2 − 4 j2 = 3, − 3 j2 = 3.

Es gibt keine Lösungen.

Beispiel 9. Finden Sie alle Parameterwerte A, für das das Gleichungssystem

X 2 + ( j − 2 ) 2 = 1,

j = Axt 2 .

hat mindestens eine Lösung.

Dieses System wird als System mit einem Parameter bezeichnet. Sie können analytisch gelöst werden, d. h. B. mithilfe von Formeln, oder Sie nutzen die sogenannte grafische Methode.

Beachten Sie, dass die erste Gleichung einen Kreis definiert, dessen Mittelpunkt im Punkt liegt (0;2 ) mit Radius 1. Die zweite Gleichung bei A≠ 0 definiert eine Parabel mit ihrem Scheitelpunkt im Ursprung.

Wenn A 2

Im Fall a) tangiert die Parabel den Kreis. Aus der zweiten Gleichung des Systems folgt:

Ja, das X2 = j/ A,

Ersetzen Sie diese Werte durch

X 2

in die erste Gleichung:

1

+(j−2 )

= 1,

+ j

− 4 j+ 4 = 1, j

4 − Aj+ 3

= 0.

Bei der Tangentialität gibt es aus Symmetriegründen nur einen Wert j, daher muss die Diskriminante der resultierenden Gleichung sein

ist gleich 0. Da die Ordinate j Kontaktpunkt ist positiv usw.

j = 2

− A

wir bekommen,

> 0; D

1 2

4 − A

4 − A

− 12 = 0,

4 − A

> 0

wir bekommen: 4

= 2

= 4 −2

A =

4 + 2 3

4 + 2 3

2 +

( 4 − 2 3)( 4 + 2 3) =

16 − 12 =

4 − 2 3

Wenn A> 2 + 2 3 , dann schneidet die Parabel den Kreis an 4 Punkten -

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Daher hat das System mindestens eine Lösung, wenn

A≥ 2 + 2 3 .

Beispiel 10. Die Summe der Ziffernquadrate einer natürlichen zweistelligen Zahl ist 9 größer als das Doppelte des Produkts dieser Ziffern. Nachdem Sie diese zweistellige Zahl durch die Summe ihrer Ziffern dividiert haben, ist der Quotient 4 und der Rest ist 3. Finden Sie diese zweistellige Zahl.

Sei die zweistellige Zahl 10 A+ B, Wo A Und B- die Ziffern dieser Nummer. Aus der ersten Bedingung des Problems erhalten wir dann: A2 + B2 = 9 + 2 ab, und aus der zweiten Bedingung erhalten wir: 10 A+ B= 4 (A+ B) + 3.

A 2 + B 2 = 9 + 2 ab ,

Wir lösen das Gleichungssystem: 6 A− 3 B= 3.

Aus der zweiten Gleichung des Systems erhalten wir

6A− 3B= 3, 2A− B= 1, B= 2A− 1.

Ersetzen Sie diesen Wert durch B zur ersten Gleichung des Systems:

A2 + ( 2A− 1) 2 = 9 + 2A( 2A− 1) , 5A2 − 4A+ 1 = 9 + 4A2 − 2A,

A2 − 2A− 8 = 0, D1 = 1 + 8 = 9, A= 1 ± 3, A1 = 4, A2 = − 2 < 0, B1 = 7.

Antwort: 47.

Beispiel 11. Nach dem Mischen zweier Lösungen, von denen eine 48 g und die andere 20 g wasserfreies Kaliumiodid enthielt, wurden 200 g einer neuen Lösung erhalten. Ermitteln Sie die Konzentration jeder der ursprünglichen Lösungen, wenn die Konzentration der ersten Lösung 15 % höher war als die Konzentration der zweiten.

Bezeichnen wir mit X% ist die Konzentration der zweiten Lösung und danach (X+ 15 ) % – Konzentration der ersten Lösung.

(X+ 15 )%			X %
Ich Lösung			II-Lösung

In der ersten Lösung sind es 48 g (X+ 15 ) Gew.-% der Gesamtlösung,

daher ist das Gewicht der Lösung X48 + 15 100. In der zweiten Lösung werden 20 g Co-

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Ziel:

• Wiederholen Sie die Lösung linearer Gleichungssysteme mit zwei Variablen
• Definieren Sie ein System linearer Gleichungen mit Parametern
• wird Ihnen beibringen, wie man lineare Gleichungssysteme mit Parametern löst.

Während des Unterrichts

1. Zeit organisieren
2. Wiederholung
3. Erläuterung eines neuen Themas
4. Konsolidierung
5. Zusammenfassung der Lektion
6. Hausaufgaben

2. Wiederholung:

I. Lineare Gleichung mit einer Variablen:

1. Definieren Sie eine lineare Gleichung mit einer Variablen

[Eine Gleichung der Form ax=b, wobei x eine Variable ist, a und b einige Zahlen sind, wird als lineare Gleichung mit einer Variablen bezeichnet]

2. Wie viele Wurzeln kann eine lineare Gleichung haben?

[- Wenn a=0, b0, dann hat die Gleichung keine Lösungen, x

Wenn a=0, b=0, dann x R

Wenn a0, dann hat die Gleichung eine eindeutige Lösung, x =

3. Finden Sie heraus, wie viele Wurzeln die Gleichung hat (je nach Optionen)

II. Lineare Gleichung mit 2 Variablen und lineares Gleichungssystem mit 2 Variablen.

1. Definieren Sie eine lineare Gleichung in zwei Variablen. Gib ein Beispiel.

[Eine lineare Gleichung mit zwei Variablen ist eine Gleichung der Form ax + by = c, wobei x und y Variablen sind, a, b und c einige Zahlen. Zum Beispiel x-y=5]

2. Wie nennt man das Lösen einer Gleichung mit zwei Variablen?

[Eine Lösung einer Gleichung mit zwei Variablen ist ein Wertepaar von Variablen, das die Gleichung in eine echte Gleichheit umwandelt.]

3. Ist das Wertepaar der Variablen x = 7, y = 3 eine Lösung der Gleichung 2x + y = 17?

4. Wie heißt der Graph einer Gleichung in zwei Variablen?

[Der Graph einer Gleichung mit zwei Variablen ist die Menge aller Punkte auf der Koordinatenebene, deren Koordinaten Lösungen dieser Gleichung sind.]

5. Finden Sie heraus, wie der Graph der Gleichung aussieht:

[Drücken wir die Variable y durch x aus: y=-1,5x+3

Die Formel y=-1,5x+3 ist eine lineare Funktion, deren Graph eine Gerade ist. Da die Gleichungen 3x+2y=6 und y=-1,5x+3 äquivalent sind, ist diese Linie auch ein Diagramm der Gleichung 3x+2y=6]

6. Was ist der Graph der Gleichung ax+bу=c mit den Variablen x und y, wobei a0 oder b0?

[Der Graph einer linearen Gleichung mit zwei Variablen, in der mindestens einer der Koeffizienten der Variablen nicht Null ist, ist eine Gerade.]

7. Wie nennt man das Lösen eines Gleichungssystems mit zwei Variablen?

[Eine Lösung eines Gleichungssystems mit zwei Variablen ist ein Wertepaar von Variablen, das jede Gleichung des Systems in eine echte Gleichheit umwandelt]

8. Was bedeutet es, ein Gleichungssystem zu lösen?

[Ein Gleichungssystem zu lösen bedeutet, alle seine Lösungen zu finden oder zu beweisen, dass es keine Lösungen gibt.]

9. Finden Sie heraus, ob ein solches System immer Lösungen hat und wenn ja, wie viele (grafisch).

10. Wie viele Lösungen kann ein System aus zwei linearen Gleichungen mit zwei Variablen haben?

[Die einzige Lösung besteht darin, dass sich die Linien schneiden; hat keine Lösungen, wenn die Geraden parallel sind; unendlich viele, wenn die Linien zusammenfallen]

11. Welche Gleichung definiert normalerweise eine gerade Linie?

12. Stellen Sie einen Zusammenhang zwischen Winkelkoeffizienten und freien Termen her:

Option I: y=-x+2 y= -x-3, k 1 = k 2 , b 1 b 2, keine Lösungen;

Option II: y=-x+8 y=2x-1, k 1 k 2 , eine Lösung;

III-Option: y=-x-1 y=-x-1, k 1 = k 2, b 1 = b 2, viele Lösungen.

Abschluss:

1. Wenn die Winkelkoeffizienten der Linien, die Graphen dieser Funktionen sind, unterschiedlich sind, dann schneiden sich diese Linien und das System hat eine eindeutige Lösung.
2. Wenn die Winkelkoeffizienten der Linien gleich sind und die Schnittpunkte mit der y-Achse unterschiedlich sind, dann sind die Linien parallel und das System hat keine Lösungen.
3. Sind die Winkelkoeffizienten und die Schnittpunkte mit der y-Achse gleich, dann fallen die Geraden zusammen und das System hat unendlich viele Lösungen.

An der Tafel befindet sich eine Tabelle, die Lehrer und Schüler nach und nach ausfüllen.

III. Erläuterung eines neuen Themas.

Definition: System anzeigen

• A 1 x+B 1 y=C
• A 2 x+B 2 y=C 2

wobei A 1, A 2, B 1, B 2, C 1 C 2 von den Parametern abhängige Ausdrücke sind und x und y Unbekannte sind, heißt ein System aus zwei linearen algebraischen Gleichungen mit zwei Unbekannten in den Parametern.

Folgende Fälle sind möglich:

1) Wenn , dann hat das System eine eindeutige Lösung

2) Wenn , dann hat das System keine Lösungen

3) Wenn , dann hat das System unendlich viele Lösungen.

IV. Konsolidierung

Beispiel 1.

Bei welchen Werten des Parameters a funktioniert das System

• 2x - 3y = 7
• ah - 6y = 14

a) hat unendlich viele Lösungen;

b) hat eine eindeutige Lösung

Antwort:

a) wenn a=4, dann hat das System unendlich viele Lösungen;

b) wenn a4, dann gibt es nur eine Lösung.

Beispiel 2.

Lösen Sie das Gleichungssystem

• x+(m+1)y=1
• x+2y=n

Lösung: a) , d.h. Für m1 hat das System eine einzigartige Lösung.

b), d.h. Für m=1 (2=m+1) und n1 hat das ursprüngliche System keine Lösungen

c) , für m=1 und n=1 hat das System unendlich viele Lösungen.

Antwort: a) Wenn m=1 und n1, dann gibt es keine Lösungen

b) m=1 und n=1, dann ist die Lösung eine unendliche Menge

• y - irgendein
• x=n-2y

c) wenn m1 und n beliebig sind, dann

Beispiel 3.

• akh-3ау=2а+3
• x+ay=1

Lösung: Aus Gleichung II ermitteln wir x = 1-ay und setzen Gleichung I in Gleichung ein

a(1-a)-3a=2a+3

a-a 2 y-3ау=2а+3

A 2 y-3ау=а+3

A(a+3)y=a+3

Mögliche Fälle:

1) a=0. Dann sieht die Gleichung wie folgt aus: 0*y=3 [y ]

Daher hat das System für a=0 keine Lösungen

2) a=-3. Dann ist 0*y=0.

Deshalb, y. In diesem Fall x=1-ау=1+3у

3) a0 und a-3. Dann ist y=-, x=1-a(-=1+1=2

Antwort:

1) wenn a=0, dann (x; y)

2) wenn a=-3, dann x=1+3y, y

3) wenn a0 und a?-3, dann x=2, y=-

Betrachten wir die zweite Methode zur Lösung von System (1).

Lösen wir System (1) mit der algebraischen Additionsmethode: Multiplizieren wir zunächst die erste Gleichung des Systems mit B 2, die zweite mit B 1 und addieren diese Gleichungen Term für Term, wodurch die Variable y eliminiert wird:

Weil A 1 B 2 -A 2 B 1 0, dann x =

Lassen Sie uns nun die Variable x eliminieren. Multiplizieren Sie dazu die erste Gleichung des Systems (1) mit A 2 und die zweite mit A 1 und addieren Sie beide Gleichungen Term für Term:

• A 1 A 2 x +A 2 B 1 y=A 2 C 1
• -A 1 A 2 x-A 1 B 2 y=-A 1 C 2
• y(A 2 B 1 -A 1 B 2) = A 2 C 1 -A 1 C 2

Weil A 2 B 1 -A 1 B 2 0 y =

Zur Vereinfachung der Lösung von System (1) führen wir die folgende Notation ein:

- Hauptdeterminante

Nun kann die Lösung von System (1) mithilfe von Determinanten geschrieben werden:

Die angegebenen Formeln werden Cramer-Formeln genannt.

Wenn , dann hat System (1) eine eindeutige Lösung: x=; y=

Wenn , oder , dann hat System (1) keine Lösungen

Wenn , , , , dann hat System (1) unendlich viele Lösungen.

In diesem Fall muss das System weiter untersucht werden. In diesem Fall wird sie in der Regel auf eine lineare Gleichung reduziert. In diesem Fall ist es oft zweckmäßig, das System auf folgende Weise zu untersuchen: Durch Lösen der Gleichung finden wir spezifische Werte der Parameter oder drücken einen der Parameter durch die anderen aus und ersetzen diese Parameterwerte durch das System. Dann erhalten wir ein System mit spezifischen numerischen Koeffizienten oder mit einer geringeren Anzahl von Parametern, die untersucht werden müssen.

Wenn die Koeffizienten A 1 , A 2 , B 1 , B 2 des Systems von mehreren Parametern abhängen, ist es zweckmäßig, das System anhand der Determinanten des Systems zu untersuchen.

Beispiel 4.

Lösen Sie für alle Werte des Parameters a das Gleichungssystem

• (a+5)x+(2a+3)y=3a+2
• (3a+10)x+(5a+6)y=2a+4

Lösung: Finden wir die Determinante des Systems:

= (a+5)(5a+6) – (3a+10) (2a+3)= 5a 2 +31a+30-6a 2 -29a-30=-a 2 +2a=a(2-a)

= (3a+2) (5a+6) –(2a+4)(2a+3)=15a 2 +28a+12-4a 2 -14a-12=11a 2 +14a=a(11a+14)

=(a+5) (2a+4)-(3a+10)(3a+2)=2a 2 +14a+20-9a 2 -36a-20=-7a 2 -22a=-a(7a+22)

Lektion „Lineare Gleichungen mit einem Parameter lösen, der einen Modul enthält.“

Ziel: die Fähigkeit entwickeln, lineare Gleichungen mit einem Parameter zu lösen, der einen Modul enthält; Entwickeln Sie logisches Denken und unabhängige Arbeitsfähigkeiten.

Ausrüstung: Präsentation.

Während des Unterrichts.

1. Um das Wissen der Studierenden zu aktualisieren, ist es notwendig, das Konzept eines Moduls zu wiederholen und mehrere Gleichungen mit einem Modul zu lösen: |x|=3; |x|= - 5; |x|=0.

Bitten Sie die Schüler dann, die Frage zu beantworten: Wie viele Wurzeln kann eine Gleichung mit einem Modul haben und wovon hängt dies ab?

Das Fazit finden Sie auf Folie 2. Es wird in einem Notizbuch notiert.

Analyse der Lösung der Gleichung |x - 2 |= 3

Frontalarbeit mit der Klasse: Gleichung 1 lösen. |x + 4 |= 0.

Gleichungen selbst lösen:

2. |x - 3 |= 5; 3. |4 - x |= 7; 4. |5 - x |= - 9. Überprüfen.

Analyse der Lösung Übung 1 :

Bestimmen Sie die Anzahl der Wurzeln der Gleichung

||x| +5 - a |= 2. (Folie 3)

Anmerkungen des Lehrers: Dies ist eine Gleichung mit einem Parameter, d. h. mit Variable a. Abhängig vom Wert dieser Variablen ändert sich die Form der Gleichung. Das bedeutet, dass die Anzahl der Wurzeln der Gleichung von a abhängt.

Bitten Sie die Schüler, die Aufgabenfrage „Finden Sie alle Werte von a zu beantworten, für die jeweils die Gleichung ||x|“ gilt +5 - und |= 2 hat genau 3 Wurzeln. (Wenn es mehr als einen Wert von a gibt, dann notieren Sie deren Summe auf dem Antwortformular.) Antwort: 7. (Folie 4)

Lösen Sie das Problem an der Tafel Aufgabe 2: Finden Sie alle Werte von a, für die jeweils die Gleichung ||x| gilt - 3 + a |= 4 hat genau 3 Wurzeln. Antwort 1.

Selbstständige Arbeit.Übung 3 .Finden Sie alle Werte von a, für die jeweils die Gleichung ||x| gilt -4+ und |= 3 hat genau 1 Wurzel. Antwort: 7.

Aufgabe 4 . Für welche Werte von a gilt die Gleichung

|a - 5 - |x||= 3 hat eine ungerade Anzahl von Wurzeln (wenn es mehr als einen Wert von a gibt, dann notieren Sie deren Summe auf dem Antwortbogen). Antwort: 10.

Bitten Sie die Schüler, herauszufinden, wie das Problem mithilfe der Paritätseigenschaft einer Funktion und einer grafischen Methode gelöst werden kann.

7. Zusammenfassung der Lektion. Woran haben Sie heute im Unterricht gearbeitet? Gab es für Sie etwas Neues und Lehrreiches? Woran möchten Sie in Ihrer nächsten Unterrichtsstunde arbeiten?

10x − 5y − 3z = − 9,

6 x + 4 y − 5 z = − 1,3 x − 4 y − 6 z = − 23.

Gleichen wir die Koeffizienten für x in der ersten und zweiten Gleichung aus, indem wir beide Seiten der ersten Gleichung mit 6 und der zweiten Gleichung mit 10 multiplizieren. Wir erhalten:

60x − 30 y − 18z = − 54,60x + 40 y − 50z = − 10.

Wir subtrahieren die erste Gleichung von der zweiten Gleichung des resultierenden Systems.

Daher erhalten wir: 70 y − 32 z = 44, 35 y − 16 z = 22.

Von der zweiten Gleichung des ursprünglichen Systems subtrahieren wir die dritte Gleichung multipliziert mit 2, wir erhalten: 4 y + 8 y − 5 z + 12 z = − 1 + 46,

12 Jahre + 7 Jahre = 45.

Nun lösen wir ein neues Gleichungssystem:

35y − 16z = 22,12y + 7z = 45.

Zur ersten Gleichung des neuen Systems, multipliziert mit 7, fügen wir die zweite Gleichung hinzu, multipliziert mit 16, wir erhalten:

35 7 Jahre + 12 16 Jahre = 22 7 + 45 16,

Jetzt setzen wir y = 2, z = 3 in die erste Gleichung des ursprünglichen Systems ein

Themen erhalten wir: 10x − 5 2 − 3 3 = − 9, 10x − 10 − 9 = − 9, 10x = 10, x = 1.

Antwort: (1; 2;3). ▲

§ 3. Lösung von Systemen mit Parametern und mit Modulen

ax + 4 y = 2 a,

Betrachten Sie das Gleichungssystem

x + ay = a.

Studienjahr 2010-2011 Jahr., Nr. 3, 8. Klasse. Mathematik. Gleichungssysteme.

Tatsächlich gibt es in diesem System drei Variablen, nämlich: a, x, y. x und y gelten als unbekannt, a heißt Parameter. Es ist erforderlich, Lösungen (x, y) dieses Systems für jeden Wert des Parameters a zu finden.

Lassen Sie uns zeigen, wie solche Systeme funktionieren. Drücken wir die Variable x aus der zweiten Gleichung des Systems aus: x = a − ay. Setzen wir diesen Wert für x in die erste Gleichung des Systems ein, erhalten wir:

a (a − ay) + 4 y = 2 a,

(2 − a )(2 + a ) y = a (2 − a ) .

Wenn a = 2, dann erhalten wir die Gleichung 0 y = 0. Diese Gleichung wird von jeder Zahl y erfüllt, und dann ist x = 2 − 2 y, d. h. für a = 2 das Zahlenpaar (2 − 2 y; y) ist eine Lösung des Systems. Da kannst du sein

eine beliebige Zahl, dann hat das System mit a = 2 unendlich viele Lösungen.

Wenn a = − 2, dann erhalten wir die Gleichung 0 y = 8. Diese Gleichung hat keine Lösung.

Wenn nun a ≠ ± 2,				dann y =		ein (2 − ein)
						(2 − a )(2 + a )		2+a
x = a − ay = a −
				2+a

Antwort: Für a = 2 hat das System unendlich viele Lösungen der Form (2 − 2 y; y), wobei y eine beliebige Zahl ist;

für a = − 2 hat das System keine Lösungen;
für a ≠ ± 2 hat das System eine eindeutige Lösung						. ▲
		2+a		2+a

Wir haben dieses System gelöst und festgestellt, für welche Werte des Parameters a das System eine Lösung hat, wann es unendlich viele Lösungen hat und für welche Werte des Parameters a es keine Lösungen hat.

Beispiel 1: Lösen Sie das Gleichungssystem

© 2010, FZFTSH am MIPT. Zusammengestellt von: Yakovleva Tamara Kharitonovna

Studienjahr 2010-2011 Jahr., Nr. 3, 8. Klasse. Mathematik. Gleichungssysteme.

−3

y − 1

3x − 2 y = 5.

Aus der zweiten Gleichung des Systems, das wir x durch y ausdrücken, erhalten wir

2 Jahre + 5

Wir ersetzen x durch diesen Wert in der ersten Gleichung des Systems

Themen, wir bekommen:

2 Jahre + 5

−3

y − 1

−3

−1

5 = 0

Ausdruck

y = −

y > −

; Wenn

−5

= −y

Ausdruck y − 1 = 0,

wenn y = 1. Wenn

y > 1, dann

y − 1

Y − 1 und es-

ob y< 1, то

y − 1

1 − y .

Wenn y ≥ 1, dann

y − 1

Y−1 und

wir erhalten die Gleichung:

−3(y

− 1) = 3,

−3 Jahre

3, −

(2 2 +

5 ) = 3. Die Zahl 2 > 1, also ist das Paar (3;2) re-

das System ändern.

Lass es jetzt

5 ≤ y<1,

y − 1

− y ;

finden

wir bekommen

Die gleichung

3J−3

4 Jahre + 10

3 Jahre = 6,

13 Jahre = 8

© 2010, FZFTSH am MIPT. Zusammengestellt von: Yakovleva Tamara Kharitonovna

Studienjahr 2010-2011 Jahr., Nr. 3, 8. Klasse. Mathematik. Gleichungssysteme.

(2 Jahre + 5) =

Aber weniger als

also ein paar Zahlen

ist eine Lösung für das System.

j< −

dann erhalten wir die Gleichung:

3J−3

4 Jahre −

3y = 6,

5 Jahre =

28, y = 28.

Bedeutung

Es gibt also keine Lösungen.

Somit hat das System zwei Lösungen (3;2) und 13 27 ; 13 8 . ▲

§ 4. Probleme mit Gleichungssystemen lösen

Beispiel 1. Ein Auto fährt in 2,5 Stunden von einer Stadt in ein Dorf. Wenn er seine Geschwindigkeit um 20 km/h erhöht, legt er in 2 Stunden eine Strecke zurück, die 15 km länger ist als die Entfernung von der Stadt zum Dorf. Finden Sie diesen Abstand.

Bezeichnen wir mit S die Entfernung zwischen Stadt und Dorf und mit V die Geschwindigkeit des Autos. Um S zu finden, erhalten wir dann ein System aus zwei Gleichungen

2,5V = S,

(V + 20) 2 = S + 15.

© 2010, FZFTSH am MIPT. Zusammengestellt von: Yakovleva Tamara Kharitonovna

Studienjahr 2010-2011 Jahr., Nr. 3, 8. Klasse. Mathematik. Gleichungssysteme.

in die zweite Gleichung:		S + 20 2	S +15,		S = 25,	S = 125.

Antwort: 125 km. ▲

Beispiel 2. Die Summe der Ziffern einer zweistelligen Zahl beträgt 15. Wenn diese Ziffern vertauscht werden, erhält man eine Zahl, die 27 mehr als das Original ist. Finden Sie diese Zahlen.

Sei die gegebene Zahl ab, d.h. die Zahl der Zehner ist a und die Zahl der Einer ist b. Aus der ersten Bedingung des Problems ergibt sich: a + b = 15. Wenn wir die Zahl ab von der Zahl ba subtrahieren, erhalten wir 27, daher erhalten wir die zweite Gleichung: 10 b + a − (10 a + b) = 27. x

Studienjahr 2010-2011 Jahr., Nr. 3, 8. Klasse. Mathematik. Gleichungssysteme.

Multiplizieren wir beide Seiten der Gleichung mit 20, erhalten wir: x + 8 y = 840. Um x und y zu finden, erhalten wir ein Gleichungssystem

Antwort: 40 t, 100 t

Beispiel 4. Ein Computerbediener, der mit einem Studenten zusammenarbeitet, bearbeitet eine Aufgabe in 2 Stunden und 24 Minuten. Wenn der Operator 2 Stunden und der Student 1 Stunde arbeitet, dann

Kinder haben 2 3 der gesamten Arbeit abgeschlossen. Wie lange wird der Betrieb dauern?

ru und der Schüler getrennt, um die Aufgabe zu bearbeiten?

Bezeichnen wir die gesamte Arbeit mit 1, die Bedienerproduktivität mit x und die Studentenproduktivität mit y. Das berücksichtigen wir

2 Stunden 24 Minuten = 2 5 2 Stunden = 12 5 Stunden.

Aus der ersten Bedingung des Problems folgt, dass (x+y) 12 5 = 1. Aus der zweiten Bedingung des Problems folgt, dass 2 x + y = 2 3. Wir haben ein Gleichungssystem erhalten

(x+y)

2 x + y =

Wir lösen dieses System mit der Substitutionsmethode:

− 2 x ;

−2x

−x

− 1;

; x =

; y=

© 2010, FZFTSH am MIPT. Zusammengestellt von: Yakovleva Tamara Kharitonovna

1. Systeme linearer Gleichungen mit einem Parameter

Systeme linearer Gleichungen mit einem Parameter werden mit denselben grundlegenden Methoden gelöst wie gewöhnliche Gleichungssysteme: die Substitutionsmethode, die Methode der Addition von Gleichungen und die grafische Methode. Kenntnisse der grafischen Interpretation linearer Systeme erleichtern die Beantwortung der Frage nach der Anzahl der Wurzeln und ihrer Existenz.

Beispiel 1.

Finden Sie alle Werte für Parameter a, für die das Gleichungssystem keine Lösungen hat.

(x + (a 2 – 3)y = a,
(x + y = 2.

Lösung.

Schauen wir uns verschiedene Möglichkeiten zur Lösung dieser Aufgabe an.

1 Weg. Wir nutzen die Eigenschaft: Das System hat keine Lösungen, wenn das Verhältnis der Koeffizienten vor x gleich dem Verhältnis der Koeffizienten vor y, aber nicht gleich dem Verhältnis der freien Terme (a/a 1 = b) ist /b 1 ≠ c/c 1). Dann haben wir:

1/1 = (a 2 – 3)/1 ≠ a/2 oder System

(und 2 – 3 = 1,
(a ≠ 2.

Aus der ersten Gleichung a 2 = 4 erhalten wir daher unter Berücksichtigung der Bedingung, dass a ≠ 2, die Antwort.

Antwort: a = -2.

Methode 2. Wir lösen mit der Substitutionsmethode.

(2 – y + (a 2 – 3)y = a,
(x = 2 – y,

((a 2 – 3)y – y = a – 2,
(x = 2 – y.

Nachdem wir in der ersten Gleichung den gemeinsamen Faktor y aus den Klammern herausgenommen haben, erhalten wir:

((a 2 – 4)y = a – 2,
(x = 2 – y.

Das System hat keine Lösungen, wenn die erste Gleichung keine Lösungen hat

(und 2 – 4 = 0,
(a – 2 ≠ 0.

Offensichtlich ist a = ±2, aber unter Berücksichtigung der zweiten Bedingung ergibt sich als Antwort nur eine Minus-Antwort.

Antwort: a = -2.

Beispiel 2.

Finden Sie alle Werte für Parameter a, für die das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen hat.

(8x + ay = 2,
(ax + 2y = 1.

Lösung.

Wenn gemäß der Eigenschaft das Verhältnis der Koeffizienten von x und y gleich und gleich dem Verhältnis der freien Mitglieder des Systems ist, dann hat es unendlich viele Lösungen (d. h. a/a 1 = b/ b 1 = c/c 1). Daher ist 8/a = a/2 = 2/1. Wenn wir jede der resultierenden Gleichungen lösen, stellen wir fest, dass a = 4 die Antwort in diesem Beispiel ist.

Antwort: a = 4.

2. Systeme rationaler Gleichungen mit einem Parameter

Beispiel 3.

(3|x| + y = 2,
(|x| + 2y = a.

Lösung.

Multiplizieren wir die erste Gleichung des Systems mit 2:

(6|x| + 2y = 4,
(|x| + 2y = a.

Wenn wir die zweite Gleichung von der ersten subtrahieren, erhalten wir 5|x| = 4 – a. Diese Gleichung hat eine eindeutige Lösung für a = 4. In anderen Fällen hat diese Gleichung zwei Lösungen (für a).< 4) или ни одного (при а > 4).

Antwort: a = 4.

Beispiel 4.

Finden Sie alle Werte des Parameters a, für die das Gleichungssystem eine eindeutige Lösung hat.

(x + y = a,
(y – x 2 = 1.

Lösung.

Wir werden dieses System mit der grafischen Methode lösen. Somit ist der Graph der zweiten Gleichung des Systems eine Parabel, die entlang der Oy-Achse um ein Einheitssegment nach oben angehoben ist. Die erste Gleichung gibt eine Reihe von Geraden an, die parallel zur Geraden y = -x verlaufen (Bild 1). Aus der Abbildung ist deutlich ersichtlich, dass das System eine Lösung hat, wenn die Gerade y = -x + a die Parabel in einem Punkt mit den Koordinaten (-0,5, 1,25) tangiert. Wenn wir diese Koordinaten anstelle von x und y in die Geradengleichung einsetzen, finden wir den Wert des Parameters a:

1,25 = 0,5 + a;

Antwort: a = 0,75.

Beispiel 5.

Finden Sie mithilfe der Substitutionsmethode heraus, bei welchem ​​Wert des Parameters a das System eine eindeutige Lösung hat.

(ax – y = a + 1,
(ax + (a + 2)y = 2.

Lösung.

Aus der ersten Gleichung drücken wir y aus und setzen es in die zweite ein:

(y = axt – a – 1,
(ax + (a + 2)(ax – a – 1) = 2.

Reduzieren wir die zweite Gleichung auf die Form kx = b, die für k ≠ 0 eine eindeutige Lösung hat. Wir haben:

ax + a 2 x – a 2 – a + 2ax – 2a – 2 = 2;

a 2 x + 3ax = 2 + a 2 + 3a + 2.

Wir stellen das quadratische Trinom a 2 + 3a + 2 als Produkt von Klammern dar

(a + 2)(a + 1), und links nehmen wir x aus Klammern:

(a 2 + 3a)x = 2 + (a + 2)(a + 1).

Offensichtlich sollte a 2 + 3a nicht gleich Null sein, daher

a 2 + 3a ≠ 0, a(a + 3) ≠ 0, was a ≠ 0 und ≠ -3 bedeutet.

Antwort: a ≠ 0; ≠ -3.

Beispiel 6.

Bestimmen Sie mithilfe der grafischen Lösungsmethode, bei welchem ​​Wert des Parameters a das System eine eindeutige Lösung hat.

(x 2 + y 2 = 9,
(y – |x| = a.

Lösung.

Basierend auf der Bedingung konstruieren wir einen Kreis mit einem Mittelpunkt im Ursprung und einem Radius von 3 Einheitssegmenten. Dies wird durch die erste Gleichung des Systems angegeben

x 2 + y 2 = 9. Die zweite Gleichung des Systems (y = |x| + a) ist eine gestrichelte Linie. Mit Hilfe Figur 2 Wir betrachten alle möglichen Fälle seiner Lage relativ zum Kreis. Es ist leicht zu erkennen, dass a = 3.

Antwort: a = 3.

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