Der Satz von Vieta wird häufig verwendet, um bereits gefundene Wurzeln zu überprüfen. Wenn Sie die Wurzeln gefunden haben, können Sie mit den Formeln \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\) die Werte von \(p \) und \(q\ ). Und wenn sich herausstellt, dass sie dieselben sind wie in der ursprünglichen Gleichung, dann sind die Wurzeln richtig gefunden.

Lassen Sie uns zum Beispiel mit die Gleichung \(x^2+x-56=0\) lösen und die Wurzeln erhalten: \(x_1=7\), \(x_2=-8\). Überprüfen wir, ob uns im Lösungsprozess ein Fehler unterlaufen ist. In unserem Fall ist \(p=1\) und \(q=-56\). Nach dem Satz von Vieta gilt:

\(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin(cases)7+(-8)=-1 \\7\cdot(-8)=-56\end(cases)\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin(cases)-1=-1\\-56=-56\end(cases)\ )

Beide Aussagen stimmten überein, was bedeutet, dass wir die Gleichung richtig gelöst haben.

Diese Prüfung kann mündlich erfolgen. Es dauert 5 Sekunden und erspart Ihnen dumme Fehler.

Vietas umgekehrter Satz

Wenn \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\), dann sind \(x_1\) und \(x_2\) die Wurzeln der quadratischen Gleichung \ (x^ 2+px+q=0\).

Oder auf einfache Weise: Wenn Sie eine Gleichung der Form \(x^2+px+q=0\) haben, dann lösen Sie das System \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\ end(cases)\) finden Sie seine Wurzeln.

Dank dieses Satzes können Sie schnell die Wurzeln einer quadratischen Gleichung finden, insbesondere wenn diese Wurzeln sind. Diese Fähigkeit ist wichtig, weil sie viel Zeit spart.

Beispiel . Lösen Sie die Gleichung \(x^2-5x+6=0\).

Lösung : Unter Verwendung des Umkehrsatzes von Vieta finden wir, dass die Wurzeln die Bedingungen erfüllen: \(\begin(cases)x_1+x_2=5 \\x_1 \cdot x_2=6\end(cases)\).
Schauen Sie sich die zweite Gleichung des Systems \(x_1 \cdot x_2=6\) an. In welche zwei lässt sich die Zahl \(6\) zerlegen? Auf \(2\) und \(3\), \(6\) und \(1\) oder \(-2\) und \(-3\) und \(-6\) und \(- 1\). Die erste Gleichung des Systems sagt Ihnen, welches Paar Sie wählen müssen: \(x_1+x_2=5\). \(2\) und \(3\) sind ähnlich, da \(2+3=5\).
Antwort : \(x_1=2\), \(x_2=3\).

Beispiele . Finden Sie mithilfe der Umkehrung des Satzes von Vieta die Wurzeln der quadratischen Gleichung:
a) \(x^2-15x+14=0\); b) \(x^2+3x-4=0\); c) \(x^2+9x+20=0\); d) \(x^2-88x+780=0\).

Lösung :
a) \(x^2-15x+14=0\) – in welche Faktoren zerfällt \(14\)? \(2\) und \(7\), \(-2\) und \(-7\), \(-1\) und \(-14\), \(1\) und \(14\ ). Welche Zahlenpaare ergeben \(15\)? Antwort: \(1\) und \(14\).

b) \(x^2+3x-4=0\) – in welche Faktoren zerfällt \(-4\)? \(-2\) und \(2\), \(4\) und \(-1\), \(1\) und \(-4\). Welche Zahlenpaare ergeben in der Summe \(-3\)? Antwort: \(1\) und \(-4\).

c) \(x^2+9x+20=0\) – in welche Faktoren zerfällt \(20\)? \(4\) und \(5\), \(-4\) und \(-5\), \(2\) und \(10\), \(-2\) und \(-10\ ), \(-20\) und \(-1\), \(20\) und \(1\). Welche Zahlenpaare ergeben in der Summe \(-9\)? Antwort: \(-4\) und \(-5\).

d) \(x^2-88x+780=0\) – in welche Faktoren zerfällt \(780\)? \(390\) und \(2\). Ergibt die Summe \(88\)? Nein. Welche anderen Multiplikatoren hat \(780\)? \(78\) und \(10\). Ergibt die Summe \(88\)? Ja. Antwort: \(78\) und \(10\).

Es ist nicht notwendig, den letzten Term auf alle möglichen Faktoren zu erweitern (wie im letzten Beispiel). Sie können sofort überprüfen, ob ihre Summe \(-p\) ergibt.

Wichtig! Der Satz von Vieta und der umgekehrte Satz funktionieren nur mit , also einem, für den der Koeffizient von \(x^2\) gleich eins ist. Wenn uns zunächst eine nichtreduzierte Gleichung gegeben wurde, können wir sie reduzieren, indem wir einfach durch den Koeffizienten vor \(x^2\) dividieren.

Zum Beispiel, sei die Gleichung \(2x^2-4x-6=0\) gegeben und wir wollen einen der Sätze von Vieta verwenden. Das können wir aber nicht, da der Koeffizient von \(x^2\) gleich \(2\) ist. Lassen Sie uns es loswerden, indem wir die gesamte Gleichung durch \(2\) dividieren.

\(2x^2-4x-6=0\) \(|:2\)
\(x^2-2x-3=0\)

Bereit. Jetzt können Sie beide Sätze verwenden.

Antworten auf häufig gestellte Fragen

Frage: Mit dem Satz von Vieta können Sie jedes Problem lösen?
Antwort: Leider gibt es keine. Wenn die Gleichung keine ganzen Zahlen enthält oder überhaupt keine Wurzeln hat, hilft der Satz von Vieta nicht weiter. In diesem Fall müssen Sie verwenden diskriminierend . Glücklicherweise haben 80 % der Gleichungen in der Schulmathematik ganzzahlige Lösungen.

Bei der Untersuchung von Methoden zur Lösung von Gleichungen zweiter Ordnung in einem Schulalgebrakurs werden die Eigenschaften der resultierenden Wurzeln berücksichtigt. Sie sind derzeit als Satz von Vieta bekannt. Beispiele für seine Verwendung finden Sie in diesem Artikel.

Quadratische Gleichung

Die Gleichung zweiter Ordnung ist die im Foto unten gezeigte Gleichheit.

Hier sind die Symbole a, b, c einige Zahlen, die als Koeffizienten der betrachteten Gleichung bezeichnet werden. Um eine Gleichheit zu lösen, müssen Sie Werte von x finden, die sie wahr machen.

Beachten Sie, dass die Anzahl der Wurzeln im allgemeinen Fall ebenfalls zwei beträgt, da die maximale Potenz, auf die x erhöht werden kann, zwei beträgt.

Es gibt mehrere Möglichkeiten, diese Art von Gleichungen zu lösen. In diesem Artikel werden wir eine davon betrachten, die die Verwendung des sogenannten Vieta-Theorems beinhaltet.

Formulierung des Satzes von Vieta

Ende des 16. Jahrhunderts bemerkte der berühmte Mathematiker Francois Viète (Franzose) bei der Analyse der Eigenschaften der Wurzeln verschiedener quadratischer Gleichungen, dass bestimmte Kombinationen von ihnen bestimmte Beziehungen erfüllen. Insbesondere sind diese Kombinationen ihr Produkt und ihre Summe.

Der Satz von Vieta legt Folgendes fest: Die Wurzeln einer quadratischen Gleichung ergeben, wenn sie summiert werden, das Verhältnis der linearen zu den quadratischen Koeffizienten mit umgekehrtem Vorzeichen, und wenn sie multipliziert werden, ergeben sie das Verhältnis des freien Termes zum quadratischen Koeffizienten .

Wenn die allgemeine Form der Gleichung so geschrieben wird, wie auf dem Foto im vorherigen Abschnitt des Artikels gezeigt, dann kann dieser Satz mathematisch in Form von zwei Gleichungen geschrieben werden:

• r 2 + r 1 = -b / a;
• r 1 x r 2 = c / a.

Wobei r 1, r 2 der Wert der Wurzeln der betreffenden Gleichung ist.

Die beiden oben genannten Gleichungen können zur Lösung verschiedener mathematischer Probleme verwendet werden. Die Verwendung des Satzes von Vieta in Beispielen mit Lösungen wird in den folgenden Abschnitten des Artikels beschrieben.

Zwischen den Wurzeln und Koeffizienten einer quadratischen Gleichung gibt es zusätzlich zu den Wurzelformeln noch weitere nützliche Beziehungen Satz von Vieta. In diesem Artikel werden wir den Satz von Vieta für eine quadratische Gleichung formulieren und beweisen. Als nächstes betrachten wir den umgekehrten Satz zum Satz von Vieta. Anschließend analysieren wir die Lösungen für die typischsten Beispiele. Abschließend schreiben wir die Vieta-Formeln auf, die die Beziehung zwischen realen Wurzeln definieren algebraische Gleichung Grad n und seine Koeffizienten.

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Satz, Formulierung, Beweis von Vieta

Aus den Formeln der Wurzeln der quadratischen Gleichung a·x 2 +b·x+c=0 der Form mit D=b 2 −4·a·c ergeben sich folgende Beziehungen: x 1 +x 2 =− b/a, x 1 ·x 2 = c/a . Diese Ergebnisse werden bestätigt Satz von Vieta:

Satz.

Wenn x 1 und x 2 sind die Wurzeln der quadratischen Gleichung a x 2 +b x+c=0, dann ist die Summe der Wurzeln gleich dem Verhältnis der Koeffizienten b und a, genommen mit dem entgegengesetzten Vorzeichen, und dem Produkt von die Wurzeln sind gleich dem Verhältnis der Koeffizienten c und a, also .

Nachweisen.

Wir werden den Beweis des Satzes von Vieta nach dem folgenden Schema durchführen: Wir bilden die Summe und das Produkt der Wurzeln der quadratischen Gleichung unter Verwendung bekannter Wurzelformeln, dann transformieren wir die resultierenden Ausdrücke und stellen sicher, dass sie gleich −b/ sind a bzw. c/a.

Beginnen wir mit der Summe der Wurzeln und bilden sie aus. Nun bringen wir die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner, wir haben . Im Zähler des resultierenden Bruchs, danach:. Schließlich, nach 2, erhalten wir . Dies beweist die erste Beziehung des Satzes von Vieta für die Summe der Wurzeln einer quadratischen Gleichung. Kommen wir zum zweiten.

Wir bilden das Produkt der Wurzeln der quadratischen Gleichung: . Gemäß der Regel der Multiplikation von Brüchen kann das letzte Produkt als geschrieben werden. Jetzt multiplizieren wir eine Klammer mit einer Klammer im Zähler, aber es geht schneller, dieses Produkt um zu reduzieren Quadratische Differenzformel, Also . Dann erinnern wir uns und führen den nächsten Übergang durch. Und da die Diskriminante der quadratischen Gleichung der Formel D=b 2 −4·a·c entspricht, können wir anstelle von D im letzten Bruch b 2 −4·a·c einsetzen, wir erhalten. Nachdem wir die Klammern geöffnet und ähnliche Begriffe eingefügt haben, erhalten wir den Bruch, und seine Reduktion um 4·a ergibt . Dies beweist die zweite Beziehung des Satzes von Vieta für das Produkt von Wurzeln.

Wenn wir die Erklärungen weglassen, wird der Beweis des Satzes von Vieta eine lakonische Form annehmen:
,
.

Es bleibt nur zu beachten, dass die quadratische Gleichung eine Wurzel hat, wenn die Diskriminante gleich Null ist. Wenn wir jedoch davon ausgehen, dass die Gleichung in diesem Fall zwei identische Wurzeln hat, dann gelten auch die Gleichungen aus dem Satz von Vieta. Tatsächlich ist, wenn D=0, die Wurzel der quadratischen Gleichung gleich , dann und , und da D=0, also b 2 −4·a·c=0, woraus b 2 =4·a·c, dann .

In der Praxis wird der Satz von Vieta am häufigsten in Bezug auf die reduzierte quadratische Gleichung (mit dem führenden Koeffizienten a gleich 1) der Form x 2 +p·x+q=0 verwendet. Manchmal wird es für quadratische Gleichungen genau dieser Art formuliert, was die Allgemeingültigkeit nicht einschränkt, da jede quadratische Gleichung durch eine äquivalente Gleichung ersetzt werden kann, indem beide Seiten durch eine von Null verschiedene Zahl a dividiert werden. Geben wir die entsprechende Formulierung des Satzes von Vieta:

Satz.

Die Summe der Wurzeln der reduzierten quadratischen Gleichung x 2 +p x+q=0 ist gleich dem Koeffizienten von x mit umgekehrtem Vorzeichen, und das Produkt der Wurzeln ist gleich dem freien Term, also x 1 +x 2 =−p, x 1 x 2 = q.

Satz umgekehrt zum Satz von Vieta

Die zweite Formulierung des Satzes von Vieta, die im vorherigen Absatz gegeben wurde, besagt, dass, wenn x 1 und x 2 die Wurzeln der reduzierten quadratischen Gleichung x 2 +p x+q=0 sind, die Beziehungen x 1 +x 2 =−p sind , x 1 x 2 =q. Andererseits folgt aus den geschriebenen Beziehungen x 1 +x 2 =−p, x 1 x 2 =q, dass x 1 und x 2 die Wurzeln der quadratischen Gleichung x 2 +p x+q=0 sind. Mit anderen Worten, die Umkehrung des Satzes von Vieta ist wahr. Formulieren wir es in Form eines Theorems und beweisen es.

Satz.

Wenn die Zahlen x 1 und x 2 so sind, dass x 1 +x 2 =−p und x 1 · x 2 =q, dann sind x 1 und x 2 die Wurzeln der reduzierten quadratischen Gleichung x 2 +p · x+q =0.

Nachweisen.

Nachdem die Koeffizienten p und q in der Gleichung x 2 +p·x+q=0 durch ihre Ausdrücke durch x 1 und x 2 ersetzt wurden, wird sie in eine äquivalente Gleichung umgewandelt.

Setzen wir in die resultierende Gleichung die Zahl x 1 anstelle von x ein, und wir haben die Gleichheit x 1 2 −(x 1 +x 2) x 1 +x 1 x 2 =0, was für jedes x 1 und x 2 die korrekte numerische Gleichheit 0=0 darstellt, da x 1 2 −(x 1 +x 2) x 1 +x 1 x 2 = x 1 2 −x 1 2 −x 2 ·x 1 +x 1 ·x 2 =0. Daher ist x 1 die Wurzel der Gleichung x 2 −(x 1 +x 2) x+x 1 x 2 =0, was bedeutet, dass x 1 die Wurzel der äquivalenten Gleichung x 2 +p·x+q=0 ist.

Wenn in der Gleichung x 2 −(x 1 +x 2) x+x 1 x 2 =0 Ersetzen Sie die Zahl x durch 2 anstelle von x, wir erhalten die Gleichheit x 2 2 −(x 1 +x 2) x 2 +x 1 x 2 =0. Das ist eine echte Gleichheit, denn x 2 2 −(x 1 +x 2) x 2 +x 1 x 2 = x 2 2 −x 1 ·x 2 −x 2 2 +x 1 ·x 2 =0. Daher ist x 2 auch eine Wurzel der Gleichung x 2 −(x 1 +x 2) x+x 1 x 2 =0, und daher die Gleichungen x 2 +p·x+q=0.

Damit ist der Beweis des umgekehrten Satzes zum Satz von Vieta abgeschlossen.

Beispiele für die Verwendung des Satzes von Vieta

Es ist Zeit, über die praktische Anwendung des Satzes von Vieta und seines Umkehrsatzes zu sprechen. In diesem Abschnitt analysieren wir Lösungen für einige der typischsten Beispiele.

Beginnen wir mit der Anwendung des umgekehrten Satzes zum Satz von Vieta. Es ist praktisch, um zu überprüfen, ob zwei gegebene Zahlen Wurzeln einer gegebenen quadratischen Gleichung sind. In diesem Fall werden deren Summe und Differenz berechnet und anschließend die Gültigkeit der Beziehungen überprüft. Wenn beide Beziehungen erfüllt sind, wird aufgrund des umgekehrten Satzes zum Satz von Vieta geschlossen, dass diese Zahlen die Wurzeln der Gleichung sind. Wenn mindestens eine der Beziehungen nicht erfüllt ist, sind diese Zahlen nicht die Wurzeln der quadratischen Gleichung. Dieser Ansatz kann beim Lösen quadratischer Gleichungen verwendet werden, um die gefundenen Wurzeln zu überprüfen.

Beispiel.

Welches der Zahlenpaare 1) x 1 =−5, x 2 =3 oder 2) oder 3) ist ein Wurzelpaar der quadratischen Gleichung 4 x 2 −16 x+9=0?

Lösung.

Die Koeffizienten der gegebenen quadratischen Gleichung 4 x 2 −16 x+9=0 sind a=4, b=−16, c=9. Nach dem Satz von Vieta sollte die Summe der Wurzeln einer quadratischen Gleichung gleich −b/a sein, also 16/4=4, und das Produkt der Wurzeln sollte gleich c/a sein, also 9 /4.

Berechnen wir nun die Summe und das Produkt der Zahlen in jedem der drei angegebenen Paare und vergleichen sie mit den gerade erhaltenen Werten.

Im ersten Fall gilt x 1 +x 2 =−5+3=−2. Der resultierende Wert unterscheidet sich von 4, sodass keine weitere Überprüfung durchgeführt werden kann, aber wenn man den Satz invers zum Satz von Vieta verwendet, kann man sofort schließen, dass das erste Zahlenpaar kein Wurzelnpaar der gegebenen quadratischen Gleichung ist.

Kommen wir zum zweiten Fall. Hier ist also die erste Bedingung erfüllt. Wir überprüfen die zweite Bedingung: Der resultierende Wert unterscheidet sich von 9/4. Folglich ist das zweite Zahlenpaar kein Wurzelnpaar der quadratischen Gleichung.

Es gibt noch einen letzten Fall. Hier und . Beide Bedingungen sind erfüllt, daher sind diese Zahlen x 1 und x 2 die Wurzeln der gegebenen quadratischen Gleichung.

Antwort:

Die Umkehrung des Satzes von Vieta kann in der Praxis verwendet werden, um die Wurzeln einer quadratischen Gleichung zu finden. Normalerweise werden ganzzahlige Wurzeln der gegebenen quadratischen Gleichungen mit ganzzahligen Koeffizienten ausgewählt, da dies in anderen Fällen recht schwierig ist. In diesem Fall nutzen sie die Tatsache aus, dass, wenn die Summe zweier Zahlen gleich dem zweiten Koeffizienten einer quadratischen Gleichung mit einem Minuszeichen ist und das Produkt dieser Zahlen gleich dem freien Term ist, diese Zahlen sind Wurzeln dieser quadratischen Gleichung. Lassen Sie uns dies anhand eines Beispiels verstehen.

Nehmen wir die quadratische Gleichung x 2 −5 x+6=0. Damit die Zahlen x 1 und x 2 die Wurzeln dieser Gleichung sind, müssen zwei Gleichungen erfüllt sein: x 1 + x 2 =5 und x 1 ·x 2 =6. Es bleibt nur noch, solche Nummern auszuwählen. In diesem Fall ist das ganz einfach: Solche Zahlen sind 2 und 3, da 2+3=5 und 2·3=6. Somit sind 2 und 3 die Wurzeln dieser quadratischen Gleichung.

Der zum Satz von Vieta inverse Satz ist besonders praktisch, um die zweite Wurzel einer reduzierten quadratischen Gleichung zu finden, wenn eine der Wurzeln bereits bekannt oder offensichtlich ist. In diesem Fall kann die zweite Wurzel aus jeder der Beziehungen gefunden werden.

Nehmen wir zum Beispiel die quadratische Gleichung 512 x 2 −509 x −3=0. Hier ist leicht zu erkennen, dass Eins die Wurzel der Gleichung ist, da die Summe der Koeffizienten dieser quadratischen Gleichung gleich Null ist. Also x 1 =1. Die zweite Wurzel x 2 kann beispielsweise aus der Beziehung x 1 ·x 2 =c/a ermittelt werden. Wir haben 1 x 2 =−3/512, woraus x 2 =−3/512. So haben wir beide Wurzeln der quadratischen Gleichung bestimmt: 1 und −3/512.

Es ist klar, dass die Auswahl der Wurzeln nur in den einfachsten Fällen sinnvoll ist. In anderen Fällen können Sie zum Finden von Wurzeln Formeln für die Wurzeln einer quadratischen Gleichung über eine Diskriminante verwenden.

Eine weitere praktische Anwendung der Umkehrung des Satzes von Vieta besteht darin, quadratische Gleichungen mit den Wurzeln x 1 und x 2 zu konstruieren. Dazu genügt es, die Summe der Wurzeln zu berechnen, die den Koeffizienten von x mit dem umgekehrten Vorzeichen der gegebenen quadratischen Gleichung ergibt, und das Produkt der Wurzeln, das den freien Term ergibt.

Beispiel.

Schreiben Sie eine quadratische Gleichung, deren Wurzeln −11 und 23 sind.

Lösung.

Bezeichnen wir x 1 =−11 und x 2 =23. Wir berechnen die Summe und das Produkt dieser Zahlen: x 1 +x 2 =12 und x 1 ·x 2 =−253. Daher sind die angegebenen Zahlen die Wurzeln der reduzierten quadratischen Gleichung mit einem zweiten Koeffizienten von −12 und einem freien Term von −253. Das heißt, x 2 −12·x−253=0 ist die erforderliche Gleichung.

Antwort:

x 2 −12·x−253=0 .

Der Satz von Vieta wird sehr oft bei der Lösung von Problemen im Zusammenhang mit den Vorzeichen der Wurzeln quadratischer Gleichungen verwendet. Wie hängt der Satz von Vieta mit den Vorzeichen der Wurzeln der reduzierten quadratischen Gleichung x 2 +p·x+q=0 zusammen? Hier zwei relevante Aussagen:

• Wenn der freie Term q eine positive Zahl ist und die quadratische Gleichung reelle Wurzeln hat, dann sind entweder beide positiv oder beide negativ.
• Wenn der freie Term q eine negative Zahl ist und die quadratische Gleichung reelle Wurzeln hat, dann sind ihre Vorzeichen unterschiedlich, mit anderen Worten, eine Wurzel ist positiv und die andere negativ.

Diese Aussagen ergeben sich aus der Formel x 1 · x 2 =q sowie den Regeln zur Multiplikation positiver, negativer Zahlen und Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen. Schauen wir uns Beispiele für ihre Anwendung an.

Beispiel.

R es ist positiv. Mit der Diskriminanzformel finden wir D=(r+2) 2 −4 1 (r−1)= r 2 +4 r+4−4 r+4=r 2 +8, den Wert des Ausdrucks r 2 +8 ist positiv für jedes reelle r, also D>0 für jedes reelle r. Folglich hat die ursprüngliche quadratische Gleichung zwei Wurzeln für alle reellen Werte des Parameters r.

Lassen Sie uns nun herausfinden, wann die Wurzeln unterschiedliche Vorzeichen haben. Wenn die Vorzeichen der Wurzeln unterschiedlich sind, ist ihr Produkt negativ, und nach dem Satz von Vieta ist das Produkt der Wurzeln der reduzierten quadratischen Gleichung gleich dem freien Term. Daher interessieren uns diejenigen Werte von r, für die der freie Term r−1 negativ ist. Um die Werte von r zu finden, an denen wir interessiert sind, benötigen wir also Lösen Sie die lineare Ungleichung r−1<0 , откуда находим r<1 .

Antwort:

bei r<1 .

Vieta-Formeln

Oben haben wir über den Satz von Vieta für eine quadratische Gleichung gesprochen und die Beziehungen analysiert, die er behauptet. Es gibt jedoch Formeln, die die realen Wurzeln und Koeffizienten nicht nur quadratischer Gleichungen, sondern auch kubischer Gleichungen, Gleichungen vierten Grades und allgemein verbinden. algebraische Gleichungen Grad n. Sie heißen Vietas Formeln.

Schreiben wir die Vieta-Formel für eine algebraische Gleichung vom Grad n der Form und gehen davon aus, dass sie n reelle Wurzeln x 1, x 2, ..., x n hat (darunter kann es übereinstimmende geben):

Die Formeln von Vieta sind erhältlich Satz über die Zerlegung eines Polynoms in lineare Faktoren sowie die Definition gleicher Polynome durch die Gleichheit aller ihrer entsprechenden Koeffizienten. Das Polynom und seine Entwicklung in lineare Faktoren der Form sind also gleich. Wenn wir die Klammern im letzten Produkt öffnen und die entsprechenden Koeffizienten gleichsetzen, erhalten wir die Formeln von Vieta.

Insbesondere für n=2 haben wir die bereits bekannten Vieta-Formeln für eine quadratische Gleichung.

Für eine kubische Gleichung haben die Formeln von Vieta die Form

Es bleibt nur zu beachten, dass auf der linken Seite von Vietas Formeln die sogenannten Elementarformeln stehen symmetrische Polynome.

Referenzliste.

• Algebra: Lehrbuch für die 8. Klasse. Allgemeinbildung Institutionen / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; bearbeitet von S. A. Telyakovsky. - 16. Aufl. - M.: Bildung, 2008. - 271 S. : krank. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A. G. Algebra. 8. Klasse. In 2 Stunden. Teil 1. Lehrbuch für Studierende allgemeinbildender Einrichtungen / A. G. Mordkovich. - 11. Aufl., gelöscht. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 S.: Abb. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Algebra und der Beginn der mathematischen Analyse. 10. Klasse: Lehrbuch. für die Allgemeinbildung Institutionen: Basis und Profil. Ebenen / [Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; bearbeitet von A. B. Schizhchenko. - 3. Aufl. - M.: Bildung, 2010.- 368 S. : krank. - ISBN 978-5-09-022771-1.

In der achten Klasse werden die Schüler mit quadratischen Gleichungen und deren Lösung vertraut gemacht. Gleichzeitig verwenden die meisten Studierenden erfahrungsgemäß nur eine Methode zur Lösung vollständiger quadratischer Gleichungen – die Formel für die Wurzeln einer quadratischen Gleichung. Für Schüler mit guten Kopfrechenfähigkeiten ist diese Methode eindeutig irrational. Schon im Gymnasium müssen Schüler oft quadratische Gleichungen lösen, und da ist es einfach schade, Zeit mit der Berechnung der Diskriminante zu verbringen. Meiner Meinung nach sollte beim Studium quadratischer Gleichungen mehr Zeit und Aufmerksamkeit auf die Anwendung des Satzes von Vieta gelegt werden (laut dem Programm A.G. Mordkovich Algebra-8 sind für das Studium des Themas „Satz von Vieta. Zerlegung einer quadratischen Gleichung“ nur zwei Stunden eingeplant trinomial in lineare Faktoren umwandeln“).

In den meisten Algebra-Lehrbüchern wird dieser Satz für die reduzierte quadratische Gleichung formuliert und besagt dies Wenn die Gleichung Wurzeln hat und , dann sind die Gleichungen , , für sie erfüllt. Anschließend wird eine zum Vieta-Theorem umgekehrte Aussage formuliert und eine Reihe von Beispielen zur Übung dieses Themas angeboten.

Nehmen wir konkrete Beispiele und verfolgen wir die Logik der Lösung anhand des Satzes von Vieta.

Beispiel 1. Lösen Sie die Gleichung.

Nehmen wir an, diese Gleichung hat Wurzeln, nämlich und . Dann müssen nach dem Satz von Vieta die Gleichungen gleichzeitig gelten:

Bitte beachten Sie, dass das Produkt aus Wurzeln eine positive Zahl ist. Das bedeutet, dass die Wurzeln der Gleichung das gleiche Vorzeichen haben. Und da die Summe der Wurzeln ebenfalls eine positive Zahl ist, schließen wir, dass beide Wurzeln der Gleichung positiv sind. Kehren wir noch einmal zum Produkt der Wurzeln zurück. Nehmen wir an, dass die Wurzeln der Gleichung positive ganze Zahlen sind. Dann kann die korrekte erste Gleichheit nur auf zwei Arten erhalten werden (bis auf die Reihenfolge der Faktoren): oder . Überprüfen wir für die vorgeschlagenen Zahlenpaare die Machbarkeit der zweiten Aussage des Satzes von Vieta: . Somit erfüllen die Zahlen 2 und 3 beide Gleichungen und sind daher die Wurzeln der gegebenen Gleichung.

Antwort: 2; 3.

Lassen Sie uns die Hauptphasen des Denkens bei der Lösung der obigen quadratischen Gleichung unter Verwendung des Satzes von Vieta hervorheben:

Schreiben Sie die Aussage des Satzes von Vieta auf

(*)

• Bestimmen Sie die Vorzeichen der Wurzeln der Gleichung (Wenn das Produkt und die Summe der Wurzeln positiv sind, dann sind beide Wurzeln positive Zahlen. Wenn das Produkt der Wurzeln eine positive Zahl ist und die Summe der Wurzeln negativ ist, dann Beide Wurzeln sind negative Zahlen. Wenn das Produkt der Wurzeln eine negative Zahl ist, haben die Wurzeln unterschiedliche Vorzeichen. Wenn die Summe der Wurzeln außerdem positiv ist, ist die Wurzel mit einem größeren Modul eine positive Zahl (Wenn die Summe der Wurzeln kleiner als Null ist, ist die Wurzel mit einem größeren Modul eine negative Zahl.)
• Wählen Sie Ganzzahlpaare aus, deren Produkt die korrekte erste Gleichheit in der Notation (*) ergibt.
• Wählen Sie aus den gefundenen Zahlenpaaren das Paar aus, das, wenn es in die zweite Gleichheit in der Notation (*) eingesetzt wird, die richtige Gleichheit ergibt;
• Geben Sie in Ihrer Antwort die gefundenen Wurzeln der Gleichung an.

Lassen Sie uns noch einige Beispiele nennen.

Beispiel 2: Lösen Sie die Gleichung .

Lösung.

Seien und die Wurzeln der gegebenen Gleichung. Dann stellen wir anhand des Satzes von Vieta fest, dass das Produkt positiv und die Summe eine negative Zahl ist. Das bedeutet, dass beide Wurzeln negative Zahlen sind. Wir wählen Faktorpaare aus, die ein Produkt von 10 ergeben (-1 und -10; -2 und -5). Das zweite Zahlenpaar ergibt in der Summe -7. Das bedeutet, dass die Zahlen -2 und -5 die Wurzeln dieser Gleichung sind.

Antwort: -2; -5.

Beispiel 3: Lösen Sie die Gleichung .

Lösung.

Seien und die Wurzeln der gegebenen Gleichung. Dann stellen wir nach dem Satz von Vieta fest, dass das Produkt negativ ist. Das bedeutet, dass die Wurzeln unterschiedliche Vorzeichen haben. Auch die Summe der Wurzeln ist eine negative Zahl. Dies bedeutet, dass die Wurzel mit dem größten Modul negativ ist. Wir wählen Faktorpaare aus, die das Produkt -10 ergeben (1 und -10; 2 und -5). Das zweite Zahlenpaar ergibt in der Summe -3. Das bedeutet, dass die Zahlen 2 und -5 die Wurzeln dieser Gleichung sind.

Antwort: 2; -5.

Beachten Sie, dass der Satz von Vieta im Prinzip für eine vollständige quadratische Gleichung formuliert werden kann: wenn quadratische Gleichung Wurzeln hat und , dann sind für sie die Gleichungen erfüllt. Die Anwendung dieses Theorems ist jedoch recht problematisch, da in einer vollständigen quadratischen Gleichung mindestens eine der Wurzeln (falls vorhanden, natürlich) eine Bruchzahl ist. Und die Arbeit mit der Auswahl von Brüchen ist langwierig und schwierig. Aber es gibt immer noch einen Ausweg.

Betrachten Sie die vollständige quadratische Gleichung . Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit dem ersten Koeffizienten A und schreibe die Gleichung in das Formular . Lassen Sie uns eine neue Variable einführen und die reduzierte quadratische Gleichung erhalten, deren Wurzeln und (falls verfügbar) mithilfe des Satzes von Vieta gefunden werden können. Dann lauten die Wurzeln der ursprünglichen Gleichung. Bitte beachten Sie, dass es sehr einfach ist, die reduzierte Hilfsgleichung zu erstellen: Der zweite Koeffizient bleibt erhalten und der dritte Koeffizient ist gleich dem Produkt ac. Mit einer gewissen Geschicklichkeit erstellen die Schüler sofort eine Hilfsgleichung, finden ihre Wurzeln mithilfe des Satzes von Vieta und geben die Wurzeln der gegebenen vollständigen Gleichung an. Lassen Sie uns Beispiele nennen.

Beispiel 4: Lösen Sie die Gleichung .

Lassen Sie uns eine Hilfsgleichung erstellen und mit Hilfe des Satzes von Vieta werden wir seine Wurzeln finden. Dies bedeutet, dass die Wurzeln der ursprünglichen Gleichung .

Antwort: .

Beispiel 5: Lösen Sie die Gleichung .

Die Hilfsgleichung hat die Form . Nach dem Satz von Vieta sind seine Wurzeln . Finden der Wurzeln der ursprünglichen Gleichung .

Antwort: .

Und noch ein Fall, in dem die Anwendung des Satzes von Vieta es Ihnen ermöglicht, die Wurzeln einer vollständigen quadratischen Gleichung verbal zu finden. Es ist nicht schwer, das zu beweisen Die Zahl 1 ist die Wurzel der Gleichung , dann und nur dann, wenn. Die zweite Wurzel der Gleichung wird durch den Satz von Vieta gefunden und ist gleich. Noch eine Aussage: so dass die Zahl –1 die Wurzel der Gleichung ist notwendig und ausreichend für. Dann ist die zweite Wurzel der Gleichung nach dem Satz von Vieta gleich. Ähnliche Aussagen lassen sich für die reduzierte quadratische Gleichung formulieren.

Beispiel 6: Lösen Sie die Gleichung.

Beachten Sie, dass die Summe der Koeffizienten der Gleichung Null ist. Also die Wurzeln der Gleichung .

Antwort: .

Beispiel 7. Lösen Sie die Gleichung.

Die Koeffizienten dieser Gleichung erfüllen die Eigenschaft (tatsächlich 1-(-999)+(-1000)=0). Also die Wurzeln der Gleichung .

Antwort: ..

Beispiele für die Anwendung des Satzes von Vieta

Aufgabe 1. Lösen Sie die gegebene quadratische Gleichung mit dem Satz von Vieta.

1.	6.	11.	16.
2.	7.	12.	17.
3.	8.	13.	18.
4.	9.	14.	19.
5.	10.	15.	20.

Aufgabe 2. Lösen Sie die vollständige quadratische Gleichung, indem Sie zur reduzierten quadratischen Hilfsgleichung übergehen.

1.	6.	11.	16.
2.	7.	12.	17.
3.	8.	13.	18.
4.	9.	14.	19.
5.	10.	15.	20.

Aufgabe 3. Lösen Sie eine quadratische Gleichung mithilfe der Eigenschaft.

Formulieren wir zunächst den Satz selbst: Lassen Sie uns eine reduzierte quadratische Gleichung der Form x^2+b*x + c = 0 haben. Nehmen wir an, diese Gleichung enthält Wurzeln x1 und x2. Dann gelten nach dem Satz folgende Aussagen:

1) Die Summe der Wurzeln x1 und x2 ist gleich dem negativen Wert des Koeffizienten b.

2) Das Produkt dieser gleichen Wurzeln ergibt den Koeffizienten c.

Aber wie lautet die gegebene Gleichung?

Eine reduzierte quadratische Gleichung ist eine quadratische Gleichung, deren Koeffizient höchsten Grades gleich eins ist, d. h. Dies ist eine Gleichung der Form x^2 + b*x + c = 0. (und die Gleichung a*x^2 + b*x + c = 0 ist nicht reduziert). Mit anderen Worten: Um die Gleichung in die gegebene Form zu bringen, müssen wir diese Gleichung durch den Koeffizienten der höchsten Potenz (a) dividieren. Die Aufgabe besteht darin, diese Gleichung in die folgende Form zu bringen:

3*x^2 12*x + 18 = 0;

−4*x^2 + 32*x + 16 = 0;

1,5*x^2 + 7,5*x + 3 = 0; 2*x^2 + 7*x − 11 = 0.

Teilen Sie jede Gleichung durch den Koeffizienten des höchsten Grades, wir erhalten:

X^2 4*x + 6 = 0; X^2 8*x − 4 = 0; X^2 + 5*x + 2 = 0;

X^2 + 3,5*x − 5,5 = 0.

Wie Sie an den Beispielen sehen können, können sogar Gleichungen, die Brüche enthalten, auf die angegebene Form reduziert werden.

Verwendung des Satzes von Vieta

X^2 5*x + 6 = 0 ⇒ x1 + x2 = − (−5) = 5; x1*x2 = 6;

wir erhalten die Wurzeln: x1 = 2; x2 = 3;

X^2 + 6*x + 8 = 0 ⇒ x1 + x2 = −6; x1*x2 = 8;

als Ergebnis erhalten wir die Wurzeln: x1 = -2 ; x2 = -4;

X^2 + 5*x + 4 = 0 ⇒ x1 + x2 = −5; x1*x2 = 4;

wir erhalten die Wurzeln: x1 = −1; x2 = −4.

Die Bedeutung des Satzes von Vieta

Der Satz von Vieta ermöglicht es uns, jede quadratische reduzierte Gleichung in fast Sekunden zu lösen. Auf den ersten Blick scheint dies eine ziemlich schwierige Aufgabe zu sein, aber nach 5 bis 10 Gleichungen kann man sofort lernen, die Wurzeln zu erkennen.

Anhand der gegebenen Beispiele und anhand des Satzes wird deutlich, wie Sie die Lösung quadratischer Gleichungen deutlich vereinfachen können, denn mit diesem Satz können Sie eine quadratische Gleichung praktisch ohne aufwändige Berechnungen und Berechnung der Diskriminante und, wie Sie wissen, lösen Je weniger Berechnungen durchgeführt werden, desto schwieriger ist es, einen Fehler zu machen, was wichtig ist.

In allen Beispielen haben wir diese Regel basierend auf zwei wichtigen Annahmen verwendet:

Die gegebene Gleichung, d.h. der Koeffizient des höchsten Grades ist gleich eins (diese Bedingung kann leicht vermieden werden. Sie können die nichtreduzierte Form der Gleichung verwenden, dann gelten die folgenden Aussagen: x1+x2=-b/a; x1*x2=c /a, aber es ist normalerweise schwieriger zu lösen :))

Wenn eine Gleichung zwei verschiedene Wurzeln hat. Wir gehen davon aus, dass die Ungleichung wahr ist und die Diskriminante unbedingt größer als Null ist.

Daher können wir mithilfe des Satzes von Vieta einen allgemeinen Lösungsalgorithmus erstellen.

Allgemeiner Lösungsalgorithmus unter Verwendung des Satzes von Vieta

Wir reduzieren eine quadratische Gleichung auf die reduzierte Form, wenn uns die Gleichung in nichtreduzierter Form vorliegt. Wenn sich herausstellt, dass die Koeffizienten in der quadratischen Gleichung, die wir zuvor als gegeben dargestellt haben, gebrochen (nicht dezimal) sind, dann sollte unsere Gleichung in diesem Fall durch die Diskriminante gelöst werden.

Es gibt auch Fälle, in denen die Rückkehr zur Ausgangsgleichung es uns ermöglicht, mit „bequemen“ Zahlen zu arbeiten.