Um Differentialgleichungen zu lösen, ist es notwendig, den Wert der abhängigen Variablen und ihrer Ableitungen für bestimmte Werte der unabhängigen Variablen zu kennen. Wenn für einen Wert der Unbekannten zusätzliche Bedingungen angegeben werden, d.h. unabhängige Variable., dann wird ein solches Problem das Cauchy-Problem genannt. Wenn die Anfangsbedingungen für zwei oder mehr Werte der unabhängigen Variablen angegeben sind, wird das Problem als Randwertproblem bezeichnet. Bei der Lösung von Differentialgleichungen verschiedener Art wird die Funktion, deren Werte ermittelt werden müssen, in Form einer Tabelle berechnet.

Klassifikation numerischer Methoden zur Lösung von Differentialen. Lv. Typen.

Cauchy-Problem – einstufig: Euler-Methoden, Runge-Kutta-Methoden; – mehrstufig: Hauptmethode, Adams-Methode. Randproblem – eine Methode zur Reduzierung eines Randproblems auf das Cauchy-Problem; – Finite-Differenzen-Methode.

Bei der Lösung des Cauchy-Problems muss diff. angegeben werden. ur. Ordnung n oder System von Diff. ur. erste Ordnung von n Gleichungen und n zusätzlichen Bedingungen für ihre Lösung. Für den gleichen Wert der unabhängigen Variablen müssen zusätzliche Bedingungen angegeben werden. Beim Lösen eines Randproblems müssen Gleichungen angegeben werden. n-ter Ordnung oder ein System von n Gleichungen und n Zusatzbedingungen für zwei oder mehr Werte der unabhängigen Variablen. Bei der Lösung des Cauchy-Problems wird die benötigte Funktion diskret in Form einer Tabelle mit einem bestimmten vorgegebenen Schritt  bestimmt. Bei der Bestimmung jedes aufeinanderfolgenden Werts können Sie Informationen zu einem vorherigen Punkt verwenden. In diesem Fall werden die Methoden als einstufige Methoden bezeichnet, oder Sie können Informationen zu mehreren vorherigen Punkten verwenden – mehrstufige Methoden.

Gewöhnliche Differentialgleichungen. Cauchy-Problem. Ein-Schritt-Methoden. Eulers Methode.

Gegeben: g(x,y)y+h(x,y)=0, y=-h(x,y)/g(x,y)= f(x,y), x 0 , y( x 0)=y 0 . Es ist bekannt: f(x,y), x 0 , y 0 . Bestimmen Sie die diskrete Lösung: x i , y i , i=0,1,…,n. Eulers Methode basiert auf der Entwicklung einer Funktion in eine Taylor-Reihe in der Nähe des Punktes x 0 . Die Nachbarschaft wird durch Schritt h beschrieben. y(x 0 +h)y(x 0)+hy(x 0)+…+ (1). Eulers Methode berücksichtigt nur zwei Terme der Taylor-Reihe. Lassen Sie uns einige Notationen einführen. Eulers Formel wird die Form annehmen: y i+1 =y i +y i, y i =hy(x i)=hf(x i,y i), y i+1 =y i +hf(x i,y i) (2), i= 0,1,2…, x i+1 =x i +h

Formel (2) ist die Formel der einfachen Euler-Methode.

Geometrische Interpretation der Eulerschen Formel

Um eine numerische Lösung zu erhalten, wird die durch die Gleichung verlaufende Tangente verwendet. Tangente: y=y(x 0)+y(x 0)(x-x 0), x=x 1,

y 1 =y(x 0)+f(x 0 ,y 0)  (x-x 0), weil

x-x 0 =h, dann y 1 =y 0 +hf(x 0 ,y 0), f(x 0 ,y 0)=tg £.

Modifizierte Euler-Methode

Gegeben: y=f(x,y), y(x 0)=y 0 . Es ist bekannt: f(x,y), x 0 , y 0 . Bestimmen Sie: die Abhängigkeit von y von x in Form einer tabellarischen diskreten Funktion: x i, y i, i=0,1,…,n.

Geometrische Interpretation

1) Berechnen Sie den Tangens des Neigungswinkels am Startpunkt

tg £=y(x n ,y n)=f(x n ,y n)

2) Berechnen Sie den Wert  y n+1 on

Ende des Schritts gemäß Eulers Formel

 y n+1 =y n +f(x n ,y n) 3) Berechnen Sie den Tangens des Neigungswinkels

Tangente am Punkt n+1: tg £=y(x n+1 ,  y n+1)=f(x n+1 ,  y n+1) 4) Berechnen Sie das arithmetische Mittel der Winkel

Neigung: tg £=½. 5) Mithilfe des Tangens des Neigungswinkels berechnen wir den Wert der Funktion an n+1 Punkten neu: y n+1 =y n +htg £= y n +½h=y n +½h – Formel der modifizierten Euler-Methode. Es kann gezeigt werden, dass das resultierende f-la der Entwicklung von f-i in einer Taylor-Reihe entspricht, einschließlich Termen (bis zu h 2). Die modifizierte Eilnra-Methode ist im Gegensatz zur einfachen eine Methode mit Genauigkeit zweiter Ordnung, weil der Fehler ist proportional zu h 2.

Wir betrachten nur die Lösung des Cauchy-Problems. Ein System von Differentialgleichungen oder eine Gleichung muss in die Form umgewandelt werden

Wo ,
–N-dimensionale Vektoren; j– unbekannte Vektorfunktion; X– unabhängiges Argument,
. Insbesondere, wenn N= 1, dann geht das System in eine Differentialgleichung über. Die Anfangsbedingungen werden wie folgt festgelegt:
, Wo
.

Wenn
in der Nähe eines Punktes
ist stetig und hat stetige partielle Ableitungen nach j, dann garantiert der Existenz- und Eindeutigkeitssatz, dass es nur eine kontinuierliche Vektorfunktion gibt
, definiert in manche Umgebung eines Punktes , die Gleichung (7) und die Bedingung erfüllt
.

Achten wir auf die Umgebung des Punktes , wo die Lösung bestimmt wird, kann sehr klein sein. Bei Annäherung an die Grenze dieser Nachbarschaft kann die Lösung ins Unendliche gehen, mit unendlich zunehmender Frequenz schwingen, sich im Allgemeinen so schlecht verhalten, dass sie nicht über die Grenze der Nachbarschaft hinaus fortgesetzt werden kann. Dementsprechend kann eine solche Lösung nicht mit numerischen Methoden auf einem größeren Segment verfolgt werden, sofern dies in der Problemstellung angegeben ist.

Lösung des Cauchy-Problems auf [ A; B] ist eine Funktion. Bei numerischen Methoden wird die Funktion durch eine Tabelle ersetzt (Tabelle 1).

Tabelle 1

Hier
,
. Der Abstand zwischen benachbarten Tabellenknoten wird üblicherweise als konstant angenommen:
,
.

Es gibt Tabellen mit variablen Schritten. Der Tabellenschritt wird durch die Anforderungen des Ingenieurproblems bestimmt und nicht verbunden mit der Genauigkeit, eine Lösung zu finden.

Wenn j ist ein Vektor, dann hat die Tabelle der Lösungswerte die Form einer Tabelle. 2.

Tabelle 2

Im MATHCAD-System wird anstelle einer Tabelle eine Matrix verwendet und diese in Bezug auf die angegebene Tabelle transponiert.

Lösen Sie das Cauchy-Problem genau ε bedeutet, die Werte in der angegebenen Tabelle abzurufen (Zahlen oder Vektoren),
, so dass
, Wo
- genaue Lösung. Es ist möglich, dass die Lösung des im Problem angegebenen Segments nicht fortgesetzt wird. Dann müssen Sie antworten, dass das Problem nicht für das gesamte Segment gelöst werden kann, und Sie müssen eine Lösung für das Segment finden, in dem es existiert, und dieses Segment so groß wie möglich machen.

Es sollte daran erinnert werden, dass die genaue Lösung
wir wissen es nicht (warum sonst die numerische Methode verwenden?). Grad
muss auf einer anderen Grundlage begründet werden. Eine 100%ige Garantie für die Durchführung der Begutachtung ist in der Regel nicht möglich. Daher werden Algorithmen verwendet, um den Wert zu schätzen
, die sich bei den meisten technischen Aufgaben als effektiv erweisen.

Das allgemeine Prinzip zur Lösung des Cauchy-Problems lautet wie folgt. Liniensegment [ A; B] wird durch Integrationsknoten in mehrere Segmente unterteilt. Anzahl der Knoten k muss nicht mit der Anzahl der Knoten übereinstimmen M Abschlusstabelle der Entscheidungswerte (Tabellen 1, 2). Allgemein, k > M. Der Einfachheit halber gehen wir davon aus, dass der Abstand zwischen den Knoten konstant ist.
;H wird als Integrationsschritt bezeichnet. Dann, nach bestimmten Algorithmen, Kenntnis der Werte bei ich < S, berechnen Sie den Wert . Je kleiner der Schritt H, desto niedriger ist der Wert wird vom Wert der exakten Lösung abweichen
. Schritt H in dieser Partition wird bereits nicht durch die Anforderungen des technischen Problems bestimmt, sondern durch die erforderliche Genauigkeit zur Lösung des Cauchy-Problems. Darüber hinaus muss es so ausgewählt werden, dass in einem Schritt die Tabelle. 1, 2 passen zu einer ganzzahligen Anzahl von Schritten H. In diesem Fall die Werte j, erhalten als Ergebnis von Berechnungen mit Schritten H an Punkten
, werden in der Tabelle entsprechend verwendet. 1 oder 2.

Der einfachste Algorithmus zur Lösung des Cauchy-Problems für Gleichung (7) ist die Euler-Methode. Die Berechnungsformel lautet:

(8)

Mal sehen, wie die Genauigkeit der gefundenen Lösung beurteilt wird. Tun wir mal so
ist die exakte Lösung des Cauchy-Problems, und auch das
, obwohl dies fast immer nicht der Fall ist. Wo ist dann die Konstante? C kommt auf die Funktion an
in der Nähe eines Punktes
. Somit erhalten wir in einem Integrationsschritt (Finden einer Lösung) einen Fehler der Ordnung . Denn es müssen Schritte unternommen werden
, dann ist es natürlich zu erwarten, dass der Gesamtfehler am letzten Punkt liegt
alles wird gut
, d.h. Befehl H. Daher wird die Euler-Methode als Methode erster Ordnung bezeichnet, d.h. Der Fehler hat die Ordnung der ersten Potenz des Schrittes H. Tatsächlich kann in einem Integrationsschritt die folgende Schätzung gerechtfertigt sein. Lassen
– exakte Lösung des Cauchy-Problems mit der Anfangsbedingung
. Es ist klar, dass
stimmt nicht mit der geforderten exakten Lösung überein
das ursprüngliche Cauchy-Problem der Gleichung (7). Allerdings im Kleinen H und „gute“ Funktion
Diese beiden genauen Lösungen werden sich kaum unterscheiden. Dafür sorgt die Taylor-Restformel
Dies ergibt den Integrationsschrittfehler. Der endgültige Fehler besteht nicht nur aus Fehlern bei jedem Integrationsschritt, sondern auch aus Abweichungen von der gewünschten exakten Lösung
aus exakten Lösungen
,
, und diese Abweichungen können sehr groß werden. Allerdings ist die endgültige Schätzung des Fehlers in der Euler-Methode für eine „gute“ Funktion
sieht immer noch so aus
,
.

Bei Anwendung der Euler-Methode läuft die Berechnung wie folgt ab. Nach vorgegebener Genauigkeit ε Bestimmen Sie den ungefähren Schritt
. Bestimmen der Anzahl der Schritte
und noch einmal ungefähr den Schritt auswählen
. Dann verstellen wir es wieder nach unten, so dass bei jedem Schritt der Tisch. 1 oder 2 passen zu einer ganzzahligen Anzahl von Integrationsschritten. Wir machen einen Schritt H. Nach Formel (8) wissend Und , wir finden. Nach gefundenem Wert Und
wir finden so weiter.

Das resultierende Ergebnis weist möglicherweise nicht die gewünschte Genauigkeit auf und wird dies in der Regel auch nicht sein. Daher reduzieren wir den Schritt um die Hälfte und wenden erneut die Euler-Methode an. Wir vergleichen die Ergebnisse der ersten Anwendung der Methode und der zweiten in identisch Punkte . Wenn alle Abweichungen kleiner als die angegebene Genauigkeit sind, kann das letzte Berechnungsergebnis als Lösung des Problems angesehen werden. Wenn nicht, reduzieren wir den Schritt erneut um die Hälfte und wenden erneut die Euler-Methode an. Nun vergleichen wir die Ergebnisse der letzten und vorletzten Anwendung der Methode usw.

Die Euler-Methode wird aufgrund der Tatsache, dass eine bestimmte Genauigkeit erreicht werden soll, relativ selten verwendet ε Es ist eine große Anzahl von Schritten in der Reihenfolge erforderlich
. Wie auch immer, wenn
Diskontinuitäten oder diskontinuierliche Ableitungen aufweist, erzeugen Methoden höherer Ordnung denselben Fehler wie die Euler-Methode. Das heißt, es sind genauso viele Berechnungen erforderlich wie bei der Euler-Methode.

Von den Methoden höherer Ordnung wird am häufigsten die Runge-Kutta-Methode vierter Ordnung verwendet. Darin werden Berechnungen nach den Formeln durchgeführt

Diese Methode gilt für das Vorhandensein stetiger vierter Ableitungen der Funktion
gibt bei einem Schritt der Bestellung einen Fehler aus , d.h. in der oben eingeführten Notation,
. Im Allgemeinen liegt der Integrationsfehler im Integrationsintervall in der Größenordnung von, sofern die genaue Lösung für dieses Intervall bestimmt wird .

Die Auswahl des Integrationsschritts erfolgt auf die gleiche Weise wie bei der Euler-Methode beschrieben, mit der Ausnahme, dass der anfängliche Näherungswert des Schritts aus der Beziehung ausgewählt wird
, d.h.
.

Die meisten Programme zur Lösung von Differentialgleichungen verwenden eine automatische Schrittauswahl. Der Kern davon ist folgender. Lassen Sie den Wert bereits berechnet werden . Der Wert wird berechnet
in Schritten H, während der Berechnung ausgewählt . Anschließend werden mit step zwei Integrationsschritte durchgeführt , d.h. Zusätzlicher Knoten wird hinzugefügt
in der Mitte zwischen den Knoten Und
. Es werden zwei Werte berechnet
Und
in Knoten
Und
. Der Wert wird berechnet
, Wo P– Methodenreihenfolge. Wenn δ kleiner als die vom Benutzer angegebene Genauigkeit ist, wird davon ausgegangen
. Wenn nicht, wählen Sie einen neuen Schritt H gleich und wiederholen Sie die Genauigkeitsprüfung. Wenn bei der ersten Kontrolle δ deutlich kleiner als die angegebene Genauigkeit ist, wird versucht, den Schritt zu erhöhen. Zu diesem Zweck wird es berechnet
am Knoten
in Schritten H vom Knoten
und wird berechnet
in 2er-Schritten H vom Knoten . Der Wert wird berechnet
. Wenn kleiner als die angegebene Genauigkeit ist, dann Schritt 2 H als akzeptabel angesehen. In diesem Fall wird ein neuer Schritt zugewiesen
,
,
. Wenn mehr Genauigkeit, dann bleibt der Schritt gleich.

Es ist zu berücksichtigen, dass Programme mit automatischer Auswahl des Integrationsschritts die angegebene Genauigkeit nur bei der Ausführung eines Schritts erreichen. Dies liegt an der Genauigkeit der Näherung der durch den Punkt verlaufenden Lösung
, d.h. Annäherung an die Lösung
. Solche Programme berücksichtigen nicht, wie viel die Lösung ist
weicht von der gewünschten Lösung ab
. Es kann daher nicht garantiert werden, dass die angegebene Genauigkeit über das gesamte Integrationsintervall erreicht wird.

Die beschriebenen Euler- und Runge-Kutta-Methoden gehören zur Gruppe der Einschrittverfahren. Das bedeutet, dass man berechnen muss
am Punkt
es genügt, die Bedeutung zu kennen am Knoten . Es ist natürlich zu erwarten, dass bei Verwendung weiterer Informationen zu einer Entscheidung mehrere frühere Werte der Entscheidung berücksichtigt werden
,
usw., dann der neue Wert
es wird möglich sein, genauer zu finden. Diese Strategie wird in mehrstufigen Methoden verwendet. Um sie zu beschreiben, führen wir die Notation ein
.

Vertreter mehrstufiger Methoden sind die Adams-Bashforth-Methoden:

Methode k-te Bestellung gibt einen lokalen Bestellfehler aus
oder global – Ordnung .

Diese Methoden gehören zur Gruppe der Extrapolationsmethoden, d.h. Die neue Bedeutung wird durch die vorherigen klar zum Ausdruck gebracht. Ein anderer Typ sind Interpolationsmethoden. Dabei müssen Sie bei jedem Schritt eine nichtlineare Gleichung nach einem neuen Wert lösen . Nehmen wir als Beispiel die Adams-Moulton-Methoden:

Um diese Methoden nutzen zu können, müssen Sie zu Beginn der Zählung mehrere Werte kennen
(Ihre Anzahl hängt von der Reihenfolge der Methode ab). Diese Werte müssen mit anderen Methoden ermittelt werden, beispielsweise mit der Runge-Kutta-Methode mit kleinem Schritt (zur Erhöhung der Genauigkeit). Interpolationsverfahren erweisen sich in vielen Fällen als stabiler und erlauben größere Schritte als Extrapolationsverfahren.

Um bei Interpolationsverfahren nicht bei jedem Schritt eine nichtlineare Gleichung zu lösen, werden Adams-Prädiktor-Korrekturverfahren verwendet. Die Quintessenz ist, dass die Extrapolationsmethode zunächst auf den Schritt und den resultierenden Wert angewendet wird
wird auf der rechten Seite der Interpolationsmethode eingesetzt. Zum Beispiel in der Methode zweiter Ordnung

Numerische Lösung von Differentialgleichungen

Bei vielen Problemen in Wissenschaft und Technik geht es darum, gewöhnliche Differentialgleichungen (ODEs) zu lösen. ODEs sind Gleichungen, die eine oder mehrere Ableitungen der gewünschten Funktion enthalten. Im Allgemeinen kann die ODE wie folgt geschrieben werden:

Dabei ist x eine unabhängige Variable und die i-te Ableitung der gewünschten Funktion. n ist die Ordnung der Gleichung. Die allgemeine Lösung einer ODE n-ter Ordnung enthält n beliebige Konstanten, d. h. Die allgemeine Lösung hat die Form .

Um eine einzelne Lösung auszuwählen, müssen n zusätzliche Bedingungen festgelegt werden. Abhängig von der Methode zur Angabe zusätzlicher Bedingungen gibt es zwei verschiedene Arten von Problemen: das Cauchy-Problem und das Randwertproblem. Werden an einer Stelle zusätzliche Bedingungen angegeben, so nennt man ein solches Problem Cauchy-Problem. Zusätzliche Bedingungen im Cauchy-Problem werden Anfangsbedingungen genannt. Werden an mehr als einer Stelle zusätzliche Bedingungen angegeben, d.h. Für unterschiedliche Werte der unabhängigen Variablen wird ein solches Problem als Randwertproblem bezeichnet. Die Zusatzbedingungen selbst werden Rand- oder Randbedingungen genannt.

Es ist klar, dass wir bei n=1 nur über das Cauchy-Problem sprechen können.

Beispiele für die Aufstellung des Cauchy-Problems:

Beispiele für Randwertprobleme:

Eine analytische Lösung solcher Probleme ist nur für einige spezielle Gleichungstypen möglich.

Numerische Methoden zur Lösung des Cauchy-Problems für ODEs erster Ordnung

Formulierung des Problems. Finden Sie eine Lösung für die ODE erster Ordnung

Auf dem bereitgestellten Segment

Bei der Suche nach einer Näherungslösung gehen wir davon aus, dass die Berechnungen mit einem berechneten Schritt durchgeführt werden, die Berechnungsknoten sind die Intervallpunkte [ X 0 , X N ].

Ziel ist es, einen Tisch zu bauen

X ich				X N
j ich				j N

diese. An Gitterknoten werden Näherungswerte von y gesucht.

Wenn wir die Gleichung über das Intervall integrieren, erhalten wir

Eine völlig natürliche (aber nicht die einzige) Möglichkeit, eine numerische Lösung zu erhalten, besteht darin, das darin enthaltene Integral durch eine Quadraturformel der numerischen Integration zu ersetzen. Wenn wir die einfachste Formel für linke Rechtecke erster Ordnung verwenden

,

dann bekommen wir explizite Euler-Formel:

Zahlungsablauf:

Wissen, wir finden, dann usw.

Geometrische Interpretation der Euler-Methode:

Das ausnutzen, was auf den Punkt kommt X 0 die Lösung ist bekannt j(X 0)= y 0 und dem Wert seiner Ableitung können wir die Gleichung der Tangente an den Graphen der gewünschten Funktion an der Stelle schreiben:. Mit einem ausreichend kleinen Schritt H Die Ordinate dieses Tangens, die man durch Einsetzen in die rechte Seite des Wertes erhält, sollte sich kaum von der Ordinate unterscheiden j(X 1) Lösungen j(X) Cauchy-Probleme. Daher der Schnittpunkt der Tangente mit der Geraden X = X Als neuer Ausgangspunkt kann näherungsweise 1 angenommen werden. Durch diesen Punkt ziehen wir wieder eine Gerade, die ungefähr das Verhalten der Tangente an den Punkt widerspiegelt. Ersetzen Sie hier (d. h. den Schnittpunkt mit der Linie). X = X 2) erhalten wir einen Näherungswert j(X) am Punkt X 2: usw. Als Ergebnis für ich-ten Punkt erhalten wir die Eulersche Formel.

Die explizite Euler-Methode weist eine Genauigkeit oder Näherung erster Ordnung auf.

Wenn Sie die richtige Rechteckformel verwenden: , dann kommen wir zur Methode

Diese Methode heißt implizite Euler-Methode, da die Berechnung eines unbekannten Werts aus einem bekannten Wert die Lösung einer Gleichung erfordert, die im Allgemeinen nichtlinear ist.

Die implizite Euler-Methode weist eine Genauigkeit oder Näherung erster Ordnung auf.

Bei dieser Methode besteht die Berechnung aus zwei Schritten:

Dieses Schema wird auch als Prädiktor-Korrektor-Methode (Predictive-Correcting) bezeichnet. In der ersten Stufe wird der Näherungswert mit geringer Genauigkeit (h) vorhergesagt und in der zweiten Stufe wird diese Vorhersage korrigiert, sodass der resultierende Wert eine Genauigkeit zweiter Ordnung aufweist.

Runge-Kutta-Methoden: die Idee, explizite Runge-Kutta-Methoden zu konstruieren P Die -te Ordnung besteht darin, Näherungen an die Werte zu erhalten j(X ich+1) nach einer Formel der Form

…………………………………………….

Hier A N , B NJ , P N, – einige feste Zahlen (Parameter).

Bei der Konstruktion der Runge-Kutta-Methoden sind die Parameter der Funktion ( A N , B NJ , P N) werden so gewählt, dass die gewünschte Näherungsordnung erreicht wird.

Runge-Kutta-Schema vierter Genauigkeitsordnung:

Beispiel. Lösen Sie das Cauchy-Problem:

Betrachten Sie drei Methoden: explizite Euler-Methode, modifizierte Euler-Methode, Runge-Kutta-Methode.

Genaue Lösung:

Berechnungsformeln mit der expliziten Euler-Methode für dieses Beispiel:

Berechnungsformeln der modifizierten Euler-Methode:

Berechnungsformeln für das Runge-Kutta-Verfahren:

y1 – Euler-Methode, y2 – modifizierte Euler-Methode, y3 – Runge-Kutta-Methode.

Es ist ersichtlich, dass die Runge-Kutta-Methode die genaueste ist.

Numerische Methoden zur Lösung von Systemen mit ODEs erster Ordnung

Die betrachteten Methoden können auch zur Lösung von Systemen von Differentialgleichungen erster Ordnung verwendet werden.

Zeigen wir dies für den Fall eines Systems aus zwei Gleichungen erster Ordnung:

Explizite Euler-Methode:

Modifizierte Euler-Methode:

Runge-Kutta-Schema vierter Genauigkeitsordnung:

Cauchy-Probleme für Gleichungen höherer Ordnung werden auch auf die Lösung von ODE-Gleichungssystemen reduziert. Bedenken Sie zum Beispiel Cauchy-Problem für eine Gleichung zweiter Ordnung

Lassen Sie uns eine zweite unbekannte Funktion einführen. Dann wird das Cauchy-Problem durch Folgendes ersetzt:

Diese. im Hinblick auf das vorherige Problem: .

Beispiel. Finden Sie eine Lösung für das Cauchy-Problem:

Auf dem Segment.

Genaue Lösung:

Wirklich:

Lösen wir das Problem mit der expliziten Euler-Methode, modifiziert durch die Euler- und Runge-Kutta-Methode mit einem Schritt h=0,2.

Lassen Sie uns die Funktion vorstellen.

Dann erhalten wir das folgende Cauchy-Problem für ein System aus zwei ODEs erster Ordnung:

Explizite Euler-Methode:

Modifizierte Euler-Methode:

Runge-Kutta-Methode:

Euler-Schaltung:

Modifizierte Euler-Methode:

Runge-Kutta-Schema:

Max(y-y-Theorie)=4*10 -5

Finite-Differenzen-Methode zur Lösung von Randwertproblemen für ODE

Formulierung des Problems: Finden Sie eine Lösung für eine lineare Differentialgleichung

Erfüllung der Randbedingungen:. (2)

Satz. Lassen . Dann gibt es eine einzigartige Lösung für das Problem.

Dieses Problem reduziert sich beispielsweise auf das Problem der Bestimmung der Durchbiegungen eines an seinen Enden angelenkten Balkens.

Hauptstufen der Finite-Differenzen-Methode:

1) Der Bereich der kontinuierlichen Änderung des Arguments () wird durch eine diskrete Menge von Punkten ersetzt, die als Knoten bezeichnet werden: .

2) Die gewünschte Funktion des stetigen Arguments x wird näherungsweise durch die Funktion des diskreten Arguments auf einem gegebenen Gitter ersetzt, d.h. . Die Funktion wird als Rasterfunktion bezeichnet.

3) Die ursprüngliche Differentialgleichung wird durch eine Differenzengleichung bezüglich der Gitterfunktion ersetzt. Diese Ersetzung wird Differenzennäherung genannt.

Bei der Lösung einer Differentialgleichung kommt es also darauf an, die Werte der Gitterfunktion an den Gitterknoten zu finden, die sich aus der Lösung algebraischer Gleichungen ergeben.

Approximation von Derivaten.

Um die erste Ableitung anzunähern (zu ersetzen), können Sie die folgenden Formeln verwenden:

- rechte Differenzableitung,

- linke Differenzableitung,

Zentrale Differenzableitung.

das heißt, es gibt viele Möglichkeiten, die Ableitung zu approximieren.

Alle diese Definitionen ergeben sich aus dem Konzept der Ableitung als Grenze: .

Basierend auf der Differenzennäherung der ersten Ableitung können wir eine Differenzennäherung der zweiten Ableitung konstruieren:

Ebenso können wir Näherungen für Ableitungen höherer Ordnung erhalten.

Definition. Der Näherungsfehler der n-ten Ableitung ist die Differenz: .

Um die Näherungsordnung zu bestimmen, wird die Taylor-Reihenentwicklung verwendet.

Betrachten wir die rechte Differenzennäherung der ersten Ableitung:

Diese. die richtige Differenzableitung hat zuerst von h Reihenfolge der Annäherung.

Das Gleiche gilt für die linke Differenzableitung.

Die zentrale Differenzableitung hat Näherung zweiter Ordnung.

Auch die Näherung der zweiten Ableitung nach Formel (3) weist eine zweite Näherungsordnung auf.

Um eine Differentialgleichung anzunähern, ist es notwendig, alle ihre Ableitungen durch ihre Näherungen zu ersetzen. Betrachten wir Problem (1), (2) und ersetzen wir die Ableitungen in (1):

Als Ergebnis erhalten wir:

(4)

Die Approximationsordnung des ursprünglichen Problems ist 2, weil die zweite und erste Ableitung werden durch Ordnung 2 ersetzt, der Rest – genau.

Anstelle der Differentialgleichungen (1), (2) erhält man also ein System linearer Gleichungen zur Bestimmung an Gitterknoten.

Das Diagramm kann wie folgt dargestellt werden:

d.h. wir haben ein System linearer Gleichungen mit einer Matrix:

Diese Matrix ist tridiagonal, d.h. alle Elemente, die nicht auf der Hauptdiagonale und den beiden angrenzenden Diagonalen liegen, sind gleich Null.

Durch die Lösung des resultierenden Gleichungssystems erhalten wir eine Lösung des ursprünglichen Problems.

Einführung

Bei der Lösung wissenschaftlicher und technischer Probleme ist es häufig erforderlich, ein dynamisches System mathematisch zu beschreiben. Dies geschieht am besten in Form von Differentialgleichungen ( DU) oder Systeme von Differentialgleichungen. Am häufigsten tritt dieses Problem bei der Lösung von Problemen im Zusammenhang mit der Modellierung der Kinetik chemischer Reaktionen und verschiedener Übertragungsphänomene (Wärme, Masse, Impuls) auf – Wärmeübertragung, Mischen, Trocknen, Adsorption, bei der Beschreibung der Bewegung von Makro- und Mikropartikeln.

In manchen Fällen kann eine Differentialgleichung in eine Form umgewandelt werden, in der die höchste Ableitung explizit ausgedrückt wird. Diese Schreibweise nennt man eine nach der höchsten Ableitung aufgelöste Gleichung (in diesem Fall fehlt die höchste Ableitung auf der rechten Seite der Gleichung):

Eine Lösung einer gewöhnlichen Differentialgleichung ist eine Funktion y(x), die für jedes x diese Gleichung in einem bestimmten endlichen oder unendlichen Intervall erfüllt. Der Vorgang des Lösens einer Differentialgleichung wird als Integrieren einer Differentialgleichung bezeichnet.

Historisch gesehen ist die Euler-Methode der erste und einfachste Weg, das Cauchy-Problem für eine ODE erster Ordnung numerisch zu lösen. Es basiert auf der Näherung der Ableitung durch das Verhältnis endlicher Inkremente der abhängigen (y) und unabhängigen (x) Variablen zwischen den Knoten eines einheitlichen Gitters:

wobei y i+1 der gewünschte Wert der Funktion am Punkt x i+1 ist.

Die Genauigkeit der Euler-Methode kann verbessert werden, wenn eine genauere Integrationsformel zur Approximation des Integrals verwendet wird – Trapezformel.

Es stellt sich heraus, dass diese Formel in Bezug auf y i+1 implizit ist (dieser Wert befindet sich sowohl auf der linken als auch auf der rechten Seite des Ausdrucks), das heißt, es handelt sich um eine Gleichung in Bezug auf y i+1, die gelöst werden kann, zum Beispiel numerisch unter Verwendung einer iterativen Methode (in dieser Form kann sie als iterative Formel der einfachen Iterationsmethode betrachtet werden).

Aufbau der Studienarbeit: Die Studienarbeit besteht aus drei Teilen. Der erste Teil enthält eine kurze Beschreibung der Methoden. Im zweiten Teil erfolgt die Formulierung und Lösung des Problems. Im dritten Teil - Softwareimplementierung in Computersprache

Der Zweck der Kursarbeit: das Studium zweier Methoden zur Lösung von Differentialgleichungen – der Euler-Cauchy-Methode und der verbesserten Euler-Methode.

1. Theoretischer Teil

Numerische Differenzierung

Eine Differentialgleichung ist eine Gleichung, die eine oder mehrere Ableitungen enthält. Abhängig von der Anzahl der unabhängigen Variablen werden Differentialgleichungen in zwei Kategorien unterteilt.

Gewöhnliche Differentialgleichungen (ODE)

Partielle Differentialgleichungen.

Gewöhnliche Differentialgleichungen sind Gleichungen, die eine oder mehrere Ableitungen der gewünschten Funktion enthalten. Sie können geschrieben werden als

unabhängige Variable

Die höchste in Gleichung (1) enthaltene Ordnung wird Ordnung der Differentialgleichung genannt.

Die einfachste (lineare) ODE ist Gleichung (1) der Ordnung, aufgelöst in Bezug auf die Ableitung

Eine Lösung der Differentialgleichung (1) ist jede Funktion, die nach ihrer Einsetzung in die Gleichung diese in eine Identität umwandelt.

Das Hauptproblem im Zusammenhang mit der linearen ODE ist als Kasha-Problem bekannt:

Finden Sie eine Lösung für Gleichung (2) in Form einer Funktion, die die Anfangsbedingung (3) erfüllt.

Geometrisch bedeutet dies, dass es erforderlich ist, die Integralkurve zu finden, die durch den Punkt verläuft, wenn Gleichung (2) erfüllt ist.

Numerisch aus Sicht des Kasha-Problems bedeutet: Es ist erforderlich, eine Tabelle von Funktionswerten zu erstellen, die Gleichung (2) und die Anfangsbedingung (3) für ein Segment mit einem bestimmten Schritt erfüllen. Normalerweise wird davon ausgegangen, dass die Anfangsbedingung am linken Ende des Segments angegeben ist.

Die einfachste numerische Methode zur Lösung einer Differentialgleichung ist die Euler-Methode. Es basiert auf der Idee, eine Lösung einer Differentialgleichung grafisch zu konstruieren, bietet aber auch die Möglichkeit, die gewünschte Funktion in numerischer Form oder in einer Tabelle zu finden.

Sei Gleichung (2) mit der Anfangsbedingung gegeben, das heißt, das Kasha-Problem ist gestellt. Lassen Sie uns zunächst das folgende Problem lösen. Finden Sie auf einfachste Weise den Näherungswert der Lösung an einem bestimmten Punkt, an dem es sich um einen relativ kleinen Schritt handelt. Gleichung (2) gibt zusammen mit der Anfangsbedingung (3) die Richtung der Tangente der gewünschten Integralkurve am Punkt mit Koordinaten an

Die Tangentengleichung hat die Form

Wenn wir uns entlang dieser Tangente bewegen, erhalten wir einen ungefähren Wert der Lösung am Punkt:

Wenn Sie an einem Punkt eine Näherungslösung haben, können Sie das zuvor beschriebene Verfahren wiederholen: Konstruieren Sie eine durch diesen Punkt verlaufende Gerade mit einem Winkelkoeffizienten und ermitteln Sie daraus den Näherungswert der Lösung an diesem Punkt

. Beachten Sie, dass diese Linie nicht tangential zur echten Integralkurve verläuft, da uns der Punkt nicht zur Verfügung steht. Wenn er jedoch klein genug ist, liegen die resultierenden Näherungswerte nahe an den genauen Werten der Lösung.

In Fortsetzung dieser Idee bauen wir ein System aus Punkten mit gleichem Abstand auf

Erhalten einer Wertetabelle der erforderlichen Funktion

Eulers Methode besteht aus der zyklischen Anwendung der Formel

Abbildung 1. Grafische Interpretation der Euler-Methode

Methoden zur numerischen Integration von Differentialgleichungen, bei denen Lösungen von einem Knoten zum anderen erhalten werden, werden als schrittweise bezeichnet. Die Euler-Methode ist der einfachste Vertreter der Schritt-für-Schritt-Methoden. Ein Merkmal jeder Schritt-für-Schritt-Methode besteht darin, dass ab dem zweiten Schritt der Anfangswert in Formel (5) selbst ungefähr ist, das heißt, der Fehler bei jedem weiteren Schritt nimmt systematisch zu. Die am häufigsten verwendete Methode zur Beurteilung der Genauigkeit von Schritt-für-Schritt-Methoden zur approximativen numerischen Lösung von ODEs ist die Methode, ein bestimmtes Segment zweimal mit einem Schritt und mit einem Schritt zu durchlaufen

1.1 Verbesserte Euler-Methode

Die Hauptidee dieser Methode: Der nächste nach Formel (5) berechnete Wert ist genauer, wenn der Wert der Ableitung, also der Winkelkoeffizient der Geraden, die die Integralkurve auf dem Segment ersetzt, nicht berechnet wird entlang der linken Kante (d. h. am Punkt), aber in der Mitte des Segments. Da aber der Wert der Ableitung zwischen Punkten nicht berechnet wird, gehen wir zu den Doppelabschnitten mit dem Mittelpunkt über, in dem sich der Punkt befindet, und die Gleichung der Geraden hat die Form:

Und Formel (5) nimmt die Form an

Formel (7) wird nur für angewendet, daher können daraus keine Werte ermittelt werden, daher werden sie mit der Euler-Methode ermittelt, und um ein genaueres Ergebnis zu erhalten, gehen sie wie folgt vor: Von Anfang an mit Formel (5) Sie finden den Wert

(8)

Am Punkt und dann nach Formel (7) mit Schritten gefunden

(9)

Sobald weitere Berechnungen gefunden wurden hergestellt nach Formel (7)

Labor 1

Numerische Lösungsmethoden

Gewöhnliche Differentialgleichungen (4 Stunden)

Bei der Lösung vieler physikalischer und geometrischer Probleme muss man nach einer unbekannten Funktion suchen, die auf einer gegebenen Beziehung zwischen der unbekannten Funktion, ihren Ableitungen und unabhängigen Variablen basiert. Dieses Verhältnis heißt Differentialgleichung , und das Finden einer Funktion, die die Differentialgleichung erfüllt, wird aufgerufen Lösen einer Differentialgleichung.

Gewöhnliche Differentialgleichung Gleichheit genannt

, (1)

indem

ist eine unabhängige Variable, die sich in einem bestimmten Segment ändert, und - unbekannte Funktion j ( X ) und ihr erster N Derivate. angerufen Reihenfolge der Gleichung .

Die Aufgabe besteht darin, eine Funktion y zu finden, die die Gleichung (1) erfüllt. Darüber hinaus gehen wir, ohne dies gesondert festzulegen, davon aus, dass die gewünschte Lösung den einen oder anderen Grad an Glätte aufweist, der für die Konstruktion und „legale“ Anwendung der einen oder anderen Methode erforderlich ist.

Es gibt zwei Arten gewöhnlicher Differentialgleichungen

Gleichungen ohne Anfangsbedingungen

Gleichungen mit Anfangsbedingungen.

Gleichungen ohne Anfangsbedingungen sind Gleichungen der Form (1).

Gleichung mit Anfangsbedingungen ist eine Gleichung der Form (1), in der es erforderlich ist, eine solche Funktion zu finden

, was für einige die folgenden Bedingungen erfüllt: ,

diese. am Punkt

Die Funktion und ihre ersten Ableitungen nehmen vorgegebene Werte an.

Cauchy-Probleme

Beim Studium von Methoden zur Lösung von Differentialgleichungen mit Näherungsmethoden Hauptaufgabe zählt Cauchy-Problem.

Betrachten wir die beliebteste Methode zur Lösung des Cauchy-Problems – die Runge-Kutta-Methode. Mit dieser Methode können Sie Formeln zur Berechnung einer Näherungslösung mit nahezu jeder Genauigkeitsordnung erstellen.

Lassen Sie uns die Formeln der Runge-Kutta-Methode zweiter Ordnung herleiten. Dazu stellen wir die Lösung als Teil einer Taylor-Reihe dar und verwerfen Terme mit einer höheren Ordnung als der zweiten. Dann der ungefähre Wert der gewünschten Funktion an der Stelle X 1 kann geschrieben werden als:

(2)

Zweite Ableitung j "( X 0 ) kann durch die Ableitung der Funktion ausgedrückt werden F ( X , j ) Bei der Runge-Kutta-Methode wird jedoch anstelle der Ableitung die Differenz verwendet

Parameterwerte entsprechend auswählen

Dann kann (2) umgeschrieben werden als:

j 1 = j 0 + H [ β F ( X 0 , j 0 ) + α F ( X 0 + γh , j 0 + δh )], (3)

Wo α , β , γ Und δ – einige Parameter.

Betrachten wir die rechte Seite von (3) als Funktion des Arguments H , Teilen wir es in Grad auf H :

j 1 = j 0 +( α + β ) H F ( X 0 , j 0 ) + αh 2 [ γ f x ( X 0 , j 0 ) + δ f y ( X 0 , j 0 )],

und wählen Sie die Parameter aus α , β , γ Und δ so dass diese Entwicklung nahe an (2) liegt. Es folgt dem

α + β =1, αγ =0,5, α δ =0,5 F ( X 0 , j 0 ).

Mit diesen Gleichungen drücken wir aus β , γ Und δ über Parameter α , wir bekommen

j 1 = j 0 + H [(1 - α ) F ( X 0 , j 0 ) + α F ( X 0 +, j 0 + F ( X 0 , j 0 )], (4)

0 < α ≤ 1.

Wenn nun statt ( X 0 , j 0 ) in (4) ersetzen Sie ( X 1 , j 1 ), erhalten wir eine Formel zur Berechnung j 2 – Näherungswert der gewünschten Funktion am Punkt X 2 .

Im allgemeinen Fall wird die Runge-Kutta-Methode auf eine beliebige Partition des Segments angewendet [ X 0 , X ] An N Teile, d.h. mit variabler Tonhöhe

x 0 , x 1 , …, x n ; h i = x i+1 – x i , x n = X. (5)

Optionen α werden gleich 1 oder 0,5 gewählt. Schreiben wir abschließend die Berechnungsformeln des Runge-Kutta-Verfahrens zweiter Ordnung mit variablen Schritten für auf α =1:

y i+1 =y i +h i f(x i + , y i + f(x i , y i)), (6.1)

ich = 0, 1,…, N -1.

Und α =0,5:

y i+1 =y i + , (6.2)

ich = 0, 1,…, N -1.

Die am häufigsten verwendeten Formeln der Runge-Kutta-Methode sind Formeln der vierten Genauigkeitsordnung:

y i+1 =y i + (k 1 + 2k 2 + 2k 3 + k 4),

k 1 =f(x i , y i), k 2 = f(x i + , y i + k 1), (7)

k 3 = f(x i + , y i + k 2), k 4 = f(x i +h, y i +hk 3).

Für die Runge-Kutta-Methode gilt die Runge-Regel zur Fehlerschätzung. Lassen j ( X ; H ) – ungefährer Wert der Lösung zum jeweiligen Zeitpunkt X , erhalten durch die Formeln (6.1), (6.2) oder (7) mit Schritt H , A P – die Reihenfolge der Genauigkeit der entsprechenden Formel. Dann der Fehler R ( H ) Werte j ( X ; H ) lässt sich anhand eines Näherungswerts abschätzen j ( X ; 2 H ) Lösungen an einem Punkt X , in Schritten erhalten 2 H :

(8)

Wo P =2 für die Formeln (6.1) und (6.2) und P =4 für (7).