I = ∑r ich 2 dF i =∫r 2 dF (1.1)
Im Prinzip sind sowohl die Definition als auch die Formel, die sie beschreibt, nicht kompliziert und es ist viel einfacher, sich an sie zu erinnern, als das Wesentliche zu verstehen. Versuchen wir dennoch herauszufinden, was das Trägheitsmoment ist und woher es kommt.
Das Konzept des Trägheitsmoments stammt aus einem anderen Zweig der Physik, der die Kinematik von Bewegungen, insbesondere Rotationsbewegungen, untersucht. Aber fangen wir trotzdem von weitem an.
Ich weiß nicht genau, ob ein Apfel auf Isaac Newtons Kopf gefallen ist, ob er in der Nähe gefallen ist oder ob er überhaupt nicht gefallen ist; außerdem lässt dieser Apfel zu viel zu aus der biblischen Legende über den Baum der Erkenntnis), aber ich bin sicher, dass Newton ein aufmerksamer Mensch war, der aus seinen Beobachtungen Schlussfolgerungen ziehen konnte. So ermöglichten Beobachtung und Vorstellungskraft Newton, das Grundgesetz der Dynamik (Newtons zweites Gesetz) zu formulieren, nach dem die Masse eines Körpers bestimmt wird M, multipliziert mit der Beschleunigung A, ist gleich der wirkenden Kraft Q(Tatsächlich ist die Bezeichnung F für Kraft gebräuchlicher, aber da wir uns im Folgenden mit der Fläche befassen werden, die auch oft mit F bezeichnet wird, verwende ich die Bezeichnung Q für die äußere Kraft, die in der theoretischen Mechanik als konzentrierte Last betrachtet wird, Tatsächlich ändert sich das nicht):
Q = ma (1.2)
Für mich liegt Newtons Größe gerade in der Einfachheit und Klarheit dieser Definition. Und auch, wenn wir das bei gleichmäßig beschleunigter Bewegung berücksichtigen, Beschleunigung A gleich dem Geschwindigkeitsinkrementverhältnis ΔV auf einen Zeitraum Δt, während der sich die Geschwindigkeit änderte:
a = Δv/Δt = (v - v о)/t (1.3.1)
bei V o = 0 a = v/t (1.3.2)
Dann können Sie die grundlegenden Parameter der Bewegung bestimmen, wie Entfernung, Geschwindigkeit, Zeit und sogar Impuls R, charakterisierend das Ausmaß der Bewegung:
p = mv (1.4)
Beispielsweise braucht ein Apfel, der allein unter dem Einfluss der Schwerkraft aus unterschiedlichen Höhen fällt, unterschiedlich lange, um den Boden zu erreichen, hat im Moment der Landung unterschiedliche Geschwindigkeiten und dementsprechend unterschiedliche Impulse. Mit anderen Worten: Ein Apfel, der aus größerer Höhe fällt, braucht länger zum Fliegen und wird dem unglücklichen Beobachter heftiger auf die Stirn krachen. Und Newton hat das alles auf eine einfache und verständliche Formel gebracht.
Newton formulierte auch das Trägheitsgesetz (Newtons erstes Gesetz): wenn Beschleunigung a = 0, dann ist es in einem Inertialbezugssystem unmöglich zu bestimmen, ob der beobachtete Körper, auf den keine äußeren Kräfte einwirken, ruht oder sich geradlinig mit konstanter Geschwindigkeit bewegt. Diese Eigenschaft materieller Körper, ihre Geschwindigkeit beizubehalten, auch wenn sie Null ist, wird Trägheit genannt. Das Maß für die Trägheit ist die träge Masse des Körpers. Manchmal wird die träge Masse als träge bezeichnet, aber das ändert nichts am Wesen der Sache. Man geht davon aus, dass die träge Masse gleich der schweren Masse ist und daher wird oft nicht angegeben, welche Masse gemeint ist, sondern einfach die Masse des Körpers genannt.
Nicht weniger wichtig und bedeutsam ist das dritte Newtonsche Gesetz, wonach die Aktionskraft gleich der Reaktionskraft ist, wenn die Kräfte in einer geraden Linie, aber in entgegengesetzte Richtungen gerichtet sind. Trotz ihrer scheinbaren Einfachheit ist diese Schlussfolgerung von Newton brillant und die Bedeutung dieses Gesetzes kann kaum überschätzt werden. Eine der Anwendungen dieses Gesetzes wird im Folgenden erörtert.
Diese Bestimmungen gelten jedoch nur für Körper, die sich translatorisch bewegen, d. h. auf einer geraden Bahn und gleichzeitig bewegen sich alle materiellen Punkte solcher Körper mit der gleichen Geschwindigkeit bzw. der gleichen Beschleunigung. Bei einer krummlinigen Bewegung und insbesondere bei einer Rotationsbewegung, beispielsweise wenn sich ein Körper um seine Symmetrieachse dreht, bewegen sich die materiellen Punkte eines solchen Körpers im Raum mit der gleichen Winkelgeschwindigkeit w, aber gleichzeitig die lineare Geschwindigkeit v Verschiedene Punkte haben unterschiedliche Werte und diese lineare Geschwindigkeit ist direkt proportional zur Entfernung R von der Drehachse bis zu diesem Punkt:
v=wr (1.5)
In diesem Fall ist die Winkelgeschwindigkeit gleich dem Verhältnis der Drehwinkelinkremente Δφ auf einen Zeitraum Δt, bei dem sich der Drehwinkel geändert hat:
w = Δφ/Δt = (φ - φ о)/t (1.6.1)
bei φ o = 0 w = φ/t (1.7.2)
entsprechend normale Beschleunigung ein während der Rotationsbewegung ist es gleich:
a n = v 2 /r = w 2 r (1.8)
Und es zeigt sich, dass wir für Rotationsbewegungen die Formel (1.2) nicht direkt verwenden können, da bei Rotationsbewegungen der Wert der Körpermasse allein nicht ausreicht; wir müssen auch die Verteilung dieser Masse im Körper kennen; Es stellt sich heraus, dass je näher die materiellen Punkte des Körpers an der Rotationsachse liegen, desto weniger Kraft muss aufgewendet werden, um den Körper in Drehung zu versetzen, und umgekehrt, je weiter die materiellen Punkte des Körpers von der Rotationsachse entfernt sind. desto größer ist die Kraft, die aufgewendet werden muss, um den Körper in Rotation zu versetzen (in diesem Fall handelt es sich um die Krafteinwirkung am gleichen Punkt). Darüber hinaus ist es beim Drehen eines Körpers bequemer, nicht die wirkende Kraft, sondern das Drehmoment zu berücksichtigen, da bei der Rotationsbewegung auch der Angriffspunkt der Kraft von großer Bedeutung ist.
Die erstaunlichen Eigenschaften des Drehmoments sind uns seit der Zeit von Archimedes bekannt, und wenn wir das Konzept des Drehmoments auf Drehbewegungen anwenden, dann ist die Bedeutung des Drehmoments klar M wird umso größer, je größer der Abstand ist R von der Drehachse bis zum Kraftangriffspunkt F(In der Strukturmechanik wird eine äußere Kraft oft als bezeichnet R oder Q):
M = Qr (1.9)
Aus dieser ebenfalls nicht sehr komplizierten Formel folgt, dass, wenn eine Kraft entlang der Drehachse ausgeübt wird, keine Drehung erfolgt, da r = 0, und wenn die Kraft im maximalen Abstand von der Drehachse ausgeübt wird, dann Der Wert des Augenblicks wird maximal sein. Und wenn wir in Formel (1.9) den Wert der Kraft aus Formel (1.2) und den Wert der Normalbeschleunigung und Formel (1.8) einsetzen, erhalten wir die folgende Gleichung:
M = mw 2 r r = mw 2 r 2 (1.10)
In dem besonderen Fall, dass der Körper ein materieller Punkt ist, dessen Abmessungen viel kleiner sind als der Abstand von diesem Punkt zur Rotationsachse, ist Gleichung (1.10) in ihrer reinen Form anwendbar. Bei einem Körper, der sich um eine seiner Symmetrieachsen dreht, ist jedoch der Abstand von jedem materiellen Punkt, aus dem dieser Körper besteht, immer kleiner als eine der geometrischen Abmessungen des Körpers und daher ist die Verteilung der Körpermasse von großer Bedeutung. In diesem Fall müssen diese Abstände für jeden Punkt separat berücksichtigt werden:
M = ∑r i 2 w 2 m ich (1.11.1)
М с = w 2 ∫r 2 dm
Und dann stellt sich heraus, dass nach dem dritten Newtonschen Gesetz als Reaktion auf die Wirkung des Drehmoments das sogenannte Trägheitsmoment entsteht ICH. In diesem Fall sind die Werte von Drehmoment und Trägheitsmoment gleich und die Momente selbst sind in entgegengesetzte Richtungen gerichtet. Bei einer konstanten Drehwinkelgeschwindigkeit, zum Beispiel w = 1, sind die Hauptgrößen, die das Drehmoment oder Trägheitsmoment charakterisieren, die Masse der materiellen Punkte, aus denen der Körper besteht, und die Abstände dieser Punkte zur Drehachse. Daraus ergibt sich, dass die Formel für das Trägheitsmoment wie folgt aussieht:
[- M] = I = ∑r i 2 m ich (1.12.1)
I c = ∫r 2 dm(1.11.2) - wenn sich der Körper um die Symmetrieachse dreht
Wo ICH- die allgemein anerkannte Bezeichnung für das Trägheitsmoment, Ic- Bezeichnung des axialen Trägheitsmoments des Körpers, kg/m 2. Für einen homogenen Körper mit gleicher Dichte ρ im gesamten Körper V Die Formel für das axiale Trägheitsmoment eines Körpers lässt sich wie folgt schreiben:
I c = ∫ρr 2 dV (1.13)
Somit ist das Trägheitsmoment ein Maß für die Trägheit eines Körpers bei einer Rotationsbewegung, ebenso wie die Masse ein Maß für die Trägheit eines Körpers bei einer translatorischen geradlinigen Bewegung ist.
Der Kreis hat sich geschlossen. Und hier stellt sich möglicherweise die Frage, was all diese Gesetze der Dynamik und Kinematik mit der Berechnung statischer Gebäudestrukturen zu tun haben. Es stellt sich heraus, dass beides nicht das Direkteste und Unmittelbarste ist. Erstens, weil all diese Formeln von Physikern und Mathematikern in jenen fernen Zeiten abgeleitet wurden, als Disziplinen wie „Theoretische Mechanik“ oder „Theorie der Festigkeit von Materialien“ einfach noch nicht existierten. Und zweitens, weil die gesamte Berechnung von Bauwerken auf den aufgezeigten Gesetzen und Formulierungen und der noch von niemandem widerlegten Aussage über die Gleichheit von schwerer und träger Masse basiert. Aber in der Theorie der Festigkeit von Materialien ist alles noch einfacher, so paradox es auch klingen mag.
Und es ist einfacher, weil bei der Lösung bestimmter Probleme nicht der gesamte Körper berücksichtigt werden kann, sondern nur sein Querschnitt und gegebenenfalls mehrere Querschnitte. Aber in diesen Abschnitten wirken die gleichen physikalischen Kräfte, wenn auch etwas anderer Natur. Wenn wir also einen bestimmten Körper betrachten, dessen Länge konstant ist und der Körper selbst homogen ist, dann berücksichtigen wir die konstanten Parameter Länge und Dichte nicht ( l = const, ρ = const) - wir erhalten ein Querschnittsmodell. Für einen solchen Querschnitt gilt aus mathematischer Sicht die folgende Gleichung:
I ð = ∫r 2 dF (2.1) → (1.1)
Wo Ip- polares Trägheitsmoment des Querschnitts, m 4. Als Ergebnis erhielten wir die Formel, mit der wir begonnen haben (aber ob klarer geworden ist, wie groß das Trägheitsmoment eines Abschnitts ist, weiß ich nicht).
Da in der Festigkeitstheorie von Materialien häufig rechteckige Abschnitte berücksichtigt werden und das rechteckige Koordinatensystem bequemer ist, werden bei der Lösung von Problemen üblicherweise zwei axiale Trägheitsmomente des Querschnitts berücksichtigt:
I z = ∫y 2 dF (2.2.1)
I y = ∫z 2 dF (2.2.2)
Bild 1. Koordinatenwerte bei der Ermittlung axialer Trägheitsmomente.
Hier stellt sich möglicherweise die Frage, warum Achsen verwendet werden z Und bei, und nicht die bekannteren X Und bei? Es ist einfach so, dass die Bestimmung der Kräfte in einem Querschnitt und die Auswahl eines Abschnitts, der Betriebsbeanspruchungen in Höhe der aufgebrachten Kräfte standhalten kann, zwei verschiedene Aufgaben sind. Die erste Aufgabe – die Bestimmung der Kräfte – wird durch die Strukturmechanik gelöst, die zweite Aufgabe – die Auswahl der Querschnitte – wird durch die Festigkeitslehre der Werkstoffe gelöst. Gleichzeitig wird in der Strukturmechanik bei der Lösung einfacher Probleme häufig ein Stab (bei geradlinigen Strukturen) mit einer bestimmten Länge berücksichtigt l, und die Höhe und Breite des Abschnitts werden nicht berücksichtigt, während es als Achse betrachtet wird X verläuft genau durch die Schwerpunkte aller Querschnitte und damit bei der Konstruktion von Diagrammen (manchmal recht komplex) auch über die Länge l es wird präzise entlang der Achse abgelegt X und entlang der Achse bei die Werte der Plots werden aufgetragen. Dabei berücksichtigt die Festigkeitstheorie genau den Querschnitt, bei dem Breite und Höhe wichtig sind, die Länge bleibt jedoch unberücksichtigt. Natürlich werden bei der Lösung von Problemen der Festigkeitstheorie, die teilweise auch recht komplex sind, dieselben bekannten Achsen verwendet X Und bei. Dieser Sachverhalt erscheint mir nicht ganz korrekt, da es sich trotz des Unterschieds immer noch um verwandte Aufgaben handelt und es daher sinnvoller wäre, gemeinsame Achsen für die zu berechnende Struktur zu verwenden.
Der Wert des polaren Trägheitsmoments in einem rechtwinkligen Koordinatensystem beträgt:
I ð = ∫r 2 dF =∫y 2 dF + ∫z 2 dF (2.3)
Denn in einem rechtwinkligen Koordinatensystem ist der Radius die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks, und wie Sie wissen, ist das Quadrat der Hypotenuse gleich der Summe der Quadrate der Schenkel. Und es gibt auch das Konzept des Zentrifugalträgheitsmoments des Querschnitts:
I xz = ∫xzdF(2.4)
Unter den Achsen des rechtwinkligen Koordinatensystems, die durch den Schwerpunkt des Querschnitts verlaufen, gibt es zwei zueinander senkrechte Achsen, relativ zu denen die axialen Trägheitsmomente maximale und minimale Werte annehmen, während das zentrifugale Trägheitsmoment der Abschnitt Ich zy = 0. Solche Achsen werden als Hauptmittelachsen des Querschnitts bezeichnet, und die Trägheitsmomente um solche Achsen werden als Hauptzentralträgheitsmomente bezeichnet
Wenn wir in der Festigkeitstheorie von Werkstoffen von Trägheitsmomenten sprechen, meinen wir in der Regel die zentralen Hauptträgheitsmomente des Querschnitts. Bei quadratischen, rechteckigen und kreisförmigen Querschnitten fallen die Hauptachsen mit den Symmetrieachsen zusammen. Querschnittsträgheitsmomente werden auch geometrische Trägheitsmomente oder Flächenträgheitsmomente genannt, der Kern bleibt jedoch derselbe.
Grundsätzlich besteht kein großer Bedarf, die Werte der Hauptträgheitsmomente für die Querschnitte der gängigsten geometrischen Formen – Quadrat, Rechteck, Kreis, Rohr, Dreieck und einige andere – zu bestimmen. Solche Trägheitsmomente sind seit langem definiert und allgemein bekannt. Und bei der Berechnung axialer Trägheitsmomente für Abschnitte komplexer geometrischer Formen gilt das Huygens-Steiner-Theorem:
I = I c + r 2 F (2.5)
Wenn also die Flächen und Schwerpunkte einfacher geometrischer Figuren bekannt sind, aus denen ein komplexer Abschnitt besteht, wird es nicht schwierig sein, den Wert des axialen Trägheitsmoments des gesamten Abschnitts zu bestimmen. Und um den Schwerpunkt eines komplexen Querschnitts zu bestimmen, werden die statischen Momente des Querschnitts verwendet. Statische Momente werden in einem anderen Artikel ausführlicher besprochen, ich füge sie hier einfach hinzu. Die physikalische Bedeutung des statischen Moments ist wie folgt: Das statische Moment eines Körpers ist die Summe der Momente für die materiellen Punkte, aus denen der Körper besteht, relativ zu einem Punkt (polares statisches Moment) oder relativ zu einer Achse (axiales statisches Moment). ), und da das Moment das Produkt aus Kraft und Arm ist (1.9), dann wird das statische Moment des Körpers entsprechend bestimmt:
S = ∑M = ∑r ich M ich= ∫rdm (2.6)
und dann ist das polare statische Moment des Querschnitts:
S ð = ∫rdF (2.7)
Wie Sie sehen, ähnelt die Definition des statischen Moments der Definition des Trägheitsmoments. Aber es gibt einen grundlegenden Unterschied. Das statische Moment wird statisch genannt, weil bei einem Körper, auf den die Schwerkraft einwirkt, das statische Moment relativ zum Schwerpunkt gleich Null ist. Mit anderen Worten: Ein solcher Körper befindet sich im Gleichgewichtszustand, wenn die Stütze am Schwerpunkt des Körpers anliegt. Und nach dem ersten Newtonschen Gesetz befindet sich ein solcher Körper entweder in Ruhe oder bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit, d. h. Beschleunigung = 0. Und aus rein mathematischer Sicht kann das statische Drehmoment aus dem einfachen Grund gleich Null sein, weil bei der Bestimmung des statischen Drehmoments die Wirkungsrichtung des Drehmoments berücksichtigt werden muss. Beispielsweise sind die Flächen des oberen und unteren Teils des Rechtecks relativ zu den Koordinatenachsen, die durch den Schwerpunkt des Rechtecks verlaufen, positiv, da sie die in eine Richtung wirkende Schwerkraft symbolisieren. In diesem Fall kann der Abstand von der Achse zum Schwerpunkt als positiv betrachtet werden (bedingt: Das Moment aus der Schwerkraft des oberen Teils des Rechtecks versucht, den Abschnitt im Uhrzeigersinn zu drehen) und zum Schwerpunkt von der untere Teil - als negativ (bedingt: Das Moment aus der Schwerkraft des unteren Teils des Rechtecks versucht, den Abschnitt gegen den Uhrzeigersinn zu drehen). Und da solche Flächen numerisch gleich sind und den Abständen von den Schwerpunkten des oberen Teils des Rechtecks und des unteren Teils des Rechtecks gleich sind, ist die Summe der wirkenden Momente die gewünschte 0.
S z = ∫ydF = 0 (2.8)
Dieser große Nullpunkt ermöglicht auch die Bestimmung der Auflagerreaktionen von Bauwerken. Betrachtet man ein Bauwerk, auf das beispielsweise an einem bestimmten Punkt eine Einzellast Q einwirkt, so kann man ein solches Bauwerk als einen Körper betrachten, dessen Schwerpunkt am Kraftangriffspunkt liegt und der Unter Auflagerreaktionen versteht man in diesem Fall Kräfte, die an den Auflagerpunkten wirken. Wenn man also den Wert der Einzellast Q und den Abstand vom Angriffspunkt der Last zu den Stützen der Gebäudestruktur kennt, ist es möglich, die Stützreaktionen zu bestimmen. Beispielsweise ist bei einem einfach auf zwei Stützen gelagerten Balken der Wert der Stützreaktionen proportional zum Abstand zum Angriffspunkt der Kraft und die Summe der Stützreaktionen entspricht der aufgebrachten Last. Aber in der Regel geht man bei der Ermittlung der Auflagerreaktionen noch einfacher vor: Als Schwerpunkt wird eine der Auflager genommen, dann ist die Summe der Momente aus der aufgebrachten Last und den übrigen Auflagerreaktionen immer noch gleich Null. In diesem Fall ist das Moment aus der Stützreaktion, bezüglich dessen die Momentengleichung erstellt wird, gleich Null, da der Arm der Kraft = 0 ist, was bedeutet, dass in der Summe der Momente nur zwei Kräfte übrig bleiben: die aufgebrachte Last und die unbekannte Stützreaktion (für statisch bestimmte Strukturen).
Der grundlegende Unterschied zwischen dem statischen Moment und dem Trägheitsmoment besteht also darin, dass das statische Moment den Abschnitt charakterisiert, den die Schwerkraft relativ zum Schwerpunkt oder der Symmetrieachse in zwei Hälften zu brechen versucht, und das Moment davon Trägheit charakterisiert den Körper, dessen materielle Punkte sich bewegen (oder versuchen, sich in eine Richtung zu bewegen). Vielleicht helfen die folgenden eher konventionellen Berechnungsschemata für einen rechteckigen Querschnitt, diesen Unterschied klarer vorzustellen:
Figur 2. Deutlicher Unterschied zwischen statischem Moment und Trägheitsmoment.
Kommen wir nun noch einmal auf die Kinematik der Bewegung zurück. Zieht man Analogien zwischen den in den Querschnitten von Bauwerken auftretenden Spannungen und verschiedenen Bewegungsarten, so entstehen in zentral gedehnten und zentral komprimierten Elementen Spannungen, die über die gesamte Querschnittsfläche gleichmäßig sind. Diese Belastungen können mit der Einwirkung einer Kraft auf einen Körper verglichen werden, bei der sich der Körper geradlinig und progressiv bewegt. Und das Interessanteste ist, dass sich die Querschnitte zentral gedehnter oder zentral gestauchter Elemente tatsächlich bewegen, da die wirkenden Spannungen zu Verformungen führen. Und das Ausmaß solcher Verformungen kann für jeden Querschnitt der Struktur bestimmt werden. Dazu reicht es aus, den Wert der wirksamen Spannungen, die Länge des Elements, die Querschnittsfläche und den Elastizitätsmodul des Materials zu kennen, aus dem die Struktur besteht.
Bei biegsamen Elementen bleiben die Querschnitte auch nicht an Ort und Stelle, sondern bewegen sich, und die Bewegung der Querschnitte der biegsamen Elemente ähnelt der Drehung eines bestimmten Körpers um eine bestimmte Achse. Wie Sie wahrscheinlich bereits vermutet haben, können Sie mit dem Trägheitsmoment den Neigungswinkel des Querschnitts und die Verschiebung bestimmen Δ l für die Extrempunkte des Abschnitts. Diese Extrempunkte für einen rechteckigen Abschnitt liegen in einem Abstand, der der halben Höhe des Abschnitts entspricht (warum, wird im Artikel „Grundlagen der Festigkeitsfestigkeit. Bestimmung der Durchbiegung“ ausführlich beschrieben). Dadurch lässt sich wiederum die Durchbiegung der Struktur bestimmen.
Und das Trägheitsmoment ermöglicht es Ihnen, das Widerstandsmoment des Abschnitts zu bestimmen. Dazu muss einfach das Trägheitsmoment durch den Abstand vom Schwerpunkt des Abschnitts zum am weitesten entfernten Punkt des Abschnitts geteilt werden, bei einem rechteckigen Abschnitt durch h/2. Und da die untersuchten Abschnitte nicht immer symmetrisch sind, kann der Wert des Widerstandsmoments für verschiedene Abschnitte unterschiedlich sein.
Und alles begann mit einem banalen Apfel... obwohl nein, alles begann mit einem Wort.
Wir hören oft die Ausdrücke: „es ist träge“, „sich durch Trägheit bewegen“, „Trägheitsmoment“. Im übertragenen Sinne kann das Wort „Trägheit“ als Mangel an Initiative und Handeln interpretiert werden. Uns interessiert die direkte Bedeutung.
Was ist Trägheit?
Laut Definition Trägheit In der Physik ist es die Fähigkeit von Körpern, einen Ruhe- oder Bewegungszustand ohne äußere Kräfte aufrechtzuerhalten.
Wenn mit dem Konzept der Trägheit auf intuitiver Ebene alles klar ist, dann Trägheitsmoment– eine separate Frage. Stimmen Sie zu, es ist schwer, sich vorzustellen, was es ist. In diesem Artikel erfahren Sie, wie Sie grundlegende Probleme zum Thema lösen "Trägheitsmoment".
Bestimmung des Trägheitsmoments
Aus dem Schulunterricht ist das bekannt Masse – ein Maß für die Trägheit eines Körpers. Wenn wir zwei Karren unterschiedlicher Masse schieben, wird es schwieriger, den schwereren anzuhalten. Das heißt, je größer die Masse, desto größer ist der äußere Einfluss, der erforderlich ist, um die Bewegung des Körpers zu verändern. Was betrachtet wird, gilt für die translatorische Bewegung, wenn sich der Wagen aus dem Beispiel geradlinig bewegt.
In Analogie zur Masse und zur translatorischen Bewegung ist das Trägheitsmoment ein Maß für die Trägheit eines Körpers bei rotatorischer Bewegung um eine Achse.
Trägheitsmoment– eine skalare physikalische Größe, ein Maß für die Trägheit eines Körpers bei der Drehung um eine Achse. Mit dem Buchstaben gekennzeichnet J und im System SI gemessen in Kilogramm mal einem Quadratmeter.
Wie berechnet man das Trägheitsmoment? In der Physik gibt es eine allgemeine Formel, mit der das Trägheitsmoment eines Körpers berechnet wird. Wenn ein Körper in unendlich kleine Stücke mit einer Masse zerlegt wird dm , dann ist das Trägheitsmoment gleich der Summe der Produkte dieser Elementarmassen mit dem Quadrat des Abstands zur Rotationsachse.
Dies ist die allgemeine Formel für das Trägheitsmoment in der Physik. Für einen materiellen Massenpunkt M , rotierend um eine Achse in einiger Entfernung R Daraus ergibt sich für diese Formel die Form:
Satz von Steiner
Wovon hängt das Trägheitsmoment ab? Aus Masse, Lage der Rotationsachse, Form und Größe des Körpers.
Der Satz von Huygens-Steiner ist ein sehr wichtiger Satz, der häufig zur Lösung von Problemen verwendet wird.
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Das Huygens-Steiner-Theorem besagt:
Das Trägheitsmoment eines Körpers relativ zu einer beliebigen Achse ist gleich der Summe des Trägheitsmoments des Körpers relativ zu einer Achse, die durch den Massenschwerpunkt parallel zu einer beliebigen Achse verläuft, und dem Produkt aus Körpermasse und Quadrat des Abstandes zwischen den Achsen.
Für diejenigen, die bei der Lösung von Problemen zur Ermittlung des Trägheitsmoments nicht ständig integrieren möchten, präsentieren wir eine Zeichnung, die die Trägheitsmomente einiger homogener Körper zeigt, die bei Problemen häufig vorkommen:
Ein Beispiel für die Lösung eines Problems zur Ermittlung des Trägheitsmoments
Schauen wir uns zwei Beispiele an. Die erste Aufgabe besteht darin, das Trägheitsmoment zu ermitteln. Die zweite Aufgabe besteht darin, das Huygens-Steiner-Theorem zu verwenden.
Aufgabe 1. Finden Sie das Trägheitsmoment einer homogenen Scheibe mit der Masse m und dem Radius R. Die Rotationsachse verläuft durch den Mittelpunkt der Scheibe.
Lösung:
Teilen wir die Scheibe in unendlich dünne Ringe, deren Radius variiert 0 Vor R und betrachten Sie einen solchen Ring. Sein Radius sei R, und Masse – dm. Dann ist das Trägheitsmoment des Rings:
Die Masse des Rings kann wie folgt dargestellt werden:
Hier dz– Höhe des Rings. Setzen wir die Masse in die Formel für das Trägheitsmoment ein und integrieren wir:
Das Ergebnis war eine Formel für das Trägheitsmoment einer absolut dünnen Scheibe oder eines absolut dünnen Zylinders.
Aufgabe 2. Es sei wieder eine Scheibe mit der Masse m und dem Radius R. Jetzt müssen wir das Trägheitsmoment der Scheibe relativ zu der Achse ermitteln, die durch die Mitte eines ihrer Radien verläuft.
Lösung:
Das Trägheitsmoment der Scheibe relativ zur Achse durch den Massenschwerpunkt ist aus dem vorherigen Problem bekannt. Wenden wir den Satz von Steiner an und finden:
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Wir hoffen, dass Sie in dem Artikel etwas Nützliches für sich finden. Sollten bei der Berechnung des Trägheitstensors Schwierigkeiten auftreten, vergessen Sie nicht den Studierendenservice. Unsere Spezialisten beraten Sie zu allen Fragen und helfen Ihnen, das Problem innerhalb weniger Minuten zu lösen.
Rechteckiger Abschnitt.
Ein rechteckiger Querschnitt hat zwei Symmetrieachsen und die Hauptmittelachsen Cx und Cy verlaufen durch die Mittelpunkte der parallelen Seiten.
Zentrales Hauptträgheitsmoment um die x-Achse
In diesem Fall kann die Elementarfläche dA als Streifen mit der gesamten Breite des Abschnitts und der Dicke dy dargestellt werden, was dA=b*dy bedeutet. Setzen wir den Wert dA unter das Integralzeichen und integrieren wir über die gesamte Fläche, d.h. innerhalb der Grenzen der Änderung der Ordinate y von –h/2 auf +h/2 erhalten wir
Endlich
Ebenso erhalten wir die Formel für das Hauptträgheitsmoment eines Rechtecks relativ zur y-Achse:
Runder Abschnitt
Bei einem Kreis sind die Hauptträgheitsmomente um die x- und y-Achse gleich.
Daher aus der Gleichheit 
Dreieck
2. Änderung der Trägheitsmomente beim Übergang von Mittelachsen zu Parallelachsen:
J x1 =J x + a 2 A;
J y1 =J y + b 2 A;
Das Trägheitsmoment um eine beliebige Achse ist gleich dem Trägheitsmoment um die Mittelachse parallel zu dieser, plus dem Produkt aus der Fläche der Figur und dem Quadrat des Abstands zwischen den Achsen. J y 1 x 1 =J yx + abF; („a“ und „b“ werden unter Berücksichtigung ihres Vorzeichens in die Formel eingesetzt).
3.Ändernde Trägheitsmomente beim Drehen von Achsen
J x1 =J x cos 2 + J y sin 2 - J xy sin2; J y1 =J y cos 2 + J x sin 2 + J xy sin2;
J x1y1 =(J x - J y)sin2 + J xy cos2 ;
Winkel >0, wenn der Übergang vom alten Koordinatensystem zum neuen gegen den Uhrzeigersinn erfolgt. J y1 + J x1 = J y + J x
Als extreme (maximale und minimale) Werte der Trägheitsmomente werden bezeichnet Hauptträgheitsmomente. Die Achsen, um die die axialen Trägheitsmomente Extremwerte haben, werden aufgerufen Hauptträgheitsachsen. Die Hauptträgheitsachsen stehen senkrecht zueinander. Fliehkraftträgheitsmomente um die Hauptachsen = 0, d.h. Hauptträgheitsachsen – Achsen, um die das Zentrifugalträgheitsmoment = 0 ist. Wenn eine der Achsen oder beide mit der Symmetrieachse zusammenfallen, dann sind sie die Hauptachsen. Winkel, der die Position der Hauptachsen definiert: 
, Wenn
0 >0 Achsen drehen gegen den Uhrzeigersinn. Die maximale Achse bildet immer einen kleineren Winkel mit derjenigen der Achsen, relativ zu denen das Trägheitsmoment einen größeren Wert hat. Die durch den Schwerpunkt verlaufenden Hauptachsen werden genannt Hauptmittelträgheitsachsen. Trägheitsmomente um diese Achsen: 
J max + J min = J x + J y . Das Zentrifugalträgheitsmoment relativ zu den zentralen Hauptträgheitsachsen beträgt 0. Wenn die Hauptträgheitsmomente bekannt sind, lauten die Formeln für den Übergang zu gedrehten Achsen:
J x 1 =J max cos 2 + J min sin 2 ; J y 1 =J max cos 2 + J min sin 2 ; J x 1 y 1 =(J max - J min)sin2;
4.Klassifizierung von Strukturelementen
Die Stange angerufen Geom-Körper, bei denen eine der Größen viel größer ist als die anderen.
Platten oder Muscheln– das ist das Geom von Körpern, die eine der Größen haben<< других
Massive Körper- Alle Größen sind in der gleichen Reihenfolge
5.Grundlegende Annahmen über die Eigenschaften des Materials
Homogen – verliebt. Punkt, dass die Materialien gleich sind. physikalisch-chemisch Heilige;
Das kontinuierliche Medium ist kristallin. Struktur und mikroskopisch Mängel werden nicht berücksichtigt;
Isotrop – mechanisch. Eigenschaften hängen nicht von der Belastungsrichtung ab;
Ideale Elastizität – stellt Form und Größe nach Entlastung vollständig wieder her.
6. Arten von Unterstützungen
a) Gelenkig – feste (doppelt verbundene) Stütze: Nimmt sowohl vertikale als auch horizontale Kräfte (Kräfte in einem Winkel) auf.
b) Aufklappbar – bewegliche Stütze – nimmt nur vertikale Lasten auf. Die Stützreaktion ist immer entlang der Stützstange gerichtet, senkrecht zur Stützfläche
c) Starre Dichtung (dreifach verbunden)
Aus der Gleichgewichtsbedingung (statische Gleichung) werden die Reaktionen in den Lagern ermittelt.
7. Lastklassifizierung
Nach Standort
Oberfläche und volumetrisch
a) konzentrierte Kraft
b) verteilte Kraft 
rechteckig Rq= qa
dreieckig Rq= ½ qa
c) konzentrierter Moment
Biegen
verdrehen
d) verteiltes Moment
Rmz= mz a – Gleichgewichte
Nach Dauer
Dauerhaft und vorübergehend
Aufgrund der Art der Aktion
Statisch und dynamisch
Aufgrund der Art des Vorkommens
Aktiv (bekannt) und reaktiv (unbekannt)
8. Grundprinzipien des Studiengangs
Bei der Berechnung des komplexen Widerstands wird dieser verwendet Prinzip der unabhängigen Wirkung von Kräften. Eine komplexe Belastungsart wird als System einfacher, unabhängig voneinander wirkender Belastungsarten dargestellt. Die Lösung für komplexe Widerstände ergibt sich durch Addition der Lösungen für einfache Belastungsarten.
Saint-Venant-Prinzip
In ausreichender Entfernung von der Stelle, an der die Last aufgebracht wird, hängt die Art ihrer Wirkung nicht von der Art ihrer Anwendung ab, sondern von der Größe der Resultierenden.
9. Interne Bemühungen. Abschnittsmethode (ROZU-Methode)
Nz=∑z (pi) normal mit
Qx=∑x (pi) quer mit
Mz=∑mz (pi) Drehmoment
Mx=∑mx (pi) Biegung
Den Gedankenkörper flach schneiden
Wir verwerfen eine der inneren Kräfte
Ersetzen Sie es durch interne Bemühungen
Die innere und äußere Wärme ausgeglichen haben
10. Regel der Anzeichen interner Bemühungen
Regel für Anzeichen von Querkräften beim Biegen:
Drehmoment
Gegen Notfälle bei seitlicher Betrachtung +
Regel für Anzeichen von Biegemomenten:
Regel zur Überprüfung der Richtigkeit der Erstellung von Lastdiagrammen:
In Abschnitten des Trägers, in denen äußere Einzellasten wirken, ist im Diagramm d.b. ein Sprung in der Größe dieser Belastung.
11. Diagramme der Schnittgrößen
BEI STENSION-COMPRESSION
TORSIONAL
in gerader Kurve
12.Differenzielle Abhängigkeiten beim Biegen
;
;
13. Konsequenzen aus differenziellen Abhängigkeiten
Liegt im Bereich keine Lastverteilung vor (q = 0), so hat die Querkraft in diesem Bereich eine konstante Geschwindigkeit und die Biegediagramme ändern sich nach dem linearen Gesetz
Auf dem Trainingsgelände, wo die Wärmeverteilung vorhanden ist, ist der Beitrag intensiv. Die Querkraft ändert sich entsprechend der Linie und die Diagramme gemäß dem Gesetz der quadratischen Parabeln. Darüber hinaus ist das Diagramm des mx immer auf die Verteilungslast ausgerichtet. Wenn Qy gleich 0 ist, hat das Diagramm mx ein Extremum. Wenn Qy im gesamten Bereich gleich 0 ist, dann ist mx ein konstanter Wert
4. Im Bereich Qy>0 nimmt das mx-Diagramm von links nach rechts zu
5. In diesem Abschnitt. Wenn eine zentrale Kraft ausgeübt wird, weist das Diagramm Qy einen Sprung in der Geschwindigkeit dieser Kraft auf. Im Mittelpunkt des Moments weist das Diagramm mx einen Sprung um den Wert dieses Moments auf
Axiales Widerstandsmoment- das Verhältnis des Trägheitsmoments um die Achse zum Abstand von dieser zum am weitesten entfernten Punkt des Abschnitts. [cm 3, m 3]
Besonders wichtig sind die Widerstandsmomente relativ zu den Hauptmittelachsen:
Rechteck: 
; Kreis:W x =W y = 
,
Rohrabschnitt (Ring): W x =W y = 
, wobei = d N /d B .
Polares Widerstandsmoment – das Verhältnis des polaren Trägheitsmoments zum Abstand vom Pol zum am weitesten entfernten Punkt des Abschnitts: 
.
Für einen Kreis W ð = 
.
Drehung
T 
Diese Art der Verformung, bei der im Querschnitt nur ein Drehmoment auftritt, ist Mk. Das Vorzeichen des Drehmoments Mk wird zweckmäßigerweise durch die Richtung des äußeren Moments bestimmt. Wenn das äußere Moment von der Seite des Abschnitts aus gesehen gegen den Uhrzeigersinn gerichtet ist, dann ist M k >0 (die umgekehrte Regel gilt auch). Wenn eine Torsion auftritt, dreht sich ein Abschnitt relativ zum anderen um Drehwinkel-. Bei der Torsion eines Rundträgers (Welle) entsteht ein Spannungszustand der reinen Scherung (es treten keine Normalspannungen auf), es entstehen lediglich Tangentialspannungen. Es wird davon ausgegangen, dass die Abschnitte vor dem Verdrehen flach sind und nach dem Verdrehen flach bleiben – Gesetz der ebenen Abschnitte. Tangentialspannungen an Querschnittspunkten variieren proportional zum Abstand der Punkte von der Achse. Aus dem Hookeschen Gesetz unter Scherung: =G, G – Schermodul, 
,
- polares Widerstandsmoment eines kreisförmigen Abschnitts. Die Tangentialspannungen in der Mitte sind Null; je weiter sie von der Mitte entfernt sind, desto größer sind sie. Drehwinkel 
,GJ p- Torsionssteifigkeit.
-relativer Verdrehungswinkel. Potenzielle Energie bei Torsion: 
. Kraftzustand: 
,
[]
= 
, für ein Kunststoffmaterial wird angenommen, dass die Scherstreckgrenze t ist, für ein sprödes Material – in ist die Zugfestigkeit, [n] ist der Sicherheitsfaktor. Bedingung der Torsionssteifigkeit: max [] – zulässiger Torsionswinkel.
Torsion eines rechteckigen Balkens
P 
In diesem Fall wird das Gesetz der ebenen Abschnitte verletzt, unrunde Abschnitte werden bei Torsion gebogen - Deplanation Querschnitt.
Diagramme der Tangentialspannungen eines rechteckigen Abschnitts.
;
,J k und W k werden herkömmlicherweise als Trägheitsmoment und Widerstandsmoment bei Torsion bezeichnet. W k = hb 2 ,
J k = hb 3 , Maximale Tangentialspannungen max liegen in der Mitte der langen Seite, Spannungen in der Mitte der kurzen Seite: = max , Koeffizienten: ,, sind in Nachschlagewerken angegeben abhängig vom Verhältnis h/b (zum Beispiel mit h/b=2, =0,246; =0,229;
Biegen
P 
flache (gerade) Biegung- wenn das Biegemoment in einer Ebene wirkt, die durch eine der zentralen Hauptträgheitsachsen des Abschnitts verläuft, d. h. Alle Kräfte liegen in der Symmetrieebene des Balkens. Haupthypothesen(Annahmen): Hypothese über den Nichtdruck von Längsfasern: Fasern parallel zur Balkenachse erfahren eine Zug-Druck-Verformung und üben in Querrichtung keinen Druck aufeinander aus; Hypothese der ebenen Abschnitte: Ein Abschnitt eines Balkens, der vor der Verformung flach war, bleibt nach der Verformung flach und normal zur gekrümmten Achse des Balkens. Beim Flachbiegen gilt im Allgemeinen: interne Leistungsfaktoren: Längskraft N, Querkraft Q und Biegemoment M. N>0, wenn die Längskraft eine Zugkraft ist; Bei M>0 werden die Fasern oben auf dem Balken komprimiert und die Fasern unten gedehnt. .
MIT 
Es wird eine Schicht aufgerufen, in der es keine Erweiterungen gibt neutrale Schicht(Achse, Linie). Für N=0 und Q=0 liegt der Fall vor reine Biegung. Normale Spannungen: 
, ist der Krümmungsradius der neutralen Schicht, y ist der Abstand von einer Faser zur neutralen Schicht. Hookesches Biegegesetz:
, von wo (Navier-Formel): 
,J x - Trägheitsmoment des Abschnitts relativ zur Hauptmittelachse senkrecht zur Ebene des Biegemoments, EJ x - Biegesteifigkeit, - Krümmung der neutralen Schicht.
M 
Maximale Biegespannungen treten an den Stellen auf, die am weitesten von der Neutralschicht entfernt sind: 
,J x /y max =W x - Widerstandsmoment des Abschnitts beim Biegen, 
. Wenn der Abschnitt keine horizontale Symmetrieachse hat, ist das Normalspannungsdiagramm nicht symmetrisch. Die neutrale Achse des Abschnitts verläuft durch den Schwerpunkt des Abschnitts. Formeln zur Bestimmung der Normalspannung bei reiner Biegung sind auch bei Q0 näherungsweise gültig. Das ist der Fall Querbiegung. Bei der Querbiegung wirkt zusätzlich zum Biegemoment M eine Querkraft Q und es entstehen im Querschnitt nicht nur Normalspannungen , sondern auch Tangentialspannungen . Es werden Schubspannungen ermittelt Zhuravskys Formel:
, wobei S x (y) das statische Moment relativ zur neutralen Achse des Teils der Fläche ist, der sich unter oder über der Schicht befindet, die sich im Abstand „y“ von der neutralen Achse befindet; J x - Trägheitsmoment Gesamt Querschnitt relativ zur neutralen Achse, b(y) ist die Breite des Abschnitts in der Schicht, an dem die Scherspannungen bestimmt werden.
D 
Für einen rechteckigen Abschnitt: 
,F=bh, für einen kreisförmigen Abschnitt: 
,F=R 2, für einen Abschnitt beliebiger Form 
,
k-Koeffizient, abhängig von der Form des Abschnitts (Rechteck: k= 1,5; Kreis - k= 1,33).
M 
max und Q max werden aus Diagrammen der Biegemomente und Querkräfte ermittelt. Dazu wird der Balken in zwei Teile geschnitten und einer davon untersucht. Die Wirkung des abgeworfenen Teils wird durch innere Kraftfaktoren M und Q ersetzt, die aus den Gleichgewichtsgleichungen ermittelt werden. An manchen Universitäten wird der Zeitpunkt M>0 nach unten verschoben, d.h. Das Momentendiagramm wird auf gestreckten Fasern erstellt. Bei Q = 0 haben wir ein Extremum des Momentendiagramms. Differenzielle Abhängigkeiten zwischen M,QUndQ:
q - Flächenlastintensität [kN/m]
Hauptspannungen beim Querbiegen:
.
Berechnung der Biegefestigkeit: zwei Festigkeitsbedingungen, die sich auf verschiedene Punkte des Balkens beziehen: a) entsprechend Normalspannungen 
, (zeigt am weitesten von C entfernt); b) durch Tangentialspannungen 
, (Punkte auf der neutralen Achse). Bestimmen Sie aus a) die Abmessungen des Balkens: 
, die durch b) überprüft werden. In den Balkenabschnitten kann es Stellen geben, an denen gleichzeitig große Normal- und große Schubspannungen auftreten. Für diese Punkte werden Vergleichsspannungen ermittelt, die die zulässigen Werte nicht überschreiten sollten. Kraftbedingungen werden anhand verschiedener Krafttheorien getestet
1: 
;II-th: (mit Poissonzahl=0,3); - kaum benutzt.
Mohrs Theorie: 
(wird für Gusseisen verwendet, das eine zulässige Zugspannung [ p ][ s ] – bei Druck) aufweist.
