1.3 Methoden zur Lösung von Gleichungen

Bei der Lösung von Gleichungen in ganzen Zahlen und natürlichen Zahlen lassen sich grob folgende Methoden unterscheiden:

1. Methode zur Aufzählung von Optionen.

2. Euklidischer Algorithmus.

3. Kettenbrüche.

4. Faktorisierungsmethode.

5. Gleichungen in ganzen Zahlen als Quadrate in Bezug auf eine Variable lösen.

6. Rückstandsmethode.

7. Methode des unendlichen Abstiegs.

Kapitel 2. Anwendung von Methoden zur Lösung von Gleichungen

1. Beispiele zum Lösen von Gleichungen.

2.1 Euklidischer Algorithmus.

Problem 1 . Gleichung in ganzen Zahlen lösen 407 X – 2816j = 33.

Lassen Sie uns den kompilierten Algorithmus verwenden.

1. Mit dem Euklidischen Algorithmus ermitteln wir den größten gemeinsamen Teiler der Zahlen 407 und 2816:

2816 = 407 6 + 374;

407 = 374 1 + 33;

374 = 33 11 + 11;

Daher ist (407,2816) = 11, wobei 33 durch 11 teilbar ist

2. Teilen Sie beide Seiten der ursprünglichen Gleichung durch 11, wir erhalten Gleichung 37 X – 256j= 3, mit (37, 256) = 1

3. Mit dem Euklidischen Algorithmus finden wir eine lineare Darstellung der Zahl 1 durch die Zahlen 37 und 256.

256 = 37 6 + 34;

Drücken wir 1 aus der letzten Gleichheit aus, dann werden wir, indem wir die Gleichungen nacheinander aufsteigen, 3 ausdrücken; 34 und ersetzen Sie die resultierenden Ausdrücke in den Ausdruck für 1.

1 = 34 – 3 11 = 34 – (37 – 34 1) 11 = 34 12 – 37 11 = (256 – 37 6) 12 – 37 11 =

– 83·37 – 256·(–12)

Somit ist 37·(–83) – 256·(–12) = 1, also ein Zahlenpaar x 0= – 83 und y 0= – 12 ist die Lösung von Gleichung 37 X – 256j = 3.

4. Schreiben wir die allgemeine Formel für Lösungen der ursprünglichen Gleichung auf

Wo T- jede ganze Zahl.

2.2 Methode zur Aufzählung von Optionen.

Aufgabe 2. Kaninchen und Fasane sitzen in einem Käfig, sie haben insgesamt 18 Beine. Finden Sie heraus, wie viele davon sich in der Zelle befinden?

Lösung: Es wird eine Gleichung mit zwei unbekannten Variablen aufgestellt, wobei x die Anzahl der Kaninchen und y die Anzahl der Fasane ist:

4x + 2y = 18 oder 2x + y = 9.

Lassen Sie uns ausdrücken bei durch X : y = 9 – 2x.

X	1	2	3	4
bei	7	5	3	1

Somit hat das Problem vier Lösungen.

Antwort: (1; 7), (2; 5), (3; 3), (4; 1).

2.3 Faktorisierungsmethode.

Das Aufzählen von Optionen beim Finden natürlicher Lösungen für eine Gleichung mit zwei Variablen erweist sich als sehr arbeitsintensiv. Darüber hinaus, wenn die Gleichung hat ganz Lösungen, dann ist es unmöglich, sie aufzuzählen, da es unendlich viele solcher Lösungen gibt. Deshalb zeigen wir eine weitere Technik – Faktorisierungsmethode.

Aufgabe 3. Gleichung in ganzen Zahlen lösenj 3 - X 3 = 91.

Lösung. 1) Mithilfe abgekürzter Multiplikationsformeln faktorisieren wir die rechte Seite der Gleichung:

(j - X)(j 2 + xy + X 2) = 91……………………….(1)

2) Schreiben wir alle Teiler der Zahl 91 auf: ± 1; ± 7; ± 13; ± 91

3) Führen Sie Recherchen durch. Beachten Sie dies für alle ganzen Zahlen X Und j Nummer

j 2 + yx + X 2 ≥ j 2 - 2|j||X| + X 2 = (|j| - |X|) 2 ≥ 0,

Daher müssen beide Faktoren auf der linken Seite der Gleichung positiv sein. Dann entspricht Gleichung (1) einem Satz von Gleichungssystemen:

; ; ;

4) Nachdem wir die Systeme gelöst haben, erhalten wir: Das erste System hat Lösungen (5; 6), (-6; -5); dritter (-3; 4),(-4; 3); die zweite und vierte haben keine Lösungen in ganzen Zahlen.

Antwort: Gleichung (1) hat vier Lösungen (5; 6); (-6; -5); (-3; 4); (-4;3).

Aufgabe 4. Finden Sie alle Paare natürlicher Zahlen, die die Gleichung erfüllen

Lösung. Lassen Sie uns die linke Seite der Gleichung faktorisieren und die Gleichung in das Formular schreiben

.

Weil Die Teiler der Zahl 69 sind die Zahlen 1, 3, 23 und 69, dann kann 69 auf zwei Arten erhalten werden: 69=1·69 und 69=3·23. Bedenkt, dass

, wir erhalten zwei Gleichungssysteme, deren Lösung wir die erforderlichen Zahlen finden können: oder .

Das erste System hat eine Lösung

, und das zweite System hat eine Lösung.

Antwort:

.

Aufgabe 5. Lösen Sie die Gleichung in ganzen Zahlen:

.

Lösung. Schreiben wir die Gleichung in das Formular

.

Lassen Sie uns die linke Seite der Gleichung faktorisieren. Wir bekommen

.

Das Produkt zweier Ganzzahlen kann nur in zwei Fällen gleich 1 sein: wenn beide gleich 1 oder -1 sind. Wir erhalten zwei Systeme:

oder .

Das erste System hat eine Lösung x=2, y=2 und das zweite System hat eine Lösung x=0, y=0.

Antwort:

.

Aufgabe 6. Lösen Sie die Gleichung in ganzen Zahlen

Lösung. Schreiben wir diese Gleichung in das Formular

.

Lassen Sie uns die linke Seite der Gleichung mit der Gruppierungsmethode faktorisieren, wir erhalten

.

Das Produkt zweier Ganzzahlen kann in den folgenden Fällen gleich 7 sein:

7=1· 7=7·1=-1·(-7)=-7·(-1). Somit erhalten wir vier Systeme:

oder , oder , oder .

Die Lösung des ersten Systems ist ein Zahlenpaar x = - 5, y = - 6. Wenn wir das zweite System lösen, erhalten wir x = 13, y = 6. Für das dritte System ist die Lösung die Zahlen x = 5, y = 6. Das vierte System hat eine Lösung x = - 13, y = - 6.

.

Aufgabe 7. Beweisen Sie, dass die Gleichung ( X - j) 3 + (j - z) 3 + (z - X) 3 = 30 nicht

Städtische Bildungseinrichtung

Savrushskaya-Sekundarschule

Bezirk Pokhvistnevsky, Region Samara

Zusammenfassung in Mathematik zum Thema:

„Gleichungen mit zwei

Unbekannt

in ganzen Zahlen“

Abgeschlossen von: Kolesova Tatyana

Staroverova Nina

bei Schüler der 10. Klasse

Städtische Bildungseinrichtung Savrushskaya-Sekundarschule

Bezirk Pokhvistnevsky

Samara-Region.

Aufsicht: Yatmankina Galina Michailowna

Mathematiklehrer.

Savrukha 2011

Einleitung.________________________________________________3

1. Historischer Hintergrund ________________________________________________5

1.1 Sätze zur Anzahl der Lösungen linearer diophantischer Gleichungen___6

1.2 Algorithmus zum Lösen von Gleichungen in ganzen Zahlen_________________ 6

1.3 Methoden zur Lösung von Gleichungen______________________________ 7

Kapitel 2. Anwendung von Methoden zur Lösung von Gleichungen.

1. Problemlösung_____________________________________________ 8

2.1 Probleme mit dem Euklidischen Algorithmus lösen________________ 8

2.2 Methode zur Aufzählung von Optionen________________________________ 9

2.3 Faktorisierungsmethode___________________________ 9

2.4 Restmethode_________________________________________________ 12

2. Aufgaben auf Prüfungsniveau___________________________ 13

Fazit________________________________________________ 16

Referenzliste ________________________________________ 17

„Wer kontrolliert die Zahlen,

Er regiert die Welt“

Pythagoras.

Einführung.

Analyse der Situation: Diophantische Gleichungen sind ein aktuelles Thema unserer Zeit, da die Lösung von Gleichungen, Ungleichungen und Problemen, die sich auf die Lösung von Gleichungen in ganzen Zahlen unter Verwendung von Schätzungen für Variablen reduzieren, in verschiedenen mathematischen Sammlungen und Sammlungen des Einheitlichen Staatsexamens zu finden ist.

Nachdem wir im Unterricht verschiedene Möglichkeiten zur Lösung einer quadratischen Gleichung mit einer Variablen untersucht hatten, waren wir daran interessiert zu verstehen, wie Gleichungen mit zwei Variablen gelöst werden. Solche Aufgaben finden sich bei Olympiaden und in Materialien zum Einheitlichen Staatsexamen.

In diesem Schuljahr müssen Elftklässler das Einheitliche Staatsexamen in Mathematik absolvieren, bei dem die KIMs nach einer neuen Struktur zusammengestellt werden. Es gibt keinen Teil „A“, aber Aufgaben wurden zu Teil „B“ und Teil „C“ hinzugefügt. Die Compiler erklären den Zusatz C6 damit, dass man für den Zugang zu einer technischen Universität in der Lage sein muss, Aufgaben mit einem derart hohen Komplexitätsgrad zu lösen.

Problem: Beim Lösen von Beispielversionen von Unified State Exam-Aufgaben ist uns aufgefallen, dass es in C6 am häufigsten Aufgaben zum Lösen von Gleichungen ersten und zweiten Grades in ganzen Zahlen gibt. Aber wir wissen nicht, wie man solche Gleichungen löst. In diesem Zusammenhang wurde es notwendig, die Theorie solcher Gleichungen und den Algorithmus zu ihrer Lösung zu untersuchen.

Ziel: Beherrschen Sie die Methode zum Lösen von Gleichungen mit zwei Unbekannten ersten und zweiten Grades in ganzen Zahlen.

Aufgaben: 1) Studieren Sie Lehr- und Referenzliteratur;

2) Sammeln Sie theoretisches Material zu Methoden zur Lösung von Gleichungen;

3) Analysieren Sie den Algorithmus zum Lösen von Gleichungen dieses Typs;

4) Beschreiben Sie die Lösung.

5) Betrachten Sie eine Reihe von Beispielen, die diese Technik verwenden.

6) Lösen Sie Gleichungen mit zwei Variablen in ganzen Zahlen von

Materialien des Einheitlichen Staatsexamens 2010 C6.

Studienobjekt : Gleichungen lösen

Gegenstand der Studie : Gleichungen mit zwei Variablen in ganzen Zahlen.

Hypothese: Dieses Thema ist von großer praktischer Bedeutung. Im Schulmathematikkurs werden Gleichungen mit einer Variablen und verschiedene Methoden zu deren Lösung eingehend untersucht. Die Anforderungen des Bildungsprozesses erfordern, dass die Schüler einfache Gleichungen mit zwei Variablen kennen und lösen können. Daher ist eine erhöhte Aufmerksamkeit für dieses Thema nicht nur gerechtfertigt, sondern auch im schulischen Mathematikunterricht relevant.

Diese Arbeit kann verwendet werden, um dieses Thema in Wahlfächern für Studierende zur Vorbereitung auf Abschluss- und Aufnahmeprüfungen zu studieren. Wir hoffen, dass unser Material Gymnasiasten dabei hilft, Gleichungen dieser Art zu lösen.

Kapitel 1. Theorie der Gleichungen mit zwei Variablen in ganzen Zahlen.

1. Historischer Hintergrund.

Diophantus und die Geschichte der diophantinischen Gleichungen .

Das Lösen von Gleichungen in ganzen Zahlen ist eines der ältesten mathematischen Probleme. Dieser Bereich der Mathematik erreichte seinen größten Aufschwung im antiken Griechenland. Die wichtigste Quelle, die bis in unsere Zeit überliefert ist, ist das Werk von Diophantus – „Arithmetik“. Diophantus fasste die vor ihm gesammelten Erfahrungen bei der Lösung unbestimmter Gleichungen in ganzen Zahlen zusammen und erweiterte sie.

Die Geschichte hat uns nur wenige Merkmale der Biographie des bemerkenswerten alexandrinischen Algebraisten Diophantus bewahrt. Einigen Quellen zufolge lebte Diophantus bis 364 n. Chr. Mit Sicherheit ist nur die einzigartige Biographie von Diophantus bekannt, die der Legende nach in seinen Grabstein eingraviert war und eine Rätselaufgabe darstellte:

„Gott schickte ihn für ein Sechstel seines Lebens als Junge; Dazu fügte er den zwölften Teil hinzu: Er bedeckte seine Wangen mit Flaum; Nach dem siebten Teil erleuchtete er für ihn das Licht der Ehe und schenkte ihm fünf Jahre nach der Heirat einen Sohn. Ach! Als unglücklich verstorbenes Kind, das bereits die Hälfte des vollen Lebens seines Vaters erreicht hatte, wurde er von einem gnadenlosen Schicksal mitgerissen. Vier Jahre später beendete er [Diophantus] sein Leben, indem er den Kummer, der ihn befallen hatte, mit der Wissenschaft der Zahlen tröstete“ (ungefähr 84 Jahre alt).

Dieses Rätsel dient als Beispiel für die Probleme, die Diophantus gelöst hat. Er spezialisierte sich auf die Lösung von Problemen in ganzen Zahlen. Solche Probleme werden derzeit als diophantische Probleme bezeichnet.

Das bekannteste von Diophantus gelöste Problem ist das Problem der „Zerlegung in zwei Quadrate“. Sein Äquivalent ist der bekannte Satz des Pythagoras. Dieser Satz war in Babylonien bekannt, vielleicht war er auch im alten Ägypten bekannt, aber er wurde erstmals in der pythagoräischen Schule bewiesen. Dies war der Name einer Gruppe von Philosophen, die sich für Mathematik interessierten und nach dem Gründer der Schule des Pythagoras (ca. 580–500 v. Chr.) benannt waren.

Das Leben und Wirken von Diophantus spielte sich in Alexandria ab, er sammelte und löste bekannte Probleme und erfand neue. Später kombinierte er sie in einem großartigen Werk namens Arithmetik. Von den dreizehn Büchern, aus denen die Arithmetik bestand, überlebten nur sechs bis ins Mittelalter und wurden zu einer Inspirationsquelle für Mathematiker der Renaissance.

1.1 Sätze über die Anzahl der Lösungen einer linearen diophantischen Gleichung.

Wir stellen hier die Formulierungen von Theoremen vor, auf deren Grundlage ein Algorithmus zur Lösung unbestimmter Gleichungen ersten Grades zweier Variablen in ganzen Zahlen erstellt werden kann.

Satz 1. Wenn in einer Gleichung , , dann hat die Gleichung mindestens eine Lösung.

Satz 2. Wenn in der Gleichung , und Mit nicht durch teilbar ist, dann hat die Gleichung keine ganzzahligen Lösungen.

Satz 3. Wenn in der Gleichung , und , dann ist es äquivalent zur Gleichung in which .

Satz 4. Wenn in der Gleichung , , dann sind alle ganzzahligen Lösungen dieser Gleichung in den Formeln enthalten:

Wo x 0, y 0

1.2. Algorithmus zum Lösen von Gleichungen in ganzen Zahlen.

Die formulierten Theoreme ermöglichen es uns, Folgendes zusammenzustellen Algorithmus Lösungen in ganzen Zahlen für Gleichungen der Form .

1. Finden Sie den größten gemeinsamen Teiler von Zahlen A Und B ,

Wenn Mit nicht durch teilbar ist, dann hat die Gleichung keine ganzzahligen Lösungen;

wenn und dann

2. Teilen Sie die Gleichung Term für Term und erhalten Sie eine Gleichung, in der .

3. Finden Sie die gesamte Lösung ( x 0, y 0) Gleichungen durch Darstellung von 1 als lineare Kombination von Zahlen und ;

4. Erstellen Sie eine allgemeine Formel für ganzzahlige Lösungen dieser Gleichung

Wo x 0, y 0– eine ganzzahlige Lösung der Gleichung, – eine beliebige ganze Zahl.

1.3 Methoden zur Lösung von Gleichungen

Bei der Lösung von Gleichungen in ganzen Zahlen und natürlichen Zahlen lassen sich grob folgende Methoden unterscheiden:

1. Methode zur Aufzählung von Optionen.

2. Euklidischer Algorithmus.

3. Kettenbrüche.

4. Faktorisierungsmethode.

5. Gleichungen in ganzen Zahlen als Quadrate in Bezug auf eine Variable lösen.

6. Rückstandsmethode.

7. Methode des unendlichen Abstiegs.

Kapitel 2. Anwendung von Methoden zur Lösung von Gleichungen

1. Beispiele zum Lösen von Gleichungen.

2.1 Euklidischer Algorithmus.

Problem 1 . Gleichung in ganzen Zahlen lösen 407 X – 2816j = 33.

Lassen Sie uns den kompilierten Algorithmus verwenden.

1. Mit dem Euklidischen Algorithmus ermitteln wir den größten gemeinsamen Teiler der Zahlen 407 und 2816:

2816 = 407 6 + 374;

407 = 374 1 + 33;

374 = 33 11 + 11;

Daher ist (407,2816) = 11, wobei 33 durch 11 teilbar ist

2. Teilen Sie beide Seiten der ursprünglichen Gleichung durch 11, wir erhalten Gleichung 37 X – 256j= 3, mit (37, 256) = 1

3. Mit dem Euklidischen Algorithmus finden wir eine lineare Darstellung der Zahl 1 durch die Zahlen 37 und 256.

256 = 37 6 + 34;

Drücken wir 1 aus der letzten Gleichheit aus, dann werden wir, indem wir die Gleichungen nacheinander aufsteigen, 3 ausdrücken; 34 und ersetzen Sie die resultierenden Ausdrücke in den Ausdruck für 1.

1 = 34 – 3 11 = 34 – (37 – 34 1) 11 = 34 12 – 37 11 = (256 – 37 6) 12 – 37 11 =

– 83·37 – 256·(–12)

Somit ist 37·(–83) – 256·(–12) = 1, also ein Zahlenpaar x 0= – 83 und y 0= – 12 ist die Lösung von Gleichung 37 X – 256j = 3.

4. Schreiben wir die allgemeine Formel für Lösungen der ursprünglichen Gleichung auf

Wo T- jede ganze Zahl.

2.2 Methode zur Aufzählung von Optionen.

Aufgabe 2. Kaninchen und Fasane sitzen in einem Käfig, sie haben insgesamt 18 Beine. Finden Sie heraus, wie viele davon sich in der Zelle befinden?

Lösung: Es wird eine Gleichung mit zwei unbekannten Variablen aufgestellt, wobei x die Anzahl der Kaninchen und y die Anzahl der Fasane ist:

4x + 2y = 18 oder 2x + y = 9.

Lassen Sie uns ausdrücken bei durch X : y = 9 – 2x.

Somit hat das Problem vier Lösungen.

Antwort: (1; 7), (2; 5), (3; 3), (4; 1).

2.3 Faktorisierungsmethode.

Das Aufzählen von Optionen beim Finden natürlicher Lösungen für eine Gleichung mit zwei Variablen erweist sich als sehr arbeitsintensiv. Darüber hinaus, wenn die Gleichung hat ganz Lösungen, dann ist es unmöglich, sie aufzuzählen, da es unendlich viele solcher Lösungen gibt. Deshalb zeigen wir eine weitere Technik – Faktorisierungsmethode.

Aufgabe 3. Gleichung in ganzen Zahlen lösen j 3 - X 3 = 91.

Lösung. 1) Mithilfe abgekürzter Multiplikationsformeln faktorisieren wir die rechte Seite der Gleichung:

(j - X)(j 2 + xy + X 2) = 91……………………….(1)

2) Schreiben wir alle Teiler der Zahl 91 auf: ± 1; ± 7; ± 13; ± 91

3) Führen Sie Recherchen durch. Beachten Sie dies für alle ganzen Zahlen X Und j Nummer

j 2 + yx + X 2 ≥ j 2 - 2|j ||X | + X 2 = (|j | - |X |) 2 ≥ 0,

Daher müssen beide Faktoren auf der linken Seite der Gleichung positiv sein. Dann entspricht Gleichung (1) einem Satz von Gleichungssystemen:

; ; ;

4) Nachdem wir die Systeme gelöst haben, erhalten wir: Das erste System hat Lösungen (5; 6), (-6; -5); dritter (-3; 4),(-4; 3); die zweite und vierte haben keine Lösungen in ganzen Zahlen.

Antwort: Gleichung (1) hat vier Lösungen (5; 6); (-6; -5); (-3; 4); (-4;3).

Aufgabe 4. Finden Sie alle Paare natürlicher Zahlen, die die Gleichung erfüllen

Lösung. Lassen Sie uns die linke Seite der Gleichung faktorisieren und die Gleichung in das Formular schreiben

.

Weil Die Teiler der Zahl 69 sind die Zahlen 1, 3, 23 und 69, dann kann 69 auf zwei Arten erhalten werden: 69=1·69 und 69=3·23. In Anbetracht dessen erhalten wir zwei Gleichungssysteme, durch deren Lösung wir die erforderlichen Zahlen finden können:

Das erste System hat eine Lösung und das zweite System hat eine Lösung.

Antwort: .

Aufgabe 5.

Lösung. Schreiben wir die Gleichung in das Formular

.

Lassen Sie uns die linke Seite der Gleichung faktorisieren. Wir bekommen

.

Das Produkt zweier Ganzzahlen kann nur in zwei Fällen gleich 1 sein: wenn beide gleich 1 oder -1 sind. Wir erhalten zwei Systeme:

Das erste System hat eine Lösung x=2, y=2 und das zweite System hat eine Lösung x=0, y=0.

Antwort: .

Aufgabe 6. Lösen Sie die Gleichung in ganzen Zahlen

.

Lösung. Schreiben wir diese Gleichung in das Formular

Lassen Sie uns die linke Seite der Gleichung mit der Gruppierungsmethode faktorisieren, wir erhalten

.

Das Produkt zweier Ganzzahlen kann in den folgenden Fällen gleich 7 sein:

7=1· 7=7·1=-1·(-7)=-7·(-1). Somit erhalten wir vier Systeme:

Oder, oder, oder.

Die Lösung des ersten Systems ist ein Zahlenpaar x = - 5, y = - 6. Wenn wir das zweite System lösen, erhalten wir x = 13, y = 6. Für das dritte System ist die Lösung die Zahlen x = 5, y = 6. Das vierte System hat eine Lösung x = - 13, y = - 6.

Aufgabe 7. Beweisen Sie, dass die Gleichung ( X - j) 3 + (j - z) 3 + (z - X) 3 = 30 nicht

hat Lösungen in ganzen Zahlen.

Lösung. 1) Lassen Sie uns die linke Seite der Gleichung faktorisieren und beide Seiten der Gleichung durch 3 dividieren, was zu der folgenden Gleichung führt:

(X - j)(j - z)(z - X) = 10…………………………(2)

2) Die Teiler von 10 sind die Zahlen ±1, ±2, ±5, ±10. Beachten Sie auch, dass die Summe der Faktoren auf der linken Seite von Gleichung (2) gleich 0 ist. Es ist leicht zu überprüfen, dass die Summe von drei beliebigen Zahlen aus der Menge der Teiler der Zahl 10, die das Produkt 10 ergibt, gleich 0 ist ungleich 0. Folglich hat die ursprüngliche Gleichung keine Lösungen in ganzen Zahlen.

Aufgabe 8. Lösen Sie die Gleichung: x 2 - y 2 = 3 in ganzen Zahlen.

Lösung:

1. Wenden Sie die abgekürzte Multiplikationsformel x 2 - y 2 = (x-y)(x+y)=3 an

2. Finden Sie die Teiler der Zahl 3 = -1;-3;1;3

3. Diese Gleichung entspricht einer Menge von 4 Systemen:

X-y=1 2x=4 x=2, y=1

X-y=3 x=2, y=-1

X-y=-3 x=-2, y=1

X-y=-1 x=-2, y=-1

Antwort: (2;1), (2;-1), (-2;1), (-2,-1)

2.4 Restmethode.

Problem 9 .Lösen Sie die Gleichung: x 2 + xy = 10

Lösung:

1. Drücken Sie die Variable y durch x aus: y= 10er 2

Y = - X

2. Bruch wird eine ganze Zahl sein, wenn x Є ±1;±2; ±5;±10

3. Finden Sie 8 Werte u.

Wenn x=-1, dann y=-9 x=-5, dann y=3

X=1, dann y=9 x=5, dann y=-3

X=-2, dann y=-3 x=-10, dann y=9

X=2, dann y=3 x=10, dann y=-9

Aufgabe 10. Lösen Sie die Gleichung in ganzen Zahlen:

2x 2 -2xy +9x+y=2

Lösung:

Drücken wir aus der Gleichung das Unbekannte aus, das in diesem Fall nur bis zum ersten Grad darin enthalten ist y:

2x 2 +9x-2=2xy-y

Y =

Wählen wir den ganzen Teil eines Bruchs aus, indem wir die Regel verwenden, ein Polynom durch ein Polynom durch einen „Winkel“ zu dividieren. Wir bekommen:

Daher kann die Differenz 2x-1 nur die Werte -3,-1,1,3 annehmen.

Es bleibt noch, diese vier Fälle durchzugehen.

Antwort : (1;9), (2;8), (0;2), (-1;3)

2. Aufgaben auf Prüfungsniveau

Nachdem wir verschiedene Möglichkeiten zur Lösung von Gleichungen ersten Grades mit zwei Variablen in ganzen Zahlen in Betracht gezogen hatten, stellten wir fest, dass die Faktorisierungsmethode und die Restmethode am häufigsten verwendet werden.

Die in den USE-Versionen von 2011 angegebenen Gleichungen werden hauptsächlich mit der Restmethode gelöst.

1. Lösen Sie die Gleichung in natürlichen Zahlen: , wobei m>n

Lösung:

Lassen Sie uns die Variable ausdrücken Püber Variable T

(y+10) 2< 6 -2 ≤ у+10 ≤ 2 -12 ≤ у ≤ -8

(y+6) 2< 5 -2 ≤ у+6 ≤ 2 -8 ≤ у ≤ -4 у=-8

Antwort: (12; -8)

Abschluss.

Das Lösen verschiedener Arten von Gleichungen gehört zu den Inhaltsbereichen des Schulmathematikkurses, Methoden zum Lösen von Gleichungen mit mehreren Unbekannten werden jedoch praktisch nicht berücksichtigt. Gleichzeitig ist die Lösung von Gleichungen mit mehreren Unbekannten in ganzen Zahlen eines der ältesten mathematischen Probleme. Die meisten Methoden zur Lösung solcher Gleichungen basieren auf der Theorie der Teilbarkeit ganzer Zahlen, deren Interesse derzeit durch die rasante Entwicklung der Informationstechnologie bestimmt wird. In diesem Zusammenhang wird es für Gymnasiasten interessant sein, sich mit Methoden zur Lösung einiger Gleichungen in ganzen Zahlen vertraut zu machen, zumal Olympiaden auf verschiedenen Niveaus sehr oft Aufgaben anbieten, bei denen es um die Lösung einer Gleichung in ganzen Zahlen geht, und in diesem Jahr auch solche Gleichungen enthalten sind und in den Materialien zum Einheitlichen Staatsexamen.

In unserer Arbeit haben wir nur unbestimmte Gleichungen ersten und zweiten Grades betrachtet. Gleichungen ersten Grades lassen sich, wie wir gesehen haben, ganz einfach lösen. Wir haben die Arten solcher Gleichungen und Algorithmen zu ihrer Lösung identifiziert. Es wurde auch eine allgemeine Lösung für solche Gleichungen gefunden.

Bei Gleichungen zweiten Grades ist es schwieriger, daher haben wir nur Sonderfälle betrachtet: den Satz des Pythagoras und Fälle, in denen ein Teil der Gleichung die Form eines Produkts hat und der zweite faktorisiert ist.

Große Mathematiker studieren Gleichungen dritten und höheren Grades, weil ihre Lösungen zu komplex und umständlich sind

In Zukunft planen wir, unsere Forschung auf die Untersuchung von Gleichungen mit mehreren Variablen zu vertiefen, die zur Lösung von Problemen verwendet werden

Literatur.

1. Berezin V.N. Aufgabensammlung für Wahlpflicht- und außerschulische Aktivitäten in Mathematik. Moskauer „Aufklärung“ 1985

2. Galkin E.G. Nichtstandardisierte Probleme in der Mathematik. Tscheljabinsk „Vzglyad“ 2004

3. Galkin E.G. Probleme mit ganzen Zahlen. Tscheljabinsk „Vzglyad“ 2004

4. Glazer E.I. Geschichte der Mathematik in der Schule. Moskauer „Aufklärung“ 1983

5. Mordkovich A.G. Algebra und Beginn der Analyse der Klassen 10-11. Moskau 2003

6. Mathematik. Einheitliches Staatsexamen 2010. Bundesinstitut

Pädagogische Messungen.

7. Sharygin I.F. Optionaler Kurs in Mathematik. Lösung

Aufgaben. Moskau 1986

Gleichungen in ganzen Zahlen lösen.

Unsichere Gleichungen sind Gleichungen, die mehr als eine Unbekannte enthalten. Mit einer Lösung einer unbestimmten Gleichung meinen wir eine Menge von Werten der Unbekannten, die die gegebene Gleichung in eine echte Gleichheit umwandelt.

Eine Gleichung der Form in ganzen Zahlen lösen ah + von = C , Wo A, B , C - Ganzzahlen ungleich Null stellen wir eine Reihe theoretischer Bestimmungen vor, die es uns ermöglichen, eine Entscheidungsregel aufzustellen. Diese Bestimmungen basieren auch auf bereits bekannten Tatsachen der Teilbarkeitstheorie.

Satz 1.Wenn gcd (A, B ) = D , dann gibt es solche ganzen Zahlen X Und bei, dass die Gleichheit gilt ah + B y = D . (Diese Gleichheit wird als Linearkombination oder lineare Darstellung des größten gemeinsamen Teilers zweier Zahlen durch die Zahlen selbst bezeichnet.)

Der Beweis des Satzes basiert auf der Verwendung der Gleichheit des euklidischen Algorithmus, um den größten gemeinsamen Teiler zweier Zahlen zu finden (der größte gemeinsame Teiler wird in Form von Teilquotienten und Resten ausgedrückt, beginnend mit der letzten Gleichheit im euklidischen Algorithmus).

Beispiel.

Finden Sie die lineare Darstellung des größten gemeinsamen Teilers der Zahlen 1232 und 1672.

Lösung.

1. Erstellen wir die Gleichungen des euklidischen Algorithmus:

1672 = 1232 ∙1 + 440,

1232 = 440 ∙ 2 + 352,

440 = 352 ∙ 1 + 88,

352 = 88 ∙ 4, d.h. (1672,352) = 88.

2) Lassen Sie uns 88 sequentiell durch unvollständige Quotienten und Reste ausdrücken, indem wir die oben erhaltenen Gleichungen verwenden, beginnend am Ende:

88 = 440 - 352∙1 = (1672 - 1232) - (1232 - 1672∙2 + 1232∙2) = 1672∙3 - 1232∙4, d.h. 88 = 1672∙3 + 1232∙(-4).

Satz 2. Wenn die Gleichung ah + B y = 1 , wenn gcd (A, B ) = 1 , es reicht aus, sich die Zahl vorzustellen 1 als lineare Kombination der Zahlen a und B.

Die Gültigkeit dieses Theorems folgt aus Theorem 1. Also, um eine einzelne ganzzahlige Lösung der Gleichung zu finden ah + B y = 1, Wenn ggT (a, b) = 1 ist, reicht es aus, die Zahl 1 als lineare Zahlenkombination darzustellen A Und V .

Beispiel.

Finden Sie eine ganzzahlige Lösung der Gleichung 15x + 37y = 1.

Lösung.

1. 37 = 15 ∙ 2 + 7,

15 = 7 ∙ 2 + 1.

2. 1 = 15 - 7∙2 = 15 - (37 - 15∙2) ∙2 = 15∙5 + 37∙(-2),

Satz 3. Wenn in Gl. ah + B y = c gcd(a, B ) = D >1 Und Mit nicht teilbar durch D , dann hat die Gleichung keine ganzzahligen Lösungen.

Um den Satz zu beweisen, genügt es, das Gegenteil anzunehmen.

Beispiel.

Finden Sie eine ganzzahlige Lösung der Gleichung 16x - 34y = 7.

Lösung.

(16.34)=2; 7 ist nicht durch 2 teilbar, die Gleichung hat keine ganzzahligen Lösungen

Satz 4. Wenn in Gl. ah + B y = c gcd(a, B ) = D >1 und c D , Dann ist es

Beim Beweis des Satzes sollte gezeigt werden, dass eine beliebige ganzzahlige Lösung der ersten Gleichung auch eine Lösung der zweiten Gleichung ist und umgekehrt.

Satz 5. Wenn in Gl. ah + B y = c gcd(a, B ) = 1, dann sind alle ganzzahligen Lösungen dieser Gleichung in den Formeln enthalten:

T – jede ganze Zahl.

Beim Beweis des Satzes soll erstens gezeigt werden, dass die obigen Formeln tatsächlich Lösungen dieser Gleichung liefern und zweitens, dass in den obigen Formeln eine beliebige ganzzahlige Lösung dieser Gleichung enthalten ist.

Die obigen Theoreme ermöglichen es uns, die folgende Regel zum Lösen der Gleichung in ganzen Zahlen aufzustellen ah+ B y = c gcd(a, B ) = 1:

1) Es wird eine ganzzahlige Lösung der Gleichung gefunden ah + B y = 1 indem man 1 als lineare Zahlenkombination darstellt A UndB (Es gibt andere Möglichkeiten, vollständige Lösungen für diese Gleichung zu finden, beispielsweise mithilfe von Kettenbrüchen.)

Eine allgemeine Formel für ganzzahlige Lösungen des Gegebenen

Geben T Bei bestimmten ganzzahligen Werten können Sie Teillösungen dieser Gleichung erhalten: den kleinsten Absolutwert, den kleinsten positiven Wert (wenn möglich) usw.

Beispiel.

Finden Sie ganzzahlige Lösungen der Gleichung 407x - 2816y = 33.

Lösung.

1. Wir vereinfachen diese Gleichung und bringen sie auf die Form 37x - 256y = 3.

2. Lösen Sie die Gleichung 37x - 256y = 1.

256 = 37∙ 6 + 34,

37 = 34 ∙1 + 3,

34 = 3 ∙11 + 1.

1 = 34 - 3∙11 = 256 - 37∙6 - 11 (37 – 256 + 37∙6) = 256∙12 - 37∙83 =

37∙(-83) - 256∙(-12),

3. Gesamtansicht aller ganzzahligen Lösungen dieser Gleichung:

x = -83∙3 - 256 t = -249 - 256 t,

y = -12∙3 - 37 t = -36 - 37 t.

Die Methode der erschöpfenden Aufzählung aller möglichen Werte von Variablen,

in die Gleichung einbezogen.

Finden Sie die Menge aller Paare natürlicher Zahlen, die Lösungen der Gleichung 49x + 51y = 602 sind.

Lösung:

Drücken wir die Variable x aus der Gleichung durch y x = aus, da x und y natürliche Zahlen sind, dann x =602 - 51µ ≥ 49, 51µ≤553, 1≤µ≤10.

Eine vollständige Suche nach Optionen zeigt, dass die natürlichen Lösungen der Gleichung x=5, y=7 sind.

Antwort: (5;7).

Gleichungen mit der Faktorisierungsmethode lösen.

Diophantus betrachtete neben linearen Gleichungen auch quadratische und kubische unbestimmte Gleichungen. Sie zu lösen ist meist schwierig.

Betrachten wir einen Fall, in dem die Differenzquadratformel oder eine andere Faktorisierungsmethode auf die Gleichungen angewendet werden kann.

Lösen Sie die Gleichung in ganzen Zahlen: x 2 + 23 = y 2

Lösung:

Schreiben wir die Gleichung in der Form um: y 2 - x 2 = 23, (y - x)(y + x) = 23

Da x und y ganze Zahlen sind und 23 eine Primzahl ist, sind folgende Fälle möglich:

Wenn wir die resultierenden Systeme lösen, finden wir:

(-11;12),(11;12),(11;-12),(-11;-12)

Eine Variable durch eine andere ausdrücken und den ganzen Teil des Bruchs isolieren.

Lösen Sie die Gleichung in ganzen Zahlen: x 2 + xy – y – 2 = 0.

Lösung:

Lassen Sie uns y durch x anhand dieser Gleichung ausdrücken:

y(x - 1) =2 - x 2,

Heinrich G.N. FMS Nr. 146, Perm

54 ≡ 6× 5 ≡ 2(mod 7),

55 ≡ 2× 5 ≡ 3(mod 7), 56 ≡ 3× 5 ≡ 1(mod 7).

Wenn wir k potenzieren, erhalten wir 56k ≡ 1(mod 7) für jedes natürliche k. Daher 5555 =56 × 92 × 53 ≡ 6 (mod7).

(Geometrisch bedeutet diese Gleichheit, dass wir den Kreis umkreisen, beginnend mit 5, zweiundneunzig Zyklen und drei weiteren Zahlen). Die Zahl 222555 lässt also einen Rest von 6 übrig, wenn sie durch 7 geteilt wird.

Gleichungen in ganzen Zahlen lösen.

Zweifellos ist die Lösung diophantischer Gleichungen eines der interessantesten Themen der Mathematik. Dieses Thema wird in der 8. und dann in der 10. und 11. Klasse behandelt.

Jede Gleichung, die in ganzen Zahlen gelöst werden muss, wird diophantische Gleichung genannt. Die einfachste davon ist eine Gleichung der Form ax+bу=c, wobei a, b und cÎ Z. Zur Lösung dieser Gleichung wird der folgende Satz verwendet.

Satz. Die lineare diophantische Gleichung ax+bу=c, wobei a, b und сО Z genau dann eine Lösung hat, wenn c durch den ggT der Zahlen a und b teilbar ist. Wenn d=GCD (a, b), a=a1 d, b=b1 d, c=c1 d und (x0, y0) eine Lösung der Gleichung akh+bу=с ist, dann sind alle Lösungen durch die Formeln gegeben x=x0 +b1 t, y=y0 –a1 t, wobei t eine beliebige ganze Zahl ist.

1. Lösen Sie die Gleichungen in ganzen Zahlen:

	3xy–6x2 =y–2x+4;
	(x–2)(xy+4)=1;		y-x-xy=2;
	2x2 +xy=x+7;		3xy+2x+3y=0;
	x2 – xy – x + y = 1;
	x2 –3xy=x–3y+2;	10. x2 – xy – y = 4.

2. Ich habe die folgenden Probleme mit Absolventen in Vorbereitung auf das Einheitliche Staatsexamen in Mathematik zu diesem Thema betrachtet.

1). Lösen Sie die Gleichung in ganzen Zahlen: xy+3y+2x+6=13. Lösung:

Lassen Sie uns die linke Seite der Gleichung faktorisieren. Wir bekommen:

y(x+3)+2(x+3)=13;

(x+3)(y+2)=13.

Da x,уО Z, erhalten wir einen Satz von Gleichungssystemen:

Heinrich G.N.

	М x +
	М x +
	М x +
ê Ð x +

FMS Nr. 146, Perm

		М x =
		М x =
		М x =
	ê Ð x =

Antwort: (–2;11), (10; –1), (–4; –15), (–15, –3)

2). Lösen Sie die Gleichung in natürlichen Zahlen: 3x +4y =5z.

9). Finden Sie alle Paare natürlicher Zahlen m und n, für die die Gleichheit 3m +7=2n gilt.

10). Finden Sie alle Tripletts der natürlichen Zahlen k, m und n, für die die Gleichheit gilt: 2∙k!=m! –2∙n! (1!=1, 2!=1∙2, 3!= 1∙2∙3, …n!= 1∙2∙3∙…∙n)

elf). Alle Glieder der endlichen Folge sind natürliche Zahlen. Jedes Mitglied dieser Sequenz ist, beginnend mit dem zweiten, entweder 14-mal größer oder 14-mal kleiner als das vorherige. Die Summe aller Glieder der Folge beträgt 4321.

c) Wie viele Terme kann die Folge maximal haben? Lösung:

a) Sei a1 =x, dann a2 = 14x oder a1 =14x, dann a2 =x. Dann ist gemäß der Bedingung a1 + a2 = 4321. Wir erhalten: x + 14x = 4321, 15x = 4321, aber 4321 ist kein Vielfaches von 15, was bedeutet, dass es in der Folge nicht zwei Terme geben kann.

b) Sei a1 =x, dann a2 = 14x, a3 =x, oder 14x+x+14x=4321, oder x+14x+x=4321. 29x=4321, dann x=149, 14x=2086. Das bedeutet, dass die Folge drei Terme haben kann. Im zweiten Fall ist 16x=4321, aber dann ist x keine natürliche Zahl.

Keine Antwort; b) ja; c) 577.

Heinrich G.N.

FMS Nr. 146, Perm

12). Alle Glieder der endlichen Folge sind natürliche Zahlen. Jedes Mitglied dieser Sequenz, beginnend mit dem zweiten oder bei 10; Mal mehr oder zehnmal weniger als das vorherige. Die Summe aller Terme der Folge beträgt 1860.

a) Kann eine Folge zwei Terme haben? b) Kann eine Folge drei Terme haben?

c) Wie viele Terme kann die Folge maximal haben?

Natürlich können wir über die Teilbarkeit ganzer Zahlen sprechen und endlos über Probleme zu diesem Thema nachdenken. Ich habe versucht, dieses Thema so zu betrachten, dass es die Schüler stärker interessiert und ihnen die Schönheit der Mathematik aus dieser Sicht zeigt.

Heinrich G.N.

FMS Nr. 146, Perm

Referenzliste:

1. A. Ya. Kannel-Belov, A. K. Kovaldzhi. So lösen Sie nicht standardmäßige Probleme Moskau ICSME 2001

2. A. V. Spivak. Beilage zur Zeitschrift Kvant Nr. 4/2000 Mathematischer Feiertag, Moskau 2000

3. A. V. Spivak. Mathematischer Zirkel, „Aussaat“ 2003

4. St. Petersburg Stadtpalast der Jugendkreativität. Mathematischer Kreis. Aufgabenbuch für das erste und zweite Studienjahr. Sankt Petersburg. 1993

5. Algebra für die 8. Klasse. Ein Lehrbuch für Schüler in Schulen und Klassen mit vertieftem Mathematikstudium. Herausgegeben von N.Ya. Vilenkin. Moskau, 1995

6. M. L. Galitsky, A. M. Goldman, L. I. Zvavich. Sammlung von Algebraproblemen für 8-9 Klassen. Ein Lehrbuch für Schüler in Schulen und Klassen mit vertieftem Mathematikstudium. Moskau, Aufklärung. 1994

7. Yu.N.Makarychev, N.G.Mindyuk, K.I.Neshkov. Algebra 8. Klasse. Ein Lehrbuch für Schulen und Klassen mit vertieftem Mathematikstudium. Moskau, 2001

8. M.I.Shabunin, A.A.Prokofjew UMK MATHEMATIK Algebra. Anfänge der mathematischen Analyse. Profilebene. Lehrbuch für die 11. Klasse. Moskauer Binom. Wissenslabor 2009

9. M. I. Shabunin, A. A. Prokofjew, T. A. Oleinik, T. V. Sokolova. UMK MATHEMATIK Algebra. Anfänge der mathematischen Analyse. Problembuch zur Profilebene für die 11. Klasse. Moskauer Binom. Wissenslabor 2009

10. A.G. Klovo, D.A. Maltsev, L.I. Abzelilova Mathematik. Sammlung von Tests gemäß dem Plan des Einheitlichen Staatsexamens 2010

11. Einheitliches Staatsexamen-2010. „Legion-M“. Rostow am Don 2009

12. Einheitliches Staatsexamen UMK „Mathematik. Vorbereitung auf das Einheitliche Staatsexamen.“ Herausgegeben von F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhov. Vorbereiten für Einheitliches Staatsexamen 2011. „Legion-M“. Rostow am Don 2010

13. UMK „Mathematik. Einheitliches Staatsexamen 2010“. Herausgegeben von F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhov. MATHEMATIK Vorbereitung auf das Einheitliche Staatsexamen 2010. Bildungs- und Ausbildungstests. „Legion-M“. Rostow am Don 2009

14. FIPI Einheitliches Staatsexamen. Universelle Materialien zur Vorbereitung der Schüler MATH 2010„Intellect-Center“ 2010

15. A. Zh. Zhafyarov. Mathematik. Express-Beratung zum Einheitlichen Staatsexamen 2010. Verlag der Sibirischen Universität, 2010

Gleichungen in ganzen Zahlen sind algebraische Gleichungen mit zwei oder mehr unbekannten Variablen und ganzzahligen Koeffizienten. Die Lösungen einer solchen Gleichung sind alle ganzzahlige (manchmal natürliche oder rationale) Wertemengen unbekannter Variablen, die diese Gleichung erfüllen. Solche Gleichungen werden auch genannt Diophantin, zu Ehren des antiken griechischen Mathematikers, der vor unserer Zeitrechnung einige Arten solcher Gleichungen untersuchte.

Die moderne Formulierung diophantischer Probleme verdanken wir dem französischen Mathematiker. Er war es, der vor europäischen Mathematikern die Frage aufwarf, unbestimmte Gleichungen nur in ganzen Zahlen zu lösen. Die bekannteste Gleichung in ganzen Zahlen ist Fermats letzter Satz: Gleichung

hat keine rationalen Lösungen ungleich Null für alle natürlichen n > 2.

Das theoretische Interesse an Gleichungen in ganzen Zahlen ist recht groß, da diese Gleichungen eng mit vielen Problemen der Zahlentheorie verknüpft sind.

1970 bewies der Leningrader Mathematiker Juri Wladimirowitsch Matijasewitsch, dass es keine allgemeine Methode gibt und geben kann, die es ermöglicht, beliebige diophantische Gleichungen in ganzen Zahlen in einer endlichen Anzahl von Schritten zu lösen. Daher sollten Sie Ihre eigenen Lösungsmethoden für verschiedene Arten von Gleichungen wählen.

Bei der Lösung von Gleichungen in ganzen Zahlen und natürlichen Zahlen lassen sich grob folgende Methoden unterscheiden:

Möglichkeit, Optionen zu sortieren;

Anwendung des Euklidischen Algorithmus;

Darstellung von Zahlen in Form von Kettenbrüchen;

Faktorisierung;

Lösen von Gleichungen in ganzen Zahlen als Quadrat (oder anders) in Bezug auf eine beliebige Variable;

Restmethode;

unendliche Abstiegsmethode.

Probleme mit Lösungen

1. Lösen Sie die Gleichung x 2 – xy – 2y 2 = 7 in ganzen Zahlen.

Schreiben wir die Gleichung in der Form (x – 2y)(x + y) = 7.

Da x, y ganze Zahlen sind, finden wir Lösungen der ursprünglichen Gleichung als Lösungen der folgenden vier Systeme:

1) x – 2y = 7, x + y = 1;

2) x – 2y = 1, x + y = 7;

3) x – 2y = –7, x + y = –1;

4) x – 2y = –1, x + y = –7.

Nachdem wir diese Systeme gelöst haben, erhalten wir Lösungen für die Gleichung: (3; –2), (5; 2), (–3; 2) und (–5; –2).

Antwort: (3; –2), (5; 2), (–3; 2), (–5; –2).

a) 20x + 12y = 2013;

b) 5x + 7y = 19;

c) 201x – 1999y = 12.

a) Da für alle ganzzahligen Werte von x und y die linke Seite der Gleichung durch zwei teilbar ist und die rechte Seite eine ungerade Zahl ist, hat die Gleichung keine Lösungen in ganzen Zahlen.

Antwort: Es gibt keine Lösungen.

b) Wählen wir zunächst eine konkrete Lösung aus. In diesem Fall ist es einfach, zum Beispiel:

x 0 = 1, y 0 = 2.

5x 0 + 7y 0 = 19,

5(x – x 0) + 7(y – y 0) = 0,

5(x – x 0) = –7(y – y 0).

Da die Zahlen 5 und 7 also relativ prim sind

x – x 0 = 7k, y – y 0 = –5k.

Die allgemeine Lösung lautet also:

x = 1 + 7k, y = 2 – 5k,

wobei k eine beliebige ganze Zahl ist.

Antwort: (1+7k; 2–5k), wobei k eine ganze Zahl ist.

c) In diesem Fall ist es ziemlich schwierig, durch Auswahl eine spezifische Lösung zu finden. Lassen Sie uns den euklidischen Algorithmus für die Zahlen 1999 und 201 verwenden:

GCD(1999, 201) = GCD(201, 190) = GCD(190, 11) = GCD(11, 3) = GCD(3, 2) = GCD(2, 1) = 1.

Schreiben wir diesen Vorgang in umgekehrter Reihenfolge:

1 = 2 – 1 = 2 – (3 – 2) = 2 2 – 3 = 2 (11 – 3 3) – 3 = 2 11 – 7 3 = 2 11 – 7(190 – 11 17) =

121 11 – 7 190 = 121(201 – 190) – 7 190 = 121 201 – 128 190 =

121·201 – 128(1999 – 9·201) = 1273·201 – 128·1999.

Das bedeutet, dass das Paar (1273, 128) eine Lösung der Gleichung 201x – 1999y = 1 ist. Dann das Zahlenpaar

x 0 = 1273 12 = 15276, y 0 = 128 12 = 1536

ist eine Lösung der Gleichung 201x – 1999y = 12.

Die allgemeine Lösung dieser Gleichung wird in der Form geschrieben

x = 15276 + 1999k, y = 1536 + 201k, wobei k eine ganze Zahl ist,

oder nach Umbenennung (wir verwenden 15276 = 1283 + 7 1999, 1536 = 129 + 7 201),

x = 1283 + 1999n, y = 129 + 201n, wobei n eine ganze Zahl ist.

Antwort: (1283+1999n, 129+201n), wobei n eine ganze Zahl ist.

3. Lösen Sie die Gleichung in ganzen Zahlen:

a) x 3 + y 3 = 3333333;

b) x 3 + y 3 = 4(x 2 y + xy 2 + 1).

a) Da x 3 und y 3 bei Division durch 9 nur die Reste 0, 1 und 8 ergeben können (siehe Tabelle im Abschnitt), kann x 3 + y 3 nur die Reste 0, 1, 2, 7 und 8 ergeben. Aber wenn die Zahl 3333333 durch 9 geteilt wird, ergibt sich ein Rest von 3. Daher hat die ursprüngliche Gleichung keine Lösungen in ganzen Zahlen.

b) Schreiben wir die ursprüngliche Gleichung in der Form (x + y) 3 = 7(x 2 y + xy 2) + 4 um. Da Würfel ganzer Zahlen bei Division durch 7 die Reste 0, 1 und 6, aber nicht 4 ergeben Die Gleichung hat keine Lösungen in ganzen Zahlen.

Antwort: Es gibt keine ganzzahligen Lösungen.

a) in Primzahlen die Gleichung x 2 – 7x – 144 = y 2 – 25y;

b) in ganzen Zahlen die Gleichung x + y = x 2 – xy + y 2.

a) Lösen wir diese Gleichung als quadratische Gleichung in Bezug auf die Variable y. Wir bekommen

y = x + 9 oder y = 16 – x.

Da für ungerades x die Zahl x + 9 gerade ist, ist (2; 11) das einzige Primzahlenpaar, das die erste Gleichheit erfüllt.

Da x, y einfach sind, ergibt sich aus der Gleichheit y = 16 – x

2 x 16,2 bei 16.

Beim Durchsuchen der Optionen finden wir die verbleibenden Lösungen: (3; 13), (5; 11), (11; 5), (13; 3).

Antwort: (2; 11), (3; 13), (5; 11), (11; 5), (13; 3).

b) Betrachten Sie diese Gleichung als quadratische Gleichung für x:

x 2 – (y + 1)x + y 2 – y = 0.

Die Diskriminante dieser Gleichung ist –3y 2 + 6y + 1. Sie ist nur für die folgenden Werte von y positiv: 0, 1, 2. Für jeden dieser Werte erhalten wir aus der ursprünglichen Gleichung eine quadratische Gleichung für x , was leicht zu lösen ist.

Antwort: (0; 0), (0; 1), (1; 0), (1; 2), (2; 1), (2; 2).

5. Gibt es unendlich viele Tripletts ganzer Zahlen x, y, z, so dass x 2 + y 2 + z 2 = x 3 + y 3 + z 3?

Versuchen wir, Tripel auszuwählen, bei denen y = –z. Dann heben sich y 3 und z 3 immer gegenseitig auf und unsere Gleichung sieht so aus

x 2 + 2y 2 = x 3

oder andernfalls,

x 2 (x–1) = 2y 2 .

Damit ein Paar ganzer Zahlen (x; y) diese Bedingung erfüllt, reicht es aus, dass die Zahl x–1 das Doppelte des Quadrats der ganzen Zahl ist. Es gibt unendlich viele solcher Zahlen, nämlich alle Zahlen der Form 2n 2 +1. Wenn wir diese Zahl in x 2 (x–1) = 2y 2 einsetzen, erhalten wir nach einfachen Transformationen:

y = xn = n(2n 2 +1) = 2n 3 +n.

Alle so erhaltenen Tripletts haben die Form (2n 2 +1; 2n 3 +n; –2n 3 – n).

Antwort: existiert.

6. Finden Sie ganze Zahlen x, y, z, u, so dass x 2 + y 2 + z 2 + u 2 = 2xyzu.

Die Zahl x 2 + y 2 + z 2 + u 2 ist gerade, daher gibt es unter den Zahlen x, y, z, u eine gerade Anzahl ungerader Zahlen.

Wenn alle vier Zahlen x, y, z, u ungerade sind, dann ist x 2 + y 2 + z 2 + u 2 durch 4 teilbar, aber 2xyzu ist nicht durch 4 teilbar – eine Diskrepanz.

Wenn genau zwei der Zahlen x, y, z, u ungerade sind, dann ist x 2 + y 2 + z 2 + u 2 nicht durch 4 teilbar, aber 2xyzu ist durch 4 teilbar – wiederum eine Diskrepanz.

Daher sind alle Zahlen x, y, z, u gerade. Dann können wir das schreiben

x = 2x 1 , y = 2y 1 , z = 2z 1 , u = 2u 1 ,

und die ursprüngliche Gleichung wird die Form annehmen

x 1 2 + y 1 2 + z 1 2 + u 1 2 = 8x 1 y 1 z 1 u 1 .

Beachten Sie nun, dass (2k + 1) 2 = 4k(k + 1) + 1 bei Division durch 8 einen Rest von 1 ergibt. Wenn also alle Zahlen x 1 , y 1 , z 1 , u 1 ungerade sind, dann ist x 1 2 + y 1 2 + z 1 2 + u 1 2 ist nicht durch 8 teilbar. Und wenn genau zwei dieser Zahlen ungerade sind, dann ist x 1 2 + y 1 2 + z 1 2 + u 1 2 nicht einmal durch teilbar 4. Das bedeutet

x 1 = 2x 2, y 1 = 2y 2, z 1 = 2z 2, u 1 = 2u 2,

und wir erhalten die Gleichung

x 2 2 + y 2 2 + z 2 2 + u 2 2 = 32x 2 y 2 z 2 u 2 .

Wenn wir die gleiche Überlegung noch einmal wiederholen, finden wir, dass x, y, z, u für alle natürlichen n durch 2 n teilbar sind, was nur für x = y = z = u = 0 möglich ist.

Antwort: (0; 0; 0; 0).

7. Beweisen Sie, dass die Gleichung

(x – y) 3 + (y – z) 3 + (z – x) 3 = 30

hat keine Lösungen in ganzen Zahlen.

Verwenden wir die folgende Identität:

(x – y) 3 + (y – z) 3 + (z – x) 3 = 3(x – y)(y – z)(z – x).

Dann kann die ursprüngliche Gleichung geschrieben werden als

(x – y)(y – z)(z – x) = 10.

Bezeichnen wir a = x – y, b = y – z, c = z – x und schreiben wir die resultierende Gleichheit in die Form

Darüber hinaus ist es offensichtlich, dass a + b + c = 0. Es ist leicht zu überprüfen, dass die Gleichheit abc = 10 bis zur Permutation impliziert, dass die Zahlen |a|, |b|, |c| sind entweder gleich 1, 2, 5 oder 1, 1, 10. Aber in all diesen Fällen ist die Summe a + b + c für jede Wahl der Zeichen a, b, c ungleich Null. Somit hat die ursprüngliche Gleichung keine ganzzahligen Lösungen.

8. Lösen Sie Gleichung 1 in ganzen Zahlen! + 2! + . . . + x! = y 2 .

Es ist klar, dass

wenn x = 1, dann y 2 = 1,

wenn x = 3, dann y 2 = 9.

Diese Fälle entsprechen den folgenden Zahlenpaaren:

x 1 = 1, y 1 = 1;

x 2 = 1, y 2 = –1;

x 3 = 3, y 3 = 3;

x 4 = 3, y 4 = –3.

Beachten Sie, dass wir für x = 2 1 haben! + 2! = 3, für x = 4 haben wir 1! + 2! + 3! + 4! = 33 und weder 3 noch 33 sind Quadrate ganzer Zahlen. Wenn x > 5, dann, da

5! + 6! + . . . + x! = 10n,

das können wir schreiben

1! + 2! + 3! + 4! + 5! + . . . + x! = 33 + 10n.

Da 33 + 10n eine Zahl ist, die mit 3 endet, ist sie nicht das Quadrat einer ganzen Zahl.

Antwort: (1; 1), (1; –1), (3; 3), (3; –3).

9. Lösen Sie das folgende Gleichungssystem in natürlichen Zahlen:

a 3 – b 3 – c 3 = 3abc, a 2 = 2(b + c).

3abc > 0, dann a 3 > b 3 + c 3 ;

also haben wir

Wenn wir diese Ungleichungen addieren, erhalten wir das

Unter Berücksichtigung der letzten Ungleichung erhalten wir diese aus der zweiten Gleichung des Systems

Die zweite Gleichung des Systems zeigt aber auch, dass a eine gerade Zahl ist. Somit ist a = 2, b = c = 1.

Antwort: (2; 1; 1)

10. Finden Sie alle Paare von ganzen Zahlen x und y, die die Gleichung x 2 + x = y 4 + y 3 + y 2 + y erfüllen.

Unter Berücksichtigung beider Seiten dieser Gleichung erhalten wir:

x(x + 1) = y(y + 1)(y 2 + 1),

x(x + 1) = (y 2 + y)(y 2 + 1)

Eine solche Gleichheit ist möglich, wenn die linke und rechte Seite gleich Null sind oder das Produkt zweier aufeinanderfolgender ganzer Zahlen sind. Wenn wir also bestimmte Faktoren mit Null gleichsetzen, erhalten wir 4 Paare gewünschter Variablenwerte:

x 1 = 0, y 1 = 0;

x 2 = 0, y 2 = –1;

x 3 = –1, y 3 = 0;

x 4 = –1, y 4 = –1.

Das Produkt (y 2 + y)(y 2 + 1) kann nur dann als Produkt zweier aufeinanderfolgender ganzer Zahlen ungleich Null betrachtet werden, wenn y = 2. Daher ist x(x + 1) = 30, woraus x 5 = 5, x 6 = –6. Das bedeutet, dass es zwei weitere Ganzzahlpaare gibt, die die ursprüngliche Gleichung erfüllen:

x 5 = 5, y 5 = 2;

x 6 = –6, y 6 = 2.

Antwort: (0; 0), (0; –1), (–1; 0), (–1; –1), (5; 2), (–6; 2.)

Probleme ohne Lösungen

1. Lösen Sie die Gleichung in ganzen Zahlen:

a) xy = x + y + 3;

b) x 2 + y 2 = x + y + 2.

2. Lösen Sie die Gleichung in ganzen Zahlen:

a) x 3 + 21y 2 + 5 = 0;

b) 15x 2 – 7y 2 = 9.

3. Lösen Sie die Gleichung in natürlichen Zahlen:

a) 2 x + 1 = y 2;

b) 3 2 x + 1 = y 2.

4. Beweisen Sie, dass die Gleichung x 3 + 3y 3 + 9z 3 = 9xyz in rationalen Zahlen eine eindeutige Lösung hat

5. Beweisen Sie, dass die Gleichung x 2 + 5 = y 3 in ganzen Zahlen keine Lösungen hat.