Kürzlich habe ich so interessante Objekte der mathematischen Welt wie Fraktale kennengelernt. Aber es gibt sie nicht nur in der Mathematik. Sie umgeben uns überall. Fraktale sind natürlich. Ich werde in diesem Artikel darüber sprechen, was Fraktale sind, über die Arten von Fraktalen, über Beispiele dieser Objekte und ihre Anwendungen. Zunächst erkläre ich Ihnen kurz, was ein Fraktal ist.
Ein Fraktal (lat. fractus – zerquetscht, zerbrochen, zerbrochen) ist eine komplexe geometrische Figur, die die Eigenschaft der Selbstähnlichkeit besitzt, also aus mehreren Teilen besteht, von denen jeder der gesamten Figur ähnlich ist. Im weiteren Sinne versteht man unter Fraktalen Mengen von Punkten im euklidischen Raum, die eine gebrochene metrische Dimension (im Sinne von Minkowski oder Hausdorff) oder eine von der topologischen abweichende metrische Dimension haben. Als Beispiel füge ich ein Bild ein, das vier verschiedene Fraktale zeigt.
Ich erzähle Ihnen ein wenig über die Geschichte der Fraktale. Die Ende der 70er Jahre aufgekommenen Konzepte des Fraktals und der fraktalen Geometrie haben sich seit Mitte der 80er Jahre bei Mathematikern und Programmierern fest etabliert. Das Wort „Fraktal“ wurde 1975 von Benoit Mandelbrot geprägt, um sich auf die unregelmäßigen, aber selbstähnlichen Strukturen zu beziehen, mit denen er sich beschäftigte. Die Geburt der fraktalen Geometrie wird üblicherweise mit der Veröffentlichung von Mandelbrots Buch „The Fractal Geometry of Nature“ im Jahr 1977 in Verbindung gebracht. Seine Arbeiten nutzten die wissenschaftlichen Ergebnisse anderer Wissenschaftler, die in der Zeit von 1875 bis 1925 auf demselben Gebiet arbeiteten (Poincaré, Fatou, Julia, Cantor, Hausdorff). Aber erst in unserer Zeit war es möglich, ihre Arbeit in einem einzigen System zu vereinen.
Es gibt viele Beispiele für Fraktale, denn sie umgeben uns, wie gesagt, überall. Meiner Meinung nach ist sogar unser gesamtes Universum ein riesiges Fraktal. Schließlich wiederholt sich alles darin, von der Struktur des Atoms bis zur Struktur des Universums selbst, exakt. Aber es gibt natürlich auch konkretere Beispiele für Fraktale aus anderen Bereichen. Fraktale beispielsweise liegen in komplexen Dynamiken vor. Sie sind dort erscheinen natürlich, wenn man nichtlineare Untersuchungen durchführt dynamische Systeme. Der am häufigsten untersuchte Fall ist, wenn das dynamische System durch Iterationen eines Polynoms oder Holomorphs spezifiziert wird Funktion eines Variablenkomplexes auf der Oberfläche. Zu den bekanntesten Fraktalen dieser Art gehören die Julia-Menge, die Mandelbrot-Menge und die Newton-Pools. Unten zeigen die Bilder der Reihe nach jedes der oben genannten Fraktale.
Ein weiteres Beispiel für Fraktale sind fraktale Kurven. Wie man ein Fraktal konstruiert, lässt sich am besten am Beispiel fraktaler Kurven erklären. Eine dieser Kurven ist die sogenannte Koch-Schneeflocke. Es gibt eine einfacheVerfahren zum Erhalten fraktaler Kurven auf einer Ebene. Definieren wir eine beliebige gestrichelte Linie mit einer endlichen Anzahl von Verbindungen, einen sogenannten Generator. Als nächstes ersetzen wir jedes darin enthaltene Segment durch einen Generator (genauer gesagt eine gestrichelte Linie ähnlich einem Generator). In der resultierenden gestrichelten Linie ersetzen wir erneut jedes Segment durch einen Generator. Wenn wir weiter bis ins Unendliche gehen, erhalten wir im Grenzfall eine fraktale Kurve. Unten ist die Koch-Schneeflocke (oder Kurve) zu sehen.
Es gibt auch eine große Vielfalt fraktaler Kurven. Die bekanntesten davon sind die bereits erwähnte Koch-Schneeflocke sowie die Levy-Kurve, die Minkowski-Kurve, die gestrichelte Linie des Drachen, die Piano-Kurve und der Pythagoras-Baum. Ich denke, wenn Sie möchten, können Sie auf Wikipedia leicht ein Bild dieser Fraktale und ihrer Geschichte finden.
Das dritte Beispiel oder die dritte Art von Fraktalen sind stochastische Fraktale. Zu solchen Fraktalen gehört die Flugbahn der Brownschen Bewegung in der Ebene und im Raum, Schramm-Löwner-Entwicklungen, verschiedene Arten von randomisierten Fraktalen, d. h. Fraktale, die durch ein rekursives Verfahren erhalten werden, in das bei jedem Schritt ein Zufallsparameter eingeführt wird.
Es gibt auch rein mathematische Fraktale. Dies sind beispielsweise die Cantor-Menge, der Menger-Schwamm, das Sierpinski-Dreieck und andere.
Aber die vielleicht interessantesten Fraktale sind natürliche. Natürliche Fraktale sind Objekte in der Natur, die fraktale Eigenschaften haben. Und hier ist die Liste schon groß. Ich werde nicht alles auflisten, da es wahrscheinlich unmöglich ist, sie alle aufzulisten, aber ich werde Ihnen einiges erzählen. In der belebten Natur umfassen solche Fraktale beispielsweise unser Kreislaufsystem und unsere Lunge. Und auch die Kronen und Blätter von Bäumen. Dazu gehören auch Seesterne, Seeigel, Korallen, Muscheln und einige Pflanzen wie Kohl oder Brokkoli. Nachfolgend sind mehrere solcher natürlicher Fraktale aus der belebten Natur deutlich dargestellt.
Wenn wir die unbelebte Natur betrachten, dann gibt es dort viel interessantere Beispiele als in der belebten Natur. Blitze, Schneeflocken, Wolken, die jeder kennt, Muster auf Fenstern an frostigen Tagen, Kristalle, Bergketten – all das sind Beispiele natürlicher Fraktale aus der unbelebten Natur.
Wir haben uns Beispiele und Arten von Fraktalen angesehen. Was die Verwendung von Fraktalen betrifft, so werden sie in einer Vielzahl von Wissensgebieten eingesetzt. In der Physik entstehen Fraktale natürlicherweise bei der Modellierung nichtlinearer Prozesse wie turbulenter Flüssigkeitsströmungen, komplexer Diffusions-Adsorptions-Prozesse, Flammen, Wolken usw. Fraktale werden bei der Modellierung poröser Materialien beispielsweise in der Petrochemie verwendet. In der Biologie werden sie zur Modellierung von Populationen und zur Beschreibung innerer Organsysteme (Blutgefäßsystem) verwendet. Nach der Erstellung der Koch-Kurve wurde vorgeschlagen, sie zur Berechnung der Küstenlänge zu verwenden. Fraktale werden auch in der Funktechnik, Informationswissenschaft und Computertechnologie, Telekommunikation und sogar in der Wirtschaft aktiv eingesetzt. Und natürlich wird das fraktale Sehen in der modernen Kunst und Architektur aktiv eingesetzt. Hier ist ein Beispiel für fraktale Muster:
Damit möchte ich meine Geschichte über ein so ungewöhnliches mathematisches Phänomen wie ein Fraktal vervollständigen. Heute haben wir erfahren, was ein Fraktal ist, wie es aussieht und welche Arten und Beispiele es für Fraktale gibt. Ich habe auch über ihre Anwendung gesprochen und einige der Fraktale visuell demonstriert. Ich hoffe, Ihnen hat dieser kleine Ausflug in die Welt der erstaunlichen und faszinierenden fraktalen Objekte gefallen.
Abgeschlossen von der Schülerin der 7. Klasse, Polina Karpyuk
Prioda besteht aus sich selbst ähnelnden Figuren, wir merken es nur nicht. In dieser Galerie haben wir Bilder gesammelt, in denen die Fraktalität deutlich sichtbar ist.
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Folienunterschriften:
Fraktale in der Natur Abgeschlossen von: Schülerin der 7. „B“-Klasse Polina Karpyuk Betreuer: Molchanova Irina Pavlovna Rubtsovsk-2015
Mathematik spiegelt bei richtiger Betrachtung nicht nur die Wahrheit, sondern auch unvergleichliche Schönheit wider. Bertrand Russell
Was haben ein Baum, ein Meeresufer, eine Wolke oder die Blutgefäße in unserer Hand gemeinsam? Es gibt eine Struktureigenschaft, die allen aufgeführten Objekten innewohnt: Sie sind selbstähnlich. Von einem Ast, wie von einem Baumstamm, gehen kleinere Triebe aus, von ihnen noch kleinere usw., das heißt, ein Ast gleicht dem ganzen Baum. Das Kreislaufsystem ist ähnlich aufgebaut: Von den Arterien gehen Arteriolen ab und von ihnen die kleinsten Kapillaren, durch die Sauerstoff in die Organe und Gewebe gelangt. Der amerikanische Mathematiker Benoit Mandelbrot nannte diese Eigenschaft von Objekten Fraktalität, und solche Objekte selbst nannten sie Fraktale. Das Wort „Fraktal“ selbst wird aus dem Lateinischen mit „teilweise“, „geteilt“, „fragmentiert“ übersetzt, und was den Inhalt dieses Begriffs betrifft, gibt es keine Formulierung als solche. Es wird üblicherweise als eine selbstähnliche Menge interpretiert, ein Teil des Ganzen, das seine Struktur auf der Mikroebene wiederholt. .
Weltraumfotografien von Erdlandschaften liefern oft hervorragende Beispiele für Fraktale.
Küsten haben meist eine fraktale Form, unterscheiden sich jedoch im Grad ihrer Zerklüftetheit. Dieses Beispiel zeigt zwei charakteristische Eigenschaften natürlicher Fraktale: Einzelne Kanäle sind keine Kopien voneinander, sondern haben ähnliche krummlinige Umrisse, als wären sie nach demselben Muster gezeichnet. Große Kanäle ähneln im Umriss kleinen und sehr kleinen Kanälen. Wenn wir beispielsweise die untere linke Ecke des Bildes vergrößern, erhalten wir etwas Ähnliches wie das gesamte Bild
Durch das Zusammenspiel von Wasser und Land entstehen fraktale Strukturen in Landschaften – seien es Berge, Flüsse oder Küsten.
Wahrscheinlich kennt jeder das Gemälde des japanischen Künstlers Hokusai „Die große Welle“, auf dem eine Tsunamiwelle vor der Kulisse des Fuji dargestellt ist. Wenn Sie sich dieses Bild genau ansehen, werden Sie feststellen, dass der Künstler beim Zeichnen des Wellenkamms ein Fraktal verwendet hat, als ob es aus zahlreichen räuberischen Wasserpfoten bestünde. Daher wird dieses Bild oft als Illustration für Bücher über Chaostheorie und Fraktale verwendet.
Wenn eine Sanddüne durch Wasser erodiert wird, reproduziert sie sich in winzigem Maßstab, was größeren Landschaften auf der Erde eine fraktale Form verleiht.
Blitzentladungen sind ein Beispiel für natürliche Fraktale.
Dieses Bild verdeutlicht nicht nur die fraktale Natur von Baumkronen, es legt auch eine weitere interessante Überlegung nahe: Der Wald als biologische Gemeinschaft ist ebenfalls ein Fraktal. Einzelne Bäume – große und kleine – fungieren dann als Zweige des Fraktals. Sie sind ähnlich, wiederholen sich aber nicht.
Blattadern sind ein flaches natürliches Fraktal. Für jede Pflanze ist das charakteristische Muster einzigartig, ebenso wie das Papillenmuster auf der Hand eines Menschen einzigartig ist. Goethe (Dichter und Wissenschaftler) glaubte, dass das Blatt der ausdrucksstärkste Teil der Pflanze sei, der ihre gesamte Morphologie widerspiegele.
Farne sind ein Beispiel für natürliche Fraktale, die Computerfraktalen sehr ähnlich sind. Darüber hinaus sind sie auch deshalb interessant, weil Farne neben verschiedenen Moosen und anderen niederen Pflanzen zu den evolutionär ältesten Pflanzen gehören
Dies ist ein weiteres berühmtes und sehr beeindruckendes Beispiel für ein natürliches Fraktal mit mathematisch klaren Formen. Es gibt mindestens drei Ebenen selbstähnlicher, genialer Romanesco-Kohlpyramiden
Ein magisch schönes Fraktal, das durchaus so manchen Künstler inspirieren könnte. Schauen Sie in der Zwischenzeit genauer hin: Es handelt sich nur um einen dichten Haufen Kohlblätter.
Dies sind interessante Beispiele fraktaler Strukturen in der Mineralienwelt. Karbonat-Apatit-Goldnugget ist ein exquisiter, von der Natur selbst geschaffener Schatz.
Haben Sie jemals daran gedacht, dass wir buchstäblich in Fraktalen denken? Hier gibt es einiges zu bedenken – wer würde behaupten, dass das Gehirn eine der erstaunlichsten und einzigartigsten Schöpfungen der Natur ist? Und es stellt sich heraus, dass es äußerlich die gleichen fraktalen Merkmale aufweist wie atmosphärische Wolken oder das Wurzelsystem von Brennnesseln.
Hier ist alles noch komplizierter: Zwei separate fraktale Bäume sind ineinander verschlungen – dem einen wird venöses Blut zugeführt, dem anderen wird mit Sauerstoff angereichertes arterielles Blut abgeführt. Und insgesamt ist die Lunge ein erstaunlich komplexes System aus drei Fraktalen – einem Atmungs- und zwei Kreislauffraktalen.
Die Netzhaut enthält lichtempfindliche Zellen, die uns das Sehen ermöglichen. Auf diesem Foto sind sie gelbgrün. Sie bilden zwar ein Netzwerk (die Netzhaut), aber dieses Netzwerk ist chaotisch und fraktal.
Das ist der Bauch eines Schweins. Auch seine Farbmuster scheinen fraktalen Regeln zu folgen. Dies ist ein interessantes Thema und hat vor allem viele Anwendungen, auch von militärischer Bedeutung. Nach welchen Regeln sollte ein Tarnmuster gestaltet sein, damit sein Träger mit den natürlichen Formen – Landschaft und Vegetation – verschmilzt?
Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit!!!
Die als Fraktale bekannten mathematischen Formen stammen vom Genie des bedeutenden Wissenschaftlers Benoit Mandelbrot. Er verbrachte den größten Teil seines Lebens in den Vereinigten Staaten, wo er an der Yale University Mathematik lehrte. In den Jahren 1977 und 1982 veröffentlichte Mandelbrot wissenschaftliche Arbeiten zum Studium der „fraktalen Geometrie“ oder „Geometrie der Natur“, in denen er scheinbar zufällige mathematische Formen in Bestandteile zerlegte, die sich bei näherer Betrachtung als sich wiederholend herausstellten – welche beweist die Existenz einer Art Muster zum Kopieren. Mandelbrots Entdeckung hatte erhebliche positive Auswirkungen auf die Entwicklung der Physik, Astronomie und Biologie.
Wie funktioniert ein Fraktal?
Ein Fraktal (vom lateinischen „fractus“ – zerbrochen, zerdrückt, zerbrochen) ist eine komplexe geometrische Figur, die aus mehreren unendlichen Folgen von Teilen besteht, von denen jeder der gesamten Figur ähnelt und sich mit abnehmendem Maßstab wiederholt.
Die Struktur des Fraktals ist auf allen Skalen nicht trivial. Hier müssen wir klären, was gemeint ist. Regelmäßige Figuren wie ein Kreis, eine Ellipse oder der Graph einer glatten Funktion werden also so angeordnet, dass sie, wenn man ein kleines Fragment einer regelmäßigen Figur in ausreichend großem Maßstab betrachtet, einem Fragment von ähnelt eine gerade Linie. Bei Fraktalen führt eine Vergrößerung des Maßstabs nicht zu einer Vereinfachung der Struktur der Figur, und auf allen Maßstäben sehen wir ein einheitlich komplexes Bild.
In der Natur haben viele Objekte fraktale Eigenschaften, zum Beispiel: Baumkronen, Blumenkohl, Wolken, das Kreislauf- und Alveolarsystem von Mensch und Tier, Kristalle, Schneeflocken, deren Elemente zu einer komplexen Struktur angeordnet sind, Küstenlinien (das fraktale Konzept erlaubt). Wissenschaftler, um die Küstenlinie der Britischen Inseln und andere bisher nicht messbare Objekte zu vermessen).
Schauen wir uns die Struktur von Blumenkohl an. Wenn Sie eine der Blumen abschneiden, ist es offensichtlich, dass derselbe Blumenkohl in Ihren Händen bleibt, nur kleiner. Wir können auch unter dem Mikroskop immer wieder schneiden – aber alles, was wir bekommen, sind winzige Kopien des Blumenkohls. Im einfachsten Fall enthält bereits ein kleiner Teil des Fraktals Informationen über die gesamte endgültige Struktur.
Ein markantes Beispiel für ein Fraktal in der Natur ist „Romanescu“, auch bekannt als „Romanescu Brokkoli“ oder „Korallenblumenkohl“. Die erste Erwähnung dieses exotischen Gemüses stammt aus dem 16. Jahrhundert in Italien. Die Knospen dieses Kohls wachsen in einer logarithmischen Spirale. 3D-Künstler, Designer und Köche bewundern sie immer wieder. Letztere schätzen das Gemüse außerdem besonders wegen des raffiniertesten Geschmacks (süß und nussig, nicht schwefelhaltig), den Kohl haben kann, und wegen der Tatsache, dass es weniger krümelig ist als gewöhnlicher Blumenkohl. Darüber hinaus ist Römerbrokkoli reich an Vitamin C, Antioxidantien und Carotinoiden.
Fraktale in der digitalen Technologie
Die fraktale Geometrie hat einen unschätzbaren Beitrag zur Entwicklung neuer Technologien im Bereich der digitalen Musik geleistet und auch die Komprimierung digitaler Bilder ermöglicht. Bestehende Komprimierungsalgorithmen für fraktale Bilder basieren auf dem Prinzip, ein komprimiertes Bild anstelle des digitalen Bildes selbst zu speichern. Bei einem komprimierten Bild bleibt das Hauptbild ein fester Punkt. Microsoft hat bei der Veröffentlichung seiner Enzyklopädie eine der Varianten dieses Algorithmus verwendet, aber aus dem einen oder anderen Grund wurde diese Idee nicht weit verbreitet.
Für die Vergabe von IP-Adressen nutzt das System das Prinzip der fraktalen Informationskomprimierung zur kompakten Speicherung von Informationen über Netzwerkknoten „Netsukuku“. Jeder Knoten speichert 4 Kilobyte an Informationen über den Zustand benachbarter Knoten. Jeder neue Knoten stellt eine Verbindung zum allgemeinen Internet her, ohne dass eine zentrale Regulierung der Verteilung von IP-Adressen erforderlich ist. Wir können daraus schließen, dass das Prinzip der fraktalen Informationskomprimierung einen dezentralen Betrieb des gesamten Netzwerks gewährleistet und die Arbeit darin so stabil wie möglich verläuft.
Fraktale werden in der Computergrafik häufig verwendet – bei der Konstruktion von Bildern von Bäumen, Büschen, Meeresoberflächen, Berglandschaften und anderen natürlichen Objekten. Dank fraktaler Grafiken wurde eine effektive Möglichkeit erfunden, komplexe nichteuklidische Objekte zu implementieren, deren Bilder natürlichen ähneln: Dies sind Algorithmen zur Synthese fraktaler Koeffizienten, die es ermöglichen, eine Kopie jedes Bildes so nah wie möglich an das zu reproduzieren Original. Interessanterweise gibt es neben fraktaler „Malerei“ auch fraktale Musik und fraktale Animation. In der bildenden Kunst gibt es eine Richtung, die sich mit der Gewinnung eines Bildes eines zufälligen Fraktals befasst – „fraktale Monotypie“ oder „Stochatypie“.
Die mathematische Grundlage fraktaler Grafiken ist die fraktale Geometrie, wobei das Prinzip der Vererbung von den ursprünglichen „Elternobjekten“ die Grundlage für die Methoden zur Konstruktion von „Erbenbildern“ bildet. Die eigentlichen Konzepte der fraktalen Geometrie und fraktalen Grafik tauchten erst vor etwa 30 Jahren auf, haben sich aber bereits fest im Alltag von Computerdesignern und Mathematikern etabliert.
Die Grundkonzepte der fraktalen Computergrafik sind:
- Fraktales Dreieck - Fraktale Figur - Fraktales Objekt (Hierarchie in absteigender Reihenfolge)
- Fraktale Linie
- Fraktale Komposition
- „Übergeordnetes Objekt“ und „Nachfolgeobjekt“
Wie baut man ein Fraktal auf?
Der Schöpfer von Fraktalen spielt gleichzeitig die Rolle eines Künstlers, Fotografen, Bildhauers und Wissenschaftler-Erfinders. Was sind die nächsten Schritte beim Erstellen einer Zeichnung von Grund auf?
- Legen Sie die Form der Zeichnung mithilfe einer mathematischen Formel fest
- Untersuchen Sie die Konvergenz des Prozesses und variieren Sie seine Parameter
- Bildtyp auswählen
- Wählen Sie eine Farbpalette
Unter fraktalen Grafikeditoren und anderen Grafikprogrammen können wir Folgendes hervorheben:
„Kunstliebhaber“
„Maler“ (ohne Computer wird kein Künstler jemals die Fähigkeiten erreichen können, die Programmierer nur mit Bleistift und Pinselstift festgelegt haben)
„Adobe Photoshop“ (hier wird das Bild aber nicht „von Grund auf neu“ erstellt, sondern in der Regel nur bearbeitet)
Die Natur ist eine perfekte Schöpfung, davon sind Wissenschaftler überzeugt, die die Proportionen des Goldenen Schnitts in der Struktur des menschlichen Körpers und fraktale Figuren im Kopf eines Blumenkohls entdecken.
„Das Studium und die Beobachtung der Natur brachten die Wissenschaft hervor“, schrieb Cicero im ersten Jahrhundert v. Chr. In späteren Zeiten, mit der Entwicklung der Wissenschaft und ihrer Distanzierung vom Studium der Natur, sind Wissenschaftler überrascht, etwas zu entdecken, was unseren Vorfahren bekannt war, aber nicht durch wissenschaftliche Methoden bestätigt wurde.
Es ist interessant, ähnliche Formationen im Mikro- und Makrokosmos zu finden; es kann auch inspirierend sein, dass die Wissenschaft die Geometrie dieser Formationen beschreiben kann. Das Kreislaufsystem, ein Fluss, Blitze, Äste ... all dies sind ähnliche Systeme, die aus unterschiedlichen Partikeln bestehen und unterschiedlich groß sind.
Proportionen des „Goldenen Schnitts“
Schon die alten Griechen und möglicherweise auch die Ägypter kannten das Verhältnis des „Goldenen Schnitts“. Luca Pacioli, ein Renaissance-Mathematiker, nannte dieses Verhältnis das „göttliche Verhältnis“. Später entdeckten Wissenschaftler, dass der Goldene Schnitt, der für das menschliche Auge so angenehm ist und oft in der klassischen Architektur, Kunst und sogar Poesie zu finden ist, überall in der Natur zu finden ist.
Der Goldene Schnitt ist eine Aufteilung eines Segments in zwei ungleiche Teile, wobei sich der kurze Teil auf den langen Teil wie der lange Teil auf das gesamte Segment bezieht. Das Verhältnis des langen Teils zum gesamten Segment ist eine unendliche Zahl, ein irrationaler Bruch 0,618..., das Verhältnis des kurzen Teils beträgt 0,382...
Wenn man ein Rechteck baut, dessen Seitenverhältnis gleich dem Verhältnis des „Goldenen Schnitts“ ist, und ein weiteres „Goldenes Rechteck“ hineinschreibt, ein weiteres in dieses und so weiter bis ins Unendliche nach innen und außen, dann kann eine Spirale entstehen entlang der Eckpunkte der Rechtecke gezeichnet werden. Es ist interessant, dass eine solche Spirale mit einem Schnitt aus einer Nautilusmuschel sowie anderen in der Natur vorkommenden Spiralen zusammenfällt.
Abbildung: Homk/wikipedia.org
Nautilus-Fossil.
Foto: Studio-Annika/Photos.com
Nautilusmuschel.
Foto: Chris 73/en.wikipedia.org
Die Proportionen des Goldenen Schnitts werden vom menschlichen Auge als schön und harmonisch wahrgenommen. Und das Verhältnis 0,618... entspricht dem Verhältnis der vorherigen zur nächsten Zahl in der Fibonacci-Reihe. Fibonacci-Zahlen kommen überall in der Natur vor: Das ist die Spirale, entlang derer die Zweige einer Pflanze an den Stamm angrenzen, die Spirale, entlang derer die Schuppen eines Tannenzapfens wachsen oder die Körner einer Sonnenblume. Interessanterweise sind die Anzahl der Reihen, die sich gegen den Uhrzeigersinn und im Uhrzeigersinn drehen, benachbarte Zahlen in der Fibonacci-Reihe.
Der Kopf eines Brokkolikohls und ein Widderhorn winden sich spiralförmig... Und im menschlichen Körper selbst, natürlich gesund und von normaler Proportion, findet man die Verhältnisse des Goldenen Schnitts.
Vitruvianischer Mensch. Zeichnung von Leonardo da Vinci.
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... sind Zahlen in der Fibonacci-Reihe, in der sich jeder nachfolgende Term aus der Summe der beiden vorherigen ergibt. Von Satelliten fotografierte entfernte Spiralgalaxien drehen sich ebenfalls in Fibonacci-Spiralen.
Spiralgalaxie.
Foto: NASA
Drei tropische Wirbelstürme.
Foto: NASA
Das DNA-Molekül ist in einer Doppelhelix verdreht.
Verdrehte menschliche DNA.
Abbildung: Zephyris/en.wikipedia.org
Der Hurrikan dreht sich spiralförmig, die Spinne spinnt ihr Netz spiralförmig.
Netz einer Kreuzspinne.
Foto: Vincent de Groot/videgro.net
Der „goldene Anteil“ ist auch im Körperbau des Schmetterlings, bezogen auf die Brust- und Bauchteile seines Körpers, sowie bei der Libelle zu erkennen. Und die meisten Eier passen, wenn nicht in das Rechteck des Goldenen Schnitts, so doch in eine Ableitung davon.
Illustration: Adolphe Millot
Fraktale
Weitere interessante Formen, die wir überall in der Natur sehen können, sind Fraktale. Fraktale sind Figuren, die aus Teilen bestehen, von denen jedes der gesamten Figur ähnelt – erinnert Sie das nicht an das Prinzip des Goldenen Schnitts?
Bäume, Blitze, Bronchien und das menschliche Kreislaufsystem haben eine fraktale Form; Farne und Brokkoli werden auch als ideale natürliche Illustrationen von Fraktalen bezeichnet. „Alles ist so kompliziert, alles ist so einfach“, so funktioniert die Natur, merken die Menschen, wenn sie ihr respektvoll zuhören.
„Die Natur hat den Menschen mit dem Wunsch ausgestattet, die Wahrheit zu entdecken“, schrieb Cicero, mit dessen Worten ich den ersten Teil des Artikels über die Geometrie in der Natur beenden möchte.
Brokkoli ist eine perfekte natürliche Illustration eines Fraktals.
Foto: pdphoto.org
Farnblätter haben die Form einer fraktalen Figur – sie sind sich selbst ähnlich.
Foto: Stockbyte/Photos.com
Grüne Fraktale: Farnblätter.
Foto: John Foxx/Photos.com
Adern auf einem vergilbten Blatt, geformt wie ein Fraktal.
Foto: Diego Barucco/Photos.com
Risse auf einem Stein: Fraktal im Makro.
Foto: Bob Beale/Photos.com
Zweige des Kreislaufsystems an den Ohren eines Kaninchens.
Foto: Lusoimages/Photos.com
Blitzeinschlag - Fraktalzweig.
Foto: John R. Southern/flickr.com
Arterienzweig im menschlichen Körper.
Gewundener Fluss und seine Zweige.
Foto: Jupiterimages/Photos.com
Auf Glas gefrorenes Eis hat ein selbstähnliches Muster.
Foto: Schnobby/en.wikipedia.org
Ein Efeublatt mit verzweigten Adern – fraktale Form.
Foto: Wojciech Plonka/Photos.com
Wie das Fraktal entdeckt wurde
Die als Fraktale bekannten mathematischen Formen stammen vom Genie des bedeutenden Wissenschaftlers Benoit Mandelbrot. Die meiste Zeit seines Lebens lehrte er Mathematik an der Yale University in den USA. In den Jahren 1977 - 1982 veröffentlichte Mandelbrot wissenschaftliche Arbeiten zum Studium der „fraktalen Geometrie“ oder „Geometrie der Natur“, in denen er scheinbar zufällige mathematische Formen in Bestandteile zerlegte, die sich bei näherer Betrachtung als sich wiederholend herausstellten – welche bewies das Vorhandensein eines bestimmten Modells zum Kopieren. Mandelbrots Entdeckung hatte erhebliche Auswirkungen auf die Entwicklung der Physik, Astronomie und Biologie.
Fraktale in der Natur
In der Natur haben viele Objekte fraktale Eigenschaften, zum Beispiel: Baumkronen, Blumenkohl, Wolken, das Kreislauf- und Alveolarsystem von Mensch und Tier, Kristalle, Schneeflocken, deren Elemente zu einer komplexen Struktur angeordnet sind, Küstenlinien (das fraktale Konzept erlaubt). Wissenschaftler, um die Küstenlinie der Britischen Inseln und andere bisher nicht messbare Objekte zu vermessen).
Schauen wir uns die Struktur von Blumenkohl an. Wenn Sie eine der Blumen abschneiden, ist es offensichtlich, dass derselbe Blumenkohl in Ihren Händen bleibt, nur kleiner. Wir können auch unter dem Mikroskop immer wieder schneiden – aber alles, was wir bekommen, sind winzige Kopien des Blumenkohls. Im einfachsten Fall enthält bereits ein kleiner Teil des Fraktals Informationen über die gesamte endgültige Struktur.
Fraktale in der digitalen Technologie
Die fraktale Geometrie hat einen unschätzbaren Beitrag zur Entwicklung neuer Technologien im Bereich der digitalen Musik geleistet und auch die Komprimierung digitaler Bilder ermöglicht. Bestehende Komprimierungsalgorithmen für fraktale Bilder basieren auf dem Prinzip, ein komprimiertes Bild anstelle des digitalen Bildes selbst zu speichern. Bei einem komprimierten Bild bleibt das Hauptbild ein fester Punkt. Microsoft hat bei der Veröffentlichung seiner Enzyklopädie eine der Varianten dieses Algorithmus verwendet, aber aus dem einen oder anderen Grund wurde diese Idee nicht weit verbreitet.
Die mathematische Grundlage fraktaler Grafiken ist die fraktale Geometrie, wobei das Prinzip der Vererbung von den ursprünglichen „Elternobjekten“ die Grundlage für die Methoden zur Konstruktion von „Erbenbildern“ bildet. Die eigentlichen Konzepte der fraktalen Geometrie und fraktalen Grafik tauchten erst vor etwa 30 Jahren auf, haben sich aber bereits fest im Alltag von Computerdesignern und Mathematikern etabliert.
Die Grundkonzepte der fraktalen Computergrafik sind:
- Fraktales Dreieck - Fraktale Figur - Fraktales Objekt (Hierarchie in absteigender Reihenfolge)
- Fraktale Linie
- Fraktale Komposition
- „Übergeordnetes Objekt“ und „Nachfolgeobjekt“
Genau wie bei Vektor- und dreidimensionalen Grafiken erfolgt die Erstellung fraktaler Bilder mathematisch berechnet. Der Hauptunterschied zu den ersten beiden Grafiktypen besteht darin, dass ein Fraktalbild nach einer Gleichung oder einem Gleichungssystem erstellt wird – Sie müssen nichts anderes als die Formel im Speicher des Computers speichern, um alle Berechnungen durchzuführen – und das Die Kompaktheit des mathematischen Apparats ermöglichte die Verwendung dieser Idee in der Computergrafik. Durch einfaches Ändern der Koeffizienten der Gleichung erhalten Sie ganz einfach ein völlig anderes Fraktalbild – mithilfe mehrerer mathematischer Koeffizienten werden Flächen und Linien mit sehr komplexen Formen angegeben, wodurch Sie Kompositionstechniken wie Horizontale und Vertikale, Symmetrie und Asymmetrie implementieren können , diagonale Richtungen und vieles mehr.
Wie baut man ein Fraktal auf?
Der Schöpfer von Fraktalen spielt gleichzeitig die Rolle eines Künstlers, Fotografen, Bildhauers und Wissenschaftler-Erfinders. Was sind die nächsten Schritte beim Erstellen einer Zeichnung von Grund auf?
- Legen Sie die Form der Zeichnung mithilfe einer mathematischen Formel fest
- Untersuchen Sie die Konvergenz des Prozesses und variieren Sie seine Parameter
- Bildtyp auswählen
- Wählen Sie eine Farbpalette
Unter fraktalen Grafikeditoren und anderen Grafikprogrammen können wir Folgendes hervorheben:
- „Kunstliebhaber“
- „Maler“ (ohne Computer wird kein Künstler jemals die Fähigkeiten erreichen können, die Programmierer nur mit Bleistift und Pinselstift festgelegt haben)
- „Adobe Photoshop“ (hier wird das Bild aber nicht „von Grund auf neu“ erstellt, sondern in der Regel nur bearbeitet)
Betrachten wir die Struktur einer beliebigen fraktalen geometrischen Figur. In seiner Mitte befindet sich das einfachste Element – ein gleichseitiges Dreieck, das den gleichen Namen trägt: „Fraktal“. Auf dem mittleren Seitensegment werden wir gleichseitige Dreiecke konstruieren, deren Seite einem Drittel der Seite des ursprünglichen fraktalen Dreiecks entspricht. Nach dem gleichen Prinzip werden noch kleinere Nachfolgedreiecke der zweiten Generation gebaut – und so weiter bis ins Unendliche. Das resultierende Objekt wird als „fraktale Figur“ bezeichnet, aus deren Sequenzen wir eine „fraktale Komposition“ erhalten.
Quelle: http://www.iknowit.ru/
Fraktale und alte Mandalas
Im Prinzip ist ein Mandala ein geometrisches Symbol einer komplexen Struktur, das als Modell des Universums, als „Karte des Kosmos“ interpretiert wird. Dies ist das erste Anzeichen von Fraktalität!
Sie sind auf Stoff gestickt, auf Sand bemalt, mit farbigen Pulvern hergestellt und aus Metall, Stein, Holz gefertigt. Sein helles und faszinierendes Aussehen macht es zu einer wunderschönen Dekoration für Böden, Wände und Decken von Tempeln in Indien. In der alten indischen Sprache bedeutet „Mandala“ den mystischen Kreis der Beziehung zwischen den spirituellen und materiellen Energien des Universums oder mit anderen Worten die Blume des Lebens.
Ich wollte eine sehr kurze Rezension über fraktale Mandalas schreiben, mit einem Minimum an Absätzen, die zeigen, dass die Beziehung eindeutig besteht. Beim Versuch, Informationen über Fraktale und Mandalas zu verstehen und zu einem Ganzen zu verbinden, hatte ich jedoch das Gefühl eines Quantensprungs in einen mir unbekannten Raum.
Die Unermesslichkeit dieses Themas verdeutliche ich mit einem Zitat: „Solche fraktalen Kompositionen oder Mandalas können in Form von Gemälden, Gestaltungselementen für Wohn- und Arbeitsräume, tragbaren Amuletten, in Form von Videobändern, Computerprogrammen verwendet werden ...“ Im Allgemeinen ist das Thema für das Studium von Fraktalen einfach riesig.
Eines kann ich mit Sicherheit sagen: Die Welt ist viel vielfältiger und reicher als die dürftigen Vorstellungen, die wir uns von ihr machen.
Fraktale Meerestiere
Meine Vermutungen über fraktale Meerestiere waren nicht unbegründet. Hier sind die ersten Vertreter. Ein Oktopus ist ein am Boden lebendes Meerestier aus der Ordnung der Kopffüßer.
Beim Betrachten dieses Fotos wurde mir die fraktale Struktur seines Körpers und der Saugnäpfe an allen acht Tentakeln dieses Tieres klar. Die Anzahl der Saugnäpfe an den Tentakeln eines erwachsenen Oktopus beträgt bis zu 2000.
Eine interessante Tatsache ist, dass der Oktopus drei Herzen hat: eines (das Hauptherz) treibt blaues Blut durch den Körper und die anderen beiden – Kiemen – drücken das Blut durch die Kiemen. Einige Arten dieser Tiefseefraktale sind giftig.
Durch die Anpassung und Tarnung an seine Umgebung verfügt der Oktopus über die sehr nützliche Fähigkeit, seine Farbe zu ändern.
Kraken gelten als die „klügsten“ aller Wirbellosen. Sie lernen Menschen kennen und gewöhnen sich an diejenigen, die sie füttern. Es wäre interessant, sich Kraken anzusehen, die leicht zu trainieren sind, ein gutes Gedächtnis haben und sogar geometrische Formen erkennen. Die Lebensdauer dieser fraktalen Tiere ist jedoch kurz – maximal 4 Jahre.
Der Mensch nutzt die Tinte dieses lebenden Fraktals und anderer Kopffüßer. Sie sind bei Künstlern wegen ihrer Haltbarkeit und ihrem schönen Braunton beliebt. In der mediterranen Küche ist Oktopus eine Quelle der Vitamine B3, B12, Kalium, Phosphor und Selen. Aber ich denke, dass man wissen muss, wie man diese Meeresfraktale zubereitet, um sie als Essen genießen zu können.
Übrigens ist zu beachten, dass Kraken Raubtiere sind. Mit ihren fraktalen Tentakeln halten sie Beute in Form von Weichtieren, Krebstieren und Fischen fest. Es ist schade, wenn ein so schönes Weichtier zur Nahrung dieser Meeresfraktale wird. Meiner Meinung nach ist er auch ein typischer Vertreter der Fraktale des Meeresreichs.
Dies ist ein Verwandter der Schnecken, die Nacktschneckenschnecke Molluske Glaucus, auch bekannt als Glaucus, auch bekannt als Glaucus atlanticus, auch bekannt als Glaucilla marginata. Dieses Fraktal ist auch insofern ungewöhnlich, als es unter der Wasseroberfläche lebt und sich bewegt und durch die Oberflächenspannung an Ort und Stelle gehalten wird. Weil Das Weichtier ist ein Hermaphrodit, nach der Paarung legen beide „Partner“ Eier. Dieses Fraktal kommt in allen Ozeanen der tropischen Zone vor.
Fraktale des Meeresreichs
Jeder von uns hielt mindestens einmal in seinem Leben eine Muschel in den Händen und betrachtete sie mit echtem kindlichem Interesse.
Normalerweise sind Muscheln ein schönes Souvenir, das an einen Ausflug ans Meer erinnert. Wenn man sich diese spiralförmige Formation wirbelloser Weichtiere ansieht, besteht kein Zweifel an ihrer fraktalen Natur.
Wir Menschen ähneln in gewisser Weise diesen weichen Weichtieren, leben in gut ausgestatteten fraktalen Betonhäusern und platzieren und bewegen unsere Körper in schnellen Autos.
Ein weiterer typischer Vertreter der fraktalen Unterwasserwelt sind Korallen.
In der Natur sind über 3.500 Korallenarten mit einer Palette von bis zu 350 Farbtönen bekannt.
Korallen sind das Skelettmaterial einer Kolonie von Korallenpolypen, ebenfalls aus der Familie der Wirbellosen. Ihre riesigen Ansammlungen bilden ganze Korallenriffe, deren fraktale Entstehungsweise offensichtlich ist.
Koralle kann mit voller Sicherheit als Fraktal aus dem Meeresreich bezeichnet werden.
Es wird vom Menschen auch als Souvenir oder Rohstoff für Schmuck und Ornamente verwendet. Aber es ist sehr schwierig, die Schönheit und Perfektion der fraktalen Natur nachzubilden.
Als ich das Ritual erneut in der Küche mit Messer und Schneidebrett durchführte und das Messer dann in kaltes Wasser tauchte, kamen mir die Tränen und ich fand wieder einmal heraus, wie ich mit dem Tränenfraktal umgehen sollte, das fast jeden Tag vor meinen Augen erscheint .
Das Prinzip der Fraktalität ist das gleiche wie das der berühmten Nistpuppe – das Nesting. Aus diesem Grund fällt die Fraktalität nicht sofort auf. Darüber hinaus tragen das Licht, die gleichmäßige Farbe und seine natürliche Fähigkeit, unangenehme Empfindungen hervorzurufen, nicht zu einer genauen Beobachtung des Universums und der Identifizierung fraktaler mathematischer Muster bei.
Aber die lila Salatzwiebel ließ mich aufgrund ihrer Farbe und des Fehlens tränenerzeugender Phytonzide über die natürliche Fraktalität dieses Gemüses nachdenken. Natürlich handelt es sich um ein einfaches Fraktal, gewöhnliche Kreise mit unterschiedlichen Durchmessern, man könnte sogar sagen, das primitivste Fraktal. Aber es würde nicht schaden, sich daran zu erinnern, dass der Ball als ideale geometrische Figur in unserem Universum gilt.
Im Internet wurden viele Artikel über die wohltuenden Eigenschaften von Zwiebeln veröffentlicht, aber irgendwie hat niemand versucht, dieses natürliche Exemplar unter dem Gesichtspunkt der Fraktalität zu untersuchen. Ich kann nur sagen, wie nützlich es ist, ein Fraktal in Form einer Zwiebel in meiner Küche zu verwenden.
P.S. Ich habe bereits einen Gemüseschneider zum Zerkleinern von Fraktalen gekauft. Jetzt müssen wir darüber nachdenken, wie fraktal ein so gesundes Gemüse wie gewöhnlicher Weißkohl ist. Das gleiche Prinzip der Verschachtelung.
Fraktale in der Volkskunst
Die Geschichte des weltberühmten Matroschka-Spielzeugs erregte meine Aufmerksamkeit. Bei näherer Betrachtung können wir mit Sicherheit sagen, dass es sich bei diesem Souvenirspielzeug um ein typisches Fraktal handelt.
Das Prinzip der Fraktalität wird deutlich, wenn alle Figuren eines Holzspielzeugs aneinandergereiht und nicht ineinander verschachtelt sind.
Meine kleine Recherche zur Entstehungsgeschichte dieses Spielzeugfraktals auf dem Weltmarkt ergab, dass die Wurzeln dieser Schönheit japanischer Natur sind. Die Matroschka-Puppe gilt seit jeher als originales russisches Souvenir. Es stellte sich jedoch heraus, dass sie der Prototyp der japanischen Figur des alten Weisen Fukuruma war, die einst aus Japan nach Moskau gebracht wurde.
Doch es war die russische Spielzeugindustrie, die dieser japanischen Figur Weltruhm verschaffte. Woher die Idee der fraktalen Verschachtelung eines Spielzeugs kam, bleibt mir persönlich ein Rätsel. Höchstwahrscheinlich nutzte der Autor dieses Spielzeugs das Prinzip, Figuren ineinander zu verschachteln. Und der einfachste Weg, zu investieren, sind ähnliche Figuren unterschiedlicher Größe, und dies ist bereits ein Fraktal.
Ein ebenso interessantes Studienobjekt ist die Bemalung eines fraktalen Spielzeugs. Dies ist ein dekoratives Gemälde - Khokhloma. Traditionelle Elemente von Khokhloma sind Kräutermuster aus Blumen, Beeren und Zweigen.
Wieder alles Anzeichen von Fraktalität. Schließlich kann das gleiche Element mehrmals in unterschiedlichen Versionen und Proportionen wiederholt werden. Das Ergebnis ist ein volkstümliches Fraktalgemälde.
Und wenn Sie niemanden mit der neumodischen Bemalung von Computermäusen, Laptop-Hüllen und Telefonen überraschen werden, dann ist das fraktale Tuning eines Autos im Folk-Stil etwas Neues im Autodesign. Man kann nur staunen, wie sich die Welt der Fraktale in unserem Leben auf so ungewöhnliche Weise in für uns so alltäglichen Dingen manifestiert.
Fraktale in der Küche
Auf meinem Küchentisch lag ein typischer Vertreter eines Fraktals aus der Pflanzenwelt.
Bei aller Liebe zum Blumenkohl stieß ich immer wieder auf Exemplare mit einer einheitlichen Oberfläche ohne sichtbare Anzeichen von Fraktalität, und selbst eine große Anzahl ineinander verschachtelter Blütenstände gab mir keinen Grund, in diesem nützlichen Gemüse ein Fraktal zu sehen.
Doch die Oberfläche dieses besonderen Exemplars mit ihrer klar definierten fraktalen Geometrie ließ nicht den geringsten Zweifel an der fraktalen Herkunft dieser Kohlsorte aufkommen.
Ein weiterer Besuch im Hypermarkt bestätigte nur den fraktalen Status von Kohl. Unter der riesigen Menge an exotischem Gemüse befand sich eine ganze Schachtel voller Fraktale. Es war Romanescu oder romanischer Brokkoli, Blumenkohl.
Es stellt sich heraus, dass Designer und 3D-Künstler seine exotischen fraktalähnlichen Formen bewundern.
Kohlknospen wachsen in einer logarithmischen Spirale. Die erste Erwähnung von Romanescu-Kohl erfolgte im 16. Jahrhundert aus Italien.
Und Brokkolikohl ist kein häufiger Gast in meiner Ernährung, obwohl er Blumenkohl hinsichtlich des Gehalts an Nährstoffen und Mikroelementen um ein Vielfaches übertrifft. Aber seine Oberfläche und Form sind so einheitlich, dass ich nie auf die Idee gekommen wäre, darin ein Pflanzenfraktal zu sehen.
Fraktale im Quilling
Nachdem ich durchbrochenes Kunsthandwerk in der Quilling-Technik gesehen hatte, verlor ich nie das Gefühl, dass sie mich an etwas erinnerten. Die Wiederholung gleicher Elemente in unterschiedlichen Größen ist natürlich das Prinzip der Fraktalität.
Nachdem ich einen weiteren Meisterkurs zum Thema Quilling gesehen hatte, gab es keinen Zweifel mehr an der fraktalen Natur des Quillings. Denn um verschiedene Elemente für das Quilling-Handwerk herzustellen, wird ein spezielles Lineal mit Kreisen unterschiedlichen Durchmessers verwendet. Trotz aller Schönheit und Einzigartigkeit der Produkte ist dies eine unglaublich einfache Technik.
Fast alle Hauptelemente für Quilling-Bastelarbeiten bestehen aus Papier. Um sich mit kostenlosem Quilling-Papier einzudecken, werfen Sie einen Blick in Ihre Bücherregale zu Hause. Sicherlich finden Sie dort ein paar bunte Hochglanzmagazine.
Quilling-Werkzeuge sind einfach und kostengünstig. Alles, was Sie für Hobby-Quilling-Arbeiten benötigen, finden Sie in Ihrem Schreibwarenbedarf für zu Hause.
Und die Geschichte des Quilling beginnt im 18. Jahrhundert in Europa. Während der Renaissance verwendeten Mönche französischer und italienischer Klöster Quilling zur Verzierung von Bucheinbänden und waren sich nicht einmal der fraktalen Natur der von ihnen erfundenen Papierrolltechnik bewusst. Mädchen aus der High Society besuchten sogar Quilling-Kurse in Sonderschulen. So begann sich diese Technik über Länder und Kontinente hinweg zu verbreiten.
Dieser Quilling-Video-Meisterkurs zur Herstellung von luxuriösem Gefieder kann sogar als „Do-it-yourself-Fraktale“ bezeichnet werden. Mit Hilfe von Papierfraktalen entstehen wunderschöne exklusive Valentinskarten und viele andere interessante Dinge. Schließlich ist die Fantasie wie die Natur unerschöpflich.
Es ist kein Geheimnis, dass die Japaner nur über einen sehr begrenzten Raum im Leben verfügen und deshalb ihr Bestes geben müssen, um ihn effektiv zu nutzen. Takeshi Miyakawa zeigt, wie dies sowohl effektiv als auch ästhetisch gelingen kann. Sein fraktaler Schrank bestätigt, dass die Verwendung von Fraktalen im Design nicht nur eine Hommage an die Mode, sondern auch eine harmonische Designlösung bei begrenzten Platzverhältnissen ist.
Dieses Beispiel der Verwendung von Fraktalen im wirklichen Leben, in Bezug auf Möbeldesign, zeigte mir, dass Fraktale nicht nur auf dem Papier in mathematischen Formeln und Computerprogrammen real sind.
Und es scheint, dass die Natur überall das Prinzip der Fraktalität anwendet. Man muss es nur genauer betrachten, und es wird sich in seiner ganzen großartigen Fülle und Unendlichkeit des Seins manifestieren.
