Exponentielle Abhängigkeit in natürlichen Prozessen. Exponentielles Wachstum. Entwicklung des exponentiellen

Wie im vorherigen Abschnitt betont, ist jede Population prinzipiell in der Lage, ihre Größe exponentiell zu steigern, weshalb das Exponentialmodell zur Schätzung des Wachstumspotenzials von Populationen verwendet wird. In manchen Fällen erweist sich das Exponentialmodell jedoch als geeignet, tatsächlich beobachtete Prozesse zu beschreiben. Offensichtlich ist dies möglich, wenn über einen ausreichend langen Zeitraum (im Verhältnis zur Generationsdauer) nichts das Bevölkerungswachstum und dementsprechend den Indikator für seine spezifische Rate einschränkt ( R) behält einen konstanten positiven Wert bei.

Beispielsweise wurden 1937 zwei männliche und sechs weibliche Fasane auf die kleine Insel Protekshi (vor der Nordwestküste der USA in der Nähe des Bundesstaates Washington) gebracht. (Phasanius colchicus torqualus), bisher auf der Insel nicht anzutreffen. Im selben Jahr begannen die Fasane zu brüten, und 6 Jahre später zählte die Population, die mit 8 Vögeln begann, bereits 1.898 Individuen. Wie aus Abb. 28 A, Zumindest in den ersten drei bis vier Jahren wurde die Zunahme der Fasanenzahl gut durch eine exponentielle Beziehung (eine gerade Linie auf einer logarithmischen Ordinatenskala) beschrieben. Leider wurden später aufgrund des Ausbruchs der Feindseligkeiten Truppen auf der Insel stationiert, die jährlichen Zählungen wurden eingestellt und die Fasanenpopulation selbst wurde weitgehend ausgerottet.

Ein weiterer bekannter Fall exponentiellen Bevölkerungswachstums ist die Zunahme der Populationsgröße der Ringeltaube (Streptopelia decaocto) auf den britischen Inseln in den späten 1950er und frühen 1960er Jahren. (Abb. 28, b). Dieses Wachstum hörte erst nach 8 Jahren auf, nachdem alle geeigneten Lebensräume besiedelt waren.

Die Liste der Beispiele für exponentielles Bevölkerungswachstum lässt sich fortsetzen. Insbesondere ist die Zahl der Rentiere um ein Vielfaches exponentiell (oder zumindest nahezu exponentiell) gestiegen (Rangifer tarandus) beobachtet während seiner Einführung auf verschiedenen Inseln. So entstand aus 25 Individuen (4 Männchen und 21 Weibchen), die 1911 auf die Insel St. Paul (Teil des Pribilof-Inseln-Archipels im Beringmeer) gebracht wurden, eine Population, deren Größe im Jahr 1938 . erreichte 2.000 Individuen, doch dann folgte ein starker Rückgang, und 1950 blieben nur noch 8 Hirsche auf der Insel. Ein ähnliches Bild wurde auf St. Matthew Island (ebenfalls im Beringmeer gelegen) beobachtet: 29 Individuen (5 Männer und 24 Frauen), die 1944 auf die Insel gebracht wurden, führten 1957 und 1963 zu einer Population von 1350 Individuen. - etwa 6.000 Individuen (die Fläche dieser Insel beträgt 332 km 2, was etwa dem Dreifachen der Fläche der Insel St. Paul entspricht). In den Folgejahren kam es jedoch zu einem katastrophalen Rückgang der Hirschbestände, bis 1966 waren es nur noch 42. In beiden oben genannten Fällen war der Grund für den starken Rückgang der Bestände der Mangel an Nahrung im Winter, bestehend aus fast ausschließlich aus Flechten.

Im Labor ist es möglich, Bedingungen für exponentielles Wachstum zu schaffen, wenn kultivierte Organismen mit einem Überschuss an Ressourcen versorgt werden, die normalerweise ihre Entwicklung einschränken, und indem auch der Wert aller physikalisch-chemischen Parameter der Umwelt innerhalb der Toleranzgrenzen der gegebenen Werte gehalten wird Spezies. Um ein exponentielles Wachstum aufrechtzuerhalten, ist es häufig erforderlich, Stoffwechselprodukte von Organismen zu entfernen (z. B. mithilfe von Strömungssystemen bei der Kultivierung verschiedener Wassertiere und -pflanzen) oder entstehende Individuen voneinander zu isolieren, um eine Ansammlung zu vermeiden (dies ist z. B. wichtig). (z. B. bei der Zucht vieler Nagetiere und anderer Tiere mit recht komplexem Verhalten). In der Praxis ist es nicht schwierig, experimentell nur für sehr kleine Organismen (Hefen, Protozoen, einzellige Algen usw.) eine exponentielle Wachstumskurve zu erhalten. Aus rein technischen Gründen ist es schwierig, große Organismen in großen Mengen zu kultivieren. Darüber hinaus erfordert dies viel Zeit.

Situationen, in denen Bedingungen für exponentielles Wachstum entstehen, sind auch in der Natur möglich, und zwar nicht nur für Inselpopulationen. In Seen gemäßigter Breiten beispielsweise enthalten die Oberflächenschichten im Frühjahr nach dem Schmelzen des Eises eine große Menge biogener Elemente (Phosphor, Stickstoff, Silizium), die für planktonische Algen normalerweise fehlen, und daher ist es nicht verwunderlich, dass dies sofort der Fall ist Nach der Erwärmung des Wassers kommt es zu einem schnellen (nahezu exponentiellen) Anstieg der Anzahl von Kieselalgen oder Grünalgen. Es stoppt erst, wenn alle defizitären Elemente in Algenzellen gebunden sind oder wenn die Produktion von Populationen durch deren Verzehr durch verschiedene phytophage Tiere ausgeglichen wird.

Obwohl es andere Beispiele für tatsächlich beobachtete exponentielle Anstiege der Zahlen gibt, kann man nicht sagen, dass sie sehr zahlreich sind. Wenn die Bevölkerung nach dem Exponentialgesetz zunimmt, geschieht dies offensichtlich nur für eine sehr kurze Zeit, gefolgt von einem Rückgang oder dem Erreichen eines Plateaus (= stationäres Niveau). Um das exponentielle Bevölkerungswachstum zu stoppen, sind grundsätzlich mehrere Möglichkeiten möglich. Die erste Möglichkeit besteht darin, Phasen exponentiellen Zahlenwachstums mit Phasen starken (katastrophalen) Rückgangs bis hin zu sehr niedrigen Werten abzuwechseln. Eine solche Regulierung (und mit Populationsregulierung meinen wir die Wirkung aller Mechanismen, die zu einer Begrenzung des Bevölkerungswachstums führen) ist am wahrscheinlichsten bei Organismen mit einem kurzen Lebenszyklus, die an Orten mit ausgeprägten Schwankungen der wichtigsten limitierenden Faktoren leben, beispielsweise bei Insekten in hohen Breiten leben. Es ist auch offensichtlich, dass solche Organismen Ruhestadien haben müssen, die es ihnen ermöglichen, ungünstige Jahreszeiten zu überstehen. Die zweite Möglichkeit besteht darin, das exponentielle Wachstum abrupt zu stoppen und die Bevölkerung auf einem konstanten (=stationären) Niveau zu halten, um das herum verschiedene Schwankungen möglich sind. Die dritte Möglichkeit ist ein sanfter Ausstieg auf das Plateau. Die resultierende S-Form der Kurve zeigt an, dass mit zunehmender Bevölkerungsgröße die Wachstumsrate nicht konstant bleibt, sondern abnimmt. Sowohl in Laborexperimenten als auch bei der Einführung von Arten in neue Lebensräume wird sehr häufig ein S-förmiges Wachstum von Populationen beobachtet.

Einer der großen Mythen, auf denen die Wirtschaftswissenschaften des späten 20. Jahrhunderts basierten, war der Mythos des exponentiellen Wachstums. Man ging davon aus, dass sich die Technologie noch schneller verändern würde, so dass auch die Wirtschaft exponentiell wachsen würde, was uns alle reicher machen würde als unsere Eltern und unverhältnismäßig reicher als unsere Urgroßväter. Allerdings scheint seit dem Jahr 2000 zumindest wirtschaftlich einiges schief gelaufen zu sein. Das Problem ist teilweise auf die Kapitalflucht in Schwellenländer zurückzuführen, die durch das Internet und die moderne Kommunikation ermöglicht wird. Doch selbst hinter dieser unbequemen Realität verbirgt sich der wirklich beunruhigende Gedanke, dass der technologische Fortschritt und damit die Möglichkeit einer Verbesserung des Lebensstandards möglicherweise überhaupt kein exponentielles Wachstum hervorrufen wird.

In der Vision mehrerer Enthusiasten hat sich der Glaube an einen exponentiellen technologischen Fortschritt in eine Singularität verwandelt, die entweder bereits stattfindet oder kurz davor steht, uns zu überholen. Es wird erwartet, dass dies zu einer weiteren Beschleunigung des Fortschritts führen wird, der so gewaltig sein wird, dass sich die Zukunft der Menschheitsgeschichte stark von der Vergangenheit unterscheiden wird.

Aber bevor wir das Aufkommen der Singularität begrüßen, sollte darauf hingewiesen werden, dass sie nach Ansicht der Befürworter dieser Theorie durch das Aufkommen intelligenterer Maschinen als Menschen verursacht wird, die anschließend die Oberhand gewinnen, noch intelligentere Roboter erschaffen und verschwinden die Menschheit dahinter. Somit wird die Singularität keine nahezu unendliche Verbesserung der Lebensqualität der Menschheit darstellen, denn vermutlich werden sich solche superintelligenten Maschinen nicht besonders für den Lebensstandard der Menschen interessieren – oder uns gar als Versuchsobjekte oder Haustiere nutzen wollen. (Wenn Letzteres der Fall ist, werde ich zweifellos an der Spitze der Eliminierungskandidaten stehen – es ist unwahrscheinlich, dass ich die Qualitäten eines Haustiers besitze, die unsere Katze Eudoxia regelmäßig an den Tag legt.)

Wenn wir logisch denken, können wir drei Singularitäten identifizieren, die in der Geschichte der Menschheit bereits stattgefunden haben: die Entstehung der Sprache, den Übergang vom Nomadenleben zur sesshaften Landwirtschaft und anschließend die industrielle Revolution. Jedes dieser Phänomene beschleunigte die Entwicklung der Menschheit um das Zehnfache, sodass Veränderungen, die allein unter dem Einfluss der Evolution Millionen von Jahren dauerten, nach dem Aufkommen der Sprache in Hunderttausenden von Jahren und mit der Erfindung der Landwirtschaft in Zehntausenden von Jahren eintraten von Jahren und in nur zwei oder drei Jahrhunderten – nach der Industriellen Revolution. Jede dieser Veränderungen war völlig lebensverändernd; es hat sich auch schneller entwickelt, und seit der industriellen Revolution wurden in einem einzigen kurzen Menschenleben enorme technologische Fortschritte erzielt.

Es lohnt sich, einen genaueren Blick auf die Einzigartigkeit der Industriellen Revolution zu werfen. Es dauerte etwa 200 Jahre und keine seiner frühen Innovationen brachte nennenswerte Veränderungen im Leben. Auto Newcomer Die 1712 erfundene Erfindung zum Pumpen von Wasser in Bergwerken führte nicht unmittelbar zu größeren Veränderungen und es folgte kein wesentlich fortschrittlicherer Motor wie der von James Watt, bis 1769 (und Watt-Motoren kamen erst in den 1790er Jahren weit verbreitet zum Einsatz). Die technologische Revolution ging jedoch mit einer ebenso wichtigen Revolution im menschlichen Denken einher, die rund um die Gründung der Royal Society im Jahr 1662 begann und sich fortsetzte. Der Reichtum der Nationen» Adam Smith(im Jahr 1776) bis Anfang des 19. Jahrhunderts.

Auch wenn der Bürger von 1785 im Vergleich zu seinem Vorfahren von 1660 nicht besonders in den Genuss technischer Fortschritte kam, während ein Jahrhundert zuvor Alchemisten in der Malerei des Berühmten lächerlich gemacht wurden Joseph Wright es dient jetzt als Cover für „ Verluste der Alchemisten" Die ersten enormen technischen Früchte der industriellen Revolution kamen später – die Textilproduktion kam erst in den 1790er Jahren in Schwung, und das Eisenbahnnetz entstand erst nach 1830 –, aber die mentalen Veränderungen, die die Singularität begründeten, hatten bereits etwa 1785 stattgefunden.

In diesem Sinne sind wir noch nicht von einer Singularität bedroht. Das Internet, das die Kommunikation der Welt und unsere Lebensweise radikal verändert hat, ist ebenso wenig ein revolutionärer Wandel wie elektrisches Licht, das Telefon oder das Auto. Das Leben im Jahr 2010 ist tatsächlich anders als das Leben im Jahr 1995. Wir können ein globales Produktions- oder Dienstleistungsunternehmen heute viel effizienter organisieren als 1995. Junge Menschen verbringen die meiste Zeit ihres Lebens damit, im Internet zu surfen oder mit dem Handy zu telefonieren, was ihnen vor 1995 nicht möglich war.

Dies war jedoch auch 15–20 Jahre nach dem Erscheinen früherer schicksalhafter Technologien der Fall. Bereits 1845, nach der Erfindung der Eisenbahn, unterschieden sich die Reisegewohnheiten von denen von 1830. Im Jahr 1905, nach der Erfindung der Elektrizität, unterschieden sich die städtischen Abendarbeits- und Unterhaltungsmuster deutlich von denen von 1890. Ebenso war das Leben im ländlichen Amerika im Jahr 1925 mit der Einführung des Tin Lizzie (Ford Model T) völlig anders als im Jahr 1910.

Somit veränderte jede dieser Erfindungen einige Aspekte der Lebensweise radikal, beschleunigte aber gleichzeitig den Prozess der Erfindung und des Fortschritts nicht wie die Industrielle Revolution. Nach der Verbreitung von Erfindungen veränderte sich das Leben, aber das Tempo des technischen Fortschritts war sehr moderat. Das Internet ähnelt dieser Art von Innovation: Es hat unser Leben erheblich verändert, aber es hat die Veränderungen nicht so stark beschleunigt wie die industrielle Revolution, und dafür gibt es keine Voraussetzungen. Tatsächlich könnte man zu Recht behaupten, dass die Generation, die die meisten revolutionären Veränderungen miterlebte, die Generation meiner Großtante Beatrice war, die 1889 geboren wurde und 1973 starb. Während ihrer Kindheit wurden Gaslampen und Zugpferde eingesetzt, und im Alter flog sie mit aller Kraft Flugzeuge und besuchte den Mond.

Mit Blick auf die Zukunft gibt es drei plausible technologische Fortschritte, die möglicherweise das Tempo des Wandels beschleunigen könnten, auch wenn sie keine Singularität verursachen. Dies sind: die Schaffung einer Maschine, die intelligenter ist als der Mensch, die Entdeckung von Methoden zur Manipulation von Genen, die die kognitiven Fähigkeiten des Menschen steigern können, sowie Entdeckungen technischer, medizinischer oder genetischer Natur, die zu einer deutlichen Erhöhung der menschlichen Lebenserwartung führen können .

Die Möglichkeit eines Superroboters wurde als beliebtester Grund für die vermeintliche Singularität angesehen, doch bei näherer Betrachtung stellt sich heraus, dass sie wahrscheinlich nicht dazu führt. Singularitätstheoretiker zitieren gerne das Mooresche Gesetz, eine vorgeschlagene Theorie Gordon Moore im Jahr 1965, wonach sich die Verarbeitungsgeschwindigkeit von Computern alle zwei Jahre verdoppelt. In Wirklichkeit nähern wir uns jedoch ernsthaft der Grenze dieser Entwicklung; Begrenzende Faktoren sind die Lichtgeschwindigkeit, die zum Betrieb von Mikroprozessoren (die Wärme erzeugen) benötigte Energie, die Wellenlänge elektromagnetischer Strahlung und die Größe atomarer Strukturen.

In ein paar Generationen werden wir uns nach dem Mooreschen Gesetz einer vorübergehenden Barriere nähern, die den Fortschritt erheblich erschweren wird, und in 5-6 Generationen werden wir uns nach demselben Gesetz einer dauerhaften Barriere nähern, jenseits derer, jenseits der derzeit vorstellbaren Technologien wird Fortschritt unmöglich sein. Es muss anerkannt werden, dass weitere Fortschritte auf dem Gebiet der Computerintelligenz durch eine verbesserte Programmierung und Architektur mit massiver Parallelität erzielt werden können. Die Realität ist jedoch, dass es nach den Fortschritten in diesem Bereich in den Jahren 2015 bis 2020 zu einer erheblichen Verlangsamung und nicht zu einer Beschleunigung kommen wird. So wie die Erfindung des Automatikgetriebes im Jahr 1939 die letzte wirklich revolutionäre Veränderung im Automobildesign war, ist es klar, dass die endlosen Fortschritte im mechanischen Design allmählich an ihre natürlichen Grenzen stoßen werden.

Gentechnik zur Verbesserung der geistigen Fähigkeiten des Menschen wird zweifellos unsere Welt verändern, aber dies wird wahrscheinlich nicht sehr bald geschehen, da solche Veränderungen von den meisten westlichen Religionsgruppen und Regierungen entschieden abgelehnt werden. Selbst das einfache Klonen, bei dem es sich lediglich um die Reproduktion eines bestehenden Individuums handelt, hat in zehn Jahren keine großen Fortschritte gemacht und könnte sich um eine Generation in der Zukunft verzögern. Selbst wenn die Regierung die Sicherheitstests genehmigt, die vor Beginn von Gehirnverbesserungsexperimenten erforderlich sind, besteht die Möglichkeit, dass die ersten derartigen Versuche lediglich zu einer Steigerung der Gehirnkapazität auf das bestehende Niveau führen und nicht zu einer Erhöhung derselben. Aufgrund des biologischen Bedürfnisses dieser Kinder, vor dem 15. Lebensjahr zu reifen und in den nächsten 5 bis 10 Jahren eine höhere Ausbildung zu erhalten, wird das Ergebnis dieser Veränderungen außerdem erst in 50 Jahren sichtbar sein. In diesem Sinne könnte ein Superroboter, selbst wenn er real wäre, schneller entstehen, da er sofort erwachsen wäre! Angesichts der Tatsache, dass die ersten Instanzen des Enhanced Man einen winzigen Bruchteil der Menschheit/neuen Menschheit ausmachen werden, ist klar, dass von hier aus bis zum nächsten Jahrhundert keine makroökonomische Beschleunigung zu erwarten ist.

Interessanter ist die dritte potenzielle Technologie, die Lebensverlängerung. Technisch gesehen würde jeder signifikante Effekt (abgesehen von medizinischen Fortschritten, die den Prozentsatz der Menschen im Alter von 90 bis 100 Jahren erhöhen) wahrscheinlich ähnliche Fähigkeiten erfordern, um ein Leben mit höherer Intelligenz zu ermöglichen. Allerdings wird dieser Bereich auf weitaus weniger heftigen Widerstand von Politikern und Religionsführern stoßen, da die Vorteile eines längeren Lebens offensichtlich und theoretisch universell sind. Andererseits wird es viel schwieriger sein, die Lebenserwartung der bereits Lebenden zu erhöhen, als neue langlebige Menschen zu schaffen, und höchstwahrscheinlich wird dies später geschehen.

Es stellt sich heraus, dass wir im Jahr 2050 wahrscheinlich in der Lage sein werden, Kinder zu bekommen, die 150 bis 200 Jahre alt werden (d. h. länger, als es dauern wird, um die limitierenden Faktoren zu überwinden, die wir noch nicht kennen, weil sie keine Auswirkungen auf Nicht-Lebensjahre haben). Hundertjährige). Nach einiger Zeit werden wir lernen, die Lebenserwartung bestehender Menschen zumindest teilweise zu erhöhen. Angesichts der potenziellen Massennachfrage nach solchen Technologien dürften sie sich schnell bei den meisten Menschen verbreiten, da die Massenproduktion ihre Kosten auf ein akzeptables Niveau senken wird.

Die Verlängerung des Lebenszyklus wird zwar das Leben eines Menschen erheblich verbessern, den Fortschritt jedoch nicht beschleunigen. Hundertjährige werden frühestens mit 25 ins Berufsleben eintreten, weil sie eine umfassendere Ausbildung erhalten als wir. Sobald sie zur Arbeit zurückkehren, werden sie weniger risikoscheu und geduldiger sein als wir, da Verzögerungen weniger Zeit für den Rest ihres Lebens in Anspruch nehmen werden. Auch ohne weitere Beschleunigung müssen sie wiederum alle 20 bis 25 Jahre eine Fortbildung durchlaufen, damit ihre Arbeitsfähigkeiten nicht hoffnungslos veraltet sind. Da die Kosten für sie unter den Bedingungen des schnellen Wandels höher sein werden als für uns und die Vorteile geringer sein werden, werden sie selbst den Fortschritt verlangsamen wollen. Nur in Kombination mit einem höheren Maß an Intelligenz werden sie in der Lage sein, das rasante postrevolutionäre Tempo des Wandels zu akzeptieren.

Im Moment dachte ich über die mögliche Beschleunigung positiver Veränderungen nach. Es besteht jedoch die Möglichkeit katastrophaler negativer Veränderungen, die die Zivilisation, den Lebensstandard und das Wissen auf ein primitiveres Niveau zurückbringen könnten. Eine mögliche Ursache hierfür ist ein Weltkrieg, möglicherweise ein anderer als der vor 50 Jahren. Ein weiterer Faktor könnte eine Umweltkatastrophe sein. Hier wird nichts Gutes erwartet. Das derzeitige unaufhaltsame Bevölkerungswachstum, das sich voraussichtlich bis 2050 verlangsamen, aber nicht stoppen wird, wird durch Entdeckungen verschärft, die die Lebenserwartung auf 200 Jahre erhöht haben, sowohl aufgrund eines Rückgangs der Sterbefälle als auch aufgrund eines Anstiegs der Geburtenrate die Tatsache, dass die Fortpflanzungsfähigkeit 100 Jahre lang erhalten bleibt. Ob die globale Erwärmung in einer Welt mit 7 bis 10 Milliarden Menschen ein ernstes Problem darstellt, ist fraglich, aber in einer Welt mit 20 Milliarden Menschen wird sie sicherlich zu einem ernsten Problem werden (und die Erschöpfung der Ressourcen wird daher eine realere Gefahr darstellen). Dementsprechend sollten vor allem Maßnahmen zur Verlangsamung des Bevölkerungswachstums oder besser noch zur Rückkehr zum Rückgang im Vordergrund stehen. Schließlich betrug die Weltbevölkerung vor der letzten Singularität nur 1 Milliarde; Bei diesem Tempo würden unsere Umwelt- und Ressourcenprobleme verschwinden.

Abgesehen von der Möglichkeit eines Zusammenbruchs dürften zwei oder drei wahrscheinliche technologische Entwicklungen in den nächsten 50 Jahren – das Erreichen der Grenzen des Mooreschen Gesetzes und die Erhöhung der Lebenserwartung – das Tempo des Wandels eher verlangsamen als beschleunigen. Nur die dritte Option – genetisch verbesserte Intelligenz – hat das Potenzial, den Fortschritt zu beschleunigen, aber systemischer Widerstand gegen diese Technologie wird ihn wahrscheinlich sehr lange verzögern. Die menschliche Entwicklungskurve im 21. Jahrhundert wird daher eher asymptotisch [begrenzt] als exponentiell verlaufen.

Der Ausdruck „exponentielles Wachstum“ hat Eingang in unser Lexikon gefunden und bedeutet einen schnellen, meist unkontrollierbaren Anstieg. Häufig wird damit beispielsweise das schnelle Wachstum von Städten oder ein Bevölkerungswachstum beschrieben. In der Mathematik hat dieser Begriff jedoch eine genaue Bedeutung und bezeichnet eine bestimmte Art von Wachstum.

Exponentielles Wachstum findet in solchen Populationen statt, in denen der Bevölkerungszuwachs (Anzahl der Geburten minus Anzahl der Todesfälle) proportional zur Anzahl der Individuen in der Population ist. Bei einer menschlichen Bevölkerung beispielsweise ist die Geburtenrate ungefähr proportional zur Anzahl der Fortpflanzungspaare, und die Sterblichkeitsrate ist ungefähr proportional zur Anzahl der Menschen in der Bevölkerung (wir bezeichnen sie). N). Dann gilt in vernünftiger Näherung:

Bevölkerungswachstum = Zahl der Geburten – Zahl der Sterbefälle

(Hier R- sogenannt Proportionalitätsfaktor, wodurch wir den Proportionalitätsausdruck als Gleichung schreiben können.)

Lass d N— Anzahl der im Zeitraum d zur Population hinzugefügten Individuen T, dann wenn in der Bevölkerung insgesamt N Individuen, dann sind die Bedingungen für exponentielles Wachstum erfüllt, wenn

D N = rN D T

Seit Isaac Newton im 17. Jahrhundert die Differentialrechnung erfand, wissen wir, wie man diese Gleichung löst N— Bevölkerungsgröße zu einem bestimmten Zeitpunkt. (Zur Referenz: Diese Gleichung heißt Differential.) Hier ist seine Lösung:

N=N0 e rt

Wo N 0 ist die Anzahl der Individuen in der Population zu Beginn des Countdowns und T- die Zeit, die seit diesem Moment vergangen ist. Das Symbol e bezeichnet eine solche Sonderzahl, sie heißt Basis des natürlichen Logarithmus(und ist ungefähr gleich 2,7), und die gesamte rechte Seite der Gleichung wird aufgerufen Exponentialfunktion.

Um besser zu verstehen, was exponentielles Wachstum ist, stellen Sie sich eine Population vor, die ursprünglich aus einem Bakterium besteht. Nach einer gewissen Zeit (einige Stunden oder Minuten) teilt sich das Bakterium in zwei Teile, wodurch sich die Populationsgröße verdoppelt. Nach der nächsten Zeit wird sich jedes dieser beiden Bakterien wieder in zwei Teile teilen und die Populationsgröße wird sich erneut verdoppeln – es werden nun vier Bakterien sein. Nach zehn solcher Verdoppelungen wird es mehr als tausend Bakterien geben, nach zwanzig mehr als eine Million und so weiter. Wenn sich die Bevölkerung mit jeder Teilung verdoppelt, wird ihr Wachstum auf unbestimmte Zeit anhalten.

Es gibt eine Legende (wahrscheinlich nicht wahr), dass der Mann, der das Schach erfunden hat, seinem Sultan so viel Freude bereitete, dass er versprach, alle seine Wünsche zu erfüllen. Der Mann bat den Sultan, ein Weizenkorn auf das erste Feld des Schachbretts zu legen, zwei auf das zweite, vier auf das dritte und so weiter. Der Sultan hielt diese Forderung für unbedeutend im Vergleich zu den von ihm erbrachten Diensten und forderte seinen Untertanen auf, eine weitere Bitte vorzubringen, doch er lehnte ab. Natürlich war die Getreidemenge bei der 64. Verdoppelung so groß, dass es auf der ganzen Welt nicht mehr genug Weizen geben würde, um diesen Bedarf zu decken. In der mir bekannten Version der Legende befahl der Sultan in diesem Moment, dem Erfinder den Kopf abzuschlagen. Die Moral, die ich meinen Schülern sage, lautet: Manchmal sollte man nicht zu schlau sein!

Das Schachbrettbeispiel (sowie die imaginären Bakterien) zeigt uns, dass keine Population ewig wachsen kann. Früher oder später werden ihm einfach die Ressourcen ausgehen – Platz, Energie, Wasser, was auch immer. Daher können Populationen nur für eine Weile exponentiell wachsen und früher oder später muss sich ihr Wachstum verlangsamen. Dazu müssen Sie die Gleichung so ändern, dass sich die Wachstumsrate verlangsamt, wenn sich die Populationsgröße dem maximal möglichen (was durch die äußere Umgebung unterstützt werden kann) nähert. Nennen wir dies die maximale Bevölkerungsgröße K. Dann sieht die modifizierte Gleichung so aus:

D N = rN(1 — (N/K)) D T

Wann N viel weniger K, Mitglied N/K kann vernachlässigt werden und wir kehren zur ursprünglichen Gleichung des gewöhnlichen exponentiellen Wachstums zurück. Wann jedoch N nähert sich seinem Maximalwert K, Wert 1 - ( N/K) tendiert gegen Null, und dementsprechend tendiert das Bevölkerungswachstum gegen Null. Die Gesamtbevölkerungsgröße stabilisiert sich in diesem Fall und bleibt auf dem Niveau K. Die durch diese Gleichung beschriebene Kurve sowie die Gleichung selbst haben mehrere Namen – S-Kurve, logistische Gleichung, Volterras Gleichung, Lotka-Volterra-Gleichung. (Vito Volt e RRA, 1860-1940 – herausragender italienischer Mathematiker und Lehrer; Alfred Lotka, 1880-1949 – US-amerikanischer Mathematiker und Versicherungsanalytiker.) Wie auch immer es heißt, es ist ein ziemlich einfacher Ausdruck für die Größe einer Bevölkerung, die stark exponentiell wächst und sich dann verlangsamt, wenn sie sich einer bestimmten Grenze nähert. Und sie spiegelt das Wachstum der realen Bevölkerung viel besser wider als die übliche Exponentialfunktion.

Menschen sind keine sehr guten Vorhersager für die Zukunft. Die meiste Zeit der Geschichte waren unsere Erfahrungen „lokal und linear“: Wir benutzten dieselben Werkzeuge, aßen dieselben Lebensmittel und lebten an einem bestimmten Ort. Daher basieren unsere Vorhersagefähigkeiten auf Intuition und früheren Erfahrungen. Es ist wie eine Leiter: Nachdem wir ein paar Stufen hinaufgegangen sind, verstehen wir, wie der verbleibende Weg auf dieser Leiter aussehen wird. Während wir unser Leben leben, erwarten wir, dass jeder neue Tag dem vorherigen ähnelt. Doch jetzt ändert sich alles.

Der berühmte amerikanische Erfinder und Zukunftsforscher Raymond Kurzweil schreibt in seinem Buch „The Singularity Is Near“, dass der Sprung in der technologischen Entwicklung, den wir in den letzten Jahrzehnten erlebt haben, zu einer Beschleunigung des Fortschritts in vielen verschiedenen Bereichen geführt hat. Dies hat zu unerwarteten technologischen und sozialen Veränderungen geführt, die nicht nur zwischen den Generationen, sondern auch innerhalb der Generationen stattgefunden haben. Jetzt funktioniert der intuitive Ansatz zur Vorhersage der Zukunft nicht mehr. Die Zukunft verläuft nicht mehr linear, sondern exponentiell: Es wird immer schwieriger vorherzusagen, was als nächstes passieren wird und wann es passieren wird. Das Tempo des technologischen Fortschritts überrascht uns immer wieder, und um damit Schritt zu halten und zu lernen, die Zukunft vorherzusagen, müssen wir zunächst lernen, exponentiell zu denken.

Was ist exponentielles Wachstum?

Im Gegensatz zum linearen Wachstum, das das Ergebnis wiederholter Addition einer Konstante ist, ist exponentielles Wachstum das Ergebnis wiederholter Multiplikation. Wenn das lineare Wachstum eine über die Zeit stabile Gerade ist, ähnelt eine exponentielle Wachstumslinie dem Start. Je größer der Wert ist, desto schneller wächst er weiter.

Stellen Sie sich vor, Sie gehen die Straße entlang und jeder Schritt ist einen Meter lang. Du machst sechs Schritte und hast nun sechs Meter zurückgelegt. Nachdem Sie weitere 24 Schritte gemacht haben, sind Sie noch 30 Meter von Ihrem Ausgangspunkt entfernt. Das ist lineares Wachstum.

Stellen Sie sich nun vor (obwohl Ihr Körper das nicht kann, stellen Sie sich vor), dass sich die Länge Ihres Schritts jedes Mal verdoppelt. Das heißt, man macht zuerst einen Schritt einen Meter, dann zwei, dann vier, dann acht und so weiter. In sechs solchen Schritten legen Sie 32 Meter zurück – das ist viel mehr als in sechs Schritten von einem Meter. Es ist kaum zu glauben, aber wenn man im gleichen Tempo weitergeht, ist man nach dem dreißigsten Schritt eine Milliarde Meter vom Ausgangspunkt entfernt. Das sind 26 Reisen um die Erde. Und das ist exponentielles Wachstum.

Es ist interessant, dass jeder neue Schritt bei einem solchen Wachstum die Summe aller vorherigen ist. Das heißt, nach 29 Schritten hat man 500 Millionen Meter zurückgelegt und legt in einem nächsten, dreißigsten Schritt die gleiche Menge zurück. Das bedeutet, dass jeder Ihrer vorherigen Schritte im Verhältnis zu den nächsten paar Schritten explosiven Wachstums unvergleichlich klein ist und das meiste davon in einem relativ kurzen Zeitraum geschieht. Wenn Sie sich dieses Wachstum als eine Bewegung von Punkt A nach Punkt B vorstellen, werden die größten Bewegungsfortschritte in der letzten Phase erzielt.

In der Anfangsphase übersehen wir häufig exponentielle Trends, da die anfängliche Rate des exponentiellen Wachstums langsam und allmählich verläuft und sich nur schwer vom linearen Wachstum unterscheiden lässt. Darüber hinaus erscheinen Vorhersagen, die auf der Annahme basieren, dass sich ein Phänomen exponentiell entwickeln wird, oft unglaublich, und wir lehnen sie ab.

„Als 1990 mit dem Scannen des menschlichen Genoms begonnen wurde, stellten Kritiker fest, dass es angesichts der Geschwindigkeit, mit der der Prozess ursprünglich ablief, Tausende von Jahren dauern würde, bis das Genom gescannt wäre. Das Projekt wurde jedoch bereits im Jahr 2003 abgeschlossen“,- Raymond Kurzweil gibt ein Beispiel.

In letzter Zeit verlief die technologische Entwicklung exponentiell: Mit jedem Jahrzehnt, mit jedem Jahr können wir unvergleichlich mehr erreichen als zuvor.

Kann das exponentielle Wachstum jemals enden?

In der Praxis halten exponentielle Trends nicht ewig an. Einige können jedoch über längere Zeiträume andauern, wenn die Bedingungen für eine explosive Entwicklung stimmen.

Typischerweise besteht ein exponentieller Trend aus einer Reihe aufeinanderfolgender S-förmiger technologischer Lebenszyklen oder S-förmiger Kurven. Jede Kurve sieht aufgrund der drei Wachstumsstadien, die sie zeigt, wie der Buchstabe „S“ aus: anfängliches langsames Wachstum, explosives Wachstum und Abflachung mit zunehmender Reife der Technologie. Diese S-Kurven schneiden sich, und wenn eine Technologie langsamer wird, beginnt eine neue zu wachsen. Mit jeder neuen S-förmigen Entwicklung wird die Zeit, die zum Erreichen höherer Leistungsniveaus erforderlich ist, kürzer.

Wenn Kurzweil beispielsweise die Entwicklung der Technologie im letzten Jahrhundert diskutiert, listet er fünf Computerparadigmen auf: Elektromechanik, Relais, Vakuumröhren, diskrete Transistoren und integrierte Schaltkreise. Als eine Technologie ihr Potenzial erschöpfte, begann die nächste Fortschritte zu machen, und zwar schneller als ihre Vorgänger.

Planung für eine exponentielle Zukunft

Unter Bedingungen einer exponentiellen Entwicklung ist es sehr schwierig vorherzusagen, was uns in der Zukunft erwartet. Einen Graphen auf der Grundlage einer geometrischen Progression zu erstellen, ist eine Sache, aber abzuschätzen, wie sich das Leben in zehn bis zwanzig Jahren verändern wird, ist eine ganz andere. Aber eine einfache Faustregel lautet: Erwarten Sie, dass das Leben Sie große Überraschungen bereiten wird, und planen Sie die Überraschungen ein, die Sie erwarten. Mit anderen Worten: Sie können von den unglaublichsten Ergebnissen ausgehen und sich darauf vorbereiten, als ob sie definitiv eingetreten wären.

„Die Zukunft wird viel erstaunlicher sein, als sich die meisten Menschen vorstellen können. Nur wenige haben wirklich begriffen, dass sich die Geschwindigkeit des Wandels selbst beschleunigt.“- schreibt Raymond Kurzweil.

Wie wird unser Leben in den nächsten fünf Jahren aussehen? Eine Möglichkeit, eine Prognose zu erstellen, besteht darin, einen Blick auf die letzten fünf Jahre zu werfen und diese Erfahrungen in die nächsten fünf Jahre zu übertragen. Dies ist jedoch eine „lineare“ Denkweise, die, wie wir festgestellt haben, nicht immer funktioniert. Das Tempo des Wandels ändert sich, sodass die in den letzten fünf Jahren erzielten Fortschritte in Zukunft länger auf sich warten lassen werden. Es ist wahrscheinlich, dass die Veränderungen, die Sie in fünf Jahren erwarten, tatsächlich in drei oder zwei Jahren eintreten werden. Mit ein wenig Übung werden wir besser in der Lage sein, zukünftige Entwicklungen im Leben vorherzusagen, die Aussichten für exponentielles Wachstum zu erkennen und unsere eigene Zukunft besser zu planen.

Es ist nicht nur ein interessantes Konzept. Unser oft auf lineare Entwicklung ausgerichtetes Denken kann uns in eine Sackgasse führen. Es ist lineares Denken, das manche Geschäftsleute und Politiker dazu bringt, Veränderungen zu widerstehen; sie verstehen einfach nicht, dass die Entwicklung exponentiell erfolgt, und sie befürchten, dass es immer schwieriger wird, die Zukunft zu kontrollieren. Aber genau hier herrscht Wettbewerb. Um mit diesem Wandel Schritt zu halten, muss man immer einen Schritt voraus sein und nicht das tun, was jetzt relevant ist, sondern das, was in Zukunft relevant und gefragt sein wird, wobei zu berücksichtigen ist, dass die Entwicklung nicht linear, sondern exponentiell erfolgt.

Exponentielles Denken reduziert den destruktiven Stress, der aus unserer Angst vor der Zukunft entsteht, und eröffnet neue Möglichkeiten. Wenn wir unsere Zukunft besser planen und exponentiell denken können, wird uns der Übergang von einem Paradigma zum anderen leichter fallen und wir können der Zukunft gelassen entgegensehen.

Wenn das Bevölkerungswachstum proportional zur Anzahl der Individuen ist, wächst die Populationsgröße exponentiell.

Bevölkerungswachstum = Zahl der Geburten – Zahl der Sterbefälle

(Hier R- der sogenannte Proportionalitätskoeffizient, der es uns ermöglicht, den Ausdruck der Proportionalität in Form einer Gleichung zu schreiben.)

Lass d N- Anzahl der im Laufe der Zeit zur Population hinzugefügten Individuen d T, dann wenn in der Bevölkerung insgesamt N Individuen, dann sind die Bedingungen für exponentielles Wachstum erfüllt, wenn

Seit Isaac Newton im 17. Jahrhundert die Differentialrechnung erfand, wissen wir, wie man diese Gleichung löst N- Bevölkerungsgröße zu einem bestimmten Zeitpunkt. (Zur Referenz: Eine solche Gleichung wird Differentialgleichung genannt.) Hier ist ihre Lösung:

wobei N 0 die Anzahl der Individuen in der Population zu Beginn des Countdowns ist, T- Zeit, die seit diesem Moment vergangen ist. Symbol e bezeichnet eine solche Sonderzahl, sie heißt Basis des natürlichen Logarithmus(und ist ungefähr gleich 2,7), und die gesamte rechte Seite der Gleichung wird aufgerufen Exponentialfunktion.

dN = rN(1 - (N/K)) dt

Wann N viel weniger K, Mitglied N/K kann vernachlässigt werden und wir kehren zur ursprünglichen Gleichung des gewöhnlichen exponentiellen Wachstums zurück. Wann jedoch N nähert sich seinem Maximalwert K, Bedeutung 1 - (N/K) tendiert gegen Null, und dementsprechend tendiert das Bevölkerungswachstum gegen Null. Die Gesamtbevölkerungsgröße stabilisiert sich in diesem Fall und bleibt auf dem Niveau K. Die durch diese Gleichung beschriebene Kurve sowie die Gleichung selbst haben mehrere Namen – S-Kurve, logistische Gleichung, Volterras Gleichung, Lotka-Volterra-Gleichung. (Vito Volterra, 1860–1940 – bedeutender italienischer Mathematiker und Lehrer; Alfred Lotka, 1880–1949 – amerikanischer Mathematiker und Versicherungsanalytiker.) Wie auch immer es heißt, es ist ein ziemlich einfacher Ausdruck für die Größe einer Bevölkerung, die stark exponentiell und dann stark wächst Verlangsamung bei Annäherung an eine bestimmte Grenze. Und sie spiegelt das Wachstum der realen Bevölkerung viel besser wider als die übliche Exponentialfunktion.

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