Nachdem wir einige wichtige Merkmale von Rechenproblemen besprochen haben, richten wir unsere Aufmerksamkeit auf die Methoden, die in der Computermathematik verwendet werden, um Probleme in eine für die Implementierung auf einem Computer geeignete Form umzuwandeln und die Konstruktion von Rechenalgorithmen zu ermöglichen. Wir nennen diese Methoden rechnerisch. Mit einem gewissen Maß an Konvention können Berechnungsmethoden in die folgenden Klassen eingeteilt werden: 1) Methoden äquivalenter Transformationen; 2)

Näherungsmethoden; 3) direkte (exakte) Methoden; 4) iterative Methoden; 5) statistische Testmethoden (Monte-Carlo-Methoden). Eine Methode, die eine Lösung für ein bestimmtes Problem berechnet, kann eine recht komplexe Struktur haben, ihre elementaren Schritte sind jedoch in der Regel die Implementierung der angegebenen Methoden. Lassen Sie uns einen allgemeinen Überblick über sie geben.

1. Methoden äquivalenter Transformationen.

Mit diesen Methoden können Sie das ursprüngliche Problem durch ein anderes mit derselben Lösung ersetzen. Die Durchführung äquivalenter Transformationen erweist sich als sinnvoll, wenn das neue Problem einfacher als das ursprüngliche Problem ist oder bessere Eigenschaften aufweist oder es eine bekannte Lösungsmethode und möglicherweise sogar ein fertiges Programm dafür gibt.

Beispiel 3.13. Eine äquivalente Transformation der quadratischen Gleichung in eine Form (Auswahl eines vollständigen Quadrats) reduziert das Problem auf das Problem der Berechnung der Quadratwurzel und führt zu den Formeln (3.2), die für ihre Wurzeln bekannt sind.

Äquivalente Transformationen ermöglichen es manchmal, die Lösung des ursprünglichen Rechenproblems auf die Lösung eines Rechenproblems völlig anderer Art zu reduzieren.

Beispiel 3.14. Das Problem, die Wurzel einer nichtlinearen Gleichung zu finden, kann auf das äquivalente Problem reduziert werden, den globalen Minimalpunkt der Funktion zu finden. Tatsächlich ist die Funktion nicht negativ und erreicht für diejenigen und nur für diejenigen x einen Minimalwert gleich Null

2. Näherungsmethoden.

Diese Methoden ermöglichen es, das ursprüngliche Problem durch ein anderes zu approximieren (zu approximieren), dessen Lösung in gewisser Weise der Lösung des ursprünglichen Problems nahe kommt. Der durch eine solche Ersetzung entstehende Fehler wird Approximationsfehler genannt. In der Regel enthält ein Näherungsproblem einige Parameter, mit denen Sie die Größe des Näherungsfehlers anpassen oder andere Eigenschaften des Problems beeinflussen können. Man sagt üblicherweise, dass ein Näherungsverfahren konvergiert, wenn der Näherungsfehler gegen Null tendiert, da die Methodenparameter zu einem bestimmten Grenzwert tendieren.

Beispiel 3.15. Eine der einfachsten Methoden zur Berechnung des Integrals besteht darin, das Integral anhand der Formel für Rechtecke der Größe zu approximieren

Der Schritt ist hier ein Methodenparameter. Da es sich um eine speziell konstruierte Integralsumme handelt, folgt aus der Definition eines bestimmten Integrals, dass bei der Konvergenz der Rechteckmethode

Beispiel 3.16. Unter Berücksichtigung der Definition der Ableitung einer Funktion können Sie für deren Näherungsberechnung die Formel verwenden. Der Näherungsfehler dieser numerischen Differentiationsformel tendiert gegen Null, wenn

Eine der gängigen Näherungsmethoden ist die Diskretisierung – ein ungefährer Ersatz des ursprünglichen Problems durch ein endlichdimensionales Problem, d. h. ein Problem, dessen Eingabedaten und gewünschte Lösung durch eine endliche Menge von Zahlen eindeutig spezifiziert werden können. Bei Problemen, die nicht endlichdimensional sind, ist dieser Schritt für die spätere Umsetzung auf einem Computer notwendig, da ein Computer nur mit einer endlichen Anzahl von Zahlen arbeiten kann. In den obigen Beispielen 3.15 und 3.16 wurde eine Probenahme durchgeführt. Obwohl die genaue Berechnung des Integrals die Verwendung einer unendlichen Anzahl von Werten erfordert (für alle kann sein Näherungswert unter Verwendung einer endlichen Anzahl von Werten an den Punkten a berechnet werden). Die genaue Lösung davon beinhaltet den Übergang zum Grenzwert bei (und daher reduziert sich die Verwendung einer unendlichen Anzahl von Funktionswerten auf eine ungefähre Berechnung der Ableitung in Bezug auf zwei Werte der Funktion.

Bei der Lösung nichtlinearer Probleme werden häufig verschiedene Linearisierungsmethoden verwendet, die darin bestehen, das ursprüngliche Problem näherungsweise durch einfachere lineare Probleme zu ersetzen. Beispiel 3.17. Lassen Sie es notwendig sein, den Wert für auf einem Computer, der einfache Rechenoperationen ausführen kann, näherungsweise zu berechnen. Beachten Sie, dass x per Definition eine positive Wurzel einer nichtlinearen Gleichung ist. Es sei eine bekannte Näherung für erforderlich. Ersetzen wir die Parabel durch eine gerade Linie, die eine Tangente an sie ist

Der Schnittpunkt dieser Tangente mit der Achse ergibt eine bessere Näherung und wird aus einer linearen Gleichung ermittelt. Durch die Lösung erhalten wir eine Näherungsformel

Nimmt man zum Beispiel „für“, erhält man einen verfeinerten Wert

Bei der Lösung verschiedener Klassen von Rechenproblemen können unterschiedliche Näherungsmethoden verwendet werden; Dazu gehören Methoden zur Regularisierung der Lösung schlecht gestellter Probleme. Beachten Sie, dass Regularisierungsmethoden häufig zur Lösung schlecht konditionierter Probleme eingesetzt werden.

3. Direkte Methoden.

Eine Methode zur Lösung eines Problems heißt direkt, wenn sie es ermöglicht, nach Durchführung einer endlichen Anzahl elementarer Operationen eine Lösung zu erhalten.

Beispiel 3.18. Die Methode zur Berechnung der Wurzeln einer quadratischen Gleichung mithilfe von Formeln ist eine direkte Methode. Als elementar gelten hier die vier Rechenoperationen und die Quadratwurzeloperation.

Beachten Sie, dass eine Elementaroperation der direkten Methode recht komplex sein kann (Berechnung der Werte einer Elementar- oder Sonderfunktion, Lösung eines Systems linearer algebraischer Gleichungen, Berechnung eines bestimmten Integrals usw.). Die Tatsache, dass es als elementar akzeptiert wird, impliziert in jedem Fall, dass seine Umsetzung wesentlich einfacher ist als die Berechnung der Lösung des Gesamtproblems.

Bei der Konstruktion direkter Methoden wird großer Wert auf die Minimierung der Anzahl elementarer Operationen gelegt.

Beispiel 3.19 (Horner-Diagramm). Das Problem bestehe darin, den Wert eines Polynoms zu berechnen

entsprechend den angegebenen Koeffizienten und dem Wert des Arguments x. Wenn Sie das Polynom direkt mit der Formel (3.12) berechnen und es durch sequentielle Multiplikation mit x finden, müssen Sie Multiplikations- und Additionsoperationen durchführen.

Eine wesentlich wirtschaftlichere Berechnungsmethode ist das Horner-Schema. Es basiert darauf, ein Polynom in der folgenden äquivalenten Form zu schreiben:

Die Platzierung von Klammern gibt die folgende Reihenfolge der Berechnungen vor: Hier erfordert die Berechnung des Werts nur Multiplikations- und Additionsoperationen.

Horners Schema ist interessant, weil es ein Beispiel für eine Methode darstellt, die hinsichtlich der Anzahl der Elementaroperationen optimal ist. Im Allgemeinen kann mit keiner Methode ein Wert ermittelt werden, da weniger Multiplikations- und Additionsoperationen durchgeführt werden müssen.

Manchmal werden direkte Methoden als exakt bezeichnet, was bedeutet, dass das resultierende Ergebnis auch korrekt ist, wenn die Eingabedaten keine Fehler enthalten und elementare Operationen genau ausgeführt werden. Bei der Implementierung der Methode auf einem Computer ist jedoch das Auftreten eines Rechenfehlers unvermeidlich, dessen Ausmaß von der Empfindlichkeit der Methode gegenüber Rundungsfehlern abhängt. Viele direkte (exakte) Methoden, die in der Vormaschinenzeit entwickelt wurden, erwiesen sich gerade wegen der übermäßigen Empfindlichkeit gegenüber Rundungsfehlern als ungeeignet für maschinelle Berechnungen. Nicht alle exakten Methoden sind so, aber es ist erwähnenswert, dass der nicht ganz erfolgreiche Begriff „exakt“ die Eigenschaften der idealen Implementierung der Methode charakterisiert, nicht jedoch die Qualität des Ergebnisses, das aus realen Berechnungen erzielt wird.

4. Iterative Methoden.

Hierbei handelt es sich um spezielle Methoden zur Konstruktion sukzessiver Approximationen zur Lösung eines Problems. Die Anwendung der Methode beginnt mit der Auswahl einer oder mehrerer Anfangsnäherungen. Um jede der nachfolgenden Näherungen zu erhalten, wird ein ähnlicher Satz von Aktionen unter Verwendung der zuvor gefundenen Näherungen durchgeführt – Iteration. Die unbegrenzte Fortsetzung dieses iterativen Prozesses ermöglicht es uns theoretisch, eine unendliche Folge von Näherungen an die Lösung zu konstruieren

Iterationssequenz. Wenn diese Folge zu einer Lösung des Problems konvergiert, spricht man von einer Konvergenz der iterativen Methode. Die Menge der anfänglichen Näherungen, für die die Methode konvergiert, wird als Konvergenzbereich der Methode bezeichnet.

Beachten Sie, dass iterative Methoden häufig zur Lösung verschiedenster Probleme mithilfe von Computern eingesetzt werden.

Beispiel 3.20. Betrachten wir die bekannte iterative Methode zur Berechnung (wobei die Newton-Methode gilt). Legen wir eine beliebige Anfangsnäherung fest. Wir berechnen die nächste Näherung mithilfe der Formel, die mithilfe der Linearisierungsmethode in Beispiel 3.17 abgeleitet wurde (siehe Formel (3.11)). Wir setzen diesen Prozess fort Darüber hinaus erhalten wir eine iterative Sequenz, in der die nächste Näherung mithilfe der wiederkehrenden Formel berechnet wird

Es ist bekannt, dass diese Methode bei jeder anfänglichen Näherung konvergiert, sodass ihr Konvergenzbereich die Menge aller positiven Zahlen ist.

Lassen Sie uns damit den Wert auf einem -Bit-Dezimalcomputer berechnen. Setzen wir (wie in Beispiel 3.17). Dann sind weitere Berechnungen sinnlos, da aufgrund der Begrenztheit des Bitgitters alle nachfolgenden Verfeinerungen zum gleichen Ergebnis führen. Der Vergleich mit dem exakten Wert zeigt jedoch, dass bereits bei der dritten Iteration 6 korrekte signifikante Zahlen erhalten wurden.

Am Beispiel des Newton-Verfahrens werden wir einige typische Probleme für iterative Verfahren (und nicht nur für diese) diskutieren. Iterative Methoden sind von Natur aus Näherungsmethoden; Keine der resultierenden Näherungen entspricht dem exakten Wert der Lösung. Die konvergente Iterationsmethode ermöglicht es jedoch grundsätzlich, eine Lösung mit beliebiger Genauigkeit zu finden. Daher wird bei der Verwendung der iterativen Methode immer die erforderliche Genauigkeit angegeben und der iterative Prozess unterbrochen, sobald sie erreicht ist.

Obwohl die Tatsache, dass die Methode konvergiert, sicherlich wichtig ist, reicht sie nicht aus, um die Methode für den Einsatz in der Praxis zu empfehlen. Wenn die Methode sehr langsam konvergiert (um beispielsweise eine Lösung mit einer Genauigkeit von 1 % zu erhalten, müssen Sie Iterationen durchführen), ist sie für Computerberechnungen ungeeignet. Schnell konvergente Methoden, zu denen auch die Newton-Methode gehört, sind von praktischem Wert (denken Sie daran, dass die Genauigkeit der Berechnung in nur drei Iterationen erreicht wurde). Um die Konvergenzgeschwindigkeit und die Einsatzbedingungen iterativer Verfahren theoretisch zu untersuchen, werden sogenannte A-priori-Fehlerschätzungen abgeleitet, die es ermöglichen, bereits vor Berechnungen Rückschlüsse auf die Qualität des Verfahrens zu ziehen.

Lassen Sie uns zwei solcher A-priori-Schätzungen für die Newton-Methode vorstellen. Es sei bekannt, dass dann für alle und die Fehler zweier aufeinanderfolgender Näherungen durch die folgende Ungleichung zusammenhängen:

Hier ist ein Wert, der den relativen Fehler der Näherung charakterisiert. Diese Ungleichheit weist auf eine sehr hohe quadratische Konvergenzrate der Methode hin: Bei jeder Iteration wird der „Fehler“ quadriert. Wenn wir es durch den Fehler der anfänglichen Näherung ausdrücken, erhalten wir die Ungleichung

Daraus ergibt sich die Rolle einer guten Wahl der Anfangsnäherung. Je kleiner der Wert, desto schneller konvergiert die Methode.

Die praktische Umsetzung iterativer Methoden ist immer mit der Notwendigkeit verbunden, ein Kriterium für die Beendigung des iterativen Prozesses auszuwählen. Berechnungen können nicht endlos fortgesetzt werden und müssen aufgrund eines Kriteriums unterbrochen werden, das beispielsweise mit dem Erreichen einer bestimmten Genauigkeit zusammenhängt. Die Verwendung von A-priori-Schätzungen zu diesem Zweck erweist sich meist als unmöglich oder ineffektiv. Obwohl solche Schätzungen das Verhalten der Methode qualitativ korrekt beschreiben, werden sie überschätzt und liefern sehr unzuverlässige quantitative Informationen. A-priori-Schätzungen enthalten häufig Unbekannte

Mengen (zum Beispiel enthalten die Schätzungen (3.14), (3.15) die Menge a) oder implizieren das Vorhandensein und die ernsthafte Verwendung einiger zusätzlicher Informationen über die Lösung. Meistens sind solche Informationen nicht verfügbar und ihre Beschaffung ist mit der Notwendigkeit verbunden, zusätzliche Probleme zu lösen, die oft komplexer sind als das ursprüngliche.

Zur Bildung eines Abbruchkriteriums bei Erreichen einer bestimmten Genauigkeit werden in der Regel sogenannte a-posteriori-Fehlerschätzungen verwendet – Ungleichungen, bei denen die Größe des Fehlers anhand bekannter oder im Rechenprozess gewonnener Werte abgeschätzt wird. Obwohl solche Schätzungen nicht vor Beginn der Berechnungen verwendet werden können, liefern sie eine konkrete Quantifizierung der Unsicherheit während des Berechnungsprozesses.

Für die Newton-Methode (3.13) gilt beispielsweise die folgende a-posteriori-Schätzung:

S. Ulam nutzte Zufallszahlen, um das Verhalten von Neutronen in einem Kernreaktor am Computer zu simulieren. Diese Methoden können bei der Modellierung großer Systeme unverzichtbar sein, ihre detaillierte Darstellung erfordert jedoch einen erheblichen Einsatz der Instrumente der Wahrscheinlichkeitstheorie und der mathematischen Statistik und geht über den Rahmen dieses Buches hinaus.

Determinanten

Das Konzept einer Determinante

Jede quadratische Matrix n-ter Ordnung kann einer Zahl namens zugeordnet werden Determinante (Determinante) Matrix A und wird wie folgt bezeichnet: , oder , oder det A.

Determinante einer Matrix erster Ordnung oder Determinante erster Ordnung ist das Element

Determinante zweiter Ordnung(die Determinante einer Matrix zweiter Ordnung) wird wie folgt berechnet:

Reis. Schema zur Berechnung der Determinante zweiter Ordnung

Somit ist die Determinante zweiter Ordnung die Summe 2=2! Terme, von denen jeder das Produkt zweier Faktoren ist – Elemente der Matrix A, eines aus jeder Zeile und jeder Spalte. Einer der Begriffe wird mit einem „+“-Zeichen versehen, der andere mit einem „-“-Zeichen.

Finden Sie die Determinante

Die Determinante dritter Ordnung (Determinante dritter Ordnung einer quadratischen Matrix) ist gegeben durch:

Somit ist die Determinante dritter Ordnung die Summe 6=3! Terme, von denen jeder das Produkt von 3 Faktoren ist – Elemente der Matrix A, eines aus jeder Zeile und jeder Spalte. Eine Hälfte der Begriffe ist mit dem „+“-Zeichen versehen, die andere Hälfte mit dem „-“-Zeichen.

Die Hauptmethode zur Berechnung der Determinante dritter Ordnung ist die sogenannte Dreiecksregel (Sarrus-Regel): Der erste der drei in der Summe enthaltenen Terme mit dem „+“-Zeichen ist das Produkt der Elemente der Hauptdiagonale, der zweite und dritte sind die Produkte der Elemente, die sich an den Eckpunkten zweier Dreiecke mit befinden Basen parallel zur Hauptdiagonale; Die drei in der Summe enthaltenen Terme mit dem „-“-Zeichen werden ähnlich definiert, jedoch relativ zur zweiten (Seiten-)Diagonale. Nachfolgend finden Sie zwei Schemata zur Berechnung von Determinanten dritter Ordnung

B)

Reis. Schemata zur Berechnung von Determinanten 3. Ordnung

Finden Sie die Determinante:

Die Determinante einer quadratischen Matrix n-ter Ordnung (n 4) wird anhand der Eigenschaften von Determinanten berechnet.

Grundlegende Eigenschaften von Determinanten. Methoden zur Berechnung von Determinanten

Matrixdeterminanten haben die folgenden grundlegenden Eigenschaften:

1. Die Determinante ändert sich nicht, wenn die Matrix transponiert wird.

2. Wenn zwei Zeilen (oder Spalten) in der Determinante vertauscht werden, ändert sich das Vorzeichen der Determinante.

3. Eine Determinante mit zwei proportionalen (insbesondere gleichen) Zeilen (Spalten) ist gleich Null.

4. Wenn eine Zeile (Spalte) in einer Determinante aus Nullen besteht, dann ist die Determinante gleich Null.

5. Der gemeinsame Faktor der Elemente einer beliebigen Zeile (oder Spalte) kann aus dem Determinantenzeichen entnommen werden.

6. Die Determinante ändert sich nicht, wenn wir zu allen Elementen einer Zeile (oder Spalte) die entsprechenden Elemente einer anderen Zeile (oder Spalte) addieren, multipliziert mit derselben Zahl.

7. Die Determinante diagonaler und dreieckiger (oberer und unterer) Matrizen ist gleich dem Produkt der Diagonalelemente.

8. Die Determinante des Produkts quadratischer Matrizen ist gleich dem Produkt ihrer Determinanten.

Richtlinien für Erstsemesterstudierende

Bazey Alexander Anatoljewitsch

Odessa 2008

LITERATUR

1 Hemming R.V. Numerische Methoden für Wissenschaftler und Ingenieure. – M.: Nauka, 1968. – 400 S.

2 Blazhko S.N. Kurs der sphärischen Astronomie. – Moskau, Leningrad, OGIZ, 1948. – 416 S.

3 Shchigolev B.M. Mathematische Verarbeitung von Beobachtungen. – M.: Nauka, 1969. – 344 S.

4 Krylov V.I., Bobkov V.V., Monastyrny P.I. Rechenmethoden. – M.: Nauka, 1977. Band I, Band II – 400 S.

5 Hudson D. Statistik für Physiker. – M.: Mir, 1967. – 244 S.

6.Berman G.N. Buchhaltungstechniken. – Moskau, 1953. – 88 S.

7.Rumshinsky L.Z. Mathematische Verarbeitung experimenteller Ergebnisse. – Moskau, Nauka 1971. – 192 S.

8. Kalitkin N.N. Numerische Methoden. – Moskau, Nauka 1978. – 512 S.

9. Filchakov P.F. Numerische und grafische Methoden der angewandten Mathematik. – Kiew, „Naukova Dumka“, 1970. – 800 S.

10. Fikhtengolts G.M. Kurs zur Differential- und Integralrechnung, Band 1-3. – Moskau, Nauka 1966.

Ungefähre Berechnungen 2

Über das Plotten

Glätten 10

Annäherung 12

Richten (Linearisierung) 13

Methode der kleinsten Quadrate 15

Interpolation 24

Lagrange-Interpolationspolynom 26

Restterm der Lagrange-Formel 29

Newtons Interpolationspolynom für eine Tabelle mit einer variablen Schrittweite von 30

Interpolation aus einer Tabelle mit einer konstanten Schrittweite von 34

Interpolationspolynome von Stirling, Bessel, Newton 37

Interpolieren aus einer Funktionstabelle mit zwei Argumenten 42

Differenzierung nach Tabelle 44

Numerische Lösung von Gleichungen 46

Dichotomie (Bisektionsmethode) 46

Einfache Iterationsmethode 47

Newton-Methode 50

Finden des Minimums einer Funktion einer Variablen 51

Methode des Goldenen Schnitts 51

Parabelmethode 54

Berechnung des bestimmten Integrals 56

Trapezformel 59

Durchschnittsformel oder Rechteckformel 61

Simpsons Formel 62

Gewöhnliche Differentialgleichungen lösen. Cauchy-Problem 64

Klassische Euler-Methode 66

Verfeinerte Euler-Methode 67

Prognose- und Korrekturmethode 69

Runge-Kutta-Methoden 71

Harmonische Analyse 74

Orthogonale Funktionensysteme 78

Methode 12 Koordinaten 79

Ungefähre Berechnungen

Lassen Sie uns ein einfaches Problem lösen. Nehmen wir an, ein Student wohnt 1247 m vom Bahnhof entfernt. Der Zug fährt um 17:38 Uhr ab. Wie lange vor der Abfahrt des Zuges sollte ein Schüler das Haus verlassen, wenn seine Durchschnittsgeschwindigkeit 6 km/h beträgt?

Wir bekommen sofort die Lösung:

.

Es ist jedoch unwahrscheinlich, dass irgendjemand diese mathematisch genaue Lösung tatsächlich verwenden würde, und hier erfahren Sie, warum. Die Berechnungen wurden absolut genau durchgeführt, aber wurde die Entfernung zur Station genau gemessen? Ist es überhaupt möglich, den Weg eines Fußgängers fehlerfrei zu vermessen? Kann ein Fußgänger in einer Stadt voller Menschen und Autos, die sich in alle möglichen Richtungen bewegen, entlang einer genau definierten Linie gehen? Und die Geschwindigkeit von 6 km/h – ist sie absolut genau bestimmt? Usw.

Es ist ganz klar, dass jeder in diesem Fall nicht einer „mathematisch exakten“, sondern einer „praktischen“ Lösung dieses Problems den Vorzug geben wird, d Minuten, um sicher zu sein.

Warum also Sekunden und ihre Bruchteile berechnen und eine solche Genauigkeit anstreben, die in der Praxis nicht anwendbar ist?

Mathematik ist eine exakte Wissenschaft, aber das Konzept der „Präzision“ selbst bedarf einer Klärung. Dazu müssen wir mit dem Zahlenbegriff beginnen, da die Genauigkeit der Berechnungsergebnisse maßgeblich von der Genauigkeit der Zahlen und der Zuverlässigkeit der Ausgangsdaten abhängt.

Es gibt drei Quellen, um Zahlen zu erhalten: Zählen, Messen und Durchführen verschiedener mathematischer Operationen

Wenn die Anzahl der zu zählenden Elemente klein ist und über die Zeit konstant bleibt, erhalten wir absolut genau Ergebnisse. Eine Hand hat zum Beispiel 5 Finger und in einer Schachtel befinden sich 300 Lager. Anders verhält es sich, wenn man sagt: In Odessa lebten 1979 1.000.000 Einwohner. Schließlich werden Menschen geboren und sterben, kommen und gehen; Ihre Anzahl ändert sich ständig, auch während der Zeitspanne, in der die Zählung abgeschlossen ist. Was wir also wirklich meinen, ist, dass es etwa 1.000.000 Einwohner gab, vielleicht 999.125 oder 1.001.263, oder eine andere Zahl in der Nähe von 1.000.000. In diesem Fall ergibt 1.000.000 ungefähr Anzahl der Stadtbewohner.

Jede Messung kann nicht absolut genau durchgeführt werden. Jedes Gerät gibt irgendeinen Fehler aus. Darüber hinaus erhalten zwei Beobachter, die dieselbe Größe mit demselben Instrument messen, normalerweise leicht unterschiedliche Ergebnisse; eine vollständige Übereinstimmung der Ergebnisse ist eine seltene Ausnahme.

Selbst ein so einfaches Messgerät wie ein Lineal weist einen „Gerätefehler“ auf – die Kanten und Ebenen des Lineals weichen etwas von idealen Geraden und Ebenen ab, die Striche auf dem Lineal können nicht in absolut gleichen Abständen aufgetragen werden, und die Striche selbst eine bestimmte Dicke haben; Daher können wir beim Messen keine genaueren Ergebnisse als die Dicke der Striche erzielen.

Wenn Sie die Länge des Tisches gemessen haben und einen Wert von 1360,5 mm erhalten haben, bedeutet das keineswegs, dass die Länge des Tisches genau 1360,5 mm beträgt – wenn dieser Tisch einen anderen misst oder Sie die Messung wiederholen, dann können Sie einen erhalten Wert von 1360,4 mm und 1360,6 mm. Die Zahl 1360,5 mm gibt die Länge des Tisches an etwa.

Nicht alle mathematischen Operationen können fehlerfrei ausgeführt werden. Es ist nicht immer möglich, die Wurzel zu ziehen, den Sinus oder Logarithmus zu finden und nicht einmal mit absoluter Präzision zu dividieren.

Alle Messungen führen ausnahmslos zu Näherungswerten der Messgrößen.. In einigen Fällen werden Messungen grob durchgeführt, dann ergeben sich große Fehler; bei sorgfältigen Messungen sind die Fehler kleiner. Eine absolute Genauigkeit der Messungen wird nie erreicht.

Betrachten wir nun die zweite Seite der Frage. Ist in der Praxis absolute Genauigkeit erforderlich und welchen Wert hat ein Näherungsergebnis?

Bei der Berechnung einer Strom- oder Gasleitung wird niemand den Abstand zwischen den Stützen auf den Millimeter genau oder den Durchmesser eines Rohrs auf den Mikrometer genau bestimmen. In der Technik und im Bauwesen kann jedes Teil oder jede Struktur nur mit einer bestimmten Genauigkeit hergestellt werden, die durch die sogenannten Toleranzen bestimmt wird. Diese Toleranzen reichen von Mikrometern bis hin zu Millimetern und Zentimetern, abhängig vom Material, der Größe und dem Zweck des Teils oder der Struktur. Um die Abmessungen eines Teils zu bestimmen, macht es daher keinen Sinn, Berechnungen mit einer Genauigkeit durchzuführen, die über die erforderliche Genauigkeit hinausgeht.

1) Die Ausgangsdaten für Berechnungen weisen in der Regel Fehler auf, das heißt, es handelt sich um Näherungswerte;

2) Diese oft erhöhten Fehler fließen in die Berechnungsergebnisse ein. Die Praxis erfordert jedoch keine genauen Daten, sondern begnügt sich mit Ergebnissen mit einigen akzeptablen Fehlern, deren Ausmaß vorherbestimmt werden muss.

3) Die erforderliche Genauigkeit des Ergebnisses kann nur dann gewährleistet werden, wenn die Quelldaten ausreichend genau sind und alle durch die Berechnungen selbst verursachten Fehler berücksichtigt werden.

4) Berechnungen mit ungefähren Zahlen müssen ungefähr durchgeführt werden, wobei versucht wird, bei der Lösung des Problems den minimalen Arbeits- und Zeitaufwand zu erreichen.

Typischerweise liegen die zulässigen Fehler bei technischen Berechnungen zwischen 0,1 und 5 %, in wissenschaftlichen Angelegenheiten können sie jedoch auf Tausendstel Prozent reduziert werden. Beispielsweise musste beim Start des ersten künstlichen Mondsatelliten (31. März 1966) die Startgeschwindigkeit von etwa 11.200 m/s mit einer Genauigkeit von mehreren Zentimetern pro Sekunde sichergestellt werden, damit der Satellit eher in eine Mondumlaufbahn eintreten konnte als eine zirkumsolare Umlaufbahn.

Beachten Sie außerdem, dass die Regeln der Arithmetik unter der Annahme abgeleitet werden, dass alle Zahlen exakt sind. Wenn also mit Näherungszahlen wie mit exakten Berechnungen gerechnet wird, entsteht ein gefährlicher und schädlicher Eindruck von Genauigkeit, wo in Wirklichkeit keine ist. Wahre wissenschaftliche und insbesondere mathematische Genauigkeit besteht gerade darin, das Vorhandensein fast immer unvermeidlicher Fehler aufzuzeigen und deren Grenzen zu bestimmen.

Basierend auf den Konzepten der Determinanten zweiter und dritter Ordnung können wir in ähnlicher Weise das Konzept einer Ordnungsdeterminante einführen N. Determinanten höherer Ordnung als der dritten Ordnung werden in der Regel unter Verwendung der in Abschnitt 1.3. formulierten Eigenschaften von Determinanten berechnet, die für Determinanten jeder Ordnung gelten.

Mit der Eigenschaft der Determinanten Nr. 9 0 führen wir die Definition einer Determinante 4. Ordnung ein:

Beispiel 2. Berechnen Sie mit einer geeigneten Erweiterung.

Ebenso wird der Begriff der Determinante der Quinte, Sexte usw. eingeführt. Befehl. Also die Determinante der Ordnung n:

.

Alle zuvor besprochenen Eigenschaften von Determinanten 2. und 3. Ordnung gelten auch für Determinanten n-ter Ordnung.

Betrachten wir die wichtigsten Methoden zur Berechnung von Determinanten N-te Ordnung.

Kommentar: Bevor Sie diese Methode anwenden, ist es sinnvoll, mithilfe der grundlegenden Eigenschaften von Determinanten alle Elemente einer bestimmten Zeile oder Spalte bis auf eines auf Null zu setzen. (Effiziente Methode zur Auftragsreduzierung)

Methode der Reduktion auf Dreiecksform besteht in einer solchen Transformation der Determinante, wenn alle ihre auf einer Seite der Hauptdiagonalen liegenden Elemente gleich Null werden. In diesem Fall ist die Determinante gleich dem Produkt der Elemente ihrer Hauptdiagonale.

Beispiel 3. Berechnen Sie durch Reduktion auf die Dreiecksform.

Beispiel 4. Berechnen Sie mit der Methode der effektiven Auftragsreduktion

.

Lösung: Gemäß der Eigenschaft von 4 0 Determinanten nehmen wir den Faktor 10 aus der ersten Zeile heraus, multiplizieren dann die zweite Zeile nacheinander mit 2, mit 2, mit 1 und addieren ihn mit der ersten, dritten und vierten Zeilen (Eigenschaft 8 0).

.

Die resultierende Determinante kann in Elemente der ersten Spalte erweitert werden. Sie wird auf eine Determinante dritter Ordnung reduziert, die nach der Sarrus-(Dreiecks-)Regel berechnet wird.

Beispiel 5. Berechnen Sie die Determinante, indem Sie sie auf die Dreiecksform reduzieren.

.

Beispiel 3. Berechnen Sie mithilfe von Wiederholungsrelationen.

.

.

Vorlesung 4. Inverse Matrix. Matrixrang.

1. Das Konzept einer inversen Matrix

Definition 1. Quadrat Matrix A der Ordnung n heißt nicht entartet, wenn seine Determinante | A| ≠ 0. Für den Fall, dass | A| = 0, Matrix A wird aufgerufen degenerieren.

Nur für quadratische nicht singuläre Matrizen A wird das Konzept einer inversen Matrix A -1 eingeführt.

Definition 2 . Matrix A -1 wird aufgerufen umkehren für eine quadratische nicht singuläre Matrix A, wenn A -1 A = AA -1 = E, wobei E die Einheitsmatrix der Ordnung ist N.

Definition 3 . Matrix angerufen beigefügt seine Elemente sind algebraische Komplemente transponierte Matrix
.

Algorithmus zur Berechnung der inversen Matrix mit der Methode der adjungierten Matrix.

, Wo
.

Wir überprüfen die Richtigkeit der Berechnung A -1 A = AA -1 = E. (E ist die Identitätsmatrix)

Matrizen A und A -1 reziprok. Wenn | A| = 0, dann existiert die inverse Matrix nicht.

Beispiel 1. Matrix A ist gegeben. Stellen Sie sicher, dass sie nicht singulär ist, und finden Sie die inverse Matrix
.

Lösung:
. Daher ist die Matrix nicht singulär.

Finden wir die inverse Matrix. Lassen Sie uns algebraische Komplemente der Elemente der Matrix A bilden.

Wir bekommen

.

Präsentation sowohl der Ausgangsdaten des Problems als auch seiner Lösung - als Zahl oder Zahlenmenge

Es ist ein wichtiger Bestandteil im System der Ausbildung von Ingenieuren technischer Fachrichtungen.

Die Grundlagen für rechnerische Methoden sind:

• Lösung linearer Gleichungssysteme
• Interpolation und Näherungsfunktionsberechnung
• numerische Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen
• numerische Lösung partieller Differentialgleichungen (Gleichungen der mathematischen Physik)
• Lösung von Optimierungsproblemen

siehe auch

Anmerkungen

Literatur

• Kalitkin N. N. Numerische Methoden. M., Nauka, 1978
• Amosov A. A., Dubinsky Yu. A., Kopchenova N. V. „Berechnungsmethoden für Ingenieure“, 1994
• Fletcher K, Computational Methods in Fluid Dynamics, hrsg. Welt, 1991, 504 S.
• E. Alekseev „Lösen von Problemen der Computermathematik in den Paketen Mathcad 12, MATLAB 7, Maple 9“, 2006, 496 Seiten.
• Tikhonov A. N., Goncharsky A. V., Stepanov V. V., Yagola A. G. „Numerische Methoden zur Lösung schlecht gestellter Probleme“ (1990)
• Bakushinsky A. B., Goncharsky A. V. Schlecht gestellte Probleme. Numerische Methoden und Anwendungen, hrsg. Verlag der Moskauer Universität, 1989
• N. N. Kalitkin, A. B. Alshin, E. A. Alshina, V. B. Rogov. Berechnungen auf quasi-einheitlichen Gittern. Moskau, Nauka, Fizmatlit, 2005, 224 S.
• Yu. Ryzhikov „Computational Methods“ hrsg. BHV, 2007, 400 S., ISBN 978-5-9775-0137-8
• Berechnungsmethoden in der angewandten Mathematik, International Journal, ISSN 1609-4840

Links

• Wissenschaftliche Zeitschrift „Computational Methods and Programming. Neue Computertechnologien“

Wikimedia-Stiftung. 2010.

• Computermathematik und mathematische Physik
• Computerpipeline

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• Rechenmethoden. Lehrbuch, Andrey Avenirovich Amosov, Yuliy Andreevich Dubininsky, Natalya Vasilievna Kopchenova. Das Buch behandelt Rechenmethoden, die in der Praxis angewandter und wissenschaftlich-technischer Berechnungen am häufigsten verwendet werden: Methoden zur Lösung von Problemen der linearen Algebra, nichtlineare Gleichungen, ...