Математический-Калькулятор-Онлайн v.1.0
Калькулятор выполняет следующие операции: сложение, вычитание, умножение, деление, работа с десятичными, извлечение корня, возведение в степень, вычисление процентов и др. операции.
Решение:
Как работать с математическим калькулятором
| Клавиша | Обозначение | Пояснение |
|---|---|---|
| 5 | цифры 0-9 | Арабские цифры. Ввод натуральных целых чисел, нуля. Для получения отрицательного целого числа необходимо нажать клавишу +/- |
| . | точка (запятая) | Разделитель для обозначения десятичной дроби. При отсутствии цифры перед точкой (запятой) калькулятор автоматически подставит ноль перед точкой. Например: .5 - будет записано 0.5 |
| + | знак плюс | Сложение чисел (целые, десятичные дроби) |
| - | знак минус | Вычитание чисел (целые, десятичные дроби) |
| ÷ | знак деления | Деление чисел (целые, десятичные дроби) |
| х | знак умножения | Умножение чисел (целые, десятичные дроби) |
| √ | корень | Извлечение корня из числа. При повторном нажатие на кнопку "корня" производится вычисление корня из результата. Например: корень из 16 = 4; корень из 4 = 2 |
| x 2 | возведение в квадрат | Возведение числа в квадрат. При повторном нажатие на кнопку "возведение в квадрат" производится возведение в квадрат результата Например: квадрат 2 = 4; квадрат 4 = 16 |
| 1 / x | дробь | Вывод в десятичные дроби. В числителе 1, в знаменателе вводимое число |
| % | процент | Получение процента от числа. Для работы необходимо ввести: число из которого будет высчитываться процент, знак (плюс, минус, делить, умножить), сколько процентов в численном виде, кнопка "%" |
| ( | открытая скобка | Открытая скобка для задания приоритета вычисления. Обязательно наличие закрытой скобки. Пример: (2+3)*2=10 |
| ) | закрытая скобка | Закрытая скобка для задания приоритета вычисления. Обязательно наличие открытой скобки |
| ± | плюс минус | Меняет знак на противоположный |
| = | равно | Выводит результат решения. Также над калькулятором в поле "Решение" выводится промежуточные вычисления и результат. |
| ← | удаление символа | Удаляет последний символ |
| С | сброс | Кнопка сброса. Полностью сбрасывает калькулятор в положение "0" |
Алгоритм работы онлайн-калькулятора на примерах
Сложение.
Сложение целых натуральных чисел { 5 + 7 = 12 }
Сложение целых натуральных и отрицательных чисел { 5 + (-2) = 3 }
Сложение десятичных дробных чисел { 0,3 + 5,2 = 5,5 }
Вычитание.
Вычитание целых натуральных чисел { 7 - 5 = 2 }
Вычитание целых натуральных и отрицательных чисел { 5 - (-2) = 7 }
Вычитание десятичных дробных чисел { 6,5 - 1,2 = 4,3 }
Умножение.
Произведение целых натуральных чисел { 3 * 7 = 21 }
Произведение целых натуральных и отрицательных чисел { 5 * (-3) = -15 }
Произведение десятичных дробных чисел { 0,5 * 0,6 = 0,3 }
Деление.
Деление целых натуральных чисел { 27 / 3 = 9 }
Деление целых натуральных и отрицательных чисел { 15 / (-3) = -5 }
Деление десятичных дробных чисел { 6,2 / 2 = 3,1 }
Извлечение корня из числа.
Извлечение корня из целого числа { корень(9) = 3 }
Извлечение корня из десятичных дробей { корень(2,5) = 1,58 }
Извлечение корня из суммы чисел { корень(56 + 25) = 9 }
Извлечение корня из разницы чисел { корень (32 – 7) = 5 }
Возведение числа в квадрат.
Возведение в квадрат целого числа { (3) 2 = 9 }
Возведение в квадрат десятичных дробей { (2,2) 2 = 4,84 }
Перевод в десятичные дроби.
Вычисление процентов от числа
Увеличить на 15% число 230 { 230 + 230 * 0,15 = 264,5 }
Уменьшить на 35% число 510 { 510 – 510 * 0,35 =331,5 }
18% от числа 140 это { 140 * 0,18 = 25,2 }
В тему «Умножение десятичных дробей» входит умножение десятичной дроби на натуральное число, умножение десятичной дроби на десятичную дробь и некоторые важные частные случаи. Запишем все правила этой темы на одной странице.
Чтобы умножить десятичную дробь на натуральное число, нужно
- в полученном произведении отделить после запятой столько цифр, сколько их после запятой в десятичной дроби.
Примеры умножения десятичной дроби на натуральное число .
Умножаем, не обращая внимания на запятую, то есть 342∙7=2394. После запятой в десятичной дроби 3,42 стоит две цифры. Поэтому в полученном произведении после запятой отделяем две цифры: 23,94.
Таким образом, 3,42∙7=23,94.
Перемножаем числа, не обращая внимания на запятую: 7135∙2=14270. В полученном результате следует отделить запятой две последние цифры: 142,70. Так как нули после запятой в конце записи десятичной дроби не пишут, то
71,35∙2=142,70=142,7.
3) 0, 000836∙17=?
Умножаем, не принимая во внимание запятую: 836∙17=14212. Так как в десятичной дроби после запятой стоит 6 цифр, в полученном произведении после запятой также должно стоять 6 цифр. Поскольку в результате цифр всего 5, недостающую одну цифру дополняем нулём. Приписываем этот нуль перед числом: ,01412. При получении такой записи перед запятой в целую часть пишут нуль: 0 ,01412.
Чтобы перемножить две десятичные дроби, нужно:
- перемножить числа, не обращая внимания на запятую;
- в полученном произведении отделить после запятой столько цифр, сколько их после запятых в обоих множителях вместе.
Примеры умножения десятичных дробей .
Умножаем числа, не обращая внимания на запятую: 13∙4=52. В полученном произведении следует после запятой записать столько цифр, сколько их после запятой в обоих множителях вместе. В первом множителе 1,3 после запятой одна цифра, во втором множителе 0,4 после запятой одна цифра, итого 1+1=2 цифры в результате нужно отделить запятой: 0,52 (дописав перед запятой нуль):
2) 3,00504∙0,025=?
Перемножаем, не беря во внимание запятую: 300504∙25=7512600. В полученном произведении надо после запятой получить столько цифр, сколько их в обоих множителях после запятой вместе, то есть 5+3=8 цифр. Недостающее количество цифр дополняем нулём. Нули после запятой в конце записи десятичной дроби отбрасываем.
3,00504∙0,025=0,07512600=0,075126.
3) 1,37∙0,0061=?
Произведение без учёта запятых 137∙61=8357. После запятой должно стоять 2+4=6 цифр. Недостающее до 6 количество цифр дополняем двумя нулями (пишем их на перед числом 8357. На первое место, перед запятой в целой части пишем нуль:
1,37∙0,0061=0,008357.
3.Частные случаи умножения десятичных дробей .
Чтобы умножить десятичную дробь на 10, 100, 1000, 10000 и т. д., нужно в записи дроби запятую перенести на 1, 2, 3, 4 и т. д. цифры вправо.
Примеры .
Запятую переносим на 1 цифру вправо:
1) 7,9∙10=79 (здесь 79,=79);
2) 8,53∙10=85,3;
3) 0, 6541=6,541.
Запятую переносим на две цифры вправо:
1) 7,04∙100=704;
2) 3,8754∙100=387,54;
3) 4,5∙100=450 (после запятой стоит всего одна цифра. Недостающую 1 цифру дополнили нулём).
Запятую переносим на три цифры вправо:
1) 45,8096∙1000=45809,6;
2) 0,67∙1000=670 (после запятой 2 цифры. Недостающую 1 цифру дополняем нулём);
В курсе средней и старшей школы учащиеся проходили тему «Дроби». Однако это понятие гораздо шире, чем дается в процессе обучения. Сегодня понятие дроби встречается достаточно часто, и не каждый может провести вычисления какого-либо выражения, к примеру, умножение дробей.
Что такое дробь?
Так исторически сложилось, что дробные числа появились из-за необходимости измерять. Как показывает практика, часто встречаются примеры на определение длины отрезка, объема прямоугольного прямоугольника.
Первоначально ученики знакомятся с таким понятием, как доля. К примеру, если разделить арбуз на 8 частей, то каждому достанется по одной восьмой арбуза. Вот эта одна часть из восьми и называется долей.
Доля, равная ½ от какой-либо величины, называется половиной; ⅓ - третью; ¼ - четвертью. Записи вида 5 / 8 , 4 / 5 , 2 / 4 называют обыкновенными дробями. Обыкновенная дробь разделяется на числитель и знаменатель. Между ними находится черта дроби, или дробная черта. Дробную черту можно нарисовать в виде как горизонтальной, так и наклонной линии. В данном случае она обозначает знак деления.
Знаменатель представляет, на сколько одинаковых долей разделяют величину, предмет; а числитель - сколько одинаковых долей взято. Числитель пишется над дробной чертой, знаменатель - под ней.
Удобнее всего показать обыкновенные дроби на координатном луче. Если единичный отрезок разделить на 4 равные доли, обозначить каждую долю латинской буквой, то в результате можно получить отличное наглядное пособие. Так, точка А показывает долю, равную 1 / 4 от всего единичного отрезка, а точка В отмечает 2 / 8 от данного отрезка.
Разновидности дробей
Дроби бывают обыкновенные, десятичные, а также смешанные числа. Кроме того, дроби можно разделить на правильные и неправильные. Эта классификация больше подходит для обыкновенных дробей.
Под правильной дробью понимают число, у которого числитель меньше знаменателя. Соответственно, неправильная дробь - число, у которого числитель больше знаменателя. Второй вид обычно записывают в виде смешанного числа. Такое выражение состоит из целой и дробной части. Например, 1½. 1 - целая часть, ½ - дробная. Однако если нужно провести какие-то манипуляции с выражением (деление или умножение дробей, их сокращение или преобразование), смешанное число переводится в неправильную дробь.
Правильное дробное выражение всегда меньше единицы, а неправильное - больше либо равно 1.
Что касается то под этим выражением понимают запись, в которой представлено любое число, знаменатель дробного выражения которого можно выразить через единицу с несколькими нулями. Если дробь правильная, то целая часть в десятичной записи будет равна нулю.
Чтобы записать десятичную дробь, нужно сначала написать целую часть, отделить ее от дробной с помощью запятой и потом уже записать дробное выражение. Необходимо помнить, что после запятой числитель должен содержать столько же цифровых символов, сколько нулей в знаменателе.
Пример . Представить дробь 7 21 / 1000 в десятичной записи.
Алгоритм перевода неправильной дроби в смешанное число и наоборот
Записывать в ответе задачи неправильную дробь некорректно, поэтому ее нужно перевести в смешанное число:
- разделить числитель на имеющийся знаменатель;
- в конкретном примере неполное частное - целое;
- и остаток - числитель дробной части, причем знаменатель остается неизменным.
Пример . Перевести неправильную дробь в смешанное число: 47 / 5 .
Решение . 47: 5. Неполное частное равняется 9, остаток = 2. Значит, 47 / 5 = 9 2 / 5 .
Иногда нужно представить смешанное число в качестве неправильной дроби. Тогда нужно воспользоваться следующим алгоритмом:
- целая часть умножается на знаменатель дробного выражения;
- полученное произведение прибавляется к числителю;
- результат записывается в числителе, знаменатель остается неизменным.
Пример . Представить число в смешанном виде в качестве неправильной дроби: 9 8 / 10 .
Решение . 9 х 10 + 8 = 90 + 8 = 98 - числитель.
Ответ : 98 / 10.
Умножение дробей обыкновенных
Над обыкновенными дробями можно совершать различные алгебраические операции. Чтобы перемножить два числа, нужно числитель перемножить с числителем, а знаменатель со знаменателем. Причем умножение дробей с разными знаменателямине отличается от произведения дробных чисел с одинаковыми знаменателями.
Случается, что после нахождения результата нужно сократить дробь. В обязательном порядке нужно максимально упростить получившееся выражение. Конечно, нельзя сказать, что неправильная дробь в ответе - это ошибка, но и назвать верным ответом ее тоже затруднительно.
Пример . Найти произведение двух обыкновенных дробей: ½ и 20 / 18 .
Как видно из примера, после нахождения произведения получилась сократимая дробная запись. И числитель, и знаменатель в данном случае делится на 4, и результатом выступает ответ 5 / 9 .
Умножение дробей десятичных
Произведение десятичных дробей довольно сильно отличается от произведения обыкновенных по своему принципу. Итак, умножение дробей заключается в следующем:
- две десятичные дроби нужно записать друг под другом так, чтобы крайние правые цифры оказались одна под другой;
- нужно перемножить записанные числа, несмотря на запятые, то есть как натуральные;
- подсчитать количество цифр после знака запятой в каждом из чисел;
- в получившемся после перемножения результате нужно отсчитать справа столько цифровых символов, сколько содержится в сумме в обоих множителях после запятой, и поставить отделяющий знак;
- если цифр в произведении оказалось меньше, тогда перед ними нужно написать столько нулей, чтобы покрыть это количество, поставить запятую и приписать целую часть, равную нулю.
Пример . Вычислить произведение двух десятичных дробей: 2,25 и 3,6.
Решение .
Умножение смешанных дробей
Чтобы вычислить произведение двух смешанных дробей, нужно использовать правило умножения дробей:
- перевести числа в смешанном виде в неправильные дроби;
- найти произведение числителей;
- найти произведение знаменателей;
- записать получившийся результат;
- максимально упростить выражение.
Пример . Найти произведение 4½ и 6 2 / 5.
Умножение числа на дробь (дроби на число)
Помимо нахождения произведения двух дробей, смешанных чисел, встречаются задания, где нужно помножить на дробь.
Итак, чтобы найти произведение десятичной дроби и натурального числа, нужно:
- записать число под дробью так, чтобы крайние правые цифры оказались одна над другой;
- найти произведение, несмотря на запятую;
- в полученном результате отделить целую часть от дробной с помощью запятой, отсчитав справа то количество знаков, которое находится после запятой в дроби.
Чтобы умножить обыкновенную дробь на число, следует найти произведение числителя и натурального множителя. Если в ответе получается сократимая дробь, ее следует преобразовать.
Пример . Вычислить произведение 5 / 8 и 12.
Решение . 5 / 8 * 12 = (5*12) / 8 = 60 / 8 = 30 / 4 = 15 / 2 = 7 1 / 2.
Ответ : 7 1 / 2.
Как видно из предыдущего примера, необходимо было сократить получившийся результат и преобразовать неправильное дробное выражение в смешанное число.
Также умножение дробей касается и нахождения произведения числа в смешанном виде и натурального множителя. Чтобы перемножить эти два числа, следует целую часть смешанного множителя умножить на число, числитель помножить на это же значение, а знаменатель оставить неизменным. Если требуется, нужно максимально упростить получившийся результат.
Пример . Найти произведение 9 5 / 6 и 9.
Решение . 9 5 / 6 х 9 = 9 х 9 + (5 х 9) / 6 = 81 + 45 / 6 = 81 + 7 3 / 6 = 88 1 / 2.
Ответ : 88 1 / 2.
Умножение на множители 10, 100, 1000 или 0,1; 0,01; 0,001
Из предыдущего пункта вытекает следующее правило. Для умножения дроби десятичной на 10, 100, 1000, 10000 и т. д. нужно передвинуть запятую вправо на столько символов цифр, сколько нулей во множителе после единицы.
Пример 1 . Найти произведение 0,065 и 1000.
Решение . 0,065 х 1000 = 0065 = 65.
Ответ : 65.
Пример 2 . Найти произведение 3,9 и 1000.
Решение . 3,9 х 1000 = 3,900 х 1000 = 3900.
Ответ : 3900.
Если нужно перемножить натуральное число и 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001 и т. д., следует передвинуть влево запятую в получившемся произведении на столько символов цифр, сколько нулей находится до единицы. Если необходимо, перед натуральным числом записываются нули в достаточном количестве.
Пример 1 . Найти произведение 56 и 0,01.
Решение . 56 х 0,01 = 0056 = 0,56.
Ответ : 0,56.
Пример 2 . Найти произведение 4 и 0,001.
Решение . 4 х 0,001 = 0004 = 0,004.
Ответ : 0,004.
Итак, нахождение произведения различных дробей не должно вызывать затруднений, разве что подсчет результата; в таком случае без калькулятора просто не обойтись.
| 8 классы | Планирование уроков на учебный год | Двоичная система счисления
Урок 27
Двоичная система счисления
Представление чисел в памяти компьютера
История чисел и систем счисления
Изучаемые вопросы:
- Десятичная и двоичная системы счисления.
- Перевод двоичных чисел в десятичную систему счисления.
- Перевод десятичных чисел в двоичную систему.
- Двоичная арифметика.
- Непозиционные системы древности.
- Позиционные системы.
История чисел и систем счисления. Позиционные системы
Позиционные системы
Впервые идея позиционной системы счисления возникла в Древнем Вавилоне.
В позиционных системах счисления количественное значение, обозначаемое цифрой в записи числа, зависит от позиции цифры в числе.
Основание позиционной системы счисления равно количеству используемых в системе цифр.
Система счисления, применяемая в современной математике, является позиционной десятичной системой . Ее основание равно десяти, так как запись любых чисел производится с помощью десяти цифр:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Хотя десятичную систему принято называть арабской, но зародилась она в Индии в V веке. В Европе об этой системе узнали в XII веке из арабских научных трактатов, которые были переведены на латынь. Этим и объясняется название «арабские цифры». Широкое распространение в науке и в обиходе десятичная позиционная система получила только в XVI веке. Эта система позволяет легко выполнять любые арифметические вычисления, записывать сколь угодно большие числа. Распространение арабской системы дало мощный толчок развитию математики.
С позиционной десятичной системой счисления вы знакомы с раннего детства, только, возможно, не знали, что она так называется.
Что означает свойство позиционности системы счисления, легко понять на примере любого многозначного десятичного числа. Например, в числе 333 первая тройка означает три сотни, вторая - три десятка, третья - три единицы. Одна и та же цифра в зависимости от позиции в записи числа обозначает разные значения.
333 = 3 100 + 3 10 + 3.
Еще пример:
32 478 = 3 10 ООО + 2 1000 + 4 100 + 7 10 + 8 =
= 3 10 4 + 2 10 3 + 4 10 2 + 7 10 1 + 8 10 0 .
Отсюда видно, что всякое десятичное число можно представить, как сумму произведений составляющих его цифр на соответствующие степени десятки. То же самое относится и к десятичным дробям.
26,387 = 2 10 1 + 6 10 0 + 3 10 -1 + 8 10 -2 + 7 10 -3 .
Очевидно, что число «десять» - не единственно возможное основание позиционной системы. Известный русский математик Н. Н. Лузин так выразился по этому поводу: «Преимущества десятичной системы не математические, а зоологические. Если бы у нас на руках было не десять пальцев, а восемь, то человечество пользовалось бы восьмеричной системой».
За основание позиционной системы счисления можно принять любое натуральное число, большее 1. Упомянутая выше вавилонская система имела основание 60. Следы этой системы сохранились до наших дней в порядке счета единиц времени (1 час = 60 минут, 1 минута = 60 секунд).
Для записи чисел в позиционной системе с основанием n нужно иметь алфавит из n цифр. Обычно для этого при n ≤ 10 используют n первых арабских цифр, а при n ≥ 10 к десяти арабским цифрам добавляют буквы.
Вот примеры алфавитов нескольких систем.
Основание системы, к которой относится число, обычно обозначается подстрочным индексом к этому числу:
101101 2 , 3671 8 , 3B8F 16 .
А как строится ряд натуральных чисел в разных позиционных системах счисления? Происходит это по тому же принципу, что и в десятичной системе. Сначала идут однозначные числа, потом двузначные, затем трехзначные и т. д. Самое большое однозначное число в десятичной системе – 9. Затем следуют двузначные – 10, 11, 12, ... Самое большое двузначное число - 99, далее идут 100, 101, 102 и т. д. до 999, затем 1000 и т. д.
Для примера рассмотрим пятеричную систему. В ней ряд натуральных чисел выглядит так:
1, 2, 3, 4, 10, 11, 12, 13, 14, 20, 21, 22, 23, 24, 30, 31, 32, 33, 34,
40, 41, 42, 43, 44, 100, 101, ..., 444, 1000, ...
Видно, что здесь число цифр «нарастает» быстрее, чем в десятичной системе. Быстрее всего число цифр растет в двоичной системе счисления. В следующей таблице сопоставляются начала натуральных рядов десятичных и двоичных чисел:
| 10 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
| 2 | 1 | 10 | 11 | 100 | 101 | 110 | 111 | 1000 | 1001 | 1010 | 1011 |
