Объём тетраэдра. В данной статье мы с вами рассмотрим несколько заданий с пирамидами. Как известно, тетраэдр также является пирамидой. О пределение тетраэдра:

Тетраэдр — это простейший многогранник, имеет 4 грани, которые являются треугольниками. Вершин у тетраэдра 4, к каждой вершине сходится 3 ребра, а всего ребер 6. Тетраэдр у которого грани равносторонние треугольники называется правильным.

Объём пирамиды (значит и тетраэдра):

S – площадь основания пирамиды h – высота пирамиды

Вычислим объём правильного тетраэдра при ребре равном величине a.

Тогда площадь каждой грани будет равна (в данном случае и основания АВС):

Вычислим высоту SO. Рассмотрим прямоугольный треугольник SOC:

*Известно, что биссектрисы треугольника точкой пересечения делятся в отношении 1 к 2.

Вычислим СM. По теореме Пифагора:

Следовательно:

Таким образом, объём тетраэдра будет равен:

Смыл рассматриваемых ниже заданий таков – все ребра пирамиды, либо только высота увеличивается в несколько раз. Понятно, что при этом увеличивается и площадь её поверхности. Далее требуется вычислить во сколько раз происходит это увеличение.

1. Если увеличивается только высота пирамиды и стоит вопрос об изменении объёма, то понятно, что он увеличивается прямопропорционально исходному объёму пирамиды, так как зависимость линейная. Проще говоря, объём увеличивается во столько же раз, во сколько увеличена высота.

2. Если речь идёт об увеличении всех рёбер пирамиды в определённое количество раз, то здесь необходимо понимать, что в итоге получается пирамида подобная исходной, причём её грани также подобны соответствующим граням полученной пирамиды.

Позволю себе, на данный момент, по вопросу подобия фигур и тел предложить Вам обратиться к теории изложенной в учебнике. В скором будущем обязательно размещу отдельную статью на эту тему.

Что касается представленной группы задач, то отмечу, что с использованием свойств подобия такие задания решаются практически в одно действие.

Вот что необходимо помнить и знать:

То есть, если мы увеличим все рёбра пирамиды в k раз, то отношение площади любой её грани к площади исходной соответствующей ей грани будет равно k 2 . Естественно, что отношение полных площадей поверхностей таких пирамид также будет равно k 2 .

А также:

То есть, если мы увеличим все рёбра пирамиды в k раз, то отношение объёма полученной пирамиды к объёму исходной будет равно k 3 . Рассмотрим задачи:

Во сколько раз увеличится объем правильного тетраэдра, если все его ребра увеличить в шестнадцать раз?

Тетраэдр это пирамида, все грани которой равносторонние треугольники.

Данная пирамида и пирамида полученная увеличением всех её рёбер в 16 раз будут являться подобными, коэффициент подобия соответственно будет равен 16.

Объёмы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия. То есть, как уже сказано, объём полученной пирамиды равен произведению куба коэффициента подобия и объёма исходной пирамиды:

Определим во сколько раз увеличится объём, найдём отношение объёмов:

Таким образом, если все ребра увеличить в 16 раз, то объём увеличится в 4096 раз.

*Можно решить задачу по другому. Обозначить ребро тетраэдра как а, далее выразить его высоту. После этого определить объёмы пирамид используя формулу, а далее найти отношение полученных объёмов. Но такой путь будет неоправданно долгим и потребует в разы больше времени на решение.

Ответ: 4096

Во сколько раз увеличится объем пирамиды, если ее высоту увеличить в двенадцать раз?

Объем пирамиды равен одной трети произведения площади основания и высоты:

S – площадь основания

h – высота пирамиды

При увеличении высоты в 12 раз, объем пирамиды также увеличится в 12 раз (это прямолинейная зависимость):

Ответ: 12

Во сколько раз увеличится площадь поверхности правильного тетраэдра, если все его ребра увеличить в пять раза?

Отметим, что площадь поверхности тетраэдра равна сумме площадей его четырёх граней, которые являются правильными треугольниками.

Первый способ:

Определим площадь поверхности исходного тетраэдра и увеличенного, а затем найдём отношение площадей.

Пусть ребро тетраэдра равно а , тогда площадь грани будет равна:

*Использовали треугольника.

Значит площадь поверхности исходного тетраэдра будет равна:

Если рёбра тетраэдра увеличить в 5 раз, то площадь поверхности изменится следующим образом:

Отношение площадей равно:

Таким образом, при увеличении ребер тетраэдра в пять раз, площадь его поверхности увеличится в 25 раз.

Второй способ:

Известно, что при увеличении (уменьшении) линейных размеров фигуры в k раз получается подобная ей фигура, их площади относятся как квадрат коэффициента подобия, то есть:

k – это есть коэффициент подобия

В данной задаче k=5.

То есть, с использованием свойства подобия задача решается устно:

*Площадь каждой грани пирамиды увеличится в 25 раз, а это означает, что площадь поверхности всей пирамиды также увеличится в 25 раз.

Ответ: 25

27172. Во сколько раз увеличится площадь поверхности пирамиды, если все ее ребра увеличить в 2 раза?

Данная задача от предыдущей ничем не отличается. Не имеет никакого значения идёт ли речь о тетраэдре, пирамиде, кубе, параллелепипеде или о другом многограннике. Если сказано, что все рёбра увеличиваются в одинаковое число раз, то полученные грани «нового» тела будут подобны соответствующим граням исходного тела. А это значит, что увеличение площади поверхности произойдёт в k 2 раз (где k это коэффициент подобия).

Тест ЕГЭ по математике.

Демонстрационный вариант № 8.

Решение наиболее сложных заданий группы В.

В3. Параллелограмм и прямоугольник имеют одинаковые стороны. Найдите острый угол параллелограмма, если его площадь равна половине площади прямоугольника. Ответ дайте в градусах.

Решение .

Формула площади параллелограмма:

S = a . b . sin α, где a , b - стороны параллелограмма, sin α - угол между ними.

Формула площади прямоугольника:

S = a . b , где a , b - стороны прямоугольника.

1) Площадь прямоугольника вдвое больше площади параллелограмма при равенстве их сторон. То есть:

a . b = 2 (a . b . sin α).

2) Вычислим синус угла α:

a . b
sin α = ———— = 1/2.
2(a . b )

3) Вспомним числовую окружность: если синус угла равен 1/2, то сам этот угол равен 30°. Значит, задача решена.

Ответ : 30.

В10. В чемпионате по гимнастике участвуют 56 спортсменок: 27 из России, 22 из США, остальные - из Китая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Китая.

Решение .

В чемпионате участвуют 7 китайских гимнасток (56 - 27 - 22 = 7).

Значит, вероятность того, что первой выступит китаянка, составляет 7 из 56. Составляем эту пропорцию и переводим ее в десятичную дробь, что и будет ответом:

7/56 = 0,125.

Ответ : 0,125.

В11. Во сколько раз увеличится объём правильного тетраэдра, если все его рёбра увеличить в восемь раз?

Решение .

Формула объема тетраэдра:

V = √2/12 . a 3 , где а - длина ребра тетраэдра.

Мы видим, что объем тетраэдра зависит только от длины его ребра. То есть если сравнивать два тетраэдра разной величины, то получается: во сколько раз больше a 3 одного тетраэдра по сравнению с другим, во столько же раз больше и его объем. Значит, задача решается просто.

Пусть а = 1. Тогда a 3 = 1.

Увеличим длину ребра в 8 раз - пусть теперь а = 8. Посмотрим, что получится в этом случае:

8 3 = 512.

Вывод: при увеличении ребра тетраэдра в 8 раз его объем увеличится в 512 раз.

Ответ : 512.

В12. Зависимость объёма спроса q (единиц в месяц) на продукцию предприятия-монополиста от цены p (тыс. руб.) задаётся формулой q = 50−5p . Выручка предприятия за месяц r (тыс. руб.) вычисляется по формуле r (p ) = pq . Определите наибольшую цену p , при которой месячная выручка r (p ) составит 120 тыс. руб. Ответ приведите в тысячах рублей.

Решение .

Сначала выпишем, что мы знаем из задачи:

r (p ) = 120,

q = 50−5p .

В формулу выручки r (p ) = pq подставляем эти два значения, производим сокращения и получаем квадратное уравнение:

p (50−5p ) = 120,

50p - 5p 2 = 120,

5p 2 + 50p = 120,

5p 2 + 50p - 120 = 0,

5p 2 - 50p + 120 = 0,

p 2 - 10p + 24 = 0.

Решив квадратное уравнение, получим два его корня:

p 1 = 4, p 2 = 6.

Нам надо определить наибольшую цену - значит, из двух значений p выбираем второе: 6 (тысяч рублей).

Ответ : 6.

В13. По морю параллельными курсами в одном направлении следуют два сухогруза: первый длиной 120 метров, второй - длиной 80 метров. Сначала второй сухогруз отстает от первого, и в некоторый момент времени расстояние от кормы первого сухогруза до носа второго составляет 400 метров. Через 12 минут после этого уже первый сухогруз отстает от второго так, что расстояние от кормы второго сухогруза до носа первого равно 600 метрам. На сколько километров в час скорость первого сухогруза меньше скорости второго?

Решение .

Важно уяснить: первый не стоял на месте, оба двигались. Обязательно надо представить два сухогруза в движении, чтобы не ошибиться или не выполнить лишних действий, что тоже приведет к неверному ответу.

1) Итак, второй сухогруз двигался быстрее и за 12 минут обогнал первый сухогруз на 600 метров, преодолев при этом и отставание на 400 метров, и длину первого сухогруза, и расстояние, равное собственной длине. В итоге он переместился относительно первого сухогруза на сумму всех этих величин:

80 + 400 + 120 + 600 = 1200 (м).

12 мин — 1200 м

60 мин — х м.

Отсюда:

х = 60 . 1200: 12 = 6000 м или 6 км.

Таким образом, скорость второго сухогруза на 6 км/ч больше скорости первого.

Задача решена.

Ответ : 6.

Здравствуйте, Дорогие друзья! В этой статье рассмотрим пару задач, в которых речь идёт об объёме конуса. В прошлой статье мы несколько заданий. Суть простая – стоит условие об уменьшении (увеличении) высоты конуса или радиуса в определённое. Ставится вопрос о том, как изменился объём. Ещё раз формула объёма конуса:

Сначала рассмотрим задачи, а затем изложу пару рекомендаций к решению.

27094. Во сколько раз уменьшится объем конуса, если его высоту уменьшить в 3 раза?

Очевидно, что если мы уменьшим высоту в три раза, то объём уменьшиться также в три раза (зависимость прямолинейная). Формально это можно записать так:

Ответ: 3

27095. Во сколько раз увеличится объем конуса, если его радиус основания увеличить в 1,5 раза?

Увеличим радиус в 1,5 раза:

Объём увеличится в 2,25 раза.

Ответ: 2,25

*То есть можно сделать вывод:

Если радиус основания конуса изменить (увеличить или уменьшить) в n раз, то его объём соответственно увеличится или уменьшится в n 2 раз. Посмотрите формальную запись:

Поставим такую задачу. Как изменится объём конуса, если его высоту увеличить в 10 раз, а радиус уменьшить в 4 раза.

Объём конуса равен:

Увеличим высоту в 10 раз и уменьшим радиус в 4:

По величине 0,625 видно, что объём уменьшится. То есть объём полученного конуса составит 0,625 от объёма исходного конуса.

Ещё это изменение можно выразить следующим образом.

Объём исходного конуса разделить на объём полученного и определить во сколько раз произойдёт уменьшение:

То есть объём конуса уменьшится в 1,6 раза.

Можно сказать так – объём полученного конуса в 1,6 меньше исходного.

Небольшой итог!

Как видите, задачи очень простые. Суть процесса решения сводится к тому, чтобы формулу объёма полученного конуса «привести» к такому виду:

*То есть, чтобы полученный объём выражался через объём исходного конуса.

Разумеется, если будет идти речь только об изменении высоты, то такую задачу можно решить устно (прямая зависимость).

Вторую задачу (где изменяется только радиус) при наличии опыта тоже можно решить устно, но лучше подробно записать процесс вычисления.

Задач, где речь идёт об изменении обеих величин на экзамене не предполагается, но будьте готовы на всякий случай.

В будущем обязательно рассмотрим приём, которым очень удобно пользоваться при решении подобных заданий. Речь пойдёт не только о конусах, но и о других телах, не пропустите, подпишитесь на рассылку.

На этом всё. Успеха вам!

С уважением, Александр Крутицких.

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.