Определение параллельных прямых и их свойства в пространстве такие же, как и на плоскости (см. п. 11).

Вместе с тем в пространстве возможен еще один случай расположения прямых - скрещивающиеся прямые. Прямые, которые не пересекаются и не лежат в одной плоскости, называются скрещивающимися.

На рисунке 121 изображен макет жилой комнаты. Вы видите, что прямые, которым принадлежат отрезки АВ и ВС и являются скрещивающимися.

Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между пересекающимися параллельными им прямыми. Этот угол не зависит от того, какие взяты пересекающиеся прямые.

Градусная мера угла между параллельными прямыми считается равной нулю.

Общим перпендикуляром двух скрещивающихся прямых называется отрезок с концами на этих прямых, являющийся перпендикуляром к каждой из них. Можно доказать, что две скрещивающиеся прямые имеют общий перпендикуляр, и притом только один. Он является общим перпендикуляром параллельных плоскостей, проходящих через эти прямые.

Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется длина их общего перпендикуляра. Оно равно расстоянию между параллельными плоскостями, проходящими через эти прямые.

Таким образом, для нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми а и b (рис. 122) нужно провести через каждую из этих прямых параллельные плоскости а и . Расстояние между этими плоскостями и будет расстоянием между скрещивающимися прямыми а и b. На рисунке 122 этим расстоянием является, например, расстояние АВ.

Пример. Прямые а и b параллельны, а прямые с и d скрещиваются. Может ли каждая из прямых а и пересекать обе прямые

Решение. Прямые а и b лежат в одной плоскости, и поэтому любая прямая, пересекающая каждую из них, лежит в той же плоскости. Следовательно, если бы каждая из прямых а, b пересекала обе прямые с и d, то прямые лежали бы в одной плоскости с прямыми а и b, а этого быть не может, так как прямые скрещиваются.

42. Параллельность прямой и плоскости.

Прямая и плоскость называются параллельными, если они не пересекаются, т. е. не имеют общих точек. Если прямая а параллельна плоскости а, то пишут: .

На рисунке 123 изображена прямая а, параллельная плоскости а.

Если прямая, не принадлежащая плоскости, параллельна какой-нибудь прямой в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости (признак параллельности прямой и плоскости).

Эта теорема позволяет в конкретной ситуации доказать, что прямая и плоскость являются параллельными. На рисунке 124 изображена прямая b, параллельная прямой а, лежащей в плоскости а, т. е. по прямая b параллельна плоскости а, т. е.

Пример. Через вершину прямого угла С прямоугольного треугольника ABC параллельно гипотенузе на расстоянии 10 см от нее проведена плоскость. Проекции катетов на эту плоскость равны 30 и 50 см. Найти проекцию гипотенузы на ту же плоскость.

Решение. Из прямоугольных треугольников BBVC и (рис. 125) находим:

Из треугольника ABC находим:

Проекция гипотенузы АВ на плоскость а равна . Так как АВ параллельна плоскости а, то Итак, .

43. Параллельные плоскости.

Две плоскости называются параллельными. если они не пересекаются.

Две плоскости параллельны» если одна на них параллельна двум пересекающимся прямым, лежащим в другой плоскости (признак параллельности двух плоскостей).

На рисунке 126 плоскость а параллельна пересекающимся прямым а и b, лежащим в плоскости , тогда по эти плоскости параллельны.

Через точку вне данной плоскости можно провести плоскость, параллельную данной, и притом только одну.

Если две параллельные плоскости пересекаются третьей, то прямые пересечения параллельны.

На рисунке 127 изображены две параллельные плоскости , а плоскость у их пересекает по прямым а и b. Тогда по теореме 2.7 можно утверждать, что прямые а и b параллельны.

Отрезки параллельных прямых, заключенные между двумя параллельными плоскостями, равны.

По Т.2.8 отрезки АВ и изображенные на рисунке 128, равны, так как

Пусть данные плоскости пересекаются. Проведем плоскость, перпендикулярную прямой их пересечения. Она пересекает данные плоскости по двум прямым. Угол между этими прямыми называется углом между данными плоскостями (рис. 129). Определяемый так угол между плоскостями не зависит от выбора секущей плоскости.

Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!

Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.

Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.

Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.

Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля - до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.

Все возможные случаи взаимного расположения прямой и плоскости в пространстве :

Прямая лежит на плоскости, если все точки прямой принадлежат плоскости .

Замечание . Для того, чтобы прямая лежала на плоскости, необходимо и достаточно, чтобы две любые точки этой прямой принадлежали этой плоскости.

Прямая пересекает плоскость, если прямая и плоскость имеют единственную общую точку

Прямая параллельна плоскости, если прямая и плоскость не имеют общих точек . (они не пересекаются

Утверждение 1 . Предположим, что прямая a и плоскость α параллельны, а плоскость β проходит через прямую a . Тогда возможны два случая:

Но тогда точка P оказывается точкой пересечения прямой a и плоскости α , и мы получаем противоречие с тем, что прямая a и плоскость α параллельны. Полученное противоречие и завершает доказательство утверждения 1.

Утверждение 2 (признак параллельности прямой и плоскости) . Если прямая a , не лежащая в плоскости α , параллельна некоторой прямой b , лежащей в плоскости α , то прямая a и плоскость α параллельны.

Доказательство. Докажем признак параллельности прямой и плоскости "от противного". Предположим, что прямая a пересекает плоскость α в некоторой точке P . Проведем плоскость β через параллельные прямые a и b .

Точка P лежит на прямой a и принадлежит плоскости β. Но по предположению точка P принадлежит и плоскости α , следовательно точка P лежит на прямой b , по которой пересекаются плоскости α и β . Однако прямые a и b параллельны по условию и не могут иметь общих точек.

Полученное противоречие завершает доказательство признака параллельности прямой и плоскости.

Теоремы

• Если прямая, пересекающая плоскость, перпендикулярна двум прямым, лежащим в этой плоскости и проходящим через точку пересечения данной прямой и плоскости, то она перпендикулярна плоскости.
• Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.
• Если две прямые перпендикулярны одной и той же плоскости, то они параллельны.
• Если прямая, лежащая в плоскости, перпендикулярна проекции наклонной, то она перпендикулярна и самой наклонной.
• Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, расположенной в этой плоскости, то она параллельна этой плоскости.
• Если прямая параллельна плоскости, то она параллельна некоторой прямой на этой плоскости.
• Если прямая и плоскость перпендикулярны одной и той же прямой, то они параллельны.
• Все точки прямой, параллельной плоскости, одинаково удалены от этой плоскости.

Теорема

Если прямая, не принадлежащая плоскости, параллельна какой-нибудь прямой в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости.

Доказательство

Пусть α - плоскость, a – не лежащая в ней прямая и a1 – прямая в плоскости α, параллельная прямой a. Проведем плоскость α1 через прямые a и a1. Плоскости α и α1 пересекаются по прямой a1. Если бы прямая a пересекала плоскость α, то точка пересечения принадлежала бы прямой a1. Но это невозможно, так как прямые a и a1 параллельны. Следовательно, прямая a не пересекает плоскостью α, а значит, параллельна плоскости α. Теорема доказана.

18. ПЛОСКОСТЕЙ

Если две параллельные плоскости пересекаются третьей, то прямые пересечения параллельны (рис. 333).

Действительно, согласно определению параллельные прямые - это прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются. Наши прямые лежат в одной плоскости - секущей плоскости. Они не пересекаются, так как не пересекаются содержащие их параллельные плоскости.

Значит, прямые параллельны, что и требовалось доказать

Свойства

§ Если плоскость α параллельна каждой из двух пересекающихся прямых, лежащих в другой плоскости β, то эти плоскости параллельны

§ Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны

§ Через точку вне данной плоскости можно провести плоскость, параллельную данной, и притом только одну

§ Отрезки параллельных прямых, ограниченные двумя параллельными плоскостями, равны

§ Два угла с соответственно параллельными и одинаково направленными сторонами равны и лежат в параллельных плоскостях

19.

Если две прямые лежат в одной плоскости, угол между ними легко измерить - например, с помощью транспортира. А как измерить угол между прямой и плоскостью ?

Пусть прямая пересекает плоскость, причем не под прямым, а под каким-то другим углом. Такая прямая называется наклонной .

Опустим перпендикуляр из какой-либо точки наклонной на нашу плоскость. Соединим основание перпендикуляра с точкой пересечения наклонной и плоскости. Мы получилипроекцию наклонной на плоскость .

Угол между прямой и плоскостью - это угол между прямой и ее проекцией на данную плоскость .

Обратите внимание - в качестве угла между прямой и плоскостью мы выбираем острый угол.

Если прямая параллельна плоскости, значит, угол между прямой и плоскостью равен нулю.

Если прямая перпендикулярна плоскости, ее проекцией на плоскость окажется точка. Очевидно, в этом случае угол между прямой и плоскостью равен 90°.

Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости .

Это определение. Но как же с ним работать? Как проверить, что данная прямая перпендикулярна всем прямым, лежащим в плоскости? Ведь их там бесконечно много.

На практике применяется признак перпендикулярности прямой и плоскости :

Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости .

21.Двугранный угол - пространственная геометрическая фигура, образованная двумя полуплоскостями, исходящими из одной прямой, а также часть пространства, ограниченная этими полуплоскостями.

Две плоскости называются перпендикулярными, если двугранный угол между ними равен 90 градусам.

§ Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.

§ Если из точки, принадлежащей одной из двух перпендикулярных плоскостей, провести перпендикуляр к другой плоскости, то этот перпендикуляр полностью лежит в первой плоскости.

§ Если в одной из двух перпендикулярных плоскостей провести перпендикуляр к их линии пересечения, то этот перпендикуляр будет перпендикулярен второй плоскости.

Две пересекающиеся плоскости образуют четыре двугранных угла с общим ребром: пары вертикальных углов равны, а сумма двух смежных углов равна 180°. Если один из четырех углов прямой, то три остальных также равны и прямые. Две плоскости называются перпендикулярными, если угол между ними прямой .

Теорема. Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.

Пусть и - две плоскости такие, что проходит через прямую АВ, перпендикулярную к и пересекающуюся с ней в точке А (рис. 49). Докажем, что _|_ . Плоскости и пересекаются по некоторой прямой AC, причем AВ _|_ AC, т.к. AB _|_ . Проведем в плоскости прямую AD, перпендикулярную прямой АС.

Тогда угол BAD - линейный угол двугранного угла, образованного и . Но < ВАD - 90° (ибо AB _|_ ), а тогда, по определению, _|_ . Теорема доказана.

22. Многогранником называется такое тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников.

1. любого из многоугольников, составляющих многогранник, можно дойти до любого из них, переходя к смежному с ним, а от этого, в свою очередь, к смежному с ним, и т. д.

Эти многоугольники называются гранями , их стороны - рёбрами , а их вершины - вершинами многогранника. Простейшими примерами многогранников являются выпуклые многогранники, то есть граница ограниченного подмножества евклидова пространства являющееся пересечением конечного числа полупространств.

Приведенное определение многогранника получает различный смысл в зависимости от того, как определить многоугольник, для которого возможны следующие два варианта:

§ Плоские замкнутые ломаные (хотя бы и самопересекающиеся);

§ Части плоскости, ограниченные ломаными.

В первом случае мы получаем понятие звёздчатый многогранник. Во втором - многогранник есть поверхность, составленная из многоугольных кусков. Если эта поверхность сама себя не пересекает, то она есть полная поверхность некоторого геометрического тела, которое также называется многогранником. Отсюда возникает третье определение многогранника, как самого геометрического тела

Прямая призма

Призма называется прямой , если ее боковые ребра перпендикулярны основаниям.
Призма называется наклонной , если ее боковые ребра не перпендикулярны основаниям.
У прямой призмы грани – прямоугольники.

Призма называется правильной , если ее основания являются правильными многоугольниками.
Площадью боковой поверхности призмы называется сумма площадей боковых граней.
Полная поверхность призмы равна сумме боковой поверхности и площадей оснований

Элементы призмы:
Точки - называются вершинами
Отрезки называются боковыми ребрами
Многоугольники и - называютсяоснованиями. Также основаниями называют сами плоскости и

24. Параллелепи́пед (от греч. παράλλος - параллельный и греч. επιπεδον - плоскость) - призма, основанием которой служитпараллелограмм, или (равносильно) многогранник, у которого шесть граней и каждая из них параллелограмм.

§ Параллелепипед симметричен относительно середины его диагонали.

§ Любой отрезок с концами, принадлежащими поверхности параллелепипеда и проходящий через середину его диагонали, делится ею пополам; в частности, все диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.

§ Противолежащие грани параллелепипеда параллельны и равны.

§ Квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений.

Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда равна удвоенной сумме площадей трех граней этого параллелепипеда:

1.	S = 2(S a +S b +S c )= 2(ab + bc + ac )

25 .Пирамида и ее элементы

Рассмотрим плоскость , многоугольник , лежащий в ней и точку S, не лежащую в ней. Соединим S со всеми вершинами многоугольника. Полученный при этом многогранник называется пирамидой. Отрезки называются боковыми ребрами. Многоугольник называется основанием, а точка S - вершиной пирамиды. В зависимости от числа n пирамида называется треугольной (n=3), четырехугольной (n=4), птяиугольной (n=5) и так далее. Альтернативное название треугольной пирамиды – тетраэдр . Высотой пирамиды называется перпендикуляр, опущенный из ее вершины к плоскости основания.

Пирамида называется правильной, если правильный многоугольник, а основание высоты пирамиды (основание перпендикуляра) является его центром.

Программа предназначена для расчета площади боковой поверхности правильной пирамиды.
Пирамида является многогранником, имеющим основание в виде многоугольника, а остальные грани являются треугольниками с общей вершиной.

Формула для вычисления площади боковой поверхности правильной пирамиды:

где p - периметр основания (многоугольника ABCDE),
а - апофема (OS);

Апофемой называется высота боковой грани правильной пирамиды, которая проведена из её вершины.

Чтобы найти площадь боковой поверхности правильной пирамиды, введите значения периметра пирамиды и апофемы, затем нажмите кнопку "ВЫЧИСЛИТЬ".Программа определит площадь боковой поверхности правильной пирамиды, значение которой может быть помещено в буфер обмена.

Усеченная пирамида

Усеченной пирамидой называется часть полной пирамиды, заключенная между основанием и параллельным ему сечением.
Сечение называют верхним основанием усеченной пирамиды , а основание полной пирамиды -нижним основанием усеченной пирамиды. (Основания подобны.) Боковые грани усеченной пирамиды - трапеции. В усеченной пирамиде 3 n ребер, 2 n вершин, n + 2 грани, n (n - 3) диагонали. Расстояние между верхним и нижним основаниями - высота усеченной пирамиды (отрезок, отсеченный от высоты полной пирамиды).
Площадь полной поверхности усеченной пирамиды равна сумме площадей ее граней.
Объем усеченной пирамиды (S и s - площади оснований, Н - высота)

Телом вращения называется тело, образованное в результате вращения какой - либо линии вокруг прямой.

Прямой круговой цилиндр вписан в шар, если окружности его оснований лежат на сфере. Основания цилиндра являются малыми кругами шара, центр шара совпадает с серединой оси цилиндра. [2 ]

Прямой круговой цилиндр вписан в шар, если окружности его оснований лежат на сфере. Очевидно, центр шара лежит ни середине оси цилиндра. [3 ]

Объем всякого цилиндра равен произведению площади основания на высоту:

1.	V =π r 2 h

Полная площадь поверхности цилиндра равна сумме боковой поверхности цилиндра и двойной площади основания цилиндра.

Формула для вычисления полной площади поверхности цилиндра:

27. Круглый конус может быть получен вращениемпрямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов, поэтому круглый конус называют также конусом вращения. См. также Объем круглого конуса

Полная площадь поверхности круглого конуса равна сумме площадей боковой поверхности конуса и его основания. Основание конуса есть круг и его площадь вычисляется по формуле площади круга:

2.	S =π r l +π r 2 =π r (r + l )

28. Усеченный конус получится, если в конусе провести сечение, параллельное основанию. Тело ограниченное этим сечением, основанием и боковой поверхностью конуса называется усеченным конусом. См. также Объем усеченного конуса

Полная площадь поверхности усеченного конуса равна сумме площадей боковой поверхности усеченного конуса и его оснований. Основания усеченного конуса есть круги и их площадь вычисляется поформуле площади круга: S = π (r 1 2 + (r 1 + r 2) l + r 2 2)

29. Шар – геометрическое тело, ограниченное поверхностью, все точки которой находятся на равном расстоянии от центра. Это расстояние называется радиусом шара.

Сфе́ра (греч. σφαῖρα - мяч) - замкнутая поверхность, геометрическое место точек в пространстве, равноудалённых от данной точки, называемой центром сферы. Сфера является частным случаем эллипсоида, у которого все три оси (полуоси, радиусы) равны. Сфера является поверхностью шара.

Площадь сферической поверхности шарового сегмента (шарового сектора) и шарового слоя зависит только от их высоты и радиуса шара и равна длине окружности большого круга шара, умноженной на высоту

Объем шара равен объему пирамиды, основание которой имеет ту же площадь, что и поверхность шара, а высота есть радиус шара

Объем шара в полтора раза меньше, чем объем описанного вокруг него цилиндра.

Элементы шара

Шаровой сегмент Секущая плоскость разбивает шар на два шаровых сегмента. Н - высота сегмента, 0 < Н < 2 R , r - радиус основания сегмента, Объем шарового сегмента Площадь сферической поверхностишарового сегмента
Шаровой слой Шаровым слоем называется часть шара, заключенная между двумя параллельными сечениями. Расстояние (Н ) между сечениями называется высотой слоя , а сами сечения - основаниями слоя . Площадь сферической поверхности(объем ) шарового слоя может быть найдена как разность площадей сферических поверхностей (объемов)шаровых сегментов.

 1. Умножение вектора на число (рис. 56).

Произведением вектора  А на число λ называется вектор В , модуль которого равен произведению модуля вектора А на модуль числа λ :

Направление не изменяется, если λ > 0 ; изменяется на противоположное, если λ < 0 . Если λ = −1 , то вектор

Называется вектором, противоположным вектору А , и обозначается

 2. Сложение векторов . Для того чтобы найти сумму двух векторов А и В вектор

Тогда суммой будет вектор, начало которого совпадает с началом первого, а конец − с концом второго. Это правило сложения векторов называется «правилом треугольника» (рис. 57). необходимо изобразить векторы-слагаемые так, чтобы начало второго вектора совпадало с концом первого.

Легко доказать, что для векторов «от перемены мест слагаемых сумма не изменяется». 
Укажем еще одно правило сложения векторов − «правило параллелограмма». Если совместить начала векторов-слагаемых и построить на них параллелограмм, то суммой будет вектор, совпадающий с диагональю этого параллелограмма (рис. 58).

Понятно, что сложение по «правилу параллелограмма» приводит к тому же результату, что и по «правилу треугольника». 
«Правило треугольника» легко обобщить (на случай нескольких слагаемых). Для того чтобы найти сумму векторов 

Необходимо начало второго вектора совместить с концом первого, начало третьего − с концом второго и т. д. Тогда начало вектораС совпадет с началом первого, а конец С − с концом последнего (рис. 59).

 3. Вычитание векторов . Операция вычитания сводится к двум предыдущим операциям: разностью двух векторов является сумма первого с вектором, противоположным второму:

Можно также сформулировать «правило треугольника» для вычитания векторов: необходимо совместить начала векторов  А и В , тогда их разностью будет вектор

Проведенный от конца вектора В к концу вектора А (рис. 60).

В дальнейшем мы будем говорить о векторе перемещения материальной точки, то есть векторе, соединяющем начальное и конечное положения точки. Согласитесь, что введенные правила действия над векторами вполне очевидны для векторов перемещения. 

 4. Скалярное произведение векторов . Результатом скалярного произведения двух векторов А и В является число с, равное произведению модулей векторов на косинус угла α между

Операция скалярного произведения векторов очень широко используется в физике. В дальнейшем нам достаточно часто придется сталкиваться с такой операцией. 

В этой статье всесторонне раскрыта тема «параллельность прямой и плоскости ». Сначала дано определение параллельных прямой и плоскости, приведена графическая иллюстрация и пример. Далее сформулирован признак параллельности прямой и плоскости, а также озвучены необходимые и достаточные условия параллельности прямой и плоскости. В заключении приведены развернутые решения задач, в которых доказывается параллельность прямой и плоскости.

Навигация по странице.

Параллельные прямая и плоскость – основные сведения.

Начнем с определения параллельных прямой и плоскости.

Определение.

Прямая и плоскость называются параллельными , если они не имеют общих точек.

Для обозначения параллельности используется символ «». То есть, если прямая a и плоскость параллельны, то можно кратко записать a .

Заметим, что выражения «прямая a и плоскость параллельны», «прямая a параллельна плоскости » и «плоскость параллельна прямой a » одинаково употребимы.

В качестве примера параллельных прямой и плоскости приведем натянутую гитарную струну и плоскость грифа этой гитары.

Параллельность прямой и плоскости - признак и условия параллельности.

Параллельность прямой и плоскости далеко не всегда является очевидным фактом. Другими словами, параллельность прямой и плоскости приходится доказывать. Существует достаточное условие, выполнение которого гарантирует параллельность прямой и плоскости. Это условие называют признаком параллельности прямой и плоскости . Прежде чем ознакомиться с формулировкой этого признака, рекомендуем повторить определение параллельных прямых .

Теорема.

Если прямая a , не лежащая в плоскости , параллельна некоторой прямой b , которая лежит в плоскости , то прямая a параллельна плоскости .

Озвучим еще одну теорему, которую можно использовать для установления параллельности прямой и плоскости.

Теорема.

Если одна из двух параллельных прямых параллельна некоторой плоскости, то вторая прямая либо также параллельна этой плоскости, либо лежит в ней.

Доказательство признака параллельности прямой и плоскости и доказательство озвученной теоремы приводятся в учебнике геометрии за 10 -11 классы, который указан в конце статьи в списке рекомендованной литературы.

Следовательно, необходимое и достаточное условие параллельности прямой a и плоскости (a не лежит в плоскости ) примет вид , где - направляющий вектор прямой a , - нормальный вектор плоскости .

Разберем решения нескольких примеров.

Пример.

Являются ли прямая и плоскость параллельными?

Решение.

Заданная прямая не лежит в плоскости, так как координаты точки прямой не удовлетворяют уравнению плоскости: . Проверим выполнение необходимого и достаточного условия параллельности прямой и плоскости. Очевидно, - направляющий вектор прямой , - нормальный вектор плоскости . Вычислим скалярное произведение векторов и : . Таким образом, векторы и перпендикулярны. Следовательно, заданные прямая и плоскость параллельны.

Ответ:

Да, прямая и плоскость параллельны.

Пример.

Параллельна ли прямая АВ координатной плоскости Oyz , если .

Решение.

Точка не лежит в координатной плоскости Oyz , так как абсцисса этой точки отлична от нуля.

Нормальным вектором плоскости Oyz является вектор . В качестве направляющего вектора прямой AB возьмем вектор . позволяют вычислить координаты этого вектора, тогда . Проверим выполнение необходимого и достаточного условия перпендикулярности векторов и : . Следовательно, прямая AB и координатная плоскость Oyz не параллельны.

Ответ:

Нет, не параллельны.

Разобранное условие не совсем удобно для доказательства параллельности прямой a и плоскости , так как отдельно приходится проверять, что прямая a не лежит в плоскости . Поэтому, доказывать параллельность прямой a и плоскости удобнее с помощью следующего необходимого и достаточного условия.

Пусть прямая a задана уравнениями двух пересекающихся плоскостей ,
а плоскость - общим уравнением плоскости .

Теорема.

Для параллельности прямой a и плоскости необходимо и достаточно, чтобы система линейных уравнений вида не имела решений.

Доказательство.

Действительно, если прямая a параллельна плоскости , то они по определению не имеют общих точек. Следовательно, не существует ни одной точки в прямоугольной системе координат Oxyz , координаты которой удовлетворяли бы одновременно и уравнениям прямой и уравнению плоскости . Значит, система уравнений вида несовместна.

И обратно: если система уравнений вида не имеет решений, то не существует ни одной точки в прямоугольной системе координат Oxyz , координаты которой удовлетворяли бы одновременно всем уравнениям системы. Тогда, не существует точки, координаты которой одновременно удовлетворяют и уравнениям прямой и уравнению плоскости . Следовательно, прямая a и плоскость не имеют общих точек, то есть, они параллельны.

В свою очередь система уравнений не имеет решений, когда основной матрицы системы меньше ранга расширенной матрицы (это следует из теоремы Кронекера-Капелли, при необходимости смотрите статью решение систем линейных уравнений

Действительно, система уравнений несовместна, следовательно, заданные прямая и плоскость не имеют общих точек. Этим доказана параллельность прямой и плоскости .

Список литературы.

• Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Э.Г., Юдина И.И. Геометрия. 7 – 9 классы: учебник для общеобразовательных учреждений.
• Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Киселева Л.С., Позняк Э.Г. Геометрия. Учебник для 10-11 классов средней школы.
• Погорелов А.В., Геометрия. Учебник для 7-11 классов общеобразовательных учреждений.
• Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Том первый: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
• Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия.

Copyright by cleverstudents

Все права защищены.
Охраняется законом об авторском праве. Ни одну часть сайта www.сайт, включая внутренние материалы и внешнее оформление, нельзя воспроизводить в какой-либо форме или использовать без предварительного письменного разрешения правообладателя.