Радиус шара (обозначается как r или R) – это отрезок, который соединяет центр шара с любой точкой на его поверхности. Как и в случае круга, радиус шара является важной величиной, которая необходима для нахождения диаметра шара, длины окружности, площади поверхности и/или объема. Но радиус шара можно найти и по данному значению диаметра, длины окружности и другой величины. Используйте формулу, в которую можно подставить данные значения.

Шаги

Формулы для вычисления радиуса

Вычислите радиус по диаметру. Радиус равен половине диаметра, поэтому используйте формулу г = D/2 . Эта такая же формула, которая используется при вычислении радиуса и диаметра круга.

• Например, дан шар с диаметром 16 см. Радиус этого шара: r = 16/2 = 8 см . Если диаметр равен 42 см, то радиус равен 21 см (42/2=21).

1. Вычислите радиус по длине окружности. Используйте формулу: r = C/2π . Так как длина окружности C = πD = 2πr, то разделите формулу для вычисления длины окружности на 2π и получите формулу для нахождения радиуса.

   • Например, дан шар с длиной окружности 20 см. Радиус этого шара: r = 20/2π = 3,183 см .
   • Такая же формула используется при вычислении радиуса и длины окружности круга.

2. Вычислите радиус по объему шара. Используйте формулу: r = ((V/π)(3/4)) 1/3 . Объем шара вычисляется по формуле V = (4/3)πr 3 . Обособив r на одной стороне уравнения, вы получите формулу ((V/π)(3/4)) 3 = г, то есть для вычисления радиуса объем шара делим на π, результат умножаем на 3/4, а полученный результат возводим в степень 1/3 (или извлекаем кубический корень).

   • Например, дан шар с объемом 100 см 3 . Радиус этого шара вычисляется так:
     • ((V/π)(3/4)) 1/3 = r
     • ((100/π)(3/4)) 1/3 = r
     • ((31,83)(3/4)) 1/3 = r
     • (23,87) 1/3 = r
     • 2,88 см = r

3. Вычислите радиус по площади поверхности. Используйте формулу: г = √(A/(4 π)) . Площадь поверхности шара вычисляется по формуле А = 4πr 2 . Обособив r на одной стороне уравнения, вы получите формулу √(A/(4π)) = r, то есть, чтобы вычислить радиус, нужно извлечь квадратный корень из площади поверхности, деленной на 4π. Вместо того чтобы извлекать корень, выражение (A/(4π)) можно возвести в степень 1/2.

   • Например, дан шар с площадью поверхности 1200 см 3 . Радиус этого шара вычисляется так:
     • √(A/(4π)) = r
     • √(1200/(4π)) = r
     • √(300/(π)) = r
     • √(95,49) = r
     • 9,77 см = r

   Определение основных величин

   1. Запомните основные величины, которые имеют отношение к вычислению радиуса шара. Радиус шара – это отрезок, который соединяет центр шара с любой точкой на его поверхности. Радиус шара можно вычислить по данным значениям диаметра, длины окружности, объема или площади поверхности.

      Воспользуйтесь значениями данных величин, чтобы найти радиус. Радиус можно вычислить по данным значениям диаметра, длины окружности, объема и площади поверхности. Более того, указанные величины можно найти по данному значению радиуса. Чтобы вычислить радиус, просто преобразуйте формулы для нахождения указанных величин. Ниже приведены формулы (в которых присутствует радиус) для вычисления диаметра, длины окружности, объема и площади поверхности.

   Нахождение радиуса по расстоянию между двумя точками

   1. Найдите координаты (х,у,z) центра шара. Радиус шара равен расстоянию между его центром и любой точкой, лежащей на поверхности шара. Если известны координаты центра шара и любой точки, лежащей на его поверхности, можно найти радиус шара по специальной формуле, вычислив расстояние между двумя точками. Сначала найдите координаты центра шара. Имейте в виду, что так как шар является трехмерной фигурой, то точка будет иметь три координаты (х,у,z), а не две (х,у).

      • Рассмотрим пример. Дан шар с центром с координатами (4,-1,12) . Воспользуйтесь этими координатами, чтобы найти радиус шара.

   2. Найдите координаты точки, лежащей на поверхности шара. Теперь нужно найти координаты (х,у,z) любой точки, лежащей на поверхности шара. Так как все точки, лежащие на поверхности шара, расположены на одинаковом расстоянии от центра шара, для вычисления радиуса шара можно выбрать любую точку.

      • В нашем примере допустим, что некоторая точка, лежащая на поверхности шара, имеет координаты (3,3,0) . Вычислив расстояние между этой точкой и центром шара, вы найдете радиус.

   3. Вычислите радиус по формуле d = √((x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2). Узнав координаты центра шара и точки, лежащей на его поверхности, вы можете найти расстояние между ними, которое равно радиусу шара. Расстояние между двумя точками вычисляется по формуле d = √((x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2), где d – расстояние между точками, (x 1 ,y 1 ,z 1) – координаты центра шара, (x 2 ,y 2 ,z 2) – координаты точки, лежащей на поверхности шара.

      • В рассматриваемом примере вместо (x 1 ,y 1 ,z 1) подставьте (4,-1,12), а вместо (x 2 ,y 2 ,z 2) подставьте (3,3,0):
        • d = √((x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2)
        • d = √((3 - 4) 2 + (3 - -1) 2 + (0 - 12) 2)
        • d = √((-1) 2 + (4) 2 + (-12) 2)
        • d = √(1 + 16 + 144)
        • d = √(161)
        • d = 12,69 . Это искомый радиус шара.

   4. Имейте в виду, что в общих случаях r = √((x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2). Все точки, лежащие на поверхности шара, расположены на одинаковом расстоянии от центра шара. Если в формуле для нахождения расстояния между двумя точками "d" заменить на "r", получится формула для вычисления радиуса шара по известным координатам (x 1 ,y 1 ,z 1) центра шара и координатам (x 2 ,y 2 ,z 2) любой точки, лежащей на поверхности шара.

      • Возведите обе стороны этого уравнения в квадрат, и получите r 2 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2 . Отметьте, что это уравнение соответствует уравнению сферы r 2 = x 2 + y 2 + z 2 с центром с координатами (0,0,0).
   • Не забывайте про порядок выполнения математических операций. Если вы не помните этот порядок, а ваш калькулятор умеет работать с круглыми скобками, пользуйтесь ими.
   • В этой статье рассказывается о вычислении радиуса шара. Но если вы испытываете затруднения с изучением геометрии, лучше начать с вычисления величин, связанных с шаром, через известное значение радиуса.
   • π (Пи) – это буква греческого алфавита, которая обозначает постоянную, равную отношению диаметра круга к длине его окружности. Число Пи является иррациональным числом, которое не записывается как отношение действительных чисел. Существует множество приближений, например, отношение 333/106 позволит найти число Пи с точностью до четырех цифр после десятичной запятой. Как правило, пользуются приблизительным значением числа Пи, которое равно 3,14.

Формулы

ОБЪЕМ ЦИЛИНДРА

ОБЪЕМ КОНУСА

ОБЪЕМ УСЕЧЕННОГО КОНУСА

ОБЪЕМ ШАРА

V=1/3∏H(R2+r2+Rr)

V=4/3 ∙ ∏R 3

Формулы для вычисления объема: шара, шарового сектора, шарового слоя, шарового сектора и площади сферы

• Площадь сферы равна:

S = 4 π R 2 ,

где R – это радиус сферы

• Объем шара равен:

V = 1 ⅓ π R 3 = 4/3 π R 3

где R – это радиус шара

• Объем шарового сегмента равен:

V = π h 2 (R - ⅓ h) ,

где R – это радиус шара, а h – это высота сегмента

• Объем шарового слоя равен:

V = V 1 – V 2 ,

где V 1 – это объем одного шарового сегмента, а V 2 – это объем второго шарового сегмента

• Объем шарового сектора равен:

V = ⅔ π R 2 h ,

где R – это радиус шара, а h – это высота шарового сегмента

Теоретический диктант

Вариант 1

Вписать в текст недостающие по смыслу слова .

• Всякое сечение шара плоскостью есть круг. Центр этого круга есть …………………… перпендикуляра, опущенного из центра шара на секущую плоскость.

2. Центр шара является его ………………….……. симметрии.

3. Осевое сечение шара есть ………………………….

4. Линии пересечения двух сфер есть…………………

5. Плоскости, равноудаленные от центра, пересекают шар по ……………...кругам.

6. Около любой правильной пирамиды можно описать сферу, причем ее центр лежит на ……………….. пирамиды.

основание

центром

круг

окружность

равным

высоте

Теоретический диктант

Вариант 2

плоскостью

окружность

высоте

перпендикулярен

касания

высоте

Карточка №1

Плоскость перпендикулярная диаметру шара, делит его части 3см и 9см. Найдите объем шара?

288 П см³

Карточка №2

Два равных шара расположены так, что центр одного лежит на поверхности другого. Как относится объем общей части шаров к объему целого шара?

5 / 16

Карточка №3

Какую часть объема шара составляет объем шарового сегмента, у которого высота равна 0,1 диаметра шара, равного 20см?

Задача №1

Объем шара радиуса R равен V . Найдите: объем шара радиуса: а) 2 R б) 0,5 R

Задача №2

Чему равен объем шарового сектора, если радиус окружности основания равен 60см, а радиус шара-75см.

БЫСТРО И КРАТКО НАПИШИТЕ ОТВЕТЫ НА ВОПРОСЫ:

• Сколько сфер можно провести:

а) через одну и ту же окружность;

б) через окружность и точку, не принадлежащую её плоскости?

2. Сколько сфер можно провести через четыре точки, являющиеся вершинами:

а) квадрата;

б) равнобедренной трапеции;

3. Верно ли, что через любые две точки сферы проходит один большой круг?

4. Через какие две точки сферы можно провести несколько окружностей большого круга?

5. Как должны быть расположены две равные окружности, чтобы через них могла пройти сфера того же радиуса?

бесконечно

одну

бесконечно

бесконечно

Ни одной

Диаметрально противоположные

Иметь общий центр

Теоретический диктант

Вариант 2

Вписать в текст недостающие по смыслу слова.

• Любая диаметральная плоскость шара является его ………………… симметрии.

2. Осевое сечение сферы есть………………..

3. Центр шара, описанного около правильной пирамиды, лежит на …………………. пирамиды.

4. Радиус сферы, проведенный в точку касания сферы и плоскости ………………...……………………..к касательной плоскости.

5. Касательная плоскость имеет с шаром только одну общую точку …………………….

6. В любую правильную пирамиду можно вписать сферу, причем ее центр лежит на ……………… .…….пирамиды.

плоскостью

окружность

высоте

перпендикулярен

касания

высоте

Ур.52

Уровень1 Вариант 1

1.На расстоянии 12 см от центра шара проведено сечение, радиус которого равен 9см. Найдите объем шара и площадь его поверхности.

2. Сфера радиуса 3см имеет цент в точке О (4;-2;1). Составьте уравнение сферы, в которую перейдет данная сфера при симметрии относительно плоскости ОХУ. Найдите объем шара, ограниченного данной сферой.

Уровень 1 Вариант 2

1.Через точку, лежащую на сфере, проведено сечение радиуса 3см под углом 60° к радиусу сферы, проведенному в данную точку. Найдите площадь сферы и объем шара.

2. Сфера радиуса 3 имеет центр в точке О (-2;5;3). Составьте уравнение сферы, в которую перейдет данная сфера при симметрии относительно плоскости ОХ Z . Найдите площадь данной сферы.

Тестовая самостоятельная работа ур.52

Уровень2 Вариант 1

1.На расстоянии 2√7см от центра шара проведено сечение. Хорда этого сечения, равна 4см, стягивая угол 90°. Найдите объем шара и площадь его поверхности.

2. Сфера с центром в точке О (2;1;-2) проходит через начало координат. Составьте уравнение сферы, в которую перейдет данная сфера при симметрии относительно оси абцисс. Найдите объем шара, ограниченного полученной сферой.

Уровень2 Вариант 2

1.На расстоянии 4см от центра шара проведено сечении. Хорда, удаленная от центра этого сечения на √5см, стягивая угол 120°. Найдите объем шара и площадь его поверхности.

2. Сфера с центром в точке О (-1;-2;2) проходит через начало координат. Составьте уравнение сферы, в которую перейдет данная сфера при симметрии относительно плоскости Z =1. Найдите площадь сферы.

Самостоятельная работа

Вариант 2

• Диаметр шара ½ дм. Вычислите объём шара и площадь сферы.

2. Волейбольный мяч имеет радиус 12 дм. Какой объём воздуха содержится в мяче?

Вариант 1

• Радиус шара ¾ дм. Вычислите объём шара и площадь сферы.

2. Футбольный мяч имеет диаметр 30 дм. Какой объём воздуха содержится в мяче?

Самостоятельная работа

Вариант 1

Вариант 2

• Решить задачи :

• Записать формулы площади сферы, объема шара и его частей.
• Решить задачи :

№ 1. Объем шара равен 36Псм³. Найдите площадь сферы, ограничивающей данный шар.

№ 2. В шаре радиуса 15см проведено сечение, площадь которого равна 81см². Найдите объем меньшего шарового сегмента, отсекаемого плоскостью сечения.

№ 3. Найдите объем шарового сектора, если радиус шара равен 6см, а высота соответствующего сегмента составляет шестую часть диаметра шара.

№ 1. Площадь поверхности шара равна 144П см². Найдите объем данного шара.

№ 2. На расстоянии 9м от центра шара проведено сечение, длина окружности которого равна 24П см. Найдите объем меньшего шарового сегмента, отсекаемого плоскостью сечения.

№ 3. Найдите объем шарового сектора, если радиус шара равен 6см, а высота конуса, образующего сектор, составляет треть диаметра шара.

113,04=4πR³/3 = R³=27, R=3. S=4πR², S=4π3²=36π. Ответ: 3,36π. Дано: шар; S=64π см² Найти: R, V Решение: S=4πR², 64π=4πR², = R=4 V=4πR³/3, V=4π4³/3=256π/3. Ответ: 4,256π/3. 3. Дано: шаровой сегмент, r осн.=60 см, Rшара=75 см. Найти: Vшарового сегмента. Решение: V=πh²(R-⅓h) О ₁ С=√R²-r²=√75²-60²=45 h= ОС-ОС ₁ =75-45=30 V=π·30²·(75-⅓·30)=58500π. Ответ: 58500π. " width="640"

Решение задач с самопроверкой.

Дано: шар; V=113,04 см³,

Найти: R, S.

Решение: V=4πR³/3, = 113,04=4πR³/3 = R³=27, R=3.

S=4πR², S=4π3²=36π.

Ответ: 3,36π.

Дано: шар; S=64π см²

Найти: R, V

Решение: S=4πR², 64π=4πR², = R=4

V=4πR³/3, V=4π4³/3=256π/3.

Ответ: 4,256π/3.

3. Дано: шаровой сегмент, r осн.=60 см, Rшара=75 см.

Найти: Vшарового сегмента.

Решение: V=πh²(R-⅓h) О ₁ С=√R²-r²=√75²-60²=45

h= ОС-ОС ₁ =75-45=30 V=π·30²·(75-⅓·30)=58500π.

Ответ: 58500π.

Рефлексия

Отрази свое настроение смайликом.

Возьмите смайлик соответствующий Вашему настроению на конец урока и, уходя прикрепите его на доске с магнитной основой.

Домашнее задание

• Домашнее задание

• Повторить формулы объемов шара, шарового сегмента, шарового слоя, шарового сектора. №723, №724, №755

Литература и интернет ресурсы

Учебник по геометрии 10-11 класс Атанасян Л.С., 2008 год

Гаврилова Н.Ф. Поурочные разработки по геометрии 11 класс

Составить программу для вычисления площади круга S и объема шара V на основе заданного радиуса R . Программу реализовать как Windows-приложение.

Математическая постановка задачи

Перед началом разработки приложения необходимо осуществить математическую постановку задачи, то есть, определить формулы по которым будет произведен расчет а также входные данные и исходящие результаты.

Площадь круга вычисляется по формуле:

S = π · R²

Входящим значением здесь есть радиус окружности R, результатом есть площадь круга – S .
Объем шара вычисляется по формуле:

V = 4/3 · π · R³

Входящим значением здесь есть, опять же, радиус окружности R, результат – объем шара (хотя, как известно, «шара» объема не имеет).
В обеих формулах фигурирует константа π , равная 3,14159.
Таким образом, нарисуем последовательность этапов решения задачи (рисунок 1).

Рис. 1. Этапы решения задачи

Выполнение

1. Создание приложения типа VCL Form Application .

Запустить систему визуальной разработки приложений Embracadero RAD Studio Delphi 2010 и создаем Windows-приложение. Подробный пример создания приложения по шаблону Windows Form Application описан .

Первоначальный вид формы приложения перед началом проектирования изображен на рисунке 2.

Рис. 2. Вид окна программы

2. Вкладка Standard панели инструментов Tool Palette .

В данном приложении необходимо использовать несколько компонент, которые перечислены ниже:

• компонент типа TLabel , представляющий строку текста, которая выводится на форме;
• компонент типа TButton , представляющий кнопку на форме;
• компонент типа TEdi t , являющийся строкой ввода текста.

Все эти компоненты размещены на панели инструментов Tool Palette на вкладке Standard (см. рис. 3.).

Рис. 3. Вкладка Standard на палитре компонент

3. Компонент TLabel

3.1. Размещение компонента TLabel на форме

Для этого необходимо кликнуть мышкой на компоненте TLabel (рис. 4), а потом кликнуть в верхнем левом углу формы, как изображено на рис. 5.

Рис. 4. Компонент TLabel на палитре инструментов

Рис. 5. Компонент типа TLabel на главной форме программы

3.2. Задание текста в TLabel

Для выполнения каких-либо действий с компонентом TLabel его сначала необходимо выделить с помощью «мышки» или выбором в панели Object Inspector . После этого устанавливаем свойство Caption компонента TLabel в значение «R = » (рис. 6).

Рис. 6. Свойство Caption

В результате на форме текст «Label1 » изменится на текст «R = «.
Object Inspector дает возможность просматривать много других свойств этого компонента. В нашем случае нас будет интересовать свойство Name , в котором содержится значение названия переменной (объекта). По умолчанию это значение равно «Label1 «. Это значит, что во время написания программного кода к свойствам этого компонента можно обращаться с префиксом «Label «. Например, для того чтобы в программе изменить свойство Caption необходимо набрать следующую строку:

Label1.Caption:= "R = " ;

Таким же образом выносим на форму компоненты с именами Label2 и Label3 чуть ниже предыдущего компонента. Устанавливаем значения свойства Caption соответственно в «S = » и «V = «.

Форма приложения должна иметь приблизительно следующий вид (рис. 7).

Рис. 7. Форма приложения после размещения компонент Label1, Label2, Label3

Перенос и обработка всех других компонент с палитры Tool Palette осуществляется аналогично.

4. Компонент TEdit

Добавляем из палитры Tool Palette с вкладки Standard компонент TEdit , представляющий строку ввода. С помощью использования этого компонента будем получать значения радиуса окружности введенного пользователем с клавиатуры. После добавления компонента на форму система Delphi создает компонент-переменную с названием Edit1 (свойство Name ).

Очищаем свойство Text компонента.

5. Компонент TButton

Добавляем из палитры Tool Palette компонент TButton , представляющий собой обычную кнопку, после нажатия на которой будет вычисляться площадь круга и объем шара. В приложении системой Delphi автоматически будет добавлено компонент-переменную с именем Button1 .

Свойство Caption компонента устанавливаем в значение «Вычислить «.

Форма приложения в режиме проектирования будет иметь вид, изображенный на рис. 8.

Рис. 8. Форма приложения после добавления компонент TEdit и TButton

6. Программирование события клика на кнопке «Вычислить «

Следующим шагом в разрабатываемом приложении есть программирование события в Delphi, которое возникает при нажатии на кнопке Button1. Событие клика мышкой на кнопке называется OnClick.

Delphi 2010 автоматически создает фрагмент программного кода, в котором необходимо вписать собственный код обработки события. Созданный системой код имеет вид:

procedure begin end ;

Первоочередным заданием есть определение входных данных, результатов или промежуточных переменных, которые будут использоваться в программе.

Согласно условия задачи в нашей программе опишем три переменные с соответствующим обозначением:

• R – радиус окружности;
• S – площадь круга;
• V – объем шара.

Все переменные должны быть вещественного типа.
Также в программе используется одна константа – число Пи. Обозначим его именем Pi . Следует отметить, что в Delphi есть встроенная функция с именем Pi , но в нашем приложении она не будет задействована. Таким образом, описание переменных и констант перед словом begin будет следующим:

const Pi = 3.1415 ; // Число Пи var R:real; // Радиус окружности S:real; // Площадь круга V:real; // Объем шара

Между операторами begin и end вписываем следующие строки основного программного кода:

// 1. Чтение значения радиуса окружности из Edit1.Text R:= StrToFloat(Edit1.Text); S:= Pi * R * R; // 3. Вычисление объема шара V:= 4 /3 * Pi * R * R * R; // 4. Вывод результатов с точностью // 3 знака после запятой Label2.Caption:="S=" +FloatToStrF(S,ffFixed,8 ,3 ); Label3.Caption:="V=" +FloatToStrF(V,ffFixed,8 ,3 );

Объясним некоторые функции (методы), использующиеся в программном коде. Функция StrToFloat осуществляет преобразование строчной величины Edit1.Text в число вещественного типа. Например, после выполнения следующего кода

x:= StrToFloat("-3.675" );

значение х станет равно -3.675 .

В пунктах 2 и 3 происходят обычные вычисления площади круга и объема шара с помощью арифметических операций языка Паскаль.

В пункте 4 осуществляется вывод результатов. Поскольку программа реализована как Windows -приложение, то для вывода результата достаточно заполнить значение свойства Caption в компонентах Label2 (площадь) и Label3 (объем).

Функция FloatToStrF осуществляет обратное преобразование к функции StrToFloat , то есть преобразует число вещественного типа в строку. Например, для преобразования числа 2.87 в строку с точностью 4 знака после запятой нужно написать:

v:= 2.87 ; str:= FloatToStrF(v, ffFixed, 8 , 4 );

где v – переменная вещественного типа; str – переменная строкового типа; ffFixed – формат преобразования. Константа 8 означает, что используется общая ширина вывода размером в 8 знаков. Константа 4 означает точность после запятой.

Общий листинг процедуры обработки события OnClick компонента Button1 имеет вид.

procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject); const Pi = 3.1415 ; // Число Пи var R:real; // Радиус окружности S:real; // Площадь круга V:real; // Объем шара begin // 1. Чтение значения радиуса // окружности из Edit1.Text R:= StrToFloat(Edit1.Text); // 2. Вычисление площади круга S:= Pi * R * R; // 3. Вычисление объема шара V:= 4/3 * Pi * R * R * R; // 4. Вывод результатов с точностью // 3 знака после запятой Label2.Caption:="S=" +FloatToStrF(S,ffFixed,8 ,3 ); Label3.Caption:="V=" +FloatToStrF(V,ffFixed,8 ,3 ); end ;

7. Установка названия приложения

Чтобы изменить название приложения вместо непонятного «Form1 » нужно в свойстве Caption главной формы установить значение «Расчет площади круга и объема шара «.

8. Результат выполнения приложения

После запуска приложения (программы) на исполнение отображается окно с запросом о введении радиуса окружности R . Вводим значение 2,5 . Окно с результатом выполнения программы изображено на рисунке 9.

Рис. 9. Результат выполнения приложения

Итоги

При решении данной задачи было использовано компоненты следующих типов:

• TLabel — компонент типа «метка», представляющий обычную текстовую строку для вывода на форме;
• TButton — компонент, представляющий обычную кнопку на форме;
• TEdit — компонент реализующий строку ввода, предназначенную для получения информации введенной пользователем с клавиатуры.

Для проектирования интерфейса программы использовалась панель инструментов Tool Palette а также инспектор объектов Object Inspector .

Также рассмотрено две дополнительные функции, осуществляющие преобразование строки в число и обратно, а именно:

• функция StrToFloat , преобразующая строку, отображающую число, в вещественное число (например, ‘3,678’ => 3.678 ) с учетом региональных настроек Windows ;
• функция FloatToStrF , преобразующая вещественное число в строковой вид соответственно заданному формату (например 2.88 => ‘2,880’ ) с учетом региональных настроек Windows .