Или сферой . Любой отрезок, соединяющий центр шара с точкой шаровой поверхности, называется радиусом . Отрезок, соединяющий две точки шаровой поверхности и проходящий через центр шара, называется диаметром . Концы любого диаметра называются диаметрально противоположными точками шара. Всякое сечение шара плоскостью есть круг . Центр этого круга есть основание перпендикуляра, опущенного из центра на секущую плоскость. Плоскость, проходящая через центр шара, называется диаметральной плоскостью . Сечение шара диаметральной плоскостью называется большим кругом , а сечение сферы - большой окружностью . Любая диаметральная плоскость шара являются его плоскостью симметрии . Центр шара является его центром симметрии . Плоскость, проходящая через точку шаровой поверхности и перпендикулярная радиусу, проведенному в эту точку, называется касательной плоскостью . Данная точка называется точкой касания . Касательная плоскость имеет с шаром только одну общую точку - точку касания. Прямая, проходящая через заданную точку шаровой поверхности перпендикулярно к радиусу, проведенному в эту точку, называется касательной . Через любую точку шаровой поверхности проходит бесконечно много касательных, причем все они лежат в касательной плоскости шара. Шаровым сегментом называется часть шара, отсекаемая от него плоскостью. Шаровым слоем называется часть шара, расположенная между двумя параллельными плоскостями, пересекающими шар. Шаровой сектор получается из шарового сегмента и конуса. Если шаровой сегмент меньше полушара, то шаровой сегмент дополняется конусом, у которого вершина в центре шара, а основанием является основание сегмента. Если же сегмент больше полушара, то указанный конус из него удаляется. Основные формулы Шар (R = ОВ - радиус): S б = 4πR 2 ; V = 4πR 3 / 3. Шаровой сегмент (R = ОВ - радиус шара, h = СК - высота сегмента, r = КВ - радиус основания сегмента): V сегм = πh 2 (R - h / 3) или V сегм = πh(h 2 + 3r 2) / 6 ; S сегм = 2πRh . Шаровой сектор (R = ОВ - радиус шара, h = СК - высота сегмента): V = V сегм ± V кон, «+» - если сегмент меньше,«-» - если сегмент больше полусферы. или V = V сегм + V кон = πh 2 (R - h / 3) + πr 2 (R - h) / 3 . Шаровой слой (R 1 и R 2 - радиусы оснований шарового слоя; h = СК - высота шарового слоя или расстояние между основаниями): V ш/сл = πh 3 / 6 + πh(R 1 2 + R 2 2 ) / 2 ; S ш/сл = 2πRh . Пример 1. Объем шара равен 288π см 3 . Найти диаметр шара. Решение V = πd 3 / 6 288π = πd 3 / 6 πd 3 = 1728π d 3 = 1728 d = 12 см. Ответ: 12. Пример 2. Три равных сферы радиусом r касаются друг друга и некоторой плоскости. Определить радиус четвертой сферы, касающейся трех данных и данной плоскости. Решение Пусть О 1 , О 2 , О 3 - центры данных сфер и О - центр четвертой сферы, касающейся трех данных и данной плоскости. Пусть А, В, С, Т - точки касания сфер с данной плоскостью. Точки касания двух сфер лежат на линии центров этих сфер, поэтому О 1 О 2 = О 2 О 3 = О 3 О 1 = 2r . Точки равноудалены от плоскости АВС , поэтому АВО 2 О 1 , АВО 2 О 3 , АВО 3 О 1 - равные прямоугольники, следовательно, ∆АВС - равносторонний со стороной 2r . Пусть х - искомый радиус четвертой сферы. Тогда ОТ = х . Следовательно, Аналогично Значит, Т - центр равностороннего треугольника. Поэтому Отсюда Ответ: r / 3 . Сфера, вписанная в пирамиду В каждую правильную пирамиду можно вписать сферу. Центр сферы лежит на высоте пирамиды в точке ее пересечения с биссектрисой линейного угла при ребре основания пирамиды. Замечание. Если в пирамиду, необязательно правильную, можно вписать сферу, то радиус r этой сферы можно вычислить по формуле r = 3V / S пп , где V - объем пирамиды, S пп - площадь ее полной поверхности. Пример 3. Коническая воронка, радиус основания которой R , а высота H , наполнена водой. В воронку опущен тяжелый шар. Каким должен быть радиус шара, чтобы объем воды, вытесненный из воронки погруженной частью шара, был максимальным? Решение Проведем сечение через центр конуса. Данное сечение образует равнобедренный треугольник. Если в воронке находится шар, то максимальный размер его радиуса будет равен радиусу вписанной в получившийся равнобедренный треугольник окружности. Радиус вписанной в треугольник окружности равен: r = S / p , где S - площадь треугольника, p - его полупериметр. Площадь равнобедренного треугольника равна половине высоты (H = SO ), умноженной на основание. Но поскольку основание - удвоенный радиус конуса, то S = RH . Полупериметр равен p = 1/2 (2R + 2m) = R + m . m - длина каждой из равных сторон равнобедренного треугольника; R - радиус окружности, составляющей основание конуса. Найдем m по теореме Пифагора: , откуда Кратко это выглядит следующим образом: Ответ: Пример 4. В правильной треугольной пирамиде с двугранным углом при основании, равным α , расположены два шара. Первый шар касается всех граней пирамиды, а второй шар касается всех боковых граней пирамиды и первого шара. Найти отношение радиуса первого шара к радиусу второго шара, если tgα = 24/7 . Решение
Пусть РАВС - правильная пирамида и точка Н - центр ее основания АВС . Пусть М - середина ребра ВС . Тогда - линейный угол двугранного угла , который по условию равен α , причем α < 90° . Центр первого шара, касающегося всех граней пирамиды, лежит на отрезке РН в точке его пересечения с биссектрисой . Пусть НН 1 - диаметр первого шара и плоскость, проходящая через точку Н 1 перпендикулярно прямой РН , пересекает боковые ребра РА, РВ, РС соответственно в точках А 1 , В 1 , С 1 . Тогда Н 1 будет центром правильного ∆А 1 В 1 С 1 , а пирамида РА 1 В 1 С 1 будет подобна пирамиде РАВС с коэффициентом подобия k = РН 1 / РН . Заметим, что второй шар, с центром в точке О 1 , является вписанным в пирамиду РА 1 В 1 С 1 и поэтому отношение радиусов вписанных шаров равно коэффициенту подобия: ОН / ОН 1 = РН / РН 1 . Из равенства tgα = 24/7 находим: Пусть АВ = х . Тогда Отсюда искомое отношение ОН / О 1 Н 1 = 16/9. Ответ: 16/9. Сфера, вписанная в призму Диаметр D сферы, вписанной в призму, равен высоте Н призмы: D = 2R = H . Радиус R сферы, вписанной в призму, равен радиусу окружности, вписанной в перпендикулярное сечение призмы. Если в прямую призму вписана сфера, то в основание этой призмы можно вписать окружность. Радиус R сферы, вписанной в прямую призму, равен радиусу окружности, вписанной в основание призмы. Теорема 1 Пусть в основание прямой призмы можно вписать окружность, и высота Н призмы равна диаметру D этой окружности. Тогда в эту призму можно вписать сферу диаметром D . Центр этой вписанной сферы совпадает с серединой отрезка, соединяющего центры окружностей, вписанных в основания призмы. Доказательство Пусть АВС…А 1 В 1 С 1 … - прямая призма и О - центр окружности, вписанной в ее основание АВС . Тогда точка О равноудалена от всех сторон основания АВС . Пусть О 1 - ортогональная проекция точки О на основание А 1 В 1 С 1 . Тогда О 1 равноудалена от всех сторон основания А 1 В 1 С 1 , и ОО 1 || АА 1 . Отсюда следует, что прямая ОО 1 параллельна каждой плоскости боковой грани призмы, а длина отрезка ОО 1 равна высоте призмы и, по условию, диаметру окружности, вписанной в основание призмы. Значит, точки отрезка ОО 1 равноудалены от боковых граней призмы, а середина F отрезка ОО 1 , равноудаленная от плоскостей оснований призмы, будет равноудалена от всех граней призмы. То есть F - центр сферы, вписанной в призму, и диаметр этой сферы равен диаметру окружности, вписанной в основание призмы. Теорема доказана. Теорема 2 Пусть в перпендикулярное сечение наклонной призмы можно вписать окружность, и высота призмы равна диаметру этой окружности. Тогда в эту наклонную призму можно вписать сферу. Центр этой сферы делит высоту, проходящую через центр окружности, вписанной в перпендикулярное сечение, пополам. Доказательство
Пусть АВС…А 1 В 1 С 1 … - наклонная призма и F - центр окружности радиусом FK , вписанной в ее перпендикулярное сечение. Поскольку перпендикулярное сечение призмы перпендикулярно каждой плоскости ее боковой грани, то радиусы окружности, вписанной в перпендикулярное сечение, проведенные к сторонам этого сечения, являются перпендикулярами к боковым граням призмы. Следовательно, точка F равноудалена от всех боковых граней. Проведем через точку F прямую ОО 1 , перпендикулярную плоскости оснований призмы, пересекающую эти основания в точках О и О 1 . Тогда ОО 1 - высота призмы. Поскольку по условию ОО 1 = 2FK , то F - середина отрезка ОО 1 : FK = ОО 1 / 2 = FО = FО 1 , т.е. точка F равноудалена от плоскостей всех без исключения граней призмы. Значит, в данную призму можно вписать сферу, центр которой совпадает с точкой F - центром окружности, вписанной в то перпендикулярное сечение призмы, которое делит высоту призмы, проходящую через точку F , пополам. Теорема доказана. Пример 5. В прямоугольный параллелепипед вписан шар радиуса 1. Найдите объем параллелепипеда. Решение Нарисуйте вид сверху. Или сбоку. Или спереди. Вы увидите одно и то же - круг, вписанный в прямоугольник. Очевидно, этот прямоугольник будет квадратом, а параллелепипед будет кубом. Длина, ширина и высота этого куба в два раза больше, чем радиус шара. АВ = 2 , а следовательно, объем куба равен 8. Ответ: 8. Пример 6. В правильной треугольной призме со стороной основания, равной , расположены два шара. Первый шар вписан в призму, а второй шар касается одного основания призмы, двух ее боковых граней и первого шара. Найти радиус второго шара. Решение
Пусть АВСА 1 В 1 С 1 - правильная призма и точки Р и Р 1 - центры ее оснований. Тогда центр шара О , вписанного в эту призму, является серединой отрезка РР 1 . Рассмотрим плоскость РВВ 1 . Поскольку призма правильная, то РВ лежит на отрезке BN , который является биссектрисой и высотой ΔАВС . Следовательно, плоскость и является биссекторной плоскостью двугранного угла при боковом ребре ВВ 1 . Поэтому любая точка этой плоскости равноудалена от боковых граней АА 1 ВВ 1 и СС 1 В 1 В . В частности, перпендикуляр ОК , опущенный из точки О на грань АСС 1 А 1 , лежит в плоскости РВВ 1 и равен отрезку ОР . Заметим, что KNPO - квадрат, сторона которого равна радиусу шара, вписанного в данную призму. Пусть О 1 - центр шара, касающегося вписанного шара с центром О и боковых граней АА 1 ВВ 1 и СС 1 В 1 В призмы. Тогда точка О 1 лежит плоскости РВВ 1 , а ее проекция Р 2 на плоскость АВС лежит на отрезке РВ . По условию сторона основания равна

1. Изображение шара. Пусть F 0 – шар. Выберем направление проектирования и рассмотрим касательные к шару, принадлежащие выбранному направлению. Эти касательные образуют цилиндрическую поверхность и проходят через точки большой окружности шара, плоскость которой перпендикулярна направлению проектирования.

Выберем плоскость изображения. В общем случае цилиндрическая поверхность пересечет эту плоскость по эллипсу, а проекция F 1 шара F 0 будет частью плоскости, ограниченной этим эллипсом. Такое изображение шара не является наглядным (рис. 59). Если плоскость изображения выбрать перпендикулярной направлению проектирования, то изображением шара будет круг F . Круг, конечно, дает о шаре более наглядное представление, но в круг можно спроектировать и равный ему круг, и цилиндр (если проектирование вести параллельно его образующим).

Прежде чем продолжить разговор о том, как сделать изображение шара наглядным, вспомним известные со школы понятия, связанные с шаром. Сечение шара плоскостью, проходящей через центр шара, называется большим кругом , а его окружность – экватором. Точки пересечения прямой, перпендикулярной плоскости экватора, с поверхностью шара называются полюсами, соответствующими этому экватору, а соединяющий их диаметр – полярной осью .

Если на проекционном чертеже шара изобразить какой-либо экватор и соответствующие ему полюсы, то у изображения появится объемность. Оно станет наглядным.

Какой экватор изображать? Во-первых, желательно, чтобы отрезок, соединяющий изображения полюсов, был на чертеже вертикальным. Это желание будет выполнено, если плоскость изображения p будет вертикальной, а плоскость a , проходящая через полюсы N 0 , S 0 шара, – ей перпендикулярной и тоже вертикальной. (Напомним, что мы договорились использовать ортогональное проектирование.) Более того, можно считать, что плоскость изображения p проходит через центр шара, и, значит, пересекает его по окружности большого круга. Эту окружность обычно называют очерковой окружностью шара.

Обозначим точки пересечения прямой с поверхностью шара буквами P 0 и Q 0 . Если плоскость экватора также выбрать перпендикулярной плоскости p , то экватор и диаметр, соединяющий полюсы, изобразятся перпендикулярными диаметрами окружности (рис. 60) и изображение шара не станет нагляднее. Поэтому плоскость экватора не должна быть перпендикулярной плоскости изображения. На рис. 61 дано сечение шара плоскостью a . На этом рисунке P 0 Q 0 – прямая пересечения плоскостей a и p ; C 0 D 0 – пересечение a и экваториального круга, N 0 S 0 – диаметр, соединяющий полюсы. При проектировании на плоскость p полюсы N 0 и S 0 спроектируется в точки N и S соответственно, диаметр C 0 D 0 экватора – в малую ось эллипса, изображающего этот экватор.

Большая ось эллипса (рис. 62) будет проекцией диаметра экватора, перпендикулярного диаметру и, следовательно, параллельного плоскости .

Чтобы указать положение полюсов, вернемся к рис. 61. Прямоугольные треугольники и на этом рисунке равны по гипотенузе и острому углу (углы с соответственно перпендикулярными сторонами). Поэтому . Но в свою очередь , где – отрезок касательной к эллипсу, изображающему экватор (рис. 62).

Итак, наглядное изображение шара можно построить следующим образом:

1) Строим эллипс, который принимаем за изображение экватора, и его оси.

2) Проводим окружность с центром в центре эллипса, радиус которой равен большой полуоси эллипса.

3) Строим отрезок касательной к эллипсу, параллельные его большой оси, а затем изображения полюсов.

На рис. 63 показана достаточно типичная ошибка, когда полюсы изображаются на очерковой окружности, а экватор при этом изображен эллипсом.

2. Изображение параллелей и меридианов. Рассмотрим изображение полюсов и меридианов сферы, являющейся поверхностью шара. Напомним, что параллелями сферы называются ее сечения плоскостями, параллельными плоскости экватора. Сечения сферы плоскостями, проходящими через полярную ось, называются меридианами.

Через каждую точку сферы, отличную от полюса, проходит точно один меридиан и одна параллель. Каждый меридиан проходит через оба полюса.

Параллели и меридианы являются окружностями, поэтому также изображаются эллипсами.

Начнем с изображения параллелей. Параллель будет определена, если задать точку, в которой ее плоскость пересекает полярную ось. Поскольку плоскость параллели параллельна плоскости экватора, изображением параллели будет эллипс, подобный эллипсу, изображающему экватор.

Для построения этого эллипса рассмотрим сечение сферы (шара) плоскостью, проходящей через полярную ось перпендикулярно плоскости изображения (правая часть рис. 64). Построенное вспомогательное сечение позволяет легко найти малую ось эллипса, изображающего экватор, и изображения соответствующих ему полюсов.

Пусть параллель задана точкой , тогда плоскость параллели пересекает шар по отрезку , перпендикулярному оси . Этот отрезок равен большой оси эллипса, являющегося изображением параллели. Малая ось находится с помощью проектирования точек , на прямую . Наконец, с помощью прямой находятся точки , касания изображения параллели с очерковой окружностью. Точки , разделяют видимую и невидимую части изображения параллели.

При построении эллипса, являющегося изображением параллели, совсем не обязательно строить эллипс, являющийся изображением экватора, которому он подобен. Более того, можно отдельно не выполнять и построение вспомогательного сечения (рис. 65).

Как можно увидеть из рис. 66, в каждом из полушарий можно построить по эллипсу-параллели, которые касаются очерковой окружности только в одной точке. В верхнем полушарии изображения параллелей, лежащих севернее такой параллели будут полностью видимыми, а в нижнем полушарии изображения параллелей, лежащих южнее такой параллели – полностью невидимыми.

Задача. Построить изображение цилиндра, вписанного в шар, если высота цилиндра равна радиусу шара.

Решение. Построим изображение очерковой окружности шара и на ее вертикальном диаметре отметим изображения полюсов (рис. 67).

На этом же диаметре строим изображения центров , оснований цилиндра. Из условия задачи , где – радиус шара, равный радиусу очерковой окружности. Поэтому . Тем самым задано положение параллелей. В соответствии с рассмотренными правилами строим эллипс-изображение верхнего основания. Эллипс, изображающий нижнее основание, можно получить с помощью параллельного переноса на вектор .

В заключение рассмотрим, как строится изображение меридианов, если задано изображение сферы, ее экватора и соответствующих ему полюсов.

Пусть задано изображение точки , через которую проходит изображаемый экватор (рис. 68). В оригинале диаметр перпендикулярен полярной оси , поэтому отрезки , являются сопряженными диаметрами эллипса, изображающего рассматриваемый меридиан. Значит, эллипс – изображение меридиана – по этим сопряженным диаметрам можно построить.

При построениях меридиана «от руки» обычно дополнительно ищут точки , касания эллипса с очерковой окружностью (рис.68). Диаметр очерковой окружности для эллипса будет большой осью, причем , а значит, диаметр сферы параллелен плоскости проекции.

Точки и можно найти из следующих соображений. Построим диаметр эллипса-экватора, сопряженный диаметру . В оригинале , , поэтому диаметр перпендикулярен плоскости рассматриваемого меридиана. Отсюда следует, что , но тогда и (проектирование ортогональное). Точки и разделяют видимую и невидимую части изображения меридиана.

Изображение теней

Иногда для придания чертежу большей наглядности используют тени. Кроме того, построение теней – интересная геометрическая задача, способствующая развитию пространственного мышления, сущность которой состоит в следующем.

Пусть из светящейся точки прямолинейно во всех направлениях распространяются лучи света. Если луч встречает на своем пути непрозрачное тело , то он задерживается на нем и не доходит до некоторого экрана . На последнем при этом образуется темная область , которую называют падающей тенью от тела (рис. 69).

Само тело при этом также оказывается разделенным на две части: освещенную и темную (неосвещенную). Темную часть тела называют его собственной тенью .

Границу падающей тени образуют точки пересечения с экраном лучей, касающихся поверхности тела и образующих световой конус с вершиной точке . Линия, вдоль которой эти лучи касаются поверхности тела, называется линией раздела света и тени.

В случае, представленном на рис. 69, освещение называется факельным , такое же название имеет и соответствующая тень. Подобного рода освещение возникает при использовании источников искусственного освещения: электрической лампочки в комнате, фонаря на улице, пламени свечи и т.п.

Можно считать, что естественные источники (солнце, луна) находятся в бесконечности и лучи от них являются параллельными. Поэтому освещение, производимое пучком параллельных лучей, называют солнечным. Солнечное освещение показано на рис. 70.

Для того чтобы перейти к задачам на построение теней, условимся о том, как будем задавать лучи света на проекционном чертеже. При солнечном освещении такой световой луч можно задать прямой и ее проекцией на основную плоскость (рис. 71). Пусть требуется построить падающую тень от точки на основную плоскость (экран). Чтобы сама точка была определена, необходимо указать ее проекцию на основную плоскость. Построение тени сводится к отысканию точки пересечения прямой, проходящей через точку параллельно , и прямой, проходящей через точку параллельно . Заметим, что при этом отрезок является падающей тенью отрезка .

При факельном освещении на проекционном чертеже надо задать точку, являющуюся световым источником. Она определяется точкой и ее проекцией на основную плоскость (рис. 72). Здесь падающая тень точки – точка пересечения прямых и .
Ясно, что в качестве экрана можно выбирать не только основную плоскость. Наиболее интересные случаи построения теней имеют место именно тогда, когда приходится строить падающие тени на другие плоскости. (Например, падающую тень одного многогранника на поверхность другого.)

Задача 1. На рис. 73 изображены треугольная пирамида, ее высота и параллелепипед. Построить собственные и падающие тени этих непрозрачных фигур при заданном освещении.

Решение. Имеем дело с солнечным освещением. Прежде всего, найдем падающую тень параллелепипеда на основной плоскости . Падающей тенью ребра является отрезок , где , . Аналогично находятся падающие тени , ребер , соответственно. Отсюда следует, что – падающая тень грани , а – падающая тень грани (частично закрыта изображением параллелепипеда). Попутно отметим, что – собственная тень параллелепипеда.

Чтобы найти падающие тени пирамиды на гранях параллелепипеда, найдем сначала ее падающую тень на основной плоскости . Это треугольник ( , ), треугольник будет собственной тенью пирамиды. Проектирующая плоскость прямой пересекает грань параллелепипеда по отрезку . Проведя через точку прямую, параллельную , находим падающую тень вершины на верхнем основании параллелепипеда. Прямые , , проходящие через точку параллельно прямым , соответственно, определяют падающую тень пирамиды на верхнем основании параллелепипеда.

Остается найти падающую тень на боковой грани параллелепипеда. Для этого заметим, что – след плоскости на основной плоскости. Грань пересекает след в точке , а точка принадлежит плоскостям и . Отсюда заключаем, что плоскость пересекает боковое ребро параллелепипеда в точке , и строим падающую тень пирамиды на грани .

Представляет плоскую кривую - окружность, принадлежащую секущей плоскости.
Построить сечение сферы плоскостью общего положения β

Так как секущая плоскость общего положения, то эта окружность проецируется на плоскости проекций в виде эллипсов. Для построения эллипса необходимо знать размеры эллипса по его осям большой и малой.
Для тел вращения, к каковым относят цилиндр, конус и сферу, линия сечения может быть построена с характерными точками кривой к которым относятся:
- точки в которых меняется знак видимости;
- точки в которых ее координаты принимают максимальные и минимальные значения:
- x max ; x min ;
- y max ; y min ;
- z max ; z min ;
Использование характерных точек позволяет выполнить более точное построение линии пересечения поверхности вращения и плоскости.

Решение задачи на сечение сферы плоскостью значительно упрощается, если секущая плоскость занимает проецирующее положение.

Способом перемены плоскостей проекций переведем плоскость β из общего положения в частное - фронтально-проецирующее. На фронтальной плоскости проекций V 1 построим след плоскости β и проекцию шара. На следе плоскости β V берем произвольную точку 3" замеряем ее удаление от плоскости проекций H и откладываем его по линии связи уже на плоскости V 1 , получая точку 3" 1 . Через нее и пройдет след. Линия сечения шара - точки A" 1 , B" 1 совпадает здесь со следом плоскости. Далее на фронтальной плоскости проекций V 1 построим центр окружности сечения - точку C" 1 которую получим восстановив перпендикуляр из центра шара (точка 0" 1 ) к [A" 1 B" 1 ] на их пересечении. Далее включаем обратное проецирование: через точки A" 1 , B" 1 и C" 1 проводим горизонтали h принадлежащие плоскости β , и на плоскости проекций H через центр шара проводим вспомогательную горизонтально-проецирующую плоскость γ 1 . Горизонтальный след плоскости γ 1 пресечет проекцию горизонтали h и определит в этом месте точку C` - центра окружности сечения. Горизонталь h` пересекает проекцию шара в точках D` и E` , определяя тем самым действительную величину отрезка [DE ] - большой оси эллипса. Аналогично строятся точки A` и B` , определяющие величину отрезка [A`B` ] - малой оси эллипса.

Проекции большой и малой оси эллипса на горизонтальную плоскость проекции H найдены, а это означает что эллипс - проекция окружности сечения на H может быть построен, смотри статью: Окружность

Повторим те же действия на для фронтальной плоскости проекций V и построим другой эллипс - проекцию окружности сечения на V .

Для нахождения точек указывающих границы видимости горизонтальной проекции окружности сечения

проводим через центр шара фронтально-проецирующую плоскость γ 2 ⊥ V β по горизонтали h(h`, h") . Линия h` пересекается с горизонтальной проекцией окружности сечения по точкам 5,6 указывающим границу видимости. Точки окружности сечения расположенные на фронтальной проекции ниже следа плоскости γ 2 , на горизонтальной плоскости проекции H 5`, 6` ] - и будут на ней невидимы.

Для нахождения точек указывающих границы видимости фронтальной проекции окружности сечения. Проводим через центр шара горизонтально-проецирующую плоскость γ 1 ⊥ H , которая пересечет плоскость β по фронтали f(f`, f") . Линия f" пересекается с фронтальной проекцией окружности сечения по точкам 7", 8" указывающим границу видимости. Точки окружности сечения расположенные на горизонтальной проекции выше следа плоскости γ 1 , на фронтальной плоскости проекции V будут располагаться слева от отрезка [7", 8" ] - и будут на ней невидимы.

Введение

Шаром называется тело, которое состоит из всех точек пространства, находящихся на расстоянии, не большем данного, от данной точки. Эта точка называется центром шара, а данное расстояние радиусом шара.

Граница шара называется шаровой поверхностью, или сферой. Таким образом, точками сферы являются все точки шара, которые удалены от центра на расстояние, равное радиусу. Любой отрезок, соединяющий центр шара с точкой шаровой поверхности, также называемой радиусом.

Отрезок, соединяющий две точки шаровой поверхности проходящей через центр шара, называется диаметром. Концы любого диаметра называются диаметрально противоположными точками шара.

Шар, также как цилиндр и конус, является телом вращения. Он получается при вращении полукруга вокруг его диаметра как оси.

Сечение шара плоскостью

Всякое сечение шара плоскостью есть круг. Центр этого круга есть основание перпендикуляра, опущенного из центра шара на секущую плоскость.

Доказательство: Пусть - секущая плоскость и О - центр шара (рис. 1) Опустим перпендикуляр из центра шара на плоскость и обозначим через О" основание этого перпендикуляра.

Пусть X - произвольная точка шара, принадлежащая плоскости. По теореме Пифагора ОХ2=ОО"2+О"Х2. Так как ОХ не больше радиуса R шара, то О"Х?, т.е. любая точка сечения шара плоскостью находится от точки О" на расстоянии, не большем, следовательно, она принадлежит кругу с центром О" и радиусом. Обратно: любая точка Х этого круга принадлежит шару. А это значит, что сечение шара плоскостью есть круг с центром в точке О". Теорема доказана.

Площадь, проходящая через центр шара, называется диаметрально плоскостью. Сечение шара диаметральной плоскостью называется большим кругом, а сечение сферы - большой окружностью.

На рис. 11 показано построение проекций не­которых точек.

Проекции С" и D " построены на горизонтальной проекции параллели радиуса 0"1", построенной с

помощью про­екции 1 ". Проекция С"" и D "" построены на профильной проекции окружности, проведенной на сфере через проекции C "(D ") так, что плоскость окружности параллельна плоскости проекций.

Проекция Е" является точкой касания эллипса (горизонтальной проекции окружности среза) и экватора сферы. Она построена в про­екционной связи на горизонтальной проекции экватора по фрон­тальной проекции Е".

Горизонтальная проекция М" произвольной точки на линии среза построена с помощью параллели радиуса О"2" , фронтальная проекция которой проходит через проекции М "и 2 " . Проекция F "является точкой касания эллипса (профильной про­екции окружности среза) и профильной проекции очерка сферы.

Если плоскость, пересекающая сферу, является плоскостью общего положения, то задачу решают способом перемены плоскос­тей проекций. Дополнительную плоскость проекций выбирают так, чтобы обеспечить перпендикулярность ее и секущей плоскости. Это позволяет упростить построение линии пересечения.

12. Построение сечений тора

В примере на рис. 12 показано применение вспомогательных плоскостей γ 1 (γ 1 ") и γ 2 (γ 2 ") , перпендикулярных оси тора, для построения линии пересечения и натурального вида фигуры сечения поверхности тора плоскостью α (α""). Тор на рис.12 имеет два изображения - фронтальную проекцию и половину профильной проекции.

Полуокружность радиуса R 2 (профильная проекция линии пересечения тора вспомогательной

плоскостью γ 2 ) касается проекции плоскости α(следа α""). Тем самым определяются профильная проекция 3"" и по ней фронтальная проекция 3"" одной из точек проекции искомой линии пересечения. Полуокружность радиуса R 1 - профильная проекция линии пересечения тора вспомогательной плоскостью γ 1 . Она пересекает профильную проекцию плоскости α (след α"") в двух точках 5"" и 7"" - профильных проекциях точек линии пересечения. Проводя аналогичные пост­роения, можно получить необходимое количество проекций точек для искомой линии пересечения. Используем найденные точки для построения натурального вида фигуры сечения. Фигура сечения тора плоскостью, параллельной его оси, имеет оси и центр симметрии. При ее построении использованы расстояния l 1 и l 2 на фронтальной проекции для нанесения точек 5 0 , 7 0 и 3 0 .

Точки 6 0 , 8 0 и 4 0 построены как симметричные. Построенная кривая пересечения поверхности тора плоскостью выражается ал­гебраическим уравнением 4-го порядка.

Кривые пересечения тора с плоскостью, параллельной оси, приведены на рис.12 внизу. Они имеют общее название - кривые Персея (Персей - геометр Древней Греции). Это кривые четвертого порядка. Вид кривых зависит от величины расстояния от секущей плоскости до оси тора.