Плоскость пересекает сферу всегда по окружности, которая может проецироваться на плоскость в виде эллипса ,окружности илиотрезка прямой линии (рис. 70).

Сечение сферы проецирующей плоскостью Ω  П 2

Окружность сечения проецируется на фронтальную плоскость в отрезок прямой линии С 2 D 2 , а на горизонтальную плоскость проекций в эллипс, большая ось которого равна диаметру окружности сечения.

Для построения большой оси А 1 В 1 (горизонтальной проекции, определяем середину отрезкаС 2 D 2 , через точку (А 2 В 2) проводится параллель, находят горизонтальную проекцию этой параллели и по линиям связи определяют на ней точки осиА 1 иВ 1.

Точки 1 и 1, расположенные на экваторе, являются границей видимости на П 1 . Точки 2 и 2, расположенные на главном меридиане, являются границей видимости на П 3 .

Лекция № 6 аксонометрические проекции

1. Общие сведения. 2. Показатели искажения. 3. Виды аксонометрических проекций. 4. Построение окружности в аксонометрии.

1 Общие сведения

При выполнении технических чертежей часто бывает необходимым иметь более наглядные изображения предметов. Для построения таких изображений применяют аксонометрические проекции (аксонометрию).

Аксонометрия – греческое слово, сос­тоящее из двух слов ахсо n – ось и metreo – измеряю .

Способ аксонометрического проецирования состоит в том, что предмет вместе с осями коор­динат, к которым он отнесен в пространстве, проецируется на какую-либо плос­кость параллельными лучами. Эта плоскость называется плоскостью аксонометрических проекций или картинной плоскостью (рис. 71).

Направление проецирования не должно совпадать ни с одной из осей координат, тогда и изображение получается наглядным.

Кроме наглядности аксонометрические проекции допускают и измерение предмета по трем координатным направлениям.

Построение изображения предмета выполняется по каркасу характерных для предмета точек с учетом свойств параллельного проецирования: параллельные прямые остаются на аксонометрических проекциях параллельными, точки, принадлежащие линиям, на проекциях принадлежат аксонометрическим проекциям этих линий. Все измерения делаются только по осям или параллельно осям.Характерные точки строятся по координатам.

К – аксонометрическая (картинная) плоскость;

S – направление проецирования.

2 Показатели искажения

Для возможности использования метода координат в аксонометрии вводятся показатели искажения по осям.

На рис. 72 изображена пространственная система координат, единичные отрезки е на осях координат и их проекция в направлении S на некоторую плоскость К , являющуюся аксонометрической плос­костью проекций. Проекции е х , е у , e z отрезка е на соответствующих аксонометрических осях в общем случае не равны отрезкуе и не равны между собой. Отрезкие х , е у , e z являютсяединицами измерения по аксонометрическим осям - аксоно­метрическими единицами (аксонометрическими масштабами).

Отношение длинны отреза в аксонометрических проекциях к истинной длине отрезка называют показателем искажения (коэффициентом искажения):

.

Зная величину коэффициента искажения можно построить аксонометрическое изображение точки по ее натуральным координатам, пользуясь следующими формулами:

Х 1 = К х  Х; У 1 = К у  У;

Z 1 = К z  Z .

Показатели искажения связаны между собой соотношениями:

в прямоугольной аксонометрии:

К х 2  К у 2  К z 2 = 2,

в косоугольной аксонометрии:

К х 2  К у 2  К z 2 = 2  с tg 2 .

ГЛАВА ЧЕТВЁРТАЯ

КРУГЛЫЕ ТЕЛА

II ШАР

Сечение шара плоскостью

125. Определение . Тело, происходящее от вращения полукруга вокруг диаметра, называется шаром , а поверхность, образуемая при этом полуокружностью, называется шаровой или сферической поверхностью. Можно также сказать, что эта поверхность есть геометрическое место точек, одинаково удалённых от одной и той же точки (называемой центром шара).

Отрезок, соединяющий центр с какой-нибудь точкой поверхности, называется радиусом , а отрезок, соединяющий две точки поверхности и проходящий через центр, называется диаметром шара. Все радиусы одного шара равны между собой; всякий диаметр равен двум радиусам.

Два шара одинакового радиуса равны, потому что при вложении они совмещаются.

126. Теорема. Всякое сечение шара плоскостью есть круг.

1) Предположим сначала, что (черт. 137) секущая плоскость АВ проходит через центр О шара. Все точки линии пересечения принадлежат шаровой поверхности и поэтому одинаково удалены от точки О, лежащей в секущей плоскости; следовательно, сечение есть круг с центром в точке О.

2) Положим теперь, что секущая плоскость СО не проходит через центр. Опустим на неё из центра перяендикуляр OK и возьмём на линии пересечения какую-нибудь точку М. Соединив её с О и А, получим прямоугольный треугольник МОК, из которого находим:

MK =√OM 2 - ОК 2 . (1)

Так как длины отрезков ОМ и ОК не изменяются при изменении положения точки М на линии пересечения, то расстояние МК есть величина постоянная для данного сечения; значит, линия пересечения есть окружность, центр которой есть точка К.

127. Следствие. Пусть R и r будут длины радиуса шара и радиуса круга сечения, а
d - расстояние секущей плоскости от центра, тогда равенство (1) примет вид:
r =√R 2 - d 2 .

Из этой формулы выводим:

1) Наибольший радиус сечения получается при d = 0, т. е. когда секущая плоскость проходит через центр шара . В этом случае r =R. Круг, получаемый в этом случае, называется большим кругом .

2) Наименьший радиус сечения получается при d = R. В этом случае r = 0, т. е. круг сечения обращается в точку.

3) Сечения, равноотстоящие от центра шара, равны.

4) Из двух сечений, неодинаково удалённых от центра шара, то, которое ближе к центру, имеет больший радиус.

128. Теорема. Всякая плоскость (Р, черт. 138), проходящая через центр шара, делит его поверхность на две симметричные и равные части.

Возьмём на поверхности шара какую-нибудь точку А; пусть АВ есть перпендикуляр, опущенный из точки А на плоскость Р. Продолжим АВ до пересечения с поверхностью шара в точке С. Проведя ВО, мы получим два равных прямоугольных треугольника
АОВ и ВОС (общий катет ВО, а гипотенузы равны, как радиусы шара); следовательно, АВ = ВС; таким образом, всякой точке А поверхности шара соответствует другая точка С этой поверхности, симметричная относительно плоскости Р с точкой А. Значит, плоскость Р делит поверхность шара на две симметричные части.

Эти части не только симметричны, но и равны, так как, разрезав шар по плоскости Р, мы можем вложить одну из двух частей в другую и совместить эти части.

129. Теорема. Через две точка шаровой поверхности, не лежащие на концах одного диаметра, можно провести окружность большого круга и только одну .

Пусть на шаровой поверхности (черт. 139), имеющей центр О, взяты какие-нибудь две точки, например С и N, не лежащие на одной прямой с точкой О. Тогда через точки С, О к N можно провести плоскость. Эта плоскость, проходя через центр О, даст в пересечении с шаровой поверхностью окружность большого круга.

Другой окружности большого круга через те же две точки С и N провести нельзя. Действительно, всякая окружность большого круга должна, по определению, лежать в плоскости, проходящей через центр шара; следовательно, если бы через С и N можно было провести ещё другую окружность большого круга, тогда выходило бы, что через три точки С, N и О, не лежащие на одной прямой, можно провести две различные плоскости, что невозможно.

130. Теорема. Окружности двух больших кругов при пересечении делятся пополам.

Центр О (черт. 139), находясь на плоскостях обоих больших кругов, лежит на прямой, по которой эти круги пересекаются; значит, эта прямая есть диаметр того и другого круга, а диаметр делит окружность пополам.

В работе содержится план конспект занятия по теме:"Шар. Сечение шара плоскостью"(конспект достаточно схематичен). Для более полного представления об этом занятии рекомендую просмотреть, прилагающуюся к нему презентацию, опорный конспект, рефлексивные карты, а так же компьютерные тесты. Конспект соответствует новым ФГОС для СПО.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

В истории черпаем мы мудрость, в поэзии – остроумие, в математике – проницательность. Роджер Бэкон Решение трудной математической проблемы можно сравнить с взятием крепости. Наум Яковлевич Виленкин

Составьте по чертежу задачу и решите ее. S B O A 10 см? ?

Составьте по чертежу задачу и решите ее. Угол при вершине осевого сечения конуса равен 60 градусов. Образующая конуса равна 10см. Найдите диаметр конуса и его высоту. S B O A 10см

Решение задачи: Треугольник А S В – равносторонний. У равностороннего треугольника все стороны равны. В нашам случае образующая равна диаметру. Значит диаметр равен 10 см. Треугольник О S В – прямоугольный. По теореме Пифагора: S О= √ S В 2 - ОВ 2 = S B O A

Тема занятия Шар. Сечение шара плоскостью

Цель занятия: Дать определения понятиям шар, сфера и их элементов, выяснить какая фигура лежит в сечении шара плоскостью

ЗАДАЧИ: изучить основные понятия, связанные с шаром и сферой; в ыяснить какие могут получаться фигуры при сечении шара плоскостью, научиться выполнять чертеж шара на плоскости; развивать точность и ясность математической речи, учиться аргументировать выводы;

«Сфера и шар»

Шаром называется тело, которое состоит из всех точек пространства, находящихся на расстоянии, не большем данного (радиус шара), от данной точки (центр шара). Граница шара называется шаровой поверхностью или сферой. Точками сферы являются все точки шара, удалённые от центра на расстояние, равное радиусу. /

т.О – центр сферы; R – радиус сферы; АВ – диаметр сферы – отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через её центр. А, В – диаметрально противоположные точки шара. А В О R

Шар – тело вращения полукруга вокруг его диаметра как оси /

Сфера – тело вращения полуокружности вокруг его диаметра как оси /

Применение сферы /

Сферическая геометрия нужна не только астрономам, штурманам морских кораблей, самолетов, космических кораблей, которые по звездам определяют свои координаты, но и строителям шахт, метрополитенов, тоннелей, а также при геодезических съёмках больших территорий поверхности Земли, когда становится необходимым учитывать её шарообразность. /

ЗАРЯДКА ДЛЯ ГЛАЗ

Сечения шара плоскостью.

/ http://www.etudes.ru/ru/sketches/

Теорема 1 Всякое сечение шара плоскостью есть круг. Центр этого круга есть основание перпендикуляра, опущенного из центра шара на секущую плоскость. ОО" – перпендикуляр. О" - центр круга – основание перпендикуляра.

Плоскость, проходящая через центр шара, называется диаметральной плоскостью. Сечение шара диаметральной плоскостью называется большим кругом, а сечение сферы - большой окружностью. Сечение шара

Решение задачи 29, с.337:

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/11-klass/btela-vraweniya-b/reshenie-zadach-po-teme-sfera-shar?seconds=0&chapter_id=219

Сказка о возникновении шара. Однажды, оставшись один дома, красавец Полукруг долго принаряживался и жеманился перед небольшим в оловянных рамках зеркалом и не мог налюбоваться собою. «Что людям вздумалось расславлять, будто я хорош?- говорил он. – Лгут люди, я совсем не хорош. Почему девушки провозгласили, что лучшего парня и не было еще никогда и не будет никогда на селе Хатанга?». Полукруг знал и слышал все, что про него говорили, и был капризным, как красавец. Он мог целый день любоваться собой перед зеркалом, рассматривая себя со всех сторон. И вдруг случилось чудо, когда Полукруг повернулся перед зеркалом вокруг себя, он увидел в зеркале собственное отражение в форме Шара.

ИЗ ИСТОРИИ ВОЗНИКНОВЕНИЯ Шаром принято называть тело, ограниченное сферой, т.е. шар и сфера – это разные геометрические тела. Однако оба слова « шар» и « сфера» происходят от одного и того же греческого слова « сфайра » - мяч. При этом слово « шар» образовалось от перехода согласных сф в ш. В XI книге «Начал» Евклид определяет шар как фигуру, описанную вращающимся около неподвижного диаметра полукругом. В древности сфера была в большом почёте. Астрономические наблюдения над небесным сводом неизменно вызывали образ сферы. Сфера всегда широко применялось в различных областях науки и техники.

ЗАДАЧИ: изучить основные понятия, связанные с шаром и сферой; формировать навыки решения задач; в ыяснить какие могут получаться фигуры при сечении шара плоскостью; развивать точность и ясность математической речи, учиться аргументировать сделанные выводы; научиться изображать шар на плоскости;

СПАСИБО ЗА УРОК

Предварительный просмотр:

Опорный конспект учебного занятия по теме:

«ШАР. СЕЧЕНИЕ ШАРА ПЛОСКОСТЬЮ»

Тело, которое состоит из всех точек пространства, находящихся на расстоянии, не большем данного, от данной точки называется________________________________.

Эта точка называется____________________________шара.

Данное расстояние это _________________________шара.

Граница шара называется _____________________________________________, или________________________.

Отрезок, соединяющий центр шара с точкой шаровой поверхности- это ___________________________.

Это отрезок, соединяющий две точки шаровой поверхности и, проходящий через центр шара.

Концы любого диаметра называются________________________________________________ точками шара.

Шар является телом вращения. Он получается вращением полукруга вокруг его диметра как оси.

Выполни чертеж шара. Обозначь на нем его центр, проведи и обозначь радиус и диаметр, назови диаметрально противоположные точки шара.

ТЕОРЕМА. Всякое сечение шара плоскостью есть круг. Центр этого круга есть основание перпендикуляра, опущенного из центра шара на секущую плоскость.

Диаметральная плоскость –это плоскость, проходящая через__________________________шара.

Большой круг- это сечение шара______________________________________.

Большая окружность- это сечение ________________________ диаметральной плоскостью.

Рефлексивная карта студент__________________

1. Оцени решение поставленных учебных задач

учебные задачи	Решена полностью	Решена частично	Не решена
изучить основные понятия, связанные с шаром и сферой
учиться применять полученные знания при решении задач и доказательстве теорем
познакомиться с историей понятий «шар», «сфера»
выяснить какие могут получаться фигуры при сечении шара плоскостью
развивать умение работать в группе
развивать логическое мышление
формировать навыки контроля и самоконтроля.
научиться изображать шар на плоскости
развивать точность и ясность математической речи, учиться аргументировать сделанные выводы

2. Оценка личностных приращений.

Планировал узнать	знаю		Планировал научиться	умею
Определения шара и сферы			Применять ранее полученные знания при решении задач и доказательстве теорем
Знать элементы сферы и шара и их определения			Аргуметировать сделанные предположения
Какие фигуры могут получиться при сечении шара плоскостью			Выполнять чертеж шара и его элементов
Узнать историю терминов «Шар», «Сфера».			Составлять задачи по готовым чертежам

3. Самооценка.

А) Поставь себе оценку, которую ты по своему мнению заслуживаешь за работу на уроке.

Б) Сделай личные выводы

Предварительный просмотр:

Конспект занятия по геометрии в группе 1Д.

Тема занятия: "Шар. Сечение шара плоскостью".

Продолжительность занятия: 45 минут.

Учебник: «Геометрия, 10-11 класс», Погорелов А.В.

На занятии применяются элементы следующих современных образовательных технологий:

• Групповые технологии
• Здоровьесберегающие технологии
• Информационные компьютерные технологии

Концептуальная цель преподавания геометрии: развитие логического и абстрактного мышления, пространственного воображения и исследовательских способностей.

Цель занятия: ввести понятия шара и сферы и их элементов, выяснить какая фигура лежит в сечении шара плоскостью;

Задачи:

Изучить основные понятия, связанные с шаром и сферой; виды взаимного расположения шара и плоскости (сечения шара плоскостью);
- формировать навыки решения задач;

Развивать способности к самостоятельному планированию и организации работы, к самоанализу и способности коррекции собственной деятельности;

Развивать точность и ясность математической речи

Воспитывать познавательный интерес к математике;
- воспитывать информационную культуру и культуру общения;
- воспитывать наблюдательность, самостоятельность, способность к коллективной работе.

Материально-дидактическое оснащение: компьютер, проекционный экран, проектор.

Формы работы: групповая работа, самостоятельная работа.

Тип урока: урок получения новых знаний.

Ход урока

I. Мотивация к началу занятия - 1 мин:

Приветствие.

В истории черпаем мы мудрость,

в поэзии – остроумие,

в математике – проницательность.
Роджер Бэкон

Решение трудной математической проблемы

Можно сравнить с взятием крепости.

Наум Яковлевич Виленкин

Обращаю внимание на раздаточный материал и как с ним работать (Слайд 1)

II. Актуализация знаний учащихся - 7мин.:

а) Выполнение компьютерного теста (9-10 чел. )

б) С обучающимися не занятыми компьютерным тестированием составление и решение задачи по готовому чертежу (оставшаяся часть группы) (Слайд 2-4)

в) обобщение результатов работы и предварительные оценки за урок(тест и решение задачи)

III. Самоопределение к деятельности.

В этом году мы с Вами начали изучать раздел геометрии, который называется стереометрия. Что изучает стереометрия?

• Посмотрите на стол и назовите какие тела Вы видите?
• Покажите призмы
• Покажите цилиндры; конусы
• Кто знает как называется тело оставшееся на столе?
• Как Вы думаете какова тема нашего сегодняшнего занятия?
• Попробуйте сформулировать основную цель нашего занятия.( ввести понятия шара и сферы и их элементов, выяснить какая фигура лежит в сечении шара плоскостью )
• Какие задачи для достижения этой цели мы себе поставим?

(Слайд 4-6 тема, цель, задачи)

Изучение нового материала – 10 мин:

А)Тема сформулирована, цель и задачи ясны – вперед к новым знаниям.

Давайте вспомним, что в школе называли кругом?

Кто попробует по аналогии дать определение шара, учитывая что это тело пространства? Дают определение шара, радиуса шара, диаметра шара.(по аналогии идет работа со сферой; одновременно студенты заполняют опорный конспект)

Учимся изображать шар и его элементы на плоскости, показывать на чертеже эти элементы, находить предметы шарообразной формы в окружающей обстановке Слайд 7-9

Физминутка для снятия усталости с глаз и стресса

Б)Одной из целей занятия у нас стоит: выяснить какие фигуры могут получаться при сечении шара плоскостью. Сначала вспомним какие сечения могут быть у конуса (демонстрация математического этюда через Интернет)

Подумайте, включите свое пространственное воображение и сделайте предположение о том какие сечения могут быть у шара.

Великий российский математик Лобачевский говорил: « У математики нет авторитетов. Единственный аргумент истинности- довод».

Сформулирует и докажет теорему о сечении шара плоскостью(.....) (10 мин)

Повторение этапов доказательства.

В) история понятий шар и сфера (......)

IV. Закрепление изученного материала - 5мин

Решение задачи.

Работа в парах и проверка при помощи интернет

V Итог занятия. Рефлексия.

Вопросы для закрепления :

• Что такое шар?
• Что такое шаровая поверхность или сфера?
• Что такое радиус, диаметр, хорда шара?
• Какие точки называются диаметрально противоположными?
• Что является сечением шара плоскостью, удалённой от центра шара на расстояние, меньшее радиуса шара?
• Какая плоскость называется диаметральной плоскостью шара?
• Что такое большой круг, большая окружность?

Заполнение рефлексивной карты, выяснение все ли задачи урока достигнуты.

VI. Домашнее задание 1 мин:

п. 58, 59, № 30, 31

Инструкции по выполнению домашнего задания.

Ключевые слова: шар, сфера, центр шара, диаметр, касательная плоскость, плоскость симметрии,

Шаром называется тело, которое состоит из всех точек пространства, находящихся на расстоянии, не большем данного, от данной точки.

Эта точка называется центром шара, а данное расстояние называется радиусом шара. Граница шара называется шаровой поверхностью или сферой. Любой отрезок, соединяющий центр шара с точкой шаровой поверхности, называется радиусом. Отрезок, соединяющий две точки шаровой поверхности и проходящий через центр шара, называется диаметром. Концы любого диаметра называются диаметрально-противоположными точками шара. Шар, так же, как цилиндр и конус, является телом вращения. Он получается при вращении полукруга вокруг его диаметра как оси. Всякое сечение шара плоскостью есть круг. Центр этого круга есть основание перпендикуляра, опущенного из центра на секущую плоскость. Плоскость, проходящая через центр шара, называется диаметральной плоскостью . Сечение шара диаметральной плоскостью называется большим кругом , а сечение сферы - большой окружностью Любая диаметральная плоскость шара являются его плоскостью симметрии . Центр шара является его центром симметрии Плоскость, проходящая через точку шаровой поверхности и перпендикулярная радиусу, проведенного в эту точку, называется касательной плоскостью . Данная точка называется точкой касания. Касательная плоскость имеет с шаром только одну общую точку - точку касания. Прямая, проходящая через заданную точку шаровой поверхности перпендикулярно к радиусу, проведенному в эту точку, называется касательной. Через любую точку шаровой поверхности проходит бесконечно много касательных, причем все они лежат в касательной плоскости шара.

Теорема 20.3 . Всякое сечение шара плоскостью есть круг. Центр этого круга есть основание перпендикуляра, опущенного из центра шара на секущую плоскость .

Доказательство. Пусть - секущая плоскость и О - центр шара (рис. 453). Опустим перпендикуляр из центра шара на плоскость и обозначим через О" основание этого перпендикуляра.

Пусть X - произвольная точка шара, принадлежащая плоскости. По теореме Пифагора 0X2 = 00"2+О"Х2. Так как ОХ не больше радиуса R шара, то, т. е. любая точка сечения шара плоскостью находится от точки О" на расстоянии, не большем, следовательно, она принадлежит кругу с центром О" и радиусом.

Обратно: любая точка X этого круга принадлежит шару. А это значит, что сечение шара плоскостью есть круг с центром в точке О". Теорема доказана.

Плоскость, проходящая через центр шара, называется диаметральной плоскостью. Сечение шара диаметральной плоскостью называется большим кругом (рис. 454), а сечение сферы - большой окружностью.

Задача (30). Через середину радиуса шара проведена перпендикулярная ему плоскость. Как относится площадь полученного сечения к площади большого круга?

Решение . Если радиус шара R (рис. 455), то радиус круга в сечении будет

Отношение площади этого круга к площади большого круга равно

Теорема. Всякое сечение шара плоскостью есть круг. Центр этого круга есть основание перпендикуляра, опущенного из центра шара на секущую плоскость.

Доказательство. Пусть б -- секущая плоскость и О -- центр шара (рис. 453). Опустим перпендикуляр из центра шара на плоскость б и обозначим через О" основание этого перпендикуляра.

Пусть X -- произвольная точка шара, принадлежащая плоскости б. По теореме Пифагора 0X2 = 00"2+О"Х2. Так как ОХ не больше радиуса R шара, то т. е. любая точка сечения шара плоскостью б находится от точки О" на расстоянии, не большем, следовательно, она принадлежит кругу с центром О" и радиусом.

Обратно: любая точка X этого круга принадлежит шару. А это значит, что сечение шара плоскостью есть круг с центром в точке О". Теорема доказана.

Плоскость, проходящая через центр шара, называется диаметральной плоскостью. Сечение шара диаметральной плоскостью называется большим кругом (рис. 454), а сечение сферы -- большой окружностью.

Задачи

Задача 1 . Два сечения шара радиуса 10 см параллельными плоскостями имеют радиусы, равные 6 еж и 8 см. Найти расстояние между секущими плоскостями.

Решение. Находим расстояние каждой из параллельных плоскостей до центра шара:

в зависимости от того, лежит ли центр шара между плоскостями или нет, получаем два различных ответа к задаче:

Задача 2. Расстояние между центрами двух шаров равно d; радиусы их R1 и R2. Найти радиус окружности, по которой они пересекаются.

Решение. Искомый радиус служит высотой треугольника OMO1 (рис. 5). Площадь S треугольника ОМО2 находится по трем сторонам 001 = d, R1 R2 и искомый радиус равен r=2S/d. Прямая линия также может занимать по отношению к шару три существенно различных положения. Именно, она может пересечь поверхность шара в двух различных точках, не пересе­кать ее или иметь с ней одну общую точку. В последнем случае она будет называться касательной к шару

Задача 3 Через середину радиуса шара проведена перпендикулярная ему плоскость. Как относится площадь полученного сечения к площади большого круга?