С тем отличием, что вместо «плоских» графиков мы рассмотрим наиболее распространенные пространственные поверхности, а также научимся грамотно их строить от руки. Я довольно долго подбирал программные средства для построения трёхмерных чертежей и нашёл пару неплохих приложений, но, несмотря на всё удобство использования, эти программы плохо решают важный практический вопрос. Дело в том, что в обозримом историческом будущем студенты по-прежнему будут вооружены линейкой с карандашом, и, даже располагая качественным «машинным» чертежом, многие не смогут корректно перенести его на клетчатую бумагу. Поэтому в методичке особое внимание уделено технике ручного построения, и значительная часть иллюстраций страницы представляет собой handmade-продукт.

Чем отличается этот справочный материал от аналогов?

Обладая приличным практическим опытом, я очень хорошо знаю, с какими поверхностями чаще всего приходится иметь дело в реальных задачах высшей математики, и надеюсь, что эта статья поможет вам в кратчайшие сроки пополнить свой багаж соответствующими знаниями и прикладными навыками, которых в 90-95% случаев должно хватить.

Что нужно уметь на данный момент?

Самое элементарное:

Во-первых, необходимо уметь правильно строить пространственную декартову систему координат (см. начало статьи Графики и свойства функций ) .

Что вы приобретёте после прочтения этой статьи?

Бутылку После освоения материалов урока вы научитесь быстро определять тип поверхности по её функции и/или уравнению, представлять, как она расположена в пространстве, и, конечно же, выполнять чертежи. Ничего страшного, если не всё уложится в голове с 1-го прочтения – к любому параграфу по мере надобности всегда можно вернуться позже.

Информация по силам каждому – для её освоения не нужно каких-то сверхзнаний, особого художественного таланта и пространственного зрения.

Начинаем!

На практике пространственная поверхность обычно задаётся функцией двух переменных или уравнением вида (константа правой части чаще всего равна нулю либо единице) . Первое обозначение больше характерно для математического анализа, второе – для аналитической геометрии . Уравнение , по существу, является неявно заданной функцией 2 переменных, которую в типовых случаях легко привести к виду . Напоминаю простейший пример c :

– уравнение плоскости вида .

– функция плоскости в явном виде .

Давайте с неё и начнём:

Распространенные уравнения плоскостей

Типовые варианты расположения плоскостей в прямоугольной системе координат детально рассмотрены в самом начале статьи Уравнение плоскости . Тем не менее, ещё раз остановимся на уравнениях, которые имеют огромное значение для практики.

Прежде всего, вы должны на полном автомате узнавать уравнения плоскостей, которые параллельны координатным плоскостям . Фрагменты плоскостей стандартно изображают прямоугольниками, которые в последних двух случаях выглядят, как параллелограммы. По умолчанию размеры можно выбрать любые (в разумных пределах, конечно), при этом желательно, чтобы точка, в которой координатная ось «протыкает» плоскость являлась центром симметрии:


Строго говоря, координатные оси местами следовало изобразить пунктиром, но во избежание путаницы будем пренебрегать данным нюансом.

– (левый чертёж) неравенство задаёт дальнее от нас полупространство, исключая саму плоскость ;

– (средний чертёж) неравенство задаёт правое полупространство, включая плоскость ;

– (правый чертёж) двойное неравенство задаёт «слой», расположенный между плоскостями , включая обе плоскости.

Для самостоятельной разминки:

Пример 1

Изобразить тело, ограниченное плоскостями
Составить систему неравенств, определяющих данное тело.

Из-под грифеля вашего карандаша должен выйти старый знакомый прямоугольный параллелепипед . Не забывайте, что невидимые рёбра и грани нужно прочертить пунктиром. Готовый чертёж в конце урока.

Пожалуйста, НЕ ПРЕНЕБРЕГАЙТЕ учебными задачами, даже если они кажутся слишком простыми. А то может статься, раз пропустили, два пропустили, а затем потратили битый час, вымучивая трёхмерный чертёж в каком-нибудь реальном примере. Кроме того, механическая работа поможет гораздо эффективнее усвоить материал и развить интеллект! Не случайно в детском саду и начальной школе детей загружают рисованием, лепкой, конструкторами и другими заданиями на мелкую моторику пальцев. Простите за отступление, не пропадать же двум моим тетрадям по возрастной психологии =)

Следующую группу плоскостей условно назовём «прямыми пропорциональностями» – это плоскости, проходящие через координатные оси:

2) уравнение вида задаёт плоскость, проходящую через ось ;

3) уравнение вида задаёт плоскость, проходящую через ось .

Хотя формальный признак очевиден (какая переменная отсутствует в уравнении – через ту ось и проходит плоскость) , всегда полезно понимать суть происходящих событий:

Пример 2

Построить плоскость

Как лучше осуществить построение? Предлагаю следующий алгоритм:

Сначала перепишем уравнение в виде , из которого хорошо видно, что «игрек» может принимать любые значения. Зафиксируем значение , то есть, будем рассматривать координатную плоскость . Уравнения задают пространственную прямую , лежащую в данной координатной плоскости. Изобразим эту линию на чертеже. Прямая проходит через начало координат, поэтому для её построения достаточно найти одну точку. Пусть . Откладываем точку и проводим прямую.

Теперь возвращаемся к уравнению плоскости . Поскольку «игрек» принимает любые значения, то построенная в плоскости прямая непрерывно «тиражируется» влево и вправо. Именно так и образуется наша плоскость , проходящая через ось . Чтобы завершить чертёж, слева и справа от прямой откладываем две параллельные линии и поперечными горизонтальными отрезками «замыкаем» символический параллелограмм:

Так как условие не накладывало дополнительных ограничений, то фрагмент плоскости можно было изобразить чуть меньших или чуть бОльших размеров.

Ещё раз повторим смысл пространственного линейного неравенства на примере . Как определить полупространство, которое оно задаёт? Берём какую-нибудь точку, не принадлежащую плоскости , например, точку из ближнего к нам полупространства и подставляем её координаты в неравенство:

Получено верное неравенство , значит, неравенство задаёт нижнее (относительно плоскости ) полупространство, при этом сама плоскость не входит в решение.

Пример 3

Построить плоскости
а) ;
б) .

Это задания для самостоятельного построения, в случае затруднений используйте аналогичные рассуждения. Краткие указания и чертежи в конце урока.

На практике особенно распространены плоскости, параллельные оси . Частный случай, когда плоскость проходит через ось, только что был в пункте «бэ», и сейчас мы разберём более общую задачу:

Пример 4

Построить плоскость

Решение : в уравнение в явном виде не участвует переменная «зет», а значит, плоскость параллельна оси аппликат. Применим ту же технику, что и в предыдущих примерах.

Перепишем уравнение плоскости в виде из которого понятно, что «зет» может принимать любые значения. Зафиксируем и в «родной» плоскости начертим обычную «плоскую» прямую . Для её построения удобно взять опорные точки .

Поскольку «зет» принимает все значения, то построенная прямая непрерывно «размножается» вверх и вниз, образуя тем самым искомую плоскость . Аккуратно оформляем параллелограмм разумной величины:

Готово.

Уравнение плоскости в отрезках

Важнейшая прикладная разновидность. Если все коэффициенты общего уравнения плоскости отличны от нуля , то оно представимо в виде , который называется уравнением плоскости в отрезках . Очевидно, что плоскость пересекает координатные оси в точках , и большое преимущество такого уравнения состоит в лёгкости построения чертежа:

Пример 5

Построить плоскость

Решение : сначала составим уравнение плоскости в отрезках. Перебросим свободный член направо и разделим обе части на 12:

Нет, здесь не опечатка и все дела происходят именно в пространстве! Исследуем предложенную поверхность тем же методом, что недавно использовали для плоскостей. Перепишем уравнение в виде , из которого следует, что «зет» принимает любые значения. Зафиксируем и построим в плоскости эллипс . Так как «зет» принимает все значения, то построенный эллипс непрерывно «тиражируется» вверх и вниз. Легко понять, что поверхность бесконечна :

Данная поверхность называется эллиптическим цилиндром . Эллипс (на любой высоте) называется направляющей цилиндра, а параллельные прямые, проходящие через каждую точку эллипса называются образующими цилиндра (которые в прямом смысле слова его и образуют). Ось является осью симметрии поверхности (но не её частью!).

Координаты любой точки, принадлежащей данной поверхности, обязательно удовлетворяют уравнению .

Пространственное неравенство задаёт «внутренность» бесконечной «трубы», включая саму цилиндрическую поверхность, и, соответственно, противоположное неравенство определяет множество точек вне цилиндра.

В практических задачах наиболее популярен частный случай, когда направляющей цилиндра является окружность :

Пример 8

Построить поверхность, заданную уравнением

Бесконечную «трубу» изобразить невозможно, поэтому художества ограничиваются, как правило, «обрезком».

Сначала удобно построить окружность радиуса в плоскости , а затем ещё пару окружностей сверху и снизу. Полученные окружности (направляющие цилиндра) аккуратно соединяем четырьмя параллельными прямыми (образующими цилиндра):

Не забываем использовать пунктир для невидимых нам линий.

Координаты любой точки, принадлежащей данному цилиндру, удовлетворяют уравнению . Координаты любой точки, лежащей строго внутри «трубы», удовлетворяют неравенству , а неравенство задаёт множество точек внешней части. Для лучшего понимания рекомендую рассмотреть несколько конкретных точек пространства и убедиться в этом самостоятельно.

Пример 9

Построить поверхность и найти её проекцию на плоскость

Перепишем уравнение в виде из которого следует, что «икс» принимает любые значения. Зафиксируем и в плоскости изобразим окружность – с центром в начале координат, единичного радиуса. Так как «икс» непрерывно принимает все значения, то построенная окружность порождает круговой цилиндр с осью симметрии . Рисуем ещё одну окружность (направляющую цилиндра) и аккуратно соединяем их прямыми (образующими цилиндра). Местами получились накладки, но что делать, такой уж наклон:

На этот раз я ограничился кусочком цилиндра на промежутке и это не случайно. На практике зачастую и требуется изобразить лишь небольшой фрагмент поверхности.

Тут, к слову, получилось 6 образующих – две дополнительные прямые «закрывают» поверхность с левого верхнего и правого нижнего углов.

Теперь разбираемся с проекцией цилиндра на плоскость . Многие читатели понимают, что такое проекция, но, тем не менее, проведём очередную физкульт-пятиминутку. Пожалуйста, встаньте и склоните голову над чертежом так, чтобы остриё оси смотрело перпендикулярно вам в лоб. То, чем с этого ракурса кажется цилиндр – и есть его проекция на плоскость . А кажется он бесконечной полосой, заключенным между прямыми , включая сами прямые. Данная проекция – это в точности область определения функций (верхний «жёлоб» цилиндра), (нижний «жёлоб»).

Давайте, кстати, проясним ситуацию и с проекциями на другие координатные плоскости. Пусть лучи солнца светят на цилиндр со стороны острия и вдоль оси . Тенью (проекцией) цилиндра на плоскость является аналогичная бесконечная полоса – часть плоскости , ограниченная прямыми ( – любое), включая сами прямые.

А вот проекция на плоскость несколько иная. Если смотреть на цилиндр из острия оси , то он спроецируется в окружность единичного радиуса , с которой мы начинали построение.

Пример 10

Построить поверхность и найти её проекции на координатные плоскости

Это задача для самостоятельного решения. Если условие не очень понятно, возведите обе части в квадрат и проанализируйте результат; выясните, какую именно часть цилиндра задаёт функция . Используйте методику построения, неоднократно применявшуюся выше. Краткое решение, чертёж и комментарии в конце урока.

Эллиптические и другие цилиндрические поверхности могут быть смещены относительно координатных осей, например:

(по знакомым мотивам статьи о линиях 2-го порядка ) – цилиндр единичного радиуса с линией симметрии, проходящей через точку параллельно оси . Однако на практике подобные цилиндры попадаются довольно редко, и совсем уж невероятно встретить «косую» относительно координатных осей цилиндрическую поверхность.

Параболические цилиндры

Как следует из названия, направляющей такого цилиндра является парабола .

Пример 11

Построить поверхность и найти её проекции на координатные плоскости.

Не мог удержаться от этого примера =)

Решение : идём проторенной тропой. Перепишем уравнение в виде , из которого следует, что «зет» может принимать любые значения. Зафиксируем и построим обычную параболу на плоскости , предварительно отметив тривиальные опорные точки . Поскольку «зет» принимает все значения, то построенная парабола непрерывно «тиражируется» вверх и вниз до бесконечности. Откладываем такую же параболу, скажем, на высоте (в плоскости) и аккуратно соединяем их параллельными прямыми (образующими цилиндра ):

Напоминаю полезный технический приём : если изначально нет уверенности в качестве чертежа, то линии сначала лучше прочертить тонко-тонко карандашом. Затем оцениваем качество эскиза, выясняем участки, где поверхность скрыта от наших глаз, и только потом придаём нажим грифелю.

Проекции.

1) Проекцией цилиндра на плоскость является парабола . Следует отметить, что в данном случае нельзя рассуждать об области определения функции двух переменных – по той причине, что уравнение цилиндра не приводимо к функциональному виду .

2) Проекция цилиндра на плоскость представляет собой полуплоскость , включая ось

3) И, наконец, проекцией цилиндра на плоскость является вся плоскость .

Пример 12

Построить параболические цилиндры:

а) , ограничиться фрагментом поверхности в ближнем полупространстве;

б) на промежутке

В случае затруднений не спешим и рассуждаем по аналогии с предыдущими примерами, благо, технология досконально отработана. Не критично, если поверхности будут получаться немного корявыми – важно правильно отобразить принципиальную картину. Я и сам особо не заморачиваюсь над красотой линий, если получился сносный чертёж «на троечку», обычно не переделываю. В образце решения, кстати, использован ещё один приём, позволяющий улучшить качество чертежа;-)

Гиперболические цилиндры

Направляющими таких цилиндров являются гиперболы . Этот тип поверхностей, по моим наблюдениям, встречается значительно реже, чем предыдущие виды, поэтому я ограничусь единственным схематическим чертежом гиперболического цилиндра :

Принцип рассуждения здесь точно такой же – обычная школьная гипербола из плоскости непрерывно «размножается» вверх и вниз до бесконечности.

Рассмотренные цилиндры относятся к так называемым поверхностям 2-го порядка , и сейчас мы продолжим знакомиться с другими представителями этой группы:

Эллипсоид. Сфера и шар

Каноническое уравнение эллипсоида в прямоугольной системе координат имеет вид , где – положительные числа (полуоси эллипсоида), которые в общем случае различны . Эллипсоидом называют как поверхность , так и тело , ограниченное данной поверхностью. Тело, как многие догадались, задаётся неравенством и координаты любой внутренней точки (а также любой точки поверхности) обязательно удовлетворяют этому неравенству. Конструкция симметрична относительно координатных осей и координатных плоскостей:

Происхождение термина «эллипсоид» тоже очевидно: если поверхность «разрезать» координатными плоскостями, то в сечениях получатся три различных (в общем случае)

Цилиндрической поверхностью называется поверхность, составленная из всех прямых, пересекающих данную линию L и параллельных данной прямой I. При этом линия L называется направляющей цилиндрической поверхности, а каждая из прямых, составляющих эту поверхность и параллельных прямой - образующей (рис. 89). В дальнейшем мы будем рассматривать только такие цилиндрические поверхности, направляющие которых лежат в одной из координатных плоскостей, а образующие параллельны координатной оси, перпендикулярной этой плоскости.

Рассмотрим в плоскости Оху некоторую линию L, имеющую в системе координат Оху уравнение

Построим цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными оси Oz и направляющей L (рис. 90). Покажем, что уравнением этой поверхности будет уравнение (39), если его отнести к системе координат в пространстве . Пусть - любая фиксированная точка построенной цилиндрической поверхности.

Обозначим через N точку пересечения направляющей L и образующей, проходящей через точку М. Точка очевидно, будет проекцией точки М на плоскость Поэтому точки М и N имеют одну и ту же абсциссу и одну и ту же ординату у. Но точка N лежит на кривой L, и ее координаты х и у удовлетворяют уравнению (39) этой кривой. Следовательно, этому уравнению удовлетворяют и координаты точки , так как не содержит . Таким образом, координаты любой точки данной цилиндрической поверхности удовлетворяют уравнению (39). Координаты же точек, не лежащих на этой поверхности, уравнению (39) не удовлетворяют, так как эти точки проектируются на плоскость вне кривой

Таким образом, не содержащее уравнение если его отнести к системе координат в пространстве , является уравнением цилиндрической поверхности с образующими, параллельными оси и направляющей L, которая в плоскости задается тем же уравнением

В пространстве направляющая L определяется системой двух уравнений:

Аналогично можно показать, что уравнение не содержащее у, и уравнение не содержащее определяют в пространстве Охуг цилиндрические поверхности с образующими, параллельными соответственно осям

Рассмотрим примеры цилиндрических поверхностей.

1. Поверхность, определяемая уравнением

является цилиндрической и называется эллиптическим цилиндром (рис. 91).

Ее образующие параллельны оси а направляющей является эллипс с полуосями а и b, лежащий в плоскости . В частности, если то направляющей является окружность, а поверхность является прямым круговым цилиндром. Его уравнение

2. Цилиндрическая поверхность, определяемая уравнением

называется гиперболическим цилиндром (рис. 92). Образующие этой поверхности параллельны оси а направляющей служит расположенная в плоскости гипербола с действительной полуосью а и мнимой полуосью b.

3. Цилиндрическая поверхность, определяемая уравнением

называется параболическим цилиндром (рис. 93). Ее направляющей является парабола, лежащая в плоскости , а образующие параллельны оси Ох.

Замечание. Как известно, прямая в пространстве может быть задана уравнениями различных пар плоскостей, пересекающихся по этой прямой. Подобно этому кривая в пространстве может быть задана с помощью уравнений различных поверхностей, пересекающихся по этой кривой.

ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ

Наименование параметра	Значение
Тема статьи:	ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ
Рубрика (тематическая категория)	Математика

ПОВЕРХНОСТИ

Пусть Г – линия и - ненулевой вектор, не параллельный плоскости линии Г (если Г плоская линия.

Определœение 10. Цилиндрической поверхностью с направляющей Г и образующими, параллельными вектору , принято называть множество точек всœех возможных прямых, параллельных вектору и пересекающих линию Г.

Основная задача, которую нужно решить: как найти уравнение цилиндрической поверхности, в случае если даны уравнения линии Г и координаты вектора .

(28)

Остаётся из этих уравнений исключить параметр t.

Получили следующие правила для составления уравнения цилиндрической поверхности:

В случае если направляющая цилиндрической поверхности задаётся уравнениями (27) и образующие параллельны вектору , то для составления уравнения поверхности достаточно в уравнениях (27) заменить х на х - mt, у на у - nt, z на z - рt и из полученных уравнений исключит параметр.

Пример 1. Составьте уравнение цилиндрической поверхности, в случае если образующие параллельны вектору = {3, 2, -1} и направляющая Г имеет уравнения

Пример 2 . Составьте уравнение цилиндрической поверхности, в случае если направляющей является линия лежащая в плоскости (ХОУ), а образующие параллельны оси (ОZ).

Решение . Вектор, параллельный образующим, есть вектор . Заменяем в уравнениях направляющей х на х - 0‣‣‣t, ᴛ.ᴇ. х заменяем на х. Аналогично, у заменяем на у. Но z заменяем на z - t. Получим Из второго уравнения z = t. Это значит, что z может независимо от х и у принимать всœе возможные действительные значения, а х и у связаны тем же уравнением f(х, у) = 0, что и в уравнении направляющей. Уравнение цилиндрической поверхности в данном случае будет f(х, у) = 0.

Следствие . Уравнения , , у 2 = 2рх задают цилиндрические поверхности с направляющими эллипсом, гиперболой и параболой соответственно. Их образующие параллельны оси (ОZ).

В случае если направляющая цилиндрической поверхности есть линия второго порядка, то поверхность принято называть цилиндром второго порядка.

Замечание. Обратите внимание на то, что уравнения f(х, у) = 0, f(х, z) = 0, f(у, z) = 0, задают на плоскостях (ХОУ), (ХОZ) и (УОZ) соответственно некоторые линии. Но в аффинной системе координат в пространстве они задают цилиндры с образующими, параллельными оси (ОZ), (ОУ) и (ОХ) соответственно.

ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ - понятие и виды. Классификация и особенности категории "ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ" 2017, 2018.

Занятие № 10.

Тема: Поверхности вращения.
Цилиндрические поверхности

Теоретические сведения.

1. Поверхности вращения.

Пределение. Поверхностью вращения называется поверхность, образованная вращением плоской линии  вокруг оси, лежащей в плоскости этой линии.

Пусть
, тогда ее можно задать уравнениями

Уравнение поверхности, образованной вращением линии  вокруг оси Oz будет иметь вид:

(1)

2. Цилиндрические поверхности .

Пусть в пространстве дана некоторая плоская линия  и вектор , не параллельный плоскости этой линии.

Определение . Цилиндрической поверхностью называется множество точек пространства, лежащих на прямых параллельных данному вектору и пересекающих данную линию .

Иния  называется направляющей цилиндрической поверхности, прямые называются образующими.

Рассмотрим частный случай: направляющая линия  лежит в плоскости xOy : и задается уравнениями:
а направляющий вектор образующих имеет координаты
,
.

В этом случае уравнение цилиндрической поверхности имеет вид

. (2)

Упражнения.

1. Получите уравнение поверхности вращения (1).

   Получите уравнение цилиндрической поверхности (2).

Основные типовые задачи.

1. Составление уравнения поверхности вращения по уравнениям направляющей и оси вращения.

   Составление уравнения цилиндрической поверхности по уравнениям направляющей и направляющему вектору образующих.

Примеры решения задач.

Задача 1. В плоскости yOz дана окружность с центром в точке (0; 4; 0) радиуса 1. Написать уравнение поверхности, образованной вращением данной окружности вокруг оси Oz .

Ешение.

Уравнения окружности, лежащей в плоскости yOz с центром в точке (0; 4; 0) радиуса 1, имеют вид

(3)

При вращении этой окружности вокруг оси Oz получается поверхность, называемая тором. Пусть М – произвольная точка на торе. Проведем через точку М плоскость , перпендикулярную оси вращения, т.е. оси Oz , в сечении получим окружность. Обозначим центр этой окружности P , а точку пересечения плоскости  с окружностью, образующей поверхность вращения, – N .

Обозначим координаты точки M (x , y , z ), тогда P (0, 0, z ), а N(0,, z ). Так как точки M и N лежат на окружности с центром в точке P , то

,

.

Последнее равенство запишем в координатах

. (4)

Точка N лежит на окружности, при вращении которой образуется тор, значит ее координаты должны удовлетворять уравнениям (3), запишем первое уравнение системы (3)

,

,

.

Возведем последнее равенство в квадрат.

и подставим выражение для из равенства (4), получим

Уравнение (5) – искомое.

Задача 2. Составить уравнение цилиндрической поверхности, если направляющая лежит в плоскости xOy и имеет уравнение
, а образующие параллельны вектору {1; 2; –1}.

Пусть точка M (x , y , z ) – произвольная точка цилиндрической поверхности. Проведем через точку М образующую l , она пересекает направляющую в точке
. Так как направляющая лежит в плоскости xOy , то
. Составим канонические уравнения прямой l

.

Приравняем первую и вторую дроби к последней

(6)

Точка N лежит на направляющей, значит ее координаты удовлетворяют ее уравнению:

.

Подставляя выражения для и из системы (6), получим

. (7)

(7) – искомое уравнение.

а) эллипса
;

б) гиперболы
;

в) параболы
.

а) Направляющая лежит в плоскости
и имеет уравнение , а образующие параллельны вектору {1; 0; 1};

б) направляющая лежит в плоскости yOz и имеет уравнение
, а образующие параллельны оси Ox ;

в) направляющая лежит в плоскости xOz и является окружностью
, а образующие параллельны оси Oy.

Напишите уравнение цилиндрической поверхности, если:

а) направляющая задана уравнениями
а образующая параллельна вектору
;

б) направляющая задана уравнениями
а образующая параллельна прямой x = y = z .

а)
,
,
, М (2; 0; 1);

б) l :
, М (2; –1; 1).

Занятие № 11.

Тема: Конические поверхности.

Теоретические сведения.

Пусть в пространстве дана некоторая плоская линия  и точка S , не лежащая в плоскости этой линии.

Определение . Конической поверхностью называется множество точек пространства, лежащих на прямых проходящих через данную точку S и пересекающих данную линию .

Линия  называется направляющей конической поверхности, точка S – вершиной, прямые называются образующими.

Ассмотрим частный случай: вершина S совпадает с началом координат, направляющая линия  лежит в плоскости, параллельной плоскости xOy : z = c , и задается уравнением:
.

В этом случае уравнение конической поверхности имеет вид

. (1)

Если направляющая является эллипсом с центром на оси Oz ,

то получаем поверхность, называемую конусом второго порядка, уравнение этой поверхности имеет вид:

. (2)

Ось Oz в этом случае является осью конуса второго порядка.

Сечения конуса второго порядка:

Пусть плоскость  не проходит через вершину конуса второго порядка, тогда плоскость  пересекает конус:

а) по эллипсу, если  пересекает все образующие конуса;

б) по гиперболе, если  параллельна двум образующим конуса;

в) по параболе, если  параллельна одной образующей конуса.

Упражнения.

Получите уравнение конической поверхности (1).

Получите уравнение конической поверхности второго порядка (2).

Основные типовые задачи.

Составление уравнения конической поверхности по координатам вершины и уравнению направляющей.

Примеры решения задач.

Задача 1. Написать уравнение конической поверхности, вершина которой находится в начале координат, а направляющая задана уравнениями

Пусть точка M (x , y , z ) – произвольная точка конической поверхности. Проведем через эту точку образующую l , она пересечет направляющую в точке
. Запишем канонические уравнения прямой l , как уравнения прямой, проходящей через точку N и вершину конуса О(0, 0, 0)

,

.

Выразим из последней системы и :
,
. Т.к. точка N лежит на направляющей конической поверхности, то ее координаты должны удовлетворять уравнениям направляющей:

(3)

Подставим найденные выражения во второе уравнение системы (3)

,

,

,

. (4)

,
. (5)

Подставляем (4) и (5) в первое уравнение системы (3)

,

.

Полученное уравнение является искомым уравнением конической поверхности.;Линейная зависимость векторов . Система координат. Ортонормированный базис. Линейные операции над векторами в координатах. Скалярное произведение векторов . Векторное произведение векторов ...

Рабочая программа дисциплины Математика (2)

Рабочая программа

... » 4 2 Векторы . Линейные операции над векторами . Базис пространства и линейно независимые системы векторов . Проекции вектора и его координаты. Длина и направляющие косинусы. 4 2 Скалярное произведение векторов ...

Рабочая программа дисциплины (модуля) Высшая математика

Рабочая программа

Решений). Примеры. 9. Скалярные и векторные величины. Линейные операции над векторами (три операции ), их свойства. Единичный вектор a0. 10 ...

Рабочая программа предназначена для работы в 9 классе общеобразовательной школы. Сцелью реализации принципа

Рабочая программа

... теме «Соотношения между сторонами и углами треугольника». 1 91 Угол между векторами . Скалярное произведение векторов . Скалярное произведение векторов в координатах. 1 определение скалярного произведения векторов ...